第八章：期权定价的数值方法
教学目标：
1、了解二叉树期权定价模型并且熟悉二叉树模型的基本方法；
2、理解蒙特卡罗模拟的基本过程；
3、熟悉蒙特卡罗模拟的技术的实现。 教学重点：
1、二叉树模型的基本方法；
2、蒙特卡罗模拟。 教学难点： 1、蒙特卡罗模拟。 课时建议：3课时 教学主要内容：
8.1二叉树期权定价模型
把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t ?，并假设在每一个时间间隔t ?内证券价格只有两种运动的可能：
1.从开始的S 上升到原先的u 倍，即到达Su ；
2.降到原先的d 倍，即Sd
其中u>1,d<1.假设价格上升的概率为p ，则价格
下降的概率为1-p,相应的期权的价值也会有所不同，分别为f u 和f d
二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动 8.1.1二叉树模型的基本方法 二叉树模型可分为以下几种方法 一）单步二叉树模型
1.无套利定价法
2.风险中性定价法
3.风险中性定价法 （二）证券价格的树型结构
4.证券价格的树型结构
S
（三）倒推定价法 5. 倒推定价法
二叉树方法的一般定价过程－以无收益证券的美式看跌期权为例6.一般定价过程 无套利定价法：
构造投资组合包括?份股票多头和1份看涨期权空头当Su u Sd fd ?-=?-则组合为无风
险组合。此时：
u d
f f Su Sd -?=
-
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
()r t
u S f Su f e -??-=?-
将
u d
f f Su Sd -?=
-代入上式就可得到：
()1r t u d f e pf p f -?=+-????
其中，d
u d
e p t r --=?
1.风险中性定价法 在风险中性世界里：
（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；
（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值满足条件：Sd p pSu Se
t
r )1(-+=?
d p pu
e t r )1(-+=?
假设证券价格遵循几何布朗运动，则：
2
2
2
2
2
2
2
2
])1([)1(d p pu S d S p u pS t S -+--+=?σ []2222)1()1(d p pu d p pu t -+--+=?σ
再设定：
1
u d =
（第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox 、Ross 和Rubinstein 所用的条件）
由以上三式可得，当t ?很小时：d
u d e p t r --=?，t
e
u ?=σ
，t
e
d ?-=σ
从而，
()
1
r t
u d f e pf p f
-?
=+-
??
??
以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。
2.证劵价格的树形结构
Su2
4
S
2
4
在t i?时刻，证券价格有i+1种可能，它们可用符号表示为：j i j d
Su-,j=0.1 i
注意：由于
1
u
d
=
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
3.推到定价法
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
如果是欧式期权，可通过将时T刻的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率r 贴现求出每一结点上的期权价值；
如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有t?时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。4.二叉树方法的一般定价过程
假设把该期权有效期划分成N个长度为t?的小区间，同时用j i j d
Su-表示结点（i,j）处的
证券价格可得：
max(,0)
j N j N j f X Su d -=-，，其中j=0.1 N
假定期权不被提前执行，t ?后，则：
1,11,[(1)]
r t ij i j i j f e pf p f -?+++=+-
（表示在时间i t ?时第j 个结点处的美式看跌期权的价值） 若有提前执行的可能性，则：
1,11,max{,[(1)]}
j i j r t ij i j i j f X Su d e pf p f --?+++=-+-
8.1.2构造树图的其他方法和思路 1.三叉树图
每一个时间间隔t ?内证券价格只有三种运动的可能：
1.从开始的S 上升到原先的u 倍，即到达Su ；
2.保持不变，仍为S
3.降到原先的d 倍，即Sd 一些相关参数：
u e
σ=
2126d p r q σ?=--+
??
2126u p r q σ?=
--+
??
23m p =
2.控制方差技术
基本原理：期权A 和期权B 的性质相似，我们可以得到期权B 的解析定价公式，而只能得到期权A 的数值方法解
S
3
2
Su S Sd 3
21
d u
=
假设：F B -M B =F A -M A ,（F B 代表期权B 的真实价值，F A 表示关于期权A 的较优估计值，M B 和M A 表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值） 则期权A 的更优估计值为：F A =F B + M A -M B 3.适应性网状模型
采用相同的三叉树定价过程在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。
即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长t ?进一步细分，如分为t ?/4，每个小步长仍然 4.隐含树图
通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相一致的资产价格树图，从而得到市场对标的资产价格未来概率分布的看法。
其具体方法是在二叉树图中，通过前一时刻每个结点的期权价格向前推出（注意不是倒推）下一时刻每个结点的资产价格和相应概率
隐含树图的主要作用在于从交易活跃的常规期权中得到的关于波动率微笑和期限结构的信息，来为奇异期权定价 二叉树图模型的基本出发点：
假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率p ，从而为期权定价取当前时刻为t t -?，在给定参数p 、u 和d 的条件下，当0t ?→时，二叉树公式：
()()()(),,1,r t f S t t pf Su t p f Sd t e
-?-?=+-????
可以在(s,t)进行泰勒展开，最终可以化简为：
()()()()()22221,,,,02f f f
S t rS S t S S t rf S t o t t S S σ???++-+?=???
在0t ?→时，二叉树模型收敛于布莱克－舒尔斯偏微分方程。 8.2.1蒙特卡罗模拟的基本过程 基本思路：
由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报(payoff)的期望值的贴现；因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。 8.2.2蒙特卡罗模拟的技术的实现 随机路径： 在风险中性世界中，
()dS r q Sdt Sdz
σ=-+为了模拟的路径，我们把期权的有效期分
为N 个长度为时间段，则上式的近似方程为
()()2
ln ln 2S t t S t r q t σ??+?-=--?+ ???
或，
()()2exp 2S t t S t r q t σ???
+?=--?+? ?
??? （是从标准正态分布中抽取的一个随机样本）
重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，折现后就得到了期权的期望值。 单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟： 1、当回报仅仅取决于到期时S 的最终价值时
可直接用一个大步（T-0）（假设初始时刻为零时刻）来多次模拟最终的资产价格，得到期权价值：
()()2
0exp 2S T S r q T σσε???
=--+? ????
