托勒密定理
【定理内容】
圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形 ABCD 内接于圆，
则有 AB CD AD BC AC BD.
A
D
B
C
[ 评 ] 等价叙述：四边形的两组对边之积的和等于两对角线之积的充要条件是四顶点共圆。
【证法欣赏】
证明：如图，过 C 作CP 交 BD 于P ，使
1 2,
∵ 34, ∴ ACD ∽ BCP, ∴
AC
AD
，即AC BP BC AD ①
BC BP
又 ACB DCP ， 5 6，∴ ACB ∽ DCP ,
∴
AC
AB
，即AC DP AB DC ②
DC
DP
∴①＋②得： AC ( BP DP) BC AD
AB DC
即AB CD AD BC AC BD
【定理推广】
托勒密定理的 推广：
在四边形 ABCD 中，有 AB CD AD BC 内接于圆时，等式成立。
[ 证 ] 在四边形 ABCD 内取点 E ，使 BAE
则 ABE ∽ ACD
∴
AB BE AE ， AC
CD AD ∴ AB CD AC BE ；
∵ AB
AE
，且 BACEAD
AC AD
AC BD ；当且仅当四边形 ABCD
CAD ， ABE
ACD
A
D
E
∴
ABC ∽ AED
∴ BC
ED
，即 AD BC
AC ED ；
AC AD
∴AB CD AD BC AC
(BE ED )
∴ AB CD AD BC AC BD
当且仅当 E 在 BD 上时“ =”成立，
即 当且仅当 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆时成立；
【定理推广】
托勒密定理的 推论：
等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积．
即：若四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AD // BC ，
则 AC 2 AB 2
AD BC .
分析：因为等腰梯形必内接于圆， 符合托勒密定理的条件， 其对角线相
等，两腰相等，结论显然成立。 【定理应用】
【例 1】 如图， P 是正
ABC 外接圆的劣弧 BC 上任一点 (不与 B 、 C 重合 )，
求证： PA PB
PC ．
A
证明：由托勒密定理得：
PA BC
PB AC PC AB
∵ AB BC CA
∴PA
PB PC.
B
C
P
[ 注 ] 此例证法甚多，如“截长”、“补短”等，详情参看《初中数学一题多解欣赏》 ．
【定理应用】
【例 2】 证明“勾股定理”：
已知：在 Rt ABC 中，
B 90 ，
求证： AC 2 AB 2 BC 2。
证明：如图，以 Rt ABC 的斜边 AC 为对角
线作矩形 ABCD ，则 ABCD 是圆内接四边形．
由托勒密定理，得
ACBD ABCD ADBC①
∵ ABCD 是矩形，
∴ AB CD，AD BC，AC BD②
把②代人①，得：AC 2AB 2BC 2．
【定理应用】
【例 3】如图，在ABC 中， A 的平分线交外接圆于 D ，连结 BD ，求证： AD BC BD (AB AC)．
证明：连结 CD ，由托勒密定理，得
AD BC AB CD AC BD．
∵BAD CAD ，∴ BD CD ．
故 AD BC BD(AB AC)．
【定理应用】
【例 4】若a、 b 、x、 y 是实数，且a2b21， x2y21．
求证： ax by 1．
证明：如图，作直径AB 1的圆，在 AB 两侧任作 Rt ACB 和 Rt ADB ，
使 AC a ， BC b ， BD x ，AD y ．
由勾股定理知 a 、b、 x 、y是满足题设条件的．
据托勒密定理，有AC BD AD BC AB CD ．
∵CD AB 1，
∴ AC BD AD BC AB CD 1 ，即ax by 1．【定理应用】
【例 5】已知a、 b 、c是ABC 的三边，且a2b(b c) ，
求证： A 2 B．
证明：∵ a 2b(b c) ，∴a a b b b c ，
由托勒密定理，构造圆内接四边形。
如图 ，作 ABC 的外接圆，以 A 为圆心， BC 为半径作弧交圆于 D ，
连结 BD 、 CD 、 AD ．
∵ AD BC ，∴ ABD
BAC ，则 1 2，
∴ BD AC b
由托勒密定理得： BC AD
AB CD
BD AC
即 a a c DC
b b ①
又∵ a 2 b(b c) ，∴ a a b b b c ， ②
比较①②得 CD BD
b ，则 3
1
2 ，
∴ BAC
2 ABC
【定理应用】
【例 6】 在 ABC 中，已知 A:
B :
C 1:2:4，求证：
1
1
1 .
