圆的方程题型总结
一、基础知识
1．圆的方程
圆的标准方程为___________________ ；圆心 _________，半径 ________.
圆的一般方程为 ________________________ ；圆心 ________，半径__________.
二元二次方程 Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件为：
(1)_______ _______ ；(2) _______ __ .
2. 直线和圆的位置关系：
直线 Ax By C 0 ，圆 ( x a) 2( y b)2r 2，圆心到直线的距离为 d.
则：（ 1） d=_________________；
（2）当 ______________ 时，直线与圆相离；
当______________时，直线与圆相切；
当______________时，直线与圆相交；
（3）弦长公式： ____________________.
3.两圆的位置关系
圆 C1:(x - a1)2+(y - b1)2= r12；圆 C 2:(x - a2)2+(y - b2)2= r22
则有：两圆相离__________________ ；外切__________________ ；
相交__________________________ ；切_________________ ；
含_______________________.
二、题型总结：
（一）圆的方程
☆ 1. x2y23x y 1 0 的圆心坐标，半径.
☆☆ 2．点 ( 2a, a 1 ) 在圆 x 2 +y 2
－ 2y － 4=0 的部，则 a 的取值围是（
）
A ．－ 1< a <1
B ． 0< a <1
C ．– 1< a < 1
D ．－
1
< a <1
x 2
y 2
0( D 2 E 2
5 5
☆☆ 3 ．若方程 Dx Ey F
4F 0) 所表示的曲线关于直线
y x 对称，必有（
）
A ． E
F B ． D F C ． D E
D ． D , E, F 两两不相等
☆☆☆ 4．圆 x 2
y 2 ax 2ay 2a 2
3a
0 的圆心在（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
☆ 5. 若直线 3x - 4y + 12 = 0 与两坐标轴交点为 A,B, 则以线段 AB 为直径的圆的方程是
（
）
A. x 2 + y 2
+ 4x - 3y = 0 B. x 2 + y 2 - 4x - 3y = 0
C. x 2 + y 2 + 4x - 3y - 4 = 0
D. x 2 + y 2 - 4x - 3y + 8 = 0
☆☆ 6. 过圆 x 2 y 2 4 外一点 P 4,2 作圆的两条切线 , 切点为 A, B , 则 ABP 的外接圆
方程是（
）
A.
( x )2 +(
y 2 )2 =4 B.
x 2 +( y 2)2 =4
4
C. ( x 4 )2 +( y )2 =5
D.
( x
2)2 +( y 1)2 =5
2
( ) ( )
☆ 7. 过点 A 1,- 1
, B - 1,1
且圆心在直线 x + y - 2 = 0上的圆的方程（
）
(
2
(
2
(
2 (
2
B.
A.
x - 3 +
y + 1 = 4
x + 3 +
y - 1 = 4
C. (x - 1)2 + ( y- 1)2 = 1
D.
(x + 1)2 + ( y + 1)2 = 1
☆☆ 8．圆 x 2
y 2 2x 6y
9
0 关于直线 2x y
5 0对称的圆的方程是
（
）
A ． (x 7) 2
( y 1)2
1
B ． (x 7) 2 ( y 2) 2 1
C ． ( x 6)2
( y 2)2
1
D ． (x 6) 2
( y 2) 2
1
☆ 9．已知△ ABC 的三个项点坐标分别是 A （ 4，1），B （ 6，－ 3）， C （－ 3， 0），求△ ABC 外接圆的方程．
☆ 10．求经过点A(2 ，－ 1) ，和直线x y 1 相切，且圆心在直线y2x 上的圆的方程．
2.求轨迹方程
☆ 11. 圆x2 y2 4 y 12 0 上的动点 Q ，定点A 8,0 ，线段 AQ 的中点轨迹方程
________________ .
☆☆☆ 12．方程 x y 1 x2 y 2 4 0 所表示的图形是（）
A．一条直线及一个圆B．两个点
C．一条射线及一个圆D．两条射线及一个圆
☆☆13．已知动点M到点A（2， 0）的距离是它到点B（8， 0）的距离的一半，求：（ 1）动点M的轨迹方程；（ 2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
3. 直线与圆的位置关系
☆ 14. 圆 (
2
+ y
2
= 1 的圆心到直线 y =
3 x 的距离是（
x - 1
）
)
3
A.
