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三角形中地最值问题

三角形中地最值问题
三角形中地最值问题

第42课 三角形中的最值问题

考点提要

1.掌握三角形的概念与基本性质.

2.能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数,解决三角形中的最值问题. 基础自测

1.(1)△ABC 中,cos A A =

,则A 的值为 30° 或90° ; (2)△ABC 中,当A= 3π 时,cos 2cos 2B C A ++取得最大值 32

. 2.在△ABC 中,m m m C B A 2:)1(:sin :sin :sin +=,则m 的取值围是 21>

m . 解 由m m m c b a C B A 2:)1(:::sin :sin :sin +==,

令mk c k m b mk a 2,)1(,=+==,由b c a c b a >+>+,,得21>

m . 3.锐角三角形ABC 中,若A=2B ,则B 的取值围是 30o<B <45o .

4.设R ,r 分别为直角三角形的外接圆半径和切圆半径,则r R 1. 5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的边长分别是,,a b c ,若23b ac =,则B 的取值围是 0°<B ≤120° .

6.在△ABC 中,若A>B ,则下列不等式中,正确的为 ①②④ .

①A sin >B sin ; ②A cos B 2sin ; ④A 2cos B ?a >b A R sin 2?>B R sin 2?A sin >B sin ,故①正确;

A cos <

B cos ?)2sin(A -π<)2

sin(B -π?A>B ,故②正确(或由余弦函数在(0,)π上的单调性知②正确);

由A 2cos

12sin B -?A sin >B sin ?A>B ,故④正确. 知识梳理

1.直角△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的边长分别是,,a b c ,C=90°,若切圆的半径为r ,则2

a b c r +-=. 2.在三角形中,勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础,起到工具性的作用.它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中

有着广泛的应用.

例题解析

例1 已知直角三角形的周长为1,求其面积的最大值.

点评

例2 已知△ABC 中,1,2a b ==.

(1)求最小角的最大值; (2)若△ABC 是锐角三角形,求第三边c 的取值围.

解 (1)由三角形三边关系得第三边c 满足122112c,c ,c ,+>??+>??+>?

解得13c <<,故最小角为A .

又22223131cos 24442

b c a c A c bc c c +-+===+?=()≥

(当且仅当c =,所以A ≤30°,即最小角的最大值为30°.

(2)因为△ABC 是锐角三角形,即A ,B ,C 三个角均为锐角,又因为a <b ,所以

A <

B ,故只需说明B ,

C 为锐角即可.

由B ,C 为锐角得0

c ,c c ,?+-<

c <<. 点评 在锐角三角形中研究问题的时候,一定要注意其三个角都为锐角这个条件.另外要注意变形的等价性,如“角A 为锐角0<1cos A ?<”.

例3 (2008)求满足条件BC AC AB 2,2=

=的△ABC 的面积的最大值. 解 设BC =x ,则AC

根据面积公式得ABC S ?

=1sin 2

AB BC B ?= 根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==?2

44x x

-=, 代入上式得ABC S ?

==

由三角形三边关系有2,2,

x x +>+>??

解得22x <<,

故当212,x x ==时ABC S ?

= 点评

例4 如图,已知∠A=30°,P ,Q 分别在∠A 的两边上,PQ=2.当P ,Q 处于什么位置时,△APQ 的面积最大?并求出△APQ 的最大面积.

点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法,本题解法一运用了余弦定理和基本不等式,解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数.

例5 已知△ABC 的周长为6,||,||,||BC CA AB 成等比数列,求:

(1)△ABC 的面积S 的最大值; (2)BC BA ?的取值围.

解 设||,||,||BC CA AB 依次为a ,b ,c ,则a +b +c =6,b 2 =ac .

