解析几何大题精选四套（答案）
解析几何大题训练（一）
1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）
已知过抛物线()022
>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()
22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ． （1）求该抛物线的方程；
（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．
2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分） 如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2
=4y 相切于点A 。 （1） 求实数b 的值；
（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.
3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分）
设椭圆22
1(0)x y a b +=>>的左、右焦点分别为,F F ,点(,)P a b 满足||||PF F F =.
（Ⅰ）求椭圆的离心率e ;
(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22
(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且
|MN|=5
8
|AB|,求椭圆的方程.
4.（2010辽宁）（本小题满分12分）
设1F ，2F 分别为椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B
两点，直线l 的倾斜角为60o
，1F 到直线l 的距离为
（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；
（Ⅱ）如果222AF F B =u u u u r u u u u r
,求椭圆C 的方程.
解析几何大题训练（二）
1.（2010辽宁）（本小题满分12分）
设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾
斜角为60o
,2AF FB =u u u r u u u r
.
(I) 求椭圆C 的离心率； (II) 如果|AB|=
15
4
，求椭圆C 的方程.
2.（2010北京）（本小题共14分）
已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；
（Ⅲ）设Q （x ，y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值。
3.（2010福建）（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>过点A （1 , -2）。 （I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，
且直线OA 与L 的距离等于5
若存在，求直线L 的方程；若不存在，说明理由。
4.（2010湖北）（本小题满分13分）
已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1。
（Ⅰ）求曲线C 的方程
（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，
都有FA?FB u u u r u u u r
＜0若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
解析几何大题训练（三）
1、在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，
，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．
（Ⅰ）写出C 的方程；
（Ⅱ）若OA u u u r ⊥OB uuu r
，求k 的值。（变式：若AOB ∠为锐角（钝角），则k 的取值范围。）
2、已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于A 、B 两点.
（1）若椭圆的离心率为
3
3
，焦距为2，求线段AB 的长； （2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F 1，求△ABF 1的面积。
3、 已知动圆过定点(0,2)F ，且与定直线:2L y =-相切. （I ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（II ）若A B 是轨迹C 的动弦，且A B 过(0,2)F ， 分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明:AQ BQ ⊥.
4．(2010·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝3
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →
＝4，求y 0的值．
解析几何大题训练（四）
1．(2011·山东日照质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2
，直线y ＝x ＋6与以原点为圆心，
以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G (1
8，
0)，求实数k 的取值范围．
2．(2009·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上．
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；
(3)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线交抛物线C 于D ，E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．
3．(2010·安徽)如图，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝1
2
.
(1)求椭圆E 的方程； (2)求∠F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程；
4、（2009辽宁卷文）已知，椭圆C以过点A（1，3
2
），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
解析几何大题训练（一）
1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）
（12x x <）两点，且9=AB ．
（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若λ+=，求λ的值．
（1）直线AB 的方程是
,
05x 4px 2y ),2
(22222=+-=-
=p px p
x y 联立，从而有与 所以：4
521p
x x =
+，由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以p=4， 抛物线方程为：x y 82
=
（2）由p=4，,05x 422=+-p px 化简得0452=+-x x ，从而,4,12
1==x x 24,2221=-=y y ,从而A:(1,22-),B(4,24)
设)24,4()22,1()(3,3λ+-==→
y x OC =)2422,41(λλ+-+，又32
38x y =，即()[]
=-2
1222λ8
（41+λ），即14)12(2
+=-λλ，解得2,0==λλ或. 2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分） 如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2
=4y 相切于点A 。 （2） 求实数b 的值；
（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.
【解析】（I ）由24y x b x y
=+??=?得2
440x x b --= (*)
因为直线l 与抛物线C 相切,所以2
(4)4(4)0b ?=--?-=,解得1b =-.
（II ）由（I ）可知1b =-,故方程(*)即为2
440x x -+=,解得2x =,将其代入2
4x y =,得y=1,故点
A(2,1).
