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【例1】 如图所示，ABC △是等边三角形，111A B C △的边11A B 、11B C 、11C A 交ABC △各边分别
于2C 、3C 、2A 、3A 、2B 、3B ．已知232323A C C B B A ==，且222232323C C B B A A +=，求
证：1111A B AC ⊥．
C 3A 3
B 3
B 2A 2
C 2
C 1
A 1
B 1C
B
A
【例2】 在ABC △中，45A =?∠，7AB =，42AC =，点D 、E 、F 分别为BC 、AB 、AC 上的动点，求DEF △的最小周长．
F
E
D
C
B
A
典题精练
典题精练
第二轮复习之
几何三大变换
题型二：轴对称
题型一：平移
【例3】 如图，已知60ABD ACD ∠=∠=?，且1
902
ADB BDC ∠=?-∠．求证：ABC △是等腰三
角形．
【例4】 在平面直角坐标系xOy 中，直线 6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．
（1）求∠BAO 的度数；
（2）如图1，P 为线段AB 上一点，在AP 上方以AP 为斜边作等腰直角三角形APD ．点 Q 在AD 上，连结PQ ，过作射线PF ⊥PQ 交x 轴于点F ，作PG ⊥x 轴于点G ． 求证：PF ＝PQ ；
（3）如图2，E 为线段AB 上一点，在AE 上方以AE 为斜边作等腰直角三角形AED ．若
P 为线段EB 的中点，连接PD 、PO ，猜想线段PD 、PO 有怎样的关系？并说明理由．
图1 图2
题型三：旋转
B A
【例5】 某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现：
在等腰ABC △中，AB AC =，分别以AB 和AC 为斜边，向ABC △的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF AB ⊥于点F ，EG AC ⊥于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是
（填序号即可）．
①1
2
AF AG AB ==
；②MD ME =；③整个图形是轴对称图形；④DAB DM B ∠=∠． ●数学思考：
在任意ABC △中，分别以AB 和AC 为斜边，向ABC △的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，
M 是BC 的中点，
连接MD 和ME ，则MD 与ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探究：
在任意ABC △中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向ABC △的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断MED △的形状． 答： ．
图3
E
M
C D B
A
C
M B
E
A
D
图2
图1
G
F E
M C
B
D
A
【例6】 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线， DE ⊥AB 于点E ．
（1）如图1，连接EC ，求证：△EBC 是等边三角形； （2）点M 是线段CD 上的一点（不与点C ，D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作
∠BMG =60°，MG 交DE 延长线于点G ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD ，DG 与AD 之间的数量关系；
（3）如图3,点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作∠BNG =60°，NG 交
DE 延长线于点G ．试探究ND ，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由．
图1 图2
题型一 平移变换 巩固练习
【练习1】 ⑴ 如图，三角形ABC 的底边BC 长3厘米，BC 边上的高是2厘米，
将该三角形以每秒3厘米的速度沿高的方向向上平行移动2秒，这时， 该三角形扫过的面积（阴影部分）．
⑵ 如图，线段AB 沿着四个方向①②③④都平移a 个单位长度，线 段AB 扫过的面积最大的是 ．（填序号） 题型二 轴对称变换 巩固练习
【练习2】 如图所示，已知Rt ABC △中，90B ∠=?，3AB =，4BC =，D ，E ，F 分别是三
边AB ，BC ，CA 上的点，则DE EF FD ++的最小值为（ ）
F
E
D
C
B
A
A ．
125 B ．24
5
C ．5
D ．6
题型三 旋转变换 巩固练习
【练习3】 D 、E 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的两点，满足135DAE ∠=?；求证：
222CD BE DE +=．
E
D
C
B
A
复习巩固
②
④①C'
B'C
B A
人教版初中数学几何图形初步经典测试题及答案 一、选择题 1．下列图形中1∠与2∠不相等的是( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据对顶角，平行线，等角的余角相等等知识一一判断即可． 【详解】 解：A 、根据对顶角相等可知，∠1=∠2，本选项不符合题意． B 、∵∠1+∠2=90°，∠1与∠2不一定相等，本选项符合题意． C ．根据平行线的性质可知：∠1=∠2，本选项不符合题意． D 、根据等角的余角相等，可知∠1=∠2，本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查平行线的性质对顶角的性质，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（ ） A ． B ．
C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图可判断这个几何体的形状；再由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】 解：根据三视图可判断这个几何体是圆柱；D选项平面图一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．A选项平面图折叠后是一个圆锥；B选项平面图折叠后是一个正方体；C选项平面图折叠后是一个三棱柱. 故选：D. 【点睛】 本题考查由三视图判断几何体及展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键． 3．如图是由四个正方体组合而成，当从正面看时，则得到的平面视图是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可． 【详解】 解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行最左边是一个正方体． 故选：D． 【点睛】
