面面垂直的定义和判定
定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。判定：1、一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。2、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。3、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
判定面面垂直的方法：
1、面面垂直的定义。
2、面面垂直的判定定理
在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直。
转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。
在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理。
几个常用的结论：
1、过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直。
2、过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直。
解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例；③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选。
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 面面垂直的判定方法 ① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是 ②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥ 平面与平面垂直的性质 一、 选择题： 1、下列命题中，不正确的是（ ） A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 B. 平面的垂线一定与平面相交 C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论： ①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内； ③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。其中真命题是：（ ） A. ② B. ③ C. ①、④ D. ②、③ 3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 8 4、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题： ①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥； ③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ） A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ 5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
线面、面面垂直的判定与性质 知识回顾 1．直线与平面垂直的判定 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α． （2）判定定理 文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号表述： ⎭ ⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质 文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号表述： ⎭⎪⎬⎪ ⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 4．平面与平面的垂直的判定 （1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直． （2）面面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号表示： ⎭ ⎪⎬⎪ ⎫a ⊥β ⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． 二面角的平面角： 如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角． 题型讲解 题型一 例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 答案：C 例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为() A．4 B．3 C．2 D．1 答案：A 例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB． 证明在平面B1BCC1中， ∵E、F分别是B1C1、B1B的中点， ∴△BB1E≌△CBF， ∴∠B1BE＝∠BCF， ∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE， 又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1， ∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．
面面垂直的判定方法 面面垂直判定方法 什么是面面垂直判定？ 面面垂直判定是指在二维平面上判断两条直线是否垂直的方法。垂直是指两条直线的斜率乘积为-1。在图形学、几何学和物理学等领域中，面面垂直判定是一个基础且重要的概念。 基本原理 判断两条直线是否垂直，可以通过比较它们的斜率来进行。如果两条直线的斜率乘积为-1，则它们是垂直的。具体来说，斜率可以通过两点之间的纵坐标差除以横坐标差来计算。 面面垂直判定方法汇总 以下是常见的面面垂直判定方法： 1.斜率法 –计算两条直线的斜率，若斜率乘积为-1，则它们垂直。 –注意处理斜率为无穷大的情况，即直线与坐标轴垂直。2.向量法 –求出两条直线的向量方向，若两向量的点积为0，则它们垂直。
