课堂教学设计表
附录：（本节课导学案）
七年级（下）数学导学案总第 25 课时 主备人：施扶承 成员：
《二元一次方程组的应用－行程问题》导学案
班级 第 小组 姓名 座号_____ 课时安排：1课时 第1课时 上课时间：2017年3月16日
一、学习目标:
1、知识技能：会列出二元一次方程组解决有关高铁列车车长的行程问题。
2、数学思考：会将高铁列车与轿车分别抽象为“线段与点”。
3、问题解决：利用“化动为静”法找出有关高铁列车车长问题等量关系解决行程问题。
4、情感态度：积极参与小组合作探究，从中获得成功的喜悦。
二、预习指导【评价：___分析实际问题（由小组学科代表负责填写并反馈：A 、B 、C 、D ）】 小明家、小红家、高铁车站与小东家在同一直线上，位置如图所示。已知小明家与小红家相距10千米，小明家与小东家相距60千米，三个同学买好回家过年的同一班车票，小明乘坐轿车从家里出发，小红与小东乘坐摩托车从家里出发（摩托车的速度相同），他们三人同时出发，0.5小时后同时在高铁车站相遇。求轿车的速度和摩托车的速度。
请完成下列问题：
1、小明家与小东家相遇60千米，如果摩托车速度为50千米/时，那么小东乘坐摩托车到小明家用时_____小时；
2、小明家与小东家相遇60千米，如果小东乘坐摩托车到小明家用时1.2小时，那么摩托车的速度为_________千米/时；
3、如果小东乘坐摩托车的速度为50千米/时，用时1小时到达小红家，那么小东家与小红家相离________千米。
4、小明与小东相向而行，两人在高铁车站相遇，等量关系为：S S +=小明小东______； 小明与小红同向而行，两人在高铁车站相遇，等量关系为：S - S =小明小红_______；
根据以上等量关系完成下列解题过程：
解：设轿车的速度为x 千米/时，摩托车的速度为y 千米/时，依题意得：
解得：
经检验，________________
答：轿车的速度为______千米/时，摩托车的速度为______千米/时。
三、预习反馈：观看《高铁列车与轿车的相遇与追及问题》微课，完成《课前自主学习任务单》中的课前自主学习检测问题。
______________________________________
=??=?______
______
x y =??
=?
四、教学过程： 合作探究：
小红
小东
如果你是小明，你能根据小红和小东所提供的信息，算出动车的速度和车长吗？ 分析：等量关系1： ；等量关系2： _______________________。 解：设动车的速度为 米/秒，车长为 米，依题意得：
五、归纳总结（主要内容、学习方法等）
分析行程问题中有关“列车车长”等量关系的步骤：①判断是相遇问题或者是追及问题，如果是相遇问题则根据“路程之 ”列方程；如果是追及问题则根据“路程之 ”列方程；②利用“化动为静”的方法判断“路程之和”或“路程之差”与列车车长的关系。 六、当堂达标：
一座铁路大桥长1190米，一列高铁列车完全开过大桥需20秒；高铁列车开过路旁电杆，只需3秒。求高铁列车的速度与车长。
解：
七、学习反思（存在问题/错题记载等）
在两条平行的铁轨上，
我们乘坐的高铁列车长400米，以70米/秒的速度与一列动车相向而行，从两车车头相遇到两车尾离开共需5秒。 如果我们乘坐的高
铁列车与动车同向而行，那么从高铁列车追上动车车尾到高铁列车车尾离开动车车头共需65秒。
一次函数与行程问题----分析方法 1.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y，图中的折线表示y与x之间的函数关系。 （1）甲、乙两地之间的距离为多少千米； （2）请解释图中点B的实际意义； （3）求慢车和快车的速度； （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 2.某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行,并以各自的速度匀速行驶,途经配货站C,甲车先到达C地,并在C地用1小时配货,然后按原速度开往B地,乙车从B地直达A地,图是甲、乙两车间的距离y(千米)与乙车出发时间x(时)的函数的部分图象. (1)A、B两地的距离是_____千米,甲车出发_____小时到达C地; (2)求乙车出发2小时后直至到达A地的过程中,y与x的函数关系式及x的取值范围,并在图中补全函数图象; (3)乙车出发多长时间,两车相距150千米. 3.A、B两城相距600千米，一辆客车从A城开往B城，车速为每小时80千米，同时一辆出租车从B城开往A城，车速为毎小时100千米，设客车出时间为t． 探究若客车、出租车距B城的距离分别为y1、y2，写出y1、y2关于t的函数关系式，并计算当y1=200千米时 y2的値． 发现设点C是A城与B城的中点， （1）哪个车会先到达C？该车到达C后再经过多少小时，另一个车会到达C？ （2）若两车扣相距100千米时，求时间t． 决策己知客车和出租车正好在A，B之间的服务站D处相遇，此时出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种选择返回B城的方案： 方案一：继续乘坐出租车，到达A城后立刻返回B城（设出租车调头时间忽略不计）； 方案二：乘坐客车返回城． 试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达B城？ 4.如图(1),一条笔直的公路上有A、B、C 三地,B、C 两地相距150千米,甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发,沿公路匀速相向而行,分别驶往C、B 两地.甲、乙两车到A地的距离、(千米)与行驶时间x(时)的关系如图(2)所示. 根据图象(2)进行以下探究:
二元一次方程组练习题100道（卷一） 1、?? ?? ?-==312y x 是方程组?????? ?=-=-9 10326 5 23 y x y x 的解 …………（ ） 2、方程组? ? ?=+-=5 231y x x y 的解是方程3x -2y =13的一个解（ ） 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（ ） 4、方程组???????=-++=+++2 5323 473 5 23y x y x ，可以转化为?? ?-=--=+27651223y x y x （ ） 5、若(a 2-1)x 2 +(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程，则a 的值为±1（ ） 6、若x +y =0，且|x |=2，则y 的值为2 …………（ ） 7、方程组? ? ?=+-=+8 1043y x x m my mx 有唯一的解，那么m 的值为m ≠-5 …………（ ） 8、方程组?? ???=+=+62 3 131 y x y x 有无数多个解 …………（ ） 9、x +y =5且x ，y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………（ ） 10、方程组? ? ?=+=-351 3y x y x 的解是方程x +5y =3的解，反过来方程x +5y =3的解也是方程组?? ?=+=-3 51 3y x y x 的解 ………（ ） 11、若|a +5|=5，a +b =1则3 2-的值为b a ………（ ） 12、在方程4x -3y =7里，如果用x 的代数式表示y ，则4 37y x +=（ ） 二、选择： 13、任何一个二元一次方程都有（ ） （A ）一个解； （B ）两个解；
