高中数学导数与积分知识点
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
用导数求切线方程的四种类型84657
题型一：利用导数去切线斜率 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为 解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，． 类型二：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例3 求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程． 题型二：利用导数判断函数单调性 总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求f(x)的导数f'(x)； （3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； （4）解不等式 f'(x)<0 ，解集在定义域内的部分为 减区间． 例1.：已知导函数 的下列信息： 注意： x x x f x x x f x x x x f ln 2 1 )()3(7 62)()2(),0(,sin )()1(223-=+-=∈-=π图像的大致形状。 试画出或当或当当)(0)(,1,40)(,1,40)(,41x f x f x x x f x x x f x ='==<'<>>'<<3211 11(1)2231(11)y x y x x =-+-=-+-练习：、在，处的切线方程 、在，处的切线方程1(01)x y xe =+-3、曲线在，处的切线方程sin 20x y x e x =++=5、曲线在处的切线方程
利用导数求切线的方程
利用导数求切线的方程 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．已知曲线21y x =-在0x x =处的切线与曲线31y x =-在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为（ ） A ．0 B C ．0 D 2．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点A 处的切线方程是（ ） A.02=-y x B.02=+y x C.0144=+-y x D.0144=++y x 3．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A B 、22e C 、2e D 4．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A.)1(2-=x e y B.1-=ex y C.)1(-=x e y D.e x y -= 5．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-距离的最小值为（） A ．1 B C D 6处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ） A D 7处的切线平行于x 轴, 则()0f x =（ ） A C D ．2e 8上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为（ ） A B ．3 C D ．6 第II 卷（非选择题） 二、填空题 9在点()1,1处的切线与曲线x y e =在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 __________.
10．曲线cos y x x =-在点___________． 11．已知直线01=+-y x 与曲线的值为 ． 12．若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线，则实数b 的值为 ． 13．若直线y x b =+是曲线 14．已知函数()tan f x x =，则__________. 15在点()()1,1f 处的切线方程是 . 16．设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为______． 17．已知曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则实数a b +的值为____________． 18．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为________． 19__________． 三、解答题 20．求曲线3 =y=f(x)(2x-2)在点（2,8）处的切线方程（一般式） 参考答案
高中高考数学专题复习《函数与导数》
高中高考数学专题复习<函数与导数> 1．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ） A ．1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2．函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ．y y C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 4．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ） A ．x x f ?? ? ??=23)( B ．1)(2+=x x f Ｃ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -= 5．已知0,0a b >>，且12 (2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．12 D ．34 6．下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1-??? ??=x y B ．2 2-?? ? ??=x y C ．3 2-=x y D ．()3 2--=x y 7．)43lg(12x x y -++=的定义域为（ ） A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8．如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数，则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）
高中数学(函数和导数)综合练习含解析
高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型 浙江 曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为 (1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴． 由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．
高中数学 多项式函数的导数素材
多项式函数的导数 教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点：导数运算法则的应用 教学难点：多项式函数的求导 一、复习引入 1、已知函数2)(x x f =，由定义求)4()(/ /f x f ，并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数： （1）常数函数C y = （2）函数)(*N n x y n ∈= 二、新课讲授 1、两个常用函数的导数： 2、导数的运算法则： 如果函数)()(x g x f 、有导数，那么 也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数. 例1：求下列函数的导数： （1）37x y = （2）43x y -= （3）3 534x x y += （4）)2)(1(2-+=x x y （5）b a b ax x f 、()()(2+=为常数 )
例2：已知曲线331x y =上一点)3 82(，P ，求： （1）过点P 的切线的斜率； （2）过点P 的切线方程. 三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习：1、求下列函数的导数： （1）28x y = （2）12-=x y （3）x x y +=2 2 （4）x x y 433-= （5）)23)(12(+-=x x y （6）)4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A （4，0），B （2，4），求： （1）割线AB 的斜率AB k ；（2）过点A 处的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M （2，6）处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数： （1）1452+-=x x y （2）7352++-=x x y （3）101372-+=x x y （4）333x x y -+= （5）453223-+-=x x x y （6）)3)(2()(x x x f -+= （7）1040233)(34-+-=x x x x f （8）x x x f +-=2)2()( （9）)3)(12()(23x x x x f +-= （10）x x y 4)12(32-+= 2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。 3、求抛物线241x y = 在2=x 处及2-=x 处的切线的方程。 4、求曲线1323+-=x x y 在点P （2，－3）处的切线的方程。
高二数学 几种常见函数的导数
