大学物理微积分教学问题及对策-
【摘要】结合教学过程中体会，总结提出工科大学物理中微积分教学的重点关注点和有效解题模式。
【关键词】大学物理;微积分;教学方法
物理学是自然科学和现代工程技术的基础，是一门培养和提高学生科学素质、科学思维方法和科学研究能力的重要基础课程。与中学物理相比，大学物理的最大变化就是在规律的阐述和计算中出现了大量的微积分语言，作者认为，高等数学和大学物理对于微积分的教学侧重点不同。如何尽快的使学生理解微积分思想，并且熟练的运用微积分方法来分析物理问题是教师教学的重点和难点。
一、微积分在处理物理问题中的核心思维
与中学物理相比，大学物理最大的特点是所研究的物理量由原来的稳恒量和离散量变成了变量和连续量。利用微积分解决问题本质上是因为物理规律的可加型，如力的叠加原理、电场强度的叠加原理、磁感应强度等矢量的叠加原理;微积分通过微分-积分方法实现了有限向无限，近似向精确的转化。微积分思想和方法的精髓是：对物理对象取微元后，复杂物理对象变成简单对象，变量可看成常量，非均匀量可看成均匀量，曲面可看成平面，实现了变与不变的辩证转换。
二、大学物理微积分教学关注点
高等数学中有大量知识点和物理问题对应，例如：多重积分可以用于求解刚体的转动惯量;第二类曲线积分对应物理中的变力做功、静电场中电势的计算;第二型曲面积分则对应物理中的流量、电通量和磁通量的计算。但是数学是一门高度抽象的科
学，它完全摒弃了具体的现象，具有普适性，而物理研究的是客观物质世界的基本规律，所以解决物理问题的思维方式也并不等同于数学，物理学中的许多微元概念，他们有具体的物理含义，不能简单等同于数学上的微元。要形成独特的用微积分解决物理问题的思维。
（一）注重物理图像，跳出套用公式的思维定式
电通量、磁通量流量等对应高等数学中的第二类曲面积分，数学中对这类问题通常是已知曲面的函数，化为重积分计算，学生感觉数学学会了，会计算一定量的积分题目，但是碰到具体的物理问题还是觉得束手无策，不能达到融会贯通。物理中的电通量和磁通量是由通过与匀强场垂直的平面的通量引入的。并且大学物理教学中的问题是具有某种对称性的，所以从物理意义的角度分析问题更快捷，更有普适性。
（二）自觉用微积分方法分析和解决问题
例如，在高斯定理一节的讲解中，有一个问题是求解均匀带电球面的电场分布，教学中发现“由于电荷分布是球对称的，电场是由电荷产生的，可判断出空间的电场分布必然是球对称的，即与球心O距离相等的球面上各点电场强度大小相等，方向沿半径呈辐射状。”这样的语言并不能使学生清楚了解电场为什么是这样的分布，学生仍然搞不清楚为什么如此。为解决这个问题，我们以球面外任意一点为例，做过这个点的和球心的直线，我们沿垂直于此直线的方向将球面分割成无数的小圆环，我们知道均匀带点圆环在轴线上某一点的电场方向是沿轴线的，无数小圆环的电场方向都是沿轴线，所以整个球面在P点的电场方向就是沿OP轴线方向的，这样的具体分析使学生更容易接受，同时也锻炼了微积分分析问题的思想。
物理部分课后习题答案（标有红色记号的为老师让看的题） 27页 1-2 1-4 1-12 1-2 质点的运动方程为22,(1)x t y t ==-，,x y 都以米为单位，t 以秒为单位， 求： （1） 质点的运动轨迹； （2） 从1t s =到2t s =质点的位移的大小； （3） 2t s =时，质点的速度和加速度。 解：（1）由运动方程消去时间t 可得轨迹方程，将t = 代入，有 2 1) y =- 或 1= （2）将1t s =和2t s =代入，有 11r i = ， 241r i j =+ 213r r r i j =-=- 位移的大小 r = = （3） 2x dx v t dt = = 2(1)y dy v t dt = =- 22(1)v ti t j =+- 2 x x dv a dt = =， 2y y dv a dt = = 22a i j =+ 当2t s =时，速度和加速度分别为 42/v i j m s =+ 22a i j =+ m/s 2 1-4 设质点的运动方程为cos sin ()r R ti R t j SI ωω=+ ，式中的R 、ω均为常 量。求（1）质点的速度；（2）速率的变化率。
解 （1）质点的速度为 sin cos d r v R ti R t j dt ωωωω==-+ （2）质点的速率为 v R ω = = 速率的变化率为 0dv dt = 1-12 质点沿半径为R 的圆周运动，其运动规律为232()t SI θ=+。求质点在t 时刻的法向加速度n a 的大小和角加速度β的大小。 解 由于 4d t d t θω= = 质点在t 时刻的法向加速度n a 的大小为 2 2 16n a R R t ω == 角加速度β的大小为 2 4/d ra d s d t ωβ== 77 页2-15, 2-30， 2-34， 2-15 设作用于质量1m kg =的物体上的力63()F t SI =+，如果物体在这一力作用 下，由静止开始沿直线运动，求在0到2.0s 的时间内力F 对物体的冲量。 解 由冲量的定义，有 2.0 2.0 2.02 (63)(33) 18I Fdt t dt t t N s = =+=+=? ? 2-21 飞机着陆后在跑道上滑行，若撤除牵引力后，飞机受到与速度成正比的阻力 （空气阻力和摩擦力）f kv =-（k 为常数）作用。设撤除牵引力时为0t =，初速度为0v ，求（1）滑行中速度v 与时间t 的关系；（2）0到t 时间内飞机所滑行的路程；（3）飞机停止前所滑行的路程。 解 （１）飞机在运动过程中只受到阻力作用，根据牛顿第二定律，有 dv f m kv dt ==- 即 d v k dt v m =- 两边积分，速度v 与时间t 的关系为 2-31 一质量为m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，离开地面的高度等于地球
