第四章 数列
§4.1等差数列的通项与求和
一、知识导学
1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列.
2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,….
3.通项公式:一般地,如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.
5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列
6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.
7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.
8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=2b a +.我们把A=2
b
a +叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析
1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相
同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n })的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
3.数列{a n }的前n 项的和S n 与a n 之间的关系:??
?≥-==-).
2(),1(1
1
n S S n S a n n n 若a 1适合
a n (n>2),则n a 不用分段形式表示,切不可不求a 1而直接求a n .
4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,n a )均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列.
5、对等差数列的前n 项之和公式的理解:等差数列的前n 项之和公式可变形为
n d a n d S n )2(212-+=
,若令A =2d ,B =a 1-2
d
,则n S =An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时,如已知,a 1,a n ,d ,n S ,n 中任意三个,可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n -5)是该数列的前几项之和.
错解:(1)a n =3n+7;
(2) 1+4+…+(3n -5)是该数列的前n 项之和.错因:误把最后一项(含n 的代数式)看成了数列的通项.(1)若令n=1,a 1=10≠1,显然3n+7不是它的通项.正解:(1)a n =3n -2;
(2) 1+4+…+(3n -5)是该数列的前n -1项的和.
[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=2
2 ② 12
++=n n S n
求数列{}n a 的通项公式。
错解: ① 34)1()1(222
2
-=-+---=n n n n n a n ② n
n n n n a n 21)1()1(12
2
=-----++=错因:在对数列概念的理解上,仅注意了a n =S n -S n-1与的关系,没注意a 1=S 1.正解: ①当1=n 时,1
11==S a 当2≥n 时,34)1()1(222
2
-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合,∴34-=n a n ②当1=n 时,3
11==S a 当2≥n 时,n
n n n n a n 21)1()1(12
2
=-----++= ∴ ???=n a n 23
)
2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ,S 10=10 ,S 30=70,则S 40等于 。
错解:S 30= S 10·2d. ∴ d =30, ∴ S 40= S 30+d =100.
错因:将等差数列中S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m 成等差数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等差数列.
正解:由题意:???
????=?+=?+70
2293030102
9101011d a d a 得152,521=
=d a 代入得S 40 =120402
39
40401=??+
d a 。[例4]等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为S n 、T n .若
),(27417+∈++=N n n n T S n n 求7
7b a ;错解:因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数,故由题意令a n =7n+1;b n =4n+27.
11
10277417777=+?+?=∴
b a 错因:误认为
=n
n T S n n
b a 正解:79
92
2713411371313777777=+?+?==++=∴
T S b b a a b a [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25-5n ,求数列{}||n a 的前n 项和;错解:由a n ≥0得n ≤5
∴ {}n a 前5项为非负,从第6项起为负,
∴ S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=50(n ≤5)
当n ≥6时,S n =|a 6|+|a 7|+|a 8|+…+|a n |=
2
)
5)(520(--n n ∴ S n =??
?
??≥--≤6,2)
5)(520(5,50
n n n n 错因:一、把n ≤5理解为n=5,二、把“前n 项和”误认为“从n ≥6起”的和.
正解: ???
????≥+--≤-6,502)5)(520(5,2
)
545(n n n n n n
[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,
由此可以确定求其前n 项和的公式吗?
解:理由如下:由题设: 31010=S 1220
20=S 得: ???=+=+122019020310451011d a d a ??
?==?6
41d a ∴ n n n n n S n +=?-+
=2362
)
1(4[例7]已知:n
n a -+=12lg 1024 (3010.02lg =)+∈N n (1) 问前多少项之和为最
大?(2)前多少项之和的绝对值最小?
解:(1) ??
