参数方程直线、圆专题练习、、、
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一.选择题(共9小题)
1.曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x﹣y﹣2=0,P、M 分别为曲线C与直线l上的点,则|PM|的最小值为()
A.0
B.
C.
D.2
2.直线l的参数方程为(t为参数),则l的倾斜角大小为()
A. B. C. D.
3.直线(t为参数)与曲线(θ为参数)相交的弦长为()
A.1
B.2
C.3
D.4
4.已知曲线的参数方程为(0≤t≤5),则曲线为()
A.线段
B.双曲线的一支
C.圆弧
D.射线
5.参数方程(t为参数,且0≤t≤3)所表示的曲线就是()
A.直线
B.圆弧
C.线段
D.双曲线的一支
6.椭圆的参数方程为(θ为参数),则它的两个焦点坐标就是()
A.(±4,0)
B.(0,±4)
C.(±5,0)
D.(0,±3)
7.已知α就是锐角,则直线(t为参数)的倾斜角就是()
A.α
B.α﹣
C.α+
D.α+
8.已知M为曲线C:(θ为参数)上的动点.设O为原点,则|OM|的最大值就是()
A.1
B.2
C.3
D.4
9.已知椭圆的参数方程(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=,点O为原点,则直线OM的斜率为()
A. B.﹣ C.2 D.﹣2
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二.填空题(共16小题)
10.参数方程(α为参数)化成普通方程为.
11.已知椭圆的参数方程为,则该椭圆的普通方程就是.
12.椭圆(θ为参数)的右焦点坐标为
13.已知圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,则直线l截圆C所得的弦长就是.
14.若直线(t为参数)与曲线(θ为参数)相切,则实数m的值为.
15.设点A就是曲线就是参数)上的点,则点A到坐标原点的最大距离就是.
16.直线(t为参数)与曲线(θ为参数)的公共点个数为.
17.参数方程(θ为参数)化为普通方程就是.
18.直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1:(θ为参数),曲线C2:ρcos(θ+)=t,若两曲线有公共点,则t的取值范围就是.
19.直线(t为参数)对应的普通方程就是.
20.直线(t为参数)的倾斜角的大小为.
21.将参数方程(t为参数)化为普通方程就是.
22.直线(t为参数)被圆(θ为参数)所截得的弦长为.
23.直线(t为参数)与曲线(θ为参数)的交点个数就是.
24.已知直线C1:(t为参数),C2:(θ为参数),当α=时,则C1与C2的交点坐标为.
25.若直线l的参数方程为,t∈R,则直线l在y轴上的截距就是.
评卷人得分
三.解答题(共5小题)
26.在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴正
半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2:ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0.
(Ⅰ)求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程,并说明方程所表示的曲线名称; (Ⅱ)判断曲线C1与曲线C2的位置关系,若相交,求出弦长.
27.已知直线l参数方程:(t为参数),曲线C1:.
(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C1的参数方程;
(2)若点M在曲线C1上运动,求M到直线l距离的最小值.
28.已知直线l:(t为参数),曲线C1:,(θ为参数).