第四章电磁学基础 静电学部分 4.2解：平衡状态下受力分析 +q受到的力为： 处于平衡状态： （1） 同理，4q 受到的力为： （2） 通过（1）和（2）联立，可得：， 4.3解：根据点电荷的电场公式： 点电荷到场点的距离为： 两个正电荷在P点产生的电场强度关于中垂线对称： 所以： 当与点电荷电场分布相似，在很远处，两个正电荷q组成的电荷系的电场分布，与带电量为2q的点电荷的电场分布一样。 4.4解：取一线元，在圆心处 产生场强： 分解，垂直x方向的分量抵消，沿x方向 的分量叠加： 方向：沿x正方向 4.5解：（1 （2）两电荷异号，电场强度为零的点在外侧。 4.7解：线密度为λ，分析半圆部分： 点电荷电场公式： + +
在本题中： 电场分布关于x 轴对称：， 进行积分处理，上限为，下限为： 方向沿x轴向右，正方向 分析两个半无限长： ，，， 两个半无限长，关于x轴对称，在y方向的分量为0，在x方向的分量： 在本题中，r为场点O到半无限长线的垂直距离。电场强度的方向沿x轴负方向，向左。那么大O点的电场强度为： 4.8解：E的方向与半球面的轴平行，那么 通过以R为半径圆周边线的任意曲面的 电通量相等。所以 通过S1和S2的电通量等效于通过以R为半 径圆面的电通量，即： 4.9解：均匀带电球面的场强分布： 球面 R 1 、R2的场强分布为： 根据叠加原理，整个空间分为三部分： 根据高斯定理，取高斯面求场强： 图4-94 习题4.8用图 S1 S2 R O
场强分布： 方向：沿径向向外 4.10解：（1）、这是个球对称的问题 当时，高斯面对包围电荷为Q 当，高斯面内包围电荷为q 方向沿径向 （2）、证明：设电荷体密度为 这是一个电荷非足够对称分布的带电体，不能直接用高斯定理求解。但可以把这一带电体看成半径为R、电荷体密度为ρ的均匀带电球体和半径为R`、电荷体密度为-ρ的均匀带电体球相叠加，相当于在原空腔同时补上电荷体密度为ρ和-ρ的球体。由电场 叠加原理，空腔内任一点P的电场强度为： 在电荷体密度为ρ球体内部某点电场为： 在电荷体密度为-ρ球体内部某点电场为： 所以 4.11解：利用高斯定理，把空间分成三部分
《大学物理》上册复习纲要 第一章 质点运动学 一、基本要求： 1、 熟悉掌握描述质点运动的四个物理量——位置矢量、位移、速度和加速度。会处理两类问题：（1）已知运动方程求速度和加速度；（2）已知加速度和初始条件求速度和运动方程。 2、 掌握圆周运动的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。 二、内容提要： 1、 位置矢量： k z j y i x r ++= 位置矢量大小： 2 22z y x ++= 2、 运动方程：位置随时间变化的函数关系 k t z j t y i t x t r )()()()(++= 3、 位移?： z y x ?+?+?=? r s z y x ?≠?≠?+?+?=222)()()( 无限小位移：dr ds k dz j dy i dx r d ≠=++=???? 4、 瞬时速度： dt r d v = dt ds = = 5、 瞬时加速度： k dt z d j dt y d i dt x d k dt dv j dt dv i dt dv a z y x 222222++=++= 6、 圆周运动： 角速度dt d θω= 角加速度 22 dt d dt d θωα== 法向加速度速度方向的变化）(2 n n e r v a = 切向加速度速度大小的变化）(t αr e dt dv a t ==
例题：1.质点运动学（一）：2，4，5，8；2.质点运动学（二）：1，2，3，5； 第二章 牛顿定律 一、 基本要求： 1、 理解牛顿定律的基本内容； 2、 熟练掌握应用牛顿定律分析问题的思路和解决问题的方法。能以微积分为工具，求解一维变力作用下的简单动力学问题。 二、 内容提要： 1、 牛顿第二定律: a m F = 指合外力 合外力产生的加速度 在直角坐标系中： x x ma F = y y ma F = z z ma F = 在曲线运动中应用自然坐标系: r v m ma F n n 2 == dt dv m ma F t t == 例题：3、牛顿定律 2，3，5，8，9 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 一、 基本要求： 1、 理解动量、冲量概念，掌握动量定理和动量守恒定律，并能熟练应用。 2、 掌握功的概念，能计算变力作功，理解保守力作功的特点及势能的概念。 3、 掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律并能熟练应用。 二、 内容提要 （一） 冲量 1、 冲量: )212 1 t t dt F I t t -?=? 2、 动量: m = 3、 质点的动量定理: 12 2 1 m m dt t t -=?? 4、 动量守恒定律 条件：系统所受合外力为零或合外力在某方向上的分量为零； ∑-==n i i i m 1 恒矢量
大学物理 简明教程 习题 解答 答案 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ?有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即r ?12r r -=，12r r r -=?； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量， ∴t r t d d d d 与 r 不同如题1-1图所示 . 题1-1图 (3)t d d v 表示加速度的模，即 t v a d d = ，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时， 有人先求出r ＝22y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先 计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v =2 2 d d d d ??? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ? ??? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有