初中三年级中考复习平面几何证明题一题多解 如图：已知青AB=AC ，E 是AC 延长线上一点，且有BF=CE ，连接FE 交BC 于D 。求证：FD=DE 。 分析：本题有好多种证明方法，由于新课标主 要用对称、旋转方法证明，但平行四边形的性质、平行线性质等都是证题的好方法，我在这里向初中三年级同学面对中考需对平面几何证明题的证明方法有一个系统的复习和提高。 下边我将自己证明这道题的方法给各位爱好者作以介绍，希望各位有所收获，仔细体会每 中方法的异同和要点，从中能得到提高。我是一位数学业余爱好者，不是学生，也不是老师，如有错误，请批评指证。信箱： wangsj629@https://www.doczj.com/doc/a83879107.html, . 证法一 ∧≌∠⊥∥△□° 证明：过E 点作EM ∥AB 交DC 延长线于M 点，则∠M=∠B ，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M ，所以CE=EM ， 又EC=BF 从而EM=BF ，∠BFD=∠DEM 则△DBF ≌△DME ，故 FD=DE ； 证法二 证明：过F 点作FM ∥AE ，交BD 于点M ， 则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM ， 又 ∠4=∠3 ∠5=∠E 所以△DMF ≌△DCE ，故 FD=DE 。 证法三 以BC 为对称轴作△BDF 的对称△BDN ，连接NE ，则△DBF ≌△DBN ，DF=DN ，BN=BF ， NF ⊥BD ，∠FBD=∠NBD ，又因为∠C=∠FBD 所以∠NBD=∠C 。 BN ∥CE ，CE=BF=BN ，所以四边形BNCE 为平行四边形。故NF ∥BC ， 所以NF ⊥NE ，因FN 衩BD 垂直平分，故D 是FE 的中点，所以FD=DE 。（也可证明D 是直角△NEF 斜边的中点）。 证法四： F C A E N E
2012年中考数学压轴题分类解析 专题7：几何三大变换相关问题 授课老师：黄立宗 典型例题选讲： 例题1：（2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对 应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． （1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的 条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形． 例题2：（2012辽宁丹东）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE ①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）； （2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE 则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC= （用α表示）； （3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）． 例题3：（2012福建福州）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D
的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)． 例题4：（2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式； （3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线 OP与该抛物线交点的个数。 巩固练习 1、（2012黑龙江大庆）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)， C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，a)，B(a，O)( a 0). （1）结合坐标系用坐标填空． 点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称
新初中数学几何图形初步技巧及练习题 一、选择题 1．如图，已知ABC ?的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD =，则ABC ?的面积是（ ） A ．25米 B ．84米 C ．42米 D ．21米 【答案】C 【解析】 【分析】 根据角平分线的性质可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】 连接OA ∵OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD = ∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4 ∴ABC AOC OBC ABO S S S S =++△△△△ ()142 AB BC AC =??++ 14212 =?? 42=（米） 故答案为：C ． 【点睛】 本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．
2．∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3=125°，则∠2=（） A．35°B．45°C．55°D．65° 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据题意得：∠1+∠3=180°，∠3=125°，则∠1=55°，∵∠1+∠2=90°，则∠2=35° 故选：A． 【点睛】 本题考查余角、补角的计算． 3．将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】 解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形． 故选D． 首先判断直角三角形ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥，再找出圆锥的主视图即可． 4．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是