–向量法可以应用于三维空间中的垂直判定。 3.公式法 –利用两条直线的一般式或截距式方程进行比较，若方程中所含的系数乘积为-1，则它们垂直。 –常用的一般式方程是 Ax + By + C = 0，而截距式方程是y = mx + c。 4.几何法 –判断两条直线的几何关系，如：直角相交、棱形相交等，可以判断它们是否垂直。 –几何法适用于直观的图形判断。 结论 通过上述不同的面面垂直判定方法，我们可以准确地判断两条直 线是否垂直。在实际应用中，根据具体问题的需求和数据的提供形式，选择合适的判定方法，可以提高判断的准确性和效率。 面面垂直判定不仅仅是学术研究领域中的问题，也广泛应用于工程、建筑、制图等行业中。了解不同的判定方法，可以帮助我们更好 地理解直线的关系，并在实际问题中应用垂直性的概念。 面面垂直判定涉及到各种数学知识和几何概念，在学习和应用过 程中需要多加练习和实践，以提高对垂直关系的理解和运用能力。
空间中的垂直关系 1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直） 如果 ，那么这两个平面互相垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．
例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1
线面垂直与面面垂直的判定 线线垂直判定 （1）线线垂直的定义：两条直线所成角是直角。 b a ,所成角为 90⇒b a ⊥ （2）等腰三角形三线合一、勾股定理的逆定理等。 （3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 c b c a b a ⊥⇒⊥,// （4）线面垂直的定义：如果直线与平面垂直，则直线与平面内的任何一条直线垂直。 m l m l ⊥⇒⎭ ⎬⎫ ⊂⊥αα 线面垂直判定 （1）线面垂直定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面垂直。 若a 垂直于α内任一直线⇒α⊥a αα⊥⇒⎪⎪⎭ ⎪ ⎪⎬⎫ ⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , (2)线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 α⊂⊥⊥c b c a b a ,,,且c b ,相交⇒α⊥a （线线垂直⇒线面垂直） (3)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 αββαβα⊥⇒⎪⎭ ⎪ ⎬⎫ ⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 面面垂直判定 (1)面面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。βα,所成的二面角为直二面角⇒βα⊥ (2)面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。βααβ⊥⇒⊂⊥a a , βαβα⊥⇒⎭⎬⎫ ⊂⊥l l
例1、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD F 是PC 的中点． 求证：（1）PA∥平面BDF ； （2）平面PAC ⊥平面BDF ． 【练习1】 如图，已知BD ⊥平面ABC ，AC ＝BC ，N 是棱AB 的中点． 求证：CN ⊥AD . 【练习2】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . (1)求证：P A ∥平面EDB ； (2)求证：PB ⊥平面EFD . 【例2】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B 。 【练习1】如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝ 3. 求证：平面PBE ⊥平面P AB ；
面面垂直的判定5个条件 一、引言 在几何学中，垂直是一个重要的概念。当平面或直线与另一平面或直线垂直时，它们被称为面面垂直或线面垂直。面面垂直的判断条件可以帮助我们解决几何学问题，并深入理解空间中不同几何对象之间的关系。 二、面面垂直的定义 面面垂直是指两个平面之间的垂直关系。当两个平面的法线向量垂直时，这两个平面被认为是面面垂直的。两个平面的法线向量的点积为0时，即可判定两个平面垂直。 三、面面垂直的判定条件 判定两个平面是否面面垂直，我们可以根据以下五个条件进行判断： 1.条件一：两个平面互相垂直的法线向量 –按一定方法找出两个平面的法线向量； –计算两个法线向量之间的点积； –若点积为0，则两个平面面面垂直。 2.条件二：直线与平面垂直的法线向量 –首先找出直线上的两个点； –找出直线的方向向量； –找出所给平面的法线向量； –计算直线的方向向量和平面的法线向量的点积； –若点积为0，则直线与平面垂直。 3.条件三：两个平面的法线与直线垂直 –首先找出直线上的一点； –找出直线的方向向量； –找出两个平面的法线向量； –分别计算直线的方向向量和两个平面法线向量的点积； –若两个点积都为0，则两个平面的法线与直线垂直。 4.条件四：两个平面的夹角为直角
–找出两个平面的法线向量； –计算两个法线向量的点积； –若点积为0，则两个平面的夹角为直角。 5.条件五：两个垂直平面的公共直线 –找出两个平面的法线向量； –求解两个法线向量的向量积，得到一条直线； –若该直线与两个平面都相交，则该直线为两个平面的公共直线，两个平面是垂直的。 四、面面垂直的应用举例 面面垂直的判断条件在几何学中有广泛的应用。下面将举例说明面面垂直的应用场景： 1.平面几何中的垂足定理 在平面直角坐标系中，平面上的一个点到直线的距离最短当且仅当从该点到 直线上的垂线段垂直于直线。 2.空间几何中的曲面垂直 在三维空间中，两个曲面在某一点处的法线向量垂直，可以判定这两个曲面 在该点处垂直。例如，球面和切平面在切点处垂直。 3.物理学中的力分析 在物理学中，垂直方向的力可以分解为水平和垂直的力。通过判断两个力的 方向是否垂直，可以更好地分析力的作用效果。 4.工程学中的三维模型重叠检测 在工程学中，判定两个三维模型是否重叠是一个重要的问题。通过对两个模 型的各个面进行面面垂直的判断，可以快速而准确地检测模型是否存在重叠。 结论 面面垂直是几何学中的一个重要概念，通过判定两个平面是否垂直，我们可以解决许多几何学问题。使用面面垂直的判定条件，我们可以确定平面与平面、直线与平面、平面与直线、平面与曲面之间的垂直关系。面面垂直的判断条件在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。通过深入理解面面垂直的概念和判定条件，我们可以更好地解决几何学问题，并且应用到实际生活中的工程和物理问题中。