因为圆A 与抛物线C 的准线相切,所以圆心A 到抛物线C 的准线y=-1的距离等于圆A 的半径r, 即r=|1-(-1)|=2,所以圆A 的方程为2
2
(2)(1)4x y -+-=.
3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分）
设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.
（Ⅰ）求椭圆的离心率e ;
(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF
与圆22
(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且
|MN|=
5
8
|AB|,求椭圆的方程. 【解析】（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(,0)F c （0c >），因为212||||PF F F =
2c =，整理得
22()10c c a a +-=，即2210e e +-=，解得12
e =. (Ⅱ)
由（Ⅰ）知2,a c b ==
,可得椭圆方程为2223412x y c +=,直线2PF
的方程为)y x c =-,
A,B
两点坐标满足方程组222
3412)
x y c y x c ?+=??=-??,消y 整理得2
580x cx -=,解得0x =或85c ,所以
A,B
两点坐标为8(
,)55c c
,(0,),所以由两点间距离公式得|AB|=165
c
, 于是|MN|=
5
8
|AB|=2c ,
圆心(-到直线2PF
的距离d =,
因为2
22||()42MN d +=,所以22
3(2)164
c c ++=,解得2c =,所以椭圆方程为2211612x y +
=. 4.（2010辽宁）（本小题满分12分）
设1F ，2F 分别为椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B
两点，直线l 的倾斜角为60o
，1F 到直线l
的距离为
（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =u u u u r u u u u r
,求椭圆C 的方程.
解：（Ⅰ）设焦距为2c ，由已知可得1F 到直线l
2.c ==故所以椭圆C 的焦距为4.
（Ⅱ）设112212(,),(,),0,0,A x y B x y y y <>由题意知直线l
的方程为2).y x =
-
联立2222422
222),
(3)30.1
y x a b y y b x y a
b ?=-?
++-=?+=??得
解得22122222
(22)(22)
,.a a y y +-=
=因为22122,2.AF F B y y =-=u u u u r u u u u r 所以
2=
得22
3.4,a a b b =-==而所以
故椭圆C 的方程为22
1.95
x y += 解析几何大题训练（二）
1.（2010辽宁）（本小题满分12分）
设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾
斜角为60o
,2AF FB =u u u r u u u r .⑴求椭圆C 的离心率；⑵如果|AB|=15
4
，求椭圆C 的方程.
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0. （Ⅰ）直线l 的方程为
)y x c =
-
，其中c =
联立2222),1
y x c x y a
b ?=-??+=??
得22224
(3)30a b y cy b ++-=
解得22122222(2)(2)
,33c a c a y y a b a b +-==++，因为2AF FB =u u u r u u u r ，所以122y y -=.
即
2=，得离心率 2
3
c e a ==. ……6分
（Ⅱ）因为21AB y y =-
154=.
由
23c a =
得3b a =.所以515
44
a =，得a=3
，b = 椭圆C 的方程为22
195
x y +=. ……12分
2.（2010北京）（本小题共14分）
已知椭圆C
的左、右焦点坐标分别是(
，
，离心率是3
，直线y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标； （Ⅲ）设Q （x ，y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值。
解：
（Ⅰ）因为3c a =
，且c =
1a b ===，所以椭圆C 的方程为
2213
x y += （Ⅱ）由题意知(0,)(11)p t t -<<，由22
13
y t
x y =???+=??
得x =所以圆P
，解得t = 所以点P 的坐标是（0
，2
±） （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P 的方程2
2
2
()3(1)x y t t +-=-。因为点(,)Q x y 在圆P 上。所
以
y t t =±≤+设cos ,(0,)t θθπ=∈
，则cos 2sin()6
t π
θθθ+=+=+
当3
π
θ=，即1
2
t =
，且0x =，y 取最大值2.