1
3 C. 1
D.
3
B.
2
2
( )
x 2 + y
2 - 2x + 4y = 0 截 得 弦 长 最 长 的 直 线方 程 为 ☆ ☆ 15. 过 点
2,1
的 直 线 中 , 被
（
）
A. 3x - y - 5 = 0
B.
3x + y - 7 = 0
C. x + 3y - 3 = 0
D.
x - 3y + 1 = 0
☆☆ 16. 已知直线 l 过点（ 2，0），当直线 l 与圆 x 2 y 2
2x 有两个交点时，其斜率 k 的
取值围是（
）
A. （ 2 2，2 2）
B.
（
2， 2） C.
（
2 ， 2 ） D.
（ 1 1
4 4 8 ，）
8
☆ 17. 圆 x
2
y 2
4x 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为 ( )
A ． x 3 y 2 0
B
． x 3y 4 0
C ． x
3 y
4 0
D ． x
3y 2 0
☆☆ 18．过点 P （ 2，1）作圆 C ： 2 + 2－
ax +2 ay +2 +1=0 的切线有两条， 则
a 取值围是（
）
x
y
a
A ． a ＞－ 3
B ． a ＜－ 3
C ．－ 3＜ a ＜－
2
D ．－ 3＜ a ＜－ 2
或 a ＞2
5
2)2
2
5
☆☆ 19．直线
x 2y 3 0 与圆 (
x ( y 3) 9 交于 、 F 两点，则
EOF （ O
E
为原点）的面积为（
）
A ．
3
B ．
3
C ．
6 5
D ．
3 5
2
4
5
5
☆☆ 20．过点（ 0，4），被圆 ( x 1) 2 y2 4
M
截得弦长为 2 3 的直线方程为__ ．☆☆☆ 21．已知圆C: x 12 y 2 2 25及直线l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 .
m R
（ 1）证明 : 不论m取什么实数 , 直线 l 与圆C恒相交；
（ 2）求直线 l 与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．
☆☆☆22．已知圆x2+y2+x－ 6y+m=0 和直线x+2y－ 3=0 交于P、Q两点，且以PQ为直径的
圆恰过坐标原点，数 m的值．
4. 圆与圆的位置关系
☆ 23. 圆 x 2
y 2 2x 0 与圆 x 2
y 2 4y 0 的位置关系为
☆ 24．已知两圆
C 1 : x 2 y 2
10, C 2 : x 2 y 2 2 2 y 14 0
. 求经过两圆交点的公共弦所在
x 的直线方程 _______
____
．
☆ 25．两圆 x 2 + 2
4 x +6 =0 和
2
+ 2 6 x =0 的连心线方程为（
）
y － y x y －
A ． x +y +3=0
B ． 2x － y －5=0
C ． 3x －y －9=0
D ． 4x － 3y +7=0
☆ 26．两圆 C 1 : x 2 y 2
2x 2 y 2 0 ， C 2 : x
2
y 2 4x 2 y 1 0 的公切线有且
仅有（
）
A ． 1 条
B ． 2 条
C ． 3 条
D ． 4 条
☆☆☆ 27．已知圆 C 1 的方程为 f ( x, y)
0 ，且 P(x 0 , y 0 ) 在圆 C 1 外，圆 C 2 的方程为
f (x, y) = f (x 0 , y 0 ) ，则 C 1 与圆 C 2 一定（
）
A ．相离
B ．相切
C ．同心圆
D ．相交
☆☆ 28．求圆心在直线 x y
0 上，且过两圆 x 2 y 2 2x
10 y 24 0，
x 2 y 2 2x 2 y 8
0 交点的圆的方程．
5.综合问题
☆☆ 29. 点A在圆x2y22y 上,点B在直线 y x 1 上,则AB的最小（）
A 2 1
B 1 2
C 2
2 2
D
2
☆☆ 30. 若点 P 在直线2x 3y 10 0 上,直线 PA, PB 分别切圆 x2 y2 4 于 A, B 两点, 则四边形 PAOB 面积的最小值为（）
A 24
B 16
C 8
D 4
☆☆ 31. 直线 y x b 与曲线x 1 y 2 有且只有一个交点，则 b 的取值围是（）A．b 2 B． 1 b 1且b 2
C． 1 b 1 D ．以上答案都不对
☆☆ 32. 如果实数 x, y 满足x2 y2 4x 1 0 求:
（ 1）y
的最大值；x
（ 2）y x 的最小值；（3） x2 y2 的最值 .