中考几何母题的一题多解(多变) 一、三角形一题多解 如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。求证：FD=DE。 证法一 证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故 FD=DE； 证法二 证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故 FD=DE； 证法二 证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M， 则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM， 又∠4=∠3 ∠5=∠E 所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。 二、平行四边形一题多解
如图4，平行四边形 ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE. 证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF⊥CE。 证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。 证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF⊥CE。 证法四、如图7，作DG∥CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE 四\一题多解、多变《四边形面积》 1.如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影都是长为c的矩形与平行 四边形，则阴影部分面积是多少。 解法一 将大矩形进行平移将平行四边形 进行转换。 (a-c)(b-c) 解法二 重叠面积为c的平方，大矩形面积为ab，小矩形为ac，平行四边形为bc，阴影面积为ab-ac-bc+cc=（a-c）（b-c）
2019-2020 年中考数学复习专题四几何变换压轴题试题 类型一图形的旋转变换 几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合．解决旋转变换问题，首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠BAD＝60°，过点 D 作DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 1 (1)如图 1，连接 AC 分别交 DE，DF 于点M，N，求证：MN＝AC； 3 (2)如图2，将∠EDF以点D 为旋转中心旋转，其两边DE′，DF′分别与直线AB，BC 相交于点G，P.连接GP，当△DGP的面积等于3 3时，求旋转角的大小并指明旋转方向． 【分析】(1)连接 BD，由∠BAD＝60°，得到△ABD为等边三角形，进而证明点 E 是AB 的中点，再根据相似三角形的性质解答；(2)分∠EDF 顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，然后根据旋转的性质解题． 1．(xx·潍坊)边长为 6 的等边△ABC 中，点 D，E 分别在 AC，BC 边上，DE∥AB，EC＝2 3. (1)如图1，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点 N.当 CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由． (2)如图 2，将△DEC绕点C 旋转∠α(0°<α<360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为 P. ①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由； ②连接 AP，当 AP 最大时，求AD′的值．(结果保留根号) 图1 图2 2．(xx·成都)如图 1，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点 D 在AH 上，且 DH＝CH，连接 BD. (1)求证：BD＝AC； (2)将△BHD 绕点 H 旋转，得到△EHF(点 B，D 分别与点 E，F 对应)，连接 AE. ①如图 2，当点 F 落在 AC 上时(F 不与 C 重合)，若 BC＝4，tan C＝3，求 AE 的长； ②如图 3，当△EHF 是由△BHD 绕点H 逆时针旋转 30°得到时，设射线 CF 与AE 相交于点 G，连接 GH，试探究线段 GH 与EF 之间满足的等量关系，并说明理由．
初中数学几何图形初步技巧及练习题 一、选择题 1．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（） A．主视图B．俯视图C．左视图D．一样大 【答案】C 【解析】 如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图， 故选C． 2．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是 A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3） 【答案】D 【解析】 【详解】 解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小，
∵点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B ′点坐标为：（-3，0），则OB′=3 过点A 作AE 垂直x 轴，则AE=4，OE=1 则B′E=4，即B′E=AE ，∴∠EB ′A=∠B ′AE ， ∵C ′O ∥AE ， ∴∠B ′C ′O=∠B ′AE ， ∴∠B ′C ′O=∠EB ′A ∴B ′O=C ′O=3， ∴点C ′的坐标是（0，3），此时△ABC 的周长最小． 故选D ． 3．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，2,3BE AE BE ==，P 是AC 上一动点，则PB PE +的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】C 【解析】 【分析】 连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB+PE 的值最小，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】 解：如图，连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB PE +的值最小 ∵四边形ABCD 是正方形 B D ∴、关于A C 对称 PB PD =∴