?<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241
n a n a n n 3403340112lg 1024
2lg 1024<+≤
=n
(2) 0)2lg (2
)
1(1024=--+
=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小 令:0=n S 即 1024+0)2lg (2
)
1(=--n n 得:99.680412
lg 2048
≈+=
n ∵ +∈N n ∴6805
=n [例8]项数是n 2的等差数列,中间两项为1+n n a a 和是方程02
=+-q px x 的两根,求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2
222=+++-p n x p n x 的根。 (02>n S ) 证明:依题意p a a n n =++1
∵p a a a a n n n =+=++121 ∴np
a a n S n n =+=
2
)
(2212 ∵0
)lg (lg lg )lg (lg lg 2
2
2
2
=+++-p n x p n x ∴ 0)lg (lg 2
=-np x ∴n S np x 2== (获证)。 四、典型习题导练
1.已知n
n n S a a 2311+==-且,求n a 及n S 。
2.设)1(433221+++?+?+?=n n a n ,求证:2
)1(2)1(2
+<<+n a n n n 。3.求和: n
+++++++++++
3211
321121114.求和: )
12()34()9798()99100(2
22
2
2
2
2
2
-+-++-+- 5.已知c b a ,,依次成等差数列,求证:ab c ac b bc a ---2
2
2
,,依次成等差数列.6.在等差数列{}n a 中, 40135=+a a ,则 =++1098a a a ( )。
A .72
B .60
C .48
D .36
7. 已知{}n a 是等差数列,且满足)(,n m m a n a n m ≠==,则n m a +等于________。8.已知数列?
????
?
+21n a 成等差数列,且713
,6115
3-=-=a a ,求8a 的值。
§4.2等比数列的通项与求和
一、知识导学
1. 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数,那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.
2. 等比中项:若a,G,b成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项.
3.等比数列的前n 项和公式:??
?
??≠-?-=--=?=)
1(11)1()1(111q q q
a a q q a q a n S n n n
二、疑难知识导析
1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q 也不为0.
2.对于公比q ,要注意它是每一项与它前一项的比,防止把相邻两项的比的次序颠倒.
3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”,同时应注意如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列,这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.
4.在已知等比数列的a 1和q 的前提下,利用通项公式a n =a 1q n-1
,可求出等比数列中的任一项.
5.在已知等比数列中任意两项的前提下,使用a n =a m q n-m
可求等比数列中任意一项.
6.等比数列{a n }的通项公式a n =a 1q n-1
可改写为n
n q q
a a ?=
1.当q>0,且q ≠1时,y=q x 是一个指数函数,而x
q q
a y ?=
1是一个不为0 的常数与指数函数的积,因此等比数列{a n }的图象是函数x
q q
a y ?=
1的图象上的一群孤立的点.7.在解决等比数列问题时,如已知,a 1,a n ,d ,n S ,n 中任意三个,可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1] 已知数列{}n a 的前n 项之和S n =aq n
(q q a ,1,0≠≠为非零常数),则{}n a 为( )。
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列,也不是等比数列
D.既是等差数列,又是等比数列
错解:)1(1
11-=-=-=+++q aq aq aq
S S a n n n n n n
)1(11-=-=∴--q aq S S a n n n n
q a a n
n =∴
+1
(常数) ∴{}n a 为等比数列,即B 。
错因:忽略了1--=∴n n n S S a 中隐含条件n >1. 正解:当n =1时,a 1=S 1=aq; 当n>1时,)1(1
1-=-=∴--q aq
S S a n n n n
q a a n
n =∴
+1
(常数) 但q q a a ≠-=11
2
∴{}n a 既不是等差数列,也不是等比数列,选C 。
[例2] 已知等比数列{}n a 的前n 项和记为S n ,S 10=10 ,S 30=70,则S 40等于. 错解:S 30= S 10·q 2
. ∴ q 2
=7,q =7±
,∴ S 40= S 30·q =770±.
错因:是将等比数列中S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m 成等比数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等比数列.
正解:由题意:???????=--=--701)1(101)
1(30
1101q
q a q q a 得???
??-==-=-)
(3210110101舍去或q q q a , ∴S 40=
20011401
=--)(q q
a . [例3] 求和:a+a 2
+a 3
+…+a n
.
错解: a+a 2
+a 3
+…+a n
=a
a n
--11.
错因:是(1)数列{a n
}不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前n 项和公式(2)用等比数列前n 项和公式应讨论q 是否等于1.
正解:当a =0时,a+a 2+a 3+…+a n
=0;
当a =1时,a+a 2+a 3+…+a n
=n;
当a ≠1时, a+a 2
+a 3
+…+a n
=a
a n
--11.
