一次函数动点
2．如图直线?：y=kx+6 与x 轴、y 轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A 的坐标为（﹣6，0）
（1）求k 的值．
（2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
（3）当点P 运动到什么位置时，△ OPA的面积为9，并说明理
由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的
面积。专题：动点型。
分析：（1）将B 点坐标代入y=kx+6 中，可求k 的值；
（2）用OA的长，y 分别表示△OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x 的函数关系式；（3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x、y 的值，得出P 点位置．解
答：解：（1）将B（﹣8，0）代入y=kx+6 中，得﹣8k+6=0，解得k= ；
（2）由（1）得y= x+6，又OA=6，
∴S= ×6×y= x+18，（﹣8＜x＜0）；
（3）当S=9时，x+18=9，解得x=﹣4，
此时y= x+6=3，
∴P（﹣4，3）．
点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求
法．关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示．
1．如图1，已知直线y=2x+2 与y 轴、x 轴分别交于A、B 两点，以B为直角顶点在第二象限
作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．
（2）如图2，直线CB交y 轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=D．E （3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x 轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在
线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题。
分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；
（2） 同（ 1）的方法证明△ BCH ≌△ BDF ，再根据线段的相等关系证明△ BOE ≌△ DGE ，得出结论；
（3）
依题意确定 P 点坐标，可知△ BPN 中 BN 变上的高，再由 S △PBN = S △BCM ，求 BN ，进而得出
ON ．
解答： 解：（1）如图 1，作 CQ ⊥x 轴，垂足为 Q ， ∵∠OBA ∠+ ∴∠OAB ∠= OAB=9°0 QBC ， ，∠
O
+ QBC=9°0 ， 又
∵A B =B C ，∠
A = ∴△ABO ≌△ BCQ ， Q=90°， ∴BQ=AO=，2 OQ=BQ+BO ，=3CQ=OB=，1
∴C
（﹣ 3， 1）， 由 A （ 0， 2），C （﹣ 3，1）可知，直线 AC ：y= x+2； （2） 如图 2，作 CH ⊥x 轴于 H ，DF ⊥x 轴于 F ，DG ⊥y 轴于 G ， ∵AC=AD ，AB ⊥CB ， ∴BC=BD ， ∴△BCH ≌△ BDF ， ∴BF=BH=，2 ∴OF=OB=，1 ∴DG=O ，B ∴△BOE ≌△ DGE ， ∴BE=DE ；
（3）
如图 3，直线 BC ： y=﹣ x ﹣ ，P （ ，k ）是线段 BC 上一点，
∴P （﹣ ， ），
由 y= x+2 知 M （﹣ 6，0），
∴BM=5，则 S △BCM = ．
假设存在点 N 使直线 PN 平分△ BCM 的面积， 则 BN? = × ， ∴BN= ，ON= ，
∵BN ＜ BM ，
∴点 N 在线段 BM 上， ∴N （﹣ ，0）．
点评：本题考查了一次函数的综合运用． 关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解． 3. 如图①，过点（ 1，5）和（ 4， 2）两点的直线分别与 x 轴、y 轴交于 A 、B 两点． （1） 如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有 10 个（请直接写出结果） ； （2） 设点 C （4，0），点 C 关于直线 AB 的对称点为 D ，请直接写出点 D 的坐标 （6，2） ；
（3）如图②，请在直线AB和y 轴上分别找一点M、N 使△C M N的周长最短，在图②中作出
图形，并求出点N的坐标．
考点：一次函数综合题。
分析：（1）先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=﹣x+6；再分别把x=2、3、4、5 代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；
（2）首先根据直线AB的解析式可知△ OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可
求出点D的坐标；
（3）作出点C关于直线y 轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y 轴于点N，则此时△ CMN的周长最短．由D、E 两点的坐标利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据y 轴上点的坐标特征，即可求出点N的坐标．
解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把（1，5），（4，2）代入得，kx+b=5，4k+b=2，
解得k=﹣1，b=6，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；
当x=2，y=4；
当x=3，y=3；
当x=4，y=2；
当x=5，y=1．
∴图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），
（4，
1）．一共
10 个；
（2）∵直线y=﹣x+6 与x 轴、y 轴交于A、B 两点，
∴A点坐标为（6，0），B 点坐标为（0，6），
∴OA=OB=，6 ∠OAB=4°5．
∵点C关于直线AB的对称点为D，点C（4，0），
∴AD=AC=，2 AB⊥CD，
∴∠DAB=∠CAB=4°5，
∴∠DAC=9°0，
∴点D的坐标为（6，2）；
（3）作出点C关于直线y 轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y 轴于点N，则NC=N，E
点E（﹣4，0）．
又∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CM=D，M
∴△CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+N，E此=D时E周长最
短．设直线DE的解析式为y=mx+n．
把D（6，2），E（﹣4，0）代入，得
6m+n=2，﹣4m+n=0，
解得m= ，n= ，
∴直线DE的解析式为y= x+
．令x=0，得
y= ，
2
2
∴点 N 的坐标为（ 0， ）．
故答案为 10；（ 6， 2）．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式， 横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称﹣最短路线问题，综合性较强，有一定难度．
4.