【例1】小敏和另两位同学去春游，买了三瓶矿泉水和两瓶可乐，可乐的价格是矿泉水的 1.5倍，一共花去了1 2.6元，求每瓶矿泉水的价格． 【难度】★ 【答案】每瓶矿泉水的价格为2.1元． 【解析】设每瓶矿泉水的价格为x元，则可乐的价格是每瓶x 5.1元， 则由题意可列方程为：6. +x = x ? x，解得：1.2 3= 2 5.1 12 答：每瓶矿泉水的价格为2.1元． 【总结】考察列方程解应用题． 【例2】今有2分与5分硬币共27枚，它们总值为0.99元，问这两种硬币各多少枚？【难度】★ 【答案】2分硬币有12枚，则5分硬币有15枚． 【解析】设2分硬币有x枚，则5分硬币有()x- 27枚， 由题意可列方程：()99.0 .0= +x x，解得：12 - 02 05 27 .0 x， = 答：2分硬币有12枚，则5分硬币有15枚． 【总结】考察列方程解应用题． 【例3】一个学生有中国邮票和外国邮票共325张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少5，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张？ 【难度】★ 【答案】外国邮票的张数为110张，则中国邮票的张数为215张． 【解析】设外国邮票的张数为x，则中国邮票的张数为()5 x， 2- 由题意可列方程为：325 = x， x，解得：110 +x 2= - 5 答：外国邮票的张数为110，则中国邮票的张数为215． 【总结】考察列方程解应用题． 【例4】六年级学生若干人报名参加足球队，男女生之比为4 : 3，后来走了12名女生，这时男生人数恰好是女生的2倍，求：报名时男生与女生的人数各为多少人？ 【难度】★★ 【答案】报名时男生与女生的人数各为48人、36人． 【解析】设报名时男生与女生的人数各为43 、人， x x
一次函数图象题（行程问题）提高篇 11．（2012武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（ ） A ． ①②③ B ． 仅有①② C ． 仅有①③ D ． 仅有②③ 考点：一次函数的应用。 解答：解：甲的速度为：8÷2=4米/秒； 乙的速度为：500÷100=5米/秒； b=5×100﹣4×（100+2）=92米； 5a ﹣4×（a+2）=0， 解得a=8， ！ c=100+92÷4=123， ∴正确的有①②③． 1、在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t （h ），两组离乙地的距离分别为S 1（km ）和S 2(km)，图10中的折线分别表示S 1、S 2与t 之间的函数关系． （1）甲、乙两地之间的距离为 km ，乙、丙两地之间的距离为 km ； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少 （3）求图中线段AB 所表示的S 2与t 间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 《 2· 4· — 8· S(km) 2 0 t(h) A B
2、一辆客车从甲地开往甲地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设 客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图12所示： ~ （1）根据图象，直接写出 ．．．．y1，y2关于x的函数关系式。 （2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离。 （3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式。 （4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离。 — 3、在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与．B． 港的距离 ．．．．分别为1y、2y（km），1y、2y与x的函数关系如图所示． （1）填空：A、C两港口间的距离为km， a； （2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围． · - O y/km > 30 a P （第3题） x/h
一元一次方程及其应用 ◆ 课前热身 1．A 种饮料B 种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，一共花了13元，如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是（ ） A ．2(1)313x x -+= B ．2(1)313x x ++= C ．23(1)13x x ++= D ．23(1)13x x +-= 2．如果方程3240m x --=是一元一次方程，则m = . 3.方程0251x =．的解是 ． 4.一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，则再过 秒它的速度为15米/秒． 【参考答案】1. A 2.m=1 3. 4x = 4.5 ◆考点聚焦 知识点: 等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程 大纲要求: 1. 理解方程和一元一次方程的概念； 2. 理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质进行方程的变形，掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程； 考查重点与常见题型: 考查一元一次方程、有关习题常出现在填空题和选择题中。 ◆备考兵法 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解一元一次方程；能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。 注意：（1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像 21=x ，()1222+=+x x 等不是一元一次方程. （2）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有
