2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
如图，∠P AO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.
(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.
1列说法中正确的个数是()
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直．A．0B．1 C．2 D．3
2．下列说法中，正确的是()A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝
90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.
6.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°
B．45°C．30° D．120°
7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是()
A. 5 B．25C．3 5 D．45
9.)正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________．
10.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上
任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM.
11如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．
13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，
AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平
面BEF.
14．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂
直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直
16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.
(1)求证：AC⊥B1D；(2)求三棱锥C－BDB1的体积．
17.如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面P AD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平
面PCD.
19.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的________心.
21..在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则( )
A.MN ∥C 1D 1
B.MN ⊥BC 1
C.MN ⊥平面ACD 1
D.MN ⊥平面ACC 1
22.如图，已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________.
23.如图所示，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列
结论正确的是( )
A ．P
B ⊥AD B ．平面P AB ⊥平面PBC
C ．直线BC ∥平面P AE
D ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°
24.直角三角形ABC 所在平面外有一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点．
(1)求证：SD ⊥平面ABC ；
(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .
.平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥
(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言： ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥β
α∩β＝l
a ⊂αa ⊥l ⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线． 特征：线面垂直⇒面面垂直
要点四：求点线、点面、线面距离的方法
(1)若P 是平面α外一点，a 是平面α内的一条直线，过P 作平面α的垂线PO ，O 为垂足，过O 作OA ⊥a ，连接PA ，则以PA ⊥a ．则线段PA 的长即为P 点到直线a 的距离(如图所示)．
(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．
(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．
②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．
③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．
1．三棱锥S -ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，
SA ＝SB ＝SC ．求证：平面ABC ⊥平面SBC ．
2.如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边
形，SC ⊥平面ABCD ，E 为SA 的中点．
求证：平面EBD ⊥平面ABCD ．
3.．如下图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AC=BC ，
D 是AB 的中点。
求证：平面CA 1D ⊥AA 1B 1B 。
4．如右图，在三棱锥A —BCD 中，AB ⊥平面
BCD ，BD ⊥CD 。
求证：平面ABD ⊥平面ACD ；
5．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中
点．（1）求证：MN ⊥CD ；（2）若∠PDA=45°，
求证：MN ⊥平面PCD ．
6．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．
（1）求证：11//B C 平面ABC ；（2）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ．
7.在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PD ＝a ，P A ＝PC
＝2a ，求证： (1)PD ⊥平面ABCD ；
(2)平面P AC ⊥平面PBD ；
8．在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a ，求证：平面ABD ⊥平面BCD .
9.在四棱锥P —ABCD 中，已知P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中错误的是( )A ．平面P AB ⊥平面P AD B ．平面P AB ⊥平面PBC
C ．平面PBC ⊥平面PC
D D ．平面PCD ⊥平面P AD
10在三棱锥P －ABC 中，E ，F 分别为AC ，BC 的中点．
(1)求证：EF ∥平面P AB ；
(2)若平面P AC ⊥平面ABC ，且P A ＝PC ，∠ABC ＝90°.求证：平面PEF ⊥平面PBC .
11.如图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD ＝G .
(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1；
(2)求点D 1到平面B 1EF 的距离．
12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A —BD —C ，有如下三个结论．
①AC ⊥BD ； ②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；
说法正确的命题序号是________．
13如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ，(1)证明：CD ⊥平面P AC ；
(2)若E 为AD 的中点，求证：CE ∥平面P AB .