(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;
直线与圆 1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则 k ＝( ) A ．0 B. 3 C.3 3 或0 D.3或0 解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k | 1＋k 2 ＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D. 2．圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋ 2 2 D ．2＋2 2 解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2| 2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1. 3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 依题意，注意到|AB|＝2＝|OA|2＋|OB|2等价于圆心O到直线l 的距离等于 2 2 ，即有 1 k2＋1 ＝ 2 2 ，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝2”的充分 不必要条件． 4．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 解析：选C 由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，由x＋1＝0且x＋y－1＝0，解得x＝－1，y＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0. 6．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( ) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2
直线和圆的方程知识关系 直线的方程一、直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180 α< o o ≤. 2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即 tan kα =. 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. ②当ο 90 = α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在. ③过两点 111 (,) P x y、 222 (,) P x y 12 () x x ≠的直线斜率公式21 21 tan y y k x x α - == - 二、直线方程的五种形式及适用条件 名称方程说明适用条件 斜截式y=kx+b k—斜率 b—纵截距 倾斜角为90°的直线 不能用此式 点斜式y-y0=k(x-x0) (x0，y0)—直线上已 知点， k ──斜率 倾斜角为90°的直线 不能用此式 两点式1 21 y y y y - - =1 21 x x x x - - (x1，y1)，(x2，y2) 是直线上两个已知 点 与两坐标轴平行的直 线不能用此式 截距式 x a + y b =1 a—直线的横截距 b—直线的纵截距 过（0，0）及与两坐 标轴平行的直线不能 用此式 一般式 A x+ B y+C=0 (A、B不全为零) A、B不能同时为零
直线和圆的方程
简单的线性规划例13. 若点（3，1）和（4 -，6）在直线0 2 3= + -a y x的两侧，则实数a的取值范围是 ()724 A a a <-> 或()724 B a -<<()724 C a a =-= 或（D）以上都不对例14. ABC ?的三个顶点的坐标为(2,4) A，(1,2) B-，(1,0) C，点(,) P x y在ABC ?内部及边界上运动，则2 y x -的最大值为，最小值为。 例15. 不等式组： 10 x y x y y -+ + ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≥ 表示的平面区域的面积是； 例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？ 例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下： 根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 4 1，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在 的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（市区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（市区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么 此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和 17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（市）如图，⊙O 为△ABC 的切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）
圆的知识专项练习 一、填空：（28分） 1、圆规两脚间的距离是3厘米，画出的圆的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 2、圆的周长9.42分米，它的直径是（ ）分米，面积是（ ）平方分米。 3、将一个直径8厘米的圆形纸片沿直径对折后，得到一个半圆，这个半圆的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 4、小圆半径是大圆半径的3 1，小圆与大圆的周长比是（ ），面积比是（ ）。 5、甲乙两圆的周长比是2：3，其中一个圆的面积是18，另一个圆的面积可能是（ ），也可能是（ ）。 6、正三角形有（ ）条对称轴，正方形有（ ）条对称轴，正五边形有（ ）条对称轴，由此推算，正n 边形估计有（ ）条对称轴。 二、连线题：（10分） 半径 直径 周长 面积 ∏d 2r 2∏r ∏r 2 C ÷∏ C ÷2∏ 三、判断：（12分） 1、半径不仅决定圆面积的大小，而且还决定圆周长的长短。 …（ ） 2、等腰三角形、等腰梯形都是轴对称图形。…………………（ ） 3、任何圆的面积总是它的半径的∏倍。…………………（ ） 4、圆的半径扩大2倍，直径就扩大4倍。………………………（ ） 四、选择：（12分） 1、计算圆的面积，可以选择下面哪种方法（ ）。
A、S＝∏r2 B、S＝∏（d÷2）2 C、S＝∏（C÷2∏）2 D、前三种都可以 2、下面的图形只有两条对称轴的是（）。 A、长方形 B、正方形 C、等边三角形 D、圆 3、在一个长5厘米、宽3厘米的长方形中画一个最大的圆，它的半径是（）。 A、5厘米 B、3厘米 C、2.5厘米 D、1.5厘米 4、一个直径1厘米的圆与一个边长1厘米的正方形相比，它们的面积（）。 A、圆的面积大 B、正方形的面积大 C、一样大 D、无法比较 五、解决问题：（24分） 1、一个圆形粮仓，底面半径4米，这个粮仓的占地面积是多少平 方米？ 2、做一个直径1.2米的圆桌面，至少需要多少平方米的木板？如果每平方米木板价格100元，做这个圆桌面至少需要多少元？（得数保留一位小数）
2014年中考专题训练直线和圆的位置关系 一、选择题（每题4分，共40分） 1．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（） A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm 2．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75° 3．如图所示，⊙O是线段AB上的一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．50°B．40°C．60°D．70° 第1题第2题第3题 4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r 的值为（）A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm 5．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定 第5题第6题第7题 6．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4B．C．6D． 7．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作的⊙O切线，切点为B，连结AC交⊙O于D，∠C=38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（） 第8题第9题第10题 9．如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（）A．15°B．20°C．30°D．70° 10．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30° 二、填空题（每题6分，共30分）11．如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC．若∠CPA=20°，则∠A= °． 第11题第12题第13题 12．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，B是⊙O上一点，BC⊥AP于点C，且OB=BP=6，则BC= ．13．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAD=35°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，则∠C= ° 14．如图，在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则∠BAC的度数是° 第14题第15题 15．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= ° 三、解答题（每题8分，共80分） 16．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数． 17．已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C． （1）求∠BAC的度数； （2）求证：AD=CD． 18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠ B=60°． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线．
高中数学复习讲义第八章直线和圆的方程
【方法点拨】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识． 第1课直线的方程 【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程． 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.