大学物理课程教学基本 要求 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
非物理类理工学科大学物理课程教学基本要求（正式报告稿）物理学是研究物质的基本结构、基本运动形式、相互作用的自然科学。它 的基本理论渗透在自然科学的各个领域，应用于生产技术的许多部门，是其他 自然科学和工程技术的基础。 在人类追求真理、探索未知世界的过程中，物理学展现了一系列科学的世 界观和方法论，深刻影响着人类对物质世界的基本认识、人类的思维方式和社 会生活，是人类文明发展的基石，在人才的科学素质培养中具有重要的地位。 一、课程的地位、作用和任务 以物理学基础为内容的大学物理课程，是高等学校理工科各专业学生一门 重要的通识性必修基础课。该课程所教授的基本概念、基本理论和基本方法是 构成学生科学素养的重要组成部分，是一个科学工作者和工程技术人员所必备 的。 大学物理课程在为学生系统地打好必要的物理基础，培养学生树立科学的 世界观，增强学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的探索精神和创新意 识等方面，具有其他课程不能替代的重要作用。 通过大学物理课程的教学，应使学生对物理学的基本概念、基本理论和基 本方法有比较系统的认识和正确的理解，为进一步学习打下坚实的基础。在大 学物理课程的各个教学环节中，都应在传授知识的同时，注重学生分析问题和 解决问题能力的培养，注重学生探索精神和创新意识的培养，努力实现学生知 识、能力、素质的协调发展。 二、教学内容基本要求（详见附表）
大学物理课程的教学内容分为A、B两类。其中：A为核心内容，共74条，建议学时数不少于126学时，各校可在此基础上根据实际教学情况对A类内容各部分的学时分配进行调整；B为扩展内容，共51条。 1.力学 （A:7条，建议学时数14学时；B:5条） 2.振动和波 （A:9条，建议学时数14学时；B:4条） 3.热学 （A:10条，建议学时数14学时；B:4条） 4.电磁学 （A:20条，建议学时数40学时；B:8条） 5.光学 （A:14条，建议学时数18学时；B:9条） 6.狭义相对论力学基础 （A:4条，建议学时数6学时；B:3条） 7.量子物理基础 （A:10条，建议学时数20学时；B:4条） 8.分子与固体 （B:5条） 9.核物理与粒子物理 （B:6条）
《大学物理》课程 教学大纲 课程代码： 2008099、2008100 课程名称：《大学物理》/University Physics 课程类型：公共基础课 学时学分：128学时/8学分 适用专业：全校理工类本科生（除地球物理学专业） 开课部门：基础课教学部 一、课程的地位、目的和任务 大学物理是高等学校理工科各专业学生的一门重要的必修基础课。 大学物理学课程的作用：第一方面是为学生较系统地打好必要的物理基础。物理学研究物质的基本结构、基本运动形式和物质的相互作用，是其他自然科学和工程技术的基础；因此，学生应通过学习物理学获得关于物质的基本结构、物质基本运动形式和物质的相互作用基本规律的知识，为学习其他课程打好基础。第二方面是使学生通过物理学的学习，初步学习科学的思想方法和研究方法，培养独立思考和分析问题、解决问题的能力，提高学习素质，激发求知和创新的精神。因此，学好本课程不仅对学生在校期间的学习有重要作用，而且对学生毕业后的工作和知识的更新也有较深远的影响。 本课程的教学目的为： 1. 使学生对物理学的基本概念、基本理论和基本方法有较系统的知识和正确的理解，为进一步学习打下坚实的基础； 2. 通过各教学环节培养学生的科学思维方法、严谨的科学工作作风，培养学生分析问题和解决问题的能力； 3. 培养和鼓励学生的探索精神和创新意识。 二、课程与相关课程的联系与分工 先修课程：《高等数学》 鉴于本课程对数学知识的需要，本课程适宜于大一第二学期和大二第一学期两学
期开设。 相关课程：《大学物理实验》 后续课程：各专业有关的专业基础课及专业课如理论力学、通信原理、电工原理、地震前兆测量、工程物探等 三、教学内容与基本要求 第一章质点运动学 1.教学内容 第一节质点运动的描述 （1）参考系、质点； （2）位置矢量、运动方程、位移； （3）速度、加速度； 第二节求解运动学问题举例 第三节圆周运动 （１）角位移、角速度； （２）切向加速度和法向加速度、角加速度； （３）匀速率和匀变速率圆周运动； 第四节相对运动 （1）时间与空间 （2）相对运动 2.重点难点 教学重点掌握位置矢量、位移、速度、加速度等物理量 教学难点运动学中各物理量的矢量性 3.基本要求 （1）掌握位置矢量、位移、速度、加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度、加速度。能借助于极坐标计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。 （2）理解质点运动的瞬时性、矢量性和相对性。 （3）掌握运动学两类问题的求解方法。
