三角形垂心的性质总结
三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE错误!于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。现在我们只要证明AD⊥BC即可。
错误!
因为CF⊥AB，BE错误!
所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
由∠FAH=∠FCB得
四边形AFDC为圆内接四边形
所以∠AFC=∠ADC=90°
即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）
由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）
所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE
所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：
在错误!中，若点O满足错误!，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由错误!得错误!，所以错误!。
同理OB错误!，错误!，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：
若三角形的三个顶点都在函数错误!的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为错误!的垂心，则上面的向量表示得错误!
因为错误!的三个顶点都在函数错误!的图象上，所以设错误!，错误!
因为错误!，所以错误!
所以错误!
所以错误! (1)
同理：由错误!得错误! (2)
三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE错误!于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。现在我们只要证明AD⊥BC即可。
联立（1）（2）两式，就可解出错误!
显然有垂心O在函数错误!的图象上。
点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。
（2005年全国一卷理科）错误!的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，错误!，则实数m =
错误!
分析：H显然为错误!的垂心，我们可取特殊情况来猜想m的值。于是我取错误!为直角三角形，角A为直角，此时H点与A点重合，且O为BC的中点（如图所示）。此时错误!，于是猜想m=1.
错误!
而对于一般情况，上面问题，我们不妨称之为三角形的垂心性质定理3：
错误!的外心为O，垂心为H，则错误!。
证明：作出错误!的外接圆和外接圆直径AD，连接BD,CD。
因为直径所对圆周角为直角，所以有错误!，
因为H为错误!的垂心，所以错误!
所以HC//BD，BH//DC,所以四边形BDCH为平行四边形，所以错误!。
因为错误!，且错误!
所以错误!。
点评：这条性质联系了三角形的外心与垂心，所得向量关系也相当简洁。以此为背景出高考题，也确实体现了命题者深厚的知识功底。
三角形垂心性质定理3：
三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
即：错误!的外心为O，垂心为H，D为BC中点，则AH=2OD。
错误!
证明：因为D为BC中点
所以错误!
由性质2知：错误!得
错误!
所以AH=2OD。
点评：性质定理3，也可看做是性质定理2的推论。
三角形垂心性质定理4：
锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
分析：应用上面的性质定理3，上面这一结论可改为
锐角三角形的外接圆与内切圆径之和等于外心到三角形三边距离之和。
即：如图在锐角错误!中，O为外心，D,E,F分别为三边的中点。设外接圆半径为
三角形垂心性质定理6：
H为△ABC的垂心，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
分析：要证两圆为等圆，只要证明它们的半径（或直径）相等就可以啦。而这两圆都是三角形的外接圆，于是我们就想到了正弦定理。
的直径为，的直径为，
因为HD，
所以四边形BEHD是圆内接四边形
所以
所以sinB=sin
所以=
所以，的外接圆为等圆。
同理△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
证明略。
点评：该题的证明过程中，应用到了性质1中的圆内接四边形性质和正弦定理。这也正是在提示我们要注意八方联系。
以上我对与三角形垂心有关的性质做了一些总结，当然也难免还有其它性质，我还没有发现。我写文章的目的，也就是在于启发读者经常进行总结，在总结中我们才会有新的发现和创新。
向量的重心、垂心、内心、外心、旁心 三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。 重心：ABC ?中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心：ABC ?中、每条边上所对应的垂线上的交点； 内心：ABC ?中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：ABC ?中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。 一、重心 1、O 是ABC ?的重心?0=++OC OB OA 若O 是ABC ?的重心，则ABC AOB AOC BOC ?=?=?=?3 1 故0=++OC OB OA , )(3 1 PC PB PA PG ++=?G 为ABC ?的重心. 2、 P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心?)(3 1 ++=. 证明： CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=?)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴0=++GC GB GA ?0=++CG BG AG ，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(3 1 ++=.（反之亦然（证略）） 3、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r ，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心. 例1 若O 为ABC ?内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则O 是ABC ? 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形垂心的性质 设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、 C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的 垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的 垂心； 3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH?HD=BH?HE=CH?HF。 5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。 7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP?tanB+AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC。 8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 12、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 13、设锐角△ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。 垂心的向径 定义 设点H为锐角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c， 则h=(tanA a +tanB b +tanC c)/(tanA+tanB+tanC). 垂心坐标的解析解： 设三个顶点的坐标分别为(a1，b1)(a2，b2)(a3，b3)，那么垂心坐标x=Δx/2/Δ，y=-Δy/2/Δ。 其中， Δ=det([x2-x1，x3-x2，y2-y1，y3-y2]); Δx=det([(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1)，y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2)，y3-y2]);
三角形的各个心总结 与归纳
三角形的心 三角形只有五种心 重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍； 垂心:三高的交点; 内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点; 旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称. 当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心. 1三角形重心 重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，C O延长线交AB于F。求证：F为AB中点。 证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。 重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X 2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 重心 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好． 2三角形垂心的性质 设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
三角形垂心的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
三角形垂心的性质总结 山西省原平市第一中学任所怀 三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。 证明：如图：作BE于点E，CF AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。现在我们只要证明AD BC即可。 因为CF AB，BE 所以四边形BFEC为圆内接四边形。 四边形AFHE为圆内接四边形。 所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB 由∠FAH=∠FCB得 四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD BC。 点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。 三角形垂心的性质定理1： 锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。求证：H为三角形DFE的内心。 证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。 同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。 由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）
由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角） 所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。 同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE 所以H为三角形DFE的内心。 点评：以上两个问题都用到了四点共圆。因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。 三角形垂心的向量表示： 在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。 证明：由得，所以。 同理OB，，则点O为垂心。 三角形垂心性质定理2： 若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。 证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得 因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设， 因为，所以
三角形三心及其应用重心 三角形的三条边的 中线交于一点.该点叫做三角形的重心.重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距 离之比为2︰1. 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三 角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比. 3、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数， 即其重心坐标为123123(,) 33x x x y y y ++++内心 三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心. 内心的性质： 1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心. 2、内心到三角形三边距离相等. 3、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一.