2、当回报依赖于多个市场变量时
每次模拟运算中对每个变量的路径都必须进行抽样，从样本路径进行的每次模拟运算可以得出期权的终值。的离散过程可以写为：
()()()()?i i i i i i i t t t m
t t s t t θθθθε+?-=?+?
常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟利率为常数时：期权价值为（初始时刻设为0）：
[]?rT
T
f e
E f -=
其中，
[]?E
?表示风险中性世界中的期望。 利率为变量时：期权价值为（初始时刻设为
0）:
?rT T f E e f -??=??,
r
为有效期内瞬间无风险利率的平均值
随机样本的产生和模拟运算次数的确定： 1.的产生
是服从标准正态分布的一个随机数。
如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：
12
1
6
i i R ε==-∑
其中R i (1≤i ≤12)是0到1的相互独立的随机数。 2. 模拟运算次数的确定
如果对估计值要求95％的置信度，则期权价值应满足f M M μμ-
<<+（M 是
进行运算的个数,u 为均值， 是标准差）
8.2.3减少方差的技巧 （一）对偶变量技术 （二）控制方差技术 （三）重点抽样法 （四）间隔抽样法
（五）样本矩匹配法
（六）准随机序列抽样法
（七）树图取样法
8.2.4蒙特卡罗模拟的理解和应用
主要优点：
1.在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡罗模拟方法，而无需对期权定价模型有深刻的理解
2. 蒙特卡罗模拟的适用情形相当广泛
主要缺点：
1. 只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形。
2. 为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。
课后作业：
1、二叉树模型有那几种方法？
2、构造树图的其他方法和思路有哪些？
3、如何理解蒙特卡罗模拟？
第十章 期权价格概述 【学习目标】 本章是期权部分的重点内容之一。本章首先从内在价值和时间价值两个方面对期权价格进行了深入解析，分析了影响期权价值的主要因素，确定期权价格的基本边界，探讨了美式期权是否需要提前执行的问题，从而画出了期权价格曲线的基本形状，最后，我们运用无套利分析的基本方法，推出了看涨期权和看跌期权之间的平价关系。学习完本章，读者应能够运用期权价格曲线，深入掌握期权价格中的内在价值和时间价值的有关内容，掌握期权价值的主要影响因素和期权价格的基本边界，掌握看涨期权和看跌期权之间的平价关系，同时理解美式期权的提前执行问题。 如第八章所述，期权交易实质上就是一种权利的交易。在这种交易中，期权购买者为了获得期权合约所赋予的权利，就必须向期权出售者支付一定的费用。这一费用就是期权费（期权价格），即期权合约本身的价格。在期权交易中，期权价格（价值1）的决定是一个重要而复杂的核心问题。自1973年以来，许多专家和学者纷纷提出各自的期权定价模型，以说明期权价格的决定和变动。在这些模型中，最著名的模型主要有如下两个：一个是布莱克－舒尔斯模型（The Black-Scholes Model ），另一个则是二项式模型（The Binominal Model ）。在第十一章，我们将对这两个模型作一简要的介绍和评价。在此之前，为了更好地说明这两个模型的内涵，我们有必要先对各种期权定价模型的理论基础——期权价格的构成、影响期权价格的主要因素以及期权价格的边界等问题进行深入的分析。 第一节 期权价格解析 尽管在现实的期权交易中，期权价格会受到多种因素的复杂影响，但从理论上说，期权价格都是由两个部分组成的：一是内在价值，二是时间价值。即 期权价格＝期权内在价值＋期权时间价值。 一、期权的内在价值 期权的内在价值（Intrinsic Value ）是指期权合约本身所具有的价值，也就是期权多方行使期权时可以获得的收益的现值。我们曾经在第八章中谈及这一概念2。例如，如果股票XYZ 的市场价格为每股60美元，而以该股票为标的资产的看涨期权协议价格为每股50美元，那么这一看涨期权的购买方只要执行此期权即可获得 1 000美元()60501001000??-?=??美元（股票期权通常为美式期权且一张期权合约的交易单位为100股股票）。这1 000美元的收益就是看涨期权的内在价值。 1 价格和价值本来是两个不同的概念，它们之间是市场价格和理论价值的区别。但是在对期权费的研究中，一般将这两者混用。所谓的期权价格（Options Price ）实际上就是期权价值（Options Value ），即期权的合理公平价值。 2 详见第八章第一节。
第九章期权定价公式及其应用 9.1复习笔记 一、布莱克一斯科尔斯期权定价公式 1．引言 关于期权定价问题的研究，最早可以追溯到1900年。法国的天才巴彻列尔，在其博士论文中首次给出了初步的欧式买权的定价公式。 20世纪60年代末，布莱克和斯科尔斯得到了描述期权价格变化所满足的偏微分方程，即所谓的B—S方程。1976年，默顿把B—S期权定价模型推广到股票价格变化可能存在跳跃点的场合，并包含了标的股票连续支付股利的情况，从而把该模型的实用性又大大推进了一步，学术界将其称为默顿模型。 2．布莱克一斯科尔斯期权定价公式 （1）基本假设 ①股票价格满足的随机微分方程（9—1）中的μ、σ为常数。 ②股票市场允许卖空。 ③没有交易费用或税收。 ④所有证券都是无限可分的。 ⑤证券在有效期内没有红利支付。 ⑥不存在无风险套利机会。 ⑦交易是连续的。 ⑧无风险利率r为常数。
（2）股票价格的轨道 在通常情况下，假设股票价格S：满足下列随机微分方程： （9—1） （9—2）其中S。称为对数正态过程。 （3）期权套期保值 寻找期权定价公式（函数）的主要思路为：构造以某一种股票和以该股票为标的期权的一个证券组合，而且所构造的证券组合正好是一个无风险资产的复制。 命题9—1设C t=r（t，S t）为期权现价格（t时刻的价格），F（t，z）关于t有一阶连续偏导数，关于x有二阶连续有界偏导数，且满足终值条件： （9—3）则F（t，S）是下列偏微分方程的解： （9—4）为了套期保值此期权，投资者必须卖空r2（t，S）股此股票。反之，若r（t，S）是方程（9—4）的解，则r（t，S t）是满足终值条件h（S T）的自融资证券组合的现值。 （4）布莱克一斯科尔斯公式用（9-5）式解的概率表示： （9—5）定理9—1 ①设S t所满足的方程中的系数均为常数，则期权价格可由下式给出： （9
