几何三大变换（讲义)
一、知识点睛
1._＿____＿＿、＿＿______、＿____＿______统称为几何三
大变换.几何三大变换都是___＿_＿__＿＿__＿__,只改变图形的_＿＿__＿__，不改变图形的_＿___＿＿＿_＿＿_＿＿___．
2.三大变换思考层次
二、精讲精练
1. 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到
△DEF ,则四边形ABF Ｄ的周长为（ ） A ．6
?B.8
?Ｃ.10 ??D ．１２
F
C
E D
B
A
第1题图 第2题
图
2. 如图，在平面直角坐标系ｘOy 中,已知点A ,B 的坐标分别为
（１，0）,（０,2）,将线段AB 平移至A １B 1,若点A 1,B 1的坐标分别为(２,ａ),(b ,３),则a b +=__＿____＿＿_＿．
3. 如图，在44?的正方形网格中,△ＭNP 绕某点旋转一定的角
度得到△M 1N 1P 1,则其旋转中心可能是（ ） A.点Ａ?
B ．点B ??
C ．点C ?D.点D
N 1
M 1
4.
如图,Rt △ＡBC 的边BC 位于直线l 上，A Ｃ，∠Ａ
CB =90°，∠A =30°.若Rt △ＡＢC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点Ａ第3次落在直线ｌ上时，点A 所经过的路径
长为＿____________＿__.（结果保留π）
l
5. 如图,菱形ＯABC 的顶点O 在坐
标原点,顶点A 在x 轴正半轴上，且∠B =120°,OA =２．将菱形O ＡBC 绕原点O 顺时针旋转105°至菱形OA ′Ｂ′Ｃ′的位置，则点Ｂ′的坐标为____＿_＿＿
＿＿_.
6. 如图１,把正方形ACFG 和Rt △A ＢC 重叠在一起，已知AC =
２，∠BAC ＝60°.将Rt △AB Ｃ绕直角顶点C 按顺时针方向旋转，使斜边ＡＢ恰好经过正方形ACFG 的顶点F ，得到△
Ａ′B ′Ｃ.若ＡＢ分别与A ′Ｃ，Ａ′B ′相交于点D ,E ，如图2所示,
则△ＡBC 与△A ′B ′C 重叠部分(图中阴影部分）的面积为__＿____＿＿．
图1 图2
7. 如图，O 是等边三角形ABC 内一点,且O Ａ=3,OB =4,OC =5.
将线段O Ｂ绕点B 逆时针旋转60°得到线段O ′
B ,则下列结论：①△ＡO′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转６0°得到;
B
C
②∠AOB =150°
；③6AOBO'S =+四边形
④6AOB AOC S S +=+
△△ 其中正确的是_______＿___＿．(填写序号)
8. 如图,在矩形ＡB ＣD 中，AD AB >
，将矩形ABCD
折叠，使点Ｃ与点A 重合,折痕为MN ,连接CN ．若△CDN 的面积与
△CMN 的面积之比为1:4,则MN
BM 的值为( ）
A ．2
B ．４
C.
?Ｄ．
N M E D
B
A
9. 如图,在矩形纸片ＡＢＣD 中,已知AB =５ｃm ，B Ｃ=10c ｍ，
点E ，P 分别在边ＣD ,AD 上，且ＣE =2c ｍ，ＰA ＝6c ｍ,过点
Ｐ作P Ｆ⊥AD ，交BC 于点F .将纸片折叠,使点Ｐ与点E 重合,折痕交PF 于点Ｑ,则线段ＰQ 的长为______＿__＿___.
Q
F
E P
D
C B
A
10. 如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，P 为AB 边的中
点．将纸片折叠,使点Ｃ落在直线DP 上，若折痕经过点D ,且交BC 于点E ,则∠ＤEC ＝____________.
O'
O C B A
C'
P E D C
B
A
11. 如图，在菱形纸片ABCD 中,∠A =60°,将纸片折叠,点Ａ，D
分别落在点A ′,D ′处,且Ａ′D ′经过点B ,E Ｆ为折痕．当 B.