AB AC BC
证明：如图，作 ABC 的外接圆，作弦 BD
BC ，连结 AD 、CD ．
∵ A: B: C 1:2:4，
∴ CAD
CBA CDA ， ABD ADB 3 CAB
∴ AB AD ，CD
AC ，
在圆内接四边形 ADBC 中，由托勒密定理，得：
AC BD BC AD AB CD ∴AC BC BC AB
AB AC ，
则
1
1 1 .
AB
AC
BC
【定理应用】
【例 7】 由 ABC 外接圆的弧 BC 上一点 P 分别向边 BC 、AC 与 AB 作垂线 PK 、 PL 和 PN ，求证：
BC
AC AB .
PK
PL
PM
证：连接 PA 、PB 、 PC ，
四边形 ABPC ，由托勒密定理得：
BC AP
AC BP AB CP
即 BC
AP PK
AC BP PL AB
CPPM ①
PK
PL
PM
∵ KBP
LAP ，
∴ Rt KBP ∽ Rt LAP
∴ PK PB
，∴ AP PK BP PL②
PL PA
同理可得 BP PL CPPM③
②③代人①得：
BC AC AB
PK PL .
PM
【练习】
[1] 已知 ABC 中， B 2 C。求证：AC2AB( AB BC) .
[2] 已知正七边形A1A2A7。
求证：
111
A1 A2 A1 A3.
A1 A4
（第 21 届全苏数学竞赛）
[ 提示 ]1.过A作BC的平行线交△ ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。
由托勒密定理， AC·BD=AD· BC+CD·AB。
2．
托勒密定理 定理图 定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组 对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式， 托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 定理的提出 一般几何教科书中的托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的 书中摘出。 证明 一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。) 在任意四边形ABCD 中，作△ ABE使/ BAE= / CAD / ABE= / ACD 因为△ ABE ACD 所以BE/CD=AB/AC, 即BE-AC=AB CD (1) 而/ BAC= / DAE ,，/ ACB= / ADE 所以△ ABC AED 相似. BC/ED=AC/AD 即ED- AC=BC AD (2) ⑴+⑵，得 AC(BE+ED)=AB CD+AD BC 又因为BE+EI> BD (仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即托勒密定理”) 所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、 BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a -b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d)，两边取模，运用三角不等式得。等 号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上，圆周角/ BAC = / BDC，而在AB上， / ADB = / ACB。在AC 上取一点K，使得/ ABK = / CBD ; 因为/ ABK + / CBK = / ABC = / CBD + / ABD，
《托勒密定理及其应用》 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 即：；内接于圆，则有： 设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ?=?+? ；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BD AC BC AD CD AB ABCD ?≥?+? 一、直接应用托勒密定理 例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ． 四点共圆时成立； 、、、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似 和且又相似 和则：，，使内取点证：在四边形D C B A BD E BD AC BC AD CD AB ED BE AC BC AD CD AB ED AC BC AD AD ED AC BC AED ABC EAD BAC AD AE AC AB BE AC CD AB CD BE AC AB ACD ABE ACD ABE CAD BAE E ABCD ?≥?+?∴+?=?+?∴? =??=∴??∴∠=∠=?=??=∴??∠=∠∠=∠)(
二、完善图形借助托勒密定理 例2证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2 例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)． 三、构造图形借助托勒密定理 例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1．
四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理 例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B． 五、巧变形妙引线借肋托勒密定理 例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，