八年级数学一次函数图象题（行程问题） 1．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③ B、仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③ 2、甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．上图2是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）请将图中的（）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度； （2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离．
3．甲船从A 港出发顺流匀速驶向B 港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B 港．乙船从B 港出发逆流匀速驶向A 港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A 港的距离y 1、y 2（km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象如图所示． （1）写出乙船在逆流中行驶的速度． （2）求甲船在逆流中行驶的路程． （3）求甲船到A 港的距离y 1与行驶时间x 之间的函数关系式． （4）求救生圈落入水中时，甲船到A 港的距离． 4、某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y 甲（千米）、y 乙（千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图像．请根据图像所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时； （2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定．
一元一次方程及其应用 一.选择题 1．(2015?江苏无锡,第4题2分)方程2x﹣1=3x+2的解为（） A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3 考点：解一元一次方程． 分析：方程移项合并，把x系数化为1，即可求解． 解答：解：方程2x﹣1=3x+2， 移项得：2x﹣3x=2+1， 合并得：﹣x=3． 解得：x=﹣3， 故选D． 点评：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求解． 2. （2015?四川南充,第4题3分）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是（） （A）25台（B）50台（C）75台（D）100台 【答案】C 考点：一元一次方程的应用. 3. （2015?浙江杭州,第7题3分）某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程( )
A . 54?x =20%×108 B . 54?x =20%×(108+x ) C . 54+x =20%×162 D . 108?x =20%(54+x ) 【答案】B . 【考点】由实际问题列方程. 【分析】根据题意，旱地改为林地后，旱地面积为54x -公顷，林地面积为108x +公顷，等量关系为“旱地占林地面积的20%”，即()5420%108x x -=?+. 故选B . 4．（2015?北京市,第9题，3分）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 例如，购买A 类会员卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45~55次之间，则最省钱的方式为 A ．购买A 类会员年卡 B ．购买B 类会员年卡 C ．购买C 类会员年卡 D ．不购买会员年卡 【考点】一元一次方程 【难度】中等 【答案】C 【点评】本题考查一元一次方程的基本概念。 5．(2015·深圳，第10题 分)某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元。 A 、140 B 、120 C 、160 D 、100 【答案】B . 【解析】设进价为x 元，则－x ＝40，解得：x ＝120，选B 。
行程问题 1.新化到长沙的距离约为200km，小王开着小轿车，张师傅开着大货车都从新化去长 沙，小王比张师傅晚出发20分钟，最后两车同时到达长沙已知小轿车的速度是大货车速度的倍，求小轿车和大货车的速度各是多少？ 解：设大货车的速度是x千米时，则小轿车的速度是时， 由题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则．kk答：大货车的速度为，小轿车的速度为． 【解析】设大货车的速度是x千米时，则小轿车的速度是时，根据时间关系列出方程，解方程即可． 本题考查了分式方程分应用、分式方程的解法；根据时间关系列出方程是解决问题的关键． 2.徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高 铁A与“复兴号”高铁B前往北京已知A车的平均速度比B车的平均速度慢，A车的行驶时间比B车的行驶时间多，两车的行驶时间分别为多少？ 【答案】解：设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：A车行驶的时间为小时，B车行驶的时间为小时． 【解析】设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为小时，根据平均速度路程时间结合A车的平均速度比B车的平均速度慢，即可得出关于t的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3.列方程解应用题 八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． 【答案】解：设骑车学生的速度为， 由题意得，， 解得：． 经检验：是原方程的解． 答：骑车学生的速度为． 【解析】设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用20min，据此列方程求解． 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