??C ??D ． E F
D'
A'
C
D
A
12. 如图，在Ｒt △ABC 中，∠ACB =90°,∠B ＝30°，BC =3．D 是
BC 边上一动点（不与点B ,C 重合)，过点D 作D Ｅ⊥B Ｃ，交A Ｂ于点E ,将∠Ｂ沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点Ｆ处．当△ＡＥF 为直角三角形时,B Ｄ的长为__＿__＿＿_．
D
E
F
C
B
A
A
13.阅读下面的材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCＤ中，ＡD∥B Ｃ，对角线ＡＣ，ＢD相交于点Ｏ．若梯形ＡＢＣD的面积为1，试求以ＡC，BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的
小伟是这样思考的：要想解决这个问题,应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积.他发现AD∥BＣ，因为平移可以产生平行四边形,利用平行四边形对边相等就可转移边，所以考虑通过平移来解决这个问题．他的方法是过点D作AＣ的平行线,交BC的延长线于点Ｅ,得到的△BＤE即是以AC,BD,ＡD+ＢC的长度为三边长的三角形(如图2）.
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3,△ＡBＣ的三条中线分别为AD，BE,CF.
度为三边长的一个三角形;
（2)若△ABＣ的面积为１，则以ＡＤ，ＢE，CＦ的长度为三边长的三角形的面积为___＿_________.
三、回顾与思考
【参考答案】
知识点睛
１．平移、旋转、轴对称.全等变换，位置，形状和大小.
2．平行四边形，等腰三角形，等腰三角形.
精讲精练
１.Ｃ
2．2
３.B
４.(4+π
5．,)
6.6
2
-
7．①②④
8.Ｄ
9.25
cm 6
10．75°1１.A 12.1或２
1３．（1)作图略；（2)3 4 .
几何三大变换(随堂测试)
1. 如图，在平面直角坐标系x Ｏy 中，菱形OABC 的边ＯA 在x
轴正半轴上,将该菱形绕原点O 逆时针旋转１05°至菱形OA′B′C′的位置.
若OB ___________＿_＿__．
(D' )
C'
E
F C
D
B A
第1题图 第2题图
2. 如图,在矩形纸片ＡBCD 中,ＡＢ=6c ｍ,A Ｄ=８ｃm ．将纸片
折叠,使点D 与点B 重合，则折痕EF 的长为＿____________.
【参考答案】
1．(4-,4) 2．152
cm
几何三大变换（作业)
1. 如图,将边长为2的等边三角形AB Ｃ沿BC 方向平移1个单
位得到△DEF ,则四边形ＡＢFD 的周长为（ ） A ．6???Ｂ．8
?
C ．１0? ?D.1２
F
E
D
C
B
A
第1题图 第2题图 2. 如图，已知△ABC 的面积为8，将△ＡB Ｃ沿BC 方向平移到
△Ａ′B′C′的位置,使点B′和点C 重合，连接ＡＣ′，交A ′C 于点D ，则△CA Ｃ′的面积为( ) A.４
B ．6
?C ．８
?D.16
3. 如图,在64?的方格纸中,格点三角形甲经过旋转后得到格点三
角形乙,则其旋转中心是( ） A.格点M ??B ．格点N C.格点Ｐ ?Ｄ．格点Ｑ
D
( B' )C'A'
C B A
4. 已知矩形ABCD 的边ＡB =8,A Ｄ=6，现将矩形ABCD 放在直线
l 上，沿l 向右无滑动地翻转,当它首次翻转至类似初始位置(图中矩形A 1B 1C 1D １的位置)时,其顶点Ａ经过的路径长为____＿_＿_＿__＿＿_．
l C 1
D 1B 1
A 1D C
B A
5. 如图,已知直角三角板ＡＢＣ的斜边A Ｂ=6cm,∠A =30°，将三
角板ABC 绕点Ｃ顺时针旋转９０°至△A ′Ｂ′Ｃ的位置,再沿C
Ｂ向左平移,使点B′落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板向左平移的距离为______＿＿_＿cm ．
6. 如图，已知O Ａ⊥OB ，等腰直
角三角形CDE 的腰ＣD 在ＯB 上，∠EC Ｄ=４5°,将△C ＤE 绕
点Ｃ逆时针旋转75°,点E 的对应点N 恰好落在OA 上,则OC
CD
的
值为_＿＿___＿＿____.