由622

a c

b b a

c +-==≤

得02b <≤(当且仅当a =c 时,等号成立), 又由余弦定理得2222221cos 2222a c b a c ac ac ac B ac ac ac +-+--===≥(当且仅当a =c 时,等号成立),故有03

B π<≤,

(1)22111sin sin 2sin 32223

S ac B b B π==??=≤,即max 3S =(当且仅当a =b = c 时,等号成立); (2)2

2)(2cos 2

2222b ac c a b c a B ac BC BA --+=-+==? 22

2(6)3(3)272

b b b --==-++. 02,218b BA BC

点评 本题运用均值定理进行放缩,再运用不等式的性质求解.(1)为不等式问题,(2)为函数问题.

方法总结

1.三角形中角的最值(围)问题,一般运用余弦定理,通过求该角余弦的围,根据余弦函数的单调性处理.要注意三角形三边关系和角围的隐含条件,尤其要注意锐角三角形的角的关系.

2.三角形中边的最值(围)问题,主要由有三角形三边关系决定.

3.三角形中面积的最值(围)问题,可以角为自变量,也可以边为自变量建立目标函数,要注意自变量的围.

练习42 三角形的最值问题

班级 学号

1.若直角三角形斜边的长m (定值),则它的周长的最大值是 m .

2.在锐角△ABC 中,若2C B =,则AC

AB 解 B B B C AC AB sin 2sin sin sin ==B cos 2=,而46ππ<

AB .

3.在△ABC 中,若1b =

=,则A 的取值围是 0o<B ≤45o . 4.若2、3、x 分别是锐角三角形的三边长,则x 的取值围是 )13,5( .

5.若三角形两边之和为16 cm ,其夹角为60o,则该三角形面积的最大值是 周长的最小值是 24 .

6.已知△ABC 中,A = 60°,BC = 4,则AB + AC 的最大值为___.

7.钝角三角形的三边为2,1,++a a a ,其中最大角不超过120°,则a 的取值围是 332

a <≤ . 解 由题意钝角三角形中,2+a 为最大边且最大角不超过120°,因此得

2)1(+>++a a a ①,222)2()1(+<++a a a ②,

222121cos 212

a (a )(a )A a(a )++-+=-+≥ ③,

由①得1>a ,②得31<<-a ,③得a ≤1-或a ≥23,故23≤3

9.(2006全国)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm )的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为 610 cm 2. 解 由题意可围成以下几种三角形.

图(1)中,115cos sin 4,θθ==,415S =; 图(2)中,210210sin AD ,θ==

,610S =; 图(3)中,13cos sin 22

,θθ==,103S =.比较 上述几种情况可知,能够得到三角形的最大面积为610cm 2.

点评 当周长一定时,三边越是接近,其面积越大.这是等周问题中的一个基本结论.可见,面积最大的三角形应该这样构成:2+5,3+4,6.

三角形中的最值与范围问题

在正余弦定理的运用中,有一类题目值得关注。这类题有一个相同的特点,即知道三 角形的一条边和边所对的角,求三角形面积(或周长)的最值(或范围) ,但在解题方法的 选择上有值得考究的地方。请先看两个例题: 1 例1( 13年重庆綦江中学)在:ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b, c 且cosA 二丄,a = 4 . 4 (1) 若b ?c=6,且b < c ,求b,c 的值. (2) 求L ABC 的面积的最大值。 解 (1)由余弦定理 a 1 2 二 b 2 - c 2 — 2bccosA , 2 1 16 = (b c ) - 2bc bc 2 .bc =8 , 又 v b 亠 c = 6, b

二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含问题详解

1.如图所示,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式; (2)如图所示,直线BC下方的抛物线上有一点P,过点P作PE⊥BC于点E,作PF平行于x轴交直线BC于点F,求△PEF周长的最大值; (3)已知点M是抛物线的顶点,点N是y轴上一点,点Q是坐标平面一点,若点P是抛物线上一点,且位于抛物线的对称轴右侧,是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形?若存在,直接写出点P的横坐标;若不存在,说明理由.

2.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D,C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴相交于点E. (1)求直线AD的解析式; (2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求△FGH周长的最大值; (3)如图2,点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一动点,点Q是坐标平面一点,四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形,点Q′与点Q关于直线AM对称,连接M Q′,P Q′.当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是?APQM面积的时,求?APQM面积.