[例4]设d c b a ,,,均为非零实数,()
()022
2
2
2
2
=+++-+c b d c a b d b a ,
求证:c b a ,,成等比数列且公比为d 。 证明:
证法一:关于d 的二次方程()
()022
2
2
2
2
=+++-+c b d c a b d b a 有实根,
∴()()
0)(442
2222
2≥++-+=?c b b a c a b ,∴()
02
2
≥--ac
b
则必有:02=-ac b ,即ac b =2
,∴非零实数c b a ,,成等比数列 设公比为q ,则aq b =,2
aq c =代入
(
)
(
)
024
2222
2
2
22=+++-+q a q a d aq a aq d q a a ∵(
)
012
2
≠+a q ,即022
2=+-q qd d ,即0≠=q d 。 证法二:∵()
()022
2
2
2
2
=+++-+c b d c a b d b a
∴(
)()
02222
22
22=+-++-c bcd d
b b
abd d a
∴()()02
2
=-+-c bd b ad ,∴b ad =,且c bd = ∵d c b a ,,,非零,∴
d b
c
a b ==。 [例5]在等比数列{}n b 中,34=b ,求该数列前7项之积。 解:()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b = ∵5362712
4b b b b b b b ===,∴前七项之积()
218733373
2==?
[例6]求数列}21
{n n ?
前n 项和 解:n n n S 2
1
813412211?++?+?+?= ①
12
121)1(161381241121+?+?-++?+?+?=n n n n n S ② 两式相减:1122
11)
211(2
1212181412121++---=?-++++=n n n n n n n S n n n n n n
n S 2
212)2211(211--=--=∴-+
[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg 的容器中倒出1kg 盐水,然后加入1kg 水,以后每
次都倒出1kg 盐水,然后再加入1kg 水,
问:(1)第5次倒出的的1kg 盐水中含盐多kg ?
(2)经6次倒出后,一共倒出多少kg 盐?此时加1kg 水后容器内盐水的盐的
质量分数为多少?
解:(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n },则:
a 1= 0.2 (kg ), a 2=
21×0.2(kg ), a 3= (2
1)2
×0.2(kg ) 由此可见:a n = (21)n -1×0.2(kg ), a 5= (21)5-1×0.2= (2
1)4
×0.2=0.0125(kg )。
(2)由(1)得{a n }是等比数列 a 1=0.2 , q =2
1
)
(003125.0200625.0)
(00625.039375.04.0)(39375.02
11)211(2.01)1(66
16kg kg kg q
q a S =÷=-=--
=--=∴ 答:第5次倒出的的1kg 盐水中含盐0.0125kg ;6次倒出后,一共倒出0.39375kg
盐,此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
四、典型习题导练
1.求下列各等比数列的通项公式:
1) a 1=-2, a 3=-8
2) a 1=5, 且2a n +1=-3a n
3) a 1=5, 且
1
1+=+n n
a a n n 2.在等比数列{}n a ,已知51=a ,100109=a a ,求18a . 3.已知无穷数列 ,10
,10,10,105
15
25
15
-n ,
求证:(1)这个数列成等比数列 (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的
10
1, (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列{}n a 为 1
3
2
4,3,2,1-n nx
x x x ()0≠x 求此数列前n 项的和。
5.已知数列{a n }中,a 1=-2且a n +1=S n ,求a n ,S n
6.是否存在数列{a n },其前项和S n 组成的数列{S n }也是等比数列,且公比相同?
7.在等比数列{}n a 中,400,60,364231>=+=n S a a a a ,求n 的范围。
§4.3数列的综合应用
一、知识导学
1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型.
2. 应用题成为热点题型,且有着继续加热的趋势,因为数列在实际生活中应用比较广泛,所以数列应用题占有很重要的位置,解答数列应用题的基本步骤:(1)阅读理解材料,且对材料作适当处理;(2)建立变量关系,将实际问题转化为数列模型;(3)讨论变量性质,挖掘题目的条件,分清该数列是等差数列还是等比数列,是求S n 还是求a n .一般情况下,增或减的量是具体体量时,应用等差数列公式;增或减的量是百分数时,应用等比数列公式.若是等差数列,则增或减的量就是公差;若是等比数列,则增或减的百分数,加1就是公比q.