奇异期权 奇异期权是比常规期权(标准的欧式或美式期权 )更复杂的衍生证券，这些产品通常是场外交易或嵌入结构债券。比如执行价格不是一个确定的数，而是一段时间内的平均资产价格的期权，或是在期权有效期内如果资产价格超过一定界限，期权就作废。 奇异期权也可以称为“新型期权”（exotic options），奇异期权花样繁多，他们通常都是在传统期权的基础上加以改头换面，或通过各种组合而形成。 奇异期权主要有以下几项品种： 1、打包合约（packages），是指将标准化的欧式看涨期权、欧式看跌期权、远期合约及现货标的资产作适当的组合，从而形成一种新的组合型的合约。 2、非标准化美式期权（nonstandard american options），通常也称“百慕大期权”（bermudan option），是相对于场内交易的标准化美式期权而言的。非标准化美式期权只能在期权有效期的某些特定日期可提前执行，而不是在期权有效期内的任一营业日都可提前执行。有些美式期权在不同时间执行将有着不同的协定价格。 3、复合期权（compound options），是指一种期权合约以另一种期权合约作为标的物的期权，它实际上是期权的期权。 4、任选期权，是指其持有者可在期权有效期内的某一时点选择该期权为看涨期权或看跌期权，与传统期权相比，任选期权的购买者具有更大的选择权，而其出售者将承担更大的风险，任选期权的期权费一般较高。 5、障碍期权（barrier options）的收益取决于标的资产的价格是否在一定的时期内达到一定的水平，可分为敲出期权和敲入期权。 6、回顾期权（lookback options）实质是一种特殊的欧式期权，它的收益取决于期权有效期内标的资产曾经达到过的最高价格或最低价格。 7、呼叫期权（shout options）是一种特殊的欧式期权，这种期权的持有者有权在期权有效期内的某一时间锁定一个最小盈利。 8、亚式期权（asian options）是指收益取决于期权有效期内至少某一段时期之平均价格的期权。 一般来说，奇异期权的表现形式包括障碍期权、亚式期权、打包期权、回溯期权和复合期权等。其中障碍期权在此次“期权门”中上镜率比较高。 一、障碍期权：是指期权的回报依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平(临界值)，这个临界值就叫做“障碍”水平； 其中障碍期权在此次“期权门”中上镜率比较高。例如，导致中信泰富亏损的主要衍生产品是“含敲出（Knock Out）障碍期权及看跌期权的澳元/美元累计远期合约”，以及更复杂的“含敲出障碍期权及看跌期权的欧元-澳元/美元双外汇累计远期合约”。 由于敲出障碍条款的存在，使得中信泰富在澳元高于0.87美元/澳元的行权价格时利润空间受到限制，据说利润最多只能达到4亿多港元。换个角度来说，作为对手的投行，其最大风险可能也就是4亿多港元。而中信泰富由于没有敲出条款的保护，相反还
B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件 (一)B-S模型有7个重要的假设 1、股票价格行为服从对数正态分布模式； 2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的； 3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割； 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。 6、不存在无风险套利机会； 7、证券交易是持续的； 8、投资者能够以无风险利率借贷。 (二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1] C = S * N(d 1) ? Le? rT N(d2) 其中: C—期权初始合理价格 L—期权交割价格 S—所交易金融资产现价 T—期权有效期 r—连续复利计无风险利率H
σ2—年度化方差 N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r = ln(1 + r 0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。 第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则。 B-S定价模型的推导与运用[1] (一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是: E[G] = E[max(S t? L,O)] 其中，E[G]—看涨期权到期期望值 S t—到期所交易金融资产的市场价值 L—期权交割(实施)价 到期有两种可能情况: 1、如果S t > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(S t? L,O) = S t? L 2、如果S t < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有: max(S t? L,O) = 0 从而: 其中:P：(S t > L)的概率E[S t | S t > L]：既定(S t > L)下S t的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:
文献综述 金融衍生品定价：EPMS估计量的渐近分布综述
金融衍生品定价：EPMS估计量的渐近分布综述 摘要 金融衍生品的定价是以各种定价模型的为基础的。其中，金融衍生品的定价以期权定价的研究最为广泛，许多优秀的模型都是从期权定价作为出发点考虑的。期权定价是整个金融衍生品定价的核心。 本文在首先介绍了期权基本概念的基础上着重介绍了期权定价理论的产生和发展的历史进程；然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述，突出综述了在整个期权定价理论中有着重要贡献的Black-Scholes定价模型以及在此基础上出现的树图模型、蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法等在期权定价理论体系中比较重要的思想。最后分析比较了各种定价方法之间的差别以及适用范围和各自的缺陷等，并对期权定价理论的未来研究做出展望。 关键词：期权定价，Black-Scholes模型，二叉树模型，蒙特卡罗法
目录 摘要 (i) 1.期权的分类及意义 (1) 1.1 期权的定义 (1) 1.2 期权的分类 (1) 1.3 新型模式 (2) 1.4 期权的特点 (3) 2.期权定价理论 (3) 2.1 早期期权定价理论研究 (3) 2.2 Black-Scholes期权定价模型 (4) 2.3 树图方法 (5) 2.4 蒙特卡洛法 (6) 2.5 有限差分方法 (7) 3.期权定价理论的研究展望 (7) 3.1 各种期权定价理论比较分析 (7) 3.2 期权定价理论的研究展望 (8) 4.总结 (9) 5.参考文献 (9)