高等数学在大学物理中的重要性 专业：应用化学学号：5503211017 学生姓名：胡吉林指导老师：吴评 摘要：数学是物理的基础，是研究物理的重要工具和手段。而高等数学的思想方法，渗透于大学物理学习过程的各个环节。高等数学是一门抽象性的学科，而大学物理正是借助其理论结晶将抽象的数学思维方法与具体的自然规律结合了起来。我校之所以选择在上完高等数学（上册）之后，再开设大学物理课程，就是考虑到大学物理的学习需要运用到高等数学中的很多知识。而高等数学中的学习成果在大学物理中的验证与利用，能让我们对其印象更深，理解得更透彻。下面，本文将结合作者自身在大学物理学习过程中的感悟与体会，探讨高等数学的思想方法在大学物理中的重要体现。 关键词：高等数学；大学物理；思想方法；自然规律 1 建模的思想 数学建模，理工科的学生对此都很熟悉，为了使问题简化，建立合适的数学模型，常常要作出一些理想化的假设，忽略次要因素，突出主要矛盾。在大学物理中，类似这样建立理想模型的例子也不胜枚举，如力学中的质点、刚体，电学中的点电荷等，都是把复杂的实际问题抽象成了一个个基本的理想模型。这种建立理想模型的方法，借鉴了数学建模的思想，是物理学的基本研究方法之一。 2矢量的思想 大学物理中，很多物理量是矢量，如位移、速度、角动量、电场强度、磁感应强度等，而矢量的运算正是高等数学中的向量代数在大学物理中的运用。如：力的分解与合成其实是向量的加减法运算，而计算力矩、角动量、安培力等则用到了向量代数中向量积的运算。合理地借助向量工具，可使一些物理研究问题大为简化。 3导数的思想 中学物理与大学物理的不同在于：中学物理中所讨论的物理量大多是均匀变化的，而大学物理中所讨论的物理量一般都是非均匀变化的，因而需要用求导数的方法来解决这类问题。力学中导数的应用问题可以分为两类：第一类是已知物体的运动方程，求解物体的运动速度和加速度；第二类则是已知物体的加速度和初始条件，求解物体的运动方程。通过求导，也可以计算角速度、角加速度及电场强度等物理量的值。此外，在求解物理问题的过程中，常碰到一些求极值的问题，
物理学教程下册答案9-16 第九章 静 电 场 9－1 电荷面密度均为＋σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A )放置，其周围空间各点电场强度E (设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图(B )中的( ) 题 9-1 图 分析与解 “无限大”均匀带电平板激发的电场强度为0 2εσ，方向沿带电平板法向向外，依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B ). 9－2 下列说确的是( ) (A )闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面一定没有电荷 (B )闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面电荷的代数和必定为零 (C )闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零 (D )闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零 分析与解 依照静电场中的高斯定理，闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面电荷的代数和必定为零，但不能肯定曲面一定没有电荷；闭合曲面的电通量为零时，表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面，不能确定曲面上各点的电场强度必定为零；同理闭合曲面的电通量不为零，也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零，因而正确答案为(B ). 9－3 下列说确的是( )
(A) 电场强度为零的点，电势也一定为零 (B) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零 (C) 电势为零的点，电场强度也一定为零 (D) 电势在某一区域为常量，则电场强度在该区域必定为零 分析与解电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为(D). *9－4在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子，其电偶极矩p的方向如图所示.当电偶极子被释放后，该电偶极子将( ) (A) 沿逆时针方向旋转直到电偶极矩p水平指向棒尖端而停止 (B) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p水平指向棒尖端，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动 (C) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p水平指向棒尖端，同时逆电场线方向朝远离棒尖端移动 (D) 沿顺时针方向旋转至电偶极矩p 水平方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动 题9-4 图 分析与解电偶极子在非均匀外电场中，除了受到力矩作用使得电偶极子指向电场方向外，还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用，因而正确答案为(B). 9－5精密实验表明，电子与质子电量差值的最大围不会超过±10－21e，而中子电量与零差值的最大围也不会超过±10－21e，由最极端的情况考虑，一个有8个电子，8个质子和8个中子构成的氧原子所带的最大可能净电荷是多少？若将原子视作质点，试比较两个氧原子间的库仑力和万有引力的大小. 分析考虑到极限情况，假设电子与质子电量差值的最大围为2×10－21e，中子电量为10－21e，则由一个氧原子所包含的8个电子、8个质子和8个中子
微积分在大学物理的一些应用