中考压轴题专题几何（辅助线） 精选1.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为．精选2．如图，△ABC中，∠C＝60°，∠CAB与∠CBA的平分线AE，BF相交于点D， 求证：DE＝DF． 精选3.已知：如图，⊙O的直径AB=8cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC． (1)若∠ACP=120°，求阴影部分的面积； (2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，∠CMP的大小是否发生变化若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的度数。 精选4、如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P， （1）当OA=时，求点O到BC的距离； （2）如图1，当OA=时，求证：直线BC与⊙O相切；此时线段AP的长是多少 （3）若BC边与⊙O有公共点，直接写出OA的取值范围； （4）若CO平分∠ACB，则线段AP的长是多少 ． 精选5．如图，已知△ABC为等边三角形，∠BDC＝120°，AD平分∠BDC， 求证：BD+DC＝AD． 精选6、已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（第6题图） （1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数； （3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度． 精选7、如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF． （1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； （2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少
几何三大变换（习题） ?例题示范 例1：如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B 落在CD 边上的点B′处，点A 的对应点为A′，折痕为MN．若B′C=3，则AM 的长为． 【思路分析】 要求AM 的长，设AM=x，则MD=9-x． 思路一：考虑利用折叠为全等变换转条件，得AM=A′M=x， A′B′=AB=9．观察图形，∠A′=∠D=90°，△MA′B′和△MDB′都是 直角三角形，MB′是其公共斜边，则MB′可分别在两个直角三角形中借助勾股定理表达，列方程． 思路一思路二 思路二：MN 是对称轴，考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件，得MB=MB′．观察图形，∠A=∠D=90°，MB，MB′ 可分别放到Rt△ABM 和Rt△DB′M 中借助勾股定理表达，列方程． 例2：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD 的面积为24，则AC 的长为． 【思路分析】 已知四边形ABCD 的面积，要求AC 的长，考虑借助AC 表达四 边形ABCD 的面积．四边形ABCD 为不规则四边形，考虑割补法或转化法求面积．分析题目中条件AB=AD，存在等线段共端点的 结构，且隐含∠B+∠D=180°，故考虑通过构造旋转解决问题，可把△ABC 绕点A 逆时针旋转90°．
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?巩固练习 1.如图，将边长为2 的等边三角形ABC 沿BC 方向平移1 个单 位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为． 第1 题图第2 题图 2.如图，已知△ABC 的面积为8，将△ABC 沿BC 方向平移到 △A′B′C′的位置，使点B′和点 C 重合，连接AC′，交A′C 于点D，则△CAC′的面积为． 3.如图，在6 4 的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点 三角形乙，则其旋转中心是（） A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q 第3 题图第4 题图 4.如图，已知OA⊥OB，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD=45°，将△CDE 绕点 C 逆时针旋转75°，点 E 的 对应点N 恰好落在OA 上，则OC 的值为．CD 5.如图，E 是正方形ABCD 内一点，连接 AE，BE，CE，将△ABE 绕点B 顺时针 旋转90°至△CBE′的位置．若AE=1， BE=2，CE=3，则∠BE′C= ． 6.如图，在□ABCD 中，∠A=70°，将该 平行四边形折叠，使点C，D 分别落 在点E，F 处，折痕为MN．若点E， F 均在直线AB 上，则∠AMF= ．
1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形 状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. [解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2. 又tan ∠ADC=2,所以2 12 DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC 所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠. 所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形. （3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=?，又45CEF ∠=?，所以90BEF ∠=?. 所以3BF k = = 所以1sin 33 k BFE k ∠= =. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝ 21AB ，CF ＝2 1 CD ． ∴AE ＝CF ∴△ADE ≌△CBF ． （2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形． E B F C D A