金融衍生品定价：EPMS估计量的渐近分布综述 1.期权的分类及意义 1.1 期权的定义 期权又称为选择权，是在期货的基础上产生的一种衍生性金融工具。指在未来一定时期可以买卖的权利，是买方向卖方支付一定数量的金额（指权利金）后拥有的在未来一段时间内（指美式期权）或未来某一特定日期（指欧式期权）以事先规定好的价格（指履约价格）向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权力，但不负有必须买进或卖出的义务。 从其本质上讲，期权实质上是在金融领域中将权利和义务分开进行定价，使得权利的受让人在规定时间内对于是否进行交易，行使其权利，而义务方必须履行。在期权的交易时，购买期权的一方称作买方，而出售期权的一方则叫做卖方；买方即是权利的受让人，而卖方则是必须履行买方行使权利的义务人。 1.2 期权的分类 期权交易的类型很多，大致有如下几种： （1）按期权的权利划分，有看涨期权和看跌期权两种类型。 看涨期权（CallOptions）是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方买入一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须买进的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格卖出期权合约规定的特定商品。 看跌期权：按事先约定的价格向期权卖方卖出一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须卖出的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格买入期权合约规定的特定商品。 （2）按期权的交割时间划分，有美式期权和欧式期权两种类型。 美式期权是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利。 欧式期权是指在期权合约规定的到期日方可行使权利，期权的买方在合约到期日之前不能行使权利，过了期限，合约则自动作废。 （3）按期权合约上的标的划分，有股票期权、股指期权、利率期权、商品
第十一章奇异期权 复习思考题 11.1.在到期日的支付依附于标的资产有效期至少一段时间内的平均价格的期权是哪种？（） A、亚式期权 B、障碍期权 C、远期开始期权 D、两值期权 11.2.关于下列期权品种交易场所，说法正确的是：（） A、普通期权主要在场外交易 B、利率期权全部在交易所场内交易 C、奇异期权主要在场外交易 D、奇异期权主要在交易所场内交易 11.3.以下哪种期权可用来对冲标的资产波动率变化带来的风险（） A、后定期权 B、障碍期权 C、一篮子期权 D、叫停期权 11.4.下列说法中错误的是（） A、投资者为了规避金融资产远期波动率带来的风险，可以购买在未来某个时刻生效的期权，即远期开始期权 B、复合期权简单的理解就是期权的期权 C、回望期权给予投资者最优的收益函数 D、一篮子期权的标的资产是单一的 11.5.奇异期权包括（） A、任选期权 B、百慕大期权 C、障碍期权 D、美式期权 11.6.以下属于障碍期权的是（） A、平均价格期权 B、下跌敲入看涨期权 C、平均执行价格期权 D、下跌敲出看涨期权 11.7.常见的非标准美式期权有（） A、固定回报期权 B、远期开始期权 C、百慕大期权 D、加纳利期权 11.8.以下交易所推出了两值期权的产品的是（） A、美国证券交易所 B、芝加哥期权交易所 C、上海证券交易所 D、北美衍生品交易所 11.9.二叉树通常可用于哪些期权的定价（） A、叫停期权 B、一篮子期权 C、美式期权 D、欧式期权 11.10.平均价格期权A的执行价格基于算术平均值，下列数据反映了至今这些期权标的资产的市场价格：100元，102元，105元，104元，106元，这种期权的当期执行价格是多少？ 11.11.现有一个新发行的基于不付红利股票的回望看跌期权，执行价格为50，有限期限为3个月，无风险收益率为10%，股票价格波动率是年利率40%，该期权的价值为多少？ 11.12.当6个月后的S&P500指数大于1000时，一个衍生品提供的收益为100美元，否则提供的收益为0.设估值的当前水平为960，股指的股息收益率为3%，股指波动率为每年20%，无风险收益率为每年8%，这一衍生品的价格是多少？ 讨论题 11.1.奇异型期权与标准化的交易所交易期权存在哪些差异？ 11.2.具有同样到期期限的一个回望看涨期权和一个回望看跌期权组合的收益情况是什么样？ 11.3.假设在期权开始时，执行价格比股票价格高10%，如何对这样的远期开始看跌期权定价？设标的资产为无息股票。 11.4.静态复制的基本思想是什么？ 复习思考题答案
第八章 期权定价的数值方法 在前面几章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分方程，并且解出了一些精确的期权解析定价公式。但是在很多情形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数值方法（Numerical Procedures ）为期权定价，其中包括二叉树方法（Binomial Trees ）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation ）和有限差分方法（Finite Difference Methods ）。当期权收益依赖于标的变量所遵循的历史路径时（如我们将在第九章看到的路径依赖期权），或是期权价值取决于多个标的变量的时候，可以用蒙特卡罗模拟为期权定价。而二叉树图和有限差分方法则比较适用于有提前执行可能性的期权。在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价。为了便于表达，本章中统一假设当前时刻为零时刻，表示为0。 第一节 二叉树期权定价模型 二叉树期权定价模型是由J. C. Cox 、S. A. Ross 和M. Rubinstein 于1979年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。 一、二叉树模型的基本方法 我们从简单的无收益资产期权的定价开始讲解二叉树模型，之后再逐步加以扩展。 二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t ?，并假设在每一个时间间隔t ?内证券价格只有两种运动的可能：从开始的S 上升到原先的u 倍，即到达Su ；下降到原先的d 倍，即Sd 。其中，1u >，1d <，如图8.1所示。价格上升的概率假设为p ，下降的概率假设为1p -。 S 图8.1 t ?时间内资产价格的变动 相应地，期权价值也会有所不同，分别为u f 和d f 。 注意，在较大的时间间隔内，这种二值运动的假设当然不符合实际，但是当时间间隔非常小的时候，比如在每个瞬间，资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接受的。因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动。 （一）单步二叉树模型