二、疑难知识导析
1.首项为正(或负)的递减(或递增)的等差数列前n 项和的最大(或最小)问题,
转化为解不等式?
??
? ?
????≥≤??
?≤≥++000011n n n n a a a a 或解决; 2.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前n 项和公式,在用等比数列前n 项和公式时,勿忘分类讨论思想;
3.等差数列中, a m =a n + (n -m)d, n
m a a d n m --=; 等比数列中,a n =a m q n-m ; m
n m
n a a q
=- 4.当m+n=p+q (m 、n 、p 、q ∈+N )时,对等差数列{a n }有:a m +a n =a p +a q ;对等比数列{a n }有:a m a n =a p a q ;
5.若{a n }、{b n }是等差数列,则{ka n +bb n }(k 、b 是非零常数)是等差数列;若{a n }、{b n }是等比数列,则{ka n }、{a n b n }等也是等比数列;
6.等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如a 1+a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9…)仍是等差(或等比)数列;
7.对等差数列{a n },当项数为2n 时,S 偶-S 奇=nd ;项数为2n -1时,S 奇-S 偶=a 中(n ∈+N ); 8.若一阶线性递推数列a n =ka n -1+b (k ≠0,k ≠1),则总可以将其改写变形成如下形
式:)1
(11-+=-+-k b a k k b a n n (n ≥2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式;
三、经典例题导讲
[例1]设{}n a 是由正数组成的等比数列,S n 是其前n 项和.证明:
12
12
2
12
1log 2
log log +++n n n S S S >。
错解:欲证
12
12
2
12
1log 2
log log +++n n n S S S >
只需证22
12
1log log ++n n S S >212
1log +n S
即证:)(log 22
1+?n n S S >2
12
1log +n S
由对数函数的单调性,只需证)(2+?n n S S <2
1+n S
2+?n n S S -21
+n S
=2
2
1212221)1()1()1()1)(1(q q a q q q a n n n ------++
=-02
1 q a ∴ 2+?n n S S <2 1+n S ∴ 原不等式成立. 错因:在利用等比数列前n 项和公式时,忽视了q =1的情况. 正解:欲证 12 12 2 12 1log 2 log log +++n n n S S S > 只需证22 12 1log log ++n n S S >2121log +n S 即证:)(log 22 1+?n n S S >2 12 1log +n S 由对数函数的单调性,只需证)(2+?n n S S <2 1+n S 由已知数列{}n a 是由正数组成的等比数列, ∴ q >0,01>a . 若1=q , 则2+?n n S S -21+n S =2111])1[()2(a n a n na +-+ =-2 1a <0; 若1≠q , 2+?n n S S -2 1 +n S =2 2 1212221)1()1()1()1)(1(q q a q q q a n n n ------++ =-02 1 q a ∴ 2+?n n S S <2 1+n S ∴ 原不等式成立. [例2] 一个球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回至原高度的一半落下,当它 第10次着地时,共经过了多少米?(精确到1米) 错解:因球 每次着地后又跳回至原高度的一半,从而每次着地之间经过的路程形 成了一公比为 2 1 的等比数列,又第一次着地时经过了100米,故当它第10次着地时,共经过的路程应为前10项之和. 即2 11] )21 (1[1001010--=S =199(米) 错因:忽视了球落地一次的路程有往有返的情况. 正解:球第一次着地时经过了100米,从这时到球第二次着地时,一上一下共经过 了2 100 2? =100(米)…因此到球第10次着地时共经过的路程为 8322100 210021002100100100++++++ =2 11] )21 (1[1001009--+≈300(米) 答:共经过300米。 [例3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一出生就在每年生日,到银行储蓄a 元一年定期,若年利率为r 保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁上大学时,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为多少? 错解: 年利率不变,每年到期时的钱数形成一等比数列,那18年时取出的钱数应为以a 为首项,公比为1+r 的等比数列的第19项,即a 19=a(1+r)18 . 错因:只考虑了孩子出生时存入的a 元到18年时的本息,而题目要求是每年都要存入a 元. 正解:不妨从每年存入的a 元到18年时产生的本息 入手考虑,出生时的a 元到18年时变 为a(1+r)18 , 1岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)17 , 2岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)16 , …… 17岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)1 , ∴ a(1+r)18+ a(1+r)17+ …+ a(1+r)1 =) 1(1])1(1)[1(18r r r a +-+-+ = )]1()1[(19r r r a +-+ 答:取出的钱的总数为)]1()1[(19 r r r a +-+。 [例4]求数列 ,)23(1 ,,101,71,41,11132-+++++-n a a a a n 的前n 项和。 解:设数列的通项为a n ,前n 项和为S n ,则 )23(1 1-+=-n a a n n )]23(741[)1 111(12-+++++++++ =∴-n a a a S n n 当1=a 时,2 32)231(2n n n n n S n += -++= 当1≠a 时,2)13(12)231(11111n n a a a n n a a S n n n n n -+--=-++-- =- [例5]求数列 ,) 1(6,,436,326,216+???n n 前n 项和 解:设数列的通项为b n ,则)1 1 1(6)1(+-=+6= n n n n b n 1 6)111(6)] 1 1 1()3121()211[(621+=+- =+-++-+-=+++=∴n n n n n b b b S n n [例6]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且)()2 1( 2 +∈+=N n a S n n , 求数列{a n }的前n 项和 解:取n =1,则1)2 1( 12 11=?