已知如图，直线 y=﹣ x+4 与 x 轴相交于点 A ，与直线 y= x 相交于点 P ．
（1） 求点 P 的坐标； （2） 求 S △OPA 的值；
（3） 动点 E 从原点 O 出发，沿着 O →P →A的路线向点 A 匀速运动（ E 不与点 O 、A 重合），
过点 E 分别作 EF ⊥x 轴于 F ，EB ⊥y 轴于 B ．设运动 t 秒时， F 的坐标为（ a ， 0），矩形 EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为 S ．求： S 与 a 之间的函数关系式． 考点：一次函数综合题。 分析：（ 1） P 点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标． （2） 把 OA 看作底， P 的纵坐标为高，从而可求出面积． （3） 应该分两种情况，当在 OP 上时和 PA 时，讨论两种情况求解． 解答： 解：（1）﹣ x+4 = x
x=3， y= ．
所以 P （3， ）． （2）0=﹣ x+4 ． x=4．
4× × =2 ．
故面积为 2 ．
（3）当 E 点在 OP 上运动时， ∵F 点的横坐标为 a ，所以纵坐标为 a ，
∴S= a?a ﹣ × a?a=
a ． 当点 E 在 PA 上运动
时，
∵F 点的横坐标为 a ，所以纵坐标为﹣ a+4 ．
∴S=（﹣
a+4 ） a ﹣ （﹣
a+4 ） a=﹣ a +2 a ．
点评： 本题考查一次函数的综合应用，关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标，横纵坐
标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标． 6. 如图，直线 l 1 的解析表达式为： y=﹣3x+3，且 l 1 与 x 轴交于点 D ，直线 l 2 经过点 A ，B ， 直线 l 1，l 2 交于点 C ． （1） 求直线 l 2 的解析表达式； （2） 求△ ADC 的面积； （3） 在直线 l 2 上存在异于点 C 的另一点 P ，使得△ ADP 与△ ADC 的面积相等，求出点 P 的坐标； （4） 若点 H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 H ，使以 A 、D 、C 、H 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：一次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）结合图形可知点 B 和点A 在坐标，故设l 2 的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b 的值；
（2）已知l 1 的解析式，令y=0 求出x 的值即可得出点D在坐标；联立两直线方程组，求出交点C的坐标，进而可求出S△ADC；
（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，ADC高就是C到AD的距离；（4）存在；根据平行四边形的性质，可知一定存在 4 个这样的点，规律为H、C坐标之和等于A、D 坐标之和，设出代入即可得出H的坐标．
解答：解：（1）设直线l 2 的解析表达式为y=kx+b，
由图象知：x=4，y=0；
x=3，，
∴，
∴，
∴直线l 2 的解析表达式为；
（2）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，
∴x=1，
∴D（1，0）；
由，
解得，
∴C（2，﹣3），
∵AD=3，
∴S△ADC= ×3×| ﹣3|= ；
（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，
ADC高就是C到AD的距离，即C纵坐标的绝对值=| ﹣3|=3 ，
则P 到AB距离=3，
∴P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C，
∴点P 纵坐标是3，
∵y=1.5x ﹣6，y=3，
∴1.5x ﹣6=3
x=6，
所以点P 的坐标为（6，3）；
（4）存在；
（3，3）（5，﹣3）（﹣1，﹣3）
点评：本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算以及平行四边形的性质等等有关知识，有一定的综合性，难度中等偏上．
7.如图，直线y= x+6 与x 轴、y 轴分别相交于点E、F，点A 的坐标为（﹣6，0），P（x，y）
是直线y= x+6 上一个动点．
（1）在点P 运动过程中，试写出△ OPA的面积s 与x 的函数关系式；
（2）当P 运动到什么位置，△OPA的面积为，求出此时点P 的坐标；
（3）过P 作EF的垂线分别交x 轴、y 轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P 的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；全等三角形的判定。
专题：计算题；动点型。
分析：（1）求出P 的坐标，当P 在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求出面积即可；
当P 在第三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可；
（2）把s 的值代入解析式，求出即可；
（3）根据全等求出O C、OD的值，如图①所示，求出C、D 的坐标，设直线CD的解析式是
y=kx+b，把C（﹣6，0），D（0，﹣8）代入，求出直线CD的解析式，再求出直线CD和直线y= x+6 的交点坐标即可；如图②所示，求出C、D 的坐标，求出直线CD的解析式，再求出
直线CD和直线y= x+6 的交点坐标即可．
解答：解：（1）∵P（x，y）代入y= x+6 得：y= x+6，
∴P（x，x+6），
当P 在第一、二象限时，△OPA的面积是s= OA×y= ×| ﹣6| ×（x+6）= x+18（x＞﹣8）
当P 在第三象限时，△OPA的面积是s= OA×（﹣y）=﹣x﹣18（x＜﹣8）
答：在点P运动过程中，△ OPA的面积s 与x 的函数关系式是s= x+18（x＞﹣8）或s=﹣x ﹣18（x＜﹣8）．
