数学分析习题精选
数学分析是高等数学中最重要、最基础的一个分支。许多数学
理论和应用都需要借助分析的思想和方法才能得到深入的理解和
深刻的推广。因此，在学习数学的过程中，尤其是进入大学后，
对数学分析的掌握是至关重要的。
众所周知，数学分析的学习光靠课堂讲解是远远不够的，要真
正掌握它，还需要大量的习题实践。因此，习题是巩固数学分析
基础、提高数学分析水平的不可或缺的重要环节。在这里，就为
大家推荐一些数学分析习题，希望能对广大读者的数学学习和提
高有所帮助。
1. 极限和连续
1）证明：$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ = 0.
2）设$f(x)$在$x_0$的邻域内有定义，且极限$\lim_{x \to x_0}
f(x)=A$。证明：对于任意的常数$c_1 3）设$f(x)$在区间$I=[a,b]$上关于$x_0$对称（即$f(2x_0- x)=f(x)$），且在$x_0$处可导。证明：$f(x)$在点$x_0$的左、右 导数相等。 2. 导数和微分 1）设$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(x)$在$\{x_n\}$处取到最大值。证明：$f'(x_n)=0$。 2）设$f(x)$在$(a,b)$内可导，且$f'(a)f'(b)<0$。证明：在区间$(a,b)$内，$f(x)$必有唯一的极值点。 3）$\arctan x$在原点处的任意阶导数。 3. 积分 1）证明：在区间$(0,+\infty)$上，$\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x} dx=\frac{\pi}{2}$。 2）设$f(x)$在区间$[0,1]$上单调递减，$g(x)$在区间$[0,1]$上 连续并且非负。证明：$\int_0^1 f(x)g(x) dx \geq f(1)\int_0^1 g(x) dx$。 3）设$f(x)$在$[a,b]$上连续，$f(x) \geq 0$。证明：$\int_a^b f(x) dx=0$的充分必要条件是$f(x)=0$（几乎处处）。 4. 级数 1）证明：级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$收敛，其和为$\ln 2$。 2）证明：级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$收敛。 3）设$a_n>0$，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛。证明： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n^2}$也收敛。 总之，数学分析是一门重要而美妙的学科，它给我们带来了许 多奇妙和深刻的思想体验。只有不断实践和提高，才能更好地掌 握它，进一步研究和应用它，为我们的数学学习和各个领域的实践应用带来更丰富、更有成效的成果。 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ∀∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ⋅⋅⋅+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞ -=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15 [,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()()f f b f a b a ζ''≥ --. 一. (10分)设数列{}n a 满足 : 1a = , 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的 正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=. 三. (10分)设0n a >,且1 lim 1n n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞ =. 四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且 lim ()x a f x + →,lim ()x b f x - →存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理. 六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2 [()]f x 在a 可导,则函数()f x 在 a 可导. 七. (12分)求函数()1f x x x α αα=-+-在的最大值,其中01α<<. 八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有 12()()f x f x ''≤. 九. (12分)设() ,0()0,0 g x x f x x x ⎧ ≠⎪ =⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '. 《数学分析（三）》作业 一．填空 1． 2221)4ln(x y x z -+--=的定义域是___________。 2．=-+++?→?11lim 2222)00()(y x y x y x _________________。 3． 设??=?=D dxdy y x D 22],1,0[]1,0[则_________________。 4． 设=-+=),(,tan ),(22ty tx f x y xy y x y x f 则______________。 5． =+∞∞→y x y x xy sin ),(),()11(lim ______________。 6．??≤+=+12222)cos (sin y x dxdy y x ______________。 