有理数与无理数教案
教学目标
1.理解有理数和无理数的定义，能够区分它们。
2.掌握有理数和无理数的性质及运算规则。
3.能够应用所学知识解决实际问题。
4.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学内容
1. 有理数的定义与性质
•有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比值（分子与非零分母）的实数。
•有理数的性质：
–加法性质：有理数的加法满足交换律、结合律和存在零元素。
–乘法性质：有理数的乘法满足交换律、结合律和存在单位元素。
–分配律：对于任意三个有理数a、b、c，满足a × (b + c) = a ×
b + a × c。
2. 无理数的定义与性质
•无理数的定义：无理数是不能表示为两个整数比值的实数，它们不能被写成分母不为零时两个整除关系式所表示的形式。
•无理数的性质：
–无限不循环小数：无理数的十进制表示是无限不循环小数。
–无理数的无穷性：无理数在实数轴上无限延伸，且不断存在着新的无理数。
3. 有理数与无理数的运算
•加法与减法：有理数与有理数相加减，结果仍为有理数；有理数与无理数相加减，结果为无理数。
•乘法与除法：有理数与有理数相乘除，结果仍为有理数；非零有理数与无理数相乘除，结果为无理数。
4. 应用题解决实际问题
•利用有理数和无理数解决实际问题，如长度、面积、体积等计算问题。
教学方法
1.导入新知识：
–引入一个实际问题，让学生思考并讨论如何表示这个问题中的数字。
–提出“能否将所有实际问题中出现的数字都表示为两个整数比值？”
的问题，引出有理数和无理数的概念。
2.理论讲解：
–结合教材内容，对有理数和无理数进行详细讲解，并给出具体例子加深学生对概念的认识。
–引导学生发现有理数和无理数的性质，并进行归纳总结。
3.实例演示：
–通过一些实例演示有理数和无理数的运算法则，引导学生掌握运算规则。
–提供一些实际问题，让学生应用所学知识解决问题，并在解决问题的过程中加深对有理数和无理数的理解。
4.小组合作：
–将学生分成小组，让他们合作解决一些有关有理数和无理数的问题。
–鼓励学生互相讨论、交流思路，培养团队合作精神和解决问题的能力。
5.总结归纳：
–引导学生总结本节课所学内容，强化记忆和理解。
–对于重点难点内容，进行重点梳理和强化巩固。
评价方式
1.课堂练习：布置一些课堂练习题，检查学生对有理数和无理数的掌握情况。
2.个人作业：布置一些个人作业题目，要求学生应用所学知识解决实际问题。
3.小组合作评价：评价小组在合作中的表现、解决问题的能力及对有理数和无
理数的理解程度。
4.总结评价：通过课堂讨论、答疑等形式，对学生的学习情况进行总结评价，
及时发现问题并提出改进意见。
教学资源
1.教材：有关有理数和无理数的教材章节。
2.实物：长度、面积、体积等实物，用于引入实际问题。
3.计算工具：计算器等工具，用于进行运算演示。
参考资料
1.《数学（初中）》人民教育出版社
2.《初中数学教学大纲》国家教育部发布
认识无理数教案 一、教学目标 1.了解无理数的概念，能够区分有理数和无理数。 2.掌握无理数的基本性质，包括无理数的无限不循环小数表示、无理数的数轴表示等。 3.培养学生对无理数的理解、应用和推理能力。 二、教学重点 无理数的概念和特点。 三、教学难点 无理数的无限不循环小数表示。 四、教学准备 教学课件、黑板、白板笔、教学用具。 五、教学过程 Step 1 引入新知 1.教师出示一组有理数（例如：2、3、4）和一组无理数（例如：√2、π），请学生观察并分析它们的特点。 2.引导学生发现有理数和无理数的不同之处。 3.出示定义：无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
有理数是指可以表示为两个整数的比值的实数。 4.让学生举例区分有理数和无理数。 Step 2 理解无理数 1.通过分数、小数和百分数的例子，帮助学生理解有理数的概念。 2.通过根号、π等例子，引导学生理解无理数的概念。 3.让学生总结无理数的特点。 Step 3 无理数的无限不循环小数表示 1.举例介绍无理数的无限不循环小数表示。 2.通过几个简单的例子，帮助学生理解无理数的无限不循环小数表示方法。 3.让学生自己尝试将某些无理数表示为无限不循环小数。 4.让学生总结无理数的无限不循环小数表示的特点。 Step 4 无理数的数轴表示 1.通过数轴上有理数和无理数的位置关系，帮助学生理解无理数在数轴上的表示方法。 2.通过绘制数轴上的有理数和无理数，让学生直观感受无理数的数轴表示方法。 3.让学生总结无理数的数轴表示的特点。 六、教学拓展 1.引导学生了解无理数的一些应用领域，如几何、物理等。 2.组织学生进行讨论，深入探究无理数的其他性质和应用。
有理数与无理数
第（1）课时
课题：书法---写字基本知识 课型：新授课 教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。2、了解我国书法发展的历史。3、掌握基本笔画的书写特点。 重点：基本笔画的书写。 难点：运笔的技法。 教学过程： 一、了解书法的发展史及字体的分类： 1、介绍我国书法的发展的历史。 2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。 二、讲解书写的基本知识和要求： 1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正） 2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。 三、基本笔画书写 1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。 2、教师边书写边讲解。 3、学生练习，教师指导。（姿势正确） 4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。 5、学生练习，教师指导。（发现问题及时指正） 四、作业：完成一张基本笔画的练习。 板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸 我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。 课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。 总第（2）课时
