毕业设计（论文）题目：微积分的几点物理应用
学院：数理学院
专业名称：应用物理
学号：200941220103
学生姓名：孙川
指导教师：李建
2013年05月18日
摘要
微元法在物理学中应用非常普遍.在大学物理学中, 从静电场到恒定磁场，从质点的运动学到刚体的力学，都要遇到用微积分来解决的问题.本论文主要探讨的是在大学物理学习中,应用微积分方法解决问题时几个问题.
微积分主要思想和方法利用微元法处理比较复杂物理问题时,可以先把它分割成许多在较小时间、空间等范围内的可以近似处理的基本问题,然后再对此可研究的简单的基本问题进行讨论,最后再把所有局部范围内研究的结果累积起来,就可以得到问题结果.在理论分析时,把分割过程无限地进行下去,局部范围便会无限地小下去,这就是微分;把所有的无限多个微分元的结果进行叠加,便是积分.这就是微积分的主要思想和方法,是一种辩证的思想和分析方法
关键字
微积分微元法质点力学刚体力学电磁学
Abstract
Calculus is quite common in physics. In College Physics, from the particle motion mechanics to particle dynamics mechanics, both the electrostatic field and a constant magnetic field meet the question which needs use the calculus. This article mainly discusses the learning of university physics; Applied Calculus approach to the problem should pay attention to several issues.
The main ideas and methods of the calculus, using the calculus method to deal with more complex physical problems. It’s f irst “break up the whole into parts “, it is divided into many smaller time, space Etc. within the range of processing of the basic Can be approximated. Then, to research simple questions hold discussion. Lastly, “Zero for the whole plot”, within the scope of all the result of study Accumulated. The results can be obtained. In theoretical analysis, the segmentation process is carried on unlimited. Then Local scope Narrow down unlimited. This is differentiation. All the Differential element Superimposed, it is integral calculus. This is the main ideas and methods of the calculus. Is a kind of dialectical thinking and analytical methods.
Key words
Calculus Micro-element method Particle mechanics Rigidbody mechanics Electricity and Magnetism
目录
第一章绪论 (4)
第二章微积分在质点力学中的应用 (5)
2.1 用微积分解决速度和加速度的问题 (5)
2.2用微积分解决变力做功问题 (8)
第三章定积分在计算刚体转动惯量中的应用 (9)
第四章定积分在电场强度以及电势计算中的应用 (11)
4.1、定积分在电场强度计算中的应用 (11)
4.2、定积分在电势计算中的应用 (12)
参考文献 (15)
致谢 (16)
第一章绪论
伟大的科学家牛顿,有很多伟大的成就,建立了经典物理理论,比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外,在数学上也有伟大的成就,创立了微积分.
微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支.微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的.微积分最重要的思想是用"微元"和"无限逼近",就像一个事物始终在变化,很难研究,但通过微元分割成许多无限小,那就可以认为是常量处理,最终加起来就是积分.
微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，那么“无限求和”就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是要运用一种运动的思想来看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一，在大学物理中，微积分思想发挥了极其重要的作用。
微积分方法是一种辨证思想方法,它包含有限与无限的对立统一,近似与精确的对立和统一.它把复杂物理问题进行时间和空间上的有限次分割，在有限小的范围内进行近似处理,然后让分割无限地进行下去,局部范围无限的变小,那么近似处理也就会越来越精确,这样在理论上就能得到精确的结果.微分就是理论分析时，把分割过程无限的进行下去,局部范围便无限小下去. 积分就是把无限小的微分元求和这,就是微积分的方法.物理学就是要抓住主要方面，忽略次要方面,从而使得复杂问题简单化,因此在大学物理中应用微积分方法,能够把看似复杂的问题近似成简单、基本、可研究问题.物理现象及其规律研究都是以最简单的现象和规律为基础,例如质点运动学是从匀速、匀变速的直线运动开始,带电体产生的电场是以点电荷为基础的,对于实际中复杂问题,则可化整为零,把它分割成在较小时间、空间等范围内的相应局部问题，只要把局部范围被分割到足够小,小到这些局部问题可近似处理为简单、基本、可研究地问题，然后把局部范围内结果累积起来，就可以得出问题的结果.
y
x
z
z
y
x
P α
β
γ
图 1-2
r
第二章 微积分在质点力学中的应用
2.1 用微积分解决速度和加速度的问题
1.位置矢量
定义：由坐标原点到质点所在位置的矢量称为位置矢 量（简称位矢或径矢）。
如图选取的是直角坐标系，r
为质点P 的位置矢量
k z j y i x r
++= 因为x 、y 、z 都是时间的函数，
既 )(t x x =；)(t y y =；)(t z z =
因此k t z j t y i t x t r r
)()()()(++==，可以反映任意t 时刻质点的位置，因此把上式称作质点的运动方程。
2．位移
在Oxy 平面直角坐标系中，有一个质点由时刻t 1，起始位置A 处，经过21t t t ?=-时间后，质点运动到了位置B 处，
质点的位矢由A
r r
变化到B r
处。
由始点A 指向终点B 的有向线段AB 称为点A 到点B 的
位移矢量，简称位移。可用AB r 或r
?表示。
矢量A r ，B r ，r ?刚好为三角形的三边，由三角形法则
可以得出 r ?=B r -A r
3. 速度
为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。 (1) 平均速度
在时刻t ?时间内，质点的位移为r ?，那么二者的比值，称为质点在t ?时间内的平均速度
r x y z v i j
k t t x t
????=
=++????，
平均速度描述物体的运动是比较粗糙的，因为在t ?时间内，质点的各个时刻的运动情况不一定相同，质点的运动可以时快时慢，方向也可以不断地改变，平均速度不能反映质点运动的真实细节，如果要精确到质点在某一刻时刻或某一位置的实际运动情况，应使t ?尽量小，即0→?t ，用平均速度的极限值——瞬时速度来秒速。
(2) 瞬时速度
瞬时速度即为平均速度的极限值
dt
r d t r v t
=
??=→?0lim 即瞬时速度（速度）为位置矢量对时间的一阶导数 速度在直角坐标系下表达式为： x y z d r dx dy dz
v i j v i v j v k dt dt dt dt =
=++=++ x dx v dt =
,y dy v dt =,z dz v dt
= 3. 加速度
同理加速度应该为位置矢量对时间的二阶导数，速度对时间的一阶导数， 22dt r d dt v d a ==
直系分解形式：
222222y x z dv dv dv dv d x d y d z
a i j z i j k dt dt dt dt dt dt dt
==++=++ 这就是说，质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于速度矢量对时间的一阶导数，或等于位置矢径对时间的二阶导数。 例题1、 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为
x =3t +5, y =
2
1t 2
+3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；
(2)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(3)求出质点加速度矢
量的表示式，计算t ＝4s
解：（1） j t t i t r
)432
1()53(2-+++=m
(2) 1s m )3(3d d -?++==j t i t
r
v
则 j i v
734+= 1s m -?