7、函数)1ln(22y x Z --=的定义域是_______。 8、设2 )arctan()arctan(),(??????-+=y x y x y x f ，则_______)231,231(=-+f 。 9、设y x xy Z 3 3+=，则_______45=???y x Z 。 10、设,373 5xy y x z +=则_______426=???y x z 。 11、设平面域[]2,22,2-??? ????-=ππD ，则??=D xdxdy y _______sin 2。 12、若积分域{}x y x y x D -≤≤≤≤=10,10),(，则 ??=D dxdy ______。 二．判断对错 1．{} 2),(x y y x >是无界开区域。 2．若),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f x x y y y y x x →→→→与中有一个不存在，则),(lim )(),(00y x f y x y x →不存在。 数学分析练习题 函数 函数概念 1． 证明下列不等式： (1) x y x y - ≥ - ； (2) 1212n n x x x x x x ++ ≤ +++ ； (3) 1212(||||||n n x x x x x x x x |+++| ≥ ||- + ++） . 2．求证 |||||| 1||1||1||a b a b a b a b + ≤ + ++ + + . 3．求证 ||max(,)22a b a b a b + - = + ； ||min(,)22 a b a b a b + - = - . 4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ ，试求此三角形的面()s θ ，并求其定义域. 5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域. 6．某公共汽车路线全长为 20km ，票价规定如下：乘坐 5km 以下（包括5km ）者收费 1 元；超过 5km 但在15km 以下（包括 15km ）者收费 2 元；其余收费 2 元 5 角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形. 7．一脉冲发生器产生一个三角波. 若记它随时间t 的变化规律为()f t ，且三个角分别有对应关系(0)0f = ，(10)20f = ，(20)0f = ，求()20f t t (0≤≤) ，并作出函数的图形. 8．判别下列函数的奇偶性： (1) 4 2()12 x f x x = + - ； (2) ()sin f x x x = + ； (3) 2 2()x f x x e - = ； (4) ()lg(f x x = . 9．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： 数学分析(三)复习题 一、计算题 1．求二重极限y x x a y x x +→∞→⎪ ⎭⎫ ⎝⎛ +2 11lim ； 2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。 4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。 5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。 6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。 7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。 8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。 9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求 =t dt du 。 10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。 11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C =(2,-2,1)的方向导数。 12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。 13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。 14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。 15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2z y ，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单 位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。 16． 求函数z=arctg x y 在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21,23)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α 的范围为：0≤α<π）。 17. 设数量场u= 2 2 2 z y x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1 练习题1 1. 0 lim ()x x f x A →= 等价于以下 （ ）. （A ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-≥； （B ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-<； （C ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-≥； （D ）00,0,0<|x-x |εδδ?