例5 (2011年第14题)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 是平行四边形，PA AD =，则异面直线PD BC 与所成角的大小是 。
例6 正方-1111ABCD A B C D -中，求1BC 与对角面11BB D D 所成的角。
如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、1CC 的中点。
(Ⅰ)求证：1AD EFG 平面；
(Ⅱ)求证：平面1ACA EFG ⊥平面。
18.(本题满分8分)
已知长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，棱14AA =。
(1)求异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值； A
B C D P O C D A B D 1
C 1 B 1 A 1 G E
F
(2)求直线1BD 与平面ABCD 所成角的正切值；
(3)求二面角1D AC D --的平面角的正切值。
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 面面垂直的判定方法 ① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是 ②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥ 平面与平面垂直的性质 一、 选择题： 1、下列命题中，不正确的是（ ） A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 B. 平面的垂线一定与平面相交 C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论： ①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内； ③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。其中真命题是：（ ） A. ② B. ③ C. ①、④ D. ②、③ 3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 8 4、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题： ①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥； ③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ） A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ 5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
线面、面面垂直的判定与性质 知识回顾 1．直线与平面垂直的判定 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α． （2）判定定理 文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号表述： ⎭ ⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质 文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号表述： ⎭⎪⎬⎪ ⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 4．平面与平面的垂直的判定 （1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直． （2）面面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号表示： ⎭ ⎪⎬⎪ ⎫a ⊥β ⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． 二面角的平面角： 如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角． 题型讲解 题型一 例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 答案：C 例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为() A．4 B．3 C．2 D．1 答案：A 例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB． 证明在平面B1BCC1中， ∵E、F分别是B1C1、B1B的中点， ∴△BB1E≌△CBF， ∴∠B1BE＝∠BCF， ∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE， 又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1， ∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．
2.3.2 平面与平面垂直的判定 【学习目标】1、掌握二面角及面面垂直的定义及判定定理； 2、能够应用判定定理证明面面垂直； 3、解决简单的求二面角问题. 【重点】面面垂直的判定定理的应用 【难点】求二面角 【基础内容】 1、二面角 从一条直线出发的 所组成的图形，叫做二面角. 这条直线叫做 ，这两个半平面叫做 . 如图的二面角可以记作 或 或 . 2、二面角的平面角 在二面角α-l-β的棱l 上人去一点O ，以点O 为垂足，在 半平面α，β内分别作 的射线OA 和OB ，则 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角. 平面角是直角的二面角叫做 . 思考：二面角的平面角θ的取值范围是 . 3、两平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果他们所成的二面角是 （二面角大小是 ），就说这两个平面互相垂直. 4、两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直. 【前置作业】 1、已知平面α ,β ,γ ,且β ∩γ = l ，l || α ，直线m α?，m ⊥γ，则必有（ ） A. α⊥γ ，且l ⊥m . B. α⊥γ ，且m || β C. m || β ，且l ⊥m . D. α⊥β ，且m ⊥β. 2、对于直线a ，b ，c 和平面α ,β ,已知,,a b c αβγ???，,a b a c ⊥⊥，则α 与β的位置关系是（ ） A.αβ⊥ B. αβ C. l αβ= D.不确定
【研讨探究】 探究一：面面垂直的判定（线面垂直 ．．．．（面面垂直判定）） ．．．．（线面垂直判定）→面面垂直 例1 如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面P AC⊥平面PBC. 1、如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.求证：平面P AD ⊥平面P AB. 探究二：求二面角的大小（找到对应二面角 ．． ．．．．．．．（交线上的一个点引出两条垂直射线）→构造 三角形 ．．．．） ．．．→余弦定理 思考：四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A=AB。 （1）求二面角A-PD-C平面角的度数； （2）求二面角B-P A-D平面角的度数； （3）求二面角B-P A-C平面角的度数. 1、同探究一的第1题，若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积.