一次函数行程问题 1、在一条笔直的公路上有A、 B 两地，甲骑自行车从 A 地到 B 地；乙骑自行车从 B 地到 A 地，到达 A 地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离 B 地的距离 y（ km）与行驶时x（h ）之间的函数图象，若两人之间保持的距离不超 过 3km 时，能够用无线对讲机保持联系，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x 范围 __________ 2、甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发相向而行．并以各自的速度匀速行驶，甲车途经 按原速度继续前进到达 B 地；乙车从 B 地直接到达 A 地，如图是甲、乙两车和 B 地的距离间 x（小时）的函数图象．当两车相距120 千米时，乙车行驶了__________小时。C 地时休息一小时，然后y （千米）与甲车出发时 3、甲、乙两名大学生去距学校36 千米的某乡镇进行社会调查．他们从学校出发，骑电动车行驶20 分钟时发现忘带相机，甲下车前往，乙骑电动车按原路返回．乙取相机后（在学校取相机所用时间忽略不计），骑电动车追甲．在距乡镇 13.5 千米处追上甲后同车前往乡镇．乙电动车的速度始终不变．设甲与学校相距y 甲（千米），乙与学校相离y 乙（千米），甲离开学校的时间为x（分钟）． y 甲、 y 乙与 x 之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： 求乙返回到学校时，甲与学校相距__________km
4、甲、乙两地之间有一条笔直的公路L，小明从甲地出发沿公路L 步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L 骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．设小明与甲地的 距离为 y1米，小亮与甲地的距离为y2米，小明与小亮之间的距离为s 米，小明行走的时间为x 分钟． y1、 y2与 x 之间的函数图象如图1， s 与 x 之间的函数图象（部分）如图2． a=______。 5、 2016 年秋季，某省部分地区遭受严重的雨雪自然灾害，兴化农场34800 亩的农作物面临着收割困难的局面．兴 华农场积极想办法，决定采取机械收割和人工收割两种方式同时进行抢收，工作了 4 天，由于雨雪过大，机械收割 被迫停止，此时，人工收割的工作效率也减少到原来的，第 8 天时，雨雪停止附近的胜利农场前来支援，合作6 天，完成了兴化农场所有的收割任务．图 1 是机械收割的亩数y1（亩）和人工收割的亩数y2（亩）与时间x（天）之间的函数图象．图 2 是剩余的农作物的亩数w（亩）与时间x 天之间的函数图象，x=_______ 时，机械收割的总 量是人工收割总量的10 倍？ 6、甲、乙两地相距300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间 x（小时）之间的函数关系；折线 BCD 表示轿车离甲地距离y（千米）与 x（小时）之间的函数关系．轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，货车从甲地出发后__ ___小时再与轿车相遇。
一、工程问题 1、公式：工作量=工作时间×工作效率 公式变形：工作时间=工作量÷工作效率 工作效率=工作量÷工作时间 一般把总工作量看作单位“1” 2、例题： 例1、某工人原计划在限定时间内加工一批零件.如果每小时加工10个零件,就可以超额完成3 个;如果每小时加工11个零件就可以提前1h完成.问这批零件有多少个?按原计划需多少小时完成? 解：设这批零件有x个，按原计划需y小时完成， 根据题意，得 10y=x+3 x=77（个） 11·（10-1）=x y=8（小时） 答:这批零件有77个,按计划需8 小时完
二、银行存款问题 1、公式：本息和＝利息+本金 利息＝本金×年利率×年数 例1、小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？ 解：设x为第一种存款的方式，y第二种方式存款，则 x+y=4000 x=1500（元） 2.25%* x+2.7%* 3* y=30 3.75 y=2500（元） 解得：第一种存款的金额为1500元，第二种存款的金额为2500元 例2、某企业向商业银行申请了甲、乙两种贷款，共计35万元，每年需付出利息4.4万元。甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款的利率是13％。求这两种贷款的金额分别是多少？ 解：设这两种贷款的金额分别x万元、y万元 由题意得： x+y=35 x=15（万元） 12%x+13%y=4.4 y=20（万元） 答：这甲种贷款的金额为15万元、乙种贷款的金额为20万元
一元一次方程及其应用 一、选择题 1．（2014·台湾，第19题3分）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3︰4︰5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？() A．5.4 B．5.7 C．7.2 D．7.5 分析：根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3︰4︰5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，由表格中的数据列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出甲杯内水的高度． 解：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x， 根据题意得：60×10＋80×10＋100×10＝60×3x＋80×4x＋100×5x， 解得：x＝2.4， 则甲杯内水的高度变为3×2.4＝7.2(公分)． 故选C． 点评：此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 2.（2014?滨州，第4题3分）方程2x﹣1=3的解是（） ．
二、填空题 1．（2014?浙江湖州，第11题4分）方程2x﹣1=0的解是x=． 分析：此题可有两种方法： （1）观察法：根据方程解的定义，当x=时，方程左右两边相等； （2）根据等式性质计算．即解方程步骤中的移项、系数化为1． 解：移项得：2x=1，系数化为1得：x=． 点评：此题虽很容易，但也要注意方程解的表示方法：填空时应填x=，不能直接填． 2. （2014?湘潭，第15题，3分）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为2x+56=589﹣x．
