二次根式加减运算
? 课前预习
1. 有理数混合运算的操作步骤：
①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③______________________． 2. 两大公式：
①平方差公式________________________； ②完全平方公式______________________．
3. 数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1，3，点B 关于点A 的对称点为C ，若点C 表
示的数为x ，则x =________．
-3
-2
-1
1
2
3
? 知识点睛
1. 同类二次根式：_____________________________________．
2. 二次根式的加减法则：
①______________________；②_______________________． 3. 实数混合运算顺序：
先算__________，再算______，最后算______．如果有括号，先算括号里面的．
? 精讲精练
1. ）
A ．6
B ．8
C ．
2
1
D
2. 已知最简二次根式的和是一个二次根式，则a =________．
3. 下列计算正确的是（ ）
A =
B 6=
C ．2=
D ．-=4. 计算：
（1； （2）；
解：原式= 解：原式=
（3
（4）
解：原式= 解：原式=
（5； （6 解：原式=
解：原式=
（7 （8+ 解：原式=
解：原式=
（9； （10） 解：原式=
解：原式=
5. 计算：
（14； （2）?- ?；
解：原式= 解：原式=
（3）13
24-；
解：原式=
（4） （5）- 解：原式=
解：原式=
（6；（7）； 解：原式= 解：原式=
（8）?+÷ ?
解：原式=
（9）1)(2-； （10）； 解：原式=
解：原式=
（11）22)； （12）2(5?+； 解：原式=
解：原式=
（13）2-； 解：原式=
（14）1)； 解：原式=
（15
2--； 解：原式=
（16
）2-解：原式=
6.
7.
-1，则点C 对应的实数为_____．
8. 如图，数轴上A ，B 两点所对应的实数分别为-2和A 与点B 关于点C 对
称，则点C 所对应的实数为_______．
【参考答案】 ? 课前预习
1. ①结构，部分
②法则
③每步推进一点点
2. ①22()()a b a b a b +-=-
②222()2a b a ab b ±=±+ 3. -1
? 知识点睛
1. 化成最简二次根式后，被开方数相同
2. ①化成最简二次根式；②合并同类二次根式.
3. 乘方和开方，乘除，加减
? 精讲精练
1. D
2. 1
3. D
4. （1） （2）-；
（3）
5
；
（4）-； （5）；
（6）
（7）6-
； （8）2
； （9）
7
；
（10）
5. （1）4-； （2）2
； （3）44--；
（4） （5）6； （6）18；
（7）1-；
（8）143
； （91；
（10）33-； （11）7+ （12）1；
（13）6-- （14）； （15；
（16）112
-.
6. 2
7. 1+
8.
1
16.3二次根式加减法教学设计（第一课时） 一、教材分析： 本节主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混和运算。学习本节之前，学生已经掌握了把二次根式化简成最简二次根式的方法，这是学习本节课的基础。本节课的重点是二次根式的加减及混合运算。本节课在以前及后续学习中起承上启下作用，因为本节既是第五章相关内容的发展，又是后面将学习的解直角三角形、一元二次方程、等章节的重要基础。 二、学情分析 我所带八年级一二班学生基础较差，两极分化较严重有部分学生对第五章平方根、立方根的知识掌握的不够扎实，对整式加减运算欠账比较多，因此学习本章时有困难。 三、教学目标： 1.知识与技能：探究二次根式加减法运算法则，会用二次根式加减法法则进行计算。 2.过程与方法：学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力。通过加减法运算，培养学生的运算能力。 3.情感态度与价值观：通过加减法运算解决生活中实际问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。 四、教学重难点 1.重点：首先把二次根式化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式。 2.难点：二次根式加减法的实际应用，去括号问题。 五、教学方法：自主探究、合作、讨论。 六、教学媒体：多媒体，白板。 七、教学活动过程 1、引入新课 【活动一】：计算下列各式 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合
并就是字母不变，把系数相加减。 【活动二】： 现有一块长7.5dm 、宽5dm 的木板，能否采用如教科书图16.3-1所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板？ 分析：由于大小正方形的边长分别为8和18，显然木板够宽，下面考虑木板是否够长。由于两个正方形的边长和为188+，这实际上是求8和18这两个二次根式的和，计算188+之前，我们先来看下面几道题怎么算？ 22+32（1）8-38+58（2）2 7+27+397 ?（3）3-23+2（4）3 师生行为:（1）学生分组讨论，探求方案。 （2）教师倾听学生的交流，指导学生探究。 教师关注：学生能否将8和18化成最简二次根式；能否将分配律运用到计算 中 。 师生行为：分析188+的计算过程 教师讲解点评： 师：用自己的语言描述二次根式加减法的法则. 生：二次根式加减法时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方