☆☆ 33．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船
正西 70 km处，受影响的围是半径长 30 km的圆形区域．已知港口位于台风正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
圆的方程题型总结
参考答案
1. (-
3 , 1 ) ；
14
； 2.D ； 3.C ； 4.D ； 5.A ； 6.D ； 7.C ； 8.A ；
2 2
2
9．解：解法一：设所求圆的方程是(x a)2
( y b)2 r 2 ． ①
因为 A （ 4， 1）， B （ 6，－ 3）， C （－ 3， 0）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程 ① ，于是
(4 a)2 (1 b) 2 r 2 ,
a 1, (6 a)2
( 3 b)2
r 2 , 可解得 b
3, ( 3 a) 2 (0 b)2
r 2.
r 2 25.
所以△ ABC 的外接圆的方程是 ( x
1)2
( y 3)2 25 ．
解法二： 因为△ ABC 外接圆的圆心既在 AB 的垂直平分线上， 也
在 所以先求 AB 、
BC 的垂直平分线方程， 求得的交点坐标就是圆心
坐标．
∵ k AB
3 1 ，
k BC
0 ( 3)1 ， 6 2
4
3 6
3
线段 AB 的中点为（ 5，－ 1），线段 BC 的中点为
( 3 , 3
) ，
2 2
∴ AB 的垂直平分线方程
为
y 1
1 ( x 5) ， ①
2
BC 的垂直平分线方程 y
3 3(x 3
) ． ②
2 2
BC 的垂直平分线上，
y
A
C O
x
E
B
x 1, 解由 ①② 联立的方程组可得
y
∴△ ABC 外接圆的圆心为Ｅ（ 1，－ 3），
3.
半径 r | AE | (4 1)2
(1 3)2 5 ．
10．解：因为圆心在直线 y 2x 上，所以可设圆心坐标为 ( a ,-2 a ) ，据题意得：
(a
2) 2
( 2a 1)
2
| a 2a 1 | ， ∴ ( a
2) 2
(1 2a )
2
1
(1 a) 2 ，
2
2
∴ a =1 ，
∴ 圆 心 为 (1 ， － 2) ， 半 径 为 2 ， ∴ 所 求 的 圆 的 方 程 为
(x 1) 2 ( y 2) 2 2 .
11. ( ) 2 +(
y )2 =4； 12.D ；
x 4
1 13．解：（ 1）设动点 M （ x ，y ）为轨迹上任意一点，则点 M 的轨迹就是集合
P
{ M || MA |
1
| MB |} ．
2
由两点距离公式，点 M 适合的条件可表示为
(x 2) 2 y
2
1 ( x 8) 2
y 2 ，
2
平方后再整理，得
x 2 y 2 16 ． 可以验证，这就是动点 M 的轨迹方程．
（ 2）设动点 N 的坐标为（ x ， y ）， M 的坐标是（ x 1，
y 1）．由于 A （ 2， 0），且Ｎ为线段 AM 的中点，所
以
x
2x
1
，
y
0 y 1 ．所以有 x 1 2x 2 ， y 1 2 y
①
2
2
由（ 1）题知， M 是圆 x 2
y 2 16 上的点，
所以 M 坐标（ x 1， y 1）满足： x 1 2 y 1 2 16 ②
将 ① 代入 ② 整理，得 (x 1)2 y 2
4 ．
所以 N 的轨迹是以（ 1， 0）为圆心，以 2 为半径的圆（如图中的虚圆为所求） ． 14.A ； 15.A ； 16.B ； 17.D ； 18.D ； 19.C ； 20. x =0 或 15x ＋ 8y － 32=0； 21．解 :(1) 直线方程 l : 2m
1 x m 1 y 7m 4 , 可以改写为 m
2 x y 7 x
y 4 0 , 所
以直线必经过直线
2x y 7
0和x y 4 0 的交点 . 由方程组 2x y 7
0, 解得
x y
4 0
x 3,
A (3,1) 又因为点 A 3,1 与圆心 C 1,2 的距离 d 5 5 , 所以
y 即两直线的交点为
1
该点在 C , 故不论 m 取什么实数 , 直线 l 与圆 C 恒相交 .