期权定价理论文献综述 [摘要]本文在首先介绍了期权基本概念的基础上着重介绍了期权定价理论的产生和发展的历史进程；然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述，突出综述了在整个期权定价理论中有着重要贡献的Black-Scholes定价模型以及在此基础上出现的树图模型、蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法等在期权定价理论体系中比较重要的思想。最后分析比较了各种定价方法之间的差别以及适用范围和各自的缺陷等，并对期权定价理论的未来研究做出展望。 [关键字]综述；期权定价；Black-Scholes模型；二叉树模型；蒙特卡罗法 1 期权的分类及意义 1.1 期权的定义 期权（option）是一份合约，持有合约的一方（seller）有权（但没有义务）向另一方在合约中事先指定的时刻（或此时刻前）以合约中指定的价格购买或者出售某种指定数量的特殊物品。为了获得这种权利，期权的购买者（holder or buyer）必须支付一定数量的权利金（也称保证金或保险金），因此权利金就成为期权这个金融衍生品的价格。 1.2 期权的分类 期权交易的类型很多，大致有如下几种： （1）按交易方式可分为看涨期权、看跌期权和双重期权； （2）按期权的执行时间不同可分为美式期权和欧式期权； （3）按期权交割的内容标准可分为股票期权、货币期权、利率期权与指数期权； 此外近年来还发展了许多特殊的期权交易形式，如回溯期权、循环期权、价差期权、最大/最小期权、平均价期权、“权中权”期权等。
1.3 期权的功能 作为套期保值的工具。当投资者持有某种金融资产，为了防范资产价格波动可能带来的风险，可以预先买卖该资产的期权来对冲风险。当投资者预期基础资产的市场价格将下跌时，为防止持有这种资产可能发生的损失，可以买入看跌期权予以对冲，其所付成本仅为购买期权的权利金。通过购买看涨期权和看跌期权，一方面可以达到基础资产保值的目的；另一方面也可以获得基础资产价格升降而带来的盈利机会。 作为投机的工具。在投资者并不需要为持有资产作对冲风险的交易时，也可根据对基础资产价格必定性大小的预期，买卖期权本身来获得盈利，投资者买卖期权的目的已从对冲风险，变成赚取期权的价差利益，即投机，通过购买期权和转卖期权的权利金差价中获利，或通过履约从中获利。 2 期权定价理论的历史发展 2.1 早期期权定价理论研究 期权的思想萌芽可追溯到公元前1800年的《汉漠拉比法典》，而早在公元前1200年的古希腊和古胖尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形，只不过在当时条件下不可能对其有深刻认识。公认的期权定价理论创始人是法国数学家Louis Bachelicr。1900年，他在博士论文“投机理论”中第一次对股票价格的走势给予了严格的数学描述。他假设股票价格变化过程是一个无漂移和每单位时间具有方差2 的纯标准布朗运动，并得出到期日看涨期权的预期价格是：其中 参数π是市场“价格杠杆”调节量，α是股票预期收益率。这一模型同样也没有考虑资金的时间价值。 Boness在1964年也提出了类似的模型，他对股票收益假定了一个固定的对数分布，并且认识到风险保险的重要性。为简明，他假定“投资者不在乎风险”。他利用这一假设证明了用股票的预期收益率α来贴现最终期权的预期值。他的最终模型是：
期权定价的数值方法 小结 1.当不存在解析解时，可以用不同的数值方法为期权定价，其中主要包括二叉树图方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。 2.二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。 3.蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。 4.有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解，具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法、“跳格子方法”和 Crank-Nicolson方法等。 5.树图方法和有限差分方法在概念上是相当类似的，它们都可以看成用离散化过程解出偏微分方程的数值方法，都适用于具有提前执行特征的期权，不太适合路径依赖型的期权。其中二叉树模型由于其简单直观和容易实现，是金融界中应用得最广泛的数值定价方法之一；有限差分方法则日益受到人们的重视。 6.蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接，能处理许多盈亏状态很复杂的情况，尤其是路径依赖期权和标的变量超过三个的期权，但是不擅长于处理美式期权，而且往往所需计算时间较长。 二叉树定价方法的基本思想：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格连续运行可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率p，从而为期权定价。 蒙特卡洛模拟的基本思想：由于大部分期权的价值都可以归结为期权到期回报的期望值的贴现，因此尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种结果路径下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。 蒙特卡洛模拟的优点：在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡洛模拟，而无需对期权定价模型有深刻的认识；蒙特卡洛模拟的适用情形相当广泛。 蒙特卡洛模拟的缺点：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行期权的的定价情形；为了达到一定的精准度，需要大量的模拟运算。 有限差分方法的基本思想：将衍生证券所满足的偏微分方程转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近偏微分方程中的各项，之后用迭代法求解以得到期权价值。
2011 级 学院：金融学院 专业：金融学班级：金融1111班 学生姓名：陶彦宇学号： 1103110243 完成日期： 2014年8月 2011 年 8 月
期权定价的研究综述 摘要： 随着美国次贷危机和欧债危机的相继发生，人们对于资金风险管理的要求越来越高。期权作为一种风险规避工具越来越受到人们的重视，而随着计算机技术的大规模使用，一些新型期权被开发出来。而对于期权的定价，则成为了期权应用的重点。 关键词：期权定价 综述 金融期权 数值方法 正文： 自从期权产生之后，学者们一直在努力研究期权的定价理论。近代期权研究公认以法国数学家 Louis Bachelier 对Brown 运动的研究为开端。1900年，他的博士论文《The Theory of Speculation 》首次给出欧式期权的定价公式[1]，被认为是奠定了期权定价理论研究的基础。Bachelier 假设股票价格变化服从漂移率为0，波动率为σ的绝对布朗运动，推导出看涨期权的价格为： ??? ??-+??? ??--??? ??-=T K S T K S KN T K S N S C T T T T σ?σσ 其中T S 为期权到期时T 时刻股票的价格，K 为期权的执行价格，()??为标准正态分布的密度函数，()?N 为标准正态分布的累计概率密度函数。 但在后来的研究中，学者们发现其局限性也是显著的： 1.Bachelier 在论文中采用的绝对布朗运动允许股票的价格为负，不符合实际情况。 2.Bachelier 认为当时间趋向于正无穷时，期权价格可以高于股票价格，也不符合实际情况。 3.Bachelier 没有考虑货币的时间价值，这也是很大的局限性。 在这之后五十多年的时间内，期权定价的发展一直处于停滞阶段，Sprenkle （1961）假设股票价格服从对数正态分布，同时加入正向漂移项[2],解决了Bachelier 论文中股票价格可能为负的问题。但该模型仍然忽略了货币的时间价值。