课题：书写练习1 课型：新授课 教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。 重点：正确书写6个字。 难点：注意字的结构和笔画的书写。 教学过程： 一、小结课堂内容，评价上次作业。 二、讲解新课： 1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。 2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。（老师读，学生读，加深理解。） 3、书写教学“杏花春雨江南”6个字。 杏：上大下小，上面要写得大，大在哪里？（大在撇捺）写的时候撇捺要舒展，象燕子张开的翅膀；下面的“口”要写得小，左右两竖要内斜，稍扁；“木”的竖写在竖中线上。 花：也是上下结构，草字头两竖要内斜；下面单人旁起笔对准上面的左竖，竖弯钩起笔对准上面的右竖；竖弯钩要舒展，（用红笔描竖弯钩，并在旁边书写一个大的竖弯钩）要求弯处圆转，不能僵硬（书写僵硬的竖弯钩，并在旁边打×）。春：上部三横都是短横，收笔处不要顿；撇画最长，捺画从哪里起笔？从第三横下面起笔，不能碰到撇；下面“日”的两竖要竖直，不能斜。 雨：旁边两竖要内斜，上横短，中竖写在竖中线上；从下面看，哪一笔最低？钩最低，中竖最短；四个点都是斜点。 江：左右结构，左窄右宽左边三点水第二点略向外展；右边“工”字上横是短横，下横是长横；中竖略斜。 南：上横短；下边两竖内斜；框架中两横都是短的，中间一竖悬针；三个竖画左、中差不多长，右竖钩最低；横折钩要写出弯势。 4、学生练习，教师巡回指导。 三、讲评： 收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖☆符号章，然
有理数与无理数教案 教学目标 1.理解有理数和无理数的定义，能够区分它们。 2.掌握有理数和无理数的性质及运算规则。 3.能够应用所学知识解决实际问题。 4.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。 教学内容 1. 有理数的定义与性质 •有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比值（分子与非零分母）的实数。 •有理数的性质： –加法性质：有理数的加法满足交换律、结合律和存在零元素。 –乘法性质：有理数的乘法满足交换律、结合律和存在单位元素。 –分配律：对于任意三个有理数a、b、c，满足a × (b + c) = a × b + a × c。 2. 无理数的定义与性质 •无理数的定义：无理数是不能表示为两个整数比值的实数，它们不能被写成分母不为零时两个整除关系式所表示的形式。 •无理数的性质： –无限不循环小数：无理数的十进制表示是无限不循环小数。 –无理数的无穷性：无理数在实数轴上无限延伸，且不断存在着新的无理数。 3. 有理数与无理数的运算 •加法与减法：有理数与有理数相加减，结果仍为有理数；有理数与无理数相加减，结果为无理数。 •乘法与除法：有理数与有理数相乘除，结果仍为有理数；非零有理数与无理数相乘除，结果为无理数。 4. 应用题解决实际问题 •利用有理数和无理数解决实际问题，如长度、面积、体积等计算问题。 教学方法 1.导入新知识： –引入一个实际问题，让学生思考并讨论如何表示这个问题中的数字。
–提出“能否将所有实际问题中出现的数字都表示为两个整数比值？” 的问题，引出有理数和无理数的概念。 2.理论讲解： –结合教材内容，对有理数和无理数进行详细讲解，并给出具体例子加深学生对概念的认识。 –引导学生发现有理数和无理数的性质，并进行归纳总结。 3.实例演示： –通过一些实例演示有理数和无理数的运算法则，引导学生掌握运算规则。 –提供一些实际问题，让学生应用所学知识解决问题，并在解决问题的过程中加深对有理数和无理数的理解。 4.小组合作： –将学生分成小组，让他们合作解决一些有关有理数和无理数的问题。 –鼓励学生互相讨论、交流思路，培养团队合作精神和解决问题的能力。 5.总结归纳： –引导学生总结本节课所学内容，强化记忆和理解。 –对于重点难点内容，进行重点梳理和强化巩固。 评价方式 1.课堂练习：布置一些课堂练习题，检查学生对有理数和无理数的掌握情况。 2.个人作业：布置一些个人作业题目，要求学生应用所学知识解决实际问题。 3.小组合作评价：评价小组在合作中的表现、解决问题的能力及对有理数和无 理数的理解程度。 4.总结评价：通过课堂讨论、答疑等形式，对学生的学习情况进行总结评价， 及时发现问题并提出改进意见。 教学资源 1.教材：有关有理数和无理数的教材章节。 2.实物：长度、面积、体积等实物，用于引入实际问题。 3.计算工具：计算器等工具，用于进行运算演示。 参考资料 1.《数学（初中）》人民教育出版社 2.《初中数学教学大纲》国家教育部发布