几何表示 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线, 则三垂足共线. □ 一阶描述 基本定义: 选定 A,B,C 三点 □ 取外接圆上任意一点 P □ 得到三个垂足 D,E,F □ 基本描述: : A,B,C 三点不共线 西姆松定理 它们的坐标分别为 这三点构成的三角形的外接圆心及半径分别为 P 点的坐标为 . 全部 (x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3).l 1=AB,l 2=BC,l 3=CA.(u,v),r.(a,b)D(a 1,b 1),E(a 2,b 2),F(a 3,b 3). 91
□ ● : P 在三角形 ABC 的外接圆上 □ ● : P 不同于 A,B,C □ ● : D 是 P 到 BC 的垂足 □ ● : E 是 P 到 CA 的垂足 □ l 1l 2l 3(l 21=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2 )2 [l 22=(x 2-x 3)2+(y 2-y 3)2 [l 23=(x 3-x 1)2+(y 3-y 1 )2[l 1+l 2>l 3[l 2+l 3>l 1[l 3+l 1> l 2)92^uvr ((x 1-u)2 +(y 1-v)2=r 2 [ (x 2-u)2+(y 2-v)2=r 2[(x 3-u)2 +(y 3-v)2 =r 2 [(u-a)2+(v-b)2=r 2) 93\(a=x 1[b=y 1)[\(a=x 2[b=y 2)[\(a=x 3[b=y 3) 94(a 1-x 2)(b 1-y 3)-(a 1-x 3)(b 1-y 2)=0[(a 1-a)(x 2-x 3)+(b 2-b)(y 2-y 3)=0 95^
托勒密定理Last revision on 21 December 2020
托 勒密定理 【定理内容】 圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆， 则有BD AC BC AD CD AB ?=?+?. [评]等价叙述：四边形的两组对边之积的和 等于两对角线 之积的充要条件是四顶点共圆。 【证法欣赏】 证明：如图，过C 作CP 交BD 于P ，使21∠=∠, ∵43∠=∠,∴ACD ?∽BCP ?, ∴ BP AD BC AC = ，即AD BC BP AC ?=? ① 又DCP ACB ∠=∠，65∠=∠，∴ACB ?∽DCP ?, ∴ DP AB DC AC = ，即DC AB DP AC ?=? ② ∴①＋②得：DC AB AD BC DP BP AC ?+?=+?)( 即BD AC BC AD CD AB ?=?+? 【定理推广】 托勒密定理的推广： 在四边形ABCD 中，有BD AC BC AD CD AB ?≥?+?；当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。 [证] 在四边形ABCD 内取点E ，使CAD BAE ∠=∠，ACD ABE ∠=∠ 则ABE ?∽ACD ? ∴ AD AE CD BE AC AB ==， ∴BE AC CD AB ?=?； ∵ AD AE AC AB =，且EAD BAC ∠=∠ C D A B E B C D
∴ABC ?∽AED ? ∴ AD ED AC BC = ，即ED AC BC AD ?=?； ∴)(ED BE AC BC AD CD AB +?=?+? ∴BD AC BC AD CD AB ?≥?+? 当且仅当E 在BD 上时“=”成立， 即四点共圆时成立；、、、当且仅当D C B A 【定理推广】 托勒密定理的推论： 等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积． 即：若四边形ABCD 是等腰梯形，且BC AD //， 则BC AD AB AC ?+=22. 分析：因为等腰梯形必内接于圆，符合托勒密定理的条件，其对角线相等，两腰相等，结论显然成立。 【定理应用】 【例1】 如图，P 是正ABC ?外接圆的劣弧BC 上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PC PB PA +=． 证明：由托勒密定理得： ∵CA BC AB == ∴PC PB PA +=. [注]此例证法甚多，如“截长”、“补短”等，详情参看《初中 数学一 题多解欣赏》． 【定理应用】 【例2】 证明“勾股定理”： 已知：在ABC Rt ?中，?=∠90B ， 求证：222BC AB AC +=。 证明：如图，以ABC Rt ?的斜边AC 为对角 B C
托勒密定理 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 证明 一、（以下是推论的证明，托勒密定理是其中一种特殊情况） 在任意凸四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD,连接DE. 则△ABE∽△ACD 所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, 所以△ABC∽△AED. BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 二．复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a? b)(c? d) + (a? d)(b? c) = (a? c)(b? d) ，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、 托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有： m^2*n^2=a^2*c^2+b^2*d^2-2abcd*cos(A+C) 1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD
第三章 托勒密定理及应用 【基础知识】 托勒密定理 圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积． 证明 如图3-1，四边形ABCD 内接于O ，在BD 上取点P ，使P A B C A D =∠∠，则△ABP ∽△ACD ， 于是 A 图3-1 AB BP AB CD AC BP AC CD =??=?． 又ABC △∽△APD ，有BC AD AC PD ?=?． 上述两乘积式相加，得 AB CD BC AD AC BP PD AC BD ?+?=+=?（）． ① 注 此定理有多种证法，例如也可这样证：作AE BD ∥交o 于E ，连EB ，ED ，则知BDAE 为等腰梯形，有EB AD =，ED AB =，ABD BDE θ==∠∠，且180E B C E D C +=?∠∠，令BAC ?=∠，AC 与 BD 交于G ，则 111 sin sin()sin 222 ABCD S AC BD AGD AC BD AC BD EDC θ?=??=??+=??∠∠， 11 sin sin 22 EBCD EBC ECD S S S EB BC EBC ED DC EDC =+=??+??△△∠∠ ()()11 sin sin 22 EB BC ED DC EDC AD BC AB DC EDC =?+??=?+??∠∠． 易知 A B C D E B C S S =，从而有AB DC BC AD AC BD ?+?=?． 推论1（三弦定理） 如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则 sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ?=?+?∠∠∠． ② 事实上，由①式，应用正弦定理将BD ，DC ，BC 换掉即得②式． 推论2（四角定理） 四边形ABCD 内接于O ，则sin sin sin sin ADC BAD ABD BDC ?=?∠∠∠∠ sin sin ADB DBC +?∠∠． ③ 事实上，由①式，应用正弦定理将六条线段都换掉即得③式． 直线上的托勒密定理（或欧拉定理） 若A ，B ，C ，D 为一直线上依次排列的四点，则AB CD BC AD AC BD ?+?=?． 注 由直线上的托勒密定理有如下推论：若A ，B ，C ，D 是一条直线上顺次四点，点P 是直线AD 外一点，则 sin sin sin sin sin sin APB CPD APD BPC APC BPD ?+?=?∠∠∠∠∠∠． 事实上，如图3-2，设点P 到直线AD 的距离为h ，
第六章西姆松定理及应用 习题A 1．由西姆松定理，知L ，M ，N 三点共线，注意到P ，L ，N ，B 及P ，M ，C ，L 分别四点共圆，知LPN B ∠=∠，LPM C ∠=∠．又由张角定理，有() sin sin sin B C B C PL PM PN ∠+∠∠∠= + ，即 sin sin sin mn A ln B lm C ?∠=?∠+?∠再应用正弦定理，得mn a ln b lm c ?=?+?． 2．根据直径所对的圆周角是直角，知90BDP ADP ∠=∠=?，90BFP CFP ∠=∠=?，90CEP AEP ∠=∠=?，即知D ，A ，B ；B ，F ，C ；C ，E ，A 分别三点共线． 又PD AB ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BC ⊥于F ，P 是ABC △外接圆周上一点，由西姆松定理，知D ，E ，F 三点共线． 3．延长BE ，CD 相交于点K ，延长CG ，BF 相交于点L ．设CG 与BE 相交于点I ，则I 为ABC △的 内心．由12CAI BAC ∠=∠，而()11 909022 CKI CIK B C BAC ∠=?-∠=?-∠+∠=∠，从而A ，I ，C ， K 四点共圆． 又AD CK ⊥于D ，AE KB ⊥于E ，AG CI ⊥于G ，A 是ICK △外接圆上任一点，由西姆松定理，知D ，E ，G 三点共线．同理，B ，I ，A ，L 四点共圆，AE BI ⊥于E ，AG IL ⊥于G ，AF BL ⊥于F ，由西姆松定理，知E ，G ，F 三点共线．故F ，G ，E ，D 四点共线． 4．设正ABC △外接圆弧?AB 上任一点P 到边BC ，CA ，AB 的距离分别为a h ，b h ，c h ，其垂足分别为 D ， E ， F ，正三角形边长为a ．由面积等式可得a b c h h h +-= ．此式两边平方，得 ()2222324 a b c a b b c a c h h h h h h h h h a +++--=． 由 sin sin b a h h PAC PBD PA PB =∠=∠=，有a b h PA h PB ?=?． 同理，a c h PA h PC ?=?，故a b h PA h PB k PC ?=?=?． 又P ，F ，E ，A 及P ，D ，B ，F 分别四点共圆，有PFD PBD PAC ∠=∠=∠，PDF PBF PCA ∠=∠=∠， 得PFD PAC △△≌，故c h PA a DF = ?，同理，a h PB a DE =?,b h PC a EF =?，即 a c b a c b h h h h h h k EF DE EF ???===由西姆松定理，知D ，E ，F 共线，即DF FE DE +=．于是 ￡()0a b a c b c hb h h h h h h DE DF EF k ? ---=--=?， 故222234 a b c h h h a ++=． 5．设以ABC △的三个顶点为圆心的三圆，皆经过同一点M ，而M 在ABC △的外接圆上，A e 与B e 另交于D ，A e 与C e 另交于E ，B e 与C e 另交于F ． 注意到A e 与B e 中，公共弦MD ⊥连心线AB ；A e 与C e 中，公共弦ME ⊥连心线AC ；B e 与C e 中，公共弦MF ⊥连心线BC ．对ABC △及其外接圆周上一点M ，应用西姆松定理，知D ，E ，F 三点共线． 习题B 1．(Ⅰ)设从点P 向BC ，CA ，AB 作垂线，垂足分别为X ，Y ，Z ．由对称性，知XY 为PUV △的中位线，故UV XY ∥同理，VW YZ ∥，WU XZ ∥．由西姆松定理，知X ，Y ，Z 三点共线，故U ，V ，W 三点共线．
梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。 展开 定理的证明 证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时， (AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1 逆定理证明： 证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 证明一 过点A作AG∥BC交DF的延长线于G， 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 证明二 过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 证明三 连结BF。 （AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA) =（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF） =（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF） =1 证明四 过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC' 有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似，三式相乘得1 得证。如百科名片中图。 充分性证明： △ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。 连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1
西姆松(Simson)定理 西姆松定理说明 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线） 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 相关的结果有： （1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 （4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 证明 证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC 于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠A CP ①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE ②而∠ACP+∠PCE=180° ③∴∠FDP+∠PDE=180° ④即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP， 则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、 L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有 ∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆。 若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL 垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N 和M、P、L、C四点共圆，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 故L、M、N三点共线。
托 勒密定理 Ptolemy (约公元85年~165年)，希腊数大天文学家，他的主要着作《天文集》被后人称为“伟大的数学书”。 托勒密定理 圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和。 已知：四边形ABCD 内接于圆，如图，求证：AB·CD+BC·AD=AC·BD 证明：在∠BAD 内作∠BAE =∠CAD ，交BD 于E 。 因∠ABE=∠ACD ，所以△ABE ∽△ACD ， 从而AB·CD =AC·BE ①； 易证△ADE ∽△ACB ，所以BC·AD=AC·DE ②； ①+②得AB·CD+BC·AD=AC·BD 。 托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。 已知四边形ABCD 满足AB·CD+BC·AD=AC·BD ， 求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。 证明：构造相似三角形，即取点E ，使∠BCE =∠ACD ，且∠CBE =∠ CAD ，则△CBE ∽△CAD 。所以BC·AD=AC·BE ①； 又CD CA CE CB =，∠BCA =∠ECD ，所以△BCA ∽△ECD 。AB·CD =AC·DE ②；①+②得AB·CD+BC·AD=AC·（BE+DE ）。显然有BE+DE≥DB 。 于是AB·CD+BC·AD≥AC·DB 。等号当且仅当E 在BD 上成立，结合已 知条件得到此时等号成立，这时∠CBD =∠CAD ，即A 、B 、C 、D 四点共圆。 托勒密定理的推广 托罗密不等式在四边形ABCD 中， 有AB·CD+AD·BC≥AC·BD. 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立。 推论1（三弦定理） 如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ?∠=?∠+?∠ 推论2（四角定理） 四边形ABCD 内接于O e ，则 直线上的托勒密定理（或欧拉定理） 若A ，B ，C ，D 为一直线上依次排序的四点，则AB CD BC AD AC BD ?+?=? 一、直接应用托勒密定理 例1如图，P 是正△ABC 外接圆的劣弧 上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为 繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ， ∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ． 二、完善图形借助托勒密定理 例2证明“勾股定理”：在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2 E B D A A D C B E