解：（2）把s= 代入得：= +18 或=﹣x﹣18，
解得：x=﹣6.5 或x=﹣6（舍去），
x=﹣6.5 时，y= ，
∴P点的坐标是（﹣ 6.5 ，）．
（3）解：假设存在P 点，使△ COD≌△FOE，
①如图所示：P的坐标是（﹣，）；
②如图所示：
P的坐标是（，）
存在P 点，使△COD≌△FOE，P的坐标是（﹣，）或（，）．
点评：本题综合考查了三角形的面积，解二元一次方程组，全等三角形的性质和判定，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，此题综合性比较强，用的数学思想是分类讨论思想和数形结合思想，难度较大，对学生有较高的要求．
8.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，与直线OC：y=x 交于点C．
（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，
①求点C的坐标；
②求△ OAC的面积．
（2）如图，作∠ AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．
考点：一次函数综合题。
专题：综合题；数形结合。
分析：（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标．
②欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点 A 和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点 A 的坐标，代入面积公式即可．
（2）在OC上取点M，使OM=O，P连接MQ，易证△POQ≌△MO，Q可推出AQ+PQ=AQ+；M若Q想
= CEO，即证
使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又AB⊥OP，可得∠AEO∠
△AEO≌△CEO（ASA），又OC=OA=，4利用△ OAC的面积为6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3．
解答：解：（1）①由题意，（2 分）
解得所以C（4，4）（3 分）
②把y=0 代入y=﹣2x+12 得，x=6，所以A 点坐标为（6，0），（4 分）
所以．（6 分）
（2）存在；
由题意，在OC上截取OM=O，P连接MQ，
∵OP平分∠ AOC，
∴∠AOQ∠=
COQ，
又OQ=O，Q
SAS），（7 分）
∴△POQ≌△MO（Q
∴PQ=M，Q
∴AQ+PQ=AQ+，MQ
当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最
小．即AQ+PQ存在最小值．
= CEO，
∵AB⊥OP，所以∠ AEO∠
∴△AEO≌△CEO（ASA），
∴OC=OA=，4
∵△OAC的面积为6，所以AM=2×6÷4=3，
∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．（9 分）
点评：本题主要考查一次函数的综合应用，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题
能力，有一定难度．
9.如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线AP交x 轴于点P（p，0），交y 轴于点A（0，a），且a、b 满足．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y 轴的对称点为Q，R（0，2），点S 在直线AQ上，且SR=SA，求直
线RS的解析式和点S 的坐标；
（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C 在第一象限，D为线段OP上一动点，连接D C，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角
形DCE，EF⊥x轴，F 为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．
考点：一次函数综合题；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；待定系数法
求一次函数解析式；等腰三角形的性质；关于x 轴、y 轴对称的点的坐标。
专题：代数几何综合题；动点型。
分析：（1）根据非负数的性质列式求出a、p 的值，从而得到点A、P 的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式；
（2）根据关于y 轴的点的对称求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线AQ的解析式，设出点S 的坐标，然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S的坐标，再利用待定系数法求解直线RS的解析式；
（3）根据点B 的横坐标为﹣2，可知点P 为AB的中点，然后求出点 B 得到坐标，连接P C，过点C作CG⊥x轴于点G，利用角角边证明△ APO与△PCG全等，根据全等三角形对应边相
等可得 PG=A ，O CG=P ，O 再根据△ DCE 是等腰直角三角形，利用角角边证明△ CDG 与△ EDF 全 等，根据全等三角形对应边相等可得 DG=E ，F 论进行计算即可找出正确的结论并得到定值． 然后用 EF 表示出 DP 的长度，然后代入两个结 解答： 解：（1）根据题意得， a+3=0， p+1=0，解得 a=﹣ 3，p=﹣1，
∴点 A 、P 的坐标分别为 A （0，﹣ 3）、P （﹣ 1，0）， 设直线 AP 的解析式为 y=mx+n ，
，
∴直线 RS 的解析式为 y=﹣3x+2； （3）∵点 B （﹣ 2，b ）， ∴点 P 为 AB 的中点， 连接 PC ，过点 C 作 CG ⊥x 轴于点 G ， ∵△ABC 是等腰直角三角形，
则 ，
解得 ，
∴直线 AP 的解析式为 y=﹣3x ﹣3；
（2）根据题意，点 Q 的坐标为（ 1，0）， 设直线 AQ 的解析式为 y=kx+c ， 则 ， 解得
，
∴直线 AQ 的解析式为 y=3x ﹣ 3， 设点 S 的坐标为（ x ，3x ﹣3）， 则 SR=
