《概率论基础》本科
填空题（含答案）
1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞
∞-dx x p )(= 1 ；
Eξ=?∞
∞
-dx x xp )(。
考查第三章
2． 设为三个事件，则至少有一个发生可表示为：C B A ；发生而B 不发生可
表示 C B A ；恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章
3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则)0(0?等
于
π
21，)0(0Φ等于 0.5 。
考查第三章
4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ}=5
1 ，1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ=
2 。 考查第五章
5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若, 其中>0. 则U ，V 的相关系数等于
XY r 。
考查第五章
6． 设),(~2σμN X
，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 2
11k -
考查第五章
7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞
=1i i p =
1 ；Eξ=∑∞
=1
i i i p x 。
考查第一章
8． 设为三个事件，则都发生可表示为：ABC ；A 发生而不发生可表示为：C B A ；
恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 9．
)4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。
考查第三章
10． 设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012=++x x ξ有实根的概率为
4
5
。 考查第三章 较难
11． 若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r 21510 则U ，V 的相关系数=XY r 。 考查第三章
12． 若 θ服从[,]22
π
π
-的均匀分布， 2?θ=，则 ?的密度函数
()
g y ＝
1()2g y y πππ
=
-<<。
考查第五章
13． 设4.0)(=A P ，7.0)(=+B A P ，若A 与B 互不相容，则=)(B P 0.3 ；若
A 与
B 相互独立，则=)(B P 0.5 。
考查第一章
14． 将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这
个数是奇数的概率P （A ）= 35
24
13P P
C 。
考查第一章
15． 若)8.0,10(~B ξ，=ξE 8 ，=ξD 1.6 ，最可能值=0k 8 。 考查第二、五章 16． 设随机变量X 的概率密度为
()0
x
xe x f x x -?>=?
≤?，则(3)E X = 6 , 3()X E e =
116
考查第四、五章
17． 任取三线段分别长为且均小于等于a ，则可构成一三角形的概率12
考查第一章（较难）
18． 设随机变量X ，Y 的相关系数为1，若0.4,则Y 与Z 的相关系数为 1
考查第五章
19． 若~(3,0.16)N ξ，=ξE 3 ，=ξD 0.16 .
考查第五章
20. 若~(10,0.7)B ξ，(9)E ξ+= 16 ，(23)D ξ+= 8.4 .
考查第五章
21. 某公司有A 、B 、C 三个生产基地生产同一种产品，产量分别占20%，45%和35%．三个基地的产品各有30%，20%，25%在北京市场销售．则该公司任取此产品一件，它可能在销往北京市场的概率为 0.2475 ．
考查第二章
22. )(x f 为一维连续型随机变量X 的概率密度函数，则有=?∞
∞-dx x f )( 1 ；若离散型随机变量Y 具有分布列,)(k k p y Y
P ==则=∑k
k p 1 ．
考查第三章
23. 若Y X ,是相互独立的随机变量，均服从二项分布，参数为p n ,1及p n ,2，则
Y X +服从参数为 参数为p n n ,21+的二项分布 分布．
考查第四章
24. 设随机变量X 服从参数为0和2的正态分布)2,0(N ,则EX 0; DX 2．
考查第五章
25．设为任意三个事件，则其中至少有两个事件发生应表示为
ABC BC A C B A C AB +++。
考查第一章
27．若二维随机向量（ηξ,）的联合密度函数 P()=
]})())((2)([)1(21
exp{12122
2221212121222
1σσσσσπσa y a y a x r a x r r -+------- 则ξ 1a , ξ 21σ, η2a , η22σ (ηξ,)=12r σσ.
考查第五章
28．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一个人20分钟，过时就可离开，则两人能会面的概率为 5/9 。
考查第一三章
选择题(含答案)
1.一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1，今任取一罐并从中依次取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的( D ) （A ）2倍 （B ）254倍 （C ）798倍 （D ）1024倍
2.在[0,1]线段上随机投掷两点，两点间距离大于0.5的概率为( A ) （A ）0.25 （B ）0.5 （C ）0.75 （D ）1
3.设独立随机变量X ，Y 分别服从标准正态分布，则X + Y 服从( C ) （A ）N(2,0) （B ）自由度为2的2χ分布 （C ）N(0,2) （D ）不能确定
4.设P （）n ,...)2,1(=n 且1，则a 为( B ) （A ）1 （B ）
2
53- （C ）31 （D ）
2
1
5- 5．下列论述不正确的是 ( B )
（A ）若事件A 与B 独立则A 与B 独立 （B ）事件A B 不相容则A 与B 独立 （C ）n 个事件两两独立不一定相互独立 （D ）随机变量ξ和η独立则二者不相关
6．甲乙两人各投掷n 枚硬币，理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为( C ) （A ）0 （B ）k
n n
k C ∑
=0 （C ）n n n C 22)21( （D ）n 2)2
1(
7.设独立随机变量X ，Y 分别服从标准正态分布，则X + Y 服从( C ) （A ）二项分布 （B ）2χ分布 （C ）N(0,2) （D ）不能确定 8.对于任意事件A 与B ，有=-)(B A P （ C ）。 （A ）)()(B P A P - （B ）)()()(AB P B P A P +- （C ）)()(AB P A P - （D ）)()(B A P A P -
9.在[0, a ]线段上随机投掷两点，两点间距离大于2
a 的概率为( D ) （A ）1 （B ）0.75 （C ）0.5 （D ）0.25 10.设P （）n ,...)2,1(=n ，其中a 为2
53-，则 ( B )
（A ） 5 （B ） 1 （C ）0.5 （D ） 3
11．下列论述不正确的是 ( C )
（A ）n 个事件两两独立不一定相互独立 （B ）若事件A 与B 独立则A 与B 独立
（C ）事件A B 不相容则A 与B 独立 （D ）随机变量ξ和η独立则二者不相关
12．掷n 枚硬币，出现正面的概率为p ，至少出现一次正面的概率为( A ) （A ）1(1)n p -- （B ）11(1)n n C p p -- （C ） 1 （D ）1p -
13.设A ，B 为两个互斥事件，且P （A ）>0，P(B)>0，则下列结论正确的是（ C ）。 （A ） P()>0, （B ） P()(A) （C ） P()=0 （D ） P()(A)P(B) 考查 第二章
14.事件A ，B 相互独立，)()(,9
1
)(B A P B A P B A P ==
，P （A ）=（ D ）
。 （A ）13 （B ）12 （C ）0 （D ）3
2
15.随机变量X 服从（ D ）分布时，EX DX =。 （A ）正态 （B ）指数 （C ）二项 （D ）泊松（） 16.设)5,(~),4,(~22μμN Y N X
，记)5(),4(21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则（ A ）。
（A ）对任何实数μ，都有21p p = （B ）对任何实数μ，都有21p p < （C ）只对μ的个别值，才有21p p =
（D ）对任何实数μ，都有21p p >
17．若有十道选择题，每题有A 、B 、C 、D 四个答案，只有一个正确答案，求随机作答恰好答对六道的概率为（ B ）
（A ）3
5 （B ）6
6410
13()()44
C （C ）6
1()4
（D ）66!e λλ-
18．某课程考试成绩),72(~2σN X , 已知96分以上占2.3%，则60~84分所占比例为
（A ）
（已知()20.977Φ=）
（A ）2(1)1Φ- （B ）1(2)-Φ （C ）2(2)1Φ- （D ）0.5
19. 设独立随机变量X ，Y 分别服从标准正态分布，则-服从( C ) （A ）泊松分布 （B ）2χ分布 （C ）N(0,2) （D ）不能确定 20.对于任意事件A B ?，有=-)(B A P （ A ）。 （A ）)()(B P A P - （B ）0 （C ）1 （D ）()P B
21. 设随机变量ξ的密度函数为
????