实数及其性质 一、教材分析 1、教学内容 这节课的教学内容主要介绍无理数、实数的概念以及实数的性质。 2、教材的地位和作用 本节课是人教版《数学》七年级（下）第六章最后一个小节的内容，是在学生学习了平方根、立方根以 后，接触过“2”、“π”等具体的无理数的基础上，引入了无理数的概念，从而将数从有理数扩展到实数。在中学阶段，大多数问题都是在实数的范围内研究的，因此，它对今后的数学学习有着非常重要的意义。 无理数的引入，数系的扩展充满着对立和统一的辩证关系及分类思想，实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想。所以这节课不仅仅是完善学生的知识结构，而且还是培养学生想象能力，渗透数学思想，感受数学美的有效载体，也是发展学生逻辑思维能力的重要内容。 二、目标分析 1、教学目标 依据《课程标准》，并结合教材内容及学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标： 知识目标：了解无理数、实数的概念和实数的分类；知道实数与数轴上的点一一对应。 能力目标：让学生感知无理数的存在，经历数系从有理数扩展到实数的过程。通过无理数的引入，培养从特殊到一般、具体到抽象的逻辑思维能力。 情感目标：渗透数形结合及分类的思想，体验数系的扩展源于实际，又服务于实际的辩证关系；通过学生之间的相互交流，增强学生的合作意识。 2、重点、难点和关键 本节课的重点是了解无理数、实数概念和实数的分类。 由于学生有了一次从整数扩展到有理数的体验，二次根式的学习又为有理数扩展到实数作了一定的准备，学生学习实数的困难在于无理数的引入，因此难点是正确理解无理数的意义； 关键是把数化为小数形式以后区分有理数与无理数的特征。 三、教法、学法 本节课通过创设问题情境，引导学生回顾认识数的过程，通过合作探索，经历无理数的产生过程，精心设问，适时、适度采用激励性语言，提高学生积极性，从而较好地完成实数概念的建构，达到教学目标。并结合计算器、多媒体、实物投投仪等现代教投手段实施教学，体现直观性。学生通过动手、动口、动脑等活动，主动探索、发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括，形成能力。恰如其分的问题设计，真正的让学生进行探究，突出学生教学主体的地位。 四、教学过程 1、复习旧知，揭示矛盾，引入概念 回顾书本探究活动，复习前面所学的有理数的规律任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数，而发现如2和π不是有理数，但2确实是存在的，同时π也是如此。出现矛盾以后，来探索无理数的特征，学习实数。 2、概念学习 由上面有理数的规律从而得出无理数的概念，然后通过举例，先从形式上认识无理数，再归纳总结，帮助学生理解无理数的概念。教师小结：“无理数”和“有理数”仅是名称而已，据说是清朝末年从引进时，翻译的讹误，因此不能从词义上理解，它们根本的区别，就是凡是有理数，都可以化成两个整数之比（可看成一个分数），而无理数，无论如何也不能化成两个整数之比（不能化为分数），从而突破本课第一个难点。这样理解无理数的概念了，实数的概念和分类就容易理解。然后练习讨论，反馈调整，巩固概念。 3、数形结合，突破难点，深化概念 前面我们从数本身的特征上探讨了数除了有理数外还有无理数，接下来我们再利用数轴来进行说明。 每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么数轴上的每一个点都表示有理数吗？无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？ 你能在数轴上找到表示2和π这样的无理数的点吗？（思考） 老师用课件演示有在数轴上表示2和π这样的无理数的点，学习在数轴上用构造法表示无理数。也就是说: 数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示。所有的实数都可以用数轴上的点表示，数轴上所有的点都对应着一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的关系。然后练习讨论，反馈调整，巩固新知。 利用课件显示帮助理解以上内容，由此形象、直观展示实数除了有理数外还包括无理数，深化了实数的概念，数形结合，突破本课的难点。通过练习巩固实数概念，分析实数的分类，弄清带根号的数并不都是无理数，无理数指的是无限不循环小数，不能化为分数的数，这才是它的本质特征，明白数的范围扩大后相反数、绝对值的意义仍不变。 4、实数的相反数、绝对值 先复习有理数的相关知识，再完成84页的“思考”，归纳总结：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。 再通过课本例题学习及强化练习来巩固新知。 5、理清关系，概括方法，课堂小结 这节课你有什么新发现？知道了哪些新知识？ （1）了解了无理数、实数的意义 （2）实数的分类及实数与数轴上的点的一一对应的关系 （3）数扩充到实数后，相反数、绝对值、倒数的意义仍然不变。 启发学生提出新的疑问，培养学生创造性思维，从2谈起，我们还可以谈些什么？ 例如：其他无理数？
有理数和无理数教案 教案标题：有理数和无理数的引入与比较 教学目标： 1. 学生能够理解有理数和无理数的概念，并能区分它们之间的差异。 2. 学生能够将有理数和无理数在数轴上表示，并能进行简单的比较。 3. 学生能够应用有理数和无理数的概念解决实际问题。 教学准备： 1. 教师准备：白板、黑板笔、投影仪、教学PPT、数轴模板、绘图工具。 2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、橡皮。 教学过程： 一、导入（5分钟） 1. 教师通过投影仪展示一张有理数和无理数的数轴图，引发学生对于有理数和无理数的思考。 2. 教师提问学生：你们对于有理数和无理数有什么了解？有什么区别？ 二、概念讲解与示例演示（15分钟） 1. 教师通过教学PPT详细解释有理数和无理数的定义和特点，并给出相应的示例。 2. 教师引导学生观察示例，思考如何判断一个数是有理数还是无理数。 3. 教师与学生一起完成几个有理数和无理数的分类练习，帮助学生巩固概念。 三、数轴表示与比较（20分钟） 1. 教师向学生展示数轴模板，并解释如何在数轴上表示有理数和无理数。 2. 教师引导学生根据给定的有理数和无理数，将其在数轴上表示出来，并进行