= SA= =
，
∵SR=SA ， ∴
=
，
解得 x= ，
∴3x ﹣3=3× ﹣3=﹣ ， ∴点 S 的坐标为 S （ ，﹣ ）， 设直线 RS 的解析式为 y=ex+f ， 则 ， 解得
，
∴PC=PA=AB，PC⊥AP，
∴∠CPG∠+∴∠CPG∠=APO=9°0
PAO，
，
∠
A
+
PAO=9°0，
在△APO与△PCG中，，
∴△APO≌△PCG（AAS），
∴PG=AO=，3 CG=P，O
∵△ DCE是等腰直角三角形，
∴CD=D，E∠CDG∠+
又∵EF⊥x轴，
EDF=90°，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∴∠CDG∠= D EF，
在△CDG与△EDF中，，
∴△CDG≌△EDF（AAS），
∴DG=E，F
∴DP=PG﹣DG=3﹣EF，
①2DP+EF=（2 3﹣EF）+EF=6﹣EF，
∴2DP+EF的值随点P的变化而变化，不是定值，
②= = ，
的值与点D的变化无关，是定值．
点评：本题综合考查了一次函数的问题，待定系数法求直线解析式，非负数的性质，等腰直角
三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及关于y 轴对称的点的坐标的特点，综合性
较强，难度较大，需仔细分析找准问题的突破口．
10.如图，已知直线l 1：y=﹣x+2 与直线l 2：y=2x+8 相交于点F，l 1 、l 2 分别交x 轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D 分别在直线l 1 、l 2，顶点A、B 都在x 轴上，且点B与点G重合．（1）求点F 的坐标和∠ GEF的度数；
（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；
（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移动时间
为t （0≤t ≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s 关于t 的函数关系式，
并写出相应的t 的取值范围．
考点：一次函数综合题。
专题：数形结合；分类讨论。
分析：（1）由于直线l 1：y=﹣x+2 与直线l 2 ：y=2x+8 相交于点F，因而联立两解析式组成方
程组求得解即为 F 点的坐标．过 F 点作直线FM垂直X 轴交x 轴于M，通过坐标值间的关系
证得ME=MF=，4从而得到△ MEF是等腰直角三角形，∠ GEF=4°5；
（2）首先求得B（或G）点的坐标、再依次求得点C、D、A 的坐标．并进而得到DC与BC的长；
（3）首先将动点A、B 用时间t 来表示．再就①在运动到t 秒，若BC边与l 2 相交设交点为N，AD与l 1 相交设交点为K；②在运动到t 秒，若BC边与l 1 相交设交点为N，AD与l 1 相交
设交点为K；③在运动到t 秒，若BC边与l 1 相交设交点为N，AD与l 1 不相交．三种情况讨
论解得s 关于t 的函数关系式．
解答：解：（1）由题意得
，
解得x=﹣2，y=4，
∴F点坐标：（﹣2，4）；
过F 点作直线FM垂直X 轴交x 轴于M，ME=MF=，4△MEF是等腰直角三角形，∠ GEF=4°5；（2）由图可知G点的坐标为（﹣4，0），则C点的横坐标为﹣4，
∵点C在直线l 1 上，
∴点C的坐标为（﹣4，6），
∵由图可知点D与点C的纵坐标相同，且点D在直线l 2 上，
∴点D的坐标为（﹣1，6），
∵由图可知点 A 与点D的横坐标相同，且点 A 在x 轴上，
∴点A 的坐标为（﹣1，0），
∴DC=|﹣1﹣（﹣4）|=3 ，BC=6；
（3）∵点E 是l 1 与x 轴的交点，
∴点E 的坐标为（2，0），
S△GFE= = =12，
若矩形ABCD从原地出发，沿x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，
当t 秒时，移动的距离是1×t=t ，则B点的坐标为（﹣4+t ，0），A 点的坐标为（﹣1+t ，0）；
①在运动到t 秒，若BC边与l 2 相交设交点为N，AD与l 1 相交设交点为K，那么﹣4≤﹣4+t ≤﹣2，即0≤t ≤2时．
N点的坐标为（﹣4+t ，2t ），K 点的坐标为（﹣1+t ，3﹣t ），s=S△GFE﹣
S△GNB﹣S△AEK=12﹣= ，
②在运动到t 秒，若BC边与l 1 相交设交点为N，AD与l 1 相交设交点为K，那么﹣2＜﹣4+t 且﹣1+t ≤3，即2＜t ≤4时．
N点的坐标为（﹣4+t ，6﹣t ），K 点的坐标为（﹣1+t ，3﹣t ），
s=S梯形BNKA== ，
③在运动到t 秒，若BC边与l 1 相交设交点为N，AD与l 1 不相交，那么﹣4+t ≤3且﹣1+t ＞3，即4＜t ≤7时．
N点的坐标为（﹣4+t ，6﹣t ），
s=S△BNE= = ，
答：（1）F 点坐标：（﹣2，4），∠GEF的度数是45°；
（2）矩形ABCD的边DC的长为3，BC的长为6；
（3）s 关于t 的函数关系式．
n
n
点评： 本题是一次函数与三角形、矩形、梯形相结合的问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．
11. 如图，直线
（1） 求直线 l 1 ： y
kx b 平行于直线 y x l 1 、 l 2 的解析式；
1，且与直线 l 2 ： y mx
1
相交于点 2
P( 1, 0) ．
（2） 直线 l 1 与 y 轴交于点 A ．一动点 C 从点 A 出发，先沿平行于 x 轴的方向运动， 到达直线 l 2 上的点 B 1
处后，改为垂直于 x 轴的方向运动，到达直线
l 1 上的点 A 1 处后，再沿平行于 x 轴的方向运动，到达
直线 l 2 上的点 B 2 处后，又改为垂直于
x 轴的方向运动，到达直线
l 1 上的点 A 2 处后，仍沿平行于 x
轴的方向运动，
照此规律运动，动点
C 依次经过点 B 1 ， A 1 ， B 2 ， A 2 ， B 3 ， A 3 ， ， B n ，
A n ，
①求点 B 1 ， B 2 ， A 1 ， A 2 的坐标；
②请你通过归纳得出点
A n 、
B n 的坐标；并求当动点
C 到达 A n 处时，运动的总路径的长．
解：（ 1）由题意，得
k 1, 解得
k b 0.
k 1, b 1.