?
<
≤-
=其它0
22
cos )(π
π
x x
a x p
则常数a 为（ B ）
（A ）13
（B ）12
（C ）0 （D ）1 22．下列陈述不正确的是（D ）
（A ）两两独立不一定相互独立 （B ）若事件A 与B 独立则A 与B 独立 （C ）事件A B 独立则(|)()P A B P A = （D ）随机变量二者不相关则ξ和η独立 23. 下列数列可以构成分布列的是（C ） （A ）1(
)1,2, (3)
n n = （B ）21,2,...n
n = （C ）1
()1,2, (2)
n
n =0 （D ）11,2,...n
n =
24．下列陈述不正确的是（B ）
（A ）ξ和η不相关则()()()D D D ξηξη+=+ （B ）随机变量二者不相关则ξ和η独立 （C ）ξ和η不相关则cov(,)0ξη= （D ）随机变量二者不相关则()E E E ξηξη= 25．事件C B A ,,中，A 发生且B 与C 不发生的事件为：( C )
（A ）C B A ； （B ）C AB BC A C B A ；（C ） C B A ； （D ）.C B A
26．设B A ,为相互独立的两事件，则下列式子中不正确的是：（ A ） (A) )()()(B P A P B A P = ； （B ）)()()(B P A P B A P =； （C ）)()|(B P A B P =； （D ）).()()(B P A P AB P =
27．工厂每天从产品中随机地抽查50件产品，已知这种产品的次品率为0.1%，，则在这一年内平均每天抽查到的次品数为：（ A ） （A ）0.05; （B ）5.01 ;（C ）5; （D ）0.5
. 28．,23),1,0(~-=X Y U X
则Y 服从分布：
（ C ） （A ）);3,2(U （B ）);1,1(-U （C ）);1,2(-U （D ）).0,1(-U
29．设随机变量Y X ,的联合概率密度为).,0(,2),()2(+∞<<=+-y x e y x f y x 则：（ B ） （A ） Y X ,不相关； （B ） Y X ,相互独立； （C ） Y X ,相关； （D ） Y X ,不相互独立．
30．事件A ，B 互不相容，是指（ B ）
(A) P ()= P (A) P (B) (B) A Φ (C) ?Ω (D)
B Φ
计算题（含答案）
一． 设随机变量ξ只取非负整数值，其概率为P{1
)1(}++==k k
a a k ξ，a>0
是常数，
试求E ξ及D ξ 解：记
a
a +1<1
ξE ∑∞
=++1
1)1(k k k a a k
∑∞
=--++1
11
2)1()1(k k k a a k a a
∑∞
=-+1
1
2)1(k k kt
a a ∑∞
=+1
'
2
)()1(k k t a a
'2)1()1(t t a a -+2
2)11()1(t
a a -+a 2
ξE ∑∞
=++1
12
)1(k k k
a a k
∑∞=++-1
1)1()1(k k k
a a k k ∑∞
=++1
1)1(k k k a a k a t
a a k k ++∑∞
=1
'
'32
)()1(
a t
a a +-+33
2)11()1(2 a a +2
2 22)(ξξξE E D -==a a +2
二．炮战中，在距离目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1, 0.7, 0.2, 而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05, 0.1, 0.2。 任射一发炮弹，求目标被击中的概率。
若已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。
解：1） 设321,,A A A 分别表示炮弹从250米，200米，150米处射击的事件,
B 表示目标被击中。则由全概率公式
)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=
=115.02.02.01.07.005.01.0=?+?+? 2) 由公式
)
|()()|()()|()()
|()()|(332211111A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P ++=
＝
115.005.01.0?＝043.023
1
≈ 三．某单位招聘2 500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10 000人报名，假设报名者的成绩X 服从分布N ),(2σμ 已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问被录用者中最低分为多少？ X 的分布函数为2
22)(21)(σμσ
π--=
x e
x f
{
1151
.010000
1151)60(9641
.01000359
1)90(
1000
359
)90(
1}90{
}90{)1,0(~),
,(~2==-Φ=-
=-Φ?=
-Φ-=-≥-=≥-σμσμ
σ
μ
σ
μ
σμ
σμ
σμX P X P N X N X 标准正态分布表可得到μ=72和2σ=100的值，然后令录取的最低分为0x ，则
10000
2500
)(
}{
}{000=
-Φ=-≥
-=≥σ
μ
σ
μ
σ
μ
x x X P x X P
从而得到
,790=x 即录取的最低分为
79分。
四．从1到2000这2000个数字中任取一数，求 1）该数能被6整除的概率； 2）该数能被8整除的概率； 3）该数能被6和8整除的概率； 4）该数能被6或8整除的概率。 解：利用古典概型的公式
()m A P A n A =
==
所含样本点数样本点总数
有利于的场合数样本点总数
1）
3332000；2）250120008=；3）83
2000
； 4）()()()33318320008200014
P P P =+-=能被8整除＋能被6整除－既能被6整除又能被8整除
五．空战中，从1A ，2A ，3A 处射击的概率分别为0.2, 0.7, 0.1, 而在各处射击时命中敌机的概率分别为0.2, 0.1, 0.05。
任射一发炮弹，求敌机被击中的概率。
若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由3A 处射出的概率。 解：1） 设B 表示目标被击中。则由全概率公式
)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=
=115.005.01.01.07.02.02.0=?+?+? 2) 由公式
)
|()()|()()|()()
|()()|(332211333A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P ++=
＝
115.005.01.0?＝043.023
1
≈ 六．一地区农民年均收入服从500=μ元，20=σ元的正态分布，求： 该地区农民年均收入在500元~520元间的人数的百分比；
如果要使农民的年均收入在),(a a +-μμ内的概率不小于0.95，则a 至少为多大？ 3个农民中至少有一个年均收入在500元~520元间的概率。
()220,500~N ξ
解：（1）
()()()0000520500500500500520100.84130.50.3413
2020P ξ--????