(2) 连接 AC , 过 A 作 AC 的垂线 , 此时的直线与圆
C 相交于 B 、
D . BD 为直线被圆所截得
的最短弦长 . 此时 ,
AC 5 , BC 5, 所以 BD
2 25 5 4 5
. 即最短弦长为 4 5 .
又直线 AC 的斜率k AC 1 , 所以直线BD 的斜率为 2. 此时直线方程
2
为: y 1 2 x 3 ,即2x y 5 0.
22．解：由x 2 y 2 x 6 y m 0 5y2 20y 12 m 0 y1 y2 12 4 m x 2y 3 0 y1 y2 5
又 OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0,而 x1x2=9－6( y1+y2)+4 y1y2= 4m 27
5
∴ 4m 27 12 m 0 解得=3.
m
5 5
23.相交； 24. x y 2 0 ； 25.C ； 26.B ； 27.C ；
28．解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）
将两圆的方程联立得方程组
x2 y2 2x 10 y 24 0
x2 y2 2x 2 y 8 0
，
解这个方程组求得两圆的交点坐标A（－4，0）， B（0，2）．
因所求圆心在直线x y 0 上，故设所求圆心坐标为( x, x) ，则它到上面的两上交点
（－ 4， 0）和（ 0， 2）的距离相等，故有( 4 x)2 (0 x) 2 x 2 (2 x )2 ，
即 4x 12 ，∴ x 3 ，y x 3 ，从而圆心坐标是（－3， 3）．
又r ( 4 3)2 32 10 ，故所求圆的方程为 ( x 3)2 ( y 3)2 10 ．
解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标
（－ 4， 0），（0， 2），弦 AB的中垂线
为
2x y 3 0
，A B
它与直线 x y 0 交点（－3，3）就是圆心，又半径r 10 ，
故所求圆的方程为( x 3)2 ( y 3)2 10 ．
解法三：（用待定系数法求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标为A（－4，0）， B（0，2）．
设所求圆的方程为( x a)2 ( y b)2 r 2，因两点在此圆上，且圆心在 x y 0上，
( 4 a)2
b 2 r 2
a 3 所以得方程组a
2
(3 b)2
r 2 ，解之得
b 3 ，
a
b
r
10
故所求圆的方程为 ( x
3)2 ( y 3)2
10 ．
解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）
设所求圆的方程为
x 2
y 2 2x 10y 24 ( x 2 y 2
2x 2 y 8) 0 ( 1) ，
即 x 2
y 2
2(1 ) x 2(5
) y
8(3 )
0 ．
1
1
1
可知圆心坐标为
1 5 ) ．
(
,
1
1
因圆心在直线
x y 0
上，所以 1
5 0，解得
2 ．
1
1
将
2 代入所设方程并化简，求圆的方程x 2 y 2 6x 6 y 8 0．
29.A ； 30.C ； 31.B
；
32. （ 1） 3 ；（ 2） 6 2 ；（ 3） x
2
y 2
4 3 ； x 2
y 2
7 4 3 .
min
max
33．解：我们以台风中心为原点 O ，东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系．这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为
x 2 y 2
302 ① 轮船航线所在直线 l 的方程为 x
y
，即 4x 7 y 280 0 ②
70
1
40
如果圆 O 与直线 l 有公共点， 则轮船受影响， 需要改变航向；如果
O 与直线 l 无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向．
由于圆心 O （ 0， 0）到直线 l 的距离
| 4 0 7 0
280 | 280
，
d
2
30 2
7 67
4
所以直线 l 与圆 O 无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(2 2 ． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例5 已知圆42 2 =+y x O ：，求过点()42， P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42， P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422 =++-k k 解得4 3 = k
高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交 点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线与圆的交点的圆系方程为： ，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得 又满足方程①，则故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则 代回圆系方程得所求圆方程
例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。 分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－ 2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 解：∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范 围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设 所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： ∵m ∈R ，∴ 得
圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形.