>?><当时，有|()|f x A ε-<； 2．下列等式成立的是（ ）. （A ）11 sin lim =∞→x x x ； （B ）11sin lim 0=→x x x ； （C ）1sin lim =∞→x x x ； （D ）11 sin 1lim 0=→x x x . 3. a a n n =∞ →lim ，它等价于( ). A.,0,0>?>?εN 当ε<->||,a a N n n 时； B.,0>?ε在{}n a 中除有限个项以外，其余所有项都落在邻域);(εa U 之内； C. {}{}k k a a 212,-都收敛； D. {}n a 中有无穷多个子列都收敛于a ． 4. 设{} n a 为单调数列，若存在一收敛子列{} j n a ，这时有( ). A. j n j n n a a ∞ →∞ →=lim lim ； B. {} n a 不一定收敛； C. {} n a 不一定有界； D. 当且仅当预先假设了{} n a 为有界数列时，才有Ａ成立． 5.设)(x f 在0x 可导，则=??--?+→?x x x f x x f x ) ()(lim 000 （ ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '- 6. 下列结论中正确的是（ ）． A.若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导． B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导． 数学分析习题集 第一篇：函数极值与最值 1. 求函数 $f(x)=2x^3-6x^2-12x+20$ 的极值。 2. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+3}$ 的最大值和最小值。 3. 求函数 $f(x)=\ln\left(x^2-2x+3\right)$ 的最大值和最小值。 4. 求函数 $f(x)=\sqrt{2-x-x^2}$ 的最大值和最小值。 5. 求函数 $f(x)=\dfrac{x}{1-x}$ 在 $(- \infty,1)$ 上的最大值和最小值，并说明在何处取得。 6. 已知函数 $y=\sin x+\cos x$，求其最大值和最小值。 7. 已知函数 $y=x^3-3x+2$，求其极值和最值。 8. 求函数 $f(x)=\sin x\cos x+\dfrac{1}{4}$ 的最大值和最小值。 9. 求函数 $f(x)=\dfrac{x^3}{3}- \dfrac{x^2}{2}+x$ 在 $[-1,2]$ 上的最大值和最小值。 10. 求函数 $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ 的最大值和最小值。 第二篇：导数与微分 1. 求函数 $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ 在 $x=2$ 处的导数和微分。 2. 求函数 $f(x)=\ln\left(x^2-2x+3\right)$ 在 $x=1$ 处的导数和微分。 3. 求函数 $f(x)=\sin 2x$ 在 $x=0$ 处的导数和微分。 4. 求函数 $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ 在 $x=2$ 处的导数和微分。 5. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-5x+6}$ 在 $x=1$ 处的导数和微分。 6. 求函数 $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$ 在 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 处的导数和微分。 7. 求函数 $f(x)=\ln\left(\dfrac{x^2}{1- x}\right)$ 在 $x=0$ 处的导数和微分。 8. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{1+\sqrt x}$ 在 $x=4$ 处的导数和微分。 9. 求函数 $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}}$ 在 $x=- 1$ 处的导数和微分。 10. 求函数 $f(x)=x^3-4x^2$ 在 $x=2$ 处的导数和微分。 第三篇：中值定理与极值判定 1. 证明函数 $f(x)=\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调递增，并说明其导数与函数的单调性有何关系。 2. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导且 $f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递增。 3. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导且 $f'(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调递减。 4. 证明函数 $f(x)=x^3-3x$ 在 $(- \infty,+\infty)$ 内有两个极值，并求出其最小值。 5. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且在 $a$ 处有极值，证明其导数在 $a$ 处不存在。 6. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，若 $f(a)\neq f(b)$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内必有 数学分析练习题 数学分析练习题 数学分析是一门重要的数学学科，它研究的是数学中的极限、连续、微分、积 分等概念和性质。