<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-= ? ?????
（2）
()95.0≥+<<-a a P μξμ，
0.9520
20a P ξμ?-?<≥ ???，295.01200≥-???
??Φμ
可得，
96.120
≥a
，2.39≥a （3）考虑反面没有一个年收入在范围中的情形，其概率为：003311()(1)C p p -，
300
3)3413.01()3413.0(1--C
七．设随机变量10
1111424i
X -??
? ???
（1,2）,且满足12{0}1P X X ==，则求概率12{}P X X =。
解：由12{0}1P X X ==，得12{0}0P X X ≠=，即
12{1,1}P X X =-=12{1,1}P X X ===-12{1,1}P X X ===12{1,1}0P X X ==-=-=
再根据联合分布与边际分布的关系可以求得1X 和2X 的联合分布。
所以12{}P X X =＝0.
八、有一袋麦种，其中一等的占80%，二等的占18%，三等的占2%，已知一、二、三等麦种的发芽率分别为0.8，0.2，0.1，现从袋中任取一粒麦种： 试求它发芽的概率；
若已知取出的麦种未发芽，问它是一等麦种的概率是多少？
解：设事件=1A “取出来的种子是一等种子” =2A “取出来的种子是二等种子”
=3A “取出来的种子是三等种子”
=B “取出的种子发芽” =B “取出的种子未发芽”
由题： %2)(%18)(%80)(321===A P A P A P 1.0)|(2.0)|(8
.0)|(321===A B P A B P A B P
9.0)|(8.0)|(2.0)|(321===A B P A B P A B P
（1）全概率公式 )|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= =67.8%
（2）贝叶斯公式
)
|()()|()()|()()
|()()|(332211111A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P ++=
=0.497
九、 设随机变量ξ的分布列为
ξ 2
π- 0 2π
π P 0.2 0.3 0.3 0.2
求12+=ξη的分布列。 解：
12+=ξη 1)2
(2+-π
102+
1)2
(2+π
12+π p 0.2 0.3 0.3 0.2
整理得η的分布列
十、某师院的毕业生，其中优等生，中等生，下等生各占20%，65%，15%. 毕业后十年，这三类学生能成为优秀教师的概率各为80%，70%，55%. 求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。 解：记{成为优秀
教师}
η
1 4
12
π+
21π+
P 0.3
0.5 0.2
112233()()(|)()(|)()(|)802070655515697510010010010010010010000
P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=
?+?+?=
十一、将一颗均匀的骰子连掷两次，以ξ表示两次所得点数之和。求1）ξ的分布列；2）Eξ。
解：1）
2）12
2{}k E kP k ξξ===∑
1
2123...12363636=?
+?++? ＝252736
=
十二、设二维离散型随机向量（ξ，η）的联合分布列为：
1） 求常数C;
2） 求ξ，η的边缘分布列；
3） 求ξ＝2的条件下，η的条件分布列； 4） 判断ξ与η是否相互独立。 解：1）1; 2)
j
p
ξ和η的边沿分布列为：
3)
整理得：
4）因为{2,0}00.40.3{2}{0}P P P ξηξη===≠?=== 所以ξ与η不相互独立
十三、一个篮球运动员的投篮命中率为0.6，以X 表示他首次命中时累计的投篮次数。写出X 的分布律． 解：分布律为 ,2,1)6.0()4.0(}{1===-k k X P k
十四、已知连续型随机变量ξ
有密度函数?
??≤≤+=其他02
01)(x kx x p
求系数k 及分布函数，并计算P{1.5<ξ<2.5}． 解：由密度函数的性质
??∞
∞-+=+=+==
2
2
2202)2()1()(1k x x k dx kx dx x p 21
-=∴k ?∞
-=x
dt t p x F )()(
当0≤x 时，0)(=t p , 0)(=x F
当20≤ x x x t t dt t x F 0224 10 )4 1()21 1()( 当2>x 时，1)(=x F ?????>≤<-≤=∴2 1 2041 00)(2 x x x x x x F 0625.0])5.1(4 1 5.1[1)5.1()5.2(}5.25.1{2=--=-=< 十五、设随机变量Y X ,的联合分布为 求x , 及Y X ,的边际分布（直接填写在表中），给出X 在2=Y 的条件下的条件分布． 解：x =0.2 X 在2=Y 的条件下的条件分布为 十六、设二元连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?≤<<=. , 0,||,10, 1),(其它x y x y x f 求Y X ,的数学期望、方差和相关系数． 解：当0 当-1 +==?-11)(1 当y dx y P y y -==<≤?11)(,101η 而0)(,1=≥y P y η 3 23 2 21 31 = =?=? x xdx x E ξ，0)1()1(0110=++-=??-dy y y dy y y E η， 18 1 )32(2 1)3 2(2)(22102 22= -=-?=-=?xdx x E E D ξξξ =-=22)(ηηηE E D 6 1 0)1(),(10=?=-=??-dx dy xy E E E Cov x x ηξξηηξ 0),(=?=∴η ξηξD D Cov r 综合应用题（含答案） 1.设二维连续型随机向量（ηξ,）的联合密度函数为 ?? ???≤≤≤≤+=其它02 0,103 ),(2y x Axy x y x p 其中A 为常数，求： 1） 常数;A 2） ηξ,的边沿密度函数);(),(21y p x p 3） ηξ,的条件密度函数);(),(x y p y x p 4） 判断ξ与η是否相互独立； 解：1）由密度函数的性质： ??????????? ??????? ?+=??? ? ?+=??? ?? +==∞ ∞-∞ ∞-10202 21020210202 633),(1dy Axy y x dy Axy x dx dxdy Axy x dxdy y x p dx x A x ???? ??+=102322 332332 10 3A x A x +=?? ? ??+= 所以 13213=?? ? ??-=A 2）由边沿密度的计算公式，及0),(≠y x p 的直观图形： ?∞ ∞-=dy y x p x p ),()(1 当0 x x xy y x dy xy x x p 3 2 263)(220 2 02221+=???? ??+=??? ??+=? 所以 0),(≠y x p ?? ???≤≤+=其它01 03 2 2)(21x x x x p ?∞ ∞-=dx y x p y p ),()(2 当0 当20≤≤y 时 6 3163 13)(10231 022y y x x dx xy x y p +=??? ? ??+=??? ??+=? 所以： ?????≤≤+ =其它 2 06 31)(1y y x p 3）由条件密度的计算公式： 当20≤≤y 时0)(2≠y p ，此时条件密度存在，且 ?? ???≤≤++=??? ????≤≤++==其它其它01022601 061 313 )(),()(222x y xy x x y xy x y p y x p y x p 当10≤ ?????≤≤++=?? ? ??≤≤++=??? ????≤≤++==其它其它其它0 2026302 026302 03 2 23 )(),()(22221y x y x y x x xy x y x x xy x y p y x p x y p 4）显然：)()(),(21y p x p y x p ≠ 所以ξ与η不独立。 