(3) 2s m 1d d -?==j t
v
a
由例题1可知，由运动方程求速度、加速度，这类问题主要是用求导的方法解决
例题2 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2
s m -?，开始运动时，
x ＝ 5 m
v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置．
解：∵ t t
v
a 34d d +==
分离变量，得 t t v d )34(d +=
积分，得 122
3
4c t t v ++=
由题知，0=t ,00=v ,∴01=c
故 22
3
4t t v +=
又因为 22
3
4d d t t t x v +==
分离变量， t t t x d )23
4(d 2+=
积分得 2322
1
2c t t x ++=
由题知 0=t ,50=x ,∴52=c
故 52
1
232++=t t x
所以s 10=t 时
m
7055102
1
102s m 190102
3
10432101210=+?+?=?=?+
?=-x v
由例题2知、已知加速度（或速度）以及初始条件求运动方程，这类问题主要用积分的方法
2.2用微积分解决变力做功问题
功：力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。
元功 cos dA F dr θ= d A F d r =? 变力所作的功 cos b
b
a
a
A dA F d r F dr θ==?=???
直角坐标系中 ()B b
x y z A
a
A F d r F dx F dy F dz =?=++??
说明：①功是力对空间的累积；
②合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。
例题3 选取弹簧自然伸长处为x 坐标的原点，当弹簧形变量为x 时，弹性力做功为多少？ 解：弹性力为F=-kx 式中k 为弹簧的劲度系数 则 0
22011
22
()x
x
x x x A F dx kxdx kx kx ==-=--??
可见，功是力对位置的积分。
上述例子在整个过程中间，F 为变力，为了解决问题，取位移元dx ，则在dx 内，F 可以看做一恒力，那么利用功的定义，元功Fdx dA =,再对于整个区间进行积分，就可得到结果。
第三章 定积分在计算刚体转动惯量中的应用
刚体:把物体看作有质量和大小形状，但在外力作用下大小形状不发生改变的理想模型；
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是刚体力学中的一个重要参数，在质点系中转动惯量的表达式为
∑=i
i i r m J 2
有定积分的定义可知当质量连续分布时，刚体的转动惯量可表示为
?=m
dm r J 2
例1、 如图所示，求质量为m ，长为l 的均匀细棒的传统惯量：（1）转轴通过棒 的中心并与棒垂直；（2）转轴通过棒一端并与棒垂直。
解：（1）转轴通过棒的中心并与棒垂直
在棒上任取一质元，其长度为dx ，距轴0的距离为x ，设棒的线密度（即单位
长度上的质量）为l
m
=λ，则该质元的质量dm=dx λ.该质元对中心轴的转动惯
量为
dx x dm x dj 22λ==
整个棒对中心轴的转动惯量为
2212
1212
1
ml dx x dJ J =
==??-λ （2）转轴通过棒的一端与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
2022
1
ml dx rx J l ==?
由于棒上各点到转轴距离不一样，因此不能用转动惯量的定义计算，那么我们就要选取就要选取一个质元dm=dx λ，此质元可以作为质点来看，那么运用转动惯
量定义，那么该质元对转轴的转动惯量
dx x dm x dj 2
2λ==，然后对整个区间进行积
分，就得到整个棒的转动惯量。
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动动量不同。
由上述例子，可以看出定积分可以解决已知质量分布时，刚体的转动惯量。
第四章 定积分在电场强度以及电势计算中的应用
4.1、定积分在电场强度计算中的应用
1、设真空中的优点电荷为q ，P 点位空间一点（称为场点）。r 为从q 到P 点的矢径。P 点处的电场强度
02
01
4F q
E r q r
πε=
=
由叠加原理，点电荷系在空间P 点处的电场强度
02
01
4i
i i i q E E r r πε=∑=
∑
由定积分的定义，连续带电体在空间P 点处的电场强度
02
04dq E dE r r
πε==?
?
例1、 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如图在圆上取?Rd dl =
?λλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为 2
0π4d d R
R E ε?
λ=
方向沿半径向外 则 ??ελ
?d sin π4sin d d 0R
E E x =
=
??ελ
?πd cos π4)cos(d d 0R
E E y -=
-= 积分R
R E x 000
π2d sin π4ελ
??ελπ
==?
0d cos π400
=-=?
??ελ
π
R
E y ∴ R
E E x 0π2ελ
=
=，方向沿x 轴正向．
上述例题中因为带电体为一圆环，各点在在O 点处的场强的方向不同，因此计算上不可能一蹴而就，我们的方法是先取微元dl dq λ=，此时dq 可以看出是点电荷，其
在O 点处激发的电场02
00204141
r r dl r r dq E d
λπεπε==
，然后对E d 在整个区间上积分即可得到结果。
4.2、定积分在电势计算中的应用
1、设真空中的优点电荷为q ，P 点位空间一点（称为场点）。r
为从q 到P 点的矢径。P 点处的电势
04p p q V E dl r
πε∞
=?=
?