参考文献 1、期权、期货和其它衍生产品，John Hull，华夏出版社。 2、期权定价的数学模型和方法，姜礼尚著，高等教育出版社。 3、金融衍生产品定价的数学模型与案例分析，姜礼尚等著，高等教育 出版社。 4、金融衍生产品定价—数理金融引论，孙建著，中国经济出版社。 5、金融衍生工具中的数学，朱波译，西南财经大学出版社。 6、N umerical methods in finance and economics—a MATLAB-based introduction， Paolo Brandimarte，A JOHN WILEY & SONS,INC.,PUBLICATION 7.金融计算教程—MATLAB金融工具箱的应用，张树德编著，清华大学出 版社。 8、数值分析及其MATLAB实现,任玉杰著，高等教育出版社。 9、数学物理方程讲义，姜礼尚著，高等教育出版社。 10、英汉双向金融词典，田文举主编，上海交通大学出版社。 11、偏微分方程数值解法，孙志忠编著，科学出版社。 第三部分期权定价模型与数值方法 期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具。理论和实践均表明，只要投资者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例，就可以获得无风险收益。这种组合的确定有赖于对衍生证券的定价。上个世纪七十年代初期，Black 和 Scholes 通过研究股票价格的变化规律，运用套期保值的思想，成功的推出了在无分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。从而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳定、完善与繁荣。
一、期权定价基础 1.1 期权及其有关概念 1．期权的定义 期权分为买入期权（Call Option）和卖出期权（Put Option） 买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。 卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。 针对有效期规定不同期权又分为欧式期权（European Option）与美式期权（American Option） 欧式期权只有在到期日当天或在到期日之前的某一规定的时间可以行使的权利 美式期权在到期日之前的任意时刻都可以行使的权利。 2．期权的要素 期权的四个要素：施权价（exercise price或striking price）；施权日（maturing data）；标的资产（underlying asset）；期权费（option premium）对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只有权利而没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，只有义务而没有权利。 3．期权的内在价值 买入期权在执行日的价值 C为 T 其中， E为施权价， S为标的资产的市场价。 T
综述研究 期权定价方法综述① 刘海龙,吴冲锋 (上海交通大学安泰管理学院,上海200052) 摘要:介绍了期权定价理论的产生和发展;然后对期权定价方法及其实证研究进行了较详细的分类综述,突出综述了既适用于完全金融市场,又适用于非完全的金融市场的确定性套利定价方法、区间定价方法和Ε2套利定价方法;最后,对各种方法的条件和特点进行了讨论和评价. 关键词:综述;期权定价;蒙特卡罗模拟;有限差分方法;Ε2套利;区间定价 中图分类号:F830.9 文献标识码:A 文章编号:100729807(2002)022******* 0 引 言 期权是一种极为特殊的衍生产品,它能使买方有能力避免坏的结果,而从好的结果中获益,同时,它也能使卖方产生巨大的损失.当然,期权不是免费的,这就产生了期权定价问题.期权定价理论是现代金融理论最为重要的成果之一,它集中体现了金融理论的许多核心问题,其理论之深,方法之多,应用之广,令人惊叹.期权的标的资产也由股票、指数、期货合约、商品(金属、黄金、石油等),外汇增加到了利率,可转换债券、认股权证、掉期和期权本身等许多可交易证券和不可交易证券.期权是一种企业、银行和投资者等进行风险管理的有力工具. 期权的理论与实践并非始于1973年B lack2 Scho les关于期权定价理论论文的发表.早在公元前1200年的古希腊和古腓尼基国的贸易中就已经出现了期权交易的雏形,只不过当时条件下不可能对其有深刻认识.期权的思想萌芽也可以追溯到公元前1800年的《汉穆拉比法典》.公认的期权定价理论的始祖是法国数学家巴舍利耶(L ou is B achelier,1900年),令人难以理解的是,长达半个世纪之久巴舍利耶的工作没有引起金融界的重视,直到1956年被克鲁辛格(K ru izenga)再次发现. 1973年芝加哥委员会期权交易所创建了第一个用上市股票进行看涨期权交易的集中市场,首次在有组织的交易所内进行股票期权交易,在短短的几年时间里,期权市场发展十分迅猛,美国股票交易所、太平洋股票交易所以及费城股票交易所纷纷模仿,1977年看跌期权的交易也开始出现在这些交易所内.有趣的是,布来克和斯科尔斯(B lack and Scho les)发表的一篇关于期权定价的开创性论文也是在1973年[1],同年,莫顿教授又对其加以推广和完善,不久,B lack2Scho les期权定价方程很快被编成了计算机程序,交易者只需键入包括标的资产价格、标的资产价格的波动率、货币利率和期权到期日等几个变量就很容易解出该方程,后来有人用这个方程对历史期权价格进行了验证,发现实际价格与理论价格基本接近,这一理论研究成果直接被应用到金融市场交易的实践中,推动了各类期权交易的迅猛发展. 关于期权定价的理论研究[2-30]和综述文献[31-33]已相当丰富.本文与以往综述类文献根本不同的特点是将金融市场分为完全的金融市场和非完全的金融市场.突出了适用于非完全市场期 第5卷第2期2002年4月 管 理 科 学 学 报 JOU RNAL O F M ANA GE M EN T SC IEN CES I N CH I NA V o l.5N o.2 A p r.,2002 ①收稿日期:2001201208;修订日期:2002201216. 基金项目:国家自然科学基金(70173031)资助项目;国家杰出青年科学基金(70025303)资助项目;教育部跨世纪优秀人才基金资助项目. 作者简介:刘海龙(19592),男,吉林省吉林市人,博士,教授.
