一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2） 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 （一）内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 （二）目标和目标解析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 （三）教学问题诊断分析
指数函数及其性质教案 课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A 版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I ）,2.1.2指数函数及其性质 教学目标 1. 知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质 2. 能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 3. 情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 教学重点﹑难点 重点：指数函数的概念和图像 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 （一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数)0()2 1 (5730≥=t P t 的解析式与问题1中函数 )20,(073.1* ≤∈=x N x y x 的解析式有什么共同特征？ 师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到x a y =的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 3.剖析概念 （1）规定底数a 大于零且不等于1的理由： 如果a =0，?????≤>无意义 时，当； 恒等于时，当x x a x a x 000 如果,2 1 ,41,)4(,0= -= 教学设计 1、抛出生活中的实例，需要建立一个关于指数函数的数学模型，为学生提出问题；提高学生学习新知识的积极性以及体会数学与生活密切相关。 2、用简单易懂的实例引入指数函数概念，体会由特殊到一般的思想。 3、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。 4、进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。 学情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 效果分析 在整个的教学过程中，始终体现以学生为本的教育理念。在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，强调学生的品德、思维和心理等方面的发展。重视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养和养成。同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则。在教学的过程中，考虑到学生的实际，有意地设计了一些铺垫和引导，既巩固旧有知识，又为新知识提供了附着点，充分体现学生的主体地位 教材分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。本课时主要学习指数函数的概念，通过图像的研究归纳其性质。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。 指数函数的图像及性质 2.1.2 指数函数及其性质（一） 一、学习目标：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数 的图象和性质；本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质， 本节课的难点是弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响。 二、问题引领： 1、指数函数的概念、图象和性质 2、指数函数图象分布图： 如图，,,,A B C D 分别为指数函数 ,,,x x x x y a y b y c y d ====的图象，则,,,a b c d 与 0、1的大小关系为01a b c d <<<<<。 三、典例剖析： 例题1：已知指数函数()(0>=a a x f x 且)1≠a 的图象经过点()2,π，求()()()012f f f -、、的值。 分析：要求()()()012f f f -、、的值，我们需要先求出指数函数()x a x f =的解析式，也就是要先求a 的值。根据函数图象过点()2,π这一条件，可以求得底数a 的值。 解： ()x a x f =的图象经过点()2,π， ()2f π∴= 即2 a π=，解得1 2 a π= ()2x f x π∴=，即：()( )()10 12 1 01,12f f f ππππ -====-== 。 点评：求函数解析式的典型方法是待定系数法，求指数函数需要待定的系数只有一个a ，只需要一个已知条件，就可以确定一个指数函数。 例题2：1、设1111333b a ???? <<< ? ????? ，求,,a b a a a b 的大小关系。 2、 比较235 4 0.5,1.2,1的大小。 分析：利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。 解：1、因为函数13x y ?? = ??? 在R 上为减函数，又由1111333b a ????<<< ? ?????， 所以得：01a b <<<， 因为当01a <<时，函数x y a =为减函数，又a b <， 所以a b a a >，因为函数x y a =与x y b =在R 上同为减函数且当0x >时， 随着x 的增大，函数x y a =比函数x y b =减小的快，所以a a a b <， 即b a a a a b <<。 指数函数及其性质 【教学目标】 1．知识与技能通过实际问题了解指数函数的实际背景；理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质。体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观：让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。培养学 生观察问题，分析问题的能力。 3．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质。 【教学重难点】 重点：指数函数的概念和性质及其应用。 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。 【学法与教具】 1．