点击面面垂直的判定与性质 一、面面垂直的判定与性质 1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直. 2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直. 二、证明面面垂直的基本方法有： （1）利用定义证明，即利用两平面相交成直二面角来证明； （2）利用面面垂直的判定定理证明，即若a ⊥β，a α⊂，则α⊥β 在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用. 三、典例选析 例1．如下图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC. 剖析：本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据已知条件的特点，取BC 的中点O ，连结AO 、SO ，既可证明AO ⊥平面BSC ，又可证明SO ⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS 是二面角A —BC —S 的平面角，转化为证明∠AOS 是直角. 证法一：取BC 的中点O ，连结AO 、SO.∵AS=BS=CS ，SO ⊥BC ， 又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC ，从而AO ⊥BC. 设AS=a ，又∠BSC=90°，则SO= 2 2 a.又AO=22BO AB -=2221a a -=
面面垂直的性质定理和结论 一、面面垂直的性质定理和结论 1、二面角 （1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。 （2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 （3）二面角的表示方法 ①棱为$AB$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—AB—β$。 ②棱为$l$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—l—β$。 ③棱为$AB$，若在$α$，$β$面内分别取不在棱上的点$P$，$Q$，这个二面角可记作二面角$P—AB—Q$。 （4）二面角的平面角 在二面角$α—l—β$的棱$l$上任取一点$O$，以点$O$为垂足，在半平面$α$和$β$内分别作垂直于棱$l$的射线$OA$和$OB$，则射线$OA$和$OB$构成的∠$AOB$叫做二面角的平面角。 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。 二面角的平面角的取值范围为$[0°,180°]$。 2、平面与平面垂直 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作$α⊥β$。 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 平面与平面垂直的一般性质和结论 （1）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面。
（2）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一 个平面内。 （3）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 （4）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直。 二、面面垂直的性质定理的相关例题 已知三棱锥$P-ABC$，平面$PAB⊥$ 平面$ABC$，$PA=PB=4$，$AB=4\sqrt{3}$， $∠ACB=120°$，则三棱锥$P-ABC$外接球的表面积为___ A．20π B．32π C．64π D．80π 答案：D 解析：设$△PAB$的外接圆的圆心为$O_1$，半径为$r_1$，$△ABC$的外接圆的圆心为$O_2$，半径为$r_2$，三棱锥$P-ABC$外接球球心为$O$，半径为$R$，过点$P$作$PD⊥AB$，因为平面$PAB⊥$ 平面$ABC$，所以$PD⊥$ 平面$ABC$，又因为$PA=PB=4$，所以$O_1$在$PD$上，因为$AB=4\sqrt{3}$，所以$AD=2\sqrt{3}$，$PD=2$，所以$\cos ∠PAD=\frac{AD}{PD}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$∠PAD∈(0,π)$，所以$∠PAD=\frac{π}{6}$，所以$2r_1=\frac{PB}{\sin ∠PAD}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$，则$r_1=O_1P=4$，所以$O_1D=2$，$OO_2=O_1D=2$， 所以$2r_2=\frac{AB}{\sin ∠ACB}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8$，则 $r_2=O_2A=4$，所以$R=\sqrt{OO^2_2+O_2A^2}=2\sqrt{5}$，所以三棱锥$P-ABC$外接球 的表面积$S=4πR^2=$$4π×$$(2\sqrt{5})^2=$$80π$。故选D。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
