第二十章 曲线积分
总练习题
1、计算下列曲线积分:
(1)⎰L yds , 其中L 是由y 2=x 和x+y=2所围的闭曲线; (2)⎰L ds y , 其中L 为双纽线(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2);
(3)⎰L zds , 其中L 为圆锥螺线x=tcost, y=tsint, z=t ,t ∈[0,t 0];
(4)ydx x dy xy L 22-⎰, 其中L 为以a 为半径,圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B ; (5)⎰--L
y
x dx
dy , 其中L 是抛物线y=x 2-4, 从A(0,-4)到B(2,0)的一段; (6)dz x dy z dx y L 222++⎰,L 是维维安尼曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=ax (z ≥0,a>0),若从x 轴正向看去,L 是沿逆时针方向进行的.
解:(1)解方程组⎩⎨⎧=+=2
2y x x y ,得⎩⎨⎧-==24
y x ,⎩⎨⎧==11y x .
∴曲线L 抛物线段为x=y 2, y ∈[-2,1], ds=241y +dy; 直线段为x=2-y, y ∈[-2,1], ds=2dy; ∴⎰L yds =dy y y ⎰-+1
22
41+dy y ⎰-1
22=
12
3
2)41(12
1
-+y +
12
2
2
2-y
=
22
3)171755(121-- (2)双纽线的极坐标方程为:r 2=a 2cos2θ, θ∈[-4π,4π
]∪[
43π,4
5π], ∴ds=θd r r 2
2
'+=θθ
d r
a r 2
242
2sin +=θd r a 2,由被积函数与L 的对称性, 有⎰L
ds y =4θθπ
d r a r ⎰402
sin =4a 2θθπd ⎰40sin =4a 2⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-221.
(3)ds=dt z y x 222'+'+'=dt t 22+. ∴⎰L zds =dt t t t 2200
+⎰=
[]
22)2(3
120
-+t
.
(4)L: x=acost, y=asint, -2
π≤t ≤2
π.
∴ydx x dy xy L 2
2
-⎰=dt t t a ⎰-
22
2
24sin cos 2π
π=)4()4cos 1(1622
4t d t a
⎰--ππ=44πa -.
(5)⎰--L y x dx dy =dx x x x ⎰+--2024
12=-)4(412
202----⎰x x d x x =-ln|x 2-x-4|2
=ln2.
(6)设x=asin 2t, 则维维安尼曲线的参量方程为:
x=asin 2t, y=asintcost, z=acost, 当t 从2π
减少到-2
π时,就是曲线的方向, ∴dz x dy z dx y L 222++⎰=a
3
dt t t t t t t )sin cos sin cos cos sin 2(5222
2
433--+⎰-
π
π
= a 3⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-⎰⎰-
-
dt t t dt t 22
22222
cos sin 2cos π
πππ= a 3⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-42
ππ=4
π-a 3.
2、设f(x,y)为连续函数,试就如下曲线: (1)L:连接A(a,a), C(b,a)的直线段;
(2)L:连接A(a,a), C(b,a), B(b,b)三点的三角形(逆时针方向), 计算下列曲线积分:⎰L ds y x f ),(, ⎰
L
dx y x f ),(,
⎰
L
dy y x f ),(.
解:(1)⎰L ds y x f ),(=dx a x f b
a ⎰),(; ⎰
L
dx y x f ),(=dx a x f b a
⎰),(;
⎰
L
dy y x f ),(=0.
(2)∵⎰L =⎰AC +⎰CB +⎰BA ,
∴⎰L ds y x f ),(=dx a x f b
a ⎰),(+dy y
b f b
a ⎰),(+dt t t f b
a 2),(⎰;
⎰
L
dx y x f ),(=dx a x f b a
⎰),(+0+dt t t f b
a
⎰),(;
⎰
L
dy y x f ),(=0+dy y b f b a
⎰),(+dt t t f b
a
⎰),(.
3、设f(x,y)为定义在平面曲线弧段⌒AB上的非负连续函数,且在⌒AB上恒大于0.
(1)试证明⎰⋂
AB
ds
y
x
f)
,
(>0;
(2)在相同条件下,第二型曲线积分⎰⋂
AB
dx
y
x
f)
,
(>0是否成立?为什么?
(1)证:∵存在点(x0,y0)∈⌒AB,使得
⎰L ds
y
x
f)
,
(=f(x0,y0)△L,△L为⌒AB的弧长. 又f(x,y)在⌒AB上恒大于0,
即f(x0,y0)>0,∴⎰⋂
AB
ds
y
x
f)
,
(>0.