外心 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心. 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心. 2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合. 3、外心到三顶点的距离相等. 22．已知M 是一个平面有限点集．则平面上存在M 到中各点距离相等的点． （1）M 中只有三个点． （2）M 中的任意三点都不共线． 一元二次方程根的特殊分布 根落入不同区域的分析： 20(0) ax bx c a ++=≠（1）两个正根：1212 0,0,0x x x x ?≥>+>（2）两个负根：1212 0,0,0x x x x ?≥>+<（3）一正一负：12 0x x <（此时?必大于0）基于（3），若还要求正根的绝对值大于负根的绝对值，则 12120,0.x x x x +><
在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。 在同一三角形中，有两个底角（底角指三角形最下面的两个角）相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。 在同一三角形中，三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的三角形是等腰三角形。（简称：三线合一）。 主要特点 1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（三线合一”）。 3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
1、定义 2、三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。 2、性质 1.等边三角形的内角都相等，且均为60度。 2.等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。 3.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 4.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 3、判定 ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。 ⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 ⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
内心、外心、重心、垂心 1、内心 (1)定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 (2)三角形的内心的性质 ①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 ②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ③s= (r是内切圆半径) 2 ④在Rt△ ABC中，/ C=90 , r=(a+b-c)/2 . ⑤/BOC = 90 +Z A/2 / BOA = 90+/C/2 / AOC = 90+/B/2 2、外心 (1)定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。 (2)三角形的外心的性质 ①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 ③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
④OA=OB=OC=R ⑤/ B0C=2 BAC / AOB=Z ACB / C0A=2 CBA ⑥S A ABC二abc/4R 3、重心 (1)三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。 (2)三角形的重心的性质 ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 ②重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 ③重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 ④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) ；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：( Z1+Z2+Z3) /3 ⑤重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 4、垂心 (1)定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 (2)三角形的垂心的性质 ①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 ②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 ③垂心0关于三边的对称点，均在△ ABC的外接圆上
1、三角形重心的向量性质：0=++OC OB OA ． 2、三角形外心的向量性质：||||||OC OB OA ==． 3、三角形垂心的向量性质：OA OC OC OB OB OA ?=?=?． 4、三角形内心的向量性质：0=++OC c OB b OA a ． 证明：内心是内角分线的交点，c AB ，b AC 是AB ，AC 方向上的单位向量， 所以+c AB b AC 平分BAC ∠， 又AO 平分BAC ∠， 所以AO 与+c AB b AC 共线， 由共线定理知AO +=c AB (λ)b AC ， 所以AB AO ?+=c AB (λAB b AC ?)， 所以)( 2b AB AC c AB AB AO ?+=?λ， )cos 1(cos cos 22A c A c c b A bc c c b A B A C c AB +=+=+=?+， 由于AO 在AB 方向上的投影是AF ， 所以2 tan 2tan ||||||A rc c A OF AB AF AB AO =?==?， 所以)cos 1(2tan A c A rc +=λ， 所以)cos 1(2tan A A r +=λ， 而A A A A A A A A sin 2cos 2sin 22cos 22 cos 2sin )cos 1(2tan 2==?=+， 所以A r sin =λ， 根据r c b a A bc S ?++==?2sin 21，知道c b a b c A r ++=sin ， c b a F E D O C B A
所以c b a b c ++=λ， 将之代入AO +=c AB ( λ)b AC ，并整理得：AC c AB b AO c b a +=++)(， 由于OA OB AB -=，OA OC AC -=， 所以)()()(OA OC c OA OB b AO c b a -+-=++， 进一步整理即可得证．
三角形各种心的性质归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
