直线与圆的代数方法专题训练
一、有关垂直问题：
1、已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。
解析：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（
由于CM ⊥l ，∴k CM ?k l = －1 ∴k CM
=
11
2
-=-+a b ， 即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ， 即x －y +b －a =0
CM=
2
3
+-a b
∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA == 2
)3(922
2
2
+--
=-=a b CM
CB MB ，222
b a OM += ∴222
2
)3(9b a a b +=+-- ②
把①代入②得 0322
=--a a ，∴12
3-==a a 或
当2
5
,23-==
b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0
故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0
评析：此题用0OA OB = ,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单
二、取值范围问题
2、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围.
解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.
由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2 = m 2无交点.
（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：
22|m |2
|1||m |<
?<
，即22m 22<<-. （II ）当m ＞OB 时,
||||m m >即13m 13m >-<或. ∴当2
2
m 22<<-
和0m 13m 13m ≠>-<且与时，
圆x 2＋y 2 = m 2与线段AB 无交点.
3、．已知动圆与轴相切，且过点.
⑴求动圆圆心的轨迹方程；
⑵设、为曲线上两点，，，求点横坐标的取值范围. 解： ⑴设为轨迹上任一点，则
化简得： 为求。 ⑵设，， ∵∴
∴ 或 为求 三、定点（或定值）问题
4、已知圆4)4()3(:2
2
=-+-y x C ，直线1l 过定点)0,1(A 。 （1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；
（2）若1l 与圆相交于Q 、P 丙点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与022:2=++y x l 的交点为N ，判断
AN AM ?是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。
解：（1）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1=x ，符合题意。 ……2分 ②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为)1(-=x k y ，即0=--k y kx 。
Q x ()0,2A Q M B C M ()2,2P PB BC ⊥C (),P x y
0y =≠2
114
y x =
+2111,
14B x x ??+ ???2221,14C x x ??+ ???
0PB BC ?= 211162x x x ??
=-+ ?+??
210x ≥26x ≤-
由题意知，圆心)4,3(以已知直线1l 的距离等于半径2，即：21
432
=+--k k k ，
解之得4
3=
k 所求直线方程是1=x ，0343=--y x
（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为0=--
k y kx
由???=--=++0
022l y kx y x 得)123,1222(
+-+-K k
K k N 又直线CM 与1l 垂直，由??
?
??--=--=)3(14x k y k
kx y 得)124,134(2
222k k k k k k M +++++ ∴22
22
2222)123()11222()124()1134(+-+-+-?+++-+++=?k k k k k
k k k k k AN AM 61
213111222
2
2
=++?+++=k k k k k 为定值。
故AN AM ?是定值，且为6。
四、探索性问题
5、已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(2
2
=-+y x 相交于P 、
Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于N .
（１）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； （２）当32=PQ 时，求直线l 的方程；
（３）探索?是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出
其值；若有关，请说明理由.
解析：（１）∵l 与m 垂直，且3
1
-
=m k ，∴3l k =， 故直线l 方程为3(1)y x =+，即330x y -+=
∵圆心坐标（0，3）满足直线l 方程， ∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C
（２）①当直线l 与x 轴垂直时, 易知1-=x 符合题意
②当直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 的方程为)1(+=x k y ，即0=+-k y kx ，
第17题
第17题
∵32=PQ ，∴134=-=CM ，………………………………………8分
则由11
|3|2=++-=
k k CM ，得3
4
=
k , ∴直线l ：0434=+-y x . 故直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x ………………………………………10分
（３）∵CM MN ⊥,∴()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ?=+?=?+?=?
……12分 ① 当l 与x 轴垂直时，易得5(1,)3N --，则5
(0,)3
AN =- ,又(1,3)AC = ,
∴5AM AN AC AN ?=?=-
………………………………………………………14分 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，
则由?
??=+++=063)1(y x x k y ，得N （36,13k k --+k k 315+-）,则55(,)1313k
AN k k --=++ ∴AM AN AC AN ?=? =
51551313k
k k
--+=-++ 综上所述，AN AM ?与直线l 的斜率无关，且5-=?AN AM .…………………16分
课后综合训练
1、已知过点,且与:关于直线对称.
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)设为上的一个动点,求的最小值；
(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.
解:(Ⅰ)设圆心,则,解得…………(3分) 则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)
(Ⅱ)设,则,且
==,…………………………(7分)
所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)
(Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,
, 由,得 ………(11分) 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得
同理,,
C )1,1(P M 222
(2)(2)(0)x y r r +++=>20x y ++= C Q C PQ MQ ?
P C B A ,PA PB O OP AB C (,)a b 22
2022212a b b a --?++=???+?=?+?
00a b =??=?C 222x y r +=P 22r =C 22
2x y +=(,)Q x y 22
2x y +=(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ?=--?++ 22
4x y x y +++-2x y +-PQ MQ ?