由叠加原理，点电荷系在空间P 点处的电势
14i p i
q V r πε=
∑
由定积分的定义，连续带电体在空间P 点处的电势
p p V E dl ∞
=??
例2、如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心
O
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =
则θλd d R q =产生O 点E
d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向
θεθ
λπ
π
cos π4d d 22
2
0??-==R R E E y
R 0π4ελ=
［)2sin(π-2
sin π
-］ R
0π2ελ
-=
(2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U
?
?===A
B
20
0012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ 同理CD 产生 2ln π40
2ελ
=
U 半圆环产生 0
034π4πελ
ελ==
R R U ∴ 0
032142ln π2ελελ+=
++=U U U U O 上述例题中因为带电体为不规则，各点在在O 点处的电势的大小不同，因此计算上也不可能一蹴而就，我们的方法是先取微元dl dq λ=，此时dq 可以看出是点电荷，其在O 点处激发的电场r dl
r dq dU λπεπε004141
==，然后对dU 在整个区间上积分即
可得到结果。
总结：由以上的分析可以看出，微积分在大学物理中的应用不仅是数学工具 的
应用，还是一种思维方法的应用.在物理学中应用微积分解决问题是学习物理必不可少的一部分，在具体的问题当中选取合适的微元，是解题的关键，也就是把具体问题怎样分割才能便于我们更简单的解题。
参考文献
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[11]Zhao jianbin. Physics[M]. Beijing Machinery Press,2006.
[12]Zhou shengyuan, Hydrallic physics[M]. Beijing Higher Education Pres s,1996.
致谢
通过此次毕业设计，加深了我对微积分的了解，为今后顺利的开展工作打下良好的基础，特别是对认识问题、分析问题、解决问题的能力有了较大的提高.本次毕业设计也是对我整个学习阶段的一次综合测试.
在毕业论文设计过程中，衷心的感谢李建老师，在百忙之中对我的设计给予了细致的指导和建议.您严谨求实的教学作风、诲人不倦的耐心，给我留下了难以磨灭的印象.
在这四年的大学生活和学习中，老师不仅教导我做人的原则，尤其在学习当中对我传授的知识会使我受益终身.在此，我表示衷心的感谢，我将在今后的工作中不断追求新知识、继续努力，不辜负老师们对我细心的培养.
最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位老师表示感谢！还要感谢数理学院和我的母校—湖北理工学院学院四年来对我的栽培．
物理部分课后习题答案（标有红色记号的为老师让看的题） 27页 1-2 1-4 1-12 1-2 质点的运动方程为22,(1)x t y t ==-，,x y 都以米为单位，t 以秒为单位， 求： （1） 质点的运动轨迹； （2） 从1t s =到2t s =质点的位移的大小； （3） 2t s =时，质点的速度和加速度。 解：（1）由运动方程消去时间t 可得轨迹方程，将t = 代入，有 2 1) y =- 或 1= （2）将1t s =和2t s =代入，有 11r i = ， 241r i j =+ 213r r r i j =-=- 位移的大小 r = = （3） 2x dx v t dt = = 2(1)y dy v t dt = =- 22(1)v ti t j =+- 2 x x dv a dt = =， 2y y dv a dt = = 22a i j =+ 当2t s =时，速度和加速度分别为 42/v i j m s =+ 22a i j =+ m/s 2 1-4 设质点的运动方程为cos sin ()r R ti R t j SI ωω=+ ，式中的R 、ω均为常 量。求（1）质点的速度；（2）速率的变化率。
解 （1）质点的速度为 sin cos d r v R ti R t j dt ωωωω==-+ （2）质点的速率为 v R ω = = 速率的变化率为 0dv dt = 1-12 质点沿半径为R 的圆周运动，其运动规律为232()t SI θ=+。求质点在t 时刻的法向加速度n a 的大小和角加速度β的大小。 解 由于 4d t d t θω= = 质点在t 时刻的法向加速度n a 的大小为 2 2 16n a R R t ω == 角加速度β的大小为 2 4/d ra d s d t ωβ== 77 页2-15, 2-30， 2-34， 2-15 设作用于质量1m kg =的物体上的力63()F t SI =+，如果物体在这一力作用 下，由静止开始沿直线运动，求在0到2.0s 的时间内力F 对物体的冲量。 解 由冲量的定义，有 2.0 2.0 2.02 (63)(33) 18I Fdt t dt t t N s = =+=+=? ? 2-21 飞机着陆后在跑道上滑行，若撤除牵引力后，飞机受到与速度成正比的阻力 （空气阻力和摩擦力）f kv =-（k 为常数）作用。设撤除牵引力时为0t =，初速度为0v ，求（1）滑行中速度v 与时间t 的关系；（2）0到t 时间内飞机所滑行的路程；（3）飞机停止前所滑行的路程。 解 （１）飞机在运动过程中只受到阻力作用，根据牛顿第二定律，有 dv f m kv dt ==- 即 d v k dt v m =- 两边积分，速度v 与时间t 的关系为 2-31 一质量为m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，离开地面的高度等于地球
第四章电磁学基础 静电学部分 4.2解：平衡状态下受力分析 +q受到的力为： 处于平衡状态： （1） 同理，4q 受到的力为： （2） 通过（1）和（2）联立，可得：， 4.3解：根据点电荷的电场公式： 点电荷到场点的距离为： 两个正电荷在P点产生的电场强度关于中垂线对称： 所以： 当与点电荷电场分布相似，在很远处，两个正电荷q组成的电荷系的电场分布，与带电量为2q的点电荷的电场分布一样。 4.4解：取一线元，在圆心处 产生场强： 分解，垂直x方向的分量抵消，沿x方向 的分量叠加： 方向：沿x正方向 4.5解：（1 （2）两电荷异号，电场强度为零的点在外侧。 4.7解：线密度为λ，分析半圆部分： 点电荷电场公式： + +
在本题中： 电场分布关于x 轴对称：， 进行积分处理，上限为，下限为： 方向沿x轴向右，正方向 分析两个半无限长： ，，， 两个半无限长，关于x轴对称，在y方向的分量为0，在x方向的分量： 在本题中，r为场点O到半无限长线的垂直距离。电场强度的方向沿x轴负方向，向左。那么大O点的电场强度为： 4.8解：E的方向与半球面的轴平行，那么 通过以R为半径圆周边线的任意曲面的 电通量相等。所以 通过S1和S2的电通量等效于通过以R为半 径圆面的电通量，即： 4.9解：均匀带电球面的场强分布： 球面 R 1 、R2的场强分布为： 根据叠加原理，整个空间分为三部分： 根据高斯定理，取高斯面求场强： 图4-94 习题4.8用图 S1 S2 R O