16.3二次根式的加减(1) 王义贞镇初级中学——陈莹英 一、复习回顾: 1.什么时最简二次根式？ （1）被开方数不含分母；分母不含根号； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2.把下列各根式化简： 3 11(8) 45(7) 32(6) 21)5(50 (4) 18(3) 48(2) 12)1( 3.下列3组根式各有什么特征? Λ23221522232)1(，，，，- Λ 3132,317,36,35,3)2(- Λ2 1,32,185,8,2)3(- 归纳总结：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数 相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 判断同类二次根式的关键是什么？ (1)化成最简二次根式， (2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
二、例 题 解 析 例1: 下列各式中,哪些是同类二次根式? 45 32481850121 2 注意： 判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次根式前面的因式及符号无关． 练习： 1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） 12,2.A 21,2.B 2,4.ab ab C 1,1.+-a a D 2.与 12是同类二次根式的是( ) A. 32 B 24 C. 125 27 16.D 三、思考与探究 例1.计算: 7 672)2(7 672)1(-+ 如何合并同类二次根式? 与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部都不变,二次根式的加减实质是合并同类二次根式．
292 )432(2 423222 4188=++=++=++ 总结二次根式加减运算的步骤 二次根式加减法的步骤： （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。 一化 二找 三合并 a a 259.345 -80.275 12.1++）（）（）（练习计算： 比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 二次根式的加减实质是合并同类二次根式．整式的加减的实质是合并同类项． 练习： 1.判断:下列计算是否正确?为什么? 22223.39494.23 838.1=-+=+-=+）（）（）（
二次根式加减乘除运算 上次课程检测： 1.下列二次根式中与8不是同类二次根式的是（ ） A . 21 B. 50 C. 8 1 D . 54 2． ）． A ．20 3 B ． 2 3 C ． 2 3 D ．20 3 3.计算： （1 ）?÷ ?（2 ）10120096-??-+- ??? 4.当715+=x ,715-=y ,求22y xy x +-的值. 5.如图1，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有多少米. 新授 一、选择题： 1.估计4 18?的运算结果应在（ ） A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间 211x -= ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1 3.设a ＞0，b ＞0，则下列运算错误的是（ ） A . b a ab ?= B . b a b a +=+ C . a a =2)( D . b a b a = 图1
4. ① 3= 1 71 （ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 5.下列判断⑴12 3 和13 48 不是同类二次根式；⑵145 和125 不是同类二次根式； ⑶8x 与8x 不是同类二次根式，其中错误的个数是（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 6.如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） A 、 a B 、 1a 2 C 、3－a D 、－a 2 7．如图1，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ） A.S 1＝S 2 B.S 1＜S 2 C.S 1＞S 2 D.无法确定 8．如图2，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ） A ． B ．25 C ．5 D ．35 图2 图3 图4 二、填空 1．如图3，从点()02A ，发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 ． 2．如图4，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 3、二次根式外（内）的因式移到根号内（外） （1）化简a a 1-的结果是________． （2）已知a 16.3二次根式加减法教学设计 （第一课时） 一、教材分析： 本节主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混和运算。学习本节之前，学生已经掌握了把二次根式化简成最简二次根式的方法，这是学习本节课的基础。本节课的重点是二次根式的加减。 二、学情分析 我班学生基础较差，两极分化较严重有部分学生对平方根、立方根的知识掌握的不够扎实，对整式加减运算欠账比较多，因此学习本章时有困难。 三、教学目标： 1.知识与技能：探究二次根式加减法运算法则，会用二次根式加减法法则进行计算。 2.过程与方法：学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力。通过加减法运算，培养学生的运算能力。 3.情感态度与价值观：通过加减法运算解决生活中实际问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。 四、教学重难点 1.重点：首先把二次根式化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式。 