(2)解:不一定成立,如取⌒AB为从A(0,0)到B(0,1)的直线段,取f(x,y)=0,
则⎰⋂
AB
dx
y
x
f)
,
(=0.
第二十章 曲线积分 总练习题 1、计算下列曲线积分: (1)⎰L yds , 其中L 是由y 2=x 和x+y=2所围的闭曲线; (2)⎰L ds y , 其中L 为双纽线(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2); (3)⎰L zds , 其中L 为圆锥螺线x=tcost, y=tsint, z=t ,t ∈[0,t 0]; (4)ydx x dy xy L 22-⎰, 其中L 为以a 为半径,圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B ; (5)⎰--L y x dx dy , 其中L 是抛物线y=x 2-4, 从A(0,-4)到B(2,0)的一段; (6)dz x dy z dx y L 222++⎰,L 是维维安尼曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=ax (z ≥0,a>0),若从x 轴正向看去,L 是沿逆时针方向进行的. 解:(1)解方程组⎩⎨⎧=+=2 2y x x y ,得⎩⎨⎧-==24 y x ,⎩⎨⎧==11y x . ∴曲线L 抛物线段为x=y 2, y ∈[-2,1], ds=241y +dy; 直线段为x=2-y, y ∈[-2,1], ds=2dy; ∴⎰L yds =dy y y ⎰-+1 22 41+dy y ⎰-1 22= 12 3 2)41(12 1 -+y + 12 2 2 2-y = 22 3)171755(121-- (2)双纽线的极坐标方程为:r 2=a 2cos2θ, θ∈[-4π,4π ]∪[ 43π,4 5π], ∴ds=θd r r 2 2 '+=θθ d r a r 2 242 2sin +=θd r a 2,由被积函数与L 的对称性, 有⎰L ds y =4θθπ d r a r ⎰402 sin =4a 2θθπd ⎰40sin =4a 2⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-221.
A 一、 求解下面问题(每小题6分,满分48分) 1.设),(y x f 为一连续函数,求极限.),(1 2 222 0lim dxdy y x f r r y x r ?? ≤+→+ π 解 (0,0)),(12 222 lim f dxdy y x f r r y x r =?? ≤+→+ π 建议:中间过程4分 2. 改变累次积分的积分顺序: dy y x f dx x x ),(-21 -4 2 6 -2 ?? 08 20 -1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---=+?? ?? 3. 计算二重积分 dxdy y x D 2 2sin +??,其中积分区域为}.4|),{(2222ππ≤+≤=y x y x D 解:D ?? 4. 计算三重积分dxdydz x y V ???+)1(2012,其中V 由22--4y x z =与2 23y x z +=所成的立体. 解:由于V 是关于yoz 平面对称的,且x y 2012是关于x 的奇函数,所以 02012 =???d x d y d z x y V ,于是 2 3 22012 1()r V V y x dxdydz dxdydz d πθ+==???????? 2 23 )r d rdr πθ=? 2 2230 01)()2r d d r πθ=? 22220 012(4)()62r d r d r πθ?=--????? 3422200 1219(4)6236r d r πθπ?=?---=????? (写出对称性给2分,计算过程适当给分) 2 204sin 6d r rdr π π π θπ ==-??
练习题1 1. 0 lim ()x x f x A →= 等价于以下 ( ). (A )00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时,有|()|f x A ε-≥; (B )00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时,有|()|f x A ε-<; (C )00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时,有|()|f x A ε-≥; (D )00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时,有|()|f x A ε-<; 2.下列等式成立的是( ). (A )11 sin lim =∞→x x x ; (B )11sin lim 0=→x x x ; (C )1sin lim =∞→x x x ; (D )11 sin 1lim 0=→x x x . 3. a a n n =∞ →lim ,它等价于( ). A.,0,0>?>?εN 当ε<->||,a a N n n 时; B.,0>?ε在{}n a 中除有限个项以外,其余所有项都落在邻域);(εa U 之内; C. {}{}k k a a 212,-都收敛; D. {}n a 中有无穷多个子列都收敛于a . 4. 设{} n a 为单调数列,若存在一收敛子列{} j n a ,这时有( ). A. j n j n n a a ∞ →∞ →=lim lim ; B. {} n a 不一定收敛; C. {} n a 不一定有界; D. 当且仅当预先假设了{} n a 为有界数列时,才有A成立. 5.设)(x f 在0x 可导,则=??--?+→?x x x f x x f x ) ()(lim 000 ( ). A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '- 6. 下列结论中正确的是( ). A.若)(x f 在点0x 有极限,则在点0x 可导. B. 若)(x f 在点0x 连续,则在点0x 可导.