场强分布： 方向：沿径向向外 4.10解：（1）、这是个球对称的问题 当时，高斯面对包围电荷为Q 当，高斯面内包围电荷为q 方向沿径向 （2）、证明：设电荷体密度为 这是一个电荷非足够对称分布的带电体，不能直接用高斯定理求解。但可以把这一带电体看成半径为R、电荷体密度为ρ的均匀带电球体和半径为R`、电荷体密度为-ρ的均匀带电体球相叠加，相当于在原空腔同时补上电荷体密度为ρ和-ρ的球体。由电场 叠加原理，空腔内任一点P的电场强度为： 在电荷体密度为ρ球体内部某点电场为： 在电荷体密度为-ρ球体内部某点电场为： 所以 4.11解：利用高斯定理，把空间分成三部分
《大学物理》上册复习纲要 第一章 质点运动学 一、基本要求： 1、 熟悉掌握描述质点运动的四个物理量——位置矢量、位移、速度和加速度。会处理两类问题：（1）已知运动方程求速度和加速度；（2）已知加速度和初始条件求速度和运动方程。 2、 掌握圆周运动的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。 二、内容提要： 1、 位置矢量： k z j y i x r ++= 位置矢量大小： 2 22z y x ++= 2、 运动方程：位置随时间变化的函数关系 k t z j t y i t x t r )()()()(++= 3、 位移?： z y x ?+?+?=? r s z y x ?≠?≠?+?+?=222)()()( 无限小位移：dr ds k dz j dy i dx r d ≠=++=???? 4、 瞬时速度： dt r d v = dt ds = = 5、 瞬时加速度： k dt z d j dt y d i dt x d k dt dv j dt dv i dt dv a z y x 222222++=++= 6、 圆周运动： 角速度dt d θω= 角加速度 22 dt d dt d θωα== 法向加速度速度方向的变化）(2 n n e r v a = 切向加速度速度大小的变化）(t αr e dt dv a t ==
例题：1.质点运动学（一）：2，4，5，8；2.质点运动学（二）：1，2，3，5； 第二章 牛顿定律 一、 基本要求： 1、 理解牛顿定律的基本内容； 2、 熟练掌握应用牛顿定律分析问题的思路和解决问题的方法。能以微积分为工具，求解一维变力作用下的简单动力学问题。 二、 内容提要： 1、 牛顿第二定律: a m F = 指合外力 合外力产生的加速度 在直角坐标系中： x x ma F = y y ma F = z z ma F = 在曲线运动中应用自然坐标系: r v m ma F n n 2 == dt dv m ma F t t == 例题：3、牛顿定律 2，3，5，8，9 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 一、 基本要求： 1、 理解动量、冲量概念，掌握动量定理和动量守恒定律，并能熟练应用。 2、 掌握功的概念，能计算变力作功，理解保守力作功的特点及势能的概念。 3、 掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律并能熟练应用。 二、 内容提要 （一） 冲量 1、 冲量: )212 1 t t dt F I t t -?=? 2、 动量: m = 3、 质点的动量定理: 12 2 1 m m dt t t -=?? 4、 动量守恒定律 条件：系统所受合外力为零或合外力在某方向上的分量为零； ∑-==n i i i m 1 恒矢量
高中物理中微积分思想 浙江省湖州中学物理组 潘建峰 伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。 微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。 1、解决变速直线运动位移问题 匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？ 例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？ 【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=0 2021at t v x +=就可以求得汽车走了0.025公里。 但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即202 1at t v x +=。 【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移 km t t t a t v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(5025 02050050=-=+=+==?? 小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v －t 图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决. 2、解决变力做功问题 恒力做功，我们可以利用公式直接求出Fs W =；但对于变力做功，我 们如何求解呢？ 例2：如图所示，质量为m 的物体以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运 动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，求物体从轨道最低点运动到
求解在立体斜面上滑动的物体的速度 一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ恰好满足αμtg =，α为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度 0V 而滑动，如图一，求： 物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。 解：物体在某一位置所受的力有：重力G ， 弹力N 以及摩擦力f 。摩擦力f 总是与运动速度V 的方向相反，其数值 ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ==== 重力在斜面上的分力为1G ，如图二，将1 G 分解为两个分力：1G ''是1G 沿轨迹切线方向的分 力，φαφsin sin sin 11 mg G G =='' ；1G '是沿轨 迹 法 向 的 分 力 ， φαφcos sin cos 11 mg G G =='，如图三。 根据牛顿运动定律，得运动方程为 τma f G =-''1 （1） n ma G ='1 （2） 由（1）， )1(sin sin )sin sin sin (1 -=-= φααφατg mg mg m a 而 ,dt dV a = τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）
式中φ是t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到 φφ d d ds V V dS dt 1== （4） 而φ d ds 表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式， ρ φα2 cos sin V m mg = （5） 由式（3）（4）（5），可得到 ,)sec (φφφd tg V dV -= φφφφ d tg V dV V V ??-=00)sec (， 积分，得到 )sin 1ln()ln(sec cos ln ln φφφφ+-=+--=tg V V ， .sin 10 φ += V V 运用积分法求解链条的速度及其时间 一条匀质的金属链条，质量为m ，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L ，另一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。试求： 链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。 解：设金属链条的线密度为.2 1L L m += λ当一边长度为 x L +1，另一边长度为x L -2时受力如图二所示，则根据牛 顿运动定律，得出运动方程 ,)()(11a x L T g x L λλ+=-+