比较。 3. 教师与学生一起完成几个有理数和无理数的比较练习，帮助学生加深理解。 四、实际问题应用（15分钟） 1. 教师通过实际问题引导学生思考有理数和无理数的应用场景。 2. 教师与学生一起解决几个实际问题，帮助学生将概念应用到实际情境中。 五、归纳总结与拓展（10分钟） 1. 教师与学生共同总结有理数和无理数的概念和表示方法。 2. 教师提供一些拓展问题，让学生进一步思考和探索有理数和无理数的特性。 六、作业布置（5分钟） 1. 教师布置相关的课后作业，巩固学生对于有理数和无理数的理解。 2. 教师鼓励学生自主学习，拓展相关知识。 教学反思： 本节课通过引入、概念讲解、数轴表示与比较、实际问题应用等环节，帮助学生全面理解有理数和无理数的概念和特点。通过实际问题的引导，培养学生将概念应用到实际情境中的能力。同时，通过拓展问题的提出，激发学生的思考和探索欲望，促进他们对于有理数和无理数的深入理解。
批注 2.2有理数与无理数 一、学习活动目标 1. 知道有理数的的特征，理解无理数的意义及特征； 2.会判断一个数是有理数还是无理数. 二、学习重点、难点 教学重点：区分有理数与无理数，知道无理数是客观存在的。感受夹逼法，估算无理数的大小。. 教学难点：会判断一个数是有理数还是无理数，体会“无限”的过程。 三、学习活动设计 【导学提纲】 1.回顾整数与分数的概念、整数可表示为分母为1的分数.如15 5=， 14 4-=-，10 0=. 我们把能够写成分数形式____________________________ 的数叫有理数。 2．把下列分数化成小数形式： 53=____________;31=______________;100311-=____________;154=__________________. 事实上，分数化成小数后要么是有限小数，要么是无限的且________的小数，反过来一个有限小数或一个无限的循环小数都可以化成一个分数，因此有限小数或无限的循环小数都是____________数。 3. 将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形，
批注 设大正方形的边长为a,那么a 2 =2,a 是有理数吗？ 通过计算器运用逼近的方法探求数a ： 由1.5×1.5=2.25， 1.4×1.4=1.96得______ 小学数学教案计算有理数和无理数教案：计算有理数和无理数 一、教学目标 1. 理解和掌握有理数的加减乘除运算规则。 2. 能够运用有理数的运算规则解决实际问题。 3. 了解无理数的定义和特点。 4. 能够运用有理数和无理数的概念解决简单的数学问题。 二、教学准备 1. 教师准备：教具准备、教案制作。 2. 学生准备：课本、笔记本、计算器。 三、教学过程 1. 导入 教师通过举例子导入本节课的主题，让学生复习一下有理数和无理 数的概念，并讨论一些相关的问题，引发学生对该主题的兴趣。例如：“小明买了一件衣服，价格是有理数还是无理数呢？为什么？”、“请你 们找出一些有理数和无理数的例子”。 2. 讲解有理数的加减乘除运算规则 教师向学生解释有理数的加减乘除运算规则，并通过一些具体的例 子进行讲解和演示。例如：“如果我们要计算-3/4 + 1/2，应该怎么做呢？”、“如果我们要计算5.7 × (-0.3)，应该怎么做呢？”等等。同时， 教师提醒学生注意整数和分数的运算，以及正数和负数的运算规则。 3. 练习有理数的加减乘除运算 教师让学生进行一些有理数的计算练习，既可口算也可使用计算器。教师对学生的计算过程进行监督和指导，纠正他们可能出现的错误。 在学生完成练习后，教师让他们互相交流答案并进行讨论，进一步加 深对有理数运算规则的理解。 4. 引入无理数的概念 教师向学生介绍无理数的概念，并解释无理数的特点，例如它们不 能表示为两个整数的比值，也不能表示为有限小数或无限循环小数。 教师通过一些生动的例子，如根号2、圆周率π等，让学生感受无理数 的存在和重要性。 5. 运用有理数和无理数解决实际问题 教师给学生提供一些实际问题，让他们运用有理数和无理数的概念 和运算规则进行解答。例如：“小明的家离学校有2.5公里，他走了根 号5公里，这时离学校还有多远？”、“小红去超市买东西，她买的东西共花了π元，她实际支付了多少钱？”等等。教师引导学生分析和研究 问题，并指导他们运用适当的计算方法解决问题。 6. 总结 有理数与无理数 有理数和无理数是数学中常见的两个概念。它们在数轴上处于不同的位置，具有不同的性质和特点。本文将深入探讨有理数与无理数的定义、性质以及它们之间的关系。 一、有理数的定义与性质 有理数是可以用两个整数的比值来表示的数。在数轴上，有理数可以表示为有限或无限循环小数，或者可以写成分数的形式。有理数包括整数、正数、负数和零。 第一个性质是有理数的加法封闭性。对于任意两个有理数a和b，它们的和a+b也是有理数。例如，2和3是有理数，它们的和5也是有理数。 第二个性质是有理数的乘法封闭性。对于任意两个有理数a和b，它们的乘积a*b也是有理数。例如，2和3是有理数，它们的乘积6也是有理数。 有理数还满足加法和乘法的交换律、结合律和分配律。这些性质使得有理数在数学运算中具有良好的性质和规律，方便进行各种运算。 二、无理数的定义与性质 无理数是不能表示为两个整数的比值的数。无理数不能写成有限小数或无限循环小数的形式，也不能表示为分数。无理数在数轴上处于有理数之间的位置。 最常见的无理数是圆周率π和自然对数的底数e。这些无理数的小数表示是无限不循环的。例如，π≈3.1415926...和e≈2.7182818...。 无理数具有一些特殊的性质。首先，无理数和有理数的和仍然是无理数。例如，π和2的和π+2是无理数。其次，无理数和有理数的乘积也是无理数。例如，e和3的乘积e*3是无理数。 三、有理数与无理数的关系 在数轴上，有理数和无理数构成了实数的完整集合。每个实数都是有理数或无理数。事实上，无理数的存在使得数轴上的任意两个有理数之间都存在无限多个无理数。 有理数和无理数之间的关系可以通过无理数的不可度量性来描述。例如，无理数π无法用有限多个有理数来逼近，无论多接近也无法完全等于π。这是因为π是一个无限不循环的小数，不存在有理数与之相等。 在实际应用中，有理数和无理数都有广泛的应用。有理数常用于计算和测量，可以准确地表示分数和比例关系。而无理数常用于几何、物理等领域，可以表示一些无法用有理数精确表示的量度。 