学法：观察法、讲授法及讨论法。 2．教具：多媒体。 【教学过程】 【第一课时】 一、情境设置 ①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2) t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2 ，请问这两个函数有什么共同特征。 ②这两个函数有什么共同特征 15730 1][()]2 t P =t 57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数， 即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）。 二、讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R 。 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R 。 00 0,0x x a a x a ?>?=?≤?? x 当时,等于若当时,无意义 若a ＜0，如 1(2),,8 x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在。 若a =1，11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1 x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合 ( 1)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数。 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。 下面我们通过 先来研究a ＞1的情况 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象 研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2 x y =的图象。 2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如21,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数及其性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1 x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1, a a a a ?-+=?>≠?且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； 数学·必修1(人教A 版) 2.1.3 指数函数及其性质(一) ?基础达标 1．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，＋∞) 解析：由1－2x ≥0，得2x ≤1，由指数函数y ＝2x 的性质可知x ≤0. 答案：C 2．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……每天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是( ) A ．5天 B ．6天 C ．8天 D ．9天 答案：D 3．若0＜a ＜1，b ＜－2，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：A 4．函数＝y ? ????123x －1－18的定义域是________． 6．某厂去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种元件的产量比上一年增长p%，此种规格电子元件年产量y随年数x变化的函数关系是____________________．答案：y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m) ?巩固提高 7．已知a，b＞1，f(x)＝a x，g(x)＝b x，当f(x1)＝g(x2)＝2时，有x1＞x2，则a，b的大小关系是() A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．不能确定 解析：∵a＞1，b＞1， 由图示知b＞a. 答案：C . 9．若函数f(x)＝a x－1＋3恒过定点P，试求点P的坐标． 分析：研究f(x)＝a x的图象和f(x)＝a x－1＋3图象的关系，由指数函数恒过(0,1)点推导． 解析：将指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象沿x轴右移一个单位，再沿y轴向上平移3个单位，即可得到y＝a x－1＋3的图象，因为y＝a x的图象恒过(0,1)，故相应的y＝a x－1＋3恒过定点(1,4)． 2.1.2 指数函数及其性质 整体设计 教学分析 有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质. 教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫. 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值. 根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标 1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想. 2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. 3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美. 重点难点 教学重点：指数函数的概念和性质及其应用. 教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用. 课时安排 3课时 教学过程 第1课时指数函数及其性质(1) 导入新课 思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式,它是函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的,则至少要漂洗几次？教师引导学生分析,列出关系式y=()x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题. 思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2,16,27,49.再提问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1, ,2,9,,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题. 