3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣1,0),且OC=OB,tan∠ACO=. (1)求抛物线的解析式; (2)若点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD下方的抛物线上有一点P,过点P作PH⊥AD于点H,作PM平行于y轴交直线AD于点M,交x轴于点E,求△PHM的周长的最大值; (3)在(2)的条件下,以点E为端点,在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N,使得∠NEP为锐角,在线段EB上是否存在点G,使得以E,N,G为顶点的三角形与△AOC相似?如果存在,请求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题 一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C =90°,AB =c ,AC =b ,BC =a 。 (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A +B =90°; (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A =cos B =c a ,cos A =sin B =c b ,tan A =b a 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 (1)三角形内角和:A +B +C =π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 3.三角形的面积公式: (1)?S = 21ah a =21bh b =2 1ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高); (2)?S =21ab sin C =21bc sin A =21ac sin B ; 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型: (1)两类正弦定理解三角形的问题: 第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题: 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 5.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。

高考数学阶段复习试卷:三角形中的最值问题

高考数学阶段复习试卷:三角形中的最值问题 1. 在ABC ?中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边长,已知:3C π= ,a b c λ+=(其中1λ>) (1)当2λ=时,证明:a b c ==; (2)若3AC BC λ?=,求边长c 的最小值. 2. 已知函数()4cos sin()3f x x x π=- (1)求函数()f x 在区间[,]42 ππ上的值域; (2)在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若角C 为锐角,()f C =,且2c =,求ABC ?面积的最大值。 3. 已知函数2()22cos f x x x m =+- (Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2x π ∈上有解,求m 的取值范围;(Ⅱ)在ABC ?中,,,a b c 分别是,,A B C 所对 的边,当(Ⅰ)中的m 取最大值,且()1f A =-,2b c +=时,求a 的最小值 4. 在ABC ?中,sin A a =. (1)求角B 的值;(2)如果2b =,求ABC ?面积的最大值. 5. 如图,扇形AOB ,圆心角AOB 等于60o ,半径为2,在弧AB 上有一动点P ,过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ,设AOP θ∠=,求POC ?面积的最大值及此时θ的值.

6. 如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m /min .在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min 后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ,山路AC 长为1260m ,经测量,12cos 13A =,3cos 5 C =. (1) 求索道AB 的长; (2) 问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 7. 如图,在等腰直角三角形OPQ ?中,90POQ ? ∠=,22OP =点M 在线段P Q 上. (1)若5OM =求PM 的长; (2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ?∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ?的面积最小?并求出面积的最小值.

解三角形典型例题

1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,R 为△ABC 外接圆半径,则 2.S △ABC =2ab sin C =2bc sin A =2ac sin B =4R =2(a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R ,r . 1.在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A c; a-b

动点问题最值三角形性质专练

动点问题最值三角形性质专练

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动点问题三角形性质专练 三边能构成三角形,则必须满足性质:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边! 1、如图,在直角梯形A BCD 中,AD∥BC,∠B=90°,A D=24c m,AB=8cm ,BC=26cm ,动:点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动;动点Q从点C 开始沿CB 边向B以3cm/s的速度运动.P、Q 分别从点A 、C 同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动,设运动时间为ts. (1)当t 为何值时,四边形P QCD 为平行四边形? (2)当t为何值时,四边形PQCD 为等腰梯形? (3)当t 为何值时,四边形PQC D为直角梯形? 2、如图,点A 的坐标为(-1,0),点B在直线y x =上运动,当线段A B最短时,点B 的坐标为【 】 A .(0,0) B.(21-,2 1 -) C.(22,22-) D.(22-,22-) 3、如图所示,在边长为2的正三角形A BC 中,E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点,点P 为线段EF 上一个动点,连接BP 、GP ,则△BPG 的周长的最小值是 _ .