4 数学分析练习题 1.函数f^y) = x2y-xe y在(1 ,0)处方向导数的最大值等于 什2兀+ X Lk心------------------------- 3 设/“)是连续函数,J=L/(x) = x + 2p(r)Jr,M/(x) = 5.函数项级数u n(x)在£)上一致收敛于函数S(Q的(w,N)定义是 n=l 6. 7.由曲线y = J{x) , x = a , x = b和尤轴围成的llll边梯形绕尤轴旋转的旋转体体积 V v= 严dx 8已知反常积分Jo 甬尹收敛于1,则比= 0 1 9.求级数2 + 4 + - + 100 +工莎的和S = _________ /I=I 2 10设。00,兄=1,2,….且{皿“}有界,则工盗的敛散性为_______ • 11.函数/W = c A的幕级数展开式为___________________________ . 12.设平面点集E G/?2,点A W R2,“ A为E的内点”的定义是: __________ _______ 见p86 __________________________________________________________ .1 . 1 ° xsin —+ ysin-, xy H 0 “、 13 若 f(x,y)= y - x - ,(X,),)H(0,0)则二重极限r hm f(x9y) = 0, 巧=0 14函数z =兀v,则全微分dz = ____________________ . 15 设/(x,y,?)=A>2+yF,则y 在点Po(2,_l,l)的梯度为 16.改变累次积分/=pA^7(x,.y)6/y的次序,则". 17以曲面z = Ax j)(其屮几叨)20)为顶,gy平面上的区域D为底的町顶柱体的体积 18函数z是由方^.e x -xyz = 0所确定的二元函数,贝ij全微分dz\{}}= _____ ・
第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分 一、第一型曲线积分的定义 引例:设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时,应用定积分就能计算得该物体的质量. 当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时,可以对Ω作分割,把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n),并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知,当Ωi 的弧长都很小时,每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i n i i P f ∆Ω∑=1)(. 当对Ω有分割越来越细密(即d=i n i ∆Ω≤≤1max →0)时,上述和式的极限就是 该物体的质量. 定义1:设L 为平面上可求长度的曲线段,f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ,它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n),L i 的弧长记为△s i ,分割T 的细度为T =i n i s ∆≤≤1max ,在L i 上任取一点 (ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i n i i i T s f ∆∑=→1 ),(lim ηξ=J ,且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关,则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分,记作:⎰L ds y x f ),(. 注:若L 为空间可求长曲线段,f(x,y,z)为定义在L 上的函数,则可类
似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分⎰L ds z y x f ),,(. 性质:1、若⎰L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在,c i (i=1,2,…,k)为常数,则 ⎰∑=L k i i i ds y x f c 1 ),(=∑⎰=k i L i i ds y x f c 1 ),(. 2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成,且⎰i L ds y x f ),((i=1,2,…,k) 都存在,则⎰L ds y x f ),(也存在,且⎰L ds y x f ),(=∑⎰=k i L i i ds y x f 1 ),(. 3、若⎰L ds y x f ),(与⎰L ds y x g ),(都存在,且f(x,y)≤g(x,y),则 ⎰ L ds y x f ),(≤⎰L ds y x g ),(. 4、若⎰L ds y x f ),(存在,则⎰L ds y x f ),(也存在,且⎰L ds y x f ),(≤⎰L ds y x f ),(. 5、若⎰L ds y x f ),(存在,L 的弧长为s ,则存在常数c ,使得⎰L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L ≤c ≤),(sup y x f L . 6、第一型曲线积分的几何意义:(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线,f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义,以L 为准线,母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是 ⎰ L ds y x f ),(. 二、第一型曲线积分的计算 定理20.1:设有光滑曲线L:⎩⎨ ⎧==) () (t y t x ψϕ, t ∈[α,β],函数f(x,y)为定义在L 上的连续函数,则⎰L ds y x f ),(=⎰'+'β αψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 证:由弧长公式知,L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =⎰='+'i i t t dt t t 1 )()(22ψϕ. 由)()(22t t ψϕ'+'的连续性与积分中值定理,有