4-PA PB :1(1)PA y k x -=-:1(1)PB y k x -=--22
1(1)2
y k x x y -=-??+=?222
(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--=P 1x =22
21
1A k k x k --=+22
21
1B k k x k +-=+
所以=
所以,直线和一定平行
2、已知圆O 的方程为且与圆O 相切。 （1）求直线的方程；
（2）设圆O 与x 轴交与P ,Q 两点，M 是圆O 上异于P ,Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为，直
线PM 交直线于点，直线QM 交直线于点。求证：以为直径的圆C 总过定点，并求出定
点坐标。
解析：（1）∵直线过点，且与圆：相切，
设直线的方程为，即， …………………………2分 则圆心到直线的距离为，解得， ∴直线的方程为，即． （2）对于圆方程,令，得,即．又直线过点且与轴垂直，∴直线方程为，设，则直线方程为 解方程组,得同理可得, ∴以为直径的圆的方程为， 又，∴整理得， 若圆经过定点，只需令，从而有，解得， ∴圆总经过定点坐标为．
3、已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且
.
(1)求直线的方程；⑵求圆的方程；
⑶设点在圆上，试问使△的面积等于8的点共有几个？证明你的结论.
(1)(1)2()
1B A B A B A AB B A B A B A
y y k x k x k k x x k x x x x x x ------+=
===---OP k AB OP ），，过点直线03(,112
2A l y x =+1l 2l 2l '
P 2l '
Q ''Q P 1l (3,0)A C 2
2
1x y +=1l (3)y k x =-30kx y k --=(0,0)O 1l 1d =
=4
2
±
=k 1l 3)y x =-3)y x =-122=+y x 0y =1x =±(1,0),(1,0)P Q -2l A x 2l 3x =(,)M s t PM ).1(1
++=
x s t
y 3,
(1)1x t
y x s =??
?=+?+?
).14,3('+s t P ).12,3('-s t Q P Q ''C '0)1
2)(14()3)(3(=--+-
+--s t y s t y x x 12
2=+t s 2262
(61)0s x y x y t
-+-++
=C '0y =2610x x -+=3x =±C '(3±P ()1,0A -()3,4B AB P C D ||410CD =CD P Q P QAB Q
解：⑴直线的斜率 ，中点坐标为 ，
∴直线方程为 （4分） ⑵设圆心，则由在上得：
①
又直径,
又∴ ② （7分）
由①②解得
或
∴圆心 或
∴圆的方程为 或 （9分） ⑶
，∴ 当△面积为时 ，点到直线的距离为 。
又圆心
到直线的距离为，圆的半径 且
∴圆上共有两个点使 △
的面积为 . （
14分）
4、在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A ()
2的入射光线l 1被直线l
：3
y x =反射，反射光线l 2交y 轴于B 点．圆C 过点A 且与l 1、l 2相切． （1）求l 2所在的直线的方程和圆C 的方程；
（2）设P 、Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．
解析．（Ⅰ）直线1:2,l y =设1l l D D 交于点，则（）
． l 的倾斜角为30 ，260l ∴ 的倾斜角为，
2k ∴=反射光线2l 所在的直线方程为 2y x --． 40y --=． 已知圆C 与1l A 切于点，设C （a,b)
圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，8b ∴=+ ①
又圆心C 在过点A 且与1l 垂直的直线上，a ∴=②，由①②得1a b ?=??=-??
圆C 的半径r=3．
故所求圆C 的方程为22((1)9x y -++=．
（Ⅱ）设点()0,4B -关于l 的对称点00(,)B x y '，
AB 1k =AB ()1,2CD ()21y x -=--即x+y-3=0(),a b P P CD 30a b +-=||CD =||PA ∴
=22(1)40a b ∴++=24PA PB ?= 22
24270a b a b +---={
36a b =-={
5
2a b ==-()3,6P -()5,2P -P ()()2
2
3640x y ++-=()()2
2
5240x y -++=AB =
=QAB 8Q AB P AB P r =>Q QAB 8
则
00
00
44,22y x y x -+==且
得(B '-．固定点Q 可发现，当B P Q '、、共线时，PB PQ +最小，
故PB PQ +的最小值为为3B C '-．
121y y x ?+=?
+??
?
=??
1(),22P
最小值33B C '-=． 5、已知过点A （0，1），且方向向量为，相交于M 、N 两点.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：；
（3）若O 为坐标原点，且.