通过学习数学分析，我们可以更好地理解和应用数学知识。 而练习题则是巩固和应用所学知识的重要方式。在这篇文章中，我们将探讨一 些数学分析的练习题，帮助读者更好地理解和应用相关概念。 一、极限练习题 1. 计算极限：lim(x→0) (sinx/x)。这是一个经典的极限问题，可以通过泰勒级数 展开或利用极限的定义来求解。通过这个练习题，我们可以加深对极限的理解，并熟悉不同的求解方法。 2. 证明极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。这是一个重要的极限关系，它揭示了自然对数e与指数函数的联系。通过证明这个极限，我们可以深入理解e的定义 和性质。 二、连续性练习题 1. 设函数f(x) = x^2，证明f(x)在区间[0,1]上是连续的。通过证明函数的连续性，我们可以理解连续函数的性质和重要定理，如介值定理和零点定理。 2. 设函数f(x) = |x|，证明f(x)在整个实数轴上是连续的。这是一个稍微复杂一些 的例子，通过证明绝对值函数的连续性，我们可以进一步理解不同类型函数的 连续性。 三、微分练习题 1. 求函数f(x) = x^3的导数。通过求解导数，我们可以熟悉微分的定义和基本 运算法则，并掌握求解各种函数的导数的方法。 2. 求函数f(x) = e^x的高阶导数。通过求解高阶导数，我们可以进一步理解指数函数的性质，并学习应用泰勒级数展开来求解复杂函数的导数。 四、积分练习题 1. 计算定积分：∫(0,1) x^2 dx。通过计算定积分，我们可以熟悉积分的定义和基本运算法则，并理解定积分的几何意义。 2. 计算不定积分：∫(x^2+2x) dx。通过计算不定积分，我们可以掌握积分的基本运算法则，并学习应用不定积分解决实际问题。 通过以上练习题的学习和解答，我们可以加深对数学分析概念和性质的理解，提高数学分析的应用能力。同时，我们还可以通过与他人的讨论和交流，进一步拓宽思路，发现更多有趣的数学问题和解法。 总结起来，数学分析练习题是巩固和应用数学分析知识的重要方式。通过练习题的解答，我们可以加深对数学分析概念和性质的理解，并提高解决实际问题的能力。希望读者通过这些练习题的学习，能够更好地掌握数学分析的知识和方法，为日后的学习和应用打下坚实的基础。 一、（20分，每小题10分）求下列极限： （1）23234lim(1)n n n n n →∞+ ++； （2）011 lim (cot )x x x x →-． 二、（10分）设()f x 在[0,)+∞上可微，0()()f x f x '≤≤且(0)0f =. 证明：在[0,)+∞ 上()0f x ≡． 三、（30分，每小题10分）计算下列积分 （1 ） 0a x ?(0)a >其中． （2）22()D I x y dxdy =+??，其中D 是以a y a x y x y =+==,,和3 (0)y a a =>为边的 平行四边形． （3）222222ln()V x y z I dxdydz a b c =++???，其中V 是椭球体122 2222≤++c z b y a x ． 四、（15分）设)(1x p 为],[b a 上的k 次多项式，)(2x p 为],[c b 上的k 次多项式, )(1x p 和 )(2x p 在点b x =处连续，且一阶到r 阶导数均连续. 证明必存在1--r k 次多项式)(x q ，使得成立)()()()(112x q b x x p x p r +-+=. 五、（15分）设()f x 在[0,)+∞上连续，且lim ()x f x k →+∞ =，0a b <<，证明： ()()((0))ln f ax f bx b dx f k x a +∞ -=-?． 六、（15分）已知y x u arccos =，求二阶偏导数y x u ???2与x y u ???2，并给出二者相等的条件． 七、（15分）利用Lagrange 乘数法,求解2 2),,(y x z y x f +=在1=+y x 条件下的极值. 八、（15分）若L 是平面cos cos cos 50x y z αβγ++-=上的闭曲线，它所包围区域的面积 为A ，求： cos cos cos L dx dy dz x y z α β γ??，（其中L 依正向进行）． 九、（15分）设()f x 在[,]a b 上连续可导，但不是常数，且有()()0f a f b ==，则在[,] a b 上至少存在一点ξ，使得 2 4()()()b a f f x dx b a ξ'> -? ． 4 数学分析练习题 1.函数f^y) = x2y-xe y在(1 ,0)处方向导数的最大值等于 什2兀+ X Lk心------------------------- 3 设/“)是连续函数，J=L/(x) = x + 2p(r)Jr,M/(x) = 5.函数项级数u n(x)在£)上一致收敛于函数S(Q的(w,N)定义是 n=l 6. 7.由曲线y = J｛x) , x = a , x = b和尤轴围成的llll边梯形绕尤轴旋转的旋转体体积 V v= 严dx 8已知反常积分Jo 甬尹收敛于1,则比= 0 1 9.求级数2 + 4 + - + 100 +工莎的和S = _________ /I=I 2 10设。00,兄=1,2,….且｛皿“｝有界，则工盗的敛散性为_______ • 11.函数/W = c A的幕级数展开式为___________________________ . 12.设平面点集E G/?2,点A W R2，“ A为E的内点”的定义是： __________ _______ 见p86 __________________________________________________________ .1 . 1 ° xsin —+ ysin-, xy H 0 “、 13 若 f(x,y)= y - x - ,(X,)，)H(0,0)则二重极限r hm f(x9y) = 0, 巧=0 14函数z =兀v，则全微分dz = ____________________ . 15 设/(x,y,?)=A>2+yF，则y 在点Po(2,_l,l)的梯度为 16.