摘要 在大学物理中微积分有非常大的用处，随处可见给我们解题带来的方便。即如在质点运动，力学，功，热学，电磁学等都有体现出了。在习题解答中也处处能用到，也许是他们的特殊的性质和集合意义，让他们在物理应用中非常的全面。如在 质点运动中瞬时速度，用符号 “v ”表示，即00()()lim lim t t r t t r t r d r v t t dt ?→?→+?-?=== ?? 。微积分作为数学的一门分支学科，在物理学中有着非常重要的应用价值。大学物理 中，我们常常研究始终都在变化的物理量，会觉得很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就就可以认为是常量处理，最终加起来就行了。 关键词：微积分，取极限，分割，求导
引言 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细化”就是微分，“无限求和”就是积分。在学习物理的过程中，我们常常是在研究不规则的物理量或物理状态。有了这个思想，那我们就可以把问题细化，研究一个小的微元的变化量，然后相加，非常方便。 一、力学 1.1质点运动学 1、若质点在t ?时间内的位移r ? ，则定义r ? 与t ?的比值为质点在这段时间内的平 均速度，写为 r v t ?= ? 其分量形式r x y z v i j k t t t t ????==++???? 当0t ?→时，平均速度的极限值叫做瞬时速度，用符号“v ”表示，即 00()()lim lim t t r t t r t r d r v t t dt ?→?→+?-?=== ?? 0t ?→时，r ? 的量值r ? 可以看作和s ?相等，此时瞬时速度的大小d r v dt = 等于质 点在该点的瞬时速率 d s d t 。 t 时刻质点的速度为();v t 在t t +?时刻，质点位于下一点 时其速度为() v t t +? ；则在时间t 内，质点的速度为()()v v t t v t ?=+?- 。定义质点在 这段时间内的平均加速度为 v a t ?= ? 平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。 0t ?→时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，即 22 0lim t v d v d r a t dt dt ?→?===? 这样在解题过程中就能用到。微积分在题目中的用处十分的便捷。 如下例题 例1、质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62x ，a 的单位为2s m -?，x 的单位为 m. 质点在x ＝0处，速度为101s m -?,试求质点在任何坐标处的速度值．
大学物理微积分教学问题及对策- 【摘要】结合教学过程中体会，总结提出工科大学物理中微积分教学的重点关注点和有效解题模式。 【关键词】大学物理;微积分;教学方法 物理学是自然科学和现代工程技术的基础，是一门培养和提高学生科学素质、科学思维方法和科学研究能力的重要基础课程。与中学物理相比，大学物理的最大变化就是在规律的阐述和计算中出现了大量的微积分语言，作者认为，高等数学和大学物理对于微积分的教学侧重点不同。如何尽快的使学生理解微积分思想，并且熟练的运用微积分方法来分析物理问题是教师教学的重点和难点。 一、微积分在处理物理问题中的核心思维 与中学物理相比，大学物理最大的特点是所研究的物理量由原来的稳恒量和离散量变成了变量和连续量。利用微积分解决问题本质上是因为物理规律的可加型，如力的叠加原理、电场强度的叠加原理、磁感应强度等矢量的叠加原理;微积分通过微分-积分方法实现了有限向无限，近似向精确的转化。微积分思想和方法的精髓是：对物理对象取微元后，复杂物理对象变成简单对象，变量可看成常量，非均匀量可看成均匀量，曲面可看成平面，实现了变与不变的辩证转换。 二、大学物理微积分教学关注点 高等数学中有大量知识点和物理问题对应，例如：多重积分可以用于求解刚体的转动惯量;第二类曲线积分对应物理中的变力做功、静电场中电势的计算;第二型曲面积分则对应物理中的流量、电通量和磁通量的计算。但是数学是一门高度抽象的科
学，它完全摒弃了具体的现象，具有普适性，而物理研究的是客观物质世界的基本规律，所以解决物理问题的思维方式也并不等同于数学，物理学中的许多微元概念，他们有具体的物理含义，不能简单等同于数学上的微元。要形成独特的用微积分解决物理问题的思维。 （一）注重物理图像，跳出套用公式的思维定式 电通量、磁通量流量等对应高等数学中的第二类曲面积分，数学中对这类问题通常是已知曲面的函数，化为重积分计算，学生感觉数学学会了，会计算一定量的积分题目，但是碰到具体的物理问题还是觉得束手无策，不能达到融会贯通。物理中的电通量和磁通量是由通过与匀强场垂直的平面的通量引入的。并且大学物理教学中的问题是具有某种对称性的，所以从物理意义的角度分析问题更快捷，更有普适性。 （二）自觉用微积分方法分析和解决问题 例如，在高斯定理一节的讲解中，有一个问题是求解均匀带电球面的电场分布，教学中发现“由于电荷分布是球对称的，电场是由电荷产生的，可判断出空间的电场分布必然是球对称的，即与球心O距离相等的球面上各点电场强度大小相等，方向沿半径呈辐射状。”这样的语言并不能使学生清楚了解电场为什么是这样的分布，学生仍然搞不清楚为什么如此。为解决这个问题，我们以球面外任意一点为例，做过这个点的和球心的直线，我们沿垂直于此直线的方向将球面分割成无数的小圆环，我们知道均匀带点圆环在轴线上某一点的电场方向是沿轴线的，无数小圆环的电场方向都是沿轴线，所以整个球面在P点的电场方向就是沿OP轴线方向的，这样的具体分析使学生更容易接受，同时也锻炼了微积分分析问题的思想。
毕业设计（论文）题目：微积分的几点物理应用 学院：数理学院 专业名称：应用物理 学号：200941220103 学生姓名：孙川 指导教师：李建 2013年05月18日 摘要