高二数学 几种常见函数的导数 一、教学目标：熟记公式(C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=??? ??．x x 21 )'(= 二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础. 教学难点：灵活运用五种常见函数的导数. 三、教学过程： （一）公式1：(C )'＝0 (C 为常数)． 证明：y ＝f (x )＝C , Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝C －C ＝0, ,0=??x y .0lim ')('0=??==∴→?x y C x f x 也就是说，常数函数的导数等于0． 公式2： 函数x x f y ==)(的导数 证明：（略） 公式3： 函数2)(x x f y ==的导数 公式4： 函数x x f y 1)(==的导数 公式5： 函数x x f y ==)(的导数 （二）举例分析 例1. 求下列函数的导数． ⑴3x ⑵21x ⑶x 解：⑴=')(3x 133-x 23x = ⑵='?? ? ??21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(2 1'x 12121-=x 2121-=x .21x = 练习
求下列函数的导数： ⑴ y ＝x 5； ⑵ y ＝x 6； （3）;13x y = （4）.3x y = （5）x x y 2= 例2．求曲线x y 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。 例3．已知曲线2x y =上有两点A （1，1），B （2，2）。 求：（1）割线AB 的斜率； （2）在[1，1+△x ]内的平均变化率； （3）点A 处的切线的斜率； （4）点A 处的切线方程 例4．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0 的最短距离． （三）课堂小结 几种常见函数的导数公式 (C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=?? ? ??．x x 21)'(= （四）课后作业 《习案》作业四
利用导数求函数切线方程
利用导数求函数切线方程 摘要：导数是高中数学学习中分析和解决问题的有效工具，其中，导数在求解函数切线方程的应用中有很强的功能。本文采用“目标法”，通过对几个用导数求函数切线方程的例子的剖析，给出这类题的解题思路和技巧，让大家更深入地理解如何用“目标法”解决用导数求函数切线方程的问题，并在解题过程中通过“目标法”寻找策略，发现疏漏，同时展示高考题中用导数求切线方程的缜密的数学逻辑思维过程。 关键词：导数；切线方程；目标法；解题思路；数学逻辑 前言 导数作为高中教材必学内容之一，无论是在高中生的平时学习或者是在高考试题中，都毫无疑问的占有一席之地，已经有很多的教育工作者对有关导数在高中学习中的重要性和应该注意的一些问题进行了研究。付禹[1]采用问卷调查法，通过分析学生在测试中出现的问题和错误，对学生在学习“导数及其应用”中遇到的困难进行了分析。在高考试题中，导数已经从作为解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题必不可少的工具[2]。而且，导数的广泛应用，也成为新教材高考试题的热点和命题的增长点[3]。可见，导数在高中学习中占有重要的位置。应用导数求函数的切线方程，这是导数的一个重要应用，对于高中生来说，也还存在一些解题误区，高春娇[4]对此做了分析。针对导数在求函数的切线方程中的重要性和高中生在学习过程中遇到的问题，作者主要想从一个高中生的视角，结合自己的解题经验，总结利用导数求函数切线方程的要点，并发现了解决导数问题的有效工具——“目标法”，同时在应用时体现数学的逻辑。希望对正在学习导数及其应用的高中学生有一定的帮助。文中选取的一些例题，主要来源于参考文献[5]，作者从另一角度给出了解题的思路和步骤，以及解答的过程，同时给出了解题中应该要注意到的诸多的细节问题，以期读者能掌握良好的做题习惯，感受强大的数学逻辑。 1用“目标法”解决用导数求函数的切线方程
(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线
利用导数求曲线的切线和公切线 一.求切线方程 【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1. (1)求在点P（1,0）处的切线l 1 的方程； (2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l 2 的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二.有关切线的条数 【例2】．（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣或x=， ∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1， ∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为． （Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x 0，y ）， 则y 0=2﹣3x ，且切线斜率为k=6﹣3， ∴切线方程为y﹣y 0=（6﹣3）（x﹣x ）， ∴t﹣y 0=（6﹣3）（1﹣x ），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3， 则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值． ∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1， ∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）． （Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．
利用导数求切线的方程教案资料
利用导数求切线的方 程
利用导数求切线的方程 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．已知曲线21y x =-在0x x =处的切线与曲线31y x =-在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为（ ） A ．0 B ．23 C ．0或23- D ．23 - 2．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)2 1,41(A ，则它在点A 处的切线方程是（ ） A.02=-y x B.02=+y x C.0144=+-y x D.0144=++y x 3．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A 、294e B 、22e C 、2e D 、22e 4．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A.)1(2-=x e y B.1-=ex y C.)1(-=x e y D.e x y -= 5．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-距离的最小值为（） A ．1 B C ． 2 D 6．曲线cos 16y ax x =+在2x π= 处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ） A ．2π- B ． 2 C ．2 π D ．2π- 7在点()()00,x f x 处的切线平行于x 轴, 则()0f x =（ ） A ．2e 8．曲线31()(0)f x x x x =->上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为（ ） A B ．3 C ．．6
第II 卷（非选择题） 二、填空题 9．设曲线1y x =在点()1,1处的切线与曲线x y e =在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 __________. 10．曲线cos y x x =-在点,22ππ?? ??? 处的切线的斜率为___________． 11．已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ． 12．若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12 y x b =+，则实数b 的值为 ． 13．若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = ． 14．已知函数()tan f x x =，则()f x 在点(,())44 P f ππ处的线方程为__________. 15．函数()x x f x e =在点()()1,1f 处的切线方程是 . 16．设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为______． 17．已知曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则实数a b +的值为____________． 18．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为________． 19．曲线1x y x = +在点11,2?? ???处的切线方程为__________． 三、解答题 20．求曲线3=y=f(x)(2x-2)在点（2,8）处的切线方程（一般式）
高中数学函数与导数常考题型归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.