面面垂直的判定5个条件 面面垂直是指两个平面彼此垂直，也就是它们的法线方向互相垂直。 在建筑、机械制造、航空航天等领域，面面垂直的判定非常重要。下 面将介绍5个判定条件。 一、定义 在三维空间中，两个平面的法线方向互相垂直时，这两个平面就是 “面面垂直”的。如果两个平面之间的夹角不为90度，则它们不是“面面垂直”的。 二、判定方法 1. 三点法 取两个平面上各选三个点，然后计算出这些点所在的平面的法线向量。如果这两个法线向量互相垂直，则这两个平面是“面面垂直”的。 2. 点线法 取一个平面上一点和另一个平面上一条与该点相交的直线，并计算出
它们所在的平面的法线向量。如果这两个法线向量互相垂直，则这两个平面是“面面垂直”的。 3. 线线法 取一个平面上一条与另一个平面相交的直线和另一个平面上一条与该直线相交的直线，并计算出它们所在的平面的法线向量。如果这两个法线向量互相垂直，则这两个平面是“面面垂直”的。 三、判定条件 1. 平面的法线方向 在进行“面面垂直”的判定时，需要先计算出每个平面的法线方向。这可以通过平面上的三个点或一条直线和一个点来计算得到。 2. 法线向量的内积 当两个法线向量互相垂直时，它们的内积为0。因此，在判定“面面垂直”时，需要计算出两个平面法线向量的内积，并判断其是否为0。 3. 夹角
如果两个平面之间的夹角不为90度，则它们不是“面面垂直”的。因此，在判定时需要计算出两个平面之间的夹角，并判断其是否为90度。 4. 线段长度 在进行点线法和线线法判定时，需要先计算出相交的线段长度。如果 长度为0，则无法进行“面面垂直”的判定。 5. 计算精度 在进行计算时，需要注意精度问题，避免由于浮点数运算误差导致错 误结果。 四、应用领域 1. 建筑设计：在建筑设计中，需要保证墙壁、地板、天花板等构件之 间的垂直关系，以确保建筑物的结构稳定和美观。 2. 机械制造：在机械制造中，需要保证零件之间的垂直关系，以确保 机器的正常运转和精度。 3. 航空航天：在航空航天领域中，需要保证飞行器各部分之间的垂直 关系，以确保飞行器的稳定性和安全性。
面面垂直的判定方法及应用在几何学中，面面垂直是一个重要的概念，它描述了两个平面之间的关系，即两个平面是否相互垂直。面面垂直的判定方法和应用广泛存在于建筑学、机械工程学、物理学等领域。本文将介绍面面垂直的判定方法，并探讨其在实际应用中的意义和作用。 一、面面垂直的定义与特点 面面垂直是指两个平面的法线向量相互垂直。具体而言，对于两个平面A和B，如果平面A的法线向量与平面B的法线向量相互垂直，则可以认为平面A与平面B是面面垂直的关系。这种垂直关系具有以下特点： 1. 法线向量垂直：面面垂直是法线向量垂直的一种特殊情况，即平面A的法线向量与平面B的法线向量之间的夹角为90度。 2. 交线共垂直：两个面面垂直的平面之间存在一条共垂直的交线，该交线同时与两个平面都垂直。 3. 垂直关系唯一性：如果两个平面面面垂直，则它们的法线向量的方向必然相互垂直，不存在其他平面与这两个平面同时垂直。 二、面面垂直的判定方法 在实际应用中，为了判定两个平面是否面面垂直，可以采用以下两种常用的方法：
1. 通过法线向量的数值判断：对于给定的两个平面A和B，可以求出它们的法线向量nA和nB，然后通过计算两个向量的点乘结果来判断它们是否相互垂直。具体而言，如果nA·nB=0，那么平面A与平面B是面面垂直的关系。 2. 通过平面方程的系数判断：另一种判定方法是通过平面的方程来判断面面垂直关系。对于给定的两个平面A和B，可以分别写出它们的方程Ax+By+Cz+D1=0和Ex+Fy+Gz+D2=0。如果方程中的系数满足以下条件：A*E + B*F + C*G = 0，那么可认为平面A与平面B是面面垂直的关系。 三、面面垂直的应用 面面垂直的判定方法在实际应用中有很多重要的应用，其中包括以下几个方面： 1. 建筑学中的应用：在建筑设计和施工中，面面垂直的概念广泛应用于墙壁、屋顶、地板等结构的设计与构建。通过判定两个平面是否相互垂直，可以确保建筑结构的平衡和稳定性。 2. 机械工程学中的应用：在机械设计中，面面垂直的概念可以用于判定零件的装配是否正确。例如，在装配一台机械设备时，需要确保两个平面之间的垂直关系，以保证零件的正常工作和运转。 3. 物理学中的应用：在物理学中，面面垂直的概念被应用于力学、电磁学等多个领域。例如，当研究一个物体受力时，通过判定受力方
空间中的垂直关系之青柳念文创作 1．线面垂直 直线与平面垂直的断定定理：如果，那末这条直线垂直 于这个平面. 推理形式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一 个平面,那末这两条直线. 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面. 如果，那末这两个平面互相垂直. 推理形式： 若两个平面互相垂直，那末在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另外一个平面. 一般来讲，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析 面垂 直．这三者之间的关系非常紧密亲密，可以互相转化，从前 面推出后面是断定定理，而从后面推出前面是性质定理．同 学们应当学会矫捷应用这些定理证明问题．在空间图形中， 高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说 明． 例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2 3AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4 Ｏ的直径，ＣABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证： 平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面 A 1 B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论 6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC. 7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，正面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD S A B