∴直线 l 1 的解析式为
y x 1．
1 分
∵点 P( 1, 0) 在直线 l 2 上， 1 1 ∴ m
0 ．∴ m
．
2
2 ∴直线 l 2 的解析式为
y
1
x 1 ．
2 分
2 2
（2）① A 点坐标为 （ 0， 1），
则 B 1 点的纵坐标为 1，设 B 1 (x 1 ,1) ， 1
∴ x 1
1 1 ．
2
2
∴ x 1 1 ．
∴ B 1 点的坐标为 (1,1) ．
3 分
则 A 1 点的横坐标为 1，设 ∴ y 1 1 1 2 ．
A 1 (1, y 1 ) ∴ A 1 点的坐标为 (1, 2) ． 4 分 同理，可得
B 2 (3 , 2) ， A 2 (3 , 4) ． 6 分
②经过归纳得
A (2 n
1, 2n
) ， B (2 n
1, 2n
) ．
7 分
当动点 C 到达 A n 处时，运动的总路径的长为 A n 点的横纵坐标之和再减去
1，
即
2
n
1 2
n
1 2n 1
2 ．
8 分
12. 在 △ ABC 中， AC=BC
， ACB 90 ，点 D 为 AC 的中点．
（ 1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段 DF ，连结 CF ，过
1
点 F 作FH FC ，交直线AB 于点H．判断FH 与FC的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若 E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
解：（1）FH 与FC的数量关系是：FH FC ． 1 分
证明：延长DF 交AB 于点G，
由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．
∴DG∥CB．
∵点 D 为AC的中点，
∴点G 为AB 的中点，且DC
A 1
AC ．
2
∴DG 为△ABC 的中位线． D F
2
∴DG 1
BC ． E
H
2
1
∵AC=BC，
∴DC=DG．
C B
∴ DC- DE =DG- DF．
即EC =FG． 2 分
∵∠EDF =90°，FH FC ，
∴∠1+∠CFD =90°，∠ 2+∠CFD=90°．
∴∠ 1 =∠2． 3 分
∵ △DEF 与△ADG 都是等腰直角三角形，
∴∠DEF =∠DGA = 45°．
∴∠ CEF =∠FGH= 135°． 4 分
∴△ CEF ≌△ FGH． 5 分
∴CF=FH． 6 分
（2）FH 与FC仍然相等．7 分
3
13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x 2 分别交x 轴、y 轴于C、A 两点.将射线AM 绕着
3
点A 顺时针旋转45°得到射线AN.点D 为AM 上的动点，点 B 为AN上的动点，点 C 在∠MAN 的内部. （1）求线段AC的长；
（2）当AM∥x 轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积；
（3）求△ BCD周长的最小值；
5 2
（4）当△BCD的周长取得最小值，且BD=
3
（第（4）问只需填写结论，不要求书写过程）
考点：一次函数综合题．
时,△BCD 的面积为.
专题：动点型．
分析：（1）因为直线y
3
x 2 与x 轴、y 轴分别交于C、A 两点，所以分别令y=0，x=0，即可求出3
点C、点 A 的坐标，即可求出O A、OC的长度，利用勾股定理即可求出AC=4；
G
（2）因为AM∥x 轴，且四边形ABCD为梯形，所以需分情况讨论：
①当AD∥BC时，因为将射线AM绕着点 A 顺时针旋45°得到射线A N，点B 为AN上的动点，所以∠DAB=45
度．利用两直线平行，内错角相等可得∠ABO=4°5
1
，OB=OA=，2 又因OC=2 3 ，所以BC=2 3 -2 ，所以S
△BCD=
2
BC?OA=2 3 -2 ．
②当AB∥DC时，△BCD的面积=△ADC的面积，因为OA=2，OC=2 3 ，AC=4，所以∠DAC=∠ACO=3°0 ，作CE⊥AD于E，因为∠EDC=∠DAB=45°，所以EC=ED=0.5AC=2，AE=2 3 ，所以AD=2 3 -2 ，S△BCD= 2 3 -2 ．（3）可作点C关于射线AM的对称点C1，点 C 关于射线AN的对称点C2．由轴对称的性质，可知CD=C1D，CB=C2 B．
∴CB+BD+CD=2B C+BD+C1D=C1C2，并且有∠ C1AD=∠CAD，∠ C2AB=∠CAB，AC1=AC2=AC=4．∠ C1AC2=90°．
连接C1C2．利用两点之间线段最短，可得到当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长．
（4）根据（3）的作图可知四边形AC1CC2 的对角互补，因此，∠C2C C1=135°．
利用∠ B CC2+∠DCC1+∠BCD=13°5，∠BC2C+∠DC1C+∠BCC2+∠DCC1+∠BCD=18°0，结合轴对称可得∠
BCD=9°0．
2 2 2
5 2 2 5 2 利用勾股定理得到CB+CD=BD=（），因为CB+CD=4 2
6 ，可推出CB?CD的值，进而求出三
6 角形的面积．
解: （1）∵直线y = -
3
x +2 与x 轴、y 轴分别交于C、A 两点，3
∴点C 的坐标为（ 2 3 ，0），点 A 的坐标为（0 ，2）.----------------------1 分∴ AC=4. -----------------------------2 分
（2）如图1，当AD∥BC 时，
依题意，可知∠DAB = 45°，
∴∠ABO= 45°.
∴ OB = OA= 2.
∵OC = 2 3 ，
∴BC= 2 3 - 2.
1
∴ S△ BCD=
2
BC?OA = 2 3 - 2.---------------------------3 分
如图2，当AB∥DC 时.
可得S△ BCD= S△ACD .
设射线AN 交x 轴于点 E.
∵ AD∥ x 轴，
∴ 四边形AECD为平行四边形. ∴ S△ AEC= S△ACD .
∴ S△BCD=S△AEC= 1
CE?OA= 2 3 - 2. 2
综上所述，当AM∥x 轴，且四边形ABCD为梯形时，S△BCD= 2 3 - 2. ----------4 分
（3）如图3，作点 C 关于射线AM 的对称点C1，点C 关于射线AN 的对称点C2.
---------------------------------5 分由轴对称的性质，可知CD=C1D，CB=C2B.
∴C2B + BD + C1D= CB + BD +CD.