第三讲 托勒密定理及其应用 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 即：；内接于圆，则有： 设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ?=?+? ；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BD AC BC AD CD AB ABCD ?≥?+? 一、直接应用托勒密定理 例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点 (不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗． 若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ， ∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ． 二、完善图形 借助托勒密定理 例2 证明“勾股定理”： 在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2 四点共圆时成立； 、、、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似 和且又 相似 和则：，，使内取点证：在四边形D C B A BD E BD AC BC AD CD AB ED BE AC BC AD CD AB ED AC BC AD AD ED AC BC AED ABC EAD BAC AD AE AC AB BE AC CD AB CD BE AC AB ACD ABE ACD ABE CAD BAE E ABCD ?≥?+?∴+?=?+?∴?=??=∴??∴∠=∠=?= ??=∴??∠=∠∠=∠)(
证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有 AC·BD=AB·CD＋AD·BC．① 又∵ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．② 把②代人①，得AC2=AB2＋BC2． 例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．证明：连结CD，依托勒密定理， 有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD． ∵∠1=∠2，∴BD=CD． 故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)． 三、构造图形借助托勒密定理 例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1． 求证：ax＋by≤1． 证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB， 使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y． 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的． 据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD． ∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1． 四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理 例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B． 分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c． 证明：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，
托勒密定理、婆氏定理——圆中基本模型专题（二） 【教学重难点】 1．圆中托勒密定理；对角互补模型：旋转视角、托勒密视角 2．婆罗摩笈多定理 3．例题探究 【模块一圆中托勒密定理】 古希腊最伟大的天文学家，数学家、天文学家伊巴谷（约公元前190年－公元前125年），最早提出了，圆内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，后称托勒密定理．古罗马著名的天文学家、光学家克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），从伊巴谷的书中将其摘出并完善．托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质，故从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式． 1．基本图形与结论：如图1，当A、B、C、D四点共圆，则AC×BD=AB×DC+AD×BC． 2．简单证明： 在线段BD上取一点E，连AE，使∠AEB=∠ADC， 易得△AEB∽△ADC， AC CD =??=?① AC BE AB CD AB BE 旋转一拖二得△ABC∽△AED， AC BC =??=?② AC DE BC AD AD DE 由①＋②得：AC×（BE＋DE）=AC×BD=AB×DC＋AD×BC． 3．模型识别： 具体情境中出现四点共圆，且四点构成的四边形边长、对角线长信 息较多，可以尝试用托勒密定理进行计算． ※4．广义托勒密定理：对于任意凸四边形ABCD，则有AC×BD ≤AB×DC+AD×BC．证明从略···【模块二对角互补模型→旋转视角】 1．基本图形与模型识别：如图2，对角互补且一组邻边相等 ．．．．．．．．．．．的四边形， 可通过旋转变换将四边形转化为等腰三角形（等腰思旋转）． 2．四类常见对角互补模型： ①模型一：等边60°对120°型 条件：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120° 结论：（1）CA平分∠BCD；（2）BC+CD=AC． 证明：证明：如图，将△ACD绕点A逆时针旋转60°至△AMB，使AD， AB重合， 则△ACD≌△AMB， ∴∠ADC=∠ABM，AC=AM，CD=BM，∠ACD=∠M， ∵∠BAD=60°，∠BCD=120°， ∴∠ABC+∠ADC=180°，