平面与平面垂直的判定 [新知初探] 1．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 (如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面． 记法：α-AB-β，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作P-AB-Q；当棱记为l时，可记作α-l-β或P-l-Q. (2)二面角的平面角： ①定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足， 在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构 成的∠AOB叫做二面角的平面角． ②直二面角：平面角是直角的二面角． [点睛]二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 2．平面与平面垂直 (1)面面垂直的定义 ①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②画法： 记作：α⊥β. (2)两平面垂直的判定定理： ①文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． ②图形语言：如图． ③符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β. [点睛]定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直() (2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°()
答案：(1)√(2)√ 2．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是() A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β 答案：D 3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是() A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β C．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：选C A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C. 面面垂直的判定 [典例]如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是 平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE ＝2DF，AE⊥EC. 证明：平面AEC⊥平面AFC. [证明]如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3. 由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC. 在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝ 2 2. 在Rt△FDG中，可得FG＝ 6 2. 在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝ 2 2， 可得EF＝32 2. 从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG. 又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC. 因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
2023年度：平面与平面垂直的判定定理 一、定义 在三维空间中，如果两个平面之间的夹角为90度，则称这两个平面是垂直的。 二、定理 两个平面垂直的充分必要条件是：它们的法向量互相垂直。 证明： 设两个平面分别为平面P1和平面P2，它们的法向量分别为n1和n2，夹角为α。则有： cosα = n1·n2 / |n1||n2| 其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|表示向量n1和n2的模。 当两个平面垂直时，α=90°，则有：
cos90°=0 即： n1·n2 = 0 即两个平面的法向量互相垂直。 反之，若两个平面的法向量互相垂直，则有：n1·n2 = 0 即： cosα = n1·n2 / |n1||n2| = 0 / (|n1||n2|) = 0 即两个平面的夹角为90度，证毕。 三、应用 该定理可以用来解决以下问题：
1. 判断两个平面是否垂直。 给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，判断它们是否垂直即可。 2. 求两个平面的交线。 对于两个不相交的平面，它们的交线可以通过它们的法向量和一个公共点求解得到。 3. 求一个平面在另一个平面上的投影。 将需要投影的平面的法向量沿着另一个平面的法向量分解，得到该平面在另一个平面上的投影向量。 4. 计算两个平面的夹角。 给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，计算它们的夹角即可。 总结
1. 本文档所涉及简要注释如下： - 平面：指在三维空间中，由无数个相互平行的直线组成的集合。 - 夹角：指两条直线或两个平面之间的夹角。 - 法向量：指垂直于平面的向量，其长度等于平面到原点的距离。 2. 本文档所涉及的法律名词及注释： - 三维空间：指以任意三个互不共线的点为基准点所构成的空间。 - 点积：指向量的数量积，是指两个向量对应分量的乘积之和。 - 模：指向量的长度，是指向量末尾点到原点的距离。 - 公共点：指两个平面的交线上的任意一个点。 3. 本文档执行过程中可能出现的纠纷问题及解决方案： 1. 如何处理平面法向量计算错误的问题？ 解决方案：应当检查计算步骤是否正确，如有必要可以请数学专业人员协助。 2. 如何处理平面的法向量不唯一的问题？ 解决方案：应当通过平面上的一些确定点来求解法向量，确保法向量的唯一性。 3. 如何处理平面交线不存在的问题？ 解决方案：如果两个平面不相交，则它们没有交线。 4. 如何处理平面交线无限延长的问题？
直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质及应用、求角 一、知识要点 1.直线和平面垂直：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α记做α⊥l ，l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面， 它们的交点P 叫垂足.如右图所示. 2．直线与平面、平面与平面垂直的判定定理与性质定理一览表