N
M
E
D C B
O
A E'
E
D
C
B A
第6题图 第７题图
7. 如图,E 是正方形ＡBCD 内一点，连接AE ，BE ，CE ，将
△ABE 绕点B 顺时针旋转9０°至△ＣB Ｅ′的位置.若AE =１，B
Ｅ=2,C Ｅ＝3,则∠ＢE′C =___＿_＿_____． 8. 如图,在平行四边形ＡBCD 中，∠A =７0°，将该平行四边形折
叠,使点C ,D 分别落在点Ｅ,F 处,折痕为MN ．若点E ，F 均在
直线AB 上,则∠AMF =__＿__＿_＿__＿_＿_．
2016中考数学预测押题--专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。 在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。 中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。 原创模拟预测题1.如图，直线l：y=+y轴交于点A，将直线l绕点A顺时针旋转75o后，所得直线的解析式为【】
A ．y = B ．y x =+ C ．y x =-+ D ．y x =- 【答案】B 。 【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 故选B 。 原创模拟预测题2. 根据要求，解答下列问题： （1）已知直线l 1的函数表达式为y x 1=+，直接写出：①过原点且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式；②过点（1，0）且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式； （2）如图，过点（1，0）的直线l 4向上的方向与x 轴的正方向所成的角为600，①求直线l 4的函数表达式；②把直线l 4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l 5，求直线l 5的函数表达式； （3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线11y x 55 =-垂直的直线l 6的函数表达式。
2012年中考数学压轴题分类解析 专题7：几何三大变换相关问题 授课老师：黄立宗 典型例题选讲： 例题1：（2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对 应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． （1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的 条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形． 例题2：（2012辽宁丹东）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE ①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）； （2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE 则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC= （用α表示）； （3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）． 例题3：（2012福建福州）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D
的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)． 例题4：（2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式； （3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线 OP与该抛物线交点的个数。 巩固练习 1、（2012黑龙江大庆）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)， C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，a)，B(a，O)( a 0). （1）结合坐标系用坐标填空． 点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称
2004-2013年浙江11市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题13：几何三大变换问题之对称 一、选择题 1.（2004年浙江绍兴4分）如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD等于【】 A．108°B．144°C．126°D．129° 【答案】C。 【考点】矩形的性质，折叠对称的性质。 【分析】展开如图：五角星的每个角的度数是： 0 180 36 5 。 ∵∠COD=3600÷10=360，∠ODC=360÷2=180， ∴∠OCD=1800－360－180=1260。故选C。 2.（2004年浙江湖州3分）小强拿了一张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是【】 A. B. C. D. 【答案】D。 【考点】剪纸问题，折叠对称的性质，正方形的性质。 【分析】按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个等腰直角三角形，展开得：剪去的为一正方形，且顶点在原正方形的对角线上。故选D。 3.（2007年浙江绍兴4分）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是【】
A．向右平移7格 B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对称轴作轴对称 C．绕AB的中点旋转1800，再以AB为对称轴作轴对称 D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格 【答案】D。 【考点】轴对称和平移变换。 【分析】观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格。故选D。 4.（2008年浙江台州4分）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移， 我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换 ．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结 合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换 ．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是【】 A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分 C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行 【答案】B。 【考点】新定义，轴对称变换和平移变换的性质。 【分析】观察图形，因为进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的； 对应点连线是不可能平行的，D是错误的； 由对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分。故选B。 5.（2011年浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，
几何三大变换（习题） ?例题示范 例1：如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B 落在CD 边上的点B′处，点A 的对应点为A′，折痕为MN．若B′C=3，则AM 的长为． 【思路分析】 要求AM 的长，设AM=x，则MD=9-x． 思路一：考虑利用折叠为全等变换转条件，得AM=A′M=x， A′B′=AB=9．观察图形，∠A′=∠D=90°，△MA′B′和△MDB′都是 直角三角形，MB′是其公共斜边，则MB′可分别在两个直角三角形中借助勾股定理表达，列方程． 思路一思路二 思路二：MN 是对称轴，考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件，得MB=MB′．观察图形，∠A=∠D=90°，MB，MB′ 可分别放到Rt△ABM 和Rt△DB′M 中借助勾股定理表达，列方程． 例2：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD 的面积为24，则AC 的长为． 【思路分析】 已知四边形ABCD 的面积，要求AC 的长，考虑借助AC 表达四 边形ABCD 的面积．四边形ABCD 为不规则四边形，考虑割补法或转化法求面积．分析题目中条件AB=AD，存在等线段共端点的 结构，且隐含∠B+∠D=180°，故考虑通过构造旋转解决问题，可把△ABC 绕点A 逆时针旋转90°．