4、菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点B (2,0),?=∠60DOB ,点P 是对角线OC 上一个动点,E (0,-1),当EP +BP 最短时,点P 的坐标为__________. 5、如图,在锐角三角形ABC 中,BC=24,∠ABC=45°, B D平分∠ABC,M、N 分别是BD 、B C 上的动点,则CM +MN 的最小值是 。 6、如图,在矩形ABCD 中,AB=4,AD=6,E 是A B的中点,F 是线段BC上的动点,将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F,连接B ′D,则B ′D 的小值是( ) A . B.6 ? C. D.4 7、如图,菱形ABCD 中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段B C,CD,BD 上的任意一点,则PK+QK 的最小值为【 】 A .?1? B.3 C. 2? D .3+1 8、如图,正方形AB CD 的边长为2,ABE ?是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线A C上有一点P ,使PD+PE的和最小,则这个最小值为( ) A 、2 ?B 、22 ?C 、2 ??D、6 9、点A 、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角

三角形最值问题典型题

P为边长等于1的正△ABC内任意一点,设L=PA+PB+PC,求L的最值。几何最值问题归结为以下三个定理 ①三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; ②两点间线段最短; ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短; 分析:求最值则涉及最小值以及最大值. 先求最小值,如下 一、射影法 过点P分别作PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F. 过点A作AD’⊥BC于D’,过B作BE’⊥AC,过C作CF’⊥AB。 AP+PD>AD’① BP+PE>BE’② CP+PF>CF’③ ①+②+③,得, AP+BP+CP+PD+PE+PF AD’ +BE’ + CF’ = a 即AP+BP+CP+a a ∴AP+BP+CP a 二、旋转法 顺时针旋转△BPC60°,可得△PBE为等边三角形.得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF′最小,只要AP,PE,EF′在一条直线上, 即如上图:∠ABF’=120°,可得最小L=a; C

三、面积法 作如图所示辅助线,则DEF的面积为, 又∵ ED?PB FD?PC EF?PA ∴?6a?(PA+PB+PC) ∴最小L= a 下面求其最大值,这要考虑到三角形的三边关系,如下图 过P点作BC的平行线交AB,AC于点D,F. 由于∠APD>∠AFP=∠ADP, 推出AD>AP① 又∵BD+DP>BP② 和PF+FC>PC③ 又∵DF=AF④ 由①②③④可得:最大L<2; 相关知识链接:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即A F

在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。

解三角形典型例题答案

1. 解:cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =,得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明:将ac b c a B 2cos 222-+=,bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边, ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3.证明:∵△AB C 是锐角三角形,∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-,即sin cos A B >;同理sin cos B C >;sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解:∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=,即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=, ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解:22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解:2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=-

三角形内的最值问题

三角形内的最值问题 我们知道,求一条直线上的点,要求该点到直线外两点的距离和 最小,若两点在直线的异侧,则所求点就是两点连线与已知直线的交点;若两点在直线的同侧,则作其中一点关于已知直线的对称点,对称点与另外一点的连线与已知直线的交点。(右图)那么求一平面上的点,要求该点到平面上三点的距离和最小,这个点又怎么求呢? 在平面几何中,有一个以费尔马为名的“费尔马点”。即:在 △ABC所在平面上找一点,它到三个顶点的距离之和相等。(如图4) 以AB、BC、CA为边向形外作正三角形BCD、ACE、ABK,作此三个三角形的外接圆。设⊙ABK、⊙ACE除A外的交点为F,由A、K、B、F四点共圆知∠AFB=120°。同理∠AFC=120°于是∠BFC=120°。故⊙BCD边过点F,即⊙ABK,⊙BCD,⊙CAE共点F。 由∠AFB=120°,∠BFD=60°,知A、F、D在一条直线上。 在FD上取点G,使FG=FB,则△FBG为正三角形。由BG=BF,BD=BC,∠DBG=∠CBF=60°-∠GBC,故△DBG≌△CBF。于是GD=FC,即AD=FA+FB+FC。 对于平面上任一点P,以BP为一边作等边△PBH(如图4),连HD,同样可证△BHD≌△BPC。于是AP+PH+HD=PA+PB+PC。但PA+PH+HD≥AD=FA+ FB+FC。这就是说,点F为所求点。这点称为△ABC的费尔马点。 以上情况只考虑△ABC的三个内角都小于120°的情况,当△ABC有某一内角≥120°,例如∠A≥120°,则点A即为所求点。 在三角形中,还有很多最值问题。下面介绍在三角形三边取三点连接成的三角形中,周长最小的三角形的求法。 在△ABC中,AD、BE、CF分别为三边上的高,△ DEF称为△ABC的垂足三角形,可以证明△ABC的垂心H是△DEF的内心。(图2) 证明过程如下: 因为∠AHE=∠BHD AC垂直于BE AD垂直于BC 所以∠CAD=∠EBC 所以sin∠CAD=sin∠EBC 所以CE/BC=CD/AC 在△CDE与△CAB中 ∠ECD=∠BCA 所以△CDE与△CAB相似 所以∠CDE=∠CAB 同理可得∠BDF=∠CAB 所以∠CDE=∠BDF