3．直线与平面所成的角：如图直线PA 和平面α相交但不垂直，PA 叫做平面α的斜线， PA 和平面的交点A 叫斜足；PO ⊥α，AO 叫做斜线PA 在平面α上的射影。 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角。 当直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它 们所成的角是o 0角.因此直线和平面所成角的范围是 。 4．求直线和平面所成的角步骤：①一般先定斜足；②再作垂线找垂足；③斜足垂足连线得射影——找到了角； 然后通过解直角三角形求角；写结论。 可以简述为“作→证→求→结论”。 5.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。右图中的二面角可记作：二面角α-AB-β 或 α-l -β或P - AB - Q 。 6。二面角的平面角：如图在二面角α-l -β的l 棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内 分别作垂直于棱l 的射线OB OA ,,则射线OA 和OB 构成的AOB ∠ （1（2）二面角平面角的做法： 例1.如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，2==AB PA ，4=BC , E 是PD 的中点． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）求二面角D AC E --的余弦值．
15.3 平面与平面平行、垂直的判定与性质 【考纲要求】 1.了解平面与平面的位置关系； 2.掌握平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理；会运用这些定理证明空间两平面位置关系. 【命题规律】 本节内容是高考考查的重点内容，主要以棱柱、棱锥、长方体、正方体等空间几何体为载体考查面面平行、面面垂直，题型有填空题、解答题，以解答题居多，主要考查空间想象能力，推理论证能力。 【知识回顾】 一.平面与平面的位置关系 →→???????? 两平面平行两平面没有公共点两平面斜交两平面相交两平面有一条公共直线两平面直交 二．二面角与二面角的平面角相关概念 1.半平面：一条直线将一个平面分成两个部分，每一部分叫做半平面。 2.二面角：指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形。该直线称为二面角的 棱，每个半平面称为二面角的面. 3.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点作为端点；在两个半平面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图所示，简记为二面角 l αβ--的平面角.其范围为[0,180]o o 4.直二面角：当二面角的平面角是直角时叫直二面角，也即两个半平面互相垂直。 三．平面与平面平行 1.定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面，符号表示为：平面α，平面β，若αβ=?I ，则αβ∥. 2.平面与平面平行的判定定理（不要求证明） 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理1 如果一个平面内有两条相交．．的直线都．平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行?面面平行”） a b a b P a b α αβ βαβ ??=? ? ?? ???? ?? I ∥∥∥ 判定 定理2 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 l l αβαβ??????? ⊥∥ α l β α a β b P β α O A B l
2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 如图，∠P AO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°. (3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°. 1列说法中正确的个数是() ①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直．A．0B．1 C．2 D．3 2．下列说法中，正确的是()A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α 3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝ 90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1. 6.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120° 7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是() A. 5 B．25C．3 5 D．45 9.)正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________． 10.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上 任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM. 11如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角． 13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD， AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平 面BEF. 14．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂 直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直 16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2. (1)求证：AC⊥B1D；(2)求三棱锥C－BDB1的体积． 17.如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：MN∥平面P AD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平 面PCD. 19.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