1
?巩固练习 1.如图，将边长为2 的等边三角形ABC 沿BC 方向平移1 个单 位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为． 第1 题图第2 题图 2.如图，已知△ABC 的面积为8，将△ABC 沿BC 方向平移到 △A′B′C′的位置，使点B′和点 C 重合，连接AC′，交A′C 于点D，则△CAC′的面积为． 3.如图，在6 4 的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点 三角形乙，则其旋转中心是（） A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q 第3 题图第4 题图 4.如图，已知OA⊥OB，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD=45°，将△CDE 绕点 C 逆时针旋转75°，点 E 的 对应点N 恰好落在OA 上，则OC 的值为．CD 5.如图，E 是正方形ABCD 内一点，连接 AE，BE，CE，将△ABE 绕点B 顺时针 旋转90°至△CBE′的位置．若AE=1， BE=2，CE=3，则∠BE′C= ． 6.如图，在□ABCD 中，∠A=70°，将该 平行四边形折叠，使点C，D 分别落 在点E，F 处，折痕为MN．若点E， F 均在直线AB 上，则∠AMF= ．
中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解） 几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形 之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同 样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样， 和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形， 大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关 系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地 从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图 形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究. 解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基 本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力. 1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由； （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方 形的性质。 专题：压轴题。 分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG． （3）结论依然成立．还知道EG⊥CG． 解答：（1）证明：在Rt△FCD中， ∵Ｇ为DF的中点， ∴CG=FD， 同理，在Rt△DEF中， EG=FD， ∴CG=EG． （2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG． 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中， ∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴△DAG≌△DCG， ∴AG=CG； 在△DMG与△FNG中， ∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴△DMG≌△FNG，
专题20 几何三大变换问题之轴对称（折叠）问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。中考压轴题中轴对称 (折叠)问题，包括有关三角形的轴对称性问题；有关四边形的轴对称性问题；有关圆的轴对称性问题；有关利用轴对称性求最值问题；有关平面解析几何中图形的轴对称性问题。 一. 有关三角形的轴对称性问题 1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是点E ，F ，连接EF ，交AD 于点G ，求证：AD ⊥EF ． 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=900 ，∠B=300 ， BC=，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为等腰三角形时，BD 的长为 。 F D C E A B
【考点】翻折问题，轴对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等腰三角形的判定，分类思想的应用。 二. 有关四边形的轴对称性问题 3.如图①是3×3菱形格，将其中两个格子涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕菱形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有【】 A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B。 【考点】利用旋转的轴对称设计图案。 【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案： 得到的不同图案有：
几何三大变换（讲义） 一、知识点睛 1.________、________、____________统称为几何三大变换．几 何三大变换都是_______________，只改变图形的________，不改变图形的_________________． 2.三大变换思考层次 三 大 变 换 基本要素基本性质延伸性质应用 平移平移方向 平移距离 1．对应点所连的线 段平行且相等 2．对应线段平行且 相等 3．对应角相等 平移出现 __________ 天桥问题、 平行四边形 存在性等 旋转旋转中心 旋转方向 旋转角度 1．对应点到旋转中 心的距离相等 2．对应点与旋转中 心的连线所成的角 等于旋转角 3．对应线段、角相 等，对应线段的夹 角等于旋转角 4．对应点所连线段 的垂直平分线都经 过旋转中心 旋转出现 __________ 旋转结构 （等腰）等 轴 对称对称轴 1．对应线段、对应 角相等 2．对应点所连线段 被对称轴垂直平分 3．对称轴上的点到 对应点的距离相等 4．对称轴两侧的几 何图形全等 折叠出现 __________ 折叠问题、 最值问题等
二、精讲精练 1. 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到 △DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 F C E D B A B 1 A 1 y x B A O 第1题图 第2题图 2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 的坐标分别 为(1，0)，(0，2)，将线段AB 平移至A 1B 1，若点A 1，B 1的坐标分别为(2，a )，(b ，3)，则a b +=___________． 3. 如图，在44?的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角 度得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（ ） A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D D C B A N 1 M 1 P 1N M P 4. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90°， ∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路径长为________________．（结果保留π） C B A l …