2.设 () 服从单位圆上的均匀分布，概率密度为： 华中师范大学职业与继续教育学院 《概率论基础》练习题库及答案 填空题 1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= ； Eξ= 。 考查第三章 2． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为： ；A,C 发生而B 不发生可表示 ；A,B,C 恰有一个发生可表示为： 。 考查第一章 3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则 )0(0?等于 π 21，)0(0Φ等于 。 考查第三章 4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= ，Dξ= 。 考查第五章 5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 。 考查第五章 6． 设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 考查第五章 7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ ； ∑∞ =1 i i p = ； Eξ= 。 考查第一章 8． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为： ；A 发生而B,C 不发生可表示为： ；A,B,C 恰有一个发生可表示为： 。 9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 。 考查第三章 10． 设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012 =++x x ξ有实根的概率为 。 考查第三章 较难 11． 若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数= 。 考查第三章 12． 若 θ服从[,]22 ππ - 的均匀分布， 2?θ=，则 ?的密度函数 ()g y ＝ 。 考查第五章 13． 设4.0)(=A P ，7.0)(=+B A P ，若A 与B 互不相容，则=)(B P ；若A 与B 相互独立，则=)(B P 。 考查第一章 14． 将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率P （A ）= 。 考查第一章 15． 若)8.0,10(~B ξ，=ξE ，=ξD ，最可能值=0k 。 考查第二、五章 16． 设随机变量X 的概率密度为0()0 x xe x f x x -?>=? ≤?，则(3)E X = , 3()X E e = 考查第四、五章 17． 任取三线段分别长为x,y,z 且均小于等于a ，则x,y,z 可构成一三角形的概率 考查第一章（较难） 18． 设随机变量X ，Y 的相关系数为1，若Z=X-0.4,则Y 与Z 的相关系数为 概率论与数理统计发展简史 姓名：苗壮学号：1110810513 班级：1108105 指导教师：曹莉 摘要：在这里，我们将简略地回顾一下概率论与数理统计的发展史，包括发展过程中所经历的一些大事，以及对这门学科的创立和发展有特别重大影响的那些学者的贡献． 关键词：概率论、数理统计、发展史 正文： 1.概率论的发展 17世纪，正当研究必然性事件的数理关系获得较大发展的时候，一个研究偶然事件数量关系的数学分支开始出现，这就是概率论． 早在16世纪，赌博中的偶然现象就开始引起人们的注意．数学家卡丹诺(Cardano)首先觉察到，赌博输赢虽然是偶然的，但较大的赌博次数会呈现一定的规律性, 卡丹诺为此还写了一本《论赌博》的小册子，书中计算了掷两颗骰子或三颗骰子时，在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数．据说，曾与卡丹诺在三次方程发明权上发生争论的塔尔塔里亚，也曾做过类似的实验． 促使概率论产生的强大动力来自社会实践．首先是保险事业．文艺复兴后，随着航海事业的发展，意大利开始出现海上保险业务．16世纪末，在欧洲不少国家已把保险业务扩大到其它工商业上，保险的对象都是偶然性事件．为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论．于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了． 不过，作为数学科学之一的概率论，其基础并不是在上述实际问题的材料上形成的．因为这些问题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干扰，它使难以呈“自然的随机状态”．因此必须从简单的材料来研究随机现象的规律性，这种材料就是所谓的“随机博弈”．在近代概率论创立之前，人们正是通过对这种随机博弈现象的分析,注意到了它的一些特性, 比如“多次实验中的频率稳定性”等，然后经加工提炼而形成了概率论. 荷兰数学家、物理学家惠更斯（Huygens）于1657年发表了关于概率论的早期著作《论赌博中的计算》．在此期间，法国的费尔马（Fermat）与帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探讨了随机博弈现象中所出现的概率论的基本定理和法则．惠更斯等人的工作建立了概率和数学期望等主要概念，找出了它们的基本性质和演算方法，从而塑造了概率论的雏形．18世纪是概率论的正式形成和发展时期．1713年，贝努利（Bernoulli）的名著《推想的艺术》发表．在这部著作中，贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一――“大数定律”，并且给出了证明，这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括． 继贝努利之后，法国数学家棣谟佛（Abraham de Moiver）于1781年发表了《机遇原理》．书中提出了概率乘法法则，以及“正态分”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”的建立奠定了基础． 1706年法国数学家蒲丰（Comte de Buffon）的《偶然性的算术试验》完成，他把概率和几何结合起来，开始了几何概率的研究，他提出的“蒲丰问题”就是采取概率的方法来求圆周率π的尝试． 第一章 随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则 （ ） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一 定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（ ） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ） A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件 第一章 1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6 1_______. 2. 设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4 1_____. 3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=___0.5_____. 4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. 5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________. 