3.（2010福建）（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>过点A （1 , -2）。 （I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，
且直线OA 与L
L 的方程；若不存在，说明理由。
4.（2010湖北）（本小题满分13分）
已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1。
（Ⅰ）求曲线C 的方程
（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，
都有FA?FB u u u r u u u r
＜0若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
解析几何大题训练（三）
1、在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(03)-，
，(03)，的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．
（Ⅰ）写出C 的方程； （Ⅱ）若OA u u u r ⊥OB uuu r
，求k 的值。（变式：若AOB ∠为锐角（钝角），则k 的取值范围。）
解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(03)(03)-，
，，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴2
2
2(3)1b =-=，故曲线C 的方程为2
2
14
y x +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足
2
214 1.y x y kx ?+=??
?=+?
，，消去y 并整理得22
(4)230k x kx ++-=， 故12122223
44
k x x x x k k +=-=-++，．若OA OB ⊥u u u r u u u r ，即12120x x y y +=． 而2
121212()1y y k x x k x x =+++，于是22
12122
2233210444
k k x x y y k k k +=---+=+++，
化简得2
410k -+=，所以12
k =±
． 2、已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于A 、B 两点.
（1）若椭圆的离心率为
3
3
，焦距为2，求线段AB 的长； （2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F 1，求△ABF 1的面积。 解：（1）3
3
,22,33===
a c c e 即Θ2,322=-==∴c a
b a 则 （3分）
∴椭圆的方程为12
32
2=+y x （4分）
联立0365:112
322
2=--??
???+-==+
x x y x y y x 得消去 （5分）
2
12212221221212122114)(])1(1[)()(||5
3,56)
,(),,(x x x x y y x x AB x x x x y x B y x A -+-+=-+-=∴-==
+则设 （8分）
5
3
8512)56(22=+=
（10分）
（2）由（1）可知椭圆的左焦点坐标为F 1（-1，0），直线AB 的方程为x+y-1=0, 所以点F 1到直线AB 的距离
=（12分）
又
∴△ABF 1的面积S=1
||2
AB d ?
=12= （14分）
3、 已知动圆过定点(0,2)F ，且与定直线:2L y =-相切. （I ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（II ）若A B 是轨迹C 的动弦，且A B 过(0,2)F ， 分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明:AQ BQ ⊥.
解：（I ）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)F 为焦点，:2L y =-为准线的抛物线上……2分
因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是2
8x y =………………….5分 （II ）,AB x Q 直线与轴不垂直: 2.AB y kx =+设 1122(,),(,).A x y B x y …………….6分
22,1.8y kx y x =+???=??
由可得28160x kx --=， 128x x k +=，1621-=x x ………8分
抛物线方程为.4
1
,812x y x y ='=
求导得
所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是 1114k x =，2214k x = ，121212111
14416
k k x x x x ?=?=?=-
所以，AQ BQ ⊥
4．(2010·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝3
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →
＝4，求y 0的值．
解析：(1)由e ＝c a ＝
32
，得3a 2＝4c 2.再由c 2＝a 2－b 2
，得a ＝2b . 由题意，可知1
2×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组?
??
??
a ＝2
b ，ab ＝2，得?
??
??
a ＝2，
b ＝1.故椭圆的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)由(1)可知A (－2,0)，且直线l 的斜率必存在．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．
于是A 、B 两点的坐标满足方程组?????
y ＝k x ＋2，x 2
4
＋y 2
＝1.由方程组消去y 并整理，得
(1＋4k 2
)x 2
＋16k 2
x ＋(16k 2
－4)＝0.
由根与系数的关系，得－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，于是x 1＝2－8k 2
1＋4k 2，从而y 1＝4k
1＋4k 2.
设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为? ????－8k 2
1＋4k 2，2k 1＋4k 2.
以下分两种情况讨论：
①当k ＝0时，点B 的坐标是(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →
＝(2，→→
②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线的方程为
y －2k 1＋4k 2＝－1k ? ????x ＋8k 2
1＋4k 2.令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2.