+=a a a 又由 2)(1n n a a n S += 可得:21)2 1 (2)(+=+n n a a a n 12) (1*-=∴∈-≠n a N n a n n 2)12(531n n S n =-++++=∴ [例7]大楼共n 层,现每层指定一人,共n 人集中到设在第k 层的临时会议室开会,问 k 如何确定能使n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。(假定相邻两层楼梯长相等) 解:设相邻两层楼梯长为a ,则 ] 2)1([)](21[0)121(22 n n k n k a k n k a S +++-=-+++++-+++= 当n 为奇数时,取2 1 +=n k S 达到最小值 当n 为偶数时,取2 2 2+= n n k 或 S 达到最大值 四、典型习题导练 1.在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数有多少个? 2.某城市1991年底人口为500万,人均住房面积为6 m 2,如果该城市每年人口平均增长率 为1%,每年平均新增住房面积为30万m 2,求2000年底该城市人均住房面积为多少m 2 ?(精确到0.01) 3.已知数列{}n a 中,n S 是它的前n 项和,并且241+=+n n a S ,11=a (1) 设n n n a a b 21-=+,求证数列{}n b 是等比数列; (2) 设n n n a c 2= ,求证数列{}n c 是等差数列。 4.在△ABC 中,三边c b a ,,成等差数列,c b a ,,也成等差数列,求证△ABC 为正三角形。 5. 三数成等比数列,若将第三个数减去32,则成等差数列,若再将这等差数列的第二个数减去4,则又成等比数列,求原来三个数。 6. 已知 是一次函数,其图象过点 ,又 成等差数列,求 )()2()1(n f f f +++ 的值. 等差数列及其性质 典型例题: 热点考向一:等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中, (1) 已知81248,168S S ==,求1,a 和d (2) 已知6510,5a S ==,求8a 和8S 变式训练: 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知 102030,50a a ==. (1)求通项公式{}n a ; (2)若242n S =,求n . 热点考向二:等差数列的判定与证明. 例2:在数列{}n a 中,11a =,1114n n a a +=- ,221 n n b a = -,其中* .n N ∈ (1)求证:数列{}n b 是等差数列; (2)求证:在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈,都有 1n n a a +>. (3 )设n b n c =,试问数列{n c }中是否存在三项,使它们可以构成等差数列?如果存在,求出这三项;如果不存在,请说明理由. 跟踪训练:已知数列{n a }中,13 5 a = ,数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈,数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- (1)求证数列{n b }是等差数列; (2)求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三:等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)若120a =,并且1015S S =,求当n 取何值时,n S 最大,并求出最大值; (2)若10a <,912S S =,则该数列前多少项的和最小? 跟踪训练3:设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知 .0,0,1213123<>=S S a (I )求公差d 的取值范围; (II )指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大,并说明理由。 热点考向四:等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y =f (x )的图象经过坐标原点,其导函数为f ′(x )=6x -2,数列{a n }的前n 项和为S n ,点列(n ,S n )(n ∈N *)均在函数y =f (x )的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =3 a n a n +1,T n 是数列{b n }的前n 项和,求使得 T n 等差数列 第三课时 前N 项和 1、在等差数列{a n }中,已知d =2,a n =11, S n =35,求a 1和n . 2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7, S 15=75, T n 为数列? ??? ? ? S n n 的前n 项和,求T n . (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n =7n +2n +3,求a 5 b 5 的 值. 3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45 n +3,则使 得a n b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 5、等差数列{a n }中, S 10=4S 5,则a 1 d 等于( ) A.12 B.2 C.1 4 D.4 6、已知等差数列{a n}中,a23+a28+2a3a8=9,且a n<0,则S10为() A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 7、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9, S6=36.则a7+a8+a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 8、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 9、一个等差数列的项数为2n,若a1+a3+…+a2n-1=90,a2+a4+…+a2n=72,且a1-a2n=33,则该数列的公差是() A.3 B.-3 C.-2 D.-1 10、设{a n}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+…+a97=50,那么a3+a6+…+a99=______. 11、在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______. 澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程,不积跬步无以至千里,不积小流无以 成江海,在学习中一定要持之以恒,相信自己,你一定可以获得成功! 高中数学 一、定义 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即n a -1-n a =d ,(n ≥2,n ∈N +),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d ”表示) 2.等差数列的通项公式: d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3.