注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交??
圆的方程知识点总结和经典例题 1．圆的定义及方程 注意点 (1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程． (2)对于方程x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2 ＋E 2 －4F ＞0这一条件． 2．点与圆的位置关系 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2 的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＞r 2 . (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＝r 2 . (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＜r 2 . 3．直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系的判断方法 设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2 ＋B 2 ≠0)， 圆：(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2(r >0)， d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的 判别式为Δ.
相离 d >r Δ<0 2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． （2）过一点的圆的切线方程的求法 1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程． 2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在． （3）求弦长常用的三种方法 1．利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系r 2 ＝d 2 ＋? ?? ? ?l 22 解题． 2．利用交点坐标 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式 设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2 [ x 1＋x 2 2 －4x 1x 2]. 4. 圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法 设圆O 1：(x －a 1)2 ＋(y －b 1)2 ＝r 2 1(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2 ＋(y －b 2)2 ＝r 2 2(r 2>0)． 方法位置关系 几何法：圆心距d 与r 1，r 2 的关系 代数法：两圆方程联立组成方 程组的解的情况
直线与圆的方程 、直线的方程 已知 L 上两点 P 1（ x 1,y 1） P 2（ x 2,y 2 ） 当 x 1 = x 2 时， =900 ， 不存在。当 0 时， =arctank ， <0 时， = ②任何一个关于 x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系：（1）共点直线系方程： p 0（x 0,y 0）为定值， k 为参数 y-y 0=k （x-x 0） 特别： y=kx+b ，表示过（ 0、 b ）的直线系（不含 y 轴） （ 2）平行直线系：① y=kx+b ，k 为定值， b 为参数。 ② AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+ 入 =0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系 （ 3）过 L 1,L 2交点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入（ A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含 L2） 6、三点共线的判定：① AB BC AC ，②K AB =K BC ， ③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。 、两直线的位置关系 k= y 2 y 1 x 2 x 1 20 2 已知 方程 说明 斜截式 K 、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平 于 y 轴的直点斜式 P 1=(x 1,y 1) k y-y 1=k(x-x 1) 不含 y 轴和平 行 于 y 轴的直线 两点式 P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) y y 1 x x 1 不含坐标辆和 平行于坐标轴 的直线 y 2 y 1 x 2 x 1 截距式 a 、b xy 1 ab 不含坐标轴、平 行于坐标轴和 过原点的直线 一般式 Ax+by+c=0 A 、 B 不同时为 0 3、截距（略）曲线过原点 横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式 几种特殊位置的直 线 ①x 轴： y=0 ② y 轴： x=0 ③平行于 x 轴： y=b ④平行于 y 轴： x=a ⑤过原点： y=kx y 的二元一 次方程。 1、倾斜角： 0< < k 0 2 = 不存在 2 +arctank 2、斜
第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：
(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0. 直线和圆的方程知识 点总结 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ⑴两条直线平行： 1l 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 4. 直线的交角： 5. 过两直线? ??=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++= . 注： 1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212 PP PP PP λλ=u u u r u u u r 所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λλλλ++=++=1,121 21y y y x x x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k 4. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：. 12()x x ≠ 圆的方程题型总结 一、基础知识 1．圆的方程 圆的标准方程为___________________；圆心_________，半径________. 圆的一般方程为___________ _________ ____；圆心________ ，半径__________. 二元二次方程2 2 0Ax Cy Dx Ey F 表示圆的条件为： (1)_______ _______； (2) _______ __ . 2.直线和圆的位置关系： 直线0Ax By C ++=，圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为d. 则：（1）d=_________________； （2）当______________时，直线与圆相离； 当______________时，直线与圆相切； 当______________时，直线与圆相交； （3）弦长公式：____________________. 3. 两圆的位置关系 圆1C :2 2 21 1 1x a y b r ； 圆2C :2 2 22 2 2x a y b r 则有：两圆相离? _____________________； 两圆外切 ?