6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______． 7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________． 8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同 颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____. 9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____. 10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率. 35 18 《概率论基础》本科 填空题（含答案） 1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= 1 ；Eξ=?∞ ∞ -dx x xp )(。 考查第三章 2． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则)0(0?等于π 21，)0(0Φ等 于 0.5 。 考查第三章 4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。 考查第五章 5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。 考查第五章 6． 设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章 7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞ =1 i i p = 1 ；Eξ= ∑∞ =1 i i i p x 。 考查第一章 8． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。 考查第三章 概率论基础知识 第一章随机事件及其概率 一随机事件 §1几个概念 1、随机实验:1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件常记为A，B，C……例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、必然事件与不可能事件：记为Ω。每次试验都不 记为Φ。 例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是 不可能事件,以后 4、基本事件： 例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，常记为e. 例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。 例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。 例如， 在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在E3中，Ω={0，1，2，……} 1 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。 \ 一、你还记得什么是频数、什么叫频率、什么叫概率吗试举例说明. ` 二、将一枚硬币抛起，使其自然下落，每抛两次作为一次实验，当硬币落定后，一面朝上，我们叫做“正”，另一面朝上，我们叫做“反”.（1）一次实验中， 硬币两次落地后可 能出现几种情况 （2）做20次实验， 结果正正正反反反； 频数 频率 、 （3）根据上表，制作相应的频数分布直方图. | （4）经观察，哪种情况发生的频率较大.（5）实验结果为“正反”的频率是多大.（6）5个同学结成一组，分别汇总其中两人，三人，四人，五人的实验数据，得到40次，60次，80次，100次的实验结果，将相应数据填次数40次】80次100次 60次 “正反” 的频数 … “正反” 的频率 ' （8）计算“正反” 出现的概率. 、 （9）经过以上多 次重复实验，所得结果为“正反”的频率与你计算的“正反”的概率是否相近. 小知识： 在篮球比赛和足球比赛中，人们往往用抛硬币的方法决定由谁先来开球.那么抛硬币后，正面向上和反面向上的几率有多大呢相等吗下面我们来想办法解决这个问题. 首先想到的是实验方法.投掷硬币500次总抛出次数 （次） 正面向上次 数（次） ~ 正面向上频率 （…%）500225 比.即硬币正面向上的频率. 其次我们又想到硬币的正、反面都没有什么特殊性，所以在落下时正面向上和反面向上的可能性相等.所以正面向上与反面向上都有 2 1 的可能性，也就是说正面向上的概率是 ___________. 生活中常见一些概率问题的应用，例如彩 20选5第2003178期 § 6.1.1频率与概率 ! 中奖号码 05、12、15、16、17 一等奖6注18678元 二等奖1214注50元 ) 三等奖 19202注5元 本期销 售额 548538元 出球顺序05、15、12、16、17 > 一、掷一枚硬币，落地后，国徽朝上、朝下的 概率各是多少 二、质地均匀的骰子被抛起后自由落在桌面上， 点数为“1”或“3”的概率是多少 : 三、掷两枚硬币，规定落地后，国徽朝上为正， 国徽朝下为“反”，则会出现以下三种情况. “正正” “反反” # “正反” 分别求出每种情况的概率. （1）小刚做法：通过列表可知，每种情况都出 现一次，因此各种情况发生的概率均占 3 1 . 可能出现 的情况 正正正反反反 概率 & 3 1 3 1 3 1 小敏的做法： 第一枚硬币的可能 情况 第二枚硬币的可能 情况 正— 反 正正正反正 反正反反反 发生概率为 4 1 .“正反”的情况发生的概率为 2 1 ，“反反”的情况发生的概率为 4 1 . § 6.1.2 频率与概率 概率论基础知识部分复习 1、设A 和B 为任意两个概率不为0的不相容事件，则下列结论肯定正确的是（ D ） A 、 A 与 B 不相容； B 、 A 与B 不相容； C 、()()();P AB P A P B = D 、 ()().P A B P A -= 2、设当事件A 、B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ） A 、()()()1;P C P A P B ≤+- B 、()()()1;P C P A P B ≥+- C 、()();P C P AB = D 、()().P C P A B = 3、()0.4,()0.3,()0.6,P A P B P A B ===则()P AB = 0.3 . 4、若()0.5,()0.4,()0.3,P A P B P A B ==-=则()P A B = 0.7 , ()P A B = 0.8 . 5、假设事件A 、B 满足()1,P B A =则（ D ） A 、A 是必然事件； B 、()0P B A =； C 、;A B ? D 、.A B ? 6、已知0()1P B <<且1212()()(),P A A B P A B P A B =+则下列选项成立的是（ B ） A 、1212()()();P A A B P A B P A B =+ B 、1212()()();P A B A B P A B P A B =+ C 1212()()();P A A P A B P A B =+ D 、1122()()()()().P B P A P B A P A P B A =+ 7、设A 和B 为随机事件，且0()1,()0,()(),P A P B P B A P B A <<>=则必有（ C ） A 、()();P A B P A B = B 、()();P A B P A B ≠ C 、()()();P AB P A P B = D 、()()().P AB P A P B ≠ 8、()0.4,()0.7,P A P A B ==那么（1）若A 和B 互不相容，则()P B = 0.3 ； （2）若A 和B 相互独立，则()P B = 0.5 . 