有几种方法可以计算公差d ① d=n a -1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义:若a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5是3和7的等差中项,1和9的等差中项 9是7和11的等差中项,5和13的等差中项 看来,73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1:在等差数列{}n a 中,若m+n=p+q ,则,q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二.例题讲解。 一.基本问题 例1:在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明: 等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 3.通项公式:一般地,如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示. 8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=2b a +.我们把A=2 b a +叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n })的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列{a n }的前n 项的和S n 与a n 之间的关系:???≥-==-).2(),1(1 1n S S n S a n n n 若 a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示,切不可不求a 1而直接求a n . 小学奥数等差数列经 典练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列在等差数列的括号后面打√。0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42……700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1,3,5,7,10,13,16……5,8,11,14,17,20…… 1,5,9,13,17,21,23…90,80,70,60,50,……20,10 二、求等差数列3,8,13,18,……的第30项是多少 三、求等差数列8,14,20,26,……302的末项是第几项 四、一个剧院的剧场有20排座位,第一排有38个座位,往后每排比前一排多2个座位,这个剧院一共有多少个座位五、计算 11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6,9,12,15,……中第99项是几 4、求等差数列46,52,58……172共有多少项 5、求等差数列245,238,231,224,……中,105是第几项 6、求等差数列0,4,8,12,……中,第31项是几在这个数列中,2000是第几项 7、从35开始往后面数18个奇数,最后一个奇数是多少、已知一个等差数列的第二项是8,第3项是13,这1个等差数列的第10项是多少 1、计算:100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会,见面的时候如果每人都和其他同学握手一次,那么参加聚会的同学一共要握手多少次 3、请用被4 第四章 数列 [例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n -5)是该数列的前几项之和.正解:(1)a n =3n -2; (2) 1+4+…+(3n -5)是该数列的前n -1项的和. [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12 ++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。 正解: ①当1=n 时,1 11==S a 当2≥n 时,3 4)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合,∴34-=n a n ②当1=n 时,3 11==S a 当2≥n 时,n n n n n a n 21)1()1(12 2=-----++= ∴ ?? ?=n a n 23 ) 2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ,S 10=10 ,S 30=70,则S 40等于 。 正解:由题意:??? ????=?+=?+70 2293030102 9101011d a d a 得152,521= =d a 代入得S 40 =120402 39 40401=??+ d a 。 [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25-5n ,求数列{}||n a 的前n 项和; 正解: ??? ????≥+--≤-6,502)5)(520(5,2 ) 545(n n n n n n [例6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220, 由此可以确定求其前n 项和的公式吗? [例7]已知:n n a -+=12lg 1024 (3010.02lg =)+∈N n (1) 问前多少项之和为 等差数列基础习题选(附有详细解答) 一.选择题(共26小题) 1.已知等差数列{a n}中,a3=9,a9=3,则公差d的值为() A.B.1C.D.﹣1 2.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5,则此数列是() A.以7为首项,公差为2的等差数列B.以7为首项,公差为5的等差数列 C.以5为首项,公差为2的等差数列D.不是等差数列 3.在等差数列{a n}中,a1=13,a3=12,若a n=2,则n等于() A.23 B.24 C.25 D.26 4.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=6,a4=8,则公差d=() A.一1 B.2C.3D.一2 5.两个数1与5的等差中项是() A.1B.3C.2D. 6.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是()A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣5 7.(2012?福建)等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为() A.1B.2C.3D.4 8.数列的首项为3,为等差数列且,若,,则=()A.0B.8C.3D.11 A.25 B.24 C.20 D.19 A.5B.3C.﹣1 D.1 A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8<a4+a5D.a1a8=a4a5 12.(2004?福建)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=() A.1B.﹣1 C.2D. A.﹣1 B.1C.3D.7 14.在等差数列{a n}中,a2=4,a6=12,,那么数列{}的前n项和等于() A.B.C.D. 15.已知S n为等差数列{a n}的前n项的和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为() A.6B.7C.8D.9 16.