连结AC1、AC2，
可得∠ C1AD=∠CAD，∠ C2AB=∠CAB，AC1=AC2=AC=4.
∵ ∠ DAB = 45°，
∴∠C1AC2 =90°.
连结C1C2.
∵ 两点之间线段最短，
∴当B、D 两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2 的长.
∴△BCD的周长的最小值为 4 2 . ------------7 分
（4）
4
3
. --------------------------------8 分
5．如图，将边长为 4 的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x 轴正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）．
（1）直线经过点C，且与x 轴交于点E，求四边形AECD的面积；
（2）若直线l 经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式；（3）若直线l 1 经过点F（）且与直线y=3x 平行．将（2）中直线l 沿着y 轴向上平移1 个单位，交x 轴于点M，交直线l 1 于点N，求△ NMF的面积．
考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；平
移的性质。
专题：计算题。
分析：（1）先求出 E 点的坐标，根据梯形的面积公式即可求出四边形AECD的面积；
（2）根据已知求出直线 1 上点G的坐标，设直线l 的解析式是y=kx+b，把E、G的坐标代入即可求出解析式；
（3）根据直线l 1 经过点F（）且与直线y=3x 平行，知k=3，把F的坐标代入即可求出b 的值即可得出直线11，同理求出解析式y=2x﹣3，进一步求出M、N的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△MNF的面积．
解答：解：（1），
当y=0 时，x=2，
∴E（2，0），
由已知可得：AD=AB=BC=DC，=4AB∥DC，
∴四边形AECD是梯形，
∴四边形AECD的面积S= ×（2﹣1+4）×4=10，
答：四边形AECD的面积是10．
（2）在DC上取一点G，使CG=AE=，1
则S t 梯形AEGD=S梯形EBCG，
∴G点的坐标为（4，4），
设直线l 的解析式是y=kx+b，代入得：
，
解得：，
即：y=2x﹣4，
答：直线l 的解析式是y=2x﹣4．
（3）∵直线l 1 经过点F（）且与直线y=3x 平行，
设直线11 的解析式是y1=kx+b，
则：k=3，
代入得：0=3×（﹣）+b，
解得：b= ，
∴y1=3x+
已知将（2）中直线l 沿着y 轴向上平移 1 个单位，则所得的直线的解析式是y=2x﹣4+1，即：y=2x﹣3，
当y=0 时，x= ，
∴M（，0），
解方程组得：，
即：N（﹣，﹣18），
S△NMF=×[﹣（﹣）] ×| ﹣
18|=27 ．答：△ NMF的面积是27．
点评：本题主要考查了一次函数的特点，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点
的特征，平移的性质等知识点，解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析式．
苏教版中考数学压轴题动 点问题 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
运动变化型问题专题复习 【考点导航】 运动变化题是指以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行考察研究的一类问题，这类试题信息量大，题目灵活多变，有较强的选拔功能，是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题的面目出现．解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形，建立方程、不等式、函数模型．【答题锦囊】 例1 如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）． （1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式； （2）t为何值时，四边形PQBA是梯形 （3）是否存在时刻t，使得PD∥AB若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由． 例２如图2，直角梯形CD ，AD=4，DC=3，动点P从点 A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段 PQ平分梯形ABCD （1）求y与x的函数关系式，并求出x y ，的取值范围；（2）当PQ∥AC时，求 x y ，的值； （3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积若能，求出此时x的值；若不能，说明理由． 例3 如图3，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2 为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. (1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由； (2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 例４如图7①，一张三角形纸片ABC沿斜边AB的中线CD把这张 纸片剪成 11 AC D ?和 22 BC D ? 11 AC D沿直线 2 D B（AB）方向平 移（点 12 ,,, A D D B始终在同一直线上），当点.在平移过程中，11 C D与 2 BC交于点E, 1 AC与222 C D BC 、分别交于点F、P. ⑴当 11 AC D ?平移到如图7③所示的位置时，猜想图中的 1 D E与 2 D F的数量关系，并证明你的猜想； ⑵设平移距离 21 D D为x， 11 AC D ?与 22 BC D ?重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围； ⑶对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原ABC ?面积的 1 4 .若存在，求x的值；若不存在，请说明理由. 【中考预 测】 ⒈如图8①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点． 如图8②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）． （1）当x为何值时，OP∥AC Q B M 图1 ＡC D Q P Ｂ 图2 1 2 2 D ① 2 1 ②
2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题（含答案） 1．(2019抚顺）（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数334 y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ． （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在点D ，使得BDE ?和ACE ?相似？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，F 是第一象限内抛物线上的动点 （不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．
2（2019沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求直线DE和抛物线的表达式； （2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF面积是7时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2√2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
3（2018年辽宁本溪）.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．
2016年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． （3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标． 考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想． 分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．
1．如图1，已知双曲线y ＝x k k ＞0）与直线y ＝k ′ x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限．试解答下列问题：（1）若点A 的坐标为（4，2）则点B 的坐标为_____________；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为_____________；（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交 双曲线y ＝ x k （k ＞0）于P ，Q 两点，点P 在第一象限．①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A ，P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m ， n 应满足的条件；若不可 能，请说明理由． 2．我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题． 将x 轴所在的直线绕着原点O 逆时针旋转α若它与反比例函数y ＝x 3点B 、D ，已知点A （－m ，0）、C （m ，0）（m 是常数， 且m ＞0）．（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形_____________；（2）①当点B 为（p ，1）时，四边形α和m 的值；②观察猜想： 对①中的m 值，能使四边形ABCD 为矩形的 点B 共有．． 几个？（不必说理）（3）试探究： 四边形ABCD 能不能是菱形？若能， 直接写出B 点坐标；若不能，说明理由． 3．如图，是反比例函数y ＝－ x 2和y ＝－x 8在第二象限中的图像，点A 在y ＝－x 8的图像上，点A 的横坐标为m （m ＜0），AC ∥y 轴交y ＝－x 2的图像于点C ，AB 、CD 均平行于x 轴，分别交y ＝－x 2、y ＝－x 8的图像于点B 、D ． （1）用m 表示A 、B 、C 、D 的坐标； （2）求证：梯形ABCD 的面积是定值； 4、如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数y ＝x k （x ＞0）的图象经过点B ． （ 1）求 k 的值； （2）将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形