解：（1）
6、已知圆2
2
:9C x y +=，点(5,0)A -
，直线:20l x y -=.⑴求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；
⑵在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有
PB
PA
为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标. 解：⑴设所求直线方程为2y x b =-+，即20x y b +-=，
3，得b =±2y x =-±---------5分
22
(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-= 的直线与k AM AN ?=
定值12,OM ON k ?=
求的值(1,),l a k =
直线过点(0,1)且方向向量1l y kx ∴=+直线
的方程为1,<得k <<1122(3)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得k x k x 22(1+)-4(1+)+7=021222
7
,11k x x x x k k
∴=++124(1+)+=2121212122
(1)()1812
1k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴?=+=++++=+=+ 4(1+)2
4,11k k k k ∴==+4(1+)解得1,0,1k k =?>∴=又当时
⑵方法1：假设存在这样的点(,0)B t ，当P 为圆C 与x 轴左交点(3,0)-时，|3|2
PB t PA
+=；
当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，|3|8
PB t PA
-=，
依题意，|3||3|2
8
t t +-=，解得，5t =-（舍去），或95
t =-。
下面证明 点9
(,0)5B -对于圆C 上任一点P ，都有
PB
PA
为一常数。 设(,)P x y ，则229y x =-， ∴22222
222229188118()9(517)9552525(5)102592(517)25
x y x x x x PB PA x y x x x x +++++-+====+++++-+， 从而
3
5
PB PA =为常数。 方法2：假设存在这样的点(,0)B t ，使得PB PA
为常数λ，则222
PB PA λ=，
∴2
2
2
2
2
()[(5)]x t y x y λ-+=++，将2
2
9y x =-代入得，22222229(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-，即
2222(5)3490t x t λλ++--=对[3,3]x ∈-恒成立，
∴2
22
50,3490,
t t λλ?+=??--=??，解得3595t λ?=????=-??
或15t λ=??=-?（舍去）， 所以存在点9
(,0)5B -对于圆C 上任一点P ，都有
PB PA
为常数3
5。
7、已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线
,PA PB ，切点为,A B ．（1）若60APB ∠= ，试求点P 的坐标；
（2）若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D
两点，当CD CD 的方程；（3）求
证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
解：（1）设(2,)P m m ，由题可知2MP =，所以2
2
(2)(2)4m m +-=，解之得：4
0,5
m m ==故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55
P ．
（2）设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD
的距离为
2
，所以=
， 解得，1k =-或1
7
k =-
， 故所求直线CD 的方程为：30x y +-=或790x y +-=．
（3）设(2,)P m m ，MP 的中点(,
1)2
m
Q m +，因为PA 是圆M 的切线 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为：2
222()(1)(1)22
m m
x m y m -+-
-=+- 化简得：222(2)0x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，
故2220,20,x y y x y ?+-=?+-=?解得02x y =??=?
或1,
1.x y =??=?
所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(0,2)或(1,1).
直线与圆 1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则 k ＝( ) A ．0 B. 3 C.3 3 或0 D.3或0 解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k | 1＋k 2 ＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D. 2．圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋ 2 2 D ．2＋2 2 解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2| 2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1. 3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 依题意，注意到|AB|＝2＝|OA|2＋|OB|2等价于圆心O到直线l 的距离等于 2 2 ，即有 1 k2＋1 ＝ 2 2 ，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝2”的充分 不必要条件． 4．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 解析：选C 由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，由x＋1＝0且x＋y－1＝0，解得x＝－1，y＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0. 6．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( ) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2
1、明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系 2、浓度三角的应用 3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解 4、利用方程解复杂浓度问题 浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。 一、浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。 浓度：溶质质量与溶液质量的比值。 二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液=溶质+溶剂 2、=100%=100%+??溶质溶质浓度溶液溶质溶液 三、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 知识精讲 教学目标 6-2-3溶液浓度问题