大学物理课程教学基本 要求 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
非物理类理工学科大学物理课程教学基本要求（正式报告稿）物理学是研究物质的基本结构、基本运动形式、相互作用的自然科学。它 的基本理论渗透在自然科学的各个领域，应用于生产技术的许多部门，是其他 自然科学和工程技术的基础。 在人类追求真理、探索未知世界的过程中，物理学展现了一系列科学的世 界观和方法论，深刻影响着人类对物质世界的基本认识、人类的思维方式和社 会生活，是人类文明发展的基石，在人才的科学素质培养中具有重要的地位。 一、课程的地位、作用和任务 以物理学基础为内容的大学物理课程，是高等学校理工科各专业学生一门 重要的通识性必修基础课。该课程所教授的基本概念、基本理论和基本方法是 构成学生科学素养的重要组成部分，是一个科学工作者和工程技术人员所必备 的。 大学物理课程在为学生系统地打好必要的物理基础，培养学生树立科学的 世界观，增强学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的探索精神和创新意 识等方面，具有其他课程不能替代的重要作用。 通过大学物理课程的教学，应使学生对物理学的基本概念、基本理论和基 本方法有比较系统的认识和正确的理解，为进一步学习打下坚实的基础。在大 学物理课程的各个教学环节中，都应在传授知识的同时，注重学生分析问题和 解决问题能力的培养，注重学生探索精神和创新意识的培养，努力实现学生知 识、能力、素质的协调发展。 二、教学内容基本要求（详见附表）
大学物理课程的教学内容分为A、B两类。其中：A为核心内容，共74条，建议学时数不少于126学时，各校可在此基础上根据实际教学情况对A类内容各部分的学时分配进行调整；B为扩展内容，共51条。 1.力学 （A:7条，建议学时数14学时；B:5条） 2.振动和波 （A:9条，建议学时数14学时；B:4条） 3.热学 （A:10条，建议学时数14学时；B:4条） 4.电磁学 （A:20条，建议学时数40学时；B:8条） 5.光学 （A:14条，建议学时数18学时；B:9条） 6.狭义相对论力学基础 （A:4条，建议学时数6学时；B:3条） 7.量子物理基础 （A:10条，建议学时数20学时；B:4条） 8.分子与固体 （B:5条） 9.核物理与粒子物理 （B:6条）
《大学物理》课程 教学大纲 课程代码： 2008099、2008100 课程名称：《大学物理》/University Physics 课程类型：公共基础课 学时学分：128学时/8学分 适用专业：全校理工类本科生（除地球物理学专业） 开课部门：基础课教学部 一、课程的地位、目的和任务 大学物理是高等学校理工科各专业学生的一门重要的必修基础课。 大学物理学课程的作用：第一方面是为学生较系统地打好必要的物理基础。物理学研究物质的基本结构、基本运动形式和物质的相互作用，是其他自然科学和工程技术的基础；因此，学生应通过学习物理学获得关于物质的基本结构、物质基本运动形式和物质的相互作用基本规律的知识，为学习其他课程打好基础。第二方面是使学生通过物理学的学习，初步学习科学的思想方法和研究方法，培养独立思考和分析问题、解决问题的能力，提高学习素质，激发求知和创新的精神。因此，学好本课程不仅对学生在校期间的学习有重要作用，而且对学生毕业后的工作和知识的更新也有较深远的影响。 本课程的教学目的为： 1. 使学生对物理学的基本概念、基本理论和基本方法有较系统的知识和正确的理解，为进一步学习打下坚实的基础； 2. 通过各教学环节培养学生的科学思维方法、严谨的科学工作作风，培养学生分析问题和解决问题的能力； 3. 培养和鼓励学生的探索精神和创新意识。 二、课程与相关课程的联系与分工 先修课程：《高等数学》 鉴于本课程对数学知识的需要，本课程适宜于大一第二学期和大二第一学期两学
期开设。 相关课程：《大学物理实验》 后续课程：各专业有关的专业基础课及专业课如理论力学、通信原理、电工原理、地震前兆测量、工程物探等 三、教学内容与基本要求 第一章质点运动学 1.教学内容 第一节质点运动的描述 （1）参考系、质点； （2）位置矢量、运动方程、位移； （3）速度、加速度； 第二节求解运动学问题举例 第三节圆周运动 （１）角位移、角速度； （２）切向加速度和法向加速度、角加速度； （３）匀速率和匀变速率圆周运动； 第四节相对运动 （1）时间与空间 （2）相对运动 2.重点难点 教学重点掌握位置矢量、位移、速度、加速度等物理量 教学难点运动学中各物理量的矢量性 3.基本要求 （1）掌握位置矢量、位移、速度、加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度、加速度。能借助于极坐标计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。 （2）理解质点运动的瞬时性、矢量性和相对性。 （3）掌握运动学两类问题的求解方法。
微积分在物理学上的 应用
微积分在物理学上的应用 1 引言 微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。 2 微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。
在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体 的物理量和角度去判断他的正确含义。 例：如图所示，一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。 解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为 d 线圈围成的面上通过的磁通量为 线圈中的感应电动势为
高等数学在大学物理中的重要性 专业：应用化学学号：5503211017 学生姓名：胡吉林指导老师：吴评 摘要：数学是物理的基础，是研究物理的重要工具和手段。而高等数学的思想方法，渗透于大学物理学习过程的各个环节。高等数学是一门抽象性的学科，而大学物理正是借助其理论结晶将抽象的数学思维方法与具体的自然规律结合了起来。我校之所以选择在上完高等数学（上册）之后，再开设大学物理课程，就是考虑到大学物理的学习需要运用到高等数学中的很多知识。而高等数学中的学习成果在大学物理中的验证与利用，能让我们对其印象更深，理解得更透彻。下面，本文将结合作者自身在大学物理学习过程中的感悟与体会，探讨高等数学的思想方法在大学物理中的重要体现。 关键词：高等数学；大学物理；思想方法；自然规律 1 建模的思想 数学建模，理工科的学生对此都很熟悉，为了使问题简化，建立合适的数学模型，常常要作出一些理想化的假设，忽略次要因素，突出主要矛盾。在大学物理中，类似这样建立理想模型的例子也不胜枚举，如力学中的质点、刚体，电学中的点电荷等，都是把复杂的实际问题抽象成了一个个基本的理想模型。这种建立理想模型的方法，借鉴了数学建模的思想，是物理学的基本研究方法之一。 2矢量的思想 大学物理中，很多物理量是矢量，如位移、速度、角动量、电场强度、磁感应强度等，而矢量的运算正是高等数学中的向量代数在大学物理中的运用。如：力的分解与合成其实是向量的加减法运算，而计算力矩、角动量、安培力等则用到了向量代数中向量积的运算。合理地借助向量工具，可使一些物理研究问题大为简化。 3导数的思想 中学物理与大学物理的不同在于：中学物理中所讨论的物理量大多是均匀变化的，而大学物理中所讨论的物理量一般都是非均匀变化的，因而需要用求导数的方法来解决这类问题。力学中导数的应用问题可以分为两类：第一类是已知物体的运动方程，求解物体的运动速度和加速度；第二类则是已知物体的加速度和初始条件，求解物体的运动方程。通过求导，也可以计算角速度、角加速度及电场强度等物理量的值。此外，在求解物理问题的过程中，常碰到一些求极值的问题，