由OA →＝(－2，－y 0)，QB →
＝(x 1，y 1－y 0)， QA →
·QB →
＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－22－8k 2
1＋4k 2
＋6k 1＋4k 2? ??
??4k
1＋4k 2＋6k 1＋4k 2＝416k 4＋15k 2
－1
1＋4k
22
＝4. 整理，得7k 2
＝2，故k ＝±
147.从而y 0＝±2145.综上，y 0＝±22，或y 0＝±2145
. 解析几何大题训练（四）
1．(2011·山东日照质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2
，直线y ＝x ＋6与以原点为圆心，
以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点
G (18
，0)，求实数k 的取值范围．
解析：(1)根据题意e ＝12，即c a ＝12，∴b a ＝a 2
－c 2
a ＝1－e 2
＝32，
又∵r ＝
|6|1＋1
＝b ，∴b ＝3，a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由?????
x 2
4＋y 2
3
＝1，
y ＝kx ＋m
消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2
－12＝0，
∴Δ＝(8km )2
－4(3＋4k 2
)(4m 2
－12)＞0，即m 2
＜4k 2
＋3.① 由根与系数关系得x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，则y 1＋y 2＝6m
3＋4k 2，
∴线段MN 的中点P 的坐标为(－4km 3＋4k 2，3m
3＋4k 2)．
又线段MN 的垂直平分线l ′的方程为y ＝－1k ? ????
x －18，
由点P 在直线l ′上，得3m 3＋4k 2＝－1k ? ?
???－
4km 3＋4k 2－18， 即4k 2
＋8km ＋3＝0.∴m ＝－18k (4k 2
＋3)，由①得4k 2
＋32
64k
2
＜4k 2
＋3，
∴k 2
＞120，即k ＞510或k ＜－510.∴实数k 的取值范围是? ????－∞，－510∪? ????510，＋∞.
2．(2009·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上．
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；
(3)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线交抛物线C 于D ，E 两点，
ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．
解析：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2
＝2px .因为点A (2,2)在抛物线C 上， 所以p ＝1.因此，抛物线C 的标准方程为y 2
＝2x .
(2)由(1)可得焦点F 的坐标是? ????12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此，所求直线的方程是x ＋y －1
2
＝0.
(3)方法一：设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k (x －m )，k ≠0.
将x ＝y k ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2
－2y －2km ＝0，解得y 1,2＝1±1＋2mk 2
k
.
由ME ＝2DM 和1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)，化简得k 2
＝4m
.
因此DE 2
＝(x 1－x 2)2
＋(y 1－y 2)2
＝(1＋1k 2)(y 1－y 2)2
＝(1＋1k 2)
4
1＋2mk
2
k
2
＝94
(m 2
＋4m )． 所以f (m )＝32
m 2
＋4m (m ＞0)．
方法二：设D ? ????s 22，s ，E ? ??
??t 22，t .由点M (m,0)及ME →＝2DM →得t 2
－m ＝2(m －s 2
2)，t －0＝2(0－s )．
因此t ＝－2s ，m ＝s 2
.所以f (m )＝DE ＝
2s 2
－
s 2
2
2
＋－2s －s
2
＝
32
m 2
＋4m (m ＞0)． 3．(2010·安徽)如图，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝1
2
.
(1)求椭圆E 的方程； (2)求∠F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程；
(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点若存在，请找出；若不存在，说明理由．
解析：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1.
由e ＝12，即c a ＝12
，得a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2
.
于是椭圆的方程化为x 22＋y 2
2＝1.
将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3
c
2＝1，解得c ＝2(负值舍去)．
故椭圆E 的方程为x 216＋y 2
12
＝1.
(2)方法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，于是直线AF 1的方程为y ＝3
4(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直
线AF 2的方程为x ＝2.