微元法在物理学中应用非常普遍.在大学物理学中, 从静电场到恒定磁场，从质点的运动学到刚体的力学，都要遇到用微积分来解决的问题.本论文主要探讨的是在大学物理学习中,应用微积分方法解决问题时几个问题. 微积分主要思想和方法利用微元法处理比较复杂物理问题时,可以先把它分割成许多在较小时间、空间等范围内的可以近似处理的基本问题,然后再对此可研究的简单的基本问题进行讨论,最后再把所有局部范围内研究的结果累积起来,就可以得到问题结果.在理论分析时,把分割过程无限地进行下去,局部范围便会无限地小下去,这就是微分;把所有的无限多个微分元的结果进行叠加,便是积分.这就是微积分的主要思想和方法,是一种辩证的思想和分析方法 关键字 微积分微元法质点力学刚体力学电磁学
Abstract Calculus is quite common in physics. In College Physics, from the particle motion mechanics to particle dynamics mechanics, both the electrostatic field and a constant magnetic field meet the question which needs use the calculus. This article mainly discusses the learning of university physics; Applied Calculus approach to the problem should pay attention to several issues. The main ideas and methods of the calculus, using the calculus method to deal with more complex physical problems. It’s f irst “break up the whole into parts “, it is divided into many smaller time, space Etc. within the range of processing of the basic Can be approximated. Then, to research simple questions hold discussion. Lastly, “Zero for the whole plot”, within the scope of all the result of study Accumulated. The results can be obtained. In theoretical analysis, the segmentation process is carried on unlimited. Then Local scope Narrow down unlimited. This is differentiation. All the Differential element Superimposed, it is integral calculus. This is the main ideas and methods of the calculus. Is a kind of dialectical thinking and analytical methods. Key words Calculus Micro-element method Particle mechanics Rigidbody mechanics Electricity and Magnetism
思 考 题 1.1 答：这个质点的速度j t i v )8.94(3-+=；加速度j a 8.9-=； j dt t i dt r d )8.94(3-+=。dt t ds 2)8.94(9-+=；它的速率2)8.94(9t v -+=。 1.2答：t 时刻的速度j t i t v 5cos 505sin 50+-=；速率v=50,；加速度 )5sin 5(cos 250j t i t a +-=；该质点作匀速圆周运动。 1.3（B ） 1.4（D ） 1.5（B ）、（D ） 1.6（C ） 1.7答：质量大的物体转动惯量不一定比质量小的转动惯量大。因为计算转动惯量的三个要素是总质量；质量分布；转轴的位置。所以仅以质量的大小不能说明转动惯量的大小。 1.8答：刚体的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。作前滚翻运动动作时应曲卷肢体使转动惯量变小,根据动量矩守恒定律,则能增加前滚翻的角速度。 1.9答：相对论中的高速和低速的区分是相对光速而言的，接近光速的速度为高速，远小于光速的速度为低速。在相对论中质量与速度的关系为2 0) (1c v m m -= ，0m 为静止质 量，m 是物体相对参照系以速度v 运动时的质量，c 为光速。高速列车的行驶速度远小于光速，由上式可计算出高速列车达到正常行驶速度时，其质量没有显著的变化。 习 题 1.1解:（1）速度表达式为：)1ln(bt dt dx v --== μ （2）t=0时， v=0. t=120s 时，3 1091.6?=v m/s (3)加速度表达式为：) 1(bt b dt dv a -== μ