改变累次积分/=pA^7(x,.y)6/y的次序，则". 17以曲面z = Ax j)(其屮几叨)20)为顶，gy平面上的区域D为底的町顶柱体的体积 18函数z是由方^.e x -xyz = 0所确定的二元函数，贝ij全微分dz\{}}= _____ ・ 一、选择题 1.若0 () lim 1sin x x x φ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。 A.sin ||x B.ln(1)x - C. 1 1.【答案】D 。 2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0() lim 1tan sin x f x x x →=-则'''f (0)=（ ） A.5 B.3 C.1 D.0 2. 【 答 案 】 B. 解 析 由 洛 必达 法 则 可 得 300 02() '() ''() lim lim lim 1 tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x x x x -→→→==-+-42200''()''() lim lim 16cos sin 2cos cos 21 x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3x B.3 4 x C.3 2 x D.x 3.【答案】A.解析 .1 2 2 33 31233 2000311(1)1133lim lim (1)3313 x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。 4.函数2sin f ()lim 1(2)n n x x x π→∞=+的间断点有（ ）个 A.4 B.3 C.2 D.1 4.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故 20.5sin 12lim 1(2(0.5))2n x π →-- =- +⨯-， 20.5sin 12lim 1(20.5)2n x π →= +⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。 5.已知()bx x f x a e =-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ） 数学分析精选习题 数学分析是一门基本学科，是其他大多数数学分支学科的基础 和突破口。学习数学分析时，除了理论知识的掌握，习题的做法 与解法也是非常重要的一部分。下面我将介绍一些精选的数学分 析习题。 一、一元积分学 1、计算定积分 $\int_{1}^{2}(x-1)^{2} dx$ 分析：将 $(x-1)^{2}$ 展开后，进行积分，得到 $\int_{1}^{2}x^{2}-2x+1dx$，计算可得 $\frac{1}{3}$。 2、计算定积分 $\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x+1)^{2}}$ 分析：利用换元法可得到$\int\frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+C$，代回原式，得到$\left[-\frac{1}{x+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$。 二、多元积分学 1、计算二重积分 $\iint_{D}xydxdy$，其中 $D=\{(x,y)|1\leq x\leq 2,0\leq y\leq1\}$ 分析：直接进行积分即可得到 $\frac{3}{4}$。 2、计算三重积分 $\iiint_{\Omega}xe^{x}\sin y dxdydz$，其中$\Omega=\{(x,y,z)|0\leq x\leq 1,0\leq y\leq\pi,0\leq z\leq2\}$ 分析：先对 $x$ 进行积分，得到 $\frac{1}{2}(e-e^{0})$，然后对 $y$ 进行积分，得到0，最后对 $z$进行积分，得到 $2(e-1)$。 三、微分方程 1、求解微分方程 $\frac{dy}{dx}+y=1-x$，$y(0)=0$。 分析：通过对变量分离的方法，得到 $y=1-x-Ce^{-x}$，代入初始条件，得到 $y=1-(x+1)e^{-x}$。 2、求解微分方程 $\frac{dy}{dx}-y=x^{2}$。 数学分析习题集精选精解 数学分析是现代数学基本学科之一，概念、定理、方法极其丰富，涉及范围极其广泛，理论和应用十分重要。数学分析学科的 理论极为严谨、精细，在应用中有着很高的实用价值。 然而，数学分析作为一门极其理论化和抽象的学科，其学习过 程十分困难。在学习和掌握数学分析的过程中，大量的习题训练 和解题经验显得尤为重要。因此，一本好的数学分析习题集对于 学习数学分析的人来说是非常有用的。 习题集可以提供给学生大量的题目，学生可以进行大量的练习，以掌握和加深自己对于数学分析的理解。同时，解题集中也会对 一些题目进行深入的解析，帮助学生更好的理解和掌握知识点。 针对这一需求，近年来出版了一些比较好的数学分析习题集。 本文将针对这些习题集进行简单的介绍和评价。 《数学分析习题集》（第二版）——郭宗明 这本习题集是一个经典的数学分析习题集，由中科院数学所的 郭宗明教授编写。该习题集考虑了教育和考研两个层面的需求， 涵盖了数学分析的大部分重点和难点。 该习题集的特点是难度适中，覆盖面广，注重题目选材，力求 每道题目既能锻炼基本功，又有一定的深度和难度，可以让读者 逐步进阶。同时，该习题集对每个章节进行了详细的解答和思路 分析，帮助读者快速理解和掌握相关知识点。 《高等数学分析与解题技巧》——朱松纪 朱松纪老师是清华大学数学系的教授，他的这本习题集主要针 对的是高等学校数学专业的学生，涵盖了数学分析的大部分知识 点和考点。 该习题集的特点是题目种类多样，难度较大，既包括基本习题，也包括难度较高的例题，适合于有一定基础的学生进行练习。