2016年中考数学压轴题动点问题 一、选择题 1. （2016·湖北鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s. 设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图像可以是（） 【考点】动点函数的图像问题. 【分析】分别判断点P在AB、在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)的变化情况进行求解即可. 2.（2016年浙江省台州市）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（） A．6 B．2+1 C．9 D． 【考点】切线的性质． 【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值 故选C． 3.（2016年浙江省温州市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB
方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（） A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 4．（2016.山东省泰安市，3分）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（） A．B． C． D． 【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
精选中考二次函数压轴题（含答案） 1．如图，二次函数c x y +-=2 21的图象经过点D ??? ? ?-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：AH AD ＝EF BC ； （2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值； （3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式． 3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16 x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由 4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC =23．设直线AC (第2(图1) (图
20１7年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A（﹣1，０）、B(3,０)、Ｃ（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． (２)点Ｍ是线段BC上的点(不与Ｂ，Ｃ重合），过Ｍ作MＮ∥y轴交抛物线于Ｎ,若点M的横坐标为ｍ，请用m的代数式表示MＮ的长. (3）在(2）的条件下,连接NＢ、NC，是否存在m，使△ＢNC的面积最大?若存在，求m的值;若不存在,说明理由. 考点：二次函数综合题． 专题:压轴题;数形结合. 分析: （1）已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式. （2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到Ｍ、N点的坐标，N、Ｍ纵坐标的差的绝对值即为MN的长. （3)设ＭN交x轴于D，那么△ＢNC的面积可表示为:Ｓ△BNC=S△MNC＋S△ＭNＢ=MＮ（OD+DB)＝MN?OＢ,MN的表达式在（2）中已求得,OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式,根据函数的性质即可判断出△BＮC是否具有最大值. 解答: 解：（1)设抛物线的解析式为:ｙ=ａ(x+１)（x﹣3），则： a（０+1)（０﹣3）=3,a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+１）(x﹣3）=﹣x２+2x＋３． (2）设直线ＢＣ的解析式为：y=kｘ+b，则有：
， 解得； 故直线ＢC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+３)、N（ｍ，﹣m2+2ｍ+3）； ∴故MN=﹣m2+2m＋３﹣（﹣m＋３)=﹣m2+３ｍ(０＜ｍ<３）． (3）如图； ∵Ｓ△ＢNC=S△MＮC+Ｓ△MNＢ＝MＮ（OＤ+ＤB）=MＮ?OB， ∴S△BNC＝(﹣m２+３m)?3=﹣（m﹣）2+(0 中考数学反比例函数综合题附答案 一、反比例函数 1．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2， y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）． （1）求反比例函数y= 的解析式； （2）求点P2和点P3的坐标； （3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）． 【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线， 则B1与P1关于y轴对称， ∵B1（﹣1，1）， ∴P1（1，1）． 则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y= （2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F， 又点P1的坐标为（1，1）， ∴OA1=2， 设点P2的坐标为（a，a+2）， 代入y=得a=-1， 故点P2的坐标为（-1，+1）， 则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2， 设点P3的坐标为（b，b+2）， 代入y=（>0）可得b=-， 故点P3的坐标为（-，+） （3）1；（-，+） 【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，… ∴△P n B n O的面积为1， 由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ）， 故答案为：1、（﹣， +）． 【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可； （2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标； （3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可. 2．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b= = - + = （2014?济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C； （1）求该抛物线的解析式； （2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M ，是否存在这样的点P， 使四边形PACM是平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在抛物线上．本 问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A′的坐标； （3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解． 解 答： 解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点， ∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣． （2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D， ∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10） ∵点A和A′关于直线y=2x对称，∴OC⊥AA′，A′D=AD． ∵OA =5，AC =10， ∴OC ===．∵S△OAC=OC ?AD=OA?AC，∴AD=．∴AA′=， 在Rt△A′EA和Rt△OAC中，∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°，∴∠A′AE=∠ACD．又∵∠A′EA=∠OAC=90°， ∴Rt △A′EA∽Rt△OAC．∴，即． ∴A′E=4，AE=8．∴OE=AE﹣OA=3．∴点A′的坐标为（﹣3，4）， 当x =﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4．所以，点A ′在该抛物线上． （3）存在．理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b， 则，解得∴直线CA′的解析式为y =x +…（9分）设点P 的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点M为（x，x+）． ∵PM∥AC， ∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM= AC．又点M在点P的上方，∴（x+）﹣（x2﹣x﹣）=10． 解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去） 当x=2时，y=﹣． ∴当点P运动到（2，﹣）时，四边形PACM是平行四边形． 点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、 勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问的要点是求对称点A′的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解． 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． （3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想． 分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可． （2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标． y=﹣， 、已知：反比例函数 ，的面积是，求代数式 和反比例函数）在反比例函数 4、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：（x＞0） 的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2； （1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值； （2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小． 5、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB 垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 6、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB 垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值． 中考专题——动点问题详细分层解析（一） 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH=32NH=2132?OP=2. (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+23363 1,解得6=x .经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 23363 12=+x ,解得0=x .经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x . 