总之，有理数和无理数是数学中的两个重要概念。它们在数轴上有独特的位置和性质，相互组成了实数的完整集合。了解和掌握有理数与无理数的定义、性质和关系，对于深入理解和应用数学知识具有重要意义。 六年级数学教学备课教案认识有理数和无理 数 认识有理数和无理数 正文： 在六年级数学教学中，有理数和无理数是一个重要的概念，它们是 数学中的两类数。本文将围绕着认识有理数和无理数展开讨论，介绍 它们的定义、特点以及应用。 一、有理数的定义和特点 有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正有理数、负有理 数和零。有理数可以用分数形式或者小数形式来表示。在数轴上，有 理数可以找到对应的点。 例如，1/2、3、-4/5都是有理数。它们可以写成分数形式，也可以 写成小数形式。 有理数的特点是可以进行加减乘除运算。两个有理数的和、差、积、商也一定是有理数。这一特点让有理数在数学运算中具有重要的应用。 二、无理数的定义和特点 无理数是无限不循环小数，不能用两个整数的比值来表示。无理数 可以用根号表达，如根号2、根号3等。在数轴上，无理数对应的点是 无限不循环的。 无理数的特点是它们的小数形式是无限不循环的，即小数部分无限不重复。无理数不能进行精确的运算，但可以近似计算。 三、有理数和无理数的比较 有理数和无理数在数学上有一些明显的差异。首先，有理数可以精确表示，而无理数只能近似表示。其次，有理数的小数部分是有限循环或有限不循环的，而无理数的小数部分是无限不循环的。 另外，有理数和无理数在数轴上的位置也不同。有理数和无理数之间没有重叠。无理数可以在任意两个有理数之间找到一个无理数。 四、有理数和无理数的应用 有理数和无理数在数学和现实生活中都有广泛的应用。 在数学中，有理数和无理数是实数的重要组成部分。实数是数轴上的所有点，包括有理数和无理数。在解方程、进行数学推理时，有理数和无理数都扮演着重要的角色。 在现实生活中，有理数和无理数也有很多应用。例如，无理数的近似计算在工程测量中非常常见。在理财规划中，计算利息和投资回报率也需要用到有理数。 结论： 通过对六年级数学教学备课教案中有理数和无理数的认识，我们可以清晰地理解它们的定义、特点以及应用。有理数和无理数在数学中扮演着重要的角色，并且在现实生活中也有着广泛的应用。通过深入 数学教案：数轴上的有理数与无理数 一、引言 在数学教学中，理解有理数与无理数的概念是很重要的。有理数和无理数是我们日常生活中经常使用的数字，他们在实际应用和抽象思维中起着重要作用。本文将介绍有理数和无理数的定义、性质以及在数轴上的表示方法，以便为教师设计一堂生动有趣、易于理解且富有互动性的课程。 二、什么是有理数？ 1. 有理数的定义： 有理数是可以表示为两个整数之间比值的数字。它们可以是整数、零、分数或小数组成。例如：-3, -2, -1, 0, 1/2, 3/4等都属于有理数。 2. 有理数的性质： （1）加法性质：两个有理数相加仍然是一个有理数。 （2）乘法性质：两个有理数相乘仍然是一个有理数。 （3）闭包性：对任意两个有理数组成进行加减乘除运算，结果仍然为一个有理数组成。 三、什么是无理数？ 1. 无理数的定义： 无理数指不能用两个整数字成比例来表达其大小关系的实数。最常见和广泛应用的无理数是圆周率π和自然对数的底数e等。无理数可以用无限不循环小数表示，例如√2、π等。 2. 无理数的性质： （1）无理数与有理数的相加减结果仍然是一个无理数。 （2）无理数与非零有理数的乘积是一个无理数。 四、有理数与无理数在数轴上的表示 1. 数轴介绍： 教师可以通过引领学生绘制和使用数轴来帮助他们直观地理解有理数与无理数。 2. 在正负坐标轴上绘制有理数组成： （1）整数：教师开始时可先在0点处标记整数 0，并用箭头标注向长为1单位距离正负两个方向。相应正负整数的位置可以通过进行加法或减法运算来决定。 （2）分数：找到两个整书之间的值，即可确定分子和分母并在对应位置进行表示。教师可以带领学生进行简单案例操练，让学生对分数的大小关系和表示方法形成初步了解。 3. 用估计方法确定无理数在数轴上的位置 （1）教师可使用估算方法，将无理数不断逼近到一个足够准确的位置上。 （2）例如：√2 是一个无理数，可以先找到两个有理数之间的值来确定它的位置。 五、利用活动与案例设计启发学生思考与互动 1. 教师可以通过小组合作或游戏活动来巩固学生对有理数与无理数的认知。 （1）小组合作活动：教师可将学生分到小组，要求他们完成目标任务，如设计出一张包括有理数和无理数的非常牛的海报。这样的活动能 2.2有理数与无理数 【教学目标】 知识与技能：（1）理解有理数的意义； （2）知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念； （3）会判断一个数是有理数还是无理数. 过程与方法：经历数的扩充，在探索活动中感受数学的逼近思想，体会“无限”的过程，发展数. 情感态度与价值观：经历本节课的学习，培养学生树立分类讨论的观点和能正确进行分类的能力. 【重难点】 重点：（1）区分有理数与无理数的概念，知道无理数是客观存在的； （2）感受估算法，估算无理数的值. 难点：会判断一个数是有理数还是无理数，体会“无限”的过程． 【教学过程】 活动一：创设情境，复习引入 （出示幻灯片）1.下列给出的各数，哪些是正数？哪些是负数？哪些是整数？哪些是分数？ -8.4 ，22 ，，0.33，0，，-9. 2.昨天我们学习了正数、负数，因此我们可以把数如何分类呢？整数和分数呢？ 处理方式：通过多媒体展示这2道题，学生举手回答，教师总结：我们把以上这些数统称为有理数，从而引入本节课的内容. 活动二：明确概念，探究分类 【探究一】有理数的概念以及分类 把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数.（处理方式：教师请学生读课本上的有理数的概念） （出示幻灯片）正整数、0、统称为整数，正分数和负分数统称分数. 整数和分数统称有理数. 师：上面的分类标准是什么？我们还可以按其他标准分类吗？ 