已知数列{a n}为等差数列,a1+a3+a5=15,a4=7,则s6的值为() A.30 B.35 C.36 D.24 17.(2012?营口)等差数列{a n}的公差d<0,且,则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是A.5B.6C.5或6 D.6或7 A.58 B.88 C.143 D.176 A.﹣1 B.0C.1D.2 2 A.6B.7C.8D.9 2 A.4或5 B.5或6 C.4D.5 A.12 B.10 C.8D.4 A.230 B.140 C.115 D.95 A.5B.25 C.50 D.100 25.设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于() A.1B.2C.3D.4 A.第10项B.第11项C.第10项或11项D.第12项 二.填空题(共4小题) 等差数列典型例题 类型一:直接利用等差数列的定义、公式求解 例1.(1)求等差数列3,7,11,……的第11项. (2)100是不是等差数列2,9,16,……的项?如果是,是第几项?如果不是, 说明理由. 思路点拨:(1)根据所给数列的前2项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而求出所求项;(2)题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项,关键是要看是否存在一正整数n 值,使得n a 等于这一数. 总结升华: 1.根据所给数列的前2项求得首项1a 和公差d ,写出通项公式n a . 2.要注意解题步骤的规范性与准确性. 举一反三: 【变式1】求等差数列8,5,2…的第21项 【变式2】-20是不是等差数列0,7 2 -,-7,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 【变式3】求集合* {|7,,100}M m m n n N m ==∈<的元素的个数,并求这些元素的和 类型二:根据公式列方程(组)求解 例2.已知等差数列{}n a 中,1533a =,45153a =,试问217是否为此数列的项?若是,说明是第几项?若不是,说明理由。 思路点拨:由于在条件中已知两项的值(两个等式),所以在求解方法上,可以考虑运用方程思想求解基本量首项1a 和公差d ,也可以利用性质求d ,再就是考虑运用等差数列的几何意义。 总结升华: 1. 等差数列的关键是首项1a 与公差d ;五个基本量1a 、n 、d 、n a 、n S 中,已知三个基本量便可求出其余两个量; 2.列方程(组)求等差数列的首项1a 和公差d ,再求出n a 、n S ,是数列中的基本方法. 举一反三: 【变式1】等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54? 【变式2】等差数列{}n a 中, 4d =, 18n a =, 48n S =,求1a 的值. 【变式3】已知等差数列{}n a ,354a =,73 4 a =-,则15a = 。 类型三:等差数列的判断与证明 例3.已知数列{}n a 的前n 项和为2 43n S n n =+,求证:数列{}n a 为等差数列. 第四章 数列 §4.1等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 3.通项公式:一般地,如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示. 8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=2b a +.我们把A=2 b a +叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相 同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n })的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列{a n }的前n 项的和S n 与a n 之间的关系:?? ?≥-==-). 2(),1(1 1 n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示,切不可不求a 1而直接求a n . 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,n a )均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解:等差数列的前n 项之和公式可变形为 n d a n d S n )2(212-+= ,若令A =2d ,B =a 1-2 d ,则n S =An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时,如已知,a 1,a n ,d ,n S ,n 中任意三个,可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n -5)是该数列的前几项之和. 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d __表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d . 3.等差中项 如果A =a +b 2,那么A 叫做a 与b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列. (5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2或S n =na 1+n (n -1)2d . 6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n =d 2 n 2+????a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n =An 2+Bn (A 、B 为常数). 7.等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最__大__值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最__小__值. 一、等差数列选择题 1.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( ) A .24 B .23 C .17 D .16 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7 B .12 C .14 D .21 3.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤 B .6斤 C .9斤 D .12斤 4.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231 n n a n b n =+,则2121S T 的值为( ) A . 13 15 B . 2335 C . 1117 D . 49 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且110a =,56S S ≥,下列四个命题:①公差d 的最大值为2-;②70S <;③记n S 的最大值为M ,则M 的最大值为30;④20192020a a >.