思路3.在本章的开头,问题（2）中时间t和碳14含量P的对应关系P=［()］t,如果我们用x 表示时间,y表示碳14的含量,则上述关系可表示为y=［()］x,这是我们习惯上的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题. 推进新课 新知探究 新课标人教版必修一§2.1.2 《指数函数及其性质》教材分析 一、 教学内容 指数函数的定义及其有关的概念。指数函数特殊形式 与 的特殊形式的指数函数到一般形式 的过渡。即a 的抽象化过 程，用易理解与生活贴近的例子来构建起指数函数模型；此部分的教学难点为，底数a 的不同取值，指数函数相应的变化。 函数的图像及其性质。底数a 的不同取值范围，相应的图像，通过的定点、定义域、值域、函数的增减性以及奇偶性。此部分是教学的重点，通过学生自己画图动手操作，去探究指数函数的性质，老师引导学生从不同底数性质的异同去归纳。 二、教学目标 知识与技能目标 1、 深刻理解指数函数的定义。 2、 掌握指数函数的图像和性质。通过生活实例、以及师生在教学活动中共 同操作，让学生画出指数函数的图像，归纳出指数函数性质。 3、 知识迁移，初步学会运用指数函数解决问题，并为后学习的对数函数、 幂函数做知识铺垫。 过程与方法目标 1、 由生活实例引出指数函数的定义，并对指数函数的定义和幂运算进行归 纳，让学生进行简单的指数函数运算练习。 2、 引导学生动手画图，进行实际的操作，让学生在画图过程中对指数函数 图像进行初步分析，鼓励学生进行大胆的猜想。 3、 通过观察图像，用表格法归纳出指数函数的性质，体会数形结合和分类 讨论的数学思想方法，增强识图用图的能力。 )1且0(≠>=a a a y x x y 2=x y ???? ??=21 情感态度与价值观目标 1、通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法，提高学生 的学习能力，养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯。 2、通过自主探究，培养学生的合作意识与动手能力，让学生体会到成 果的喜悦，并树立学数学，爱数学，用数学的精神。 3、激发学生探索新知的兴趣，为后面学习对数函数和幂函数做铺垫。 三、地位与作用 指数函数及其性质是在学生系统地学习了函数概念及性质，掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一，指数函数是高中所研究的第一种函数，也为今后研究其他函数提供了方法和模式，为后续的学习奠定基础。指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此要重点研究。 四、教学建议 1、创设情境，从特殊到一般，直观到抽象 指数函数的概念较为抽象，在阐述指数函数的定义时，要联系生活实际，从生活的例子入手，首先让学生建立起指数函数的初印象，然后逐渐深入，加深理解，过渡到抽象的a，最后导入指数函数的定义，但是也要注意不要对学生过于引导，留下足够的思考空间。 2、合作探究，印象深刻 为了让学生总结归纳出指数函数的性质，让学生进行合作性探究，动手实践画图，小组合作分析得出不同底数a的不同性质，各个小组再进行交流。使得学生对于指数函数的性质印象深刻。 3、启发式教学 新课标更加注重学生学习的主体型，所以老师多采用启发式教学，给学生留下很大的思考空间，锻炼学生的思考能力和创造能力。 4、总结反思，优化认知 在学习了函数以及性质之后，要学会反思总结，通过总结在教学过程中经验，优化教学模式，另一方面也通过学生总结，优化学生对于本节课的认知。 指数函数及其性质（一） 教学目标： 1、 知识目标：使学生理解指数函数的定义，初步掌握指数函数的图像和性质。 2、 能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察、发现过程使学生懂得理论与实践 的辩证关系，适时渗透分类讨论的数学思想，培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问 题的能力。 3、 情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、 锲而不舍的治学精神。 4、 教学重点、难点： 1、 重点：指数函数的图像和性质 2、 难点：底数 a 的变化对函数性质的影响，突破难点的关键是利用多媒体 动感显示，通过颜色的区别，加深其感性认识。 教学方法：比较法、讨论法 教学过程： 一、事例引入 上节课学习了指数幂的运算性质，本节课学习与指数有关的函数。问题：什么是函数？ 我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样， 有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程： 动画演示（某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，……。一个这样的球菌分裂x 次后,得到的球菌的个数y 与x 的函数关系式是什么？ ） 学生归纳出关系式： y = 2 x （x 是正整数） （提醒注意定义域） 这是球菌个数 y 关于分裂次数 x 的函数，该函数是什么样的形式（指数形式）， 底数 2 是常量， 而指数 x 却是变量， 回忆章前的结论：y=1.073 x (x *N ∈，且x 20≤) (学生和一次、二次、反比例函数作比较) 我们称这种函数为指数函数——点题。 二、指数函数的定义 （幻灯片展示）定义： 函数 y = a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数， x ∈R.。 问题 1：为何要 规定 a > 0 且 a ≠1？ （学生分组讨论） （幻灯片展示） (1)当 a ＜0 时，a x 有时会没有意义，如 a=﹣3 时，当x= 2 1就没有意义； （2）当 a=0时，a x 有时会没有意义，如x= - 2时， (3 )当 a = 1 时， 函数值 y 恒等于1，没有研究的必要。 性质 （第一课时） 教学设计 教学设计 一、教材分析 指数函数是高中学生接触的第一个基本初等函数，是在初中学习了一次函数、二次函数、正（反）比例函数以后对函数学习的推进和加深，是前面学习了函数的集合定义及函数性质以后对函数更深入的第一个实例，指数函数与后面将要学习的两种函数都是高考的热点。 二、学情分析 学生已有了对函数的概念及性质的认识，能够从理性的层面来理解指数函数，学生理解的难点是底数a对函数图像及性质的影响，应用的难点在于指数函数与其他函数的综合运用。 三、教学目标 1、知识与技能：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像、性质及简单应用。 2、过程与方法：借助于几何画板画出具体指数函数，通过自主探索， 培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般的抽象概括的方法。 3、情感态度与价值观：通过画指数函数的图像，体会指数函数图像的重要性，同时体现图形的对称美，激发学习兴趣，努力探究问题。 