【基础练习】 1. 直线x cos α＋ 3y ＋2＝0 的倾斜角范围是50,,66πππ????????????? 2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 10320-+=-=或x y x y 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x 4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2） 【范例导析】 例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k ； （2）求直线AB 的方程； （3）已知实数m 1? ?∈???? ，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在． 当m ≠－1时，1 1 k m = +， （2）当m =－1时，AB ：x =－1， 当m ≠1时，AB ：()1 211 y x m -= ++. （3）①当m =－1时，2 π α=； ②当m ≠－1时， ∵( 1,1k m ?=∈-∞?+∞??+??
圆柱和圆锥精选拓展提高专项训练（一） 一．解答题（共30小题） 1．（2011?龙湖区）一个高为20厘米的圆柱体，如果它的高增加3厘米，则它的表面积增加150.72平方厘米，求原来圆柱体的体积是多少立方厘米？ 2．（2008?高邮市）如图中是一块长方形铁皮（每个方格的边长表示1平方分米），剪下图中的涂色部分可以围成一个圆柱．这个圆柱的侧面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 3．如图是一个油桶，里面装了一些油（图中阴影部分），求油有多少升？ 4．求表面积（单位：厘米）
5．只列式，不计算． （1）做30根圆柱形铁皮通风管，每根底面直径为26厘米，长85厘米，至少需要多少铁皮？（2）明珠灯泡厂原计划30天生产4.2万只，实际提前4天完成任务，实际每天生产多少只？ 6．A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向A注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求 （1）2分钟容器A中的水有多高？ （2）3分钟时容器A中的水有多高． 7．（2013?陆良县模拟）一个圆柱体的底面半径与一个圆锥体的底面半径之比为4：1，该圆锥体的底面积为12.56平方米，已知圆柱体的高为3厘米，试求圆柱体的体积是多少？ 8．（2005?华亭县模拟）看图计算：右边是一个圆柱体的表面展开图，根据所给的数据，求原来圆柱体的体积． 9．在方格纸上画出右边圆柱的展开图（每个方格边长1cm）．算出制作这个圆柱所用材料的面积．
10．选择下面合适的图形围成最大的圆柱．（单位：厘米） （1）你会选择_________图形（填编号） （2）计算它的表面积和体积． 11．一个圆柱形玻璃缸，底面直径20厘米，把一个钢球放入水中，缸内水面上升了2厘米，求这个钢球的体积．（π取3.1） 12．一个圆柱侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面直径是4厘米，高是多少？ 13．将下面的长方形（图1）绕着它的一条边旋转一周，得到一个圆柱体（图2），求旋转所形成的圆柱体的体积．（单位：厘米）
班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________ ----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------ 一、计算题需要更多中考组卷试题请联系qq122002919 注明 组卷 1. 在O ⊙中，60ACB BDC ∠=∠=° ，AC =． （1）求BAC ∠的度数； （2）求O ⊙的周长． 二、证明题 2. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交⊙O 于E ，连结DE 、BE ，且∠C =∠BED ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若OA =10，AD =16，求AC 的长． 3. 如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠BPC = 60?， AB 与PC 交于Q 点． （1）判断△ABC 的形状，并证明你的结论； （2）求证：QB AQ PB AP =； （3）若∠ABP = 15?，△ABC 的面积为43，求PC 的长． 4. 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =． （1）求弦AC 的长； （2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长． 5. 如图，PA 为O ⊙的切线，A 为切点．直线PO 与O ⊙交于B C 、两点，30P ∠=°，连接AO AB AC 、、．求证：ACB APO △≌△． 6. 如图，⊙O 的直径AB =4，C 为圆周上一点，AC =2，过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点 E ． (1) 求∠AEC 的度数； （2）求证：四边形OBEC 是菱形． 7. 已知，如图，AB 是O 的直径，CA 与O 相切于点A ．连接CO 交O 于点D ， CO 的延长线交O 于点E ．连接BE 、BD ，30ABD =?∠，求EBO ∠和C ∠的度数． C E D A F O B P B C E A A O B P C A C D E B O l