B A O 80140120x(小时）1006040y(千米） 2098 7 6 5 4 3 2 1 一次函数行程问题 1．A ，B 两城相距600千米，甲、乙两车同时从A 城出发驶向B 城，甲车到达B 城后立即返回．如图是它们离A 城的距离y （千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图象． （1）求甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车速度． 2． 甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题： ⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s （千米）与时间t （时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） ⑵当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A 处，求A 点距山顶的距离； ⑶在⑵的条件下，设乙同学从A 点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B 处与乙同学相遇，此时点B 与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？ 126 2 3 S（千米） t（小时） C D E F B 甲 乙 3.小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶.他距乙地的距离与时间的关系如图中折线所示，小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发一段时间，他距乙地的距离与时间的关系如图中线段ＡＢ所示． （１）小李到达甲地后，再经过＿＿＿小时小张到达乙地；小张骑自行车的速度是＿＿＿千米／小时. （２）小张出发几小时与小李相距15千米？ （３）若小李想在小张休息期间与他相遇，则他出发的时间 x 应在什么范围？（直接写出答案）
? ? ? ? ? 4x +10 y = 8 ? ? ? ? ? x -y = 9m ? ? ? ? 2 一、判断 ?x = 2二元一次方程组练习题 100 道（卷一） （范围：代数：二元一次方程组） ?x - y = 5 1、? 1 y =- 是方程组 ?3 2 x y 6 的解…………（） 10 ??3 ?-= ??2 3 9 2、方程组 ?y = 1-x ?3x + 2 y = 5 的解是方程3x-2y=13 的一个解（） 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（） ?x + 3 + y + 5 = 7 ? 4、方程组，可以转化为 ?3x + 2 y =-12 （） ? x + 4 + 2 y - 3 = 2 ? ?5x - 6 y =-27 ?? 3 5 5、若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0 是二元一次方程，则a 的值为±1（） 6、若x+y=0，且|x|=2，则y 的值为2 …………（） 7、方程组 ?mx +my =m - 3x 有唯一的解，那么m 的值为m≠-5 …………（） ? ?1 x + 1 y = 2 8、方程组?3 3 有无数多个解…………（） ??x +y = 6 9、x+y=5 且x，y 的绝对值都小于5 的整数解共有5 组…………（） 10、方程组 ?3x -y = 1 的解是方程x+5y=3 的解，反过来方程x+5y=3 的解也是方程组 ?3x -y = 1 的? x + 5 y= 3 解………（） 11、若|a+5|=5，a+b=1 则 a 的值为- 2 ………（） ? x + 5 y = 3 b 3 12、在方程4x-3y=7 里，如果用x 的代数式表示y，则x = 7 + 3y （） 4 二、选择： 13、任何一个二元一次方程都有（） （A）一个解；（B）两个解； （C）三个解；（D）无数多个解； 14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（）（A）5 个（B）6 个（C）7 个（D）8 个 15、如果 ?x -y =a ?3x + 2 y = 4 的解都是正数，那么a 的取值范围是（） （A）a<2；（B） a >- 4 ；（C）- 2 实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案） :列二元一次方程组解决行程问题 甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发 2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时 各走多少千米? 解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得: （2.5+2）x+2.5y=36 3x+（3+2）y=36 解得：x=6，y=3.6 答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是 3.6千米/每小时。 两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用速度。14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流 解：设这艘轮船在静水中的速度 x 千米/小时,则水流速度y 千米/小时，有: 20（ x-y ）=280 14 （x+y ） =280 解得：x=17，y=3 角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由 解:即.乙两筈司毒周芫成工程的耳和y.妣 T r 故1咅10 （周）1冷二嗣 即甲J 乙完両宝四工程至懦1调*卩毎周 又设需付甲，牛周的工钱劳别如五元「话元朋 I 汽鼻2 :此时 +9& - 4.? L _ 4 I n rate-灿书约开曲度考虑.选乙公司划算 答：这艘轮船在静水中的速度 17千米/小时、水流速度 3千米/小 时， :列二元一次方程组解决 --- 工程问题 小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6周完成需工钱 5.2万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9周完成，需工钱 4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的 :列二元一次方程组解决 ――商品销售利润问题 1200x+1000y=360000 (1380-1200)x+(1200-1000)y=60000 解得 x=200, y=120 答：略 小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了 存整取，共反复存了 3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息 2.25%;第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？ X+Y=4000 X*2.25 % *3+Y*2.7 % *3=303.75 李大叔去年承包了 10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000元，其中甲种蔬菜每亩获利 乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 解：设甲、乙两种蔬菜各种植了 x 、y 亩，依题意得： 2000 兀， ① x+y=10 ② 2000x+1500y=18000 解得：x=6, y=4 答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了 6亩、4亩 某商场用36万元购进 A 、B 两种商品，销售完后共获利 6万元，其进价和售价如下表: A 、 B 两种商品各多少件; （注：获利=售价一进价）求该商场购进 解：设购进A 的数量为 x 件、购进B 的数量为y 件，依据题意列方程组 四：列二元一次方程组解决 银行储蓄问题 4000元钱.