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题 一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C =90°,AB =c ,AC =b ,BC =a 。 (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2 。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A +B =90°; (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A =cos B =c a ,cos A =sin B =c b ,tan A =b a 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 (1)三角形内角和:A +B +C =π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2 -2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 3.三角形的面积公式: (1)?S =21ah a =21bh b =21ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、

(2)判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 6.求解三角形应用题的一般步骤: (1)分析:分析题意,弄清已知和所求; (2)建模:将实际问题转化为数学问题,写出 已知与所求,并画出示意图; (3)求解:正确运用正、余弦定理求解; (4)检验:检验上述所求是否符合实际意义。 二、典例解析 题型1:正、余弦定理 题型2:三角形面积 例2.在?ABC中,sin cos A A += 2 2 ,AC=2,3= AB,求A tan的值 和?ABC的面积。 点评:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算能力,是一道三角的基础试题。两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢? 题型3:三角形中的三角恒等变换问题 例3.在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2-c2=ac-bc, 求∠A的大小及 c B b sin的值。

初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

中考数学最值问题总结 考查知识点:1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。 (2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题) 问题原型:饮马问题造桥选址问题(完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点)出题背景变式:角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型: 条件:如下左图,A、B是直线l同旁的两个定点. 问题:在直线l上确定一点P,使PA PB +的值最小. 方法:作点A关于直线l的对称点A',连结A B'交l于 点P,则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三 角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM. (1)求证:△AMB≌△ENB; (2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小; ②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由; (3)当AM+BM+CM的最小值为 时,求正方形的边长。 A B A' ′ P l

例2、如图13,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式 (2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线M N∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.

二次函数及三角形周长,面积最值问题

二次函数与三角形周长,面积最值问题 知识点:1、二次函数线段,周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1:线段、周长问题 例1.(2018·)在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1), 如图,直线y=x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=﹣1. (1)求抛物线的解析式; (2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 拓展:在l上是否存在一点P,使PB-PA取得最大值?若存在,求出点P的坐标。

练习 1、如图,已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A(-1,0)和点B(0,-5). y ax x c (1)求该二次函数的解析式;

(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△ABP的周长最小.请求出点P的坐标. 2、如图,抛物线y=ax2-5ax+4(a<0)经过△ABC的三个顶点,已知BC ∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC. (1)求抛物线的解析式. (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使|MA-MB|最大?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

例2. (2018?莱芜)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0),B(4,0),C (0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于E. (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图1,求线段DE长度的最大值; 练习 1x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,1、如图,抛物线y= 2