三角形各种心的性质研究 一、基础知识 三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨． 1．重心：设G 是ABC ?的重心，AG 的延长线交BC 于D ，则，DC BD =)1(， （ 2）3:2:=AD AG ； （3）4222222 BC AC AB AD -+=，（4）3 ABC GBC S S ??=． 2.外心：设⊙O （R ）是ABC ?的外接圆，BC OD ⊥于D 交⊙O 于E ，则 （1）R OC OB OA ===；（2）A BOC ∠=∠2或)180(20A ∠-； （3）DC BD =⌒BE =⌒EC ；（4）C B A R R abc S ABC sin sin sin 24==?（正弦定理） 3.内心：设ABC ?的内心圆⊙I （)r 切边AB 于P ，AI 的延长线交外接圆于D ，则 （1） A BIC ∠+?=∠2190; (2)a c b a a c b A r AP -++=-+=∠=)(21 221cot ；(3)DC DI DB ==； (4)2 ) (c b a r S ABC ++=?; 4.垂心：设H G O ,,分别是ABC ?的外心，重心，垂心，BC OD ⊥于D ，AH 的延长线交外接圆于1H ，则，（1）OD AH 2=；（2）H 与1H 关于BC 成轴对称；（3）⊙=BCH ⊙ABC ；（4）,,,H G O 三点共线，且2:1:=GH OG ； 5．旁心：设ABC ?在A ∠内的旁切圆⊙1I （)1r 与AB 的延长线切于1P ，则，（1） A C BI ∠-=∠2 1 9001； （2）2211c b a A ctg r AP ++=∠=；（3）21c b a BP -+=；（4）2 1 C B AI ∠=∠；（5）2) (1a c b r S ABC -+=? 6．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系 在△ABC 中，内切圆⊙O 分别与三边相切于点K M ,L ，BC 边上的帝切圆⊙a O 与BC 边切于点H ，且分别与AB 边和AC 这的延长线相切于点Q 、点P ．设三边BC 、CA 、AB 分别为c b a ,,， C B A ∠∠∠,,分别为γβα,,，)(2 1 c b a p ++= ，内切圆半径为r ，旁切圆半径分别为c b a r r r ,,，外接圆半径为R ，三角形面积为?S ，则有如下关系式：（1）p AP =，a p AK -=，c b LH -=；（2） a p rp r a -= ；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半；（4）))((1 c p b p r r a --=；（5）c b a r r r r 1111--=；（6）2 tan 2 tan γ β ?= r r a M
三角形垂心的性质总结 山西省原平市第一中学任所怀 三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。 证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。现在我们只要证明AD⊥BC即可。 因为CF⊥AB，BE 所以四边形BFEC为圆内接四边形。 四边形AFHE为圆内接四边形。 所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB 由∠FAH=∠FCB得 四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。 点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。 三角形垂心的性质定理1： 锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。求证：H为三角形DFE的内心。 证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。 同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。 由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角） 由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。 同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE 所以H为三角形DFE的内心。 点评：以上两个问题都用到了四点共圆。因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。 三角形垂心的向量表示： 在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。 同理OB，，则点O为垂心。 三角形垂心性质定理2： 若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。 证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得 因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设， 因为，所以 所以 所以 (1) 同理：由得(2) 联立（1）（2）两式，就可解出 显然有垂心O在函数的图象上。 点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。 （2005年全国一卷理科）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， ，则实数m =
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 证明方法： 设三角形三个顶点为(x 1,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),(x 3 ,y 3 ) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平 方和为： (x 1-x)2+(y 1 -y)2+(x 2 -x)2+(y 2 -y)2+(x 3 -x)2+(y 3 -y)2 =3x2-2x(x 1+x 2 +x 3 )+3y2-2y(y 1 +y 2 +y 3 )+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2 =3[x-1/3*(x 1+x 2 +x 3 )]2+3[y-1/3*(y 1 +y 2 +y 3 )]2+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 显然当x=(x 1+x 2 +x 3 )/3,y=(y 1 +y 2 +y 3 )/3（重心坐标）时 上式取得最小值x 12+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 最终得出结论。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数， 即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。 7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+ 向量OC）
三角形及其性质（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法． 2. 理解三角形内角和定理的证明方法； 3. 掌握并会把三角形按边和角分类 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系． 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 要点二、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 1.按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：
. A一、三角形内角和定理 一、选择题 40°120°BCD1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（）A．75B．60C．45D．30 3.如图，直线m∥n，∠1=55，∠2=45，则∠3的度数为（） A．80B．90C．100D．110 【解析】选C.如图，由三角形的外角性质得 000 4125545100， 由m∥n，得34 0 100 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130°，250°， 则3的度数等于（） A．50°B．30°C．20°D．15° 【解析】选C在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°， 所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于（）. A.20° B.35° C.45° D.55° 【解析】选D因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55o，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．钝角三角形或锐角三角形 .