空间中的垂直关系 1线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ___________________________ ，那么这条直 线垂直于这个平面。 推理模式： _______________________ 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 ________ 。 2. 面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成 ______________ 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：(线面垂直 面面垂直) 如果 ____________________________________________ ,那么这两个平面互相垂直。 推理模式： _______________________ 两平面垂直的性质定理：(面面垂直 线面垂直) 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 ___________ 的直线垂直于另 一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理.同 学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中，高一级的垂直关系中 蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明. 例题：1.如图，AB 是圆0的直径，C 是圆周上一点，P 从平面ABC (1) 求证：平面 PACL 平面PBC (2) 若D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互 相垂直的各对平面. 2、 如图，棱柱ABC A1BC 1的侧面BCC i B i 是菱形，BC AB 证明：平面AB i C 平面ABC i 3、 如图所示，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1 AA=2, M 是棱CC 的中点 (I)求异面直线AM 和GD 所成的角的正切值； (U)证明：平面ABML 平面A 1B 1M 4、 如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA 平面ABC 若AE L PC ，E 为垂足，F 是PB 上任意一点，求证：平面 AEF L 平面PBC 5、 如图，直三棱柱 ABC — A B1C 1 中，AC = BC = 1，/ ACB = 90°，AA = ?- 2 ， D 是A 1B 1中点.(1)求证GD 丄平面A 1B ； (2)当点F 在BB 上什么位置时，会使 为：线线垂直 判定 性质 线面垂直 判定 性质 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,
两平面垂直的判定方法 在三维空间中，平面是我们经常接触到的一种基本几何图形，而判断两个平面是否垂直则是几何学中的一个基本问题。本文将介绍几种判断两平面垂直的方法。 方法一：向量法 向量法是判断两个平面垂直的一种常用方法，其基本思想是通过两个平面的法向量来判断它们是否垂直。具体做法如下： 1. 分别求出两个平面的法向量，记为n1和n2； 2. 计算n1与n2的点积，若点积等于0，则两个平面垂直。 点积等于0表明两个向量垂直，因此两个平面也垂直。需要注意的是，如果两个平面交于一条直线，则它们不垂直。 方法二：法向量法 法向量法是一种比较直观的方法，其基本思想是通过两个平面的法向量来判断它们是否垂直。具体做法如下： 1. 分别求出两个平面的法向量，记为n1和n2； 2. 求n1与n2的内积，若内积等于0，则两个平面垂直。 内积等于0表明两个向量垂直，因此两个平面也垂直。需要注意的是，如果两个平面交于一条直线，则它们不垂直。 方法三：截距法 截距法是一种比较简单的方法，其基本思想是通过两个平面的截距来判断它们是否垂直。具体做法如下： 1. 分别求出两个平面的截距，记为a1、b1、c1和a2、b2、c2；
2. 求a1a2+b1b2+c1c2的值，若该值等于0，则两个平面垂直。 需要注意的是，在使用截距法时，要保证两个平面不平行，否则无法判断它们是否垂直。 方法四：交线法 交线法是一种比较直观的方法，其基本思想是通过两个平面的交线来判断它们是否垂直。具体做法如下： 1. 分别求出两个平面的交线； 2. 求出这两条直线的夹角，若夹角等于90度，则两个平面垂直。 需要注意的是，在使用交线法时，要保证两个平面不平行，否则无法判断它们是否垂直。 综上所述，判断两个平面是否垂直有多种方法，其中向量法、法向量法、截距法和交线法是比较常用的方法。在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来判断两个平面是否垂直。
一、直线、平面平行的判定及其性质 知识点一、直线与平面平行的判定 ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种） 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 ⅱ.思考：如图，设直线b 在平面α内，直线a 在平面α外，猜想在什么条件下直线a 与平面α平 行.（a ||b ） 线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况） ※判定定理的证明
性质 文字描述 一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平 面相交，这条直线和交线平行． 图形 条件 a ∥α a ∥αa ⊂βα∩β＝ b 结论 a ∩α＝∅ a ∥b 特别提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行. 判定 文字描述 如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 如果两个平面同时垂直于 一条直线，那么这两个平面垂直。 图形 条件 α∩β＝∅ a ， b ⊂β a ∩b ＝P a ∥α b ∥α l ⊥α l ⊥β 结论 α∥β α∥β α∥β
二、直线、平面垂直的判定及其性质 与平面α内的任一直线，一直线总有l ⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这与“无 数条直线”不同（线线垂直线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质 知识点三、二面角 Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－） 二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面内 ⅲ. 与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别
立体几何综合复习 一、直线与平面垂直 1．定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α. 2．直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直⇒线面垂直 数学描述：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a b P =⇒l⊥α 3．直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直⇒线线平行 数学描述：a b α α ⊥⎫ ⎬ ⊥⎭ ⇒a b ∥ 4．直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面 上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 ．．，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内， 我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角 ．．．．．．．．．α．的范围是 ．．．．π [0,] 2 .