同时，该习题集的解答也包含深入的思路分析和讨论，对于加深学 生对于数学分析的理解非常有帮助。 数学分析十讲习题册、课后习题答案_ 数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-1 1．计算下列极限（1）, 解：原式= == （2）； 解：原式（3）解：原式（4），解：原式（5）解：原式= （6），为正整数； 解：原式2．设在处二阶可导，计算. 解：原式3．设，，存在，计算. 解： 习题1-2 1.求下列极限（1）; 解：原式，其中在与之间（2）; 解：原式===，其中在与之间（3）解：原式，其中在与之间（4）解：原式，其中其中在与之间2．设在处可导，，计算. 解：原式习题1-3 1．求下列极限（1）, 解：原式（2）; 解： （3）; 解：原式（4）; 解：原式2. 求下列极限（1）; 解：原式（2）; 解：原式习题1-4 1．求下列极限（1）； 解：原式（2）求； 解：原式（3）； 解：原式（4）； 解：原式此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为，所以从而解得： 3．设在处二阶可导，用泰勒公式求解：原式4. 设在处可导，且求和. 解因为所以,即所以习题1-5 1. 计算下列极限(1) ; ; 解：原式(2) 解：原式2．设，求(1) ； 解：原式(2) ，解：由于，所以3．设，求和. 解：因为，所以且从而有stolz定理，且所以，4．设，其中，并且，证明：. 证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证，。 又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记在两边令，可得所以习题1-6 1. 设在内可导，且存在. 证明: 证明： 2. 设在上可微，和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则 从而所以 3. 设在上可导，对任意的, ，证明:. 证明：因为，所以，由广义罗必达法则得4．设在上存在有界的导函数，证明:. 证明：，有界，，所以习题2-1 （此题已换）1. 若自然数不是完全平方数，证明是无理数. 1.证明是无理数证明：反证法. 假若且互质，于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾2. 求下列数集的上、下确界. （1）解： （2）解： （3）解： （4）. 解： 3．设，验证. 证明：由得是的一个下界. 另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在区间中必有有理数，则且不是的下界.按下确界定义， . 4．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明：设为数集的上确界，即.按定义，有.若也是的上确界且 .不妨设，则对有即矛盾. 下确界的唯一性类似可证习题2-2 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证明：设是的一个下界，不是的下界，则. 令，若是的下界，则取； 若不是的下界，则取. 令，若是的下界，则取； 若不是的下界，则取； ……，按此方式继续作下去，得一区间套，且满足： 是的下界，不是的下界. 由区间套定理，且. 下证： 都有，而，即是的下界. 由于，从而当充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界2. 设在上无界.证明：存在, 使得在的任意邻域内无界. 证明：由条件知，在上或上无界，记使在其上无界的区间为； 再二等分，记使在其上无界的区间为，……，继续作下去，得一区间套，满足在上无界. 根据区间套定理，，且. 因为对任意的，存在，当时，有，从而可知在上无界3.设,在上满足,,若在上连续, 在上单调递增. 证明：存在,使. 证明：记且二等分.若，则记若则记. 类似地,对已取得的二等分,若，则记； 〔十六〕数学分析2考试题 一、单项选择题〔从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号，每题2分，共 20分〕 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是〔 〕 A 连续 B 有界 C 无连续点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则〔 〕 A ⎰⎰ =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=⎰-a a dx x f C ⎰⎰ -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =⎰- 3、 以下广义积分中，收敛的积分是〔 〕 A ⎰ 1 1dx x B ⎰ ∞ +1 1dx x C ⎰+∞ sin xdx D ⎰ -1 13 1dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 局部和有界且0lim =∞ →n n a 的〔 〕 A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、以下说确的是〔 〕 A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a 〔*〕，且a n 〔*〕可导，则〔 〕 A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a 〔*〕可导 C ⎰∑⎰ =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a 〔*〕必连续 7、以下命题正确的选项是〔 〕 A )(1x a n n ∑∞ =在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛 B )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛 C 假设0|)(|lim =∞ →x a n n ，则 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]必绝对收敛 D )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ] 条件收敛必收敛 数学分析习题精选徐森林pdf 在数学学习中，练习是非常重要的一环。