平面几何定理及其证明 梅涅劳斯定理 1 .梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与 ABC 的三边AB BC CA 所在直线分别交于点 D E 、F ,且D E 、F 均 证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G. 因为 CG // AB ，所以 CG CF --------------------- （ 1） AD FA 因为 CG // AB ，所以 EC （ 2） DB BE C F ，即得 A D C F EC FA DB EC FA 2.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明 定理：在 ABC 的边AB BC 上各有一点 D E ,在边 AC 的延长线上有一点 F ,若 二、 塞瓦定理 3 .塞瓦定理及其证明 定理：在ABC 内一点P,该点与ABC 的三个顶点相连所在的 三条直线分别交 ABCE 边AB BC CA 于点D E 、F ,且D E 、F 三点均不是 ABC 不是ABC 的顶点，则有 AD BE CF 1 DB EC 由（1）宁（2） DB 可得兀 AD BE CF DB EC FA 1 ，那么，D E 、F 三点共线. 证明：设直线EF 交AB 于点D ，则据梅涅劳斯定理有 AD / BE CF 丽 EC FA 因为AD Bl CF DB EC FA 1，所以有誥 段AB 上，所以点D 与D 重合.即得D 鴿.由于点D D 都在线 E 、F 三点共线. 证明： 运用面积比可得 AD DB S ADP S BDP S ADC S BDC 根据 等 比定理有 S ADP S ADC S ADC S ADP S APC S S BDP BDC S BDC S BDP S
第六章西姆松定理及应用 【基础知识】 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线（此线常称为西姆松线）． 证明如图6-1，设P 为ABC △的外接圆上任一点，从P 向三边BC ，CA ，AB 所在直线作垂线，垂足分别为L ，M ，N ．连PA ，PC ，由P ，N ，A ，M 四点共圆，有 β α γ βL M A P B N C 图6-1 PMN PAN PAB PCB PCL ∠=∠=∠=∠=∠． 又P ，M ，C ，L 四点共圆，有PML PCL ∠=∠． 故PMN PML ∠=∠，即L ，N ，M 三点共线． 注 此定理有许多证法．例如，如下证法： 如图6-1，连PB ，令PBC α∠=，PCB β∠=， PCM γ∠=，则 PAM α∠=，PAN β∠=，PBN γ∠=，且cos BL PB α=?，cos LC PC β=?，cos CM PC γ=?， cos MA PA α=?，cos AN PA β=?，cos NB PB γ=?．对ABC △，有 cos cos cos 1cos cos cos BL CM AN PB PC PA LC MA NB PC PA PB αγββαγ ?????=??=???．故由梅涅劳斯定理之逆定理，知L ，N ，M 三点共线． 西姆松定理还可运用托勒密定理、张角定理、斯特瓦尔特定理来证（略）． 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上． 证明如图6-1，设点P 在ABC △的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的射影分别为L ，M ，N ，且此三点共线．由PN AB ⊥于N ，PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，知P ，B ，L ，N 及P ，N ，A ，M 分别四点共圆，而AB 与LM 相交于N ，则PBC PBL PNM PAM ∠=∠=∠=∠，从而P ，B ，C ，A 四点共圆，即点P 在ABC △的外接圆上． 【典型例题与基本方法】 1．找到或作出三角形外接圆上一点在三边上的射影，是应用西姆松定理的关键 例1如图6-2，过正ABC △外接圆的AC 上点P 作PD ⊥直线AB 于D ，作P E A C ⊥于E ，作P F B C ⊥于F ．求证： 111 PF PD PE += ．
平面几何中的四个重要定理 梅涅劳斯（Menelaus ） 定理（梅氏线） △ ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 P 、Q 、R ,贝U P 、Q 、R 共线的充 塞瓦（Ceva ）定理（塞瓦点） △ ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ,贝U AP 、BQ 、CR 共点的充要条件 西姆松（Simson ）定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接 要条件是 BP CQ AR 1 PC QA RB 是BP 殂塑1。 PC QA RB P 圆 。