三角形中最值问题

第42课 三角形中的最值问题 考点提要 1.掌握三角形的概念与基本性质. 2.能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数,解决三角形中的最值问题. 基础自测 1.(1)△ABC 中,cos A A =,则A 的值为 30° 或90° ; (2)△ABC 中,当A= 3 π 时,cos 2cos 2B C A ++取得最大值 32 . 2.在△ABC 中,m m m C B A 2:)1(:sin :sin :sin +=,则m 的取值范围是 2 1 >m . 解 由m m m c b a C B A 2:)1(:::sin :sin :sin +==, 令mk c k m b mk a 2,)1(,=+==,由b c a c b a >+>+,,得2 1>m . 3.锐角三角形ABC 中,若A=2B ,则B 的取值范围是 30o<B <45o . 4.设R ,r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径,则 r R 1. 5.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对边的边长分别是,,a b c ,若23b ac =,则B 的取值范围是 0°<B ≤120° . 6.在△ABC 中,若A>B ,则下列不等式中,正确的为 ①②④ . ①A sin >B sin ; ②A cos B 2sin ; ④A 2cos B ?a >b A R sin 2?>B R sin 2?A sin >B sin ,故①正确; A cos < B cos ?)2sin(A -π<)2 sin(B -π ?A>B ,故②正确(或由余弦函 数在(0,)π上的单调性知②正确); 由A 2cos B sin ?A>B ,故④正确. 知识梳理 1.直角△ABC 中,内角A ,B ,C 所对边的边长分别是,,a b c ,C=90°,若内切圆的半径为r ,则2 a b c r +-= . 2.在三角形中,勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础,起到工具性的作用.它们在处

解三角形最值问题

三角形最值问题 课前强化 1.在△ABC 中,已知0 45,2,===B cm b xcm a ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则x 的取值范围是 ( ) A.222 <x< B.222≤<x C.2x > D.2x < 2.△ABC 中,若sinA :sinB :sinC=m :(m+1):2m, 则m 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.( 2 1,+∞) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 3.在△ABC 中,A 为锐角,lg b +lg(c 1)=lgsin A =-lg 2, 则△ABC 为( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是( ) A.0 075,45,10===C A b B.080,5,7===A b a C.060,48,60===C b a D.045,16,14===A b a 5.△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,) p a c b =+ (,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 ( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度决定 最值范围问题: 7、在ABC ?中,角所对的边分别为且满足(I )求角的大小;(II )求)cos(sin 3C B A +-的最大值,并求取得最大值时角的大小. ,,A B C ,,a b c sin cos .c A a C =C ,A B

解三角形经典例题及解答

知识回顾: 4、理解定理 (1) 正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a ksinA , ________________ , c ksinC ; (2)」 b J 等价于 ______________________ sin A sin B sin C (3) 正弦定理的基本作用为: 正弦、余弦定理 1、直角三角形中,角与边的等式关系:在 Rt ABC 中,设 BC=a ,AG=b , AB=c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有 -sin A ,- sin B ,又sinC 1 -,从而在直角三 c c c 角形ABC 中,-?- sin A b sin B c si nC 2、当 ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是CD 根据任意角三角函数的定义, 有 CD=asinB bsinA ,则 一- b ,同理可得一 sin A sin B sin C b sin B 从而」- sin A b sin B c sin C 3、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的 ____ 的比相等,即旦 sin A b sin B c sin C c b a c sin C sin B ' sin A sin C

① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a bsinA ; b sin B ② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值, 如 sin A a sin B ; sinC . b (4) 一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作 解三角形? 5、知识拓展 6、 勾股定理: ___________________________________ 7、 余弦定理:三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 _____________ ______________ 的两倍,即a 2 b 2 8、余弦定理的推论: cosC ____________________________ 。 9、在 ABC 中,若a 2 b 2 c 2,则 ______________________ ,反之成立; 典型例题: a b sin A sin B c si nC 2R ,其中2R 为外接圆直径. c 2 cosA cosB