而对于数学分析这门 学科来说，习题更是不可或缺的。习题能够帮助学生深化对知识 点的理解，提高解题能力，并且是检验掌握程度的重要手段。因此，选择一本优秀的数学分析习题集也是非常必要的。 徐森林的《数学分析习题精选》（下称《习题精选》）便是一 本不错的选择。徐森林作为北京大学数学系教授，对于数学分析 这门学科有着深厚的研究和教学经验。在《习题精选》中，他从 自己多年的教学经验出发，将大量的数学分析习题进行了分类和 整理，不论是难度还是涉及知识点，都非常全面并且细致。 《习题精选》一共包括了26章，涵盖了微积分、重积分、级 数等多个方面的内容。每一章的题目分为基础题和拓展题两部分，基础题用来帮助学生巩固基本知识并熟练掌握基本解题方法，而 拓展题则涉及一些更深入的理论和技巧，帮助学生拓展视野和提 高思维能力。 在解题过程中，每个步骤都有详细的解答。对于某些题目，有 多种不同的解法，这样可以让学生更好地掌握多种解题思路。此 外，这本书的编排也很合理，题目难度逐渐递增，让学生可以循 序渐进地提高自己的解题能力。 同时，徐森林的《习题精选》也不是单纯的题目集，而是将题 目和理论相结合，把知识点和题目紧密联系在一起。在书的前半 部分，徐教授对于每一章节的基本概念和定理都有很详细的讲解，这样可以让学生更好地把握课本中的重点和难点。 尽管《习题精选》的优点很多，但也不可避免地会有一些不足 之处。例如，因为徐森林对于数学分析的要求较高，部分习题对 于普通学生来说可能会稍显困难。因此，如果学生选择《习题精选》作为自己的练习材料，最好能够结合自己的程度适当选择题目，并且有一些相关的基础知识。 总之，徐森林的《数学分析习题精选》是一本值得学生借鉴的 优秀的习题集。相较于市面上其他的习题集，它的优点在于难度 适中、涉及面广、编排合理，更加符合大多数学生的学习需要。 对于那些想要提高自己数学分析解题能力的同学来说，这本书是 个不错的选择。 数学分析题库（1-22章） 四．计算题、解答题 求下列极限 解：１.∞=+=--+=--∞→∞→∞→)2(lim 2 ) 2)(2(lim 24lim 2n n n n n n n n n ２． 11 1 lim(1)1223 (1) n n n →∞ + +++ ⋅⋅+ 1111 11 lim(1)1223 1 1 lim(1)11 n n n n n →∞→∞=+-+-++ -+=-=+ ３．11 1cos lim cos 1lim 00===-→→x e x e x x x x ４.这是 型，而 )1() 1ln()1()1(]111)1ln(1[)1(][])1[(21 2 1)1ln(1 1x x x x x x x x x x x e x x x x x x +++-+=+⋅++- +=' ='++ 故 原极限＝12 (1)ln(1) lim(1) (1) x x x x x x x x →-++++ 2 001ln(1)1lim 2311 lim 261x x x e x x e x x →→-+-=⋅+-=⋅⋅=∞ ++ 5 3)1(lim ) 1()1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→n n n n n n n n n n n 6 2 11lim(1)n n n n →∞ + + 22 (1)121lim(1)1 n n n n n n n n +⋅+→∞ =+ + 因1) 1(lim 2=+∞→n n n n ， ∞=+∞→1lim 2n n n 故原极限＝e e =1 . 7． 用洛必达法则 33 3sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim 6 6 =--=-→→x x x x x x ππ 8. 00111lim()lim 1(1) x x x x x e x x e x e →→---=-- 0011 lim lim 122 x x x x x x x x e e xe e xe e →→-===+-+ 9. x x x x x sin tan lim --→; 解法1： 200tan sec 1 lim lim sin 1cos x x x x x x x x →→--=-- 2201cos lim cos 1cos x x x x →-=-（） 201cos lim cos 2 x x x →+== 解法2： 2002030tan sec 1lim lim sin 1cos 2sec tan lim sin 2 lim cos 2 x x x x x x x x x x x x x x →→→→--=--=== 10． 10 lim(sin 2cos )x x x x →+ P94 1．已知直线运动方程为2 510t t s +=。分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从4=t 至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及4=t 时的瞬时速度。 2．等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义. 3．设0)(0=x f ,4)(0='x f ,试求极限x x x f x ∆∆+→∆)(lim 00 4．设⎩⎨⎧<+≥=3 3)(2x b ax x x x f ，试确定a ，b 的值，使f 在3=x 可导。 5．试确定曲线x y ln =上哪些点的切线平行于下列直线： （1）1-=x y （2）12-=x y 6．求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程： （1）)1,2(,2P x y = (2）)1,0(,cos P x y = 7．