由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数． 设P (x ，y )为l 上任一点，则
|3x －4y ＋6|
5
＝|x －2|. 若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，故舍去)． 于是由3x －4y ＋6＝－5x ＋10，得2x －y －1＝0. 故直线l 的方程为2x －y －1＝0.
方法二：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→
＝(0，－3)． ∴
AF 1
→
AF 1→＋AF 2
→
|AF 2→|
＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－4
5(1,2)． 从而k 1＝2，l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.
(Ⅲ)方法一：假设存在这样的两个不同的点B (x 1，y 1)和C (x 2，y 2)， ∵BC ⊥l ，∴k BC ＝
y 2－y 1x 2－x 1＝－1
2
. 设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝
x 1＋x 2
2
，y 0＝
y 1＋y 2
2
.
由于M 在l 上，故2x 0－y 0－1＝0.① 又点B 、C 在椭圆上，于是有
x 1216＋y 12
12
＝1与x 2216＋y 22
12
＝1.
两式相减，得x 22－x 1216
＋
y 22－y 12
12＝0.
即
x 1＋x 2
x 2－x 1
16
＋
y 1＋y 2
y 2－y 1
12
＝0.
将该式整理为18·x 1＋x 22＋y 2－y 1x 2－x 1·16·y 1＋y 2
2＝0，并将直线BC 的斜率k BC 和线段BC 的中点表示代入该
表达式中，得18x 0－1
12
y 0＝0，即3x 0－2y 0＝0.②
①×2－②，得x 0＝2，y 0＝3.
即BC 的中点为点A ，这是不可能的． 故不存在满足题设条件的相异两点．
方法二：假设存在B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)两点关于直线l 对称，则l ⊥BC ，从而k BC ＝－1
2
.
设直线BC 的方程为y ＝－12x ＋m ，将其代入椭圆方程x 216＋y 212＝1，得一元二次方程3x 2
＋4? ???
?－12x ＋m 2＝48.
即x 2
－mx ＋m 2
－12＝0，且x 1与x 2是该方程的两个根，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝m . 于是y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝3m
2
.
从而线段BC 的中点坐标为? ??
??m 2，3m 4.
又线段BC 在直线y ＝2x －1上，于是3m
4＝m －1，得m ＝4.
即线段BC 的中点坐标为(2,3)，与点A 重合，矛盾． 故不存在满足题设条件的相异两点． 4、（2009辽宁卷文）已知，椭圆C 以过点A （1，3
2
），两个焦点为（－1，0）（1，0）。 （3） 求椭圆C 的方程；
（4） E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为
定值，并求出这个定值。
解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，将点A 的坐标代入方 程： ，解得 ， （舍去） 所以椭圆方程为 。 （Ⅱ）设直线AE 方程为：3
(1)2
y k x =-+，代入22143x y +=得 2223
(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=
设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3
(1,)2
A 在椭圆上，所以
22
3
4()12
2x 34F k k
--=+ 3
2E E y kx k =+- ………8分 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得
2
219
14(1)
a a +=-24
a =22114
a c =<=22
1
4
3
x y +
=
解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从 的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。 图1 解析：易知故 在中， 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。 图2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则， 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。
图3 解析：易知抛物线的准线l：， 作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地， 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） 图4 ②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|， 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆 ()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线 ,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且121 4 k k =- ，AP OM ∥，BP ON ∥． （1）求椭圆C 的方程； （2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）2 2:14 x C y +=；（2）定值1． 【解析】（1）22 1,1144 2,AP BP b k k b a a ?=?=-??=??=? ，椭圆22:14x C y +=． （2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ， ()222 22 , 4184401,4 y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??， 122841 kt x x k +=-+，2122 44 41t x x k -=+， ()()1212121212121211 404044 y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=- ??=-?+=?+++=， ()()2 2121241440k x x kt x x t ++++=， ()22 22222448414402414141t kt k kt t t k k k ?? -+-+=?-= ?++?? ， ()() ()( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2114MN k x x k x x x x ??= +-= ++-??