1.如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不 与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值． 类比归纳：在图（1）中，若 13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14 CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN 的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓展：如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN 的值等于__．（用含m n ，的式子表示）
2. 2.如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上， 落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后再展开 铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”. 图一图二图三（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF” 是一个_________三角形； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶 点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标； （3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最 大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存 在，为什么？
3.课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的 有关问题． 实验与论证 设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0A2），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示． （1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________； （2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想 设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α （ n 180 0< < ）． （3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
几何综合——三大变换 【例1】已知△ABC ，AD ∥BE ，若∠CBE ＝4∠DAC ＝80°，求∠C 的度数。 C D E B A 【例2】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，且BD ＝BC ，AC ⊥BD 。求证：AD ＋BC ＝2CM 。 M D C B A
【例3】已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，FG ⊥DE 于点H 。 ⑴求证：FG ＝DE 。 ⑵求证：FD EG 。 H G F E D C B A 【例4】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD ＝CE 。求证：2DE ≥BC 。 E D C B A 【例5】(2007北京)如图，已知△ABC 。 ⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外)，连结AD 、AE ，写出使此 图中只存在．．． 两对．． 面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB ＋AC ＞AD ＋AE 。 板块二 轴对称变换 【例6】把正方形沿着EF 折叠使点B 落在AD 上， B 'C '交CD 于点N ，已知正方形的边长为1，求△DB'N 的周长。 N C' F E B' D C B A 【例7】（2009山西太原）问题解决： 如图1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D 、重合），压平后得到折痕MN 。当 12CE CD 时，求 AM BN 的值。 图1 N M F E D C B A 【例8】⑴(2009浙江温州)如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙O 的半径为2，圆心在正方形的中
专题21几何三大变换问题之平移问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由两大要素构成：①平移的方向，②平移的距离。平移有如下性质： 1、经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变，即平移前后的图形全等； 2、平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等； 3、平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。 中考压轴题中平移问题，包括直线（线段）的平移问题；曲线的平移问题；三角形的平移问题；四边形的平移问题；其它曲面的平移问题。 一.直线（线段）的平移问题 1.定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点. （1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____, 当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______ （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式. （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M. ①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长; ②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2；5（2） () () 2 m8m122m4 d 24m6 < ?-+-≤ ? =? ≤≤ ?? （3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m= 14 3 【解析】解：（1）2；5。 （2）∵点B落在圆心为A，半径为2的圆上，∴2≤m≤6。当4≤m≤6时，根据定义， d=AB=2。 当2≤m＜4时，如图，过点B作BE⊥OA于点E，则根据定义，d=EB。
九年级数学几何三大变换(旋转)拔高练习 试卷简介:全卷共20道题，全部为选择题，共100分，整套试卷略有难度，考查学生对知识的灵活综合运用能力，题目短小却又不失难度和知识点的考查，包含了不少中考经常考查的知识点和解题策略。学生在做题过程中可以回顾所学知识，认清自己对知识的掌握及灵活运用程度 学习建议:熟练掌握全等三角形的判定和性质、特殊四边形的性质、一元二次方程等知识点，并学会灵活运用。只有多加练习，才能对较难的题目轻松掌握，快速做题 一、单选题(共2道，每道50分) 1.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，且BD＝BC，AC⊥BD，下列结论正确的是（） A.BC-AD＝CM B.AD＋BC＝2CD C.BC-AD＝2AM D.AD＋BC＝2CM 答案：D 解题思路：由等腰梯形性质可知，AC=BD，AM=DM，BM=CM，△ADM和△BCM都是等腰直角三角形. 设BM=CM=x，则BC=x， DM=BD-BM=BC-BM=（-1）x， AD=DM=（2-）x， 于是AD+BC=（2-）x+x=2x=2CM，故答案选D 易错点：不能灵活运用等腰梯形的性质，并结合题目条件得到梯形中各条线段的数量关系试题难度：四颗星知识点：等腰梯形的性质 2.在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC＝90°,AD=CD，DP⊥AB与P，若四边形ABCD的面积是18，则DP的长为（） A.