2.难点：二次根式加减法的实际应用，去括号问题。 五、教学方法：自主探究、合作、讨论。 六、教学媒体：多媒体，白板。 七、教学活动过程 1、引入新课 【活动一】：计算下列各式 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，把系数相加减。 【活动二】： 现有一块长7.5dm 、宽5dm 的木板，能否采用如教科书图16.3-1所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板？ 分析：由于大小正方形的边长分别为8和18，显然木板够宽，下面考虑木板是否够长。由于两个正方形的边长和为188+，这实际上是求8和18这两个二次根式的和，计算188+之前，我们先来看下面几道题怎么算？ 22+32（1）8-38+58 （2）2 7+27+397 ?（3）3-23+2（4）3 师生行为:（1）学生分组讨论，探求方案。 （2）教师倾听学生的交流，指导学生探究。 教师关注：学生能否将8和18化成最简二次根式；能否将分配律运 用到计算中 。 师生行为：分析188+的计算过程 教师讲解点评： 16.3二次根式的加减(一） 一、教学目标 知识与技能目标：通过自主探究概括同类二次根式的概念及二次根式加减法 法则 过程与方法目标：了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式，会利用 法则进行二次根式的加减运算 情感态度与价值观目标：通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣 二、教学重难点 重点：同类二次根式的概念及二次根式加减运算法则 难点：探讨二次根式加减法运算的方法，准确进行二次根式加减法的运算 三、教法学法 启发式、探讨式 四、教学过程设计 （一）类比引入，探求新知. 1、化简下列两组二次根式 2、观察上述两组二次根式，他们各有什么特征？ 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 3. 与 是同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 4、做一做 如何合并同类二次根式? ()=801=45()=a 92= a 255354)1(、）（、）（0532≥a a a 2412325 ()=-53541()= +a a 5323 与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部都不变. （二）理解应用，体验成功 1、例题讲解 总结：二次根式加减法的步骤 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式 （3）合并同类二次根式。 简称为：一化、二找、三合并 （三）课内练习 1.判断:下列计算是否正确? 2.计算 三.清点收获 由教师开出清单，学生进行清点 1.同类二次根式的定义? 2.二次根式加减运算的步骤? 3.如何合并同类二次根式? （六）课后作业 P14 1、2 2 4188)2(++7512)1(-()1232=-()94943+=+()2 22234=-) 62()5.024)(5(--+)53()2012)(3(-++) 2798(18)4(--5 2080)2(+-()3 121=+7 672)1(- 6 8 1 2 24 a + 1 a +1 2 3 5 6 6 2 3 3 3 75 8 32 二次根式加减运算（讲义） ? 课前预习 1. 有理数混合运算的操作步骤： ①观察 ，划 ； ②有序操作，依 ； ③ ． 2. 两大公式： ①平方差公式 ； ②完全平方公式 ． 3. 数轴上 A ，B 两点对应的实数分别为 1，3，点 B 关于点 A 的 对称点为 C ，若点 C 表示的数为 x ，则 x = ． ? 知识点睛 1. 同类二次根式： ． 2. 二次根式的加减法则： ① ；② ． 3. 实数混合运算顺序： 先算 ，再算 ，最后算 ．如果有括号， 先算括号里面的． ? 精讲精练 1. 下列各式与 是同类二次根式的是（ ） A. B ． C ． D ． 2. 与最简二次根式5 是同类二次根式，则 a = ． 3. 已知最简二次根式2 与则 a = ． 的和是一个二次根式， 4. 下列计算正确的是（ ） A ． + = B ． + = 6 C ． 2 + = 2 5. 计算： D ． 2 - = （1） 3 + ； （2） 3 - 5 ； 解：原式= 解：原式= 3 12 4 - 2a 2 3 24 2 3 18 8 9 2 3 1 10 10 24 1 2 2 28 700 1 3 48 32 8 49 2 1 8 2 （3） - 9 ； （4） - ； 解：原式= 解：原式= （5） - ； （6） -10 + ； 解：原式= 解：原式= （7） + - 54 ； （8） - 3 + ； 解：原式= 解：原式= （9） - + ； （10） 2 - 6 + 3 ． 解：原式= 解：原式= 6. 计算： （1） 50 ? ÷ - ；（2）( 45 + ? 18) - 2 ? - 20 ； ? ? ? 解：原式= 解：原式= （3） 1 ( + 3) - 3 ( + 27) ； 2 4 解：原式= 3 2 40 25 6 32 1 7 12 2 二次根式的加减说课稿 今天我说课的内容是义务教育课程标准试验教科书数学九年级上册，第二十一章《二次根式》第三节《二次根式的加减》第一课时。下面我将从教材分析、教学方法、学法指导、教学程序、板书设计等五个方面进行陈述。 一. 说教材 1，教材所处的地位和作用 本节是在上节学习的化简二次根式的基础上，进一步学习二次根式的加减。在化简二次根式的同时，引导学生概括出同类二次根式的概念。类比整式的加减运算中的合并同类项，给出二次根式的加减运算法则，进而进行二次根式的加减混合运算。 2,教学目标 知识与能力 1、了解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法。 