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数学高考导数难题导数零点问题导数整理

含参导函数零点问题的几种处理方法方法一：直接求出，代入应用

对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。（1）因式分解求零点例1 讨论函数)(12)2

(31)(23R a x x a ax x f ∈+++-=

的单调区间解析：即求)('x f 的符号问题。由)2)(1(2)12()('2--=++-=x ax x a ax x f 可以因式分

方法二：猜出特值，证明唯一

对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。例4 讨论函数ax x a x e a x x f x

++-+

--=23)1(2

31)1()(，R a ∈，的极值情况解析：)1)(()1()()('2-+-=++-+-=x e a x a x a x e a x x f x x ，只能解出)('x f 的一个零点为a ,其它的零点就是01=-+x e x

的根，不能解。

例5（2011高考浙江理科）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2 （Ⅰ）若e x =为)(x f y =的极值点，求实数a

（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的],3,0(e x ∈恒有24)(e x f ≤成立（注：e 为自然对数），

方法三：锁定区间，设而不求

对于例5，也可以直接设函数来求，

①当10≤

40)(e x f <≤成立②当e x 31≤<，由题意，首先有

,4)3ln(3()3(22

e e a e e

f ≤-=）解得)

3ln(23)

3ln(23e e e a e e e +

≤≤-

由'()()(2ln 1)a

f x x a x x

=-+-，但这时

会发现0)('=x f 的解除了a x =外还有x

x -+1ln 2=0的解，显然无法用特殊值猜出。令()2ln 1a

h x x x

=+-

，注意到01)1(<-=a h ，0ln 2)(>=a a h ，

且(3)2ln(3)12ln(3)13a

h e e e e

=+-

≥+

2(ln 30e 。

故0)('=x f 在),1(a 及（1，3e ）至少还有一个零点，又()h x 在（0，+∞）内单调递增，所以函数()h x 在]3,1(e 内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的方法，记此零点为0x ，则a x <<01。从而，当0(0,)x x ∈时，'()

0f x ；当0(,)x x a ∈时，'()

f x a ；当(,)x a ∈+∞时，'()

0f x ，即()f x 在0(0,)

x 内单调递增，在0,()x a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增。所以要使2

()4f x e ≤对](1,3x e

∈恒成立，只要

00022

()()ln 4,(1)

(3)(3)ln(3)4,(2)

f x x a x e f e e a e e ?=-≤??=-≤??成立。 000

()2ln 10a

h x x x =+-

=，知002ln a x x =+（3）将（3）代入（1）得232004ln 4x x e ≤，又01x ，注意到函

数2

ln x x 在[1,+∞)内单调递增，故01

x e ≤。再由（3）以及函数x x x +ln 2在（1.+ +∞)内单调递增，可得

13a e ≤。由（2

）解得，33e a e ≤≤

33e a e -≤≤综上，a

的取值范围为

33e a e -

≤≤。

例6 已知函数||ln )(b x x ax x f ++=是奇函数，且图像在))(,(e f e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3 （1）求b a ,的值（2）若Z k ∈，且1

)

(-<

x x f k 对任意1>x 恒成立，求k 的最大值。例7 （2009高考全国Ⅱ理科）设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <，

（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；（II ）证明：()2122

In f x ->

方法四：避开求值，等价替换。

对于有些函数的零点问题，可能用方法一、二、三都无法解决，这是我们可以考虑回避求其零点。避开方法：放缩不等式

例8 设函数2

1)(ax x e x f x

---= （Ⅰ）若0=a ，求)(x f 的单调区间

（Ⅱ）若当,0)(,0≥≥x f x 时求a 的取值范围。

与例8类似，下面的2010高考全国Ⅱ理科的最后一题，也是这样的处理方法。设函数()1x f x e -=-．

（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1

f x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1

f x ax ≤+，求a 的取值范围．

高考数学(理)总复习：利用导数解决函数零点问题

题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝????? f (x )，f (x )≥ g (x )，g (x )，f (x )0)的零点个数．【解】 (1)∈函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∈f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1 ＝0或x 2＝2 a ，∈a >0，∈x 1

即不等式2a ≤1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上有解．设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1 x 3(x ∈[1,2])， ∈y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∈y ＝1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上单调递减， ∈当x ＝1时，y ＝1x 3＋3 x 的最大值为4， ∈2a ≤4，即a ≤2. (3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ?? ? ??a 2＝1－4a 2， ∈当1－4 a 2>0，即a >2时，f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋ ∞)上无零点． ∈当1－4 a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0. 又g (1)＝0，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有一个零点． ∈当1－4 a 2<0，即00， ∈存在唯一的x 0∈?? ? ??1,1e ，使得φ(x 0)＝0， (∈)当0