第八章：期权定价的数值方法 教学目标： 1、了解二叉树期权定价模型并且熟悉二叉树模型的基本方法； 2、理解蒙特卡罗模拟的基本过程； 3、熟悉蒙特卡罗模拟的技术的实现。 教学重点： 1、二叉树模型的基本方法； 2、蒙特卡罗模拟。 教学难点： 1、蒙特卡罗模拟。 课时建议：3课时 教学主要内容： 8.1二叉树期权定价模型 把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t?，并假设在每一个时间间隔t?内证券价格只有两种运动的可能： 1.从开始的S上升到原先的u倍，即到达Su； 2.降到原先的d倍，即Sd 其中u>1,d<1.假设价格上升的概率为p，则价格 下降的概率为1-p,相应的期权的价值也会有所不 同，分别为f u和f d 二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值 运动来模拟连续的资产价格运动 8.1.1二叉树模型的基本方法 二叉树模型可分为以下几种方法 一）单步二叉树模型 1.无套利定价法 2.风险中性定价法 3.风险中性定价法 （二）证券价格的树型结构 4.证券价格的树型结构 （三）倒推定价法 5. 倒推定价法 二叉树方法的一般定价过程－以无收益证券的美式看跌期权为例6.一般定价过程 无套利定价法： 构造投资组合包括?份股票多头和1份看涨期权空头当Su u Sd fd ?-=?-则组合为无风险 组合。此时： u d f f Su Sd -?= - 因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得 ()r t u S f Su f e-??-=?- 将 u d f f Su Sd - ?= -代入上式就可得到： () 1 r t u d f e pf p f -? =+- ?? ?? S
第八章蒙特卡洛期权定价方法 在金融计算中蒙特卡洛模拟是一种重要的工具：可以用来评估投资组合管理规则、为期权定价、模拟套期保值交易策略、估计风险价值。蒙特卡洛方法主要的优势在于对大多数情况都适用、易于使用、灵活。它把随机波动性和奇异期权的很多复杂特性都考虑进去了，更倾向于使用处理高维问题，而网格和PDF分析框架却不适用。蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于它的计算量大。多次的重复需要完善我们所关注的置信区间的估计。利用方差缩减技术和低差异序列可以部分的解决这个问题。本章的目的是解释这些技术在一些例子上的应用，包括一些路径依赖型期权。这章是第四章的延伸，在第四章里我们讨论了蒙特卡洛积分。需要强调的是蒙特卡洛方法是概念上的一个数字积分工具，即使我们适用更多的“模拟”或“抽样”。在使用低差异序列而不是伪随机生成时这需要牢记。 如果可能，我们可以把模拟的结果和分析公式进行比较。很明显我们这样做的目标是一个纯粹的教学。如果你要计算一个矩形房间的面积，你只需要用房间的长度乘以房间的宽度即可，而不必要计算有多少次一块标准砖与这个表面相匹配。尽管如此，你还是应该学会在一些简单案例中首先适用模拟的方法，在这些简单的例子中我们可以检验答案的一致性；更进一步，我们也要看为达到方差减小的目的分析公式可用于的模拟期权可能更有力的控制变量。 蒙特卡洛应用的出发点是生成样本路径，这个生成的样本路径给予一个描述价格（或利率）动态的随机微分方程。在8.1节我们解释几何布朗运动的路径生成；
在一个具体例子中模拟两个对冲策略，我们也会讨论布朗桥，它是适时推进模拟样本的一个替代方案。在8.2节将讨论交换期权，它被用作为一个如何将这种方法推广到多维过程的一个简单实例。在8.3节我们考虑一个弱路径依赖型期权的例子，这是个下跌敲出看跌期权；我们加入了有条件的蒙特卡洛和为减小方差抽样的重要性。在8.4节将讨论到强路径依赖型期权，同时我们证明了运用控制变量和低差异序列为算术平均亚式期权定价。我们以概述由蒙特卡洛抽样产生的估计期权敏感性的基本问题来结束本章；在8.5节我们考虑一个普通的看涨期权A的简单案例。在第10.4节将讨论到随机模拟期权定价的另一个应用，它应用于美式期权；而一个简单的模拟方法在早期的应用中不可实行，并且这个问题在随机动态优化的框架里被强制转换。 8.1 路径生成 蒙特卡洛期权定价方法的应用的出发点是对样本基本因素路径的产生。对于一般的期权就像在第四章里面一样不需要产生路径：只需要关注标的资产到期日的价格。但是如果路径依赖型期权，我们就需要整条路径或者至少需要在给定时刻的一系列价值。如果服从几何布朗运动，情况的处理就非常简单。事实上，必须认识到在路径生成中有两个误差源：样本误差、离散误差。 样本错误时因为蒙特卡洛方法的随机性，这个问题可以通过减小方差的办法得到缓解。为了理解什么是离散错误，我们考虑一个典型的离散连续时间模型，例如：伊藤随机微分方程：
实物期权方法综述 清华大学经济管理学院蔚林巍副教授章刚 摘要：实物期权一方面是用来对项目决策中的灵活性进行定量评估的一种方法，另一方面，也是实物资产定价的一种方法。本文回顾了从+,- 到实物期权的发展，介绍了期权定价的各模型，指出了实物期权方法的难点及其解决方法，提出实物期权方法应和决策树分析、动态规划、学习理论、博弈论、竞争论、公司战略等知识领域相结合，为人们提供在真实的商业世界中进行分析思考和竞争的有力武器。 关键词：实物期权；不确定性；灵活性；综述 公司经常面临的决策问题是是否要投入大量资金开展某项目。很多战略性项目，如研发项目、信息化投资等，常常并不带来即刻的回报，而是通过提升组织的内在能力而创造出未来有利的投资机会。这些战略性项目的回报可能以多种形式发生在未来某个不确定的时间并且常常是多阶段的，即一个成功的项目会导致后续更多的投资机会。 为了正确评估这样的项目，实物期权方法逐渐取代传统的折现现金流法（DCF 法），越来越得到很多公司的重视和应用。当简单地使用传统的折现现金流法来评估战略性项目时，因为灵活性的价值被忽略，导致该战略性项目的价值被低估进而导致战略性投资不足，如研发投资不足、信息化建设行动迟缓，则会损害公司的长期竞争力。而实物期权方法考虑了所有未来的投资机会，为当前项目的决策提供了更准确的依据。 一、从DCF到实物期权 为了比较资本性投资项目的各备选方案，长期以来使用的是回收期法、内部收益率法和净现值法。Herath等人（2001）认为，以上基于DCF的各种方法用于现实中具有不确定性的情况时有以下缺点：首先，未来现金流的预测和折现率的决定非常困难；其次，DCF法忽略了决策者根据新信息修正决策的灵活性；再次，投资决策在DCF方法中被看作是要么现在就投，要么永远不投的一次性的决策，