B. C. D. 答案：C 解题思路：作CE⊥DP于点E，则CE=PB， 在Rt△ADP和Rt△DCE中， AD=DC， ∠APD=∠DEC=90°， 因为∠ADP+∠CDE=90°，∠DCE+∠CDE=90°，所以∠ADP=∠DCE 所以△ADP≌△DCE，AP=DE，DP=CE=BP， 设AP=x，CE=DP=y，则DE=x，PE=y-x，则 18=2S△ADP+S矩形BCEP=2·xy+y（y-x）=y2 所以y=故答案选C 易错点：想不到辅助线的做法，不能把图形中的线段和四边形面积建立起联系试题难度：四颗星知识点：全等三角形的判定与性质
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形） 等边三角形（包含费马点） 特殊角 旋转变换对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】（2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BACα ∠=（060 α ?<
【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．
例题精讲 考点1：手拉手模型：全等和相似 包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）
xx学校xx学年xx学期xx试卷 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题 xx 题xx 题总分 得分 一、xx题 （每空xx 分，共xx分） 试题1: 定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点. （1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____, 当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______ （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式. （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M. ①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长; 评卷人得分
②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 试题2: 把直线沿y轴方向平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m的取值范围是【】A． B． C． D． 试题3: 定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如：的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象，则是y与x的“反比例平移函数”． （1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面积为8cm2，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．
几何三大变换（讲义) 一、知识点睛 1._＿____＿＿、＿＿______、＿____＿______统称为几何三 大变换.几何三大变换都是___＿_＿__＿＿__＿__,只改变图形的_＿＿__＿__，不改变图形的_＿___＿＿＿_＿＿_＿＿___． 2.三大变换思考层次
二、精讲精练 1. 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到 △DEF ,则四边形ABF Ｄ的周长为（ ） A ．6 ?B.8 ?Ｃ.10 ??D ．１２ F C E D B A 第1题图 第2题 图 2. 如图，在平面直角坐标系ｘOy 中,已知点A ,B 的坐标分别为 （１，0）,（０,2）,将线段AB 平移至A １B 1,若点A 1,B 1的坐标分别为(２,ａ),(b ,３),则a b +=__＿____＿＿_＿． 3. 如图，在44?的正方形网格中,△ＭNP 绕某点旋转一定的角 度得到△M 1N 1P 1,则其旋转中心可能是（ ） A.点Ａ? B ．点B ?? C ．点C ?D.点D N 1 M 1 4. 如图,Rt △ＡBC 的边BC 位于直线l 上，A Ｃ，∠Ａ CB =90°，∠A =30°.若Rt △ＡＢC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点Ａ第3次落在直线ｌ上时，点A 所经过的路径
长为＿____________＿__.（结果保留π） l 5. 如图,菱形ＯABC 的顶点O 在坐 标原点,顶点A 在x 轴正半轴上，且∠B =120°,OA =２．将菱形O ＡBC 绕原点O 顺时针旋转105°至菱形OA ′Ｂ′Ｃ′的位置，则点Ｂ′的坐标为____＿_＿＿ ＿＿_. 6. 如图１,把正方形ACFG 和Rt △A ＢC 重叠在一起，已知AC = ２，∠BAC ＝60°.将Rt △AB Ｃ绕直角顶点C 按顺时针方向旋转，使斜边ＡＢ恰好经过正方形ACFG 的顶点F ，得到△ Ａ′B ′Ｃ.若ＡＢ分别与A ′Ｃ，Ａ′B ′相交于点D ,E ，如图2所示, 则△ＡBC 与△A ′B ′C 重叠部分(图中阴影部分）的面积为__＿____＿＿． 图1 图2 7. 如图，O 是等边三角形ABC 内一点,且O Ａ=3,OB =4,OC =5. 将线段O Ｂ绕点B 逆时针旋转60°得到线段O ′ B ,则下列结论：①△ＡO′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转６0°得到; B C
学生做题前请先回答以下问题 问题1：平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换.几何三大变换都是_________，只改变图形的_________，不改变图形的_____________. 问题2：平移的思考层次分别是什么？ 问题3：旋转的思考层次分别是什么？ 几何三大变换（平移、旋转） 一、单选题(共9道，每道8分) 1.如图，将边长为3cm的等边三角形ABC沿BC方向向右平移2cm得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为( )cm． A.10 B.11 C.12 D.13 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平移的性质 2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，高为7cm，若将梯形ABCD向右平移 4cm得到梯形A′B′C′D′，则平移前后两梯形重叠部分的面积为( )cm2．