求下列函数的导数： （1）3 ||)(x x f = （2）⎩⎨⎧<≥+=0101)(x x x x f 8．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x x x x f m （m 为正整数）,试问： (1)m 等于何值时，f 在0=x 连续； (2）m 等于何值时,f 在0=x 可导； (3）m 等于何值时，f '在0=x 连续。 9．求下列函数的稳定点： （1)x x x f cos sin )(-= (2）x x x f ln )(-= 10．设函数f 在点0x 存在左右导数，试证f 在点0x 连续. 11．设0)0()0(='=g g ，⎪⎩ ⎪⎨⎧=≠=000,1sin )()(x x x x g x f ，求)0(f ' 12．设f 是定义在R 上的函数，且对任何R x x ∈21,，都有 )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 若1)0(='f ,证明对任何R x ∈,都有)()(x f x f =' 13．证明：若)(0x f '存在，则)(2)()(lim 0000x f x x x f x x f x '=∆∆--∆+→∆ 14．证明：若函数f 在],[b a 上连续，且K b f a f ==)()(,0)()(>'='-+b f a f ，则在),(b a 内至少有一点ξ，使K f =)(ξ 15．设有一吊桥，其铁链成抛物线型，面端系于相距100米高度相同的支柱上,铁链之最低点在悬点下10米处,求铁链与支柱所成之角. 16．在曲线3 x y =上取一点P ,过P 的切线与该曲线交于Q ，证明:曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍. P 。103习题 4．对下列各函数计算)1(),1(),(-'+''x f x f x f (1）3)(x x f = （2）3)1(x x f =+ (3）3)1(x x f =- 6．设f 为可导函数,证明:若1=x 时有 )()(22x f dx d x f dx d =, 则必有0)1(='f 或1)1(=f P.105习题 4．证明曲线⎩ ⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x ,（0>a ）上任一点的法线到原点距离等于a . 5．证明:圆θsin 2a r =（0>a ）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角。 6．求心形线)cos 1(θ+=a r 的切线与切点向径之间的夹角. P.109习题 七章 实数的完备性 判断题： 1. 1. 设 11,1,2,2H n n n ⎧⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭为开区间集,则H 是(0, 1 )的开复盖. 2. 2. 有限点集没有聚点. 3. 3. 设S 为 闭区间 [],a b , 若,x S ∈则 x 必为S 的聚点. 4. 4. 若lim n n a →∞存在, 则点集{}n a 只有一个聚点. 5. 5. 非空有界点集必有聚点. 6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集. 7. 7. 如果闭区间列{}[,]n n a b 满足条件 11[,][,],1,2, n n n n a b a b n ++⊃=, 则闭 区间套定理成立. 8. 8. 若()f x 在[,]a b 上一致连续, 则()f x 在[,]a b 上连续. 9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界. 10. 10. 设()f x 为R 上连续的周期函数, 则()f x 在R 上有最大值与最小值. 答案: √√√√×××√√√ 证明题 1. 1. 若A 与B 是两个非空数集,且,,x A y B ∀∈∈有 x y ≤, 则sup inf A B ≤. 2. 证明: 若函数()f x 在(,)a b 单调增加, 且(,)x a b ∀∈, 有()f x M ≤(其中M 是常 数), 则 ,c M ∃≤ 使 lim ()x b f x c -→=. 3. 证明: 若E 是非空有上界数集, 设 sup ,E a =且 a E ∉, 则 存在数列 1,,n n n x E x x n N +∈<∈, 有 lim n n x a →∞=. 4. 证明: 函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔函数()f x 在开区间(,)a b 连续, 且(0)f a +与(0)f b -都存在. 5.设{}n x 为单调数列,证明: 若{}n x 存在聚点,则必是唯一的, 且为{}n x 的确界. 6. 证明: sin ()x f x x = 在()0,+∞上一致连续. 7. 证明: {}n x 为有界数列的充要条件是{}n x 的任一子列都存在其收敛子列. 8. 设()f x 在[],a b 上连续, 又有{}[],n x a b ⊂, 使 lim ()n n f x A →∞=. 证明: 存在 []0,x a b ∈, 使得 0()f x A =. 答案 1.证明: 设sup ,inf .A a B b == 用反证法. 假设 s u p i n f A B > 即 ,b a <有 2a b b a +<<, 一方面, sup ,2a b a A +<= 则存在 00,; 2a b x A x +∈<另一 方面, inf ,2a b b B +=< 则00,2a b y B y +∃∈< . 于是, 00,x A y B ∃∈∈有00 2a b y x +<<, 与已知条件矛盾, 即 sup inf A B ≤.数学分析试卷及答案6套
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