______________________； 两圆相交?______________________； 两圆内切?_____________________； 两圆内含?_____________________. 二、题型总结： （一）圆的方程 1. ★2 2 310x y x y ++--=的圆心坐标 ，半径 . 2．★★点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（ ） A ．－1所表示的曲线关于直线y x =对称，必有（ ） A ．E F = B ．D F = C ． D E = D ．,,D E F 两两不相等 4．★★★圆03222 2 2 =++-++a a ay ax y x 的圆心在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5. ★若直线34120x y 与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是 （ ） A. 2 2430x y x y B. 22430x y x y C. 2 2 434 0x y x y D. 2 2 438 0x y x y 6. ★★过圆2 2 4x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ?的外接圆方程是（ ） A. 42x y --2 2 ()+()=4 B. 2x y -2 2 +()=4 C. 42x y ++2 2 ()+()=5 D. 21x y -+2 2 ()+()=5 7. ★过点1,1A ,1,1B 且圆心在直线20x y 上的圆的方程（ ） A. 2 2 3 14x y B.2 2 3 1 4x y C. 22 1 1 1x y D. 2 2 1 1 1x y 8．★★圆2 2 2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 （ ） A ．2 2 (7)(1)1x y +++= B ．2 2 (7)(2)1x y +++= C ． 2 2 (6)(2)1x y +++= D ．2 2 (6)(2)1x y ++-= 第一讲圆的方程 一、知识清单 （一）圆的定义及方程 1 （1）将圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为： (x＋D 2) 2＋(y＋ E 2) 2＝ D2＋E2－4F 4 ①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－D 2，－ E 2)为圆心， 1 2D 2＋E2－4F为半径的圆； ②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－D 2，y＝－ E 2，即只表示一个点(－ D 2，－ E 2)；③当D 2＋ E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ，没有xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．（二）点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： （1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. （2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. （3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2 第一讲 圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0， 取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. （2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，1 2D 2＋E 2－4F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2 ，－ E 2 )；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． （二）点与圆的位置关系 （1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－ r 2＝0，取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. （2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2＋E 2－4F >0 时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的 圆； ②当 D 2＋ E 2－4 F ＝0 时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2 ，－ E 2 )；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ，没有xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (三)直线与圆的位置关系 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4切 5含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是： （1）B ＝0； （2）A ＝C ≠0； （3）D 2＋E 2－4AF ＞0. 2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上． （3）两圆切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝ 122x x + ，y ＝12 2 y y + . 考点一：有关圆的标准方程的求法 ()()()2 2 20x a y b m m +++=≠的圆心是 ，半径是 . 【例2】 点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4，则实数a 的取值围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) 圆锥曲线基本题型总结：提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1. 定义法求标准方程： (1)由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：(注意细节的处 理) 1.设F1, F2 为定点，|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨 迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注：2a>|F1 F2| 是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D￡+_9 = 1 y z 0) 【注：检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时，P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线 D. 双曲线一支或一条射线【注：2av|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】 1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。（一般情况下，解圆的标准方程都用待定系数法来解） 3、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++= 4、圆的一般方程分为以下三种情况： （1）当F E D 42 2 -+＞0时，方程（1）与标准方程比较， 方程02 2 =++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E -- 为半径的圆。 （3）当F E D 422-+＜0时，方程02 2=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。 5、圆的一般方程的定义： 当2 2 4D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点： （1）2x 和2y 的系数相同，不等于零； （2）没有xy 这样的二次项。 6、()()()()()()11221212A ,,,0x y B x y x x x x y y y y --+--=以为直径端点的圆的方程是： 7、 ()()()()()()()()222002 00M ,M ,, x y r x y x y x a x a y b y b r +=--+--=2002 2 2 00圆的切线方程：过圆上一点的切线方程是x x+y y=r ， 过圆x-a +y-b =r 上一点的切线方程是 8、（初中知识点：圆和圆的位置关系。） 圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当r R d -<时，两圆内含； 当0=d 时，为同心圆。 9、 ()()2211112222121212C 0,C 0D D 0 y D x E y F y D x E y F x E E y F F ++++=++++=+-+-=22圆的公切线方程与公共弦所在的直线方程： 圆：x 圆：x 它们的内公切线方程或公共弦所在的直线方程为： － 10、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： （1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为2 2B A C Bb Aa d +++=，则有 相离与C l r d ?>；相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?< （2）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()22 2 :r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为?，则有相离与C l ??0 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式2 00r yy xx =+去解直线与圆相切的问题，其中() 00,y x 表示切点坐标，r 表示半径。 梗概： 1、关于圆与直线的三种位置关系的判定，分代数法和几何法。三种情况分别各有研究重点。相交时,研究弦长,中点弦,最长最短弦;相切时,研究切线方程,切线段长，切点所在直线方程；相离时，研究圆上动点到直线距离的最值（其它两种位置关系也可研究）;直线和圆系方程及圆系方程。 2、圆与圆位置关系的判定,连心线性质(平分公共弦）,公切线条数判断(实质及两圆位置关系判断),公共弦所在直线方程及公共弦长,两圆上动点距离的最值，圆系方程。 注:关注各种利用几何意义求最值 求圆的方程 一、已知圆上三点，求圆的方程 例1 、(1,0),1,1),(3,2). A B C -- 解法一：待定系数法，设出圆的标准方程或一般方程,求出a,b,ｒ,或者Ｄ，Ｅ,F 解法二：垂直平方线的焦点为圆心，两点间距离求半 径。 二、已知两点和圆心所在直线 解法一:待定系数法,设出标准或一般方程。 解法二:垂直平分线与圆心所在直线的交点求圆心,两 点间距离求半径。 三、已知弦长求圆的方程 (2,4)Q3-1 P- 例2、过及（，）两点，且在x轴上 截得的弦长为6的圆的方程。 例３、圆心在直线30 x y -=上,与 x轴相切,且 被直线0 x y -=截得的弦长为，求圆的方程。（课 本1３２A６) 例4、求与x轴切于(５，０），并在y轴上截得 的弦长为10的圆的方程。 例5、已知圆C过点(１,0),且圆心在x轴的 正半轴上，直线被圆C所截得的弦长为 求过圆心且与直线l垂直的直线方程。 四、已知切点，求圆的方程 例６、直线43350 x y +-=与圆心在原点的圆C相 切，求圆的方程。 例7、圆心在y轴上，半径为５，且与直线6 y= 相切的圆的方程。（课本1３2A2(2）） 例8、圆心在直线2 y x =-上，且过点A（2,-1）， 与直线1 x y +=相切的圆的方程。 五、过直线和圆的交点 直线与圆系方程 六、过两圆交点的圆的方程 圆系方程 例11、圆心在直线40 x y --=上,并且经过圆 22640 x y x ++-=与226280 x y y ++-=的交点的圆的 方程。 例12、经过点M(3，-1）,且与圆Ｃ: 222650 x y x y ++-+=相切于N（1,2)的圆的方程。 例１3、求过两圆222880 x y x y +++-=和 224420 x y x y +---=的交点且面积最小的圆的 方程。 解法一：解出两个交点 解法二 :连心线过圆心且圆心在某直线上，由此得出圆 心，然后设出一般方程，再利用三圆有公共 弦,直线重合求出ｍ 解法三、圆系方程 七、最值问题 (1)点和圆 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 直线与圆题型总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 2、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 1 已知圆422=+y x O ：，求过点()42， P 与圆O 相切的切线． 2 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程． 3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。 练习： 1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程 2、过坐标原点且与圆02 52422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 . 类型三：弦长、弧问题 1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长 2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长 类型四：直线与圆的位置关系 1、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，实数m 的取值范围 2 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有 个 3、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 5、 圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）． 高中数学-直线和圆的方程 考试内容： 直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题． 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程． 考试要求： （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程． 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是： 1=+b y a x . 注：若232-- =x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(23 2≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定值，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.直线和圆的方程知识点总结讲课稿
圆的方程题型总结含答案
高中数学--圆的方程知识点题型归纳
圆知识点总结及归纳
圆知识点总结及归纳
圆锥曲线基本题型总结
圆标准方程知识点总结(十一专用)
圆的方程总结
高中数学直线与圆的方程知识点总结
直线与圆题型总结
高中数学知识点总结-第七章直线和圆的方程
相关主题
文本预览