. 【解析】选B因为△ABC的一个外角为50°，所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. 4.（2008·聊城中考）如图，1100，2145，那么3（） 6 A．55°B．65°C．75°D．85° 答案：选B 二、填空题 oo 5.（2009·常德中考）如图，已知AE//BD，∠1=130，∠2=30，则∠C=． 【解析】由AE//BD得∠AEC=∠2=30o，∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130 o，∴∠C=180°-∠1- ∠AEC=180°-130 o- 30o=20o o答案： 20 6.（2009·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30 0, 则∠PFC=__________。 0 【解析】由EP平分 ∠AEF,∠PEF=30 0 得∠AEF=60 0 ，由AB//CD得∠EFC=120 0 ，由FP⊥EP得 ∠P=90 ， ∴∠PFE=180 0-900-300=600，∴∠PFC=1200-600=600. 答案：60° 7.（2008·长沙中考）△ABC中，∠A=55，∠B=25，则∠C=. 答案：100° 8.（2008·赤峰中考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得A100，B40，这块三角形木板另外一个角是度．
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1．O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 AB C AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故=++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2．O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：： ：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3．O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：： ：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是 ( ( ( =?=?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ，O 是 ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 是ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满 足 OA OP + +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为 是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又
三角形各心性质 重心的性质：（三条中线的交点） 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X 1+X 2 +X 3 )/3， （Y 1+Y 2 +Y 3 )/3。 5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心的性质：（三条边的垂直平分线的交点） 1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d 1，d 2 ，d 3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点 向量的点乘。C 1=d 2 d 3 ，c 2 =d 1 d 3 ，c 3 =d 1 d 2 ；c=c 1 +c 2 +c 3 。外心坐标：( (c 2 +c 3 )/2c，(c 1 +c 3 )/2c，(c 1 +c 2 )/2c )。 4、外心到三顶点的距离相等 垂心的性质：（三条高的交点） 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 内心的性质：（三个内角的角平分线的交点） 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 2、P为ΔABC所在空间中任意一点，点O是ΔABC内心的充要条件是：Po=(a×PA+b×PB+c×PC)/(a+b+c).
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定
A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．
三角形的心 三角形只有五种心 重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍； 垂心:三高的交点; 内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点; 旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称. 当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心. 1三角形重心 重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。 证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC= S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。 重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+ X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y 1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 重心 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．
2三角形垂心的性质 设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、 B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·H D=BH·HE=CH·HF。 5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。 7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB /AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 12、 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。 3三角形内心 定义 在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心, 三角形内心的性质 设⊿ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
三角形知识点全面总结 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL （R t △≌R t △） 2、等腰三角形的判定及性质 性质：①两腰相等 ②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”） ③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”） 判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 结论总结：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 【即：DE+DF=CP ，（D 为BC 上的任意一点）】 3、等边三角形的性质及判定定理 性质：①三条边都相等②三个角都相等，并且每个角都等于60度 ③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”） ④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 结论总结：① 高= 23边【即： AB AD 23=】 ② 面积= 243边【即：24 3 AB S ABC =?】 4、直角三角形的性质及判定 性质：①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。④斜边中线等于斜边一半 判定：①有一个内角是直角的三角形是直角三角形 ②勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。”） ③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形 结论总结：直角三角形斜边上的高= 斜边 直角边的乘积 【即：AB BC AC CD ?=】 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线:分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：①定义法②在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线 A B C D A B D A B C D O E P D A B A B C D E P F B
三 角 形 的“四 心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。 一、三角形的外心 定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。ABC ?的重心一般用字母O 表示。 性 质： 1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即 AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.向量性质：若点O 为ABC ?所在的平面内一点，满足 AC OA OC CB OC OB BA OB OA ?+=?+=?+)()()(，则点O 为ABC ?的外心。 二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆 圆心。ABC ?的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质： 性 质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝?2 1三角形的周长?内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量)||||( AC AC AB AB AP +=λ，则动 点P 的轨迹过ABC ?的内心。
三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母H 表 示。 性 质： 1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。 2.向量性质： 结论1：若点O 为ABC ?所在的平面内一点，满足 OA OC OC OB OB OA ?=?=?，则点O 为ABC ?的垂心。 结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足2 22222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ?的垂心。 四、三角形的“重心”： 定 义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母 G 表示。 性 质： 1.顶点与重心G 的连线必平分对边。 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2 倍。 即GF GC GE GB GD GA 2,2,2=== 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3 ,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ； （2）)(3 1PC PB PA PG ++= 。