学生讨论交流，师生共同归纳. 说明：以上分类在师生共同归纳出后，让学生在一定的时间内理解记忆，可在小组内检查过关. 【探究二】无理数的概念 让学生阅读课本上有关无理数的内容，请其中一名学生读无理数的概念：无限不循环的小数叫做无理数. 小学四年级数学教案学习有理数和无理数的 概念 学习有理数和无理数的概念 本教案主要针对小学四年级学生，介绍有理数和无理数的概念。有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数，而无理数是指不能表示为两个整数的比值的数。学生通过本教案的学习，可以初步理解有理数和无理数的概念，并能够区分它们。 一、有理数的概念 有理数可以表示为两个整数的比值，包括整数、分数和小数。有理数可以用一个分数来表示，例如1/2、3/4等，也可以用一个整数或小数来表示，例如2、3.5等。有理数可以是正数、负数和零。 例如，1、2、3都是整数，它们都是有理数。又例如，1/2、3/4是分数，它们也是有理数。有理数可以进行加减乘除运算。 二、无理数的概念 无理数是指不能表示为两个整数的比值的数。无理数通常用根号符号来表示，例如π、√2等。无理数有无限不循环的小数部分，无法用简单的分数或整数来表示。 例如，√2是一个无理数，因为无法找到两个整数的比值等于√2。无理数是无限不循环的，不能用分数或整数来表示它的值。 三、有理数和无理数的区别 有理数和无理数都是实数的一种，但它们之间有着明显的区别。有理数可以表示为两个整数的比值，而无理数不能用有限的整数或分数来表示。 例如，对于数轴上的一个点，如果它可以被一个整数或分数的比值表示，那么它就是有理数；否则，它就是无理数。 四、数轴上的有理数和无理数 数轴是用来表示实数的一种工具，我们可以借助数轴来帮助理解有理数和无理数的概念。 在数轴上，有理数可以用一个点来表示，例如1、2、3等整数，以及1/2、3/4等分数。无理数不能用有限的点来表示，它在数轴上是一个无限不循环的小数。 例如，√2在数轴上无法用有限的点表示，它是一个无理数。我们可以将√2的近似值标在数轴上，但精确的值无法用有限的点表示出来。 通过数轴的帮助，学生可以更直观地了解有理数和无理数的特点，并能够正确区分它们。 五、小结 本教案主要介绍了有理数和无理数的概念。有理数可以表示为两个整数的比值，包括整数、分数和小数；而无理数不能用有限的整数或分数来表示，通常用根号符号来表示。我们可以通过数轴来帮助理解有理数和无理数的区别。学生通过本教案的学习，可以初步掌握有理数和无理数的概念，提高对实数的理解能力。 课题：有理数与无理数日期：8.30 姓名_____ 【学习目标】掌握有理数和无理数的概念，并能正确判断它们，初步感悟逼近的数学思想，体会“无限”的过程，发展数感。 【学习重点、难点】 重难点：是有理数的分类，知道无理数是客观存在的。 【教学方法】启发式 【学习过程】课前准备 1. 的数叫做有理数 2. 的数叫做无理数 3.一个正方形的面积是40平方厘米，它的边长在两个相邻整数之间，这两个整数是和 一、自主尝试 ①学校的图书馆馆藏书近20万册,可是图书管理员阿姨总能很快地将你要借的书找出来,你知道这是为什么吗? ②我们小学学过哪些数？是怎样分类的？到了初中引入负数后，我们该如何区分各类数呢？ 三、课堂探究 （1）有理数的概念：________________________________________ 问题：有限小数和循环小数是有理数吗？ （2）有理数的分类： ①分两类，即 _____________ 有理数 _____________ ②分三类，即 _____________ 有理数 _____________ _____________ 活动一：（1）你能把0.81、1.56化为分数形式吗? (2)你能把0.3333…、0.2666…化为分数形式吗？ 活动二：请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？ 下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a ，则a 应满足什么条件呢？ a 可能是整数吗？a 可能是分数吗？ 无理数：无限不循环小数。举例圆周率π，0.1010010001…、—1.4141141114… 有理数与无理数的主要区别 (1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能 3.例题讲解：例1．把下列各数填在相应集合内：85, 0,1415.3,08.0,24,7.7,763,32-+-- 正数集合：｛ ，…｝ 负数集合：｛ ，…｝ 整数集合：｛ ，…｝ 分数集合：｛ ，…｝ 例2. 把下列各数填在相应的大括号内：35，0，π3，3.14，－23，227，49 ，－0.55，8， 1.121 221 222 1…(相邻两个１之间依次多一个２)，0.211 ，999 正数集合：｛ …｝； 负数集合：｛ …｝； 有理数集合：｛ …｝； 无理数集合：｛ …}. 四、课堂总结 五、课堂作业1.已知下列各数：2,0,1.3,6,51.4,6 1,72,03.0,15----+- 其中正数是 ，负数是 ， 整数是 ，分数是 . 2.关于0的说法正确的是（ ） A.不是正数也不是负数 B.是正数 C.是负数 D.是正整数 3.既不是正数也不是整数的有理数是（ ） A.0和负分数 B.负分数 C.负整数和负分数 D.正整数和正分数 4.把下列各数填在表示它所在的数集的括号内： -6,9.3,6 1-,42,0,-0.33,-0.333...,1.41421356,π2-,3.3030030003...,-3.1415926 整数集合{___________________________________________...} 分数集合{___________________________________________...} 有理数集合{___________________________________________...