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等差数列及其性质
典型例题：
热点考向一：等差数列的基本量 例1.
在等差数列{n a }中，
（1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S
变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知
102030,50a a ==.
（1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n .
热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n
a a +=-
，221
n n b a =
-，其中*
.n N ∈
（1）求证：数列{}n b 是等差数列；
（2）求证：在数列{}n a 中对于任意的*
n N ∈，都有
1n n a a +>.
（3
）设n b
n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由.
跟踪训练：已知数列{n a }中，13
5
a =
，数列11
2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足
1()1
n n b n N a *=∈-
（1）求证数列{n b }是等差数列；
（2）求数列{n a }中的最大项与最小项.
热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S .
（1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值；
（2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？
跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知
.0,0,1213123<>=S S a
（I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。
热点考向四：等差数列的综合应用
例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝3
a n a n ＋1，T n
是数列{b n }的前n 项和，求使得
T n 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m . 变式训练：设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为 n S ，已知3122a a a +=，数列 {}n S 是公差为d 的等差 数列。 （1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）； （2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。求证：c 的最大值为 2 9。 2 / 2 等差数列及其性质作业 一.选择题： 1、等差数列｛a n ｝中，a 1=60,a n+1=a n+3则a 10为 （ ） A 、-600 B 、-120 C 、60 D 、-60 2、若等差数列中，a 1=4,a 3=3,则此数列的第一个负数项是 （ ） A 、a B 、a 10 C 、a 11 D 、a 12 3.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是 （ ） A.公差为2的等差数列 B. 公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D. 公差为n 的等差数列 4. 已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11= （） A 、36 B 、30 C 、24 D 、18 5.等差数列3,7,11, ,---的一个通项公式为 （ ） A. 47n - B. 47n -- C. 41n + D. 41n -+ 6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++， 789a a a ++，，32313n n n a a a --++， 是 （ ） A.一定不是等差数列 B. 一定是递增数列 C.一定是等差数列 D. 一定是递减数列 二.填空题： 7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = . 8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = . 9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5， 37a a 与的等差中项为7，则n a = . 10. 若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根， 则a 5+a 8= . 三.解答题 11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列 {}n a :5,3,1,1, ,---中的项，若是，是第几项？ 答案：1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.10 8.21 9.23n - 10. 3 11.由题意知27n a n =-,由2752n -=,得 29.5n N *=?,∴52不是该数列中的项. 又由2727n k -=+解得7n k N * =+∈,∴27k +是数列 {}n a 中的第7k +项. 12. （1）d=-4;（2）a n =-4n+27
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