微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a =
（7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+?
物理学教程下册答案9-16 第九章 静 电 场 9－1 电荷面密度均为＋σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A )放置，其周围空间各点电场强度E (设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图(B )中的( ) 题 9-1 图 分析与解 “无限大”均匀带电平板激发的电场强度为0 2εσ，方向沿带电平板法向向外，依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B ). 9－2 下列说确的是( ) (A )闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面一定没有电荷 (B )闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面电荷的代数和必定为零 (C )闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零 (D )闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零 分析与解 依照静电场中的高斯定理，闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面电荷的代数和必定为零，但不能肯定曲面一定没有电荷；闭合曲面的电通量为零时，表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面，不能确定曲面上各点的电场强度必定为零；同理闭合曲面的电通量不为零，也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零，因而正确答案为(B ). 9－3 下列说确的是( )
(A) 电场强度为零的点，电势也一定为零 (B) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零 (C) 电势为零的点，电场强度也一定为零 (D) 电势在某一区域为常量，则电场强度在该区域必定为零 分析与解电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为(D). *9－4在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子，其电偶极矩p的方向如图所示.当电偶极子被释放后，该电偶极子将( ) (A) 沿逆时针方向旋转直到电偶极矩p水平指向棒尖端而停止 (B) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p水平指向棒尖端，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动 (C) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p水平指向棒尖端，同时逆电场线方向朝远离棒尖端移动 (D) 沿顺时针方向旋转至电偶极矩p 水平方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动 题9-4 图 分析与解电偶极子在非均匀外电场中，除了受到力矩作用使得电偶极子指向电场方向外，还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用，因而正确答案为(B). 9－5精密实验表明，电子与质子电量差值的最大围不会超过±10－21e，而中子电量与零差值的最大围也不会超过±10－21e，由最极端的情况考虑，一个有8个电子，8个质子和8个中子构成的氧原子所带的最大可能净电荷是多少？若将原子视作质点，试比较两个氧原子间的库仑力和万有引力的大小. 分析考虑到极限情况，假设电子与质子电量差值的最大围为2×10－21e，中子电量为10－21e，则由一个氧原子所包含的8个电子、8个质子和8个中子
微积分在物理学上得应用 1 引言 微积分就是数学得一个基本学科,内容包括微分学,积分学,极限及其应用,其中微分学 包括导数得运算,因此使速度,加速度等物理元素可以使用一套通用得符号来进行讨论。而在大学物理中,使用微积分去解决问题就是及其普遍得。对于大学物理问题,可就是使其化整为零,将其分成许多在较小得时间或空间里得局部问题来进行分析。只要这些局部问题分得足够小,足以使用简单,可研究得方法来解决,再把这些局部问题得结果整合起来啊,就可以得到问题得结果。而这种将问题无限得分割下去,局部问题无限得小下去得方法,即称为微分,而把这些无限个微分元中得结果进行求与得方法,即就是积分。这种解决物理问题得思想与方法即就是微积分得思想与方法。 2 微积分得基本概念及微分得物理含义 微积分就是一种数学思想,其建立在函数,实数与极限得基础上,其主要探讨得就就是 连续变量。在运用微积分去解决物理问题时,可以将我们所需要得出得结果瞧成就是一个整体,再将这个整体先微分,即将其分成足够小得个体,我们可以将这个个体得变量瞧成衡量,得出个体结果后,再将其积分,即把个体得结果累积起来进行求与。例如,在我们研究匀变速直线运动时,我们就可以在其运动过程中选取一个微小得时间dt,而这一时间内得位移为dt,在每一段时间内速度得变化量非常小,可以近似忽略,那么我们就可以将这段时间内得运动近似瞧成匀速直线运动,再把每段时间内得位移相加,无限求与,就可以得出总得位移。 在物理学中,每个物理公式都就是某些物理现象与规律得数学表示,因此,我们在使用 这些公式时,面对物理量与公式得微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑,更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时,不能只从数学角度去理解其为无限小,更要结合具体得物理量与角度去判断她得正确含义。 例:如图所示,一通有交流电流i=得长直导线旁有一共面得单匝矩形线圈ABCD,试求线圈中得感应电动势大小。 解:设在某个时刻,长直导线电流产生得磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上得磁场可以近似于均匀磁场,微元面dS上得磁通量为 d 线圈围成得面上通过得磁通量为
微积分在大学物理的一些应用