9、设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1,9 A 发生 B 不发生的概率 从身边实例探究概率的起源与发展 ——感悟数学之美，体验智慧飞扬 摘要：从生活中常见的“有奖抽签”入手，引出对概率问题的探索。将概率的发展历程分为四个阶段，分别介绍各个阶段的主要成就及代表人物。最后结合探究概率起源与发展的经历，简要概括个人对数学之美的感悟。 关键词：抽签；概率；起源；发展 生活中我们经常看到这样的情景：街头有人席地设摊，招牌上醒目地写着：“有奖抽签销售”，任何人都可以免费从摊主小布口袋中的20个小球（其中有10个红球，10个蓝球）中摸出10个，除摸得5红5蓝这种情况外，其他各种情况均可马上获得奖金（或实物）。奖金设置如下：摸得10红或10蓝者奖50元；摸得9红1蓝或9蓝1红者奖25元；摸得8红2蓝或8蓝2红者奖5元；摸得7红3蓝或7蓝3红者奖1.5元；摸得6红4蓝或6蓝4红奖0.5元。但摸得5红5蓝者必须用6元钱向摊主购买两双袜子。① 很多路人都会被这“优厚的待遇”所冲昏头脑，心想这种抽签不是明摆着给顾客送钱吗？于是一时窃喜，连忙参加这一看上去稳赚不赔的抽签活动。可是冷静下来想一想，这种免费抽签究竟谁获利呢？摊主究竟是真傻呢还是大智若愚呢？要研究这个问题，就会利用到概率知识。那么什么是概率呢？概率是怎样发展起来的呢？根据笔者所搜集的资料，本文主要从这两方面来探究概率的起源与发展。 概率论是一门从数量侧面研究随机现象规律的数学分支。其理论严谨，应用广泛，发展迅速。从历史发展的角度，概率的发展史大致可分为四个阶段，即方法积累阶段、理论概括阶段、系统整理阶段和公理体系阶段。以下我将分别介绍这四个阶段概率论的发展概况，代表人物，主要成就以及四个阶段之间的理论继承与创新关系。 第一阶段：概率论的萌芽——方法积累阶段 说到概率论的起源，就不得不提到历史上著名的“赌徒的难题”。公元1651年，赌徒德·梅尔向数学家帕斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。问题是这样的：一次德·梅尔和赌友掷骰子，各押赌注32个金币，德·梅尔若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，德·梅尔已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。这时，德·梅尔奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？ 赌友说，德·梅尔要再掷一次“6点”才算赢，而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。这样，自己所得应该是德·梅尔的一半，即得64个金币的三分之一，而德·梅尔得三分之二。德·梅尔争辩说，即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是秋色平分，各自收回32个金币，何况那一次自己还有一半的可能得16个金币呢？所以他主张自己应得全部赌金的四分之三，赌友只能得四分之一②。 德·梅尔的问题居然把帕斯卡给难住了。他为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一点儿道理。于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当时号称数坛“怪杰”的费尔马，两人对此展开热烈的讨论。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被荷兰科学家惠更斯获悉，他独立地进行了研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌金问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中 ①引自《谁获利？》，论文网，2000年 ②引自《概率发展简史》 （三）统计与概率 第一课时简单的数据统计过程 教学内容： 冀教版小学数学六年级下册第84?88页。 教学目标： 知识和技能： 1、了解数据调查的一般方法，能选择合适的统计量来描述数据，能选择合适的统计图来表示数据，能根据统计结果作出简单的判断和预测。 2、经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程。 情感、态度和价值观：积极参加统计实践活动，利用统计结果分析问题，建立初步的统计观念，体验统计数据及统计图在研究问题中的价值，培养学习数学的自信心。 重点难点： 重点：对统计表、条形统计图、折线统计图、扇形统计图、平均数进行复习。 难点：对各种统计表、统计图中的信息进行整理、分析。 教具学具： 课件、统计表。 教学设计： 一、揭示课题，导入新课 师：同学们，统计在生活中有着广泛应用，今天我们就来复习统计的相关知识。 师出示统计表。 生仔细阅读调査表。 师：谁能说一说表中的数据可以通过哪些方式收集吗？ 生1：可以到村镇去实地调査交通工具。 生2：可以到养殖场调查各种禽类的解化期。 生3：可以査阅资料。 师：同学们知道得真多，你们还知道哪些收集数据的方式和途径？ 学生小组讨论，集体交流，根据学生汇报，师小结。 小结：常用的方法有实地调查、实验、测量、上网、查阅资料等。 二、数据的收集与整理 师：同学们，上一周我们布置了一项任务，请大家调查各自家庭一周内丢弃的塑料袋个数，现在谁来说一说你是怎样调查的？ 全班进行交流，汇报自己调查的方式、过程。教师作为参与者介绍自己的调査情况。 师：下面每个同学汇报一下自己的调查结果，我们共同完成调查结果的统计。 学生汇报调査结果。 师：好啦，每个人调查的结果都纪录下来了，下面请大家把我们的调查结果按丢弃塑料袋的个数进行整理和归纳。 教师出示统计表，师生根据数据进行填写。 师：现在请同学们观察整理的数据，你想到了哪些问题？ 学生可能会提出： （1）全班同学的家庭一周内一共丢弃多少个塑料袋？ （2）平均每个家庭一周内丟弃多少个塑料袋？ 师：刚才同学们提出了很多问题，老师这里也有几个问题，下面请同学们用计算器来进行解决。 师：全班同学的家庭一周内一共丢弃多少个塑料袋？ 学生活动，教师参与其中。 学生汇报结果。 师：同学们，看老师手里拿着一个塑料袋，如果把塑料袋展开，你能估算出一个塑料袋的面积有多大吗？谁来说一说怎样估算？ 学生可能会说： （1）可以把塑料袋展开后的形状看作是近似的长方形，然后测量长和宽分别大约是多少，再求面积。 （2）也可以直接把塑料袋看作一个近似的长方形，先估算一个面的面积，再乘2。 师：这些方法都不错，我们先按第（2）种方法估算一下。学生测量，并计算。然后再把塑料袋剪后，测量计算。 师：我们估算出了一个塑料袋的大致面积，下面请同学们算一算，全班同学的家庭一周内丢弃的塑料袋大约有多大面积？ 学生算完后交流。 师：还记得我们教室的长和宽吗？ 学生如果不记得，估测或告诉学生。 师：现在算一算，全班同学的家庭一周内丢弃塑料袋的面积相当于多少间教室的面积？ 学生算完后，订正得数。 师：照这样计算，我们全班同学的家庭一年内丢弃塑料袋的面积相当于多少 第一章 概率论的基本概念练习题 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 《 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立举例说明。 7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立举例说明。 8. 设 31)(=A P ，21 )(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ?， （3） 81 )(=AB P . 9. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0 )(=AB P 求事件C B A ,,全 不发生的概率。 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。 