第二十章 曲线积分 2第二型曲线积分 一、第二型曲线积分的定义 引例:如图,一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ,求力F(x,y)所作的功. 在曲线⌒AB 内插入n-1个分点M 1, M 2, …, M n-1, 与A=M 0, B=M n 一起把有向曲线⌒AB 分成 n 个有向小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n). 若记小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ,则分割T 的细度为T =i n i s ∆≤≤1max . 设力F(x,y)在x 轴和y 轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y),则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段⌒M i-1M i 在x 轴与y 轴上的投影分别为 △x i =x i -x i-1与△y i =y i -y i-1,(x i ,y i )与(x i-1,y i-1)分别为分点M i 与M i-1的坐标. 记i i M M L 1-=(△x i ,△y i ),于是力F(x,y)在小弧段⌒M i-1M i 上所作的功为 W i ≈F(ξi ,ηi )·i i M M L 1-=P(ξi ,ηi )△x i +Q(ξi ,ηi )△y i ,其中(ξi ,ηi )是⌒M i-1M i 上任一点. 因而力F(x,y)沿曲线⌒AB 所作的功近似地等于 W=∑=n i i W 1 ≈∑=∆n i i i i x P 1 ),(ηξ+∑=∆n i i i i y Q 1 ),(ηξ. 定义1:设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L :⌒AB 上. 对L 的任一分割T 把L 分成n 个小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n), A=M 0, B=M n . 记各小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ,分割T 的细度为T =i n i s ∆≤≤1max . 又设T 的分点M i 的坐标为(x i ,y i ),并记△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段⌒M i-1M i 上任取一点(ξi ,ηi ),若存在极限
第二十二章曲面积分 2 第二型曲面积分 一、曲面的侧 概念:设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面(或法线),M为曲面S上的一点,曲面在M处的法线有两个方向:当取定其中一个指向为正方向时,则另一个指向是负方向。 设M0为S上任一点,L为S上任一经过点M0,且不超出S边界的闭曲线。动点M在M0处与M0有相同的法线方向,且有:当M从M0出发沿L连续移动时,它的法线方向连续地变动,最后当M沿L回到M0时,若这时M的法线方向仍与M0的法线方向相一致,则称曲面S是双侧曲面;若与M0的法线方向相反,则称S是单侧曲面. 默比乌斯带:这是一个典型的单侧曲面例子。取一矩形长纸带ABCD,将其一端扭转180°后与另一端黏合在一起(即让A与C重合,B与D 重合(如图). 注:通常由z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面,当以其法线正方向与z轴的正向的夹角成锐角的一侧为正侧(也称为上侧)时,另一侧为负侧(也称为下侧). 当S为封闭曲面时,通常规定曲面的外侧为正侧,
内侧为负侧. 二、第二型曲面积分的概念 引例:设流体以一定的流速v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))从给定的曲面S 的负侧流向正侧,其中P ,Q,R 为所讨论范围上的连续函数,求单位时间内流经曲面S 的总流量E. 分析:设在曲面S 的正侧上任一点(x,y,z)处的单位法向量为 n=(cos α,cos β,cos γ). 这里α,β,γ是x,y,z 的函数,则 单位时间内流经小曲面S i 的流量近似地等于 v(ξi ,ηi ,ζi )·n(ξi ,ηi ,ζi )△S i =[P(ξi ,ηi ,ζi )cos αi ,Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi ,R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi ]△S i , 其中(ξi ,ηi ,ζi )是S i 上任意取定的一点, cos αi ,cos βi ,cos γi 分别是S i 正侧上法线的方向余弦, 又 △S i cos αi ,△S i cos βi ,△S i cos γi 分别是S i 正侧在坐标面yz, zx 和xy 上 投影区域的面积的近似值, 并分别记作△S iyz ,△S izx ,△S ixy , 于是 单位时间内由小曲面S i 的负侧流向正侧的流量也近似地等于 P(ξi ,ηi ,ζi )△S iyz +Q(ξi ,ηi ,ζi )△S izx +R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy , ∴单位时间内由曲面S 的负侧流向正侧的总流量为: E=}),,(),,(),,({lim 10 ixy i i i n i izx i i i iyz i i i T S R S Q S P ∆+∆+∆∑=→ζηξζηξζηξ. 定义1:设P , Q, R 为定义在双侧曲面S 上的函数,在S 所指定的一侧作分割T ,它把S 分成n 个小曲面S 1,S 2,…,S n 组,分割T 的细度