2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度) 形象表达：A B =甲溶液质量乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差 注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相 同的．浓度三角的表示方法如下： 3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法． 模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题 （一） 两种溶液混合一次 【例 1】 某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到， 那么这种溶液的食盐浓度为多少？ 【解析】 两种配置溶液共含食盐40×15%+60×10%=12克，而溶液质量为40+60-50=50克，所以这种溶 液的浓度为12÷50=24%. 【巩固】 一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器 内原来含有糖多少千克？ 【解析】 容器内原含糖7.5千克。 【巩固】 现有浓度为10％的盐水8千克，要得到浓度为20％的盐水，用什么方法可以得到，具体如何 操作？ 【解析】 需蒸发掉4千克水，溶液的浓度变为20％。 【例 2】 有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？ 【解析】 将两种溶液的浓度分别放在左右两侧，重量放在旁边，配制后溶液的浓度放在正下方，用直线 相连；（见图1） 直线两侧标着两个浓度的差，并化成简单的整数比。所需溶液的重量比就是浓度差的反比；对“比”的理解应上升到“份”，3份对应的为300克，自然知道2份为200克了。需加入浓度为70％的盐水200克。 【巩固】 现有浓度为10％的盐水20千克，在该溶液中再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到 浓度为22％的盐水？ 例题精讲
圆B 卷突破 四川成都 刘承树 1．（2017·锦江一诊22题）如图，把正ABC ?的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点F 上，若6=BC ， 则折痕在ABC ?内的部分DE 长为. 【答案】4. 【解析】连接AF ，交BC 于点G ，连接OB . ∵AF 与DE 交于圆心O ，AF ⊥BC ，AF ⊥DE ，DE //BC .设OG =x . 由题意可得∠OBG =30°，∠OGB =90°，OA =OB =2x .∴AG =3x ∵△ADE ∽△ABC ∴ DE OA BC AG =即263DE x x = ∴DE =4. 2．（2018·锦江一诊25题）如图，⊙O 的半径为6，?=∠90AOB ，点C 是 AB 上一动点(不与点B ，A 重合),过点C 作OB CD ⊥于点D ，OA CE ⊥于点E ，连接ED ，点F 是OD 的中点，连接CF 交DE 于点P ，则223CP CE +等于． 【答案】48. 【解析】连接OC ，设DF =OF =x ，则CE =2x .∵BO ⊥AO ，CE ⊥AO ，∴CE //BO ∴△DFP ∽△ECP ，∴ 12DF PF CE CP ==，即2 3 CP CF =. 在Rt △COD 中，222364CD OC OD x =-=-. 在Rt △CDF 中，22222364363CF CD DF x x x =+=-+-.∴2 23633x CP -=， ∴2 22 2236334843x CP x ?- ==- ?? ? .∵CE =2x ，则CE 2=4x 2∴CE 2+3CP 2=4x 2+48-4x 2=48. 【特值法】当C 为弧AB 中点时，DE =OC =6 23218CE CD OD OE CE ，=====2323102 10303 CF CF CP CF CP ，，= ====∴CE 2+3CP 2=48.
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 4 1，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在 的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（市区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（市区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么 此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和 17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（市）如图，⊙O 为△ABC 的切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）
2014年中考专题训练直线和圆的位置关系 一、选择题（每题4分，共40分） 1．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（） A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm 2．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75° 3．如图所示，⊙O是线段AB上的一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．50°B．40°C．60°D．70° 第1题第2题第3题 4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r 的值为（）A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm 5．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定 第5题第6题第7题 6．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4B．C．6D． 7．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作的⊙O切线，切点为B，连结AC交⊙O于D，∠C=38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（） 第8题第9题第10题 9．如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（）A．15°B．20°C．30°D．70° 10．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30° 二、填空题（每题6分，共30分）11．如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC．若∠CPA=20°，则∠A= °． 第11题第12题第13题 12．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，B是⊙O上一点，BC⊥AP于点C，且OB=BP=6，则BC= ．