-可编辑- 圆上。 例题: 1、设AD 是厶ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。求 、 AE 2AF 证：—— ED FB AE DC BF 【分析】CEF 截厶ABD T -------------------------- 1 （梅氏定理） ED CB FA 【评注】也可以添加辅助线证明：过 A 、B 、D 之一作CF 的平 行线。 【分析】连结并延长 AG 交BC 于M ，贝U M 为BC 的中点。 BE CF GM (DB DC) = GM 2MD EA FA = AG MD 2GM MD AB 、AC 于 E 、F ,交 CB 于 D 。 求证： BE CF 1。 EA FA DEG 截厶 ABM T DGF 截厶 ACM T BE AG MD EA GM DB CF AG MD FA GM DC 1 （梅氏定理） 1 （梅氏定理） A 2、过△ ABC 的重心G 的直线分别交
5、已知△ ABC 中，/ B=2 / C 。求证: 【评注】梅氏定理 【评注】梅氏定理 CG 相交于一点。 【分析】 【评注】塞瓦定理 3、D 、E 、F 分别在△ ABC 的 BC 、 匹圧些,AD 、BE 、 DC FB EA 【分析】 4、以△ ABC 各边为底边向外作相似的等腰厶 BCE 、△ CAF 、△ ABG 。求证： AE 、BF 、
1 平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以 APC BPC S AD DB S ??=．同理可得 APB APC S BE EC S ??=， BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有 A B C D F P A B C D E F P D /
第四章 特瓦尔特定理及应用 【基础知识】 斯特瓦尔特定理 设P 为ABC △的BC 边上任一点（P B ≠，P C ≠），则有 222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ?+?=?+?? ① 或 2222P C B P B P P C A P A B A C B C B C B C B C B C =? +?-??． ② 证明 如图4-1，不失一般性，不妨设90APC
托勒密定理 内容：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 证明： 在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE. 则△ABE∽△ACD ∴BE/CD=AB/AC,即B E·AC=AB·CD (1) 由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, ∴△ABC∽△AED. BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又∵BE+ED≥BD ∴AB×CD+AD×BC≥AC×BD 塞瓦定理 在△ABC内任取一点O， 直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=1所以CD、AE、BF交于一点
用同一法证 点D,E,F分别为三角形ABC三边BC,AC,AB上的点，若AF/BF*BD/DC*CE/AE=1，则AD,BE,CF 三点共线 逆命题证明 证明：设BE,CF交与点O，AO交BC于点P。 则由赛瓦定理可知，AF/BF*BP/PC*CE/AE=1。 由已知AF/BF*BD/DC*CE/AE=1知，AF/BF*BP/PC*CE/AE=1=AF/BF*BD/DC*CE/AE。 推出BP/PC=BD/DC,所以BD/BC=BP/BC,故BD=BP。 所以D点与P点重合。则AD,BE,CF三点共线，命题得证。 梅涅劳斯定理 如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/Y A)=1 。 西姆松定理 （1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
平面几何（4）----张角定理及西姆松定理 张角定理：设A ，C ，B 顺次分别是平面内一点P 所 引三条射线PA ，PC ，PB 上的点，线段AC ，CB 对 点P 的张角分别为,,αβ且180o αβ+<，则A ，C ，B 三点共线的充要条件是： sin()sin sin PC PB PA αβαβ+=+. 例1． 如图，已知ABCD 为四边形，两组对边延长后得到交点E ，F ，对角线BD//EF ，AC 的延长线交EF 于G ，求证：EG=GF. 例2． 已知ABC 的顶点A ，B ，C 对应的三边长分别为a ，b ，c ，E 为其内切 圆圆心，AE 交BC 于D ，求证：AE b c ED a +=
例3. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,BAD ∠在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G ，求证：GAC EAC ∠=∠ 例4. 如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中点，任作一直线顺次交AB ，AC ，AM 于P ，Q ，N ，求证： ,,AB AM AC AP AN AQ 成等差数列.
西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）. 西姆松定理的逆定理： 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则改点在此三角形的外接圆上. 例1. 如图，过正ABC 外接圆的 AC 上点P 作PD ⊥直线AB 于D ，作PE ⊥AC 于E ，作PF BC ⊥于F ，求证： 111PF PD PE +=
例2. 如图，设AD ，BE ，CF 为ABC 的三条高线，自D 点作DP AB ⊥于P ，DQ BE ⊥于Q ，DR CF ⊥于R ，DS AC ⊥于S ，连PS. 求证：Q ，R 在直线PS 上. 例3. 如图，设P 为ABC 外接圆上一点，作'PA BC ⊥交圆周于'A ，作'PB ⊥直线AC 交圆周于'B ，作'PC AB ⊥交圆周于'C ，求证：'''////AA BB CC