统计专业和数学专业数学分练习题 计算题 1. 试求极限 .4 2lim )0,0(),(xy xy y x +-→ 2. 试求极限.)() cos(1lim 222222) 0,0(),(y x y x e y x y x ++-→ 3. 试求极限.1 sin 1sin )(lim )0,0(),(y x y x y x +→ 4. 试讨论.lim 4 22 )0,0(),(y x xy y x +→ 5. 试求极限 .1 1lim 2 2 22) 0,0(),(-+++→y x y x y x 6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数,求 .,y u x u ∂∂∂∂ 7. ,arctan xy z =,x e y = 求 .dx dz 8. 求抛物面 2 22y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程. 9. 求5362),(2 2+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式. 10. 求函数)2(),(2 2y y x e y x f x ++=的极值. 11. 叙述隐函数的定义. 12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容. 14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15. 讨论笛卡儿叶形线 0333=-+axy y x 所确定的隐函数)(x f y =的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程 0),,(323=-++=z y x xyz z y x F 在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. 17. 设函数23 (,,)f x y z xy z =, 方程 2223x y z xyz ++=. (1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =; (2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值. 18. 讨论方程组
《数学分析》(华师大版)课本上习题 第二十二章曲线积分与曲面积分 P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分1. 计算下列第一型曲线积分:(1))1,0(),0,1(),0,0(,)(B A O L ds y x L 是以其中?+为顶点的三角形; (2) +L ds y x 2 12 2 )(,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; (3)?L xyds ,其中L 为椭圆122 22=+b y a x 在第一象限中的部分; (4) L ds y ,其中L 为单位圆122=+y x ; (5)ds z y x L )(2 2 2 ++,其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一 段;(6)? L xyzds ,其中L 为曲线)10(2 1
,232,22≤≤== =t t z t y t x 的一段;(7) +L ds z y 222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周.2. 求曲线)0,10(2 1,,2 >≤≤= ==a t at z at y a x 的质量.设其线密度为.2a z =ρ 3. 求摆线?? ≤≤-=-=)0() cos 1() sin (πt t a y t t a x 的重心,设其质量分布是均匀的. 4. 计算下列第一类型曲面积分:(1) ++S dS z y x )(,其中S 是上半圆面0,2 222≥=++z a z y x ;(2) +S dS y x )(22,其中S 为立体12 2≤≤+z y x 的边界曲面;(3),??+S y x dS 22其中S 为柱面2 22R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分;(4) S xyzdS ,其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分; 5. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示,试给出计算 L ds y x f ),(的公式,并用此 公式计算下列曲线积分:(1)? +L
第二十一章 重积分 3格林公式、曲线积分与路线的无关性 一、格林公式 概念:当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时,规定边界曲线的正方向为:当人沿边界行走时,区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向,记为-L. 定理21.11:若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续,且有连续的一阶偏导数,则有格林公式: ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线,并取正方向. 证:根据区域D 的不同形状,可分三种情形来证明: (1)若区域D 既是x 型区域,又是y 型区域(如图1),即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点,该区域D 可表示为: φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d. 这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE 的方程, ∴⎰⎰ ∂∂D d x Q σ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dy y y Q )),((1ψ =⎰⋂ CBE dy y x Q ),(-⎰⋂ CAE dy y x Q ),(=⎰⋂ CBE dy y x Q ),(+⎰⋂ EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(. 同理可证:-⎰⎰ ∂∂D d y P σ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2), 则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域,