13．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAD=35°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，则∠C= ° 14．如图，在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则∠BAC的度数是° 第14题第15题 15．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= ° 三、解答题（每题8分，共80分） 16．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数． 17．已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C． （1）求∠BAC的度数； （2）求证：AD=CD． 18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠ B=60°． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线．
(本题型共设计30题，共20分，每小题5分，共抽取4题) 章名：01|绪论 15|应用题 难度：1|易 1．碳原子核外及氢原子核外各有几个电子？它们是怎样分布的？画出它们的轨道形状。当四个氢原子与一个碳原子结合成甲烷（CH 4）时，碳原子核外有几个电子是用来与氢成键的？画出它们的轨道形状及甲烷分子的形状。 答案： C +6 2 4 H +1 C CH 4中C 中有4个电子与氢成键为SP 3杂化轨道,正四面体结构 CH 4 SP 3杂化 2p y 2p z 2p x 2s H 难度：2|中 2.写出下列化合物的Lewis 电子式： a. C 2H 4 b. CH 3Cl c. NH 3 d. H 2S e. HNO 3 f. HCHO g. H 3PO 4 h. C 2H 6
答案： a. C C H H H H C C H H H H 或 b. H C H c. H N H H d. H S H e. H O N O f. O C H H g. O P O O H H h.H C C H H H H H O P O O H H 或 章名：03|不饱和烃 15|应用题 难度：1|易 3.下列烯烃哪个有顺、反异构？写出顺、反异构体的构型，并命名。 a . b. c. d. CH 2=C(Cl)CH 3C 2H 5CH=CHCH 2I CH 3CH=CHCH(CH 3)2 CH 3CH=CHCH=CH 2 CH 3CH=CHCH=CHC 2H 5 CH 3CH 2C=CCH 2CH 3 CH 3 C 2H 5 e. f. 答案： c , d , e ,f 有顺反异构 c.C 2H 5 C H C CH 2I H ( Z )－1－碘－2－戊烯( E )－1－碘－2－戊烯C C 2H 5 C CH 2I H H d. C H C CH(CH 3)2H ( Z )－4－甲基－2－戊烯H 3C C H C H CH(CH 3)2 H 3C ( E )－4－甲基－2－戊烯 e. C H 3C C H C H ( Z )－1,3－戊二烯 H CH 2 C H C H C H ( E )－1,3－戊二烯 H 3C CH 2 f. C H 3C C H C ( 2Z,4Z )－2,4－庚二烯 H C H H C 2H 5C H 3C C H H C H C 2H 5 H ( 2Z,4E )－2,4－庚二烯 C H C H C H 3C C H C 2H 5 H ( 2E,4E )－2,4－庚二烯 C H C H C ( 2E,4Z )－2,4－庚二烯H 3C C H H C 2H 5
新人教版九年级上册《第24章圆》2020年单元测试卷 一、选择题（本大题共13小题，共39.0分） 1.如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB， AD，BD，若∠ADB=70°，则∠ABC的度数是() A. 20° B. 70° C. 30° D. 90° 2.如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分 割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁 出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥 的底面和侧面，则AB的长为() A. 3.5cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm 3.如图，在△AOC中，OA=3cm，OC=1cm，将△AOC绕 点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过 程中所扫过的图形的面积为()cm2． A. π 2 B. 2π π C. 17 8 π D. 19 8 4.如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下 列三角形中，外心不是点O的是() A. △ABE B. △ACF C. △ABD D. △ADE 5.已知某直线到圆心的距离为5cm，圆的周长为10πcm，请问这条直线与这个圆的公 共点的个数为() A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定
6.如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的 侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为() A. 2 B. √3 C. 3 2 D. √2 7.如图，在一个圆内有AB?、CD?、EF?，若AB?+CD?=EF?，则AB+ CD与EF的大小关系是() A. AB+CD=EF B. AB+CD
圆柱和圆锥精选拓展提高专项训练（一） 一．解答题（共30小题） 1．（2011?龙湖区）一个高为20厘米的圆柱体，如果它的高增加3厘米，则它的表面积增加150.72平方厘米，求原来圆柱体的体积是多少立方厘米？ 2．（2008?高邮市）如图中是一块长方形铁皮（每个方格的边长表示1平方分米），剪下图中的涂色部分可以围成一个圆柱．这个圆柱的侧面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 3．如图是一个油桶，里面装了一些油（图中阴影部分），求油有多少升？ 4．求表面积（单位：厘米）
5．只列式，不计算． （1）做30根圆柱形铁皮通风管，每根底面直径为26厘米，长85厘米，至少需要多少铁皮？（2）明珠灯泡厂原计划30天生产4.2万只，实际提前4天完成任务，实际每天生产多少只？ 6．A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向A注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求 （1）2分钟容器A中的水有多高？ （2）3分钟时容器A中的水有多高． 7．（2013?陆良县模拟）一个圆柱体的底面半径与一个圆锥体的底面半径之比为4：1，该圆锥体的底面积为12.56平方米，已知圆柱体的高为3厘米，试求圆柱体的体积是多少？ 8．（2005?华亭县模拟）看图计算：右边是一个圆柱体的表面展开图，根据所给的数据，求原来圆柱体的体积． 9．在方格纸上画出右边圆柱的展开图（每个方格边长1cm）．算出制作这个圆柱所用材料的面积．