其真命题的个数是( ) A .4个 B .3个 C .2个 D .1个 6.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( ) A .29 B .38 C .40 D .58 7.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+,*n N ∈,则 存在数列{}n b 和{}n c 使得( ) A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 C .· n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .· n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 8.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,3456720a a a a a ++++=,则9S =( ) A .24 B .36 C .48 D .64 9.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且 77b a =,则3810b b b =( ) A .1 B .8 C .4 D .2 10.已知数列{}n a 满足25111,,25 a a a ==且 *121 2 1 0,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使 高考数学-等差数列典型例题 【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数? 解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列,其中a 1=7,d =7,a n =98. 代入a n =a 1+(n -1)d 中,有 98=7+(n -1)·7 解得n =14 答 100以内有14个能被7整除的自然数. 【例2】 在-1与7之间顺次插入三个数a ,b ,b 使这五个数成等差数列,求此数列. 解 设这五个数组成的等差数列为{a n } 由已知:a 1=-1,a 5=7 ∴7=-1+(5-1)d 解出d =2 所求数列为:-1,1,3,5,7. 【例3】 53122在等差数列-,-,-,-,…的相邻两项之间1 2 插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项. 解 d =312 (5) d =d =3 4原数列的公差-=,所以新数列的公差′ ,期通项为 --3 21 2 a n n n n =-+-=--53413423 4 234 ()即 a =34n 【例4】 在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个? 解 设a n =3n ,b m =4m -3,n ,m ∈N 令,则=-=为使为整数,令=,a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ?-43 3m 得n =4k -1(k ∈N),得{a n },{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n =12n -3(n ∈N). 则在[1000,2000]内{c n }的项为84·12-3,85·12-3,…,166·12-3 ∴n =166-84+1=83 ∴共有83个数. 数列 §4.1等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 3.通项公式:一般地,如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示. 8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=2b a +.我们把A=2 b a +叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同 而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n })的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列{a n }的前n 项的和S n 与a n 之间的关系:?? ?≥-==-). 2(),1(1 1 n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示,切不可不求a 1而直接求a n . 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,n a )均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解:等差数列的前n 项之和公式可变形为 n d a n d S n )2 (212-+= ,若令A =2d ,B =a 1-2d ,则n S =An 2+Bn. 6、在解决等差数列问题时,如已知,a 1,a n ,d ,n S ,n 中任意三个,可求其余两个。三、经典例题导讲 [例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3,指出这个数列的通项公式; [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=2 2 ② 12 ++=n n S n 数列 §4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 3.通项公式:一般地,如果数列{a n }的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示. 8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=2b a +.我们把A=2 b a +叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n })的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列{a n }的前n 项的和S n 与a n 之间的关系:???≥-==-).2(),1(1 1n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示,切不可不求a 1而直接求a n .4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,n a )均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解:等差数列的前n 项之和公式可变形为n d a n d S n )2 (212-+=,若令A =2d ,B =a 1-2d ,则n S =An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时,如已知,a 1,a n ,d ,n S ,n 中任意三个,可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3,指出这个数列的通项公式; [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
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