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点 的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线
一般式 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ，两条直线的 交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解 就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线 间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程 〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。 思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。
专题05 平面解析几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??． 在12AF F △中，由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? = ，解得n = 2 2 2 24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠, ，得
圆锥曲线大题训练1 （求范围）例1、已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 交于M 、N 两点。 （1）求k 的取值范围； （2）若12=?ON OM ，其中O 为坐标原点，求|MN | （定值问题）例2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的离心率为2 2，点（2，2）在C 上。 （1）求C 的方程； （2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。
例3、已知直线l 的方程为y = k ( x — 1 )（k ＞0），曲线C 的方程为 y 2 = 2x ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，O 为坐标系原点。求证：OB OA ?错误！未找到引用源。是定值 例4、已知双曲线C ：)0(122 22>>=-b a b y a x 的两条渐进线的夹角的正切值为724，点A （5，49）是C 上一点，直线l ：)4(4 5>+-=m m x y 与曲线C 交于M 、N 两点。 （1）求双曲线C 的标准方程； （2）当m 的值变化时，求证：0=+AN AM k k
例5、已知椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 过A （2，0），B （0，1）两点 （1）求椭圆C 的方程及离心率 （2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值。 （轨迹方程）例6、已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2—8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点。 （1）求M 的轨迹方程； （2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积。 例7、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B （0，-1），离心率为 36 （1）求椭圆的方程； （2）设过点A （0， 2 3）的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且|BM |=|BN |，求直线l 的方程。
三、解答题 26.(江苏18)如图，在平面直角坐标系中，M N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交 椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k (1)当直线PA平分线段MN求k的值； (2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d; (3)对任意k>0，求证：PA! PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解：(1)由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标 原点,所以 (2)直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 ( 3)解法一： 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为 其方程为 解得. 于是直线PB的斜率 因此 解法二：设. 设直线PB, AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而 因此 28. (北京理19) 已知椭圆?过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A, B两点. (I )求椭圆G的焦点坐标和离心率； (II )将表示为m的函数，并求的最大值? (19)(共14 分) 解：(I)由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 (n)由题意知，? 当时,切线l 的方程,点A、 B 的坐标分别为 此时 当m=－ 1 时，同理可得当时，设切线l 的方程为由 设A、B 两点的坐标分别为，则
又由l 与圆 所以 由于当时， 所以. 因为且当时，|AB|=2 ，所以|AB| 的最大值为 2. 32. (湖南理21) 如图7椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。 (I)求C1, C2的方程； (H)设C2与y轴的焦点为M过坐标原点o的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1 相交与 D,E． (i )证明：MDL ME; (ii )记厶MAB,A MDE勺面积分别是.问：是否存在直线I,使得？请说明理由。 解：(I)由题意知 故C1, C2的方程分别为 (H) (i )由题意知，直线I的斜率存在，设为k,则直线I的方程为. 由得 设是上述方程的两个实根,于是 又点M的坐标为(0,—1),所以 故MAL MB 即MDL ME. (ii )设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得则点A的坐标为. 又直线MB的斜率为，同理可得点 B 的坐标为于是 由得 解得 则点D的坐标为 又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为于是. 因此 由题意知， 又由点A、 B 的坐标可知，故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为 34. (全国大纲理21) 已知0为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B 两点，点P 满足 (I)证明：点P在C上； (n)设点P关于点O的对称点为Q证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
浙江高考历年真题之解析几何大题 1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)． 解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ， 则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2 222 224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+??? 由题意,得 2,3,1a b c ∴=== ，22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102 F PF PF M π <∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m = +，直线2PF 的斜率0 21 y k m =-， 002122222212002||tan 1121||1 y k k F PF k k m y m y m -∴∠= =≤= +-+-?- 2 01||m y -=时，12F PF ∠最大，(2,1,||1Q m m m ∴±->
2、（2006年）如图，椭圆b y a x 2 22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的 离心率e= 2 3 。 (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。 解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为 12 x y += 因为由题意得??? ????+-==+1211 2222x y b y a x 有惟一解， 即0)4 1(22222 22 =-+-+ b a a x a x a b 有惟一解, 所以22 2 2 (44)0(0),a b a b ab ?=+-=≠故442 2 -+b a =0; 又因为e 3 c =即 22234 a b a -= ， 所以2 2 4a b = ;从而得22 1 2,,2 a b == 故所求的椭圆方程为22212x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）得6c = , 所以 1266((F F ，从而M （1+4 6 ，0） 由 ?? ???+-==+1 211222 2x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T = 因为126tan 1-= ∠T AF ，又21 tan =∠TAM ，6 2tan =∠2TMF ，得 12 6 6 1 121 62 tan -= + -= ∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠ 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．