10．选择下面合适的图形围成最大的圆柱．（单位：厘米） （1）你会选择_________图形（填编号） （2）计算它的表面积和体积． 11．一个圆柱形玻璃缸，底面直径20厘米，把一个钢球放入水中，缸内水面上升了2厘米，求这个钢球的体积．（π取3.1） 12．一个圆柱侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面直径是4厘米，高是多少？ 13．将下面的长方形（图1）绕着它的一条边旋转一周，得到一个圆柱体（图2），求旋转所形成的圆柱体的体积．（单位：厘米）
专题七：直线与圆 例1：不等式063<-+ay x )0(>a 表示的平面区域是在直线063=-+ay x （ ） 的点的集合。 （A ）左上方 （B ）右上方 （C ）左下方 （D ）右下方 [思路分析] 作出直线063=-+ay x ，又因为06003<-?+?a ，所以原点在区域内侧表示直线的左下方，故选取C 。 [简要评述] 用特殊值法解选择题是常用的方法。 例2：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，则k 的取值范围是 ( ) （A ）2±=k （B ）[)(]2,,2-∞-+∞ （C ）() 2,2- （D ）2-=k 或(-1,1] [思路分析] 数形结合的思想，k x y += 表示一组斜率为1的平行直线，21y x -= 表示y 轴的右半圆。如图可知，选（D ） [简要评述] 数形结合思想的灵活运用，此题 可以进一步拓展，21y x --=，21x y -±=等。 例3：如果实数x 、y 满足()322=+-y x ，那么x y 的最大值是 。 [思路分析] 解法一：设直线l ：kx y =，则x y 表示直线l 的斜率，直线l 与圆 ()322=+-y x 距离为半径即可。 解法二：设圆的参数方程：?????=+=θ θsin 3cos 32y x 则 θ θcos 32sin 3+=x y 据三角知识求解。 解法三：设x y =t ，则???==+-tx y y x 3)2(22 只要解方程组，利用0=?可得解。
解法四：如图，联结圆心C 与切点M ，则由OM ⊥CM ，又Rt △OMC 中，OC=2，CM=3 所以，OM=1，得3==OM MC x y [简要评述] 小题小做，选方法四最为简单，数形结合的数学思想的灵活运用。 例4：已知两点)2,(m A ，)1,3(B ，求直线AB 的斜率与倾斜角。 [思路分析] 注意斜率存在的条件。当3=m 时，k 不存在。α= 2π，当3≠m 时， 31312tan -=--==m m k α；当3>m 时,3 1arctan -=m α，当3 1、比例的基本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有： 一、比和比例的性质 性质1：若a: b=c ：d ，则(a + c)：(b + d)= a ：b=c ：d ； 性质2：若a: b=c ：d ，则(a - c)：(b - d)= a ：b=c ：d ； 性质3：若a: b=c ：d ，则(a +x c)：(b +x d)=a ：b=c ：d ；(x 为常数) 性质4：若a: b=c ：d ，则a×d = b×c ；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k 为常数)，则称a 、b 成正比； 反比例：如果a×b=k(k 为常数)，则称a 、b 成反比． 二、主要比例转化实例 ① x a y b = ? y b x a =； x y a b =； a b x y =； 知识点拨 教学目标 6-2-4比例应用题 ② x a y b = ? mx a my b =； x ma y mb =(其中0m ≠)； ③ x a y b = ? x a x y a b =++； x y a b x a --=； x y a b x y a b ++=-- ；L ④ x a y b =，y c z d = ? x ac z bd =；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的 c a 等于y 的 d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc ad ． 三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配 例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到 ax a b +个，乙分配到bx a b +个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题 例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为 ax a b -，B 的元素数量为bx a b -，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值． 四、比例题目常用解题方式和思路 解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点： 1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为 单位“1”。 2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。 3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正 比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。 章节复习题 一、单选题（选择一个正确的选项） 1 、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（） A、140° B、110° C、90° D、70° 2 、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D．若∠CDB=30°，⊙O的半径为3，则弦CD的长是（） A、3 2 B、3 C、23 D、9 3 、先作半径为 3 2 的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作上述外接圆的外切正 六边形，则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为（） A、(2 3 3 )7B、( 2 3 3 )8C、( 3 )7D、( 3 )8 4 、设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP=m，且m使得关于x的方程2x2-22x+m-1=0有实数根，则直线l与⊙O的位置关系为（） A、相离或相切 B、相切或相交 C、相离或相交 D、无法确定 5 、如图，半径分别为r1，r2的⊙O1、⊙O2相外切，AB为两圆的外公切线，O1O2为连心线，若∠AO1O2=60°，r1=6，则r2等于（） A、3 B、2 C、1.5 D、1 6 、截面直径为100 cm的圆形下水道横截面如图所示，水面宽60 cm，则下水道中水的最大深度为（） A、90cm B、80cm C、60cm D、50cm 7 、已知⊙O的半径是6cm，P是⊙O外一点，则OP的长可能是（） A、4cm B、5cm C、6cm D、7cm 8 、如图，在平面直角坐标系中，过点O的⊙O1与两坐标轴分别交于A、B两点，A（5，0），B（0，3），点C 在弧OA上，则tan∠BCO=（） A、3 4 B、 4 3 C、 4 5 D、 3 5 9 、若线段AB、AC的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两根，且A、B、C三点共线，则分别以线段AB、 AC为直径的两圆的位置关系为（） A、内切 B、外切 C、内含 D、内切或外切 10 、圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是（） A、180° B、200° C、225° D、216° 二、填空题（在空白处填写正确的答案） 11 、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BCA=60°，则∠ABO=__________°． 