综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式 例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. H M N G P O A B 图1 x y 中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答： 解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4． 反比例函数 ---动点、面积专题（附详解） 一、解答题（共7小题） 1、已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1）． （1）试确定此反比例函数的解析式； （2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由； （3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的值． 2、已知：反比例函数经过点B（1，1）． （1）求该反比例函数解析式； （2）连接OB，再把点A（2，0）与点B连接，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由； （3）若该反比例函数图象上有一点F（m，）（其中m＞0），在线段OF 上任取一点E，设E点的纵坐标为n，过F点作FM⊥x轴于点M，连接EM，使△OEM的面积是，求代数式的值． 3、如图，M点是正比例函数y=kx和反比例函数的图象的一个交点．（1）求这两个函数的解析式； （2）在反比例函数的图象上取一点P，过点P做PA垂直于x轴，垂足 为A，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ的面积是△OPA的面积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 4、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：（x＞0）的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2； （1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值； （2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小． 5、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB 垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： 中考二次函数压轴题分类汇编 一．极值问题 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标． 分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解； （3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标． 解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，）， 根据题意得：，解得：， 则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1； （2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）． ∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+， 则当x=﹣时，MN的最大值为； （3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分， 即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC， 即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1， 故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分． 点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用 二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题． 2.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式． （2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值． （3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值； （3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论． 解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中， 得， 解得 ∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4． （2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x 1=﹣4，x 2 =2， ∴A（﹣4，0），S △ABC =ABOC=12． 设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x． ∵PE∥AC， ∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA， ∴△PBE∽△ABC， ∴，即， 化简得：S △PBE =（2﹣x）2． （2010湖北咸宁）16．如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， 与反比例函数k y x =的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两 点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ． 有下列四个结论： ①△CEF 与△DEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =． 其中正确的结论是 ．（ 把你认为正确结论的序号都填上） （2010江苏徐州）25．(本题8分)如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函 数y= x m 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx+b-x m <0的解集(直接写出答案)． 1. （2009遂宁）把二次函数34 12+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2 的形式 A.()22412+--=x y B. ()42412+-=x y C.()42412++-=x y D. 3212 12 +??? ??-=x y 2. （2009嘉兴）已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ▲ ） 3. （2009烟台）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函 数a b c y x ++= 在同一坐标系内的图象大致为（ ） 4. （2009黄石）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示， 下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0， 其中正确结论的个数为（ ） O y x 1 -1A x y O 1 -1 B x y O 1 -1 C x y O 1 -1 D 1- 1 O x y （第11题图） y x O y x O B ． C ． y x O A ． y x O D ． A B O x y （第21题） 2 1 2 3 －3 －1 －2 1 3 －3 －1 －2 y x D C A B O F E （第16题） 2012年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编 专题01 :动点问题 25. (2012 吉林长春10 分)如图，在Rt △KBC 中，/ACB=90 °,AC=8cm , BC=4cm , D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE,点P从点A出发，沿折线AD —DE —EB运动，到点B停止.点P在AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE—EB上以1cm/s的速度运动.当点P与点A 不重合时，过点P作 PQ丄AC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN ,使点M落在线段AC 上.设点P的运动时间为t(s). (1 )当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为___________ cm,(用含t的代数式表示). (2)当点N落在AB边上时，求t的值. (3)当正方形PQMN 与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S (cm2), 求S与t的函数关系式. (4)连结CD?当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M 连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处.直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围. 【答案】解：(1) t —2。 (2)当点N落在AB边上时，有两种情况: ①如图(2) a ,当点N 与点D 重合时，此时点P 在DE 上，DP=2=EC , 即 t — 2=2 , t=4。 ②如图(2) b ，此时点P 位于线段EB 上. ???DE=1 2 AC=4 ,???点P 在DE 段的运动时间为 4s , ???PE=t -6 ,「.PB=BE-PE=8-t , PC=PE+CE=t-4 。 ???PN //AC , ??? △NP s/BAC 。???PN : AC = PB : BC=2 , /-PN=2PB=16-2t 。 由PN=PC ，得 20 16-2t=t-4 ，解得 t= 。 3 综上所述，当点 20 N 洛在AB 边上时，t= 4 或t= 3 (3)当正方形PQMN 与/ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况: DP=t-2 , PQ=2 , .-.CQ=PE=DE-DP=4- (t-2 ) =6-t , AQ=AC-CQ=2+t AM=AQ-MQ=t VMN //BC ,./\FM S /ABC °.FM : BC = AM : AC=1 : 2，即 FM : AM=BC : AC=1 : 2。 ①当2 v t v 4时，如图(3) a 所示。中考数学反比例函数综合题附答案
中考数学压轴题(对称问题、双动点对称问题)
二次函数压轴题(含答案)
反比例函数 ---动点、面积专题(附详解)
中考数学压轴题动点
中考数学二次函数压轴题(含答案)
反比例函数动点面积专题
中考数学压轴题专题 动点问题
中考二次函数压轴试题分类汇编及答案(1)
中考数学二次函数压轴题精编(含答案)
中考数学压轴题专题：动点问题
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