四、教学重、难点 重点：指数函数的概念、图像及其性质，底数a对函数的影响。 难点：指数函数的图像及性质，底数a对函数的影响。 五、教学学法 教法：启发诱导和合作探究相结合，引导学生主动观察与思考，合作交流、共同探索来完成本节课的教学。 学法：从学生原有的函数概念、性质等知识出发，组织、引导学生独立思考，通过合作交流、共同探索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法。 六、教学过程 （一）创设情境 有一位大学毕业生到一家私营企业工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪5000；其二：工作一年，第一个月工资20元，以后每个月的工资是上个月的2倍，如果你是老板，你会如何选择呢？ 设计意图：从一个跟指数函数知识相关的有趣例子进行导入，激发学生的兴趣。 对应学生用书P 109 基础达标 一、选择题 1．函数y ＝0.22x 的图象是( ) 答案：B 2．函数y ＝(1 7)x 的定义域和值域分别是( ) A ．R ，R B ．(0，＋∞)，(0，＋∞) C ．(0，＋∞)，R D ．R ，(0，＋∞) 答案：D 3．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．A B B ．A ?B C ．A B D ．A ＝B 解析：由A ＝{y |y >0}，B ＝{y |y ≥0}得A B . 答案：A 4．(2010·福建厦门高三(上)质量检查)函数y ＝? ???? x 2，x <0， 2x －1，x ≥0的图象大致是( ) 解析：由于f (0)＝20－1＝0，所以函数图象过原点，排除A ；当x <0时，y ＝x 2，则函数f (x )图象在y 轴左侧是开口向上的抛物线的一部分，排除C 和D. 答案：B 5．设函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，如果f (x 1＋x 2＋…＋x 2010)＝8，那么f (2x 1)·f (2x 2)·…·f (2x 2010)的值等于( ) A ．32 B ．64 C ．16 D ．8 解析：因为f (x 1＋x 2＋…＋x 2010)＝ax 1＋x 2＋…＋x 2010＝8， 所以f (2x 1)·f (2x 2)·…·f (2x 2010) ＝a 2x 1·a 2x 2·…·a 2x 2010＝a 2(x 1＋x 2＋…＋x 2010) ＝(ax 1＋x 2＋…＋x 2010)2＝82＝64. 答案：B 6．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝512－x B ．y ＝(13)1－ x C ．y ＝ (1 2 )x －1 D ．y ＝1－2x 解析：易知C 值域为[0，＋∞)，A 值域为{y |y >0且y ≠1}，D 值域为[0,1)，因此选B. 答案：B 二、填空题 7．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________. 解析：由已知函数图象过(2,4)，令y ＝a x ，得a 2＝4，∴a ＝2，∴f (2)·f (4)＝22×24＝64. 答案：64 8．函数f (x )＝3·a 2x － 1＋4(a >0，且a ≠1)恒过定点P ，则点P 的坐标是________． 解析：令2x －1＝0，解得x ＝12， 则f (12)＝3＋4＝7，∴P (1 2，7)． 答案：(1 2，7) 9．已知a ＝5－1 2 ，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 解析：∵a ＝ 5－1 2 ∈(0,1)， ∴f (x )＝a x 在定义域上为减函数， 由f (m )>f (n )可知m 教学过程 一、 复习预习 复习函数的基本性质（奇偶性、单调性以及周期性。） 二、知识讲解 （一）创设情景、提出问题(约3分钟) 师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？ 学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重。 师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？ 【学情预设：学生可能说很多或能算出具体数目】 师：大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？ 教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨。 师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨。这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！ 【设计意图：用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望。】 在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y 表示，每位同学的座号数用x 表示，y 与x 之间的关系分别是什么？ 学生很容易得出y=2x （∈x * N ）和x y 2=（∈x * N ） 【学情预设：学生可能会漏掉x 的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x 的范围。】 （二）师生互动、探究新知 1．指数函数的定义 师：其实，在本章开头的问题2中，也有一个与x y 2=类似的关系式x y 073.1=（20,≤∈*x N x ） ⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：（约3分钟） ①x y 2=（∈x * N ）和x y 073.1=（20,≤∈*x N x ）这两个解析式有什么共同特征？ ②它们能否构成函数？ ③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现x y 2=，x y 073.1=是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成x a y =的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。 ⑵让学生讨论并给出指数函数的定义。（约6分钟） 对于底数的分类，可将问题分解为： ①若0 a 会有什么问题？（如2-=a ，2 1 = x 则在实数范围内相应的函数值不存在） 指数函数及其性质题型及解析 1.下列函数中，是指数函数的是（） ①y=（-2）x②y=（）x③y=x2 ④y=x-1⑤y=5x+1⑥y=x4⑦y=3x⑧y=﹣2?3x ⑨y=πx⑩y=（-3）x 分析：根据指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的定义进行判断即可． 