统计专业和数学专业数学分析(3)练习题一 填空题 1. 函数 xy x y z +=arcsin 的定义域是 . 2. 函数y x z -= 的定义域是 . 3. 设 )ln(),(22y x x y x f -- =,其中 0>>y x ,则),(=-+y x y x f . 4. 设 y x xy y x y x f tan ),(2 2-+=,则 =),(ty tx f . 5. 设2 R E ⊂为 点集,则E 在2 R 中至少有一个聚点. 6. 32),,(yz xy z y x f +=,则 =-)1,1,2(gradf 。 7. xyz z xy u -+=3 2在点)2,1,1(0P 处沿方向→ l (其中方向角分别为00060,45,60)的方向导数为=→)(0P u l . 8. ,y x z =其中,0>x ,0≠x 则=dz 。 9. 函数),(y x f 在),(00y x 处可微,则 =-∆df f 。 10. 若函数 ),(y x f 在区域D 上存在偏导数,且,0==y x f f ,则),(y x f 在区域上为 函数。 11. 由方程1 (,)sin 02F x y y x y =-- =确定的隐函数)(x f y =的导数'()f x = . 12. 设243 340x y x y +-=, 则dy dx = . 13. 平面上点P 的直角坐标),(y x 与极坐标),(θr 之间的坐标变换公式为 .其雅可比行列式 (,) (,) x y r θ∂=∂ . 14. 直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(θϕr 之间的变换公式为 . 其雅可比行列式 (,,) (,,) x y z r ϕθ∂=∂ . 15. 设平面曲线由方程0),(=y x F 给出, 它在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件,则该曲线在点0P 处存在切线和法线,其方程分别为 切线: , 法线: . 16. 设空间曲线由参数方程βα≤≤===t t z z t y y t x x L ),(),(),(:给出, 它在点000000 0(,,)((),(),())P x y z x t y t z t =处的切线和法平面方程为 切线: ,
13数学分析(三)复习范围 一、计算题(每小题10分,共70分) 1. 全微分计算题 2. 求隐函数(组)的一阶偏导数 3. 求抽象函数的二阶偏导数 4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程 5. 求函数的极值 6. 计算第一型曲面积分 7. 计算第二型曲面积分 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算 10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题 13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示 14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分) 15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππ p sin ,计算⎰+∞+01n x dx 类积分值 二、解答与证明题(第小题10分,共30分) 1. 用定义证明多元函数的极限 2. 证明多元函数的连续性 3. 研究含参量积分的一致收敛性 4. 证明含参量非正常积分的连续性 5. 三重积分的证明题 6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题 7. 证明二重极限不存在 8. 多元函数的可微性证明
例题 一、计算题 1. 全微分计算题 公式:du=u x ∂∂dx+u y ∂∂dy+u z ∂∂dz 。 例1:求函数u=22 22 z x x y -+的全微分; 例2:已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数,求z(x,y)的全微分。 2. 求隐函数(组)的偏导数 例3:设z y e z x +=,求y x z ∂∂∂2。 例4:设2x+y+3z=0,x+y+z=e -(x+y+z),求dx dy ,dx dz 。 3. 求抽象函数的二阶偏导数 例5:设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax),求z x u ∂∂∂2,22u y ∂∂其中f 具有二阶连续的偏导数; 例6:设u=f(x 2 -y 2 ,xy e ),求y x u ∂∂∂2,其中f 具有二阶连续偏导数。 4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线 例7:求曲线:x 2+y 2+z 2=6,x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。 例8:求曲线⎪⎩ ⎪⎨⎧=-+-=-++045320 3222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。 例9:求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。 5. 求函数的极值或条件极值 例10:求f(x,y)=e 2x (x+2y+2y 2)的极值。 例11:求抛物线y=x 2和直线x-y-2=0之间的最短距离。 6. 计算第一型曲面积分 例12:计算⎰⎰++S dS zx yz xy )(,其中S 为锥面22y x z +=被曲面x 2+y 2=2ax 所截得的部分。 