附录IV 微积分基础 由于在大学物理学习中，经常需要借助微积分工具解决问题，如速度、加速度、变力冲量、变力做功、高斯定理等物理问题，为了更好的理解和学习相关物理知识，需要对微积分有一定的认识，学会求简单函数的导数、微分、积分的方法. 一、函数 1 定义 在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是因变量，则可称y 是x 的函数。 函数的三要素为（1）定义域A ；（2）值域(){} A x x f U ∈=；（3）对应法则f . 注意： （1）函数符号()x f 表示y 是x 的函数，()x f 不是表示f 与x 的乘积； （2）f 表示对应法则，不同函数中f 的具体含义不一样； （3）相同函数必须满足：定义域、值域、对应法则三者相同。 2 基本初等函数 （1）幂函数()R a x y a ∈=； （2）指数函数x a y =(0>a 且1≠a )； （3）对数函数x y a log =(0>a 且1≠a )； （4）三角函数与反三角函数. ①正弦函数：x y sin = ； ②余弦函数：x y cos =；③正切函数：x y tan = ； ④余切函数： x y cot =；⑤正割函数：x y sec = ； ⑥余割函数：x y csc =以及它们所对应的反三角函数. 3、复合函数 （1）定义：设()u f y =的定义域为A ，()x g u =的值域为B ，若A B ?，则y 关于x 函数的 ()[]x g f y =叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 举例如下： ①函数( ) 14sin 2 -=x y 是由u y sin =和142 -=x u 两个函数复合而成； ②函数x e x y -=2 tan 2是由μ-=2 2u y 、x u tan =和x e =μ三个函数复合而成. 二、函数的导数 1 定义
大学物理实验教材课后思考题答案 一、转动惯量： 1．由于采用了气垫装置，这使得气垫摆摆轮在摆动过程中受到的空气粘滞阻尼力矩降低至最小程度，可以忽略不计。但如果考虑这种阻尼的存在，试问它对气垫摆的摆动（如频率等）有无影响？在摆轮摆动中，阻尼力矩是否保持不变？ 答：如果考虑空气粘滞阻尼力矩的存在，气垫摆摆动时频率减小，振幅会变小。（或者说 对频率有影响，对振幅有影响） 在摆轮摆动中，阻尼力矩会越变越小。 2．为什么圆环的内、外径只需单次测量？实验中对转动惯量的测量精度影响最大的是哪些因素？ 答：圆环的内、外径相对圆柱的直径大很多，使用相同的测量工具测量时，相对误差较小， 故只需单次测量即可。（对测量结果影响大小） 实验中对转动惯量测量影响最大的因素是周期的测量。（或者阻尼力矩的影响、摆轮是否正常、平稳的摆动、物体摆放位置是否合适、摆轮摆动的角度是否合适等） 3．试总结用气垫摆测量物体转动惯量的方法有什么基本特点？ 答：原理清晰、结论简单、设计巧妙、测量方便、最大限度的减小了阻尼力矩。 三、混沌思考题 1.
有程序（各种语言皆可）、K 值的取值范围、图 +5分 有程序没有K 值范围和图 +2分 只有K 值范围 +1分 有图和K 值范围 +2分 2.（1）．混沌具有内在的随机性：从确定性非线性系统的演化过程看，它们在混沌 区的行为都表现出随机不确定性。然而这种不确定性不是来源于外部环境的随机因素对系统运动的影响，而是系统自发产生的 （2）．混沌具有分形的性质（3）．混沌具有标度不变性（4）．混沌现象还具有对初始条件的敏感依赖性：对具有内在随机性的混沌系统而言，从两个非常 接近的初值出发的两个轨线在经过长时间演化之后，可能变得相距“足够”远，表现出对初值的极端敏感，即所谓“失之毫厘，谬之千里”。 答对2条以上+1分，否则不给分，只举例的不给分。 四、半导体PN 结 （1）用集成运算放大器组成电流一电压变换器测量11610~10--A 电流，有哪些优点? 答：具有输入阻抗低、电流灵敏度高、温漂小、线性好、设计制作简单、结构牢靠等优点。 （2）本实验在测量PN 结温度时，应该注意哪些问题？ 答：在记录数据开始和结束时，同时都要记录下干井中温度θ，取温度平均值θ。 （3）在用基本函数进行曲线拟合求经验公式时，如何检验哪一种函数式拟合得最好，或者拟合的经验公式最符合实验规律？ 答：运用最小二乘法，将实验数据分别代入线性回归、指数回归、乘幂回归这三种常用的基本函数，然后求出衡量各回归方程好坏的拟合度R 2。拟合度最接近于1的函数，拟合得最好。 五、地磁场 （1）磁阻传感器和霍耳传感器在工作原理有什么区别？ 答：前者是磁场变化引起材料阻值变化，最终使得电桥外接电压转变为对应的输出电压；后者是磁场变化引起流经材料内部的载流子发生偏转而产生电压。 （2）为何坡莫合金磁阻传感器遇到较强磁场时，其灵敏度会降低？用什么方法来恢复其原来的灵敏度？ 答：传感器遇到强磁场感应时，对应的磁阻材料将产生磁畴饱和现象，外加磁场很难改变磁阻材料的阻值，所以传感器灵敏度会降低。方法是：在硅片上设计两条铝制电流带，一
大学物理教材(例 题、练习)答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第一章 例题 1D ； 2D ； 3C 4答：(1)、(3)、(4)是不可能的 5 3/30Ct +v 40012 1 Ct t x ++v 6 x = (y 3)2 7 17m/s 2 104o 练习 1 、16 R t 2 ； 4 rad /s 2 2解：设质点在x 处的速度为v ， 62d d d d d d 2x t x x t a +=?==v v () x x x d 62d 0 20 ??+=v v v () 2 21 3 x x +=v 3解：(1) 5.0/-==??t x v m/s (2) v = d x /d t = 9t - 6t 2 v (2) =-6 m/s (3) S = |x (1.5)-x (1)| + |x (2)-x (1.5)| = 2.25 m 4解： =a d v /d t 4=t ， d v 4=t d t ??=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ??= x 2= t 3 /3+x 0 (SI) 5解：根据已知条件确定常量k ()222/rad 4//s Rt t k ===v ω 24t =ω, 24Rt R ==ωv s t 1=时， v = 4Rt 2 = 8 m/s 2s /168/m Rt dt d a t ===v 22s /32/m R a n ==v () 8.352 /12 2=+=n t a a a m/s 2 6解：(1) 球相对地面的初速度 =+='v v v 030 m/s 1分