专题七：直线与圆 例1：不等式063<-+ay x )0(>a 表示的平面区域是在直线063=-+ay x （ ） 的点的集合。 （A ）左上方 （B ）右上方 （C ）左下方 （D ）右下方 [思路分析] 作出直线063=-+ay x ，又因为06003<-?+?a ，所以原点在区域内侧表示直线的左下方，故选取C 。 [简要评述] 用特殊值法解选择题是常用的方法。 例2：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，则k 的取值范围是 ( ) （A ）2±=k （B ）[)(]2,,2-∞-+∞ （C ）() 2,2- （D ）2-=k 或(-1,1] [思路分析] 数形结合的思想，k x y += 表示一组斜率为1的平行直线，21y x -= 表示y 轴的右半圆。如图可知，选（D ） [简要评述] 数形结合思想的灵活运用，此题 可以进一步拓展，21y x --=，21x y -±=等。 例3：如果实数x 、y 满足()322=+-y x ，那么x y 的最大值是 。 [思路分析] 解法一：设直线l ：kx y =，则x y 表示直线l 的斜率，直线l 与圆 ()322=+-y x 距离为半径即可。 解法二：设圆的参数方程：?????=+=θ θsin 3cos 32y x 则 θ θcos 32sin 3+=x y 据三角知识求解。 解法三：设x y =t ，则???==+-tx y y x 3)2(22 只要解方程组，利用0=?可得解。
解法四：如图，联结圆心C 与切点M ，则由OM ⊥CM ，又Rt △OMC 中，OC=2，CM=3 所以，OM=1，得3==OM MC x y [简要评述] 小题小做，选方法四最为简单，数形结合的数学思想的灵活运用。 例4：已知两点)2,(m A ，)1,3(B ，求直线AB 的斜率与倾斜角。 [思路分析] 注意斜率存在的条件。当3=m 时，k 不存在。α= 2π，当3≠m 时， 31312tan -=--==m m k α；当3>m 时,3 1arctan -=m α，当3 专题六、解析几何（一） 直线和圆 1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或 2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y =的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =； （2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0； （3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0； 3.圆的方程：()()2 2 2 x a y b r -+-=或() 2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 无xy 。 4.直线与圆相交： （1）利用垂径定理和勾股定理求弦长: 弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02 =++c bx ax ，其判别式为?，则 弦长公式（万能公式）：12l x =-= a k a c a k ? +=--+=2 2214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可， 再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外： 如定点()00,P x y ，圆：()()2 2 2 x a y b r -+-=，[()()2 2 2 00x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上： 若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2 x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为： ?=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。 点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。 （3）若点P ()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=外，即()()22 200x a y b r -+->， 过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为： 200))(())((r b y b y a x a x =--+--。 6.两圆公共弦所在直线方程： 圆1C ：2 2 1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：2 2 2220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题： （1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。 （2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。 直线与圆的位置关系、切线》 培优训练 参考答案与试题解析 一.选择题（共12小题） 1. （2013杨浦区二模）00的半径为R,直线I与OO有公共点，如果圆心到直线I的距离为d ,那么d与R的大小关系是（B ） A d >R B d WR C d >R D d v R 考点：直线与圆的位置关系. 专题：探究型. 分析：直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可. 解：???直线I与O0有公共点， 解答： ??直线与圆相切或相交，即d W R. 故选B. 点评： 本题考查的是直线与圆的位置关系，即判断直线和圆的位置关系：设O0的半径为r,圆心O 到直线I的 距离为d ,当d v r时，直线I和OO相交；当d=r时，直线I和00相切；当d > r 时，直线I和O0相离. 2. （2014?嘉定区一模）已知OO的半径长为2cm ,如果直线I上有一点P满足PO=2cm ,那么直线I与00的位 置关系是（D ） A相切B相交C相离或相切D相切或相交 第1页共19页 考点：直线与圆的位置关系? 分析： 情据讨线与相位置关系熠直线l和判断直线和?圖的位置分JOP垂直于直直线l和G OP相垂直直线r；（两直解答：解：当0P垂直于直线I时，即圆心0到直线I的距离d=2=r ,00与I相切； 当OP不垂直于直线I时，即圆心O到直线I的距离d v 2=r , 00与直线I相交. 故直线I与00的位置关系是相切或相交. 故选D. 点评：本题考查直线与圆的位置关系 .解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定. 3. （2013宝应县二模）在平面直角坐标系中，以点（3, - 5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1,则圆的半径r的取值范围是（D） A r >4 B 0v r v 6 C 4 < r V D 4 v r v 6 第1讲直线与圆(小题) 热点一直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. 3.两个距离公式 (1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝ |C 1－C 2|A 2 ＋B 2 (A 2＋B 2≠0). (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 (A 2 ＋B 2≠0). 例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A.1 B.－2 C.1或－2 D.－32 答案 A 解析 ①当m ＝－1时，两直线分别为x －2＝0和x －2y －4＝0，此时两直线相交，不合题意. ②当m ≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得??? －11＋m ＝－m 2， 2 1＋m ≠－2 解得m ＝1. 综上可得m ＝1. (2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0 D.(2－1)x －y ＋2＝0 答案 C 解析 如图所示可知A (2，0)， B (1,1)， C (0，2)， D (－1,1)， 成都市中考20题---圆的综合 都江堰塔子坝中学 卢正谊 成都市中考20题---圆的综合，是成都中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练，尤其是前两问更是我们能否在中考中取得理想成绩的一个重要突破口． 重点例题 例1、（2015?成都）如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=?， AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF BC =.⊙O 是BEF ?的外接圆，EBF ∠的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接BD ，FH . （1）求证：ABC EBF ???； （2）试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （3）若1AB =，求HG HB ?的值. 例2、（2010?成都）已知：如图，ABC ?内接于⊙O，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是弧AD 的中点， 连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、 BC 于点P 、Q ． （1）求证：P 是ACQ ?的外心； （2）若3 tan ,84 ABC CF ∠==,求CQ 的长； （3）求证：2 ()FP PQ FP FG +=．（课后思考） 中考圆的命题方向： 随着直线与圆位置关系的弱化，圆与圆、弦切角、切线长定理、相交弦定理、切割线定理以及割线定理等一系列知识的退出，新教材中圆的知识结构发生了重大的改变。