例13:计算:xyzdS ∑ ⎰⎰,∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。 7. 计算第二型曲面积分 例14:求I=⎰⎰-++S dxdy yz x dydz xy z )()2(22,其中S 是圆柱面x 2+y 2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。 例15:计算⎰⎰∑ +-yzdxdy dzdx y xzdydz 24,其中∑是平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所围成的立方体的全表 面的外侧。 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 例16:计算曲线积分[][] ⎰ -'+-AmB x x dy m e y dx my e y )()(ϕϕ, 其中ϕ(y)和ϕ/ (y)为连续函数,AmB 为连接点A(x 1,y 1)和点B(x 2,y 2)的任何路径,但与线段AB 围成的区域AmBA 的面积为已知常数S 。
一、填空题 1.二元函数z =的定义域为 {}22 (,)01x y x y <+≤ . 2. 二元函数xy y x f =),(的定义域为{}(,)0x y xy ≥ 3.二元函数 x y y x f -= 1),(的定义域为{(,)x y y > 4. 已知1()2Γ=3 ()2 Γ= 5. 已知1()2Γ=7 ()2 Γ=8. 6. 若2(,2)f x x y +z = ,则 z x ∂=∂122xf f + 7. 函数23u x y z =++在点)1,1,1(A 的梯度=)1,1,1(|gradu ___()1,2,3__. 8.设222z y x r ++= ,则gradr = 1 (,,)x y z r 9. 交换积分次序后,1 20 (,)x x dx f x y dy = ⎰⎰ 1 21 1 2 2 (,)(,)y y y dy f x y dx dy f x y dx +⎰ ⎰⎰⎰ 10. 交换积分次序后, 10 (,)dy f x y dx =⎰⎰ 1 (,)dx f x y dy -⎰ . 二、选择题 1. 极限 (,)lim x y →=( A ). A .0 B .1 C .2 D .不存在 2. 极限 22 (,)(0,0)lim x y xy x y →=+( D ). A .0 B .1 C .2 D .不存在 3. 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y x y x y f f 连续是(,)f x y 在该点可微的( A ). A .充分条件而非必要条件 B .必要条件而非充分条件
练习题1 1.0 lim ()x x f x A →= 等价于以下 ( ). (A )00,0,0<|x-x |εδδ∀>∃><当时,有|()|f x A ε-≥; (B )00,0,0<|x-x |εδδ∃>∀><当时,有|()|f x A ε-<; (C )00,0,0<|x-x |εδδ∃>∀><当时,有|()|f x A ε-≥; (D )00,0,0<|x-x |εδδ∀>∃><当时,有|()|f x A ε-<; 2.下列等式成立的是( ). (A )11 sin lim =∞→x x x ; (B )11sin lim 0=→x x x ; (C )1sin lim =∞→x x x ; (D )11 sin 1lim 0=→x x x . 3.a a n n =∞ →lim ,它等价于( ). A.,0,0>∃>∀εN 当ε<->||,a a N n n 时; B.,0>∀ε在{}n a 中除有限个项以外,其余所有项都落在邻域);(εa U 之内; C.{}{}k k a a 212,-都收敛; D.{}n a 中有无穷多个子列都收敛于a . 4. 设{} n a 为单调数列,若存在一收敛子列{} j n a ,这时有( ). A.j n j n n a a ∞ →∞ →=lim lim ; B.{} n a 不一定收敛; C.{} n a 不一定有界; D. 当且仅当预先假设了{} n a 为有界数列时,才有A成立. 5.设)(x f 在0x 可导,则=∆∆--∆+→∆x x x f x x f x ) ()(lim 000 ( ) . A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '- 6. 下列结论中正确的是( ). A.若)(x f 在点0x 有极限,则在点0x 可导. B. 若)(x f 在点0x 连续,则在点0x 可导.
1.计算下列二重积分: (1)⎰⎰ D d xy σ2 ,其中D 由抛物线px y 22=与直线)0(2 >=p p x 所围成的区域; (2) ⎰⎰+D d y x σ)(22,其中{} x y x x y x D 2,10|),(≤≤≤≤=; (3))0(2>-⎰⎰ a x a d D σ,其中为图21-9中阴影部分; (4) ⎰⎰ D d x σ,其中{ }x y x y x D ≤+=22|),(; 解 (1) ⎰⎰D d xy σ2 =⎰ ⎰ -p p p p y xdx dy y 222 2=5 2222211])2()2[(21p dy p y p y p p =-⎰- (2) ⎰⎰+D d y x σ)(2 2 =⎰⎰ -+1022 2 )(x x dy y x dx =105 128 )37(23 1 02 5 = +⎰dx x x (3) = -⎰⎰ D x a dxdy 2⎰⎰ ----a a x a a dy x a dx 0 )(0 2 221=23 0)38 22()2(a dx x x a a a -=--⎰ (4) σd x D ⎰⎰ =⎰⎰--- 1 022 x x x x dy x dx =15 8 121 = -⎰dx x x 2.求由坐标平面及4,3,2=++==z y x y x 所围成的角柱体的体积. 解: 角柱体如图所示,阴影部分为角柱体在xy 平面上的投影区域D . 于是 dxdy z V D ⎰⎰== ⎰⎰--D dxdy y x )4( 655)4()4(3 2 1 40 1 = --+--⎰⎰⎰ ⎰ -x dy y x dx dy y x dx . 3.(1)计算二重积分 ⎰⎰D dxdy x x cos ,其中D 是由2x y =及x y =所围成的区域。 (2)计算二重积分 ⎰⎰-D y x dxdy e ,其中D 由0,2,1,====x y y x y 围成。 (1)解:⎰⎰D dxdy x x cos 2 1 0cos x x x dx dy x =⎰⎰ 1 1 cos cos xdx x xdx =-⎰⎰