三角函数解三角形中的最值问题

1.已知ABC ?中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且 222 3sin 3sin 2sin sin 3sin ,B C B C A a +-==AB AC ? 的最大值. 2. 在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(1,cos ),(cos 21,2)m A n A λλ==--- ,已知//m n (1)若2λ=,求角A 的大小; (2)若b c +=,求λ的取值范围. 3. 设ABC ?的内角所对的边分别为,,a b c ,且1cos 2 a C c b += (1)求角A 的大小; (2)若1a =,求ABC ?周长的取值范围. 4. 已知ABC ?是半径为R 的圆的内接?且222(sin sin ))sin R A C b B -=- (1)求角C ; (2)求ABC ?面积的最大值. 5. 已知向量(2,1),(sin ,cos())2 A m n B C =-=+ ,角,,A B C 分别为ABC ?的三边,,a b c 所对的角, (1)当m n ? 取得最大值时,求角A 的大小; (2)在(1)的条件下,当a =22b c +的取值范围. 6.已知(2cos ,1)a x x =+ ,(,cos )b y x = 且//a b (1)将y 表示成x 的函数()f x ,并求()f x 的最小正周期; (2)记()f x 的最大值为,,,M a b c 分别为ABC ?的三个内角A B C 、、对应的边长,若(),2A f M =且2a =,求bc 的最大值. 7. 在锐角ABC ?中,,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边,设2B A =,求b a 的取值范围.

解三角形中的最值问题

解三角形中的最值问题 1、在ABC ?中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,求cos C 的最小值。 【解析】由余弦定理知2 14242) (21 2cos 2222222 2 2 =≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C , 2、在ABC ?中,60,3B AC ==o ,求2AB BC +的最大值。 3、在ABC ?中,已知角,,A B C 的对边分别为a ,b ,c ,且,sin 32sin a b A A B ≥+=。 (1)求角C 的大小;(2)求 a b c +的最大值。 解析:(1)由sin 32sin A A B +=得2sin 2sin 3A B π?? + = ?? ?,则sin sin 3A B π? ?+= ??? ,因为,a b ≥则A B ≥,所以3 A B π π+ =-,故2,33 A B C ππ+= =。 (2)由正弦定理及(1)得sin sin =sin sin 3cos 2sin sin 363a b A B A A A A A c C ππ++???? ?=+++=+ ? ??????? 所以当3 A π = 时, a b c +取得最大值2. 4、△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (1)求B ;(2)若2b =,求△ABC 面积的最大值. 【答案】

5、在△ABC 中,a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ (1)求A 的大小;(2)求sin sin B C +的最大值. 解: 6、在ABC ?中,角A B C 、、的对边分别为,,a b c ,且满足2)a c BA BC cCB CA -?=?u u u r u u u r u u u r u u u r 。 (1)求角B 的大小;(2)若||6BA BC -=u u u r u u u r ,求ABC ?面积的最大值。 答案:(1)2)cos cos a c B b C -=,由正弦定理得(2sin )cos sin cos ,A C B B C -=

(完整)初中数学《几何最值问题》典型例题

初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短; 直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短; 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值) 是解决几何最值问题的理论依据,根据不同特征转化是解决最值问题的关键.通过转化减少变量,向三个定理靠拢进而解决问题;直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段. 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A,B为定点,l为定直 线,P为直线l上的一 个动点,求AP+BP的 最小值 A,B为定点,l为定直线, MN为直线l上的一条动线 段,求AM+BN的最小值 A,B为定点,l为定直线, P为直线l上的一个动 点,求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M,N 重合,然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中,M,N两点分别是边AB,BC上的动点,将△BMN沿MN翻折, B点的对应点为B',连接AB',求AB'的最小值. 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1.如图:点P是∠AOB内一定点,点M、N分别在边OA、OB上运动,若∠AOB=45°,OP=32,则△PMN 的周长的最小值为. 【分析】作P关于OA,OB的对称点C,D.连接OC,OD.则当M,N是CD与OA,OB的交点时,△PMN 的周长最短,最短的值是CD的长.根据对称的性质可以证得:△COD是等腰直角三角形,据此即可求解.【解答】解:作P关于OA,OB的对称点C,D.连接OC,OD.则当M,N是CD与OA,OB的交点时,△PMN的周长最短,最短的值是CD的长. ∵PC关于OA对称, ∴∠COP=2∠AOP,OC=OP 同理,∠DOP=2∠BOP,OP=OD