在中考卷中，这种变化体现为考核的重心前移，视角更新。 1、重心前移 教材中讲述的比较重要的定理，经过调整，现在仅剩下垂径定理、弧、弦、圆心角关系定理、圆周角和圆心角关系 定理。这些定理都是圆中极其基础的知识，自身并不具有很强的纵深能力，因为内容删减之后仅余这三个“象样”点的知识，于是在中考试卷中逐渐地活跃起来，成为主导圆与其它知识综合的核心载体，典型手法是以选择、填空等客观性试题设计展现。 2、切线的证明不及以前 切线在原教材中作为圆的核心知识，具有很出色的连横纵深能力，前有圆的垂径定理，圆周角度数定理等等知识作为铺垫，后有弦切角、切线长定理、切割线定理等等作延伸。成都市中考中由于20题已具有选拨性质，所以切线证明仍然是重中之重。 3、与相似形综合成为热点 圆的内容大幅度删减，导致圆与相似形综合的问题开始逐渐地活跃起来，并一跃成为主导圆与其它知识综合的热点。. 练习： （2015?常德）已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长。 怎样提高： 1、夯实基础，熟悉定理。 2、多钻研、多分析、多总结基本图形、基本解题思路。 3、常见辅助线。 4、主动、积极性的思维。 小结： 1、中考分值10分左右。 2、（1）、（2）问争取拿全分。 3、（3）问争取能拿分，不纠结。 A D F A B 初中数学“圆”专题复习（初三必备） 一、知识点梳理 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的； 圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S 1 ， S 2 之间的关系是（） A．S 1＜S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 =S 2 D．不确定 例3 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分，并且平分； 平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例2 在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（） A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米 《直线和圆的方程》练习题 一、选择题 1、三角形ABC 中，A(－2，1)，B(1，1)，C(2，3)，则k AB ，k BC 顺次为 （ ） A ． － 71，2 B ． 2，－1 C ． 0，2 D ． 0，－7 1 2、斜率为－21，在y 轴上的截距为5的直线方程是 （ ） A ． x －2y = 10 B ． x + 2y = 10 C ． x －2y + 10 = 0 D ． x + 2y + 10 = 0 3、经过(1，2)点，倾斜角为135?的直线方程是 （ ） A ． y －2 = x －1 B ． y －1 =－(x －2) C ． y －2 = －(x －1) D ． y －1 =x －2 4、原点在直线l 上的射影是P (－2，1)，则直线l 的方程为 （ ） A ． x + 2y = 0 B ． x + 2y －4 = 0 C ． 2x －y + 5 = 0 D ． 2x + y + 3 = 0 5、如果直线ax + 2y + 2 = 0与3x －y －2 = 0直线平行，那么系数a = （ ） A ． －3 B ． －6 C ． －23 D ． 3 2 6、点(0，10)到直线y = 2x 的距离是 （ ） A ． 25 B ． 5 C ． 3 D ． 5 7、到点C(3，－2)的距离等于5的轨迹方程为 （ ） A ．(x －3)2 + (y + 2)2 = 5 B ． (x －3)2 + (y + 2)2 = 25 C ． (x + 3)2 + (y －2)2 = 5 D ．(x + 3)2 + (y －2)2 = 25 8、已知圆的方程为x 2 + y 2－4x + 6y = 0，下列是通过圆心直线的方程为（ ） A ． 3x + 2y + 1 = 0 B ． 3x －2y + 1= 0 C ．3x －2y = 0 D ． 3x + 2y = 0 9、已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程为 （ ） A ．(x + 1)2 + (y －1)2 = 25 B ．(x －1)2 + (y + 1)2 = 100 C ．(x －1)2 + (y + 1)2 = 25 D ．(x + 1)2 + (y －1)2 = 100 10、直线3x + 4y + 2 = 0与圆x 2 + y 2 + 4x = 0交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ） A ． 4x －3y －2 = 0 B ． 4x －3y －6 = 0 C ． 4x + 3y + 6 = 0 D ． 4x + 3y + 8 = 0 11、直线3x －4y －5 = 0和(x －1)2 + (y + 3)2 = 4位置关系是 ( ) A ． 相交但不过圆心 B ． 相交且过圆心 C ． 相切 D ． 相离 12、点P (1，5)关于直线x + y = 0的对称点的坐标是 （ ） A ． (5，1) B ． (1，－5) C ．(－1，5) D ． (－5，－1) 13、过点P(2，3)且在两坐标轴有相等截距的直线方程是 （ ） A ．