摘要 在大学物理中微积分有非常大的用处，随处可见给我们解题带来的方便。即如在质点运动，力学，功，热学，电磁学等都有体现出了。在习题解答中也处处能用到，也许是他们的特殊的性质和集合意义，让他们在物理应用中非常的全面。如在 质点运动中瞬时速度，用符号 “v ”表示，即00()()lim lim t t r t t r t r d r v t t dt ?→?→+?-?=== ?? 。微积分作为数学的一门分支学科，在物理学中有着非常重要的应用价值。大学物理 中，我们常常研究始终都在变化的物理量，会觉得很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就就可以认为是常量处理，最终加起来就行了。 关键词：微积分，取极限，分割，求导
引言 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细化”就是微分，“无限求和”就是积分。在学习物理的过程中，我们常常是在研究不规则的物理量或物理状态。有了这个思想，那我们就可以把问题细化，研究一个小的微元的变化量，然后相加，非常方便。 一、力学 1.1质点运动学 1、若质点在t ?时间内的位移r ? ，则定义r ? 与t ?的比值为质点在这段时间内的平 均速度，写为 r v t ?= ? 其分量形式r x y z v i j k t t t t ????==++???? 当0t ?→时，平均速度的极限值叫做瞬时速度，用符号“v ”表示，即 00()()lim lim t t r t t r t r d r v t t dt ?→?→+?-?=== ?? 0t ?→时，r ? 的量值r ? 可以看作和s ?相等，此时瞬时速度的大小d r v dt = 等于质 点在该点的瞬时速率 d s d t 。 t 时刻质点的速度为();v t 在t t +?时刻，质点位于下一点 时其速度为() v t t +? ；则在时间t 内，质点的速度为()()v v t t v t ?=+?- 。定义质点在 这段时间内的平均加速度为 v a t ?= ? 平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。 0t ?→时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，即 22 0lim t v d v d r a t dt dt ?→?===? 这样在解题过程中就能用到。微积分在题目中的用处十分的便捷。 如下例题 例1、质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62x ，a 的单位为2s m -?，x 的单位为 m. 质点在x ＝0处，速度为101s m -?,试求质点在任何坐标处的速度值．
物理中的微积分思想 你们不要老提我，我算什么超人，是大家同心协力的结果。我身边有300员虎将，其中100人是外国人，200人是年富力强的香港人。 高中物理中微积分思想 浙江省湖州中学物理组潘建峰 伟大的科学家牛顿 有很多伟大的成就 建立了经典物理理论 比如：牛顿三大定律 万有引力定律等；另外 在数学上也有伟大的成就 创立了微积分 微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支 微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的 微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"
好像一个事物始终在变化你很难研究 但通过微元分割成一小块一小块 那就可以认为是常量处理 最终加起来就行 微积分学是微分学和积分学的总称 它是一种数学思想 '无限细分'就是微分 '无限求和'就是积分 无限就是极限 极限的思想是微积分的基础 它是用一种运动的思想看待问题 微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一 在高中物理中 微积分思想多次发挥了作用 1、解决变速直线运动位移问题 匀速直线运动 位移和速度之间的关系x=vt；但变速直线运动那么物体的位移如何求解呢？ 例1、汽车以10m/s的速度行驶
到某处需要减速停车 设汽车以等减速2m/s2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少公里？ 【解析】现在我们知道 根据匀减速直线运动速度位移公式就可以求得汽车走了0.025公里 但是 高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的 其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分 在每一份时间微元内 速度的变化量很小 可以忽略这种微小变化 认为物体在做匀速直线运动 因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加 即"无限求和" 则总的位移就可以知道 现在我们明白 物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的"面积" 即
大学物理微积分教学问题及对策- 【摘要】结合教学过程中体会，总结提出工科大学物理中微积分教学的重点关注点和有效解题模式。 【关键词】大学物理;微积分;教学方法 物理学是自然科学和现代工程技术的基础，是一门培养和提高学生科学素质、科学思维方法和科学研究能力的重要基础课程。与中学物理相比，大学物理的最大变化就是在规律的阐述和计算中出现了大量的微积分语言，作者认为，高等数学和大学物理对于微积分的教学侧重点不同。如何尽快的使学生理解微积分思想，并且熟练的运用微积分方法来分析物理问题是教师教学的重点和难点。 一、微积分在处理物理问题中的核心思维 与中学物理相比，大学物理最大的特点是所研究的物理量由原来的稳恒量和离散量变成了变量和连续量。利用微积分解决问题本质上是因为物理规律的可加型，如力的叠加原理、电场强度的叠加原理、磁感应强度等矢量的叠加原理;微积分通过微分-积分方法实现了有限向无限，近似向精确的转化。微积分思想和方法的精髓是：对物理对象取微元后，复杂物理对象变成简单对象，变量可看成常量，非均匀量可看成均匀量，曲面可看成平面，实现了变与不变的辩证转换。 二、大学物理微积分教学关注点 高等数学中有大量知识点和物理问题对应，例如：多重积分可以用于求解刚体的转动惯量;第二类曲线积分对应物理中的变力做功、静电场中电势的计算;第二型曲面积分则对应物理中的流量、电通量和磁通量的计算。但是数学是一门高度抽象的科
学，它完全摒弃了具体的现象，具有普适性，而物理研究的是客观物质世界的基本规律，所以解决物理问题的思维方式也并不等同于数学，物理学中的许多微元概念，他们有具体的物理含义，不能简单等同于数学上的微元。要形成独特的用微积分解决物理问题的思维。 （一）注重物理图像，跳出套用公式的思维定式 电通量、磁通量流量等对应高等数学中的第二类曲面积分，数学中对这类问题通常是已知曲面的函数，化为重积分计算，学生感觉数学学会了，会计算一定量的积分题目，但是碰到具体的物理问题还是觉得束手无策，不能达到融会贯通。物理中的电通量和磁通量是由通过与匀强场垂直的平面的通量引入的。并且大学物理教学中的问题是具有某种对称性的，所以从物理意义的角度分析问题更快捷，更有普适性。 （二）自觉用微积分方法分析和解决问题 例如，在高斯定理一节的讲解中，有一个问题是求解均匀带电球面的电场分布，教学中发现“由于电荷分布是球对称的，电场是由电荷产生的，可判断出空间的电场分布必然是球对称的，即与球心O距离相等的球面上各点电场强度大小相等，方向沿半径呈辐射状。”这样的语言并不能使学生清楚了解电场为什么是这样的分布，学生仍然搞不清楚为什么如此。为解决这个问题，我们以球面外任意一点为例，做过这个点的和球心的直线，我们沿垂直于此直线的方向将球面分割成无数的小圆环，我们知道均匀带点圆环在轴线上某一点的电场方向是沿轴线的，无数小圆环的电场方向都是沿轴线，所以整个球面在P点的电场方向就是沿OP轴线方向的，这样的具体分析使学生更容易接受，同时也锻炼了微积分分析问题的思想。