} 无理数集合{___________________________________________...} 111111111/21/21/21/2 第 3课时有理数和无理数 主备人：马玉刚审核人：李晓青审批人：班级姓名 学习目标 1．理解有理数的意义和会对有理数进行分类； 2．了解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数； 3．经历数的扩充，在探索活动中感受数学的逼近思想，体会“无限”的过程，发展数感。 学习重点、难点 重点：有理数的分类。 难点：尝试知道无理数是客观存在的。 课前准备： 我们小学学过哪些数？是怎样分类的？到了初中引入负数后，我们该如何区分各类数呢？ 学习过程： 一、自主尝试 （1）有理数的概念____________________________ ____________。 （2）有理数的分类 ①分两类，即 ____________ ②分三类，即 ____________ ____________ 有理数 有理数 ____________ ____________ ____________ （3）无理数的概念 议一议：是不是所有的数都是有理数呢？ 将两个边长为1的小正方形，沿图中红线剪开，重新拼成一个大正方形，它的面积为2． 如果大正方形的边长为a，那么a2＝2．a是有理数吗？ （4）有理数和无理数区别 判断下列说法是否正确，正确的填“√”，错误的填“×”。 ①有理数可分为正有理数和负有理数两类。（） ②有限小数都是有理数，无限小数都是无理数。（） ③无理数是无限不循环小数，有理数是无限循环小数。（） ④无理数的相反数仍是无理数。（） ⑤任何分数一定是有理数。（） 二、互动探究 例1．把下列各数填在相应集合内：8 5, 0,1415.3,08.0,24,7.7,763,32-+-- 正数集合：｛ …｝ 负数集合：｛ …｝ 整数集合：｛ …｝ 分数集合：｛ …｝ 例2．把下列各数填在相应的大括号内： 35，0，π3，3.14，-23，227，49 ，-0.55，8，1.1212212221…，0.211 ，999 正数集合：｛ …｝； 负数集合：｛ …｝； 有理数集合：｛ …｝； 无理数集合：｛ …}. 三、反馈检测 1．已知下列各数：2,0,1.3,6,51.4,6 1,72,03.0,15----+- 其中正数是 ，负数是 ，整数是 ，分数是 . 2．关于0的说法正确的是（ ） A ．不是正数也不是负数 B ．是正数 C ．是负数 D ．是正整数 3．既不是正数也不是整数的有理数是（ ） A ．0和负分数 B ．负分数 C ．负整数和负分数 D ．正整数和正分数 4．把下列各数填在表示它所在的数集的括号内： 6,9.3,6 1-,42,0,-0.33,-0.333...,1.41421356,π2-,3.3030030003...,-3.1415926 整数集合{______________________________ _____________...} 分数集合{________________________ __________________...} 有理数集合{___________________________________________...} 无理数集合{___________________________________________...} ★知者加速: 500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x ：2，那么x 叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，于是由毕达哥拉斯定理x 2=12+12=2，他想x 代表对角线的长，而x 2=2，那么x 必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题： （1）x 是整数吗？为什么不是？ （2）x 可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？ 四、课外作业：补充习题P6；课课练P9～10。 2.2有理数与无理数 一、复习 1．把下列各数填入相应的集合中： -7 ，4 1 2 + ，0，+2.76，200 正数集合{ … } 负数集合{ … } 2．把下列各数填在相应的集合里: +4， 41， -2， 2 1 3-， 0， 2010， -25， 3.6， -1 整数集合 { … } 分数集合 { … } 二、探究 1． 在数学上，有时为了讨论问题的需要，需要将数进行形式上的转化。例如： 5 = 15， -4 = 1 4 -，这就是说，为了讨论问题的需要，我们完全可以把一个整数化成分数的形式 2．我们还学过小数，如：-2.5，. 3.0，你能把它们化成分数形式吗？ -2.5= ，. 3.0= 3．试一试：把下列各数化成分数形式： （1） 15= ，1.5= ，0= ，-2.6= ， （2）. 6.0= ， .31.0= （参阅课本P12“读一读”） 4．把下列分数化成小数形式： 53=____________;31=______________;100311-=____________;15 4=__________________. 重要结论： （1）所有整数都可以化成 数的形式，所有有限小数、循环小数也都可以化成 数的形式。 （2）事实上，分数化成小数后要么是有限小数，要么是无限的且________的小数，反过来一个有限小数或一个无限的循环小数都可以化成一个分数，因此有限小数或无限的循环小数都 是____________数。 5.小结：①如果m 和n 都是整数．． ，且n ≠0，那么n m 称为分数。 ②能够写成分数形式的数，叫做有理数．．． 6.思考：① 25.1是有理数吗？②2 π 是有理数吗？ 自主学习 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 有理数与无理数 教学目标：1.知道有理数与无理数的概念和分类. 2.会判断一个数是有理数还是无理数. 3.