11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求： （1） （1）取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） … （3） （2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： {}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： 第一章 1?设p (A )=1, P (A U B )=丄，且A 与B 互不相容，则 P ( B ) 3 2 1 1 1 2. 设P (A )=丄，P ( A U B )=丄，且A 与B 相互独立，则 P ( B ) = _________________ - . 3 2 4 3. 设事件 A 与 B 互不相容，P (A ) =0.2 , P ( B ) =0.3，贝U P ( A^B ) =___0.5 ____________ . 4 .已知 P (A ) =1/2 , P ( B ) =1/3，且 A , B 相互独立，则 P (A B ) = ____________ 1/3 _________ A 与 B 相互独立 两个事件A^B 相互独立的充要条件：巩冋=P3F ⑻" 由于相互独立，所以：代吗= PSP (时 鬥価) = P(A)-P(AB) = A-4)[1-W] =P(A)P(B) HQ) = P(S-A) = /W_鬥血) = P(S)-P(^P(S) P (A B ) =0.4，贝U P ( B|A ) =___0.2 6. _______________________________________________________________________ 设 A , B 为 随机事件，且 P(A)=0.8 , P(B)=0.4 , P(B|A)=0.25，贝U P(A|B)= ___________________ 0.5 ________ . 7. 一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中 任意取出 2只球，则这两只恰为一红一黑的概 率是 ________ 0.6 __________ . 所以：；?与B 相互独立. 5.设 P (A ) =0.5, 概率论与数理统计发展 史 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N] 概率论与数理统计发展简史 姓名：苗壮班级：1108105指导教师：曹莉 摘要：在这里，我们将简略地回顾一下概率论与数理统计的发展史，包括发展过程中所经历的一些大事，以及对这门学科的创立和发展有特别重大影响的那些学者的贡献． 关键词：概率论、数理统计、发展史 正文： 1.概率论的发展 17世纪，正当研究必然性事件的数理关系获得较大发展的时候，一个研究偶然事件数量关系的数学分支开始出现，这就是概率论． 早在16世纪，赌博中的偶然现象就开始引起人们的注意．数学家卡丹诺(Cardano)首先觉察到，赌博输赢虽然是偶然的，但较大的赌博次数会呈现一定的规律性,卡丹诺为此还写了一本《论赌博》的小册子，书中计算了掷两颗骰子或三颗骰子时，在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数．据说，曾与卡丹诺在三次方程发明权上发生争论的塔尔塔里亚，也曾做过类似的实验．促使概率论产生的强大动力来自社会实践．首先是保险事业．文艺复兴后，随着航海事业的发展，意大利开始出现海上保险业务．16世纪末，在欧洲不少国家已把保险业务扩大到其它工商业上，保险的对象都是偶然性事件．为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论．于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了． 不过，作为数学科学之一的概率论，其基础并不是在上述实际问题的材料上形成的．因为这些问题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干扰，它使难以呈“自然的随机状态”．因此必须从简单的材料来研究随机现象的规律性，这种材料就是所谓的“随机博弈”．在近代概率论创立之前，人们正是通过对这种随机博弈现象的分析,注意到了它的一些特性,比如“多次实验中的频率稳定性”等，然后经加工提炼而形成了概率论. 荷兰数学家、物理学家惠更斯（Huygens）于1657年发表了关于概率论的早期着作《论赌博中的计算》．在此期间，法国的费尔马（Fermat）与帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探讨了随机博弈现象中所出现的概率论的基本定理和法则．惠更斯等人的工作建立了概率和数学期望等主要概念，找出了它们的基本性质和演算方法，从而塑造了概率论的雏形． 18世纪是概率论的正式形成和发展时期．1713年，贝努利（Bernoulli）的名着《推想的艺术》发表．在这部着作中，贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一――“大数定律”，并且给出了证明，这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括． 继贝努利之后，法国数学家棣谟佛（AbrahamdeMoiver）于1781年发表了《机遇原理》．书中提出了概率乘法法则，以及“正态分”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”的建立奠定了基础． 初中中考数学概率统计大题专题复习 （word版本可编辑） 1.“校园手机”现象越来越受到社会的关注．小丽在“统计实习”活动中随机调查了学校若干名学生家长对“中学生带手机到学校”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）求这次调查的家长总数及家长表示“无所谓”的人数，并补全图①； （2）求图②中表示家长“无所谓”的圆心角的度数； （3）若该学校有2000名家长，请根据该统计结果估算表示“基本赞成”的家长有多少人【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）根据不赞成的有200人，占50%，可求出总人数，求出无所谓所占的百分比就可求出总人数×无所谓所占的百分比，然后补全图就可以． （2）360°×无所谓所占的百分比就是圆心角的度数． （3）2000乘以基本赞成所占的百分比就是所求． 【解答】解：（1）家长总数：200÷50%=400人 家长表示“无所谓”的人数：400﹣200﹣16﹣400×26%=80人． （2）表示家长“无所谓”的圆心角的度数：； （3）恰好是“基本赞成”态度的家长的概率是：， 人数大约有：2000×4%=80人． 2.某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表． 根据以上信息完成下列问题： （1）统计表中的m= ，n= ，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是； （3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数． 3.图1是某中学九年级一班全体学生对三种水果喜欢人数的频数分布统计图，根据图中信息回答下列问题： （1）九年级一班总人数是多少人 （2）喜欢哪种水果人数的频数最低并求出该频率； （3）请根据频数分布统计图（图1）的数据，补全扇形统计图（图2）； （4）某水果摊位上正好只摆放有这三种水果出售，王阿姨去购买时，随机购买其中两种水果，恰好买到樱桃和枇杷的概率是多少用树状图或列表说明． - 《概率论与数理统计》由于其理论及应用的重要性，目前在我国高等数学教育中，已与高等数学和线性代数渐成鼎足之势。 学生们在学习《概率论与数理统计》时通常的反映之一是“课文看得懂，习题做不出”。概率论习题的难做是有名的。要做出题目，至少要弄清概念，有些还要掌握一定的技巧。这句话说起来简单，但是真正的做起来就需要花费大量的力气。