第一种，一年期整 解：设x 为第一种存款的方式， 丫第二种方式存款，则 《二元一次方程组》 一、知识点总结 1、二元一次方程： 含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程， 它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠. 2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：1 6x y x y +=?? +=?，1226x y x y +=??+=?；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=??+=?；③有无数组解，例如：1 222x y x y +=?? +=?】 5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。 6、三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组的关键也是“消元”：三元→二元→一元 7、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步： （1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，； （2）设：找出能够表示题意两个相等关系；并用字母表示其中的两个未知数 （3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值； （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案. 二、典型例题分析 例1、若方程 2132 57m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值. 例2、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y . 例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解 例4、若23 x y =?? =?是方程组2315x m nx my -=??-=-?的解，求m n 、的值. 例5、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值. 一元一次方程应用题归类汇集 一、一般行程问题（相遇与追击问题） 1.行程问题中的三个基本量及其关系： 路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间 2.行程问题基本类型 （1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题：快行距－慢行距＝原距 1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速 度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为。 2、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9 千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？ 3、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车 车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？ 4、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km， 骑自行车的人的速度是每小时10.8km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。⑴行人的速度为每秒多少米？⑵这列火车的车长是多少米？ 5、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度是60千 米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是60千米。问：步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计） 6、某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因 事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。 7、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下 发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。 8、两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为100米，慢车车长150米，已知当两车相向 而行时，快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒。 ⑴两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少？ ⑵如果两车同向而行，慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车 的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒？ 9、甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度 1、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆．图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）小聪在图书馆查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为________千米／分钟； （2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式； （3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 2、如图已知函数y=-1/2x+b的图像与x轴y轴分别交于点A、B ，与函数y=x 的图像交于点M 点M的横坐标为2 在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2）且过点P作x轴垂线分别交函数y=-1/2x+b和y=x的图像于点C、D ⑴求点A坐标 ⑵若OB=CD，求a的值 3、如图，一次函数y= -3/4x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合、直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D． （1）点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）； （2）求OC的长度； （3）在x轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P 的坐标． 