5．常用结论（熟记） （1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线． （3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 二、平面与平面垂直 1．定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作αβ ⊥. 2．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直⇒面面 垂直 图形语言 符号语言l⊥α，lβ ⊂⇒α⊥β 作用判断两平面垂直 3．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简记为：面面垂直⇒线线平行 图形语言 =l a a a l αβ αβ βα ⎫ ⎪ ⎪ ⇒ ⎬ ⊂⎪ ⎪ ⊥⎭ ⊥ ⊥
空间中的垂直关系 1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。 −→− 判定 性质线面垂直（2 2、如图，棱柱 111 ABC A B C -的侧面 11 BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC
4是PB 5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论
7 8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位 置，使平面EDB ⊥平面ABD . 求证：AB DE ⊥ B
9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、 AD 的中点 求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD 10SB ⊥，垂足为求证：（（2） 11、如图，在三棱锥ABC P -中，F E D ,,分别是棱AB AC PC ,,的中点，已知 5,8,6,===⊥DF BC PA AC PA . 求证：（1）直线//PA 平面DEF ; （2）平面⊥BDE 平面ABC
12AE 将 ADE ∆（1（2 13、如图，在四棱锥ABCD P -中，CD AB PA AB AC AB //,,⊥⊥,CD AB 2=, N M G F E ,,,,分别是PC PD BC AB PB ,,,,的中点。 （1）求证：//CE 平面PAD ； （2）求证：平面EFG ⊥平面EMN
课题：2.3平面与平面的平行和垂直的判定及其性质班级姓名 高考要求： 理解空间中面面平行、垂直的有关性质与判定定理． 理解以下判定定理． ●如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． ●如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明． ●如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行． ●如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． ④能根据定义解决二面角的简单计算问题. 教学目标： 1.认识和理解空间中面面平行以及面面垂直的判定定理 2.认识和理解空间中面面平行以及面面垂直的性质定理，灵活判定定理和性质定理 3.掌握转化思想线面平行⇔面面平行线面垂直⇔面面垂直 教学重点：通过直观感知、操作确认，归纳出判定定理和性质定理 教学难点：平面与平面平行和垂直的定义以及判定定理、性质定理的探究 第8,9课时 课前导学： （一）平面与平面平行的判定与性质 （1）面面平行判定定理： 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： 定理说明：证明面面平行的关键在于证明两个线面平行，简述为：线面平行⇒面面平行（2）平面与平面平行的性质 面面平行的性质定理： （1）如果两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： 定理证明 定理说明：面面平行的性质定理又可以作为线面平行以及线线平行的判定定理，简述为：线面平行⇒线面平行⇒线线平行 综合以上，线线、线面、面面平行关系可以相互转化 线面平行⇔线面平行⇔线线平行
图形语言
教学过程C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直 2.如图，O为正方体 ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( ) A．A1D B．AA1 C．A1D1 D．A1C1 ※考点梳理 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定 理成立的条件． 同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： ※由题悟法 例：如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC. 求证:BC⊥平面PAB 变式1：求证:BC⊥PB . 变式2：求证:平面PBC⊥平面PAB 变式3：已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC, AB⊥BC，AE⊥PB. 求证:AE⊥PC P A B C P A B C E
教学过程 变式4：已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC, AB⊥BC，AE⊥PB,AF⊥PC. 求证:平面AEF⊥平面PBC 变式5：求证:EF⊥PC. 变式6：求证:平面AEF⊥平面APC 总结归纳： ※以题试法 1.如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为菱形。 证明:BD⊥面PAC ; 2.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上. 证明：AP⊥BC； P A B C E F
学情分析： 在本节课之前学生已学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面垂直的判定及其性质，具备了学习本节课所需的知识。同时已经有了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的体会，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础。 但对于高二的学生而言，他们的生活经验不多。虽然在生活中他们见到直线与平面的例子很多，但还不能总结应用。他们的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。线面垂直的定义比较抽象，平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定 一、直线与平面垂直的判定 1．直线与平面垂直 定义如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α 有关概念直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的_______．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做________． 图示 画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 （1）定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语． （2）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．学@科网 （3）由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一
2．直线与平面垂直的判定定理 文字 一条直线与一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线与此平面垂直语言 图形 语言 符号 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，__________⇒l⊥α 语言 作用判断直线与平面__________ （1）直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可． （2）在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线. 3．直线和平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面________，但不和这个平面________，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的______叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引______，过________和________的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于__________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于__________.因此，直线与平面所成的角α的范围是__________. 二、平面与平面垂直的判定