材料五：蒙特卡洛方法模拟期权定价 1．蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价 利用风险中性的方法计算期权定价： ?()rt T f e E f -= 其中，f 是期权价格，T f 是到期日T 的现金流，?E 是风险中性测度 如果标的资产服从几何布朗运动： dS Sdt sdW μσ=+ 则在风险中性测度下，标的资产运动方程为： 2 0exp[()]2T S S r T σ=-+ 对于欧式看涨期权，到期日欧式看涨期权现金流如下： 2 (/2)max{0,(0)}r T S e K σ-+- 其中，K 是执行价，r 是无风险利率，σ是标准差， ε是正态分布的随机变量。 对到期日的现金流用无风险利率贴现，就可知道期权价格。 例1 假设股票价格服从几何布朗运动，股票现在价格为50，欧式期权执行价格为52，无风险利率为0.1，股票波动标准差为0.4，期权的到期日为5个月，试用蒙特卡洛模拟方法计算该期权价格。 下面用MATLAB 编写一个子程序进行计算： function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu) %蒙特卡洛方法计算欧式看涨期权的价格 %输入参数 %s0 股票价格 %K 执行价 %r 无风险利率 %T 期权的到期日 %sigma 股票波动标准差 %Nu 模拟的次数 %输出参数 %eucall 欧式看涨期权价格 %varprice 模拟期权价格的方差 %ci 95%概率保证的期权价格区间
randn('seed',0); %定义随机数发生器种子是0, %这样保证每次模拟的结果相同 nuT=(r-0.5*sigma^2)*T sit=sigma*sqrt(T) discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1))-K) %期权到期时的现金流 [eucall,varprice,ci]=normfit(discpayoff) %在命令窗口输入：blsmc(50,52,0.1,12/5,0.4,1000) 2． 蒙特卡洛方法模拟障碍期权定价 障碍期权，就是确定一个障碍值b S ，在期权的存续期有可能超过该价格，也可能低于该价格，对于敲出期权而言，如果在期权的存续期标的资产价格触及障碍值时，期权合同可以提前终止执行；相反，对于敲入价格，如果标的资产价格触及障碍值时，期权合同开始生效。 当障碍值b S 高于现在资产价格0S ，称上涨期权，反之称下跌期权。 对于下跌敲出看跌期权，该期权首先是看跌期权，股票价格是0S ，执行价格是K ，买入看跌期权就首先保证以执行价K 卖掉股票，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前终止执行的条款，容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权就提前终止执行。因为该期权对于卖方有利，所以其价格应低于看跌期权的价格。 对于下跌敲出看跌期权，该期权首先是看跌期权，股票价格是0S ，执行价格是K ，买入看跌期权就首先保证以执行价K 卖掉股票，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前终止执行的条款，容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权就提前终止执行。因为该期权对于卖方有利，所以其价格应低于看跌期权的价格。 对于下跌敲入看跌期权，该期权首先是看跌期权，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前何时生效的条款，容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权开始生效。 当障碍值b S 确定时，障碍期权存在解： 4275{()()[()()]}rT P Ke N d N d a N d N d -=--- 03186{()()[()()]}S N d N d b N d N d ---- 其中 212/0()r b S a S σ-+=， 212/0 ()r b S b S σ+=， 2 1d =
1、金融数学的发展历程 一直以来，基于金融市场就有风险性高和不确定因素多的 特点，金融投资者坚持不懈地在探索如何运用科学合理的评估 资产风险和期权价格的方法。金融数学模型的建立有效地解决 了评估资产风险难度大和期权定价问题。同时对金融市场的风 险分析、预测和监控都起到了重要作用。金融数学是上世纪法 国的一位叫做巴谢利耶的数学家所提出的，在他的“投机的理 论”这篇博士论文中对金融数学进行详尽的阐述。巴谢利耶在 论文中运用的相关理论对股票价格的变化进行了描述，认为在 资本市场内，存在买和卖的关系，买者看股票价格的涨，卖者 看股票价格的跌。股票价格波动同布朗运动极为相似，其统计 分布为正态分布。在上世纪七十年代，费希尔·布莱克和迈伦·斯 科尔斯Black-scholes 公式的提出和论文的发表，标志着金融数 学第二次革命的爆发。国外的一位叫做斯蒂芬·罗斯曾的专家 教授认为; 费希尔·布莱克和迈伦·斯科尔理论对经济学的发 展有着重要推动作用，同时也将对金融市场的改革和发展产生 积极的影响。随着金融数学理论的不断发展和完善，在今天膨 胀发展的金融领域，如何运用金融数学技巧对期权进行定价成 为了金融领域广泛关注和研究的重点课题。 2、期货的定义 在经济市场中存在着现货交易和期货交易两种交易方式。 一般对于现货交易我们比较容易理解，从古代的用货物交换货 物发展到今天的用货币购买货物的这些交易形式我们可将其叫 做现货交易。而期货交易，通俗地讲就是买者和卖者集中在指 定的场所内，卖者通过公开竞价方式进行期货买卖，双方并签 订合约。假如合约内的某种商品在市场内销售的比较好，合约 持有者可通过期货交易的方式从中赚取可观的合约价差。如果 合约持有者发现市场价格高于原先合约中的执行价格，那么合 约持有者会放弃期权的执行，以便能够获得良好的经济效益。 3、运用金融数学技巧进行期权定价 举例分析，假如我们手中积累了一定资金，但是在短期内 不需要消费这些资金，我们通常会想到怎么才能拿这部分资金 去赚去一定的资金。比较常见的就是拿着钱去市场进行投资。 假设经济市场中可供我们选择的投资方式有两种，一种是市场 风险性比较小的投资方式，比如将我们的资金存入银行，经过 一段时间后我们的资金x0会增加到x0（1+r），（r为银行利率）。 另外一种是带有一定风险性的。比如我们拿资金去购买股票。 我们花Ｓ0的资金购入一定数量的股票，经一段时间后股票的 价格Ｓ1可能是uＳO或者是dS0，d0。 而对于其他方式的投资，其投资都是具有一定风险性，相应地 其投资所得的回报也是随机的。 参考文献 [1] 刘海龙、德惠：《人文科学与自然科学的交叉研究：金融学中 的数理方法综述》，《东北大学学报》，1999 年第4 期。 [2] 弗兰克·Ｊ·法伯兹、弗朗哥·莫迪里阿尼、迈克尔·Ｇ·费 里，金融市场与机构通论，东北财经大学出版社，2000 年。 [3]Joseph Stampfli，Victor Goodman 著，蔡明超译：《金融数学》， 如何运用金融数学技巧进行期权定价 李?阳 （安徽财经大学?安徽?蚌埠） 【摘要】金融数学是一门综合性学科，它是借助概率统计学、泛函分析、随机分析等学科理论知识对风险资产 定价、避免以及投资者最优投资策略进行研究的学科。运用金融数学对期权进行定价，有助于金融市场良性运作， 同时对企业投资决策和风险控制管理等方面也有着重要作用。本文对期货进行了概述，探讨了如何运用金融数 学技巧进行期权定价的方法。 【关键词】金融数学?期权定价?方法