解三角形知识点汇总和典型例题(新)

中小学1对1课外辅导专家 文成教育学科辅导教案讲义 授课对象 授课教师 徐老师 授课时间 3月11日 授课题目 解三角形复习总结 课 型 复习课 使用教具 人教版教材 教学目标 熟练掌握三角形六元素之间的关系,会解三角形 教学重点和难 点 灵活解斜三角形 参考教材 人教版必修5第一章 教学流程及授课详案 解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C =90°,AB =c ,AC =b ,BC =a 。 (1)三边之间的关系:a 2 +b 2 =c 2 。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A +B =90°; (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A =cos B = c a ,cos A =sin B =c b ,tan A =b a 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 (1)三角形内角和:A +B +C =π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 3.三角形的面积公式: (1)?S = 21ah a =21bh b =2 1 ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高);

专题 三角形中的最值与取值范围问题

专题 三角形中的最值与取值范围问题 三角形中的边与角的最值与取值范围问题,是复习过程中的难点,在高考中考查形式灵活,常常在知识的交汇点处命题,与函数、几何、不等式等知识结合在一起。我们知道三角形只要满足三个条件,那么这个三角形就基本唯一确定了,而少于三个条件时,有些边角周长面积就可以变化,从而就有了求这些量的取值范围问题。这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题,求解主要是充分运用三角形的内角和定理,正余弦定理,面积公式,基本不等式,三角恒等变形,三角函数的图像和性质来进行解题,非常综合,是解三角形中的难点问题。下面对这类问题的解法做下探讨。 类型一:已知一角+对边 例题1:在?ABC 中,A=60°,,求 (1)ABC ?面积的最大值; (2)b c +的取值范围; (3)2b c +的最大值; (4)BC 边上高的最大值。 类型二:已知一角+边的等量关系 例题2:在?ABC 中,A=60°,1b c +=,求 (1)ABC S ?的最大值; (2)a 的取值范围; (3)周长的取值范围。 类型三:已知一角+面积 例题3:在?ABC 中,A=60°,ABC S ?= (1)b c +的最小值; (2)a 的最小值。 (3)周长的最小值。 (4) 112b c +的最小值。 类型四:已知角的等量关系 例题4:在?ABC 中,A=2B ,则 c b 的取值范围为

变式:在锐角?ABC 中,A=2B ,则c b 的取值范围为 类型五:已知两边,求面积的最值 例题5:在?ABC 中,已知1,2AB BC ==,求 (1)ABC S ?的最大值; (2)角C 的取值范围。 类型六:已知一边+另两边的等量关系 例题6:在?ABC 中,已知6,10BC AB AC =+ =,求ABC S ?的最大值。 变式:在?ABC 中,已知6,BC AC ==,求ABC S ?的最大值。 类型七:三边的等量关系 例题7:在?ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a,b,c,若2222a b c +=,求cos C 的最小值。

解三角形经典例题

解三角形 一、 知识点梳理: 1、正弦定理:在△ABC 中, R C c B b A a 2sin sin sin === 注:①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用 2、余弦定理:在△ABC 中, A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= 也可以写成第二种形式: bc a c b A 2cos 222-+=,ac b c a B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 2 22-+= 3、△ABC 的面积公式,B ac A bc C ab S sin 2 1sin 21sin 21=== 二、题组训练: 1、在△ABC 中, a=12,A=060,要使三角形有两解,则对应b 的取值范围为 2、判定下列三角形的形状 在△ABC 中,已知38,4,3===c b a ,请判断△ABC 的形状。 在△ABC 中,已知C B A 222sin sin sin <+,请判断△ABC 的形状。 在△ABC 中,已知bc a A == 2,2 1cos ,请判断△ABC 的形状。 在△ABC 中,已知C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+,请判断△ABC 的形状。 在△ABC 中,,sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++请判断△ABC 的形状。 3、在△ABC 中,已知030,4,5===A b a ,求△ABC 的面积。

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