大学物理简明教程习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ?有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试 举例说明． 解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即 r ?12r r -=，12r r r -=?； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量， ∴t r t d d d d 与 r 不同如题1-1图所示. 题1-1图 (3)t d d v 表示加速度的模，即 t v a d d = ，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求 出r ＝22y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度 的分量，再合成求得结果，即 v =2 2 d d d d ??? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ? ??? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r +=，
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/a35467400.html, 论大学物理中的矢量和微积分思想 作者：王白音其其格 来源：《教育教学论坛》2015年第41期 摘要：矢量和微积分思想在大学物理中的应用很普遍，也很重要。本文讨论了矢量和微积分思想，并通过分析三个典型的例子分别说明了微积分思想的分析步骤，选对微元的重要性及物理问题的对称性对计算过程的简化作用。 关键词：大学物理；矢量；微积分思想；微积分应用 中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）41-0173-02 一、引言 理工科类的学生在中学阶段对物理的一些基本概念、定理和定律已经比较熟悉，到了大学阶段最重要的是思维模式的转变，由中学的应试训练模式转变到大学物理解决问题的思维模式。大学物理与中学物理相比，其中一个很大的变化就是由相对复杂的“变量物理”问题代替了相对简单的“常量物理”问题[1]。研究对象由常量到变量，由简单到复杂，如由直线到曲线、由匀速到变速、由恒力到变力、由均匀到非均匀，这时物理学通常采取的解决办法是微积分方法。微积分思想贯穿整个经典物理学，正确理解它对学习物理学有事半功倍的效果，由此也能掌握大学物理解决问题的思路和方法。 建立微积分思想之前学生应该建立矢量意识，大学物理中很多物理量都是矢量，而且微积分思想和矢量关系密切，因此，加强学生的矢量意识也是关键[2]。 二、正确认识矢量的本质 学生对矢量的认识还只停留在既有大小，又有方向的物理量，而没有认识到矢量的本质。中学物理中强调了标量而忽略了矢量的重要含义，因此，学生就认为“有方向的量就是矢量，无方向的量就是标量”。到了大学后学生比较难接受矢量及矢量运算，这很大原因在于学生没有形成矢量的思维方式，还处于原有标量的思维方式。大学物理中首先应给出严谨的矢量定义，遵循平行四边形加法则的物理量是矢量，否则是标量。如电压、电流有方向，但却不遵循平行四边形合成法则，因此不是矢量，而是标量。 （一）矢量的正确书写方式 如何建立一个合理的坐标系，选取恰当的微元，利用问题的对称性简化求解过程，这些都是应用微积分法的关键所在。
绪言 §0.1 工科大学物理基本内容物理学发展史简述一、工科大学基本内容 力学 经典物理学热学 电磁学 光学 近代物理学狭义相对论 量子物理学 二、物理学发展史简述 三、大学物理与中学物理的区别 常量→变量，代数→微积分
§0.2 数学预备知识——矢量分析初步 一、 矢量 矢量的定义：既有确定方向，又有确定数值的量叫矢量，记为A 。 单位矢量A ：长度为一个单位的矢量。 A A A = 二、矢量在直角坐标系下的表示 1、基矢量 是一组互相垂直的单位矢量，用k j i ,,表示，其方向分别沿z y x ,,轴。 2、矢量的表示 j A i A A y x += 讨论：1）i A x 与x A 的区别？ 2）0,0<>x x A A 的意义？ 3、矢量的模及方向 矢量的模：22y x A A A A += = 矢量的方向：矢量A 与x 轴的夹角 y x A A tg = α 三、矢量的代数运算 设有矢量：j B i B B j A i A A y x y x +=+=, 1、 矢量的加减法 j B A i B A B A y y x x )()(±+±=± 2、 矢量的点积
定义： θcos AB B A =? y y x x B A B A B A +=? 基矢量的点积： 1 =?=?=?=?=?=?i k k j j i k k j j i i 3、 矢量的叉积 定义： B A C ?= 大小：θsin AB C = 方向：由右手定则确定。 基矢量的叉积： j i k i k j k j i k k j j i i =?=?= ?=?=?=?,,0 四、矢量的微积分 矢量的微积分运算化为相应标量的微积分运算。 1、矢性函数 ) ()()()()(t A A t A A j t A i t A t A A y y x x y x ==?+== 2、矢量的改变量 设t 时刻矢量为：)(t A A = t t ?+时刻矢量为：)('t t A A ?+= ，则 称矢量：)()(t A t t A A -?+=?为矢量)(t A A =，当t 变为t t ?+时的增量。