12 、要制造一个圆锥形的烟囱帽，如图，使底面半径r与母线l的比r：l=3：4，那么在剪扇形铁皮时，圆心角应取__________度． 直线与圆的位置关系、切线》 培优训练 参考答案与试题解析 一.选择题（共12小题） 1. （2013杨浦区二模）00的半径为R,直线I与OO有公共点，如果圆心到直线I的距离为d ,那么d与R的大小关系是（B ） A d >R B d WR C d >R D d v R 考点：直线与圆的位置关系. 专题：探究型. 分析：直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可. 解：???直线I与O0有公共点， 解答： ??直线与圆相切或相交，即d W R. 故选B. 点评： 本题考查的是直线与圆的位置关系，即判断直线和圆的位置关系：设O0的半径为r,圆心O 到直线I的 距离为d ,当d v r时，直线I和OO相交；当d=r时，直线I和00相切；当d > r 时，直线I和O0相离. 2. （2014?嘉定区一模）已知OO的半径长为2cm ,如果直线I上有一点P满足PO=2cm ,那么直线I与00的位 置关系是（D ） A相切B相交C相离或相切D相切或相交 第1页共19页 考点：直线与圆的位置关系? 分析： 情据讨线与相位置关系熠直线l和判断直线和?圖的位置分JOP垂直于直直线l和G OP相垂直直线r；（两直解答：解：当0P垂直于直线I时，即圆心0到直线I的距离d=2=r ,00与I相切； 当OP不垂直于直线I时，即圆心O到直线I的距离d v 2=r , 00与直线I相交. 故直线I与00的位置关系是相切或相交. 故选D. 点评：本题考查直线与圆的位置关系 .解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定. 3. （2013宝应县二模）在平面直角坐标系中，以点（3, - 5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1,则圆的半径r的取值范围是（D） A r >4 B 0v r v 6 C 4 < r V D 4 v r v 6 6-2-4比例应用题 教学目标 1、比例的基本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 知识点拨 比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有： 一、比和比例的性质 性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d； 性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、主要比例转化实例 ① x a y b = ? y b x a =； x y a b =； a b x y =； ② x a y b = ? mx a my b =； x ma y mb =(其中0m ≠)； ③ x a y b = ? x a x y a b =++； x y a b x a --=； x y a b x y a b ++=-- ；L ④ x a y b =，y c z d = ? x ac z bd =；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的 c a 等于y 的 d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc ad ． 三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配 例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bx a b +个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题 例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为 ax a b -，B 的元素数量为bx a b -，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值． 四、比例题目常用解题方式和思路 解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点： 1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的 数量为单位“1”。 中考内容 中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概 念 会过不在同一直线 上的三点作圆；能利 用圆的有关概念解 决简单问题 圆的性质知道圆的对称性，了 解弧、弦、圆心角的 关系 能用弧、弦、圆心角 的关系解决简单问 题 能运用圆的性质解 决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心 角的关系；知道直径 所对的圆周角是直 角 会求圆周角的度数， 能用圆周角的知识 解决与角有关的简 单问题 能综合运用几何知 识解决与圆周角有 关的问题 垂径定理会在相应的图形中 确定垂径定理的条 件和结论 能用垂径定理解决 有关问题 点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系了解直线与圆的位 置关系；了解切线的 概念，理解切线与过 切点的半径之间的 关系；会过圆上一点 画圆的切线；了解切 线长的概念 能判定直线和圆的 位置关系；会根据切 线长的知识解决简 单的问题；能利用直 线和圆的位置关系 解决简单问题 能解决与切线有关 的问题 圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置 关系 能利用圆与圆的位 置关系解决简单问 题 中考内容与要求 圆的概念及性质 弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积 和全面积 能解决与圆锥有关 的简单实际问题 圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。 年份2010年2011年2012年 题号11，20 20，25 8，20，25 分值9分13分17分 考点垂径定理的应用； 切线判定、圆与解 直角三角形综合 圆的有关证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位置关系 圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同 相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位置关系 中考考点分析 成都市中考20题---圆的综合 都江堰塔子坝中学 卢正谊 成都市中考20题---圆的综合，是成都中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练，尤其是前两问更是我们能否在中考中取得理想成绩的一个重要突破口． 重点例题 例1、（2015?成都）如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=?， AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF BC =.⊙O 是BEF ?的外接圆，EBF ∠的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接BD ，FH . （1）求证：ABC EBF ???； （2）试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （3）若1AB =，求HG HB ?的值. 例2、（2010?成都）已知：如图，ABC ?内接于⊙O，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是弧AD 的中点， 连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、 BC 于点P 、Q ． （1）求证：P 是ACQ ?的外心； （2）若3 tan ,84 ABC CF ∠==,求CQ 的长； （3）求证：2 ()FP PQ FP FG +=．（课后思考） 中考圆的命题方向： 随着直线与圆位置关系的弱化，圆与圆、弦切角、切线长定理、相交弦定理、切割线定理以及割线定理等一系列知识的退出，新教材中圆的知识结构发生了重大的改变。在中考卷中，这种变化体现为考核的重心前移，视角更新。 1、重心前移 教材中讲述的比较重要的定理，经过调整，现在仅剩下垂径定理、弧、弦、圆心角关系定理、圆周角和圆心角关系 定理。这些定理都是圆中极其基础的知识，自身并不具有很强的纵深能力，因为内容删减之后仅余这三个“象样”点的知识，于是在中考试卷中逐渐地活跃起来，成为主导圆与其它知识综合的核心载体，典型手法是以选择、填空等客观性试题设计展现。 2、切线的证明不及以前 切线在原教材中作为圆的核心知识，具有很出色的连横纵深能力，前有圆的垂径定理，圆周角度数定理等等知识作为铺垫，后有弦切角、切线长定理、切割线定理等等作延伸。成都市中考中由于20题已具有选拨性质，所以切线证明仍然是重中之重。 3、与相似形综合成为热点 圆的内容大幅度删减，导致圆与相似形综合的问题开始逐渐地活跃起来，并一跃成为主导圆与其它知识综合的热点。. 练习： （2015?常德）已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长。 怎样提高： 1、夯实基础，熟悉定理。 2、多钻研、多分析、多总结基本图形、基本解题思路。 3、常见辅助线。 4、主动、积极性的思维。 小结： 1、中考分值10分左右。 2、（1）、（2）问争取拿全分。 3、（3）问争取能拿分，不纠结。 A D F A B 四年级上册应用题练习题 班级姓名 1、一只山雀5天大约能吃800只害虫，照这样计算，一只山雀一个月大约能吃多少只害虫？（一个月按30天计算。） 2、一辆长客车3小时行了174千米，照这样的速度，它12小时可以行多少千米？ 3、张爷爷买3只小羊用了75元，他还想再买5只这样的小羊，需要准备多少钱？ 4、5箱蜜蜂一年可以酿375千克蜂蜜。小林家养了这样的蜜蜂12箱，一年可以酿多少千克蜂蜜？ 5、育英小学的180名少先队员在“爱心日”帮助军属做好事。这些少先队员平均分成5队，每队分成4组活动，平均每组有多少名少先队员？ 6、刘叔叔带700元买化肥，买了16袋化肥，剩60元。每袋化肥的价钱是多少？ 7、春芽鸡场星期一收的鸡蛋，18千克装一箱。装好8箱后还剩16千克。星期一收了多少千克鸡蛋？ 8、王叔叔从县城开车去王庄送化肥。去的时候每小时行40千米，用了6小时，返回时只用了5小时。返回时平均每小时行多少千米？ 9、一辆旅游车在平原和山区各行了2小时，最后到达山顶。已知旅游车在平原每小时行50千米，山区每小时行30千米。这段路程有多长？ 10、公路两边植树，每边每千米要植树25棵，这条路长120千米，一共植树多少棵？ 11、学校准备发练习本，发给15个班，每班144本，还要留40本作为备用。学校应买多少练习本？ 12、一棵树苗16元，买3棵送1棵。一次买3棵，每棵便宜多少钱？ 13、洗发水每瓶15元，商场开展促销活动，买4瓶送1瓶。一次买4瓶，每瓶便宜多少元？ 14、一只熊猫一天要吃15千克饲料，动物园准备24袋饲料，每袋20千克，这些饲料够一只熊猫吃30天吗？ 15、汽车从甲地到乙地送货，去时用了6小时，速度是32千米/小时，回来只用了4小时，回来的速度是多少？ 16、小明上山用了4小时，每小时行3千米，下山的速度加快，是6千米/时，下山用了多长的时间？ 17、车间原计划每天生产15台机器，24天就可以完成，实际每天生产18台，实际只要几天就可以完成任务？ 18、实验小学要为三、四年级的学生每人买一本价格为12元的作文辅导书。已知三年级有145人，四年级有155人，两个年级一共需要多少元？ 19、有370人去旅游，每辆汽车坐30人，要几辆汽车才能拉完？ 20、有450千克大米，每天吃60千克，最多能吃几天？ 21、学校校礼堂每排有28个座位，四年级共有180人，可以坐满几排？还剩几人？ 22、刘叔叔带800元买化肥。买了16袋化肥，剩下80元，每袋化肥 的价钱是多少？ 专题二十【圆的有关概念、性质及定理】 1．（2015?株洲）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（） A．22°B．26°C．32°D．68° 【答案】A． 2．（2015?兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（） A．80°B．90°C．100°D．无法确定 【答案】B． 3．（2015?湖北）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100° 【答案】C． 4．（2015?湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（） A．4 B．2C．8 D．4 【答案】C． 5．（2015?衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（） A．3 B．4 C．D． 【答案】D． 6．（2015?丽水）如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数是度． 【答案】20． 7．（2015?宜宾）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF=． 【答案】2 8．（2015?天津）已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C 作⊙O的切线，交AB的延长线于点D． （Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小． （Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小． 【答案】（1）∠ADC= 90°； （2）∠FAB= 15°． 9．（2015?湖州）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E 为AC的中点，连结DE． （1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长； （2）求证：ED是⊙O的切线． 【答案】（1）AC=10； （2）略 10．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB 于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长．(完整版)6-2-4比例应用题.题库教师版
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