中考数学十大解题思路之几何变换法 在数学问题的研究中，常常需要运用到变换法。几何变换就是几何图形在平面上满足某种条件的运动。运用几何变换可以把分散的点、线段、角等已知图形转移到恰当的位置，从而使分散的条件都集中在某个基本图形中，建立起新的联系，从而使问题得以转化解决。 ●平移变换 ●对称变换（示例详见《2013中考数学十大解题思路之几何变换法-对称变换》） ●旋转变换（示例详见《2013中考数学十大解题思路之几何变换法-旋转变换》） 第一节平移变换 所谓“平移变换”是指在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移变换，简称平移。图形平移的主要因素是平移方向和平移距离。平移变换后的图形与原图形是全等形，对应线段相等，对应角相等。平移变换法通常用于等腰梯形、正方形、矩形中平行线的辅助线作法及简单图形的平移以及函数图象的平移等有关知识巾，特别是进行图案设计及日常生活问题的解决中。 例题1
例题2 说明：对于已知条件中有共线且相等的线段的几何问题，也可以考虑用平移变换处理。 例题3
例题4 ' '32Y Y X X =-=+说明： 例题 5
例题6 例题7-1 例题7-2
第二节对称变换 对称变换就是将某一图形变到关于直线对称的另一图形的过程，称为该图形关于直线的对称变换。变换后的图形与原图形是全等形，对应线段相等，对应角相等，对称图形上每一对对称点的连线被对称轴垂直平分。对称变换经常用于等腰三角形、等边三角形、特殊平行四边形、梯形及圆等图形中。 第三节旋转变换 在平面内，某一图形绕一个中心旋转若干角度后得到另一个图形，这种变换称为旋转变换。旋转后的图形与原图形是全等形，对应线段相等，对应角相等，旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等，任意两条对应线段的夹角等于旋转角。 旋转变换法主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为解题创造条件，旋转变换法经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。
中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解） 几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形 之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同 样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样， 和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形， 大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关 系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地 从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图 形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究. 解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基 本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力. 1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由； （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方 形的性质。 专题：压轴题。 分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG． （3）结论依然成立．还知道EG⊥CG． 解答：（1）证明：在Rt△FCD中， ∵Ｇ为DF的中点， ∴CG=FD， 同理，在Rt△DEF中， EG=FD， ∴CG=EG． （2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG． 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中， ∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴△DAG≌△DCG， ∴AG=CG； 在△DMG与△FNG中， ∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴△DMG≌△FNG，
最新初中数学几何图形初步知识点 一、选择题 1．如图将两块三角板的直角顶点重叠在一起，DOB ∠与DOA ∠的比是2:11，则BOC ∠的度数为（ ） A ．45? B ．60? C ．70? D ．40? 【答案】C 【解析】 【分析】 设∠DOB=2x ，则∠DOA=11x ，可推导得到∠AOB=9x=90°，从而得到角度大小 【详解】 ∵∠DOB 与∠DOA 的比是2:11 ∴设∠DOB=2x ，则∠DOA=11x ∴∠AOB=9x ∵∠AOB=90° ∴x=10° ∴∠BOD=20° ∴∠COB=70° 故选：C 【点睛】 本题考查角度的推导，解题关键是引入方程思想，将角度推导转化为计算的过程，以便简化推导 2．如图为一直棱柱，其底面是三边长为5、12、13的直角三角形．若下列选项中的图形均由三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展开图，则根据图形中标示的边长与直角记号判断，此展开图为何？（ ）
A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 分析：三棱柱的侧面展开图是长方形，底面是三角形，据此进行判断即可． 详解：A选项中，展开图下方的直角三角形的斜边长为12，不合题意； B选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意； C选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意； D选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意； 故选：D． 点睛：本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． ⊥，从A地测得B地在A地的北偏东43?3．如图，有A，B，C三个地点，且AB BC 的方向上，那么从B地测得C地在B地的（） A．北偏西43?B．北偏西90?C．北偏东47?D．北偏西47? 【答案】D 【解析】 【分析】 根据方向角的概念和平行线的性质求解. 【详解】 如图，过点B作BF∥AE，则∠DBF=∠DAE=43?, ∴∠CBF=∠DBC-∠DBF=90°-43°=47°， ∴从B地测得C地在B地的北偏西47°方向上， 故选：D.