经历数的扩充，在探索活动中感受数学的逼近思想，体会“无限”的过程. 教学重难点：区分有理数与无理数，知道无理数是客观存在的，感受夹逼法，估算无理数的大小. 教学过程 一、创设情境引入 有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形. （1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件 （2）a可能是整数吗说说你的理由. （3）a可能是分数吗说说你的理由，并与同伴交流. 二、自主探索 1.把下列数写成分数的形式. 6= ，-7= ，0= ，= ，= ， …= ，…= . 叫做有理数. 叫做无理数. 2.请按提示完成对有理数的分类： 有理数 () () () () () () ⎧⎧ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎨⎩ ⎪ ⎧⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ ⎩ 整数 () () () () () () ⎧⎧⎪ ⎪⎨ ⎪⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ ⎩ 正有理数 有理数 三、例题剖析 例1.下列说法中正确正确的有（填序号） (1)有理数可分为正有理数和负有理数两类.(2)无理数可分为正无理数和负无理数两类.(3)有限小数都是有理数，无限小数都是无理数. (4)无理数是无限不循环小数，有理数是无限循环小数.(5)任何分数一定是有理数. 例2.写出一个大于2且小于4的无理数 ． 例3.把下列各数填在相应的大括号内： 35，0 ，π3，314，－23 ，227 ，－，8， 331 333 1…(相邻两个１之间依次多一个3)， ，－201，888，－10% 正数集合：｛ …｝；负数集合：｛ …｝； 正整数集合：｛ …｝；负分数集合：｛ …｝； 有理数集合：｛ …｝；无理数集合：｛ …}. 例4.下列四项中，错误的是（ ） A.存在着最小的自然数 B.存在着最小的正整数 C.不存在最大的正有理数 D.整数包括正整数和负整数 例5.有一面积为8的正方形的边长为x ，x 是有理数吗 随堂演练 1.最小的正整数是 ，最大的负整数是 . 2.有理数中既是正数又是分数的是 . 3.有理数中不是负数的数指的是 ，是整数而又不是正数的数是 . 4.已知m 是大于－小于3的有理数，请写出符合上述条件的所有非负整数 是 . 5.下列语句：（1）不带“－”的数都是正数；（2）如果a 是正数，那么－a 一定是负数；（3）不存在既不是正数也不是负数的数（4）0℃表示没有温度，其中正确的有（ ）个 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6.巴黎与北京的时差为－7小时（正数表示同一时刻比北京时间早的小时数），如果北京时间是7月2日14：00，那么此刻巴黎时间是（ ） A ．7月1日7：00 B ．7月2日21：00 月2日5：00 D ．7月2日7：00 7.下列说法中正确的是（ ） A.正整数与负整数统称为整数 B.正分数与负分数统称为分数 C.整数，零，分数统称为有理数 D.正有理数和负有理数组成的数集叫有理数集 8.既不是正数，又不是分数的有理数是（ ） A.负整数 B.零和整数 C.零和负数 D.零和负整数 9.写出所有适合下列条件的数 不大于3的正整数 ；大于-3且不小于4的整数 ，大于-5的负整数 ；大于-4且小于-1的一个无理数 . 课 题小学数学教案计算有理数和无理数
有理数与无理数
六年级数学教学备课教案认识有理数和无理数
数学教案：数轴上的有理数与无理数
七年级数学上册第2章有理数2.2有理数与无理数教案新版苏科版
小学四年级数学教案学习有理数和无理数的概念
有理数与无理数教师
第3课时有理数和无理数
2.2有理数与无理数(导学案)
《有理数与无理数》参考教案1
(004)22有理数和无理数教案
2．2 有理数和无理数
课 时
1 课时
课 新授课 型
知识与技能：
教
1.理解有理数和无理数的概念.
2.会判断一个数是有理数还是无理数.
学
3.经历数的扩充，在探索活动中感受数学的逼近思想，体会“无限”的过程
过程与方法： 目
经历数的扩充，在探索活动中感受数学的逼近思想.
标 情感态度与价值观： 体会“无限”的过程
重点与难点：
教
教学重点：理解有理数和无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数。
学
分
教学难点：无理数概念的理解.体会“无限”的过程。
析 学情分析：
学生对正数、负数、0、整数、分数的概念有一定的认识。
教 讲练结合，教师主导，学生为主体 法
教学案 教 电子白板 具 课件
教学过程设计
二次备课
教学过程 阅读课本 P15-17，完成下列问题： 1．（1）把下列整数化成分数：52＝
（2）把下列小数化成分数：0.3＝ （3）把下列循环小数化成分数：
；－2＝
；0＝
。
，2.6＝
，－4.7＝
0.666…=
,0.2777…=
。。
,－0.208 =
教 （4）整数、有限小数和无限循环小数都能化成
的形式。
归纳小结：
学
1、能够写成分数形式 m （m，n 是整数，n 不为 0）的数叫做
。
n
过
2、有理数的分类：
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与 0 的关系分类：
程
____________
有理数整数________________________
分数________________________
正整数
有理数____________________正__分__数_
负整数
_________负分数
2．面积为 4 的正方形的边长是有理数吗？面积为 2 的正方形的边长可能是整数吗？是
分数吗？是有理数吗？为什么？边长大约是多少？
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