《解析几何初步》检测试题 命题人 周宗让 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12- C 、13 D 、13 - 3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ） A ．2 1 B ．2 1- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y x B ．032=--y x C ．210x y ++= D ．210x y +-= 6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( ) A ．()0,4 B ．()0,2 C ．()2,4- D ．()4,2- 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距
为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242 x y -++=的切线，则此切线段的长度为( ) A ． 2 B ．32 C ．12 D ． 2 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点， 则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 12．直线3y kx =+与圆()()2 2 324x y -+-=相交于M,N 两点， 若MN ≥则k 的取值范围是（ ） A. 304?? -??? ?， B. []304??-∞-+∞????U ，， C. ???? D. 203?? -????， 二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） 13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的
1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上， 则B 到该抛物线准线的距离为_____________。（3分） 2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2 22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、 右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为 ,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范 围.（6分） 3已知以原点O 为中心，) F 为右焦点的双曲线C 的离心率2 e = 。 （I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点 ()22,N x y （其中2x x ≠）的直 线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ?的面积。（8分）
4.如图，已知椭圆 22 22 1(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、 2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得 ·A B C D A B C D λ +=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分） 5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 922=+y x
解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于 过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值； （Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论.
3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的
专业资料 1. 设抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点为F，点 A(0, 2) .若线段FA的中点B在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_____________ 。（3 分） 2 . 已知m＞1，直线l : x my m20 ，椭圆 C : x 2 y21， F1,F2分别为椭圆C的左、 2m2 右焦点 . （Ⅰ）当直线l过右焦点 F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于A, B两点，V AF1F2，V BF1F2的重心分别为G, H .若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （6 分） 3 已知以原点 O为中心，F5,0 为右焦点的双曲线 C 的离心率e 5 。2 （I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（I I ）如题（20）图，已知过点M x1, y1 的直线 l1 : x1 x 4 y1 y 4 与过点 N x2 , y2（其中 x2x ）的直 线 l2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点E在 双曲线 C 上，直线MN与两条渐近 线分别交与G、H两点，求OGH 的面积。（8 分）
4. 如图，已知椭圆x2y21(a＞ b＞0) 的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 a2b22 焦点 F1 , F2为顶点的三角形的周长为4( 2 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明 k1·k2 1 ；（Ⅲ）是否存在常数，使得 A B C D A·B C恒D成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （ 7 分） 5. 在平面直角坐标系 x2y2 xoy 中，如图，已知椭圆1
目录 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线） (1) 一、设点或直线 (1) 二、转化条件 (1) （1）求弦长 (2) （2）求面积 (2) （3）分式取值判断 (2) （4）点差法的使用 (4) 四、能力要求 (6) 五、补充知识 (6) 关于直线 (6) 关于椭圆： (7) 例题 (7) 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）——————————————————一条分割线——————————————— 一、设点或直线 做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线的两个交点一般可以设为等。对于椭圆上的唯一的动点，还可以设为。在 抛物线上的点，也可以设为。◎还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求 的。对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同）。如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n。（注意：y=kx+m不表示平行于y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线的表达式中不含x的二次 项，所以直线设为或x=my+n联立起来更方便。 二、转化条件 有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0），平行四边形斜率：平行（斜率差为0）、垂 直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1
解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [
3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、
三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过 坐标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线