导数之一：导数求导与切线方程
本章节知识提要 考试要求1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何 意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝ x 1，y ＝x 的导数； (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数. 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)； (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念； (2)了解微积分基本定理的含义 导数（1）：求导与切线 ?知识点梳理? 1. 求导公式与求导法则：
0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x sin )'(cos -= x x 1)'(ln = ； x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2. 法则1 )(.))'(('=x f c x cf 法则2 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±． 法则3 [()()]'()()()f x g x f x g x f x g x '= +, [()]'(cf x cf x '= 法则4：'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠ ??? 3．利用导数求曲线的切线方程：函数()y f x =在点0x 的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是0()f x '，切线的方程为000()()y y f x x x '-=- 曲线f (x )在A （m,n ）处的切线方程求法： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②求值：f ′(m )得过A 点的切线的斜率 ③由点斜式写出切线方程：y –n = f ′(m )(x-m) ?精选例题? 例1．求下列函数的导函数 1. x x f =)( 2.2)(e x f = 3.y=2x+3 4.x x f = )( 5.y=x 2+3x-3 6. 1y x = 7. x x x f ln 2)(= 8. 32)sin()(x x x f += 9. x x x x f 2ln )(+= 例2：.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。 例3：已知曲线313y x =上一点P （2，38 ），求点P 处的切线的斜率及切线方程？
高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二
高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）． （1）若y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，求a的值； （2）若f（x）≥1+x+lnx，求a的取值范围． 10．已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 11．已知函数f（x）=alnx x+1 +b x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3 ＝0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx x?1．
12．已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx （a ∈R ）． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣1＝0，求a 的值； （2）若f （x ）的导函数f '（x ）存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f （x ）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由． 13．已知函数f （x ）＝4lnx ﹣ax +a+3 x （a ≥0） （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a ≥1时，设g （x ）＝2e x ﹣4x +2a ，若存在x 1，x 2∈[1 2，2]，使f （x 1）＞g （x 2）， 求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…） 14．已知函数f （x ）＝a x +x 2﹣xlna （a ＞0且a ≠1） （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；
2020高考数学函数与导数综合题型分类总结
函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．
2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题
2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->
高中数学函数与导数练习题
1、讨论函数在内的单调性 2、作出函数22||3y x x =--的图像，指出单调区间和单调性 3、求函数[]()251x f x x = -在区间，的最大值和最小值 4 、使函数y = 的最小值是 2的实数a 共有_______个。 5、已知函数()f x 的定义域为R ，且对m 、n R ∈，恒有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()02f -=，当12 x >-时，()0f x > （1）求证：()f x 是单调递增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 6、已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(23)f x f x -<-，求x 的取值范围。 四、强化训练 1、已知()f x 是定义在R 上的增函数，对x R ∈有()0f x >，且(5)1f =，设1()()()F x f x f x =+，讨论()F x 的单调性，并证明你的结论。 2、设函数2 ()22f x x x =-+（其中[,1]x t t ∈+，t R ∈）的最小值为()g t ，求()g t 的表达式 3、定义域在(0,)+∞上的函数()f x 满足：（1）(2)1f =；（2）()()()f xy f x f y =+； （3）当x y >时，有()()f x f y >，若()(3)2f x f x +-≤，求x 的取值范围。 4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈， 都满足()()()f ab af b bf a =+ （1）求(0)f ，(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性，并加以证明 223f(x)x ax =-+(2,2)-
高中数学函数与导数常考题型整理归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ?? ??0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ??1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ????1a ＝ln 1a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ??1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解.