微积分初步知识在今年物理高考中的应用例析 江苏省常州高级中学 丁岳林 物理学是一门精确科学，与数学有密切关系，在应用物理知识解决实际问题时，一般或多或少总要进行数学运算、进行数学推理，而且处理的问题愈是高深，应用的数学一般也愈多.“应用数学处理物理问题的能力”是物理科高考考试说明中的五条能力要求之一，说明中指出，“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论……”.物理解题中运用的数学方法，通常包括方程(组)法、比例法、函数法、几何(图形辅助)法、图象法、数列与不等式及微积分初步等。其中，微积分初步是新编数学教材(本届高三学生是全国面上使用新教材的第一届)中增加的内容，因此往届高考物理试题中并未出现，但通观今年的高考物理试题，对微积分初步知识还是有一定要求的，本文就以今年的两道高考物理试题为例对这一要求来做一解读。 例1．如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r 0＝0.10Ω/m ，导轨的端点P 、Q 用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离l ＝0.20m 。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B 与时间t 的关系为B ＝kt ，比例系数k ＝0.020T/s ，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动， 在滑动过程中保持与导轨垂直，在t ＝0时刻，金属杆紧靠 在P 、Q 端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开 始向导轨的另一端滑动，求在t ＝6.0s 时金属杆所受的安培 力。（2003年江苏省高考物理试题） 解析：求解本题的关键是正确计算回路中总感应电动势，从高考阅卷抽样统计来看该题的正确率极低，98%以上的考生都是错误地应用公式Blv =ε或t B S ??=ε计算电动势，原因是对公式的适用条件模糊不清，从而是乱代公式。 以a 表示金属杆运动的加速度，在t 时刻，金属杆与初始位置的距离22 1at x = 此时杆的速度at v =。这时穿过回路的磁通量为BS =Φ，其中xl S =，kt B =，因此， 32t kla =Φ，根据法拉第电磁感应定律223t kla dt d =Φ=ε 回路的总电阻02Lr R = 回路中的感应电流R i ε = 作用于杆的安培力Bli F = 解得 t r l k F 0 2 223=，代入数据为31044.1-?=F N 本题中的电动势第二种计算方法是，根据法拉第电磁感应定律运用数学上的极限工
1 引言 微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。 2 微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。 在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体的物理量和角度去判断他的正确含义。 例：如图所示，一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。 解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为 d 线圈围成的面上通过的磁通量为 线圈中的感应电动势为 在这个例题中，微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有，但他们的物理含义却是不一样的，前者的表示微元面 dS上的磁通量，是一个微小量，而后者的表示
毕业设计（论文）题目：微积分的几点物理应用 学院：数理学院 专业名称：应用物理 学号：200941220103 学生姓名：孙川 指导教师：李建 2013年05月18日 摘要
微元法在物理学中应用非常普遍.在大学物理学中, 从静电场到恒定磁场，从质点的运动学到刚体的力学，都要遇到用微积分来解决的问题.本论文主要探讨的是在大学物理学习中,应用微积分方法解决问题时几个问题. 微积分主要思想和方法利用微元法处理比较复杂物理问题时,可以先把它分割成许多在较小时间、空间等范围内的可以近似处理的基本问题,然后再对此可研究的简单的基本问题进行讨论,最后再把所有局部范围内研究的结果累积起来,就可以得到问题结果.在理论分析时,把分割过程无限地进行下去,局部范围便会无限地小下去,这就是微分;把所有的无限多个微分元的结果进行叠加,便是积分.这就是微积分的主要思想和方法,是一种辩证的思想和分析方法 关键字 微积分微元法质点力学刚体力学电磁学
Abstract Calculus is quite common in physics. In College Physics, from the particle motion mechanics to particle dynamics mechanics, both the electrostatic field and a constant magnetic field meet the question which needs use the calculus. This article mainly discusses the learning of university physics; Applied Calculus approach to the problem should pay attention to several issues. The main ideas and methods of the calculus, using the calculus method to deal with more complex physical problems. It’s f irst “break up the whole into parts “, it is divided into many smaller time, space Etc. within the range of processing of the basic Can be approximated. Then, to research simple questions hold discussion. Lastly, “Zero for the whole plot”, within the scope of all the result of study Accumulated. The results can be obtained. In theoretical analysis, the segmentation process is carried on unlimited. Then Local scope Narrow down unlimited. This is differentiation. All the Differential element Superimposed, it is integral calculus. This is the main ideas and methods of the calculus. Is a kind of dialectical thinking and analytical methods. Key words Calculus Micro-element method Particle mechanics Rigidbody mechanics Electricity and Magnetism