A.28 B.35 C.42 D.56 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平移的性质 3.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，，点A，B的坐标分 别为（2，0）（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=3x-3上时，线段BC扫过的面积为( ) A. B.
C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平移的性质 4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是( )
A.70° B.60° C.50° D.40° 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：旋转的性质 5.如图，E是正方形ABCD内一点，将△CDE绕点D按顺时针方向旋转90°后得到△ADF．若DE=3，则EF的长是( ) A. B. C.3 D.6 答案：A
圏① 囹② 中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解） 几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形 之间的关系（平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的 “变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同 样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样， 和相互间的位置没有直接关系， 但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形， 大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关 系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地 从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图 形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用 .下面我 们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究 . 解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基 本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力? 1. 已知正方形 ABCC 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥ BD 交BC 于F ,连 接DF G 为DF 中点，连接Eq CG （1） 求证：EG=CG （2） 将图①中厶BEF 绕B 点逆时针旋转45° ,如图②所示，取 DF 中点G 连接 EG CG 问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由； （3） 将图①中厶BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问 （1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明） . 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方
专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n 为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。 在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。 中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。 一. 直线（线段）的旋转问题 1. 如图，直线l ：y 3x 3=-+与y 轴交于点A ，将直线l 绕点A 顺时针旋转75o后，所得直线的解析式为【 】 A ．y 33= B ．y x 3=+．y x 3=-+ D ．y x 3=【答案】B 。
【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】如图，由已知，可求直线y3x3 =-+与x、y轴的交点分别为B（1，0），A（0，3）， 2.根据要求，解答下列问题： （1）已知直线l1的函数表达式为y x1 =+，直接写出：①过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；②过点（1，0）且与l1垂直的直线l2的函数表达式； （2）如图，过点（1，0）的直线l4向上的方向与x轴的正方向所成的角为600，①求直线l4的函数表达式； ②把直线l4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l5，求直线l5的函数表达式； （3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的 系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线 11 y x 55 =-垂直的直线l6的函数表达式。
` 【例1】 如图所示，ABC △是等边三角形，111A B C △的边11A B 、11B C 、11C A 交ABC △各边分别 于2C 、3C 、2A 、3A 、2B 、3B ．已知232323A C C B B A ==，且222232323C C B B A A +=，求 证：1111A B AC ⊥． C 3A 3 B 3 B 2A 2 C 2 C 1 A 1 B 1C B A 【例2】 在ABC △中，45A =?∠，7AB =，42AC =，点D 、E 、F 分别为BC 、AB 、AC 上的动点，求DEF △的最小周长． F E D C B A 典题精练 典题精练 第二轮复习之 几何三大变换 题型二：轴对称 题型一：平移