不少学生在学习时，只注重公式、概念的记忆和套用，自己不对公式等进行推导。这就造成一个现象：虽然在平时的做题过程中，自我感觉还可以；尤其是做题时，看一眼题目看一眼答案，感觉自己已经掌握的不错了，但一上了考场，就考砸。这就是平时的学习过程中只知其一，不知其二，不注重对公式的理解和推导造成的。比方说，在我们教材的第一章，有这样一个公式：A-B=bar（AB）=A-AB，这个公式让很多人迷糊，因为这个公式本身是错误的，在教材后面的例题1-15中证明利用了这个公式，很多人就用教材上这个错误的公式套用，结果看不懂。其实这个公式正确的应该是A-B=AbarB=A-AB.这是一个应用非常多的公式，而且考试的时候一般都会考的公式。在开始接触这个公式的时候就应该自己进行推导，发现这个错误，而不是看到这个公式之后，记住，然后运用到题目中去。大家在看书的时候注意对公式的推导，这样才能深层次的理解公式，真正的灵活运用。做到知其一，也知其二。 现在概率统计的考试试题难度，学员呼声不一，有的人感觉非常难，而且最让他们难以应对的是基础知识，主要涉及排列组合、导数、积分、极限这四部分。现在就这部分内容给大家分析一下。说这部分是基础，本身就说明这些知识不是概率统计研究的内容，他们只是在研究概率统计的时候不可缺少的一些工具。即然这样，在考试中就不会对这部分内容作过多的考察，也会尽量避免大家在这些方面丢分。分析到这里，就要指出一些人在学习这门课的“战术失误”。有些人花大量的力气学习微积分，甚至学习概率统计之前，将微积分重新学一遍，这是不可取的。对这部分内容，将教材上涉及到的知识选出来进行复习，理解就可以。万不能让基础知识成为概率统计的拦路虎。学习中要知道哪是重点，哪是难点。 如何掌握做题技巧？俗话说“孰能生巧”，对于数学这门课，用另一个成语更贴切——“见多识广”。对于我们自考生而言，学习时间短，想利用“孰能生巧”不太现实，但是“见多识广”确实在短时间内可以做到。这就是说，在平时不能一味的多做题，关键是多做一些类型题，不要看量，更重要的是看多接触题目类型。同一个知识点，可以从多个角度进行考察。有些学员由于选择辅导书的问题，同类型的题目做了很多，但是题目类型却没有接触多少。在考试的时候感觉一落千丈。那么应该如何掌握题目类型呢？我想历年的真题是我们最好的选择。 平时该如何练习？提出这个问题可能很多人会感到不可思议。有一句话说得好“习惯形成性格”。这句话应用到我们的学习上也成立。这么多年以来，有些人有很好的学习习惯，尽管他的学习基础也不好，学习时间也有限，但是他们能按照自己知道的学习规律坚持学习，能够按照老师说得去思考、前进。我们大多数人都有惰性，一个题目一眼看完不会，就赶紧找答案。看了答案之后，也就那么回事，感觉明白了，就放下了。就这样“掰了很多玉米，最后却只剩下一个玉米”。我们很清楚，最好的方法是摘一个，留一个。哪怕一路你只摘了2个，也比匆匆忙忙摘了一路，却不知道保留的人得到的多。平时做题要先多思考，多总结，做一个会一个，而且对于做过的题目要经常地回顾，这样才能掌握住知识。就我的辅导经验而言，绝大多数人还是在这个问题上出现了问题。 概率论与数理统计发展简史 在这里，我们将简略地回顾一下概率论与数理统计的发展史，包括发展过程中所经历的一些大事，以及对这门学科的创立和发展有特别重大影响的那些学者的贡献． 17世纪，正当研究必然性事件的数理关系获得较大发展的时候，一个研究偶然事件数量关系的数学分支开始出现，这就是概率论． 早在16世纪，赌博中的偶然现象就开始引起人们的注意．数学家卡丹诺(Cardano)首先觉察到，赌博输赢虽然是偶然的，但较大的赌博次数会呈现一定的规律性, 卡丹诺为此还写了一本《论赌博》的小册子，书中计算了掷两颗骰子或三颗骰子时，在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数．据说，曾与卡丹诺在三次方程发明权上发生争论的塔尔塔里亚，也曾做过类似的实验．促使概率论产生的强大动力来自社会实践．首先是保险事业．文艺复兴后，随着航海事业的发展，意大利开始出现海上保险业务．16世纪末，在欧洲不少国家已把保险业务扩大到其它工商业上，保险的对象都是偶然性事件．为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论．于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了． 不过，作为数学科学之一的概率论，其基础并不是在上述实际问题的材料上形成的．因为这些问题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干扰，它使难以呈“自然的随机状态”．因此必须从简单的材料来研究随机现象的规律性，这种材料就是所谓的“随机博弈”．在近代概率论创立之前，人们正是通过对这种随机博弈现象的分析,注意到了它的一些特性, 比如“多次实验中的频率稳定性”等，然后经加工提炼而形成了概率论. 荷兰数学家、物理学家惠更斯（Huygens）于1657年发表了关于概率论的早期著作《论赌博中的计算》．在此期间，法国的费尔马（Fermat）与帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探讨了随机博弈现象中所出现的概率论的基本定理和法则．惠更斯等人的工作建立了概率和数学期望等主要概念，找出了它们的基本性质和演算方法，从而塑造了概率论的雏形． 18世纪是概率论的正式形成和发展时期．1713年，贝努利（Bernoulli）的 概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案 概率论与数理统计 概率论的基础知识习题 ?、选择题 1、下列关系正确的是（） A、o B、{0} C、{0} D、{0} 答案：C 2、设P 2 2 (x,y)x y 1 ,Q (x,y) x1 2 3 y2 4，则（ ） A、P Q B、P Q C、P Q与P Q都不对 D、4P Q 答案：C 16个学生和一个老师并排照相，让老师在正 中间共有________ 排法。 答案：6! 720 25个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有种。答案：72 3编号为1, 2, 3, 4，5的5个小球任意地放到编号为A、B、C、D、E、F的六个小盒子中， 每一个盒至多可放一球，则不同的放法有种。答案：(6x5x4x3x2) = 720 4、设由十个数字0, 1, 2, 3, 9的任意七个数字都可以组成电话号码，则所有可能组成的电话号码的总数是 答案：⑹个 5、九名战士排成一队，正班长必须排在前头，副班长必须排在后头，共有______________ 种不同的排法。 答案： /> =7! = 5040 6、平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定____ 个三角形。 答案：120 7、5个篮球队员，分工打右前锋，左前锋，中锋，左后卫右后卫5个位置共有____________ 种分工方法？ 答案: 5! = 120 8、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个 不同单位，每单位 1 人。则分配方法有_______ 种。 答案：(6 5 4 3) 360 9、平面上有12 个点，其中任意三点都不在一 条直线上，这些点可以确定_____________ 条不同的直线。 答案：66 10、编号为1，2，3，4，5 的 5 个小球，任意地放到编号为A， B ，C ， D ，E， F ，的六个小箱子中，每个箱子中可放0 至 5 个球，则不同的 放法有___________ 种。 答案：65 三、问答 1、集合A有三个元素即A {a,b,c},集合A的非空子 集共有多少个，并将它们逐个写出来。 答案：7个 {a},{ b},{ c},{ a,b},{ a,c},{ b,c},{ a,b,c} 2、设 A ， B ， C ， D 为任意集合，化简下式华中师大《概率论基础》练习题库及答案
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