第十章曲线积分与曲面积分 (A) 1.计算L x y dx,其中L为连接1,0 及0,1 两点的连直线段。 2.计算L x2 y2 ds ,其中L为圆周x2 y2 ax 。 3.计算x2 y2 ds ,其中L为曲线x acost tsint ,y asint tcost ,L 0t2。 22 4.计算 e x2 y2ds,其中L为圆周x2 y2 a2,直线y x及x轴在第一L 角限内所围成的扇形的整个边界。 44 5.计算x3 y3 ds,其中L为内摆线x acos3t ,y asin3 t 0 t L2 在第一象限内的一段弧。 2 6.计算2z2ds ,其中L 为螺线x acost ,y asint ,L x2y2 z at 0 t 2 。 7.计算xydx ,其中L为抛物线y2 x上从点A1, 1到点B 1,1 的一段弧。 8.计算L x3dx 3zy2dy x 2 ydz ,其中L是从点 A 3,2,1 到点B 0,0,0 的直线段AB 。 9.计算L xdx ydy x y 1dz ,其中L 是从点1,1,1 到点2,3,4 的一段直线。 10.计算L 2a y dx a y dy ,其中L 为摆线x a t sint ,y a1 cost 的一拱(对应于由t从0变到 2 的一段弧): 11.计算L x ydx y x dy ,其中L是: 1)抛物线y2 x上从点1,1 到点4,2 的一段弧; 2)曲线x 2t2 t 1,y t2 1从点1,1到4,2 的一段弧 12.把对坐标的曲线积分L P x, y dx Q x, y dy 化成对弧和的曲经积分,其中L 为: 1)在xoy 平面内沿直线从点0,0 到3,4 ; 2)沿抛物线y x2从点0,0 到点4,2 ; 3)沿上半圆周x2 y 2x 从点0,0 到点1,1 。
第二十二章 曲面积分 1 第一型曲面积分 一、第一型曲面积分的概念 定义1:设S 是空间中可求面积的曲面,f(x,y,z)为定义在S 上的函数,对曲面S 作分割T ,它把S 分成n 个小曲面块S i (i=1,2,…,n), 以△S i 记小曲面块S i 的面积,分割T 的细度T =n i ≤≤1max {S i 的直径}, 在S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n),若极限i n i i i i T S f ∆∑=→1 ),,(lim ζηξ存在, 且与分割T 及(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)的取法无关,则 称此极限为f(x,y,z)在S 上的第一型曲面积分,记作⎰⎰S dS z y x f ),,(. 性质:1、存在性:若f(x,y,z)在光滑曲面S 上连续,则第一型曲面积分存在. 2、可加性:若曲面S 由互不相交的曲面S 1,S 2,…,S k 组成,且 ⎰⎰i S dS z y x f ),,((i=1,2,…,k)都存在,则⎰⎰S dS z y x f ),,(也存在,且 ⎰⎰S dS z y x f ),,(=∑⎰⎰=k i S i dS z y x f 1),,(. 3、线性:若⎰⎰S i dS z y x f ),,( (i=1,2,…,k)存在,c i (i=1,2,…,k)为常数,则 ⎰⎰∑=S k i i i dS z y x f c 1 ),,(=∑⎰⎰=k i S i i dS z y x f c 1 ),,(. 4、若⎰⎰S dS z y x f ),,(与⎰⎰S dS z y x g ),,(都存在,且f(x,y,z)≤g(x,y,z),则 ⎰⎰S dS z y x f ),,(≤⎰⎰S dS z y x g ),,(. 5、若⎰⎰S dS z y x f ),,(存在,则⎰⎰S dS z y x f |),,(|也存在,且
第二十章曲线积分 教学目的:1.理解第一、二型曲线积分的有关概念;2.掌握两种类型曲线积分的计算方法,同时明确它们的联系。 教学重点难点:本章的重点是曲线积分的概念、计算;难点是曲线积分的计算。教学时数:10学时 §1 第一型曲线积分 一. 第一型线积分的定义: 1.几何体的质量: 已知密度函数, 分析线段的质量 2.曲线的质量: 3.第一型线积分的定义: 定义及记法.线积分,. 4.第一型线积分的性质: P198 二. 第一型线积分的计算: 1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th20.1 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则 . ( 证) P199
若曲线方程为: , 则 . 的方程为时有类似的公式. 例1 设是半圆周, . . P200例1 例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2 空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线 ,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有 . 例3计算积分, 其中是球面被平面 截得的圆周 . P201例3 解由对称性知, , =. ( 注意是大圆) §2 第二型曲线积分
一.第二型曲线积分的定义: 1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功: 先用微元法, 再用定义积分的方法讨论这一问题, 得 , 即. 2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例). 设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量. , 因此, . 由, 得 .