2021年中考数学二轮复习--几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲: 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点: ⑴注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构 造基本图形． ⑵掌握常规的证题方法和思路． ⑶运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运 用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等)． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】(南充，10分)⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点． (1)求证:DF是⊙O的切线．(2)若AE＝14，BC＝12，求BF的长． 解:(1)证明:连接OD，AD． AC是直径， ∴AD⊥BC．⊿ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC． 又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角， ∴∠C＝∠BED． 故∠B＝∠BED，即DE＝DB． 点F是BE的中点，DF⊥AB且OA和OD是半径， 即∠DAC＝∠BAD＝∠ODA．
故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线． (2)设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ． 又 BD ＝CD ＝21 BC ＝6， 根据BE AB BD BC ?=?，2(214)612x x ?+=?． 化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-(不合题意，舍去)． 则 BF 的长为2． 点拨:过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行． 【例2】(重庆，10分)如图，在△ABC 中，点E 在BC 上， 点D 在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证:BD ＝CD 。 证明:因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE 而∠BDE＝∠AB D ＋∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD 所以 ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB＝180°－∠BDE ∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC 在△ADB 和△ADC 中， ∠BAD＝∠CAD AD ＝AD ∠ADB ＝∠ADC 所以 △ADB≌△ADC 所以 BD ＝CD 。 (注:用“AAS”证三角形全等，同样给分) A B C D E
一、选择题 1．（2017四川省达州市，第9题，3分）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（） A．2017πB．2034πC．3024πD．3026π 2．（2017临沂，第14题，3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 k y x =（x＞0）的图象与边长是 6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（） A．62B．10C．226D．229 3．（2017新疆乌鲁木齐市，第10题，4分）如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线 3 y x =上，点C， D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（） A．52B．62C．21022 +D．82 4．（2017湖北省恩施州，第12题，3分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，
直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E 关于y轴对称，抛物线2 y ax bx c =++过E、B、C三点，下列判断中： ①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD=5，其中正确的个数有（） A．5B．4C．3D．2 5．（2017湖北省咸宁市，第8题，3分）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（） A．（3 2 ，0）B．（2，0）C．（ 5 2 ，0）D．（3，0） 6．（2017辽宁省营口市，第8题，3分）如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函 数 k y x 的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（）
几何三大变换（讲义） 一、知识点睛 1.________、________、____________统称为几何三大变换．几 何三大变换都是_______________，只改变图形的________，不改变图形的_________________． 2.三大变换思考层次 三 大 变 换 基本要素基本性质延伸性质应用 平移平移方向 平移距离 1．对应点所连的线 段平行且相等 2．对应线段平行且 相等 3．对应角相等 平移出现 __________ 天桥问题、 平行四边形 存在性等 旋转旋转中心 旋转方向 旋转角度 1．对应点到旋转中 心的距离相等 2．对应点与旋转中 心的连线所成的角 等于旋转角 3．对应线段、角相 等，对应线段的夹 角等于旋转角 4．对应点所连线段 的垂直平分线都经 过旋转中心 旋转出现 __________ 旋转结构 （等腰）等 轴 对称对称轴 1．对应线段、对应 角相等 2．对应点所连线段 被对称轴垂直平分 3．对称轴上的点到 对应点的距离相等 4．对称轴两侧的几 何图形全等 折叠出现 __________ 折叠问题、 最值问题等
二、精讲精练 1. 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到 △DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 F C E D B A B 1 A 1 y x B A O 第1题图 第2题图 2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 的坐标分别 为(1，0)，(0，2)，将线段AB 平移至A 1B 1，若点A 1，B 1的坐标分别为(2，a )，(b ，3)，则a b +=___________． 3. 如图，在44?的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角 度得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（ ） A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D D C B A N 1 M 1 P 1N M P 4. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90°， ∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路径长为________________．（结果保留π） C B A l …