4、甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1 h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图所示，OA是第一列动车组列车离开甲城的距离s（km）与运行时间t（h）的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象．请根据图中的信息，解答下列问题： （1）点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间 _____ 1 h(填”早”或”晚”)，点B的纵坐标300的意义是 _______ ；（2）请你在图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s（km）与时间t （h）的函数图象； （3）若普通快车的速度为100 km/h， ①求BC的解析式，并写出自变量t的取值范围； ②第二列动车组列车出发多长时间后与普通快车相遇？ ③请直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔时间。 1. 已知关于x,y 的方程0)2()3(182=-+---n m y n x m 是二元一次方程，求n m + 2. 已知0)2(352=-+-+x y x ，且42=-kx y ，求k 的值 3. 解方程组????? =+-+=-+-0 4235342 42 353y x y x 解方程组?????=+---=+--2 167101 25y x y x y x y x 4. 已知方程组???=+=-24by ax by ax 的解为???==1 2y x ，求b a 32-的值 5. 已知单项式273+y x b a 和x y b a 2427--是同类项，求y x 23-的值 6. 已知方程组? ??=-=+243y x y x 的解也是方程x y mx 1847-=+的解，求m 的值 7. 已知方程组? ??=-=+m y x m y x 932的解满足方程3885=+y x ，求m 的值 8. 已知方程组???=+-=+k y x k y x 423253的解y x ,互为相反数，求k 的值 9. 已知关于x 的方程x mx 36=+的解是正整数，求m 的值 10. 已知方程组? ??=-=-0362y x my x 的解为正整数，求m 的值 11. 已知方程组???=++=9129by ax x y 的解也是方程组? ??=-=+-133201418y ax y x 的解，求b a 、的值 12. 已知不论n m 、为何值，代数式n m x n m y m n 83)32()(-+++-的值恒为0，求y x 、的 值 13. 已知代数式9113)3()2(+-+++-y x n y x m x y 的值与y x 、的取值无关，求n m 、的值 例: 解下列方程组: ⑴ 41216x y x y -=-??+=? ⑵()()41312223 x y y x y --=--???+=?? ⑶2320235297x y x y y --=??-+?+=?? 典型例题分析 1. 解下列方程组: ⑴()()918523203 2m n m m n ?+=????++=?? ⑵7231 x y x y ?+=??-=-?? 一元一次方程及其应用 ◆课前热身 ABAB种饮料，一共花了133瓶元，如种饮料单价少1元，小峰买了21．瓶种饮料种饮料和xB 元/瓶，那么下面所列方程正确的是（果设种饮料单价为） 2(x?1)?3x?2(x?1)?3x?1313 A． B．2x?3(x?2x3(x?1)?13?1)?13． C．D 3m?2m?0?x?4 . 2．如果方程是一元一次方程，则0．25x?1的解是3.方程． 4.一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，则再过 秒它的速度为15米/秒． x?4 4.5 1. A 2.m=1 3. 【参考答案】◆考点聚焦 知识点: 等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程 大纲要求: 1.理解方程和一元一次方程的概念； 2.理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质进行方程的变形，掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程； 考查重点与常见题型: 考查一元一次方程、有关习题常出现在填空题和选择题中。 ◆备考兵法 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解一元一次方程；能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。 注意：（1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个1??1???2x22x2?等不是一元未知数，并且未知数的次数是1，的方程，像，系数不等于0x. 一次方程）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除2（以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③. 解方程时一定要注意“移项”要变号． ◆考点链接 1．等式及其性质⑴等式：用等号“=”来表示关系的式子叫等式. a?ba?c?；性质：①如果，那么⑵ a???ac baa?b?0c?? . ，那么；如果②如果，那么c 2. 方程、一元一次方程的概念⑴方程：含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程. 方程的解与解方程不同. ⑵一元一次方程：在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等 ??0?a. 0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为于 3. 解一元一次方程的步骤： ①去；②去；③移；④合并；⑤系数化为1.二元一次方程组经典应用题及答案
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