. 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知直线 1:210 l ax y ++=与直线2:(3)0 l a x y a --+=，若12//l l，则a 的值为（） A．1 B．2 C．6 D．1或2 2．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与 直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( ) A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x－1)2＋y2＝1 C．(x＋1)2＋y2＝4 D．(x－2)2＋y2＝4 3．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆 过点(0,2)，则C的方程为( ) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 4．双曲线x21( ) A． B. m≥1 C．m>1 D. m>2
二、填空题（题型注释） 5．经过圆x 2＋2x ＋y 2 ＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________． 6．已知抛物线y 2 ＝4x 的焦点F 恰好是双曲线22x a －2 2y b ＝1(a>0，b>0)的右顶点，且双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，则双曲线方程为________． 三、解答题（题型注释） 7．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程． 8．如图，在直角坐标系中，已知△PAB 的周长为8，且点A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)． (1)试求顶点P 的轨迹C 1的方程； (2)若动点C(x 1，y 1)在轨迹C 1上，试求动点Q 11,322x y ?? ??? 的轨迹C 2的方程．
数学解析几何经典例题~ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线x 22－y 21 ＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1) C ．(3，0)，(－3，0) D ．(0，3)，(0，－3) 解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3. ∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C. 答案： C 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析： 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立； 当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1. 所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件． 答案： C 3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0 解析： 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D. 答案： D 4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( ) A ．椭圆、双曲线、圆 B ．椭圆、双曲线、抛物线 C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线 D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线 解析： 当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示圆；当m <0时，方程为y 2－(－m )x 2＝1，表示双曲线；当m >0且m ≠1时，方程表示椭圆；当m ＝0时，方程表示两条直线． 答案： C 5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2 所得的直线方程是( ) A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．－x ＋2y ＋4＝0 D ．x ＋2y ＋4＝0 解析： 由题意知所求直线与直线2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)． 故所求直线方程为y ＋2＝－12 (x －0)， 即x ＋2y ＋4＝0. 答案： D 6．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为 ( ) A.32 B.34 C ．2 5 D.355
三、解答题 26.（18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点，过坐 标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ， 连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐 标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线 . 32 21 1| 32 3432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y =代入 22221,421212x y x k k μ+==++解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是--
故直线AB 的斜率为,20k k =++μ μμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2(32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 28. （理19） 已知椭圆2 2:14x G y +=.过点（m,0）作圆 22 1x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （II ）将 AB 表示为m 的函数，并求 AB 的最大值. （19）（共14分） 解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a
浙江高考历年真题之解析几何大题 2004年（22）（本题满分14分） 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）.点P 、Q 在双曲线的右支上，点M （m ,0）到直线AP 的距离为1. （Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,3 3[∈k ，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当12+= m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程. （2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若点P 在直线l 上运动，求∠F 1PF 2的最大值．
（2006年）如图，椭圆b y a x 2 22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T 且椭圆的离心率e= 23. (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，求证：2121||||||2 AT AF AF ＝ 。 （2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． （I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．
（2008年）已知曲线C 是到点P （83,21-）和到直线8 5-=y 距离相等的点的轨迹。 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，,MA l MB x ⊥⊥ 轴（如图）。 （Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得 QA QB 2为常数。 （2009年）已知抛物线C ：x 2=2py （p >0）上一点A （m ，4）到焦点的距离为 174 . （I ）求p 于m 的值； （Ⅱ）设抛物线C 上一点p 的横坐标为t （t >0）,过p 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M 点，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N.若MN 是C 的切线，求t 的最小值;
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围000180α≤< （2）经过两点的直线的斜率公式 是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地， 当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=-g 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线
一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知 112233 (,),(,),(,), A x y B x y C x y若 123AB AC x x x k k === 或，则有A、B、C三点共 线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。