【例3】 如图，已知60ABD ACD ∠=∠=?，且1 902 ADB BDC ∠=?-∠．求证：ABC △是等腰三 角形． 【例4】 在平面直角坐标系xOy 中，直线 6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ． （1）求∠BAO 的度数； （2）如图1，P 为线段AB 上一点，在AP 上方以AP 为斜边作等腰直角三角形APD ．点 Q 在AD 上，连结PQ ，过作射线PF ⊥PQ 交x 轴于点F ，作PG ⊥x 轴于点G ． 求证：PF ＝PQ ； （3）如图2，E 为线段AB 上一点，在AE 上方以AE 为斜边作等腰直角三角形AED ．若 P 为线段EB 的中点，连接PD 、PO ，猜想线段PD 、PO 有怎样的关系？并说明理由． 图1 图2 题型三：旋转 B A
【例5】 某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现： 在等腰ABC △中，AB AC =，分别以AB 和AC 为斜边，向ABC △的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF AB ⊥于点F ，EG AC ⊥于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 （填序号即可）． ①1 2 AF AG AB == ；②MD ME =；③整个图形是轴对称图形；④DAB DM B ∠=∠． ●数学思考： 在任意ABC △中，分别以AB 和AC 为斜边，向ABC △的外侧作等腰直角三角形，如图2所示， M 是BC 的中点， 连接MD 和ME ，则MD 与ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探究： 在任意ABC △中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向ABC △的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断MED △的形状． 答： ． 图3 E M C D B A C M B E A D 图2 图1 G F E M C B D A 【例6】 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线， DE ⊥AB 于点E ． （1）如图1，连接EC ，求证：△EBC 是等边三角形； （2）点M 是线段CD 上的一点（不与点C ，D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作 ∠BMG =60°，MG 交DE 延长线于点G ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD ，DG 与AD 之间的数量关系； （3）如图3,点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作∠BNG =60°，NG 交 DE 延长线于点G ．试探究ND ，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由． 图1 图2
【中考数学压轴题】十大类型之几何三大变换 一、单选题(共1道，每道30分) 1.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕，AB=8，AD=4，则四边形ECGF的面积为（） A.6 B.10 C.12 D.16 答案：D 解题思路：连接AC，交EF于点O，则AC被EF垂直且平分。OC=OA，∵DC∥AB，∴∠OAE=∠OCF，∠CFO=∠OEA，∴△OFC的面积＝△OAE的面积。所以所求四边形的面积等于△ACD的面积，为矩形面积一半，即16 试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题） 二、解答题(共2道，每道35分) 1.（2009湖南常德）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别是EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由． 答案：答：（1）CD=BE．理由如下： ∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°， ∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC， ∴∠BAE=∠DAC，∴CD=BE． （2）△AMN是等边三角形．理由如下： ∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CN的中点， ∴AM=AN，NC=MB． ∵AB=AC， ∴△ABM≌△ACN， ∴∠MAB=∠NAC， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°， ∴△AMN是等边三角形， 设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，易证BE⊥AC， ∴， ∴， ∴， ∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形， ∴． 解题思路：（1）利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．（2）证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，根据已知条件分别求得△AMN的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比． 试题难度：三颗星知识点：中考压轴之实践操作、问题探究 2.如图，抛物线y＝x 2－6x＋8与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线y＝x ＋2交y轴于点C，且过点D（8，m）．左右平移抛物线y＝x 2－6x＋8，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′． （1）求线段AB、CD的长； （2）当抛物线向右平移到某个位置时，A′D＋B′D最小，试确定此时抛物线的表达式；（3）是否存在某个位置，使四边形A′B′DC的周长最小？若存在，求出此时抛物线的表达式和四边形A′B′DC的周长最小值；若不存在，请说明理由．