2、使学生能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算， 过程与方法 正确掌握合并同类二次根式的方法 情感、态度与价值观 在探究合并同类二次根式的方法过程中，发展合作意识和合情推理能力. 教学准备制作课件，提高学生的学习兴趣 教学重点 : 二次根式加减法则及其应用。 教学难点 : 法则的探索与理解。 二，教法与学法：由于初三学生的数学思维特征有具体逻辑思维逐步过渡到抽象逻辑思维，但仍有很大程度的经验性，而二次根式需要有一定的抽象思维能力。因此，本节课运用引导探究法，在教师引导下学生进行自主探究的教学方法。 三，教学构思：本节课是在二次根式的化简的基础上的进一步学习，重点是探索二次根式的加减运算法则。在设计本课时教案时，先复习二次根式的化简，并由此引出同类二次根式的定义，注意引导学生对同类二次根式和同类项、二次根式的加减的合并同类项进行比较学习。在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，逐步渗透类比、概括等数学思想，提高学生用数学方法 二次根式的加减--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根 式，进行简单的二次根式加减运算； 2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根 式就叫做同类二次根式. 要点诠释： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根 式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外 的因式无关. 2.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释： (1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 要点二、二次根式的加减 1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简 二次根式，再把其 中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 3)合并同类二次根式. 要点三、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点诠释： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算 加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【典型例题】 类型一、同类二次根式 二次根式的加减法 一、知识概述 1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似． 2、二次根式的加减法法则 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并； (2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变． 3、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”； (2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式． 二、重难点知识 1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似． 2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律． 三、典型例题讲解 例1、计算： ． 分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并． 解： ． 例2、计算： 分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算． 二次根式加减运算（讲义） ? 课前预习 1. 有理数混合运算的操作步骤： ①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③______________________． 2. 两大公式： ①平方差公式________________________； ②完全平方公式______________________． 3. 数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1，3，点B 关于点A 的对称点为C ，若点C 表 示的数为x ，则x =________． 3 2 1 -1 -2 -3 ? 知识点睛 1. 同类二次根式：_____________________________________． 2. 二次根式的加减法则： ①______________________；②_______________________． 3. 实数混合运算顺序： 先算__________，再算______，最后算______．如果有括号，先算括号里面的． ? 精讲精练 1. ） A ．6 B ．8 C ． 2 1 D ． 2. a =______． 3. 已知最简二次根式的和是一个二次根式，则a =________． 4. 下列计算正确的是（ ） A ．= B 6= C ．2+= D ．=5. 计算： （1） （2） 解：原式= 解：原式= （3； （4 解：原式= 解：原式= （5 （6 解：原式= 解：原式= （7 （8 解：原式= 解：原式= （9+ （10） 解：原式= 解：原式= 6. 计算： （1 （2）?- ?； 解：原式= 解：原式= （3）13 24-； 解：原式= （4） （5）； 15.3二次根式的加减运算 [学习目标] 1、了解二次根式（根号下仅限于数）的加减运算法则。 2、会进行二次根式的加减运算。 3、类比整式运算合并同类项，学习二次根式的加减，发展类比的数学思想，养成善于思考的好习惯。 [教学重点] 熟练进行二次根式加减运算 [使用方法与学法指导] 1、自学课本P98页试着做做，类比整式加减运算中合并同类项的法则，找到二次根式加减运算的方法。 