初中数学几何图形初步知识点 一、选择题 1．一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）的摆放位置如图，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CED＝50°，那么∠BAF＝（） A．10°B．50°C．45°D．40° 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据∠CED＝50°，DE∥AF，即可得到∠CAF＝50°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小． 【详解】 ∵DE∥AF，∠CED＝50°， ∴∠CAF＝∠CED＝50°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAF＝60°﹣50°＝10°， 故选：A． 【点睛】 此题考查平行线的性质，几何图形中角的和差关系，掌握平行线的性质是解题的关键. 2．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）. A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 试题分析：三棱柱的展开图为3个矩形和2个三角形，故B不能围成. 考点：棱柱的侧面展开图. ⊥，从A地测得B地在A地的北偏东43?3．如图，有A，B，C三个地点，且AB BC 的方向上，那么从B地测得C地在B地的（）
A．北偏西43?B．北偏西90?C．北偏东47?D．北偏西47? 【答案】D 【解析】 【分析】 根据方向角的概念和平行线的性质求解. 【详解】 如图，过点B作BF∥AE，则∠DBF=∠DAE=43?, ∴∠CBF=∠DBC-∠DBF=90°-43°=47°， ∴从B地测得C地在B地的北偏西47°方向上， 故选：D. 【点睛】 此题考查方位角，平行线的性质，正确理解角度间的关系求出能表示点位置的方位角是解题的关键. 4．下列图形中，是正方体表面展开图的是（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】 解：A、B、D经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体，C能折成正方体．
一题多解 探究数学问题解决的新思路，对于学生发散性思维和创造性思维的培养是十分有利 的。 下面一道例题，是从多维度角度出发来探究解题新思路的： 例：如图（1）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，四边形ACED 是平行四边形，延长DC 交BE 于F. 求证：EF=FB 分析：这个题目本身不难，求证也容易，但通过对题设和结论的深入挖掘与探索，我们可以得出许多好的证法，总结如下： I E F B C A 证明一：如图所示，作BQ∥AD,交DF 延长线于Q 点，则四边形ABQD 是平行四边形，从而BQ=AD ，再由题设可证△CEF≌△QBF, 得证EF=FB. Q I E F B C A 证明二：如左图所示：作FM∥DA 交AB 于M ，则四边形ADFM 是平行四边形，从而FM=DA.再证△CEF≌△MFB，从而结论可得证. M I E F B C A 证明三：作CN∥EB 交AB 于N ，则四边形CNBF 是□，从而CN=FB. 再证：△ANC≌△DFE，可得CN=EF ，即EF=FB. N I E F B C A 证明四：作DP ∥FB 交AB 于P ，证明△ADP ≌△CEF ，从而得出结论. P I E F B C A
证明五：延长EC 交AB 于G ，则四边形ADCG 是□，∴CE=AD=GC ，即C 是EG 中点.又CF ∥GB ，∴F 是EB 中点，结论得证. G I E F B C A 证明六：连结AE 交CD 于O 点，则O 是AE 中点，又OF ∥AB ， ∴F 是AB 中点，得证. I E F B C A 证明七：延长ED 交BA 延长线于H 点，则HACD 是□ , ∴CA=DH=ED ∴D 是EH 中点.又DF ∥HB ∴F 是EB 中点，得证. H I E F B C A 证明八：作ES ∥CD 交AD 延长线于S ，则CDSE 是□ ∴DS=CE=AD, ∴D 是AS 中点.又SE ∥CD ∥AB ∴F 是EB 中点，得证. S I E F B C A 证明九：在证明一作的辅助线基础上，连结EQ ，则可得ECBQ 是□，从而F 是□ECBQ 对角线EB 的中点。 总之，上述不同证法的辅助线可归结为以下两种： ①作平行线构成平行四边形和全等三角形进行等量代换。 ②作平行线，由题设产生中点，通过平行线等分线段定理的推论得出结论。 这其中，其实蕴含了平面几何的平移变换和旋转变换的数学思想。
1.如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不 与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值． 类比归纳：在图（1）中，若 13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14 CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN 的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓展：如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN 的值等于__．（用含m n ，的式子表示）
2. 2.如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上， 落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后再展开 铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”. 图一图二图三（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF” 是一个_________三角形； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶 点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标； （3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最 大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存 在，为什么？
3.课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的 有关问题． 实验与论证 设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0A2），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示． （1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________； （2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想 设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α （ n 180 0< < ）． （3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．