x + y －5 = 0 B ．x + y + 5 = 0 C ．x + y －5 = 0 或x + y + 5 = 0 D ．x + y －5 = 0 或3x －2y = 0 专题二十【圆的有关概念、性质及定理】 1．（2015?株洲）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（） A．22°B．26°C．32°D．68° 【答案】A． 2．（2015?兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（） A．80°B．90°C．100°D．无法确定 【答案】B． 3．（2015?湖北）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100° 【答案】C． 4．（2015?湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（） A．4 B．2C．8 D．4 【答案】C． 5．（2015?衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（） A．3 B．4 C．D． 【答案】D． 6．（2015?丽水）如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数是度． 【答案】20． 7．（2015?宜宾）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF=． 【答案】2 8．（2015?天津）已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C 作⊙O的切线，交AB的延长线于点D． （Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小． （Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小． 【答案】（1）∠ADC= 90°； （2）∠FAB= 15°． 9．（2015?湖州）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E 为AC的中点，连结DE． （1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长； （2）求证：ED是⊙O的切线． 【答案】（1）AC=10； （2）略 10．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB 于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 2016年专项练习题集-直线与圆相交的性质 选择题 1.直线x y 3+4+2=0与圆x y 22+=3的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相切 【分值】5 【答案】B 【易错点】计算错误。 【考查方向】本题主要考查了直线与圆的位关系的判断。 【解题思路】求出圆心到直线的距离，与半径进行比较。 【解析】圆心(0,0)到直线x y 3+4+2=0的距离 0+0+22=55，而20<<5，选B 。 2．若圆x y x y 22++2-4=0关于直线x y m 3++=0对称，则实数m 的值为( ). A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 【分值】5 【答案】C 【易错点】忽略当圆关于直线对称时直线过圆的圆心这个条件。 【考查方向】本题主要考查了直线与圆相交的性质。 【解题思路】将圆心坐标代入直线方程，求出m 。 【解析】若圆x y x y 22++2-4=0关于直线x y m 3++=0对称，故圆心在直线x y m 3++=0上，又圆心坐标为(,)-12，故()m 3?-1+2+=0，解得1m =. 3．若点(,)A m n 在圆O ：228x y +=上，则直线8mx ny +=与圆O 的位置关系是( ). A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不确定 【分值】5 【答案】B 【易错点】本题容易将直线方程与圆的方程联立，并利用判别式求解，导致计算十分复杂而导致解题失败。 【考查方向】本题主要考查了点与圆的位置关系以及直线与圆相交的性质。 【解题思路】由点(,)A m n 在圆O ：22 8x y +=上，得到关于,m n 的关系式，利用圆心到直线的距离公式求出O 到直线8mx ny +=的距离d ，利用d 与r 的关系大小关系判断直线与圆的位置关系。 【解析】点(,)A m n 在圆O ：228x y +=上，故22 8m n +=，圆心(0,0)O 到直线 8mx ny +=的距离为 d r = ===，故直线4ax by +=与圆O 相切. 选B.最新高考数学直线和圆的方程专题复习(专题训练)
培优训练之《直线与圆的位置关系、切线》专题
2020高考数学(理)二轮专题复习讲义《五 第1讲 直线与圆(小题)》
成都市中考20题 圆的综合
初中数学“圆”专题复习(初三必备)
直线和圆的方程练习题
【答案】圆专题 分类训练必做20题
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