解：根据指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的定义，得； ①中y=（﹣2）x底数﹣2＜0，不是指数函数，②中y=是指数函数，③，④都是幂函数，不是指数函数； ⑤y=5x+1不是指数函数；⑥y=x4是幂函数，不是指数函数；⑦y=3x是指数函数；⑧y=﹣2?3x不是指数函数． ⑨满足指数函数的定义，故正确；⑩﹣3＜0，不是指数函数，故错误． 2.为了得到函数y=2x﹣3﹣1的图象，只需把函数y=2x上所有点（） A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度分析：函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”． 解：函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”．把函数y=2x 的图象向右平移3个单位长度得到函数y=2x﹣3的图象，再将所得图象再向下平移1个单位长度，得到函数y=2x﹣3﹣1的图象，故选A 3.若指数函数的图象经过点（2／3，4），求该函数的解析式及f（﹣1／2）的值 分析：设出指数函数的解析式，利用函数图象经过点的坐标求出函数解析式，再计算f（﹣1／2）的值 解：设指数函数y=f（x）=a x（a＞0且a≠1），且函数的图象经过点（2／3，4），∴=4，解得a=8； ∴该函数的解析式为y=f（x）=8x，∴f（﹣）=== 4.①若函数y=（3a﹣1）x为指数函数，求a的取值范围 分析：由函数y=（3a﹣1）x为指数函数，知，由此能求出a的取值范围；根据指数函数的定义可得 求解即可 ， 解：∵函数y=（3a﹣1）x为指数函数，∴，解得a＞，且a，∴a的取值范围为（，）∪（，+∞）． ②函数y=（2a2﹣3a+2）a x是指数函数，求a的取值 解：若函数y=（2a2﹣3a+2）a x是指数函数，则解得：a= 5.已知x＞0，指数函数y=（a2﹣8）x的值恒大于1，求实数a的取值范围 分析：利用指数函数的性质，可知其底数a2﹣8＞1，解之即得实数a的取值范围 解：因为x＞0，指数函数y=（a2﹣8）x的值大于1恒成立，∴a2﹣8＞1，即a2＞9，解得a＞3或a＜﹣3． ∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） 6.已知指数函数f（x）=（a﹣1）x.（1）若f（x）在R上是增函数，求a的取值范围（2）若f（x）是R上的减函数，求a的取值范围 分析：根据指数函数的图象和性质，即可得到答案．欲使得指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的增函数，只须其底数大于1即可，从而求得a的取值范围．欲使得指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的减函数，只须其底数小于1即可，从而求得a的取值范围 解：（1）指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，∴a﹣1＞1，即a＞2，故a的取值范围是（2，+∞）（2）指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是减函数，∴0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2，故a的取值范围是（1，2）7.在同一坐标系作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系 （1）y=2x+1与y=2x+2；（2）y=2x﹣1与y=2x﹣2；（3）y=2x﹣1与y=2x+1． 分析：（1）y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向左平移1单位得到；y=2x+2的图象由函数y=2x的图象向左平移2单位得到；（2）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向右平移1个单位得到；y=2x﹣2的图象由函数y=2x的图象向右平移 指数函数及其性质 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质： y=a x 0 2.1.2指数函数及其性质（2个课时） 一. 教学目标： 1．知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景； ②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力. 3．过程与方法 展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. 二．重、难点 重点：指数函数的概念和性质及其应用. 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、学法与教具： ①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体. 第一课时 一．教学设想： 1. 情境设置 ①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2) t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2 ，请问这两个函数有什么共同特征. ②这两个函数有什么共同特征 15730 1][()]2 t P =t 57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量 为指数，即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）. 二．讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2 y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R . 00 0,0x x a a x a ?>?=?≤??x 当时,等于若当时,无意义 若a ＜0，如1 (2),,8 x y x x =-= 1 先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的 形式才能称为指数函数，5 ,,3,31x x x a y x y y +===+1 x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符 合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数. 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过 先来研究a ＞1的情况 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象高中数学_指数函数的图象和性质教学设计学情分析教材分析课后反思
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