2、根据自己的理解完成书上例1，体会二次根式加减运算的步骤。 3、独立完成P99页做一做和例2，加深对运算法则的理解和运用。 [学习过程] （一）复习回顾 1、同类项：在多项式中，我们把哪些所含相同，并且也相同的项叫做同类项。 2、合并同类项的法则是：相加，与不变。 3、计算：（1）2x-3x+5x （2）222 235 +- a b a b a b （二）预习导学 阅读课本例1前的内容，回答下列问题 1、观察 2、我们知道5倍，2倍，所以＝ 类似地＝＝，你能说出其中的道理吗？ 归纳总结：被开方数相同的二次根式可以进行，合并的实质就是 3 ）最简二次根式，将它们化简之后分别是，因此 归纳总结：进行二次根式的加减法运算时，应先将二次根式化为，然后将被开方数相同的的二次根式进行 3、 应用辨析：下列计算是否正确？为什么？ （1（23）6 （4（56）（三）合作交流 要求：先独立完成，再小组交流，再进行订正，看谁做的又对又快！限时6分钟 （四）跟踪训练 (1) （2 (3) （4）3 （五）知识应用 教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正形壁画送给老师，其中一张面积为800cm 2,另一张面积为450cm 2,他想，如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现 有1.2m 1.414≈） [自助餐] 1 2、设3x A ＝3x y B +=，如果A 、B 都是二次根式，求A+B 的值 [我的疑惑]咱们自学完导学案，请对老师谈谈你的收获与困惑 （六）课堂小结 1、二次根式的加减运算步骤： 当被开方数相同时，逆用乘法分配律，直接合并；当被开方数不相同时，先将每个二次根式化简为最简形式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2、二次根式的计算结果必须保证分母有理化。 （六）达标测试： 1、选择题（1 ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 2、计算： （1） （2 课题：16.3 二次根式的加减 教学时间： 教学目标： 知识与技能 1、理解二次根式的加减运算法则。 2、掌握二次根式的加减运算步骤。 3、掌握二次根式的加减、乘除混合运算。 4、会借助公式进行二次根式的简化运算。 过程与方法 1、经历探索二次根式的加减的过程，能解决一些实际问题。 2、经历探索二次根式的乘除的过程，能解决一些实际问题。 情感、态度与价值观 1、经历探索二次根式的加减乘除发展推理能力和有条理的表达能力； 2、学习二次根式的加减乘除，提高解决问题的能力； 3、在探究二次根式的加减乘除，发展推理能力和有条理的表达能力。教学重点： 1、会正确进行二次根式的加减运算。 2、会正确进行二次根式的混合运算。 教学难点： 1、如何合并最简二次根式。 2、由整式运算知识迁移到二次根式的混合运算。 教学方法、手段、准备、课型等： 1、启发引导式、问题探究式、合作交流式； 2、多媒体教学； 3、备教材和备学生； 4、新授课。 教学时数： 3课时 教学过程： 第一课时 教学内容及步骤： 一、导入新课 活动1：二次根式的除法法则 (学生回答或展示) 教师点评：二次根式的除法法则 反过来 利用它可以进行二次根式的化简。 二、讲解新课 活动1：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 活动2：例题讲解 例1 计算： ；4580)1(- 。a a 259)2(+ ； 解：553544580)1(=-=- 。a a a a a 853259)2(=+=+ 例2 计算： ); 0,0(>≥=b a b a b a ， )0,0(>≥=b a b a b a ;4833 1 6122)1(+-。 )53()2012)(2(-++48332344833 1 6122)1(+-=+-解：3 123234+-=；314=535232)53()2012)(2(-++=-++。 533+= 二次根式加减运算 ? 课前预习 1. 有理数混合运算的操作步骤： ①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③______________________． 2. 两大公式： ①平方差公式________________________； ②完全平方公式______________________． 3. 数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1，3，点B 关于点A 的对称点为C ，若点C 表 示的数为x ，则x =________． -3 -2 -1 1 2 3 ? 知识点睛 1. 同类二次根式：_____________________________________． 2. 二次根式的加减法则： ①______________________；②_______________________． 3. 实数混合运算顺序： 先算__________，再算______，最后算______．如果有括号，先算括号里面的． ? 精讲精练 1. ） A ．6 B ．8 C ． 2 1 D 2. 已知最简二次根式的和是一个二次根式，则a =________． 3. 下列计算正确的是（ ） A = B 6= C ．2= D ．-=4. 计算： （1； （2）； 解：原式= 解：原式= （3 （4） 解：原式= 解：原式= （5； （6 解：原式= 解：原式= （7 （8+ 解：原式= 解：原式= （9； （10） 解：原式= 解：原式= 5. 计算： （14； （2）?- ?； 解：原式= 解：原式= （3）13 24-； 解：原式= （4） （5）- 解：原式= 解：原式= 二次根式的运算（基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面. 15.3 二次根式的加减运算 班级： 姓名： 授课时间:2017.11.24 课时:1 学习目标： 1. 知道什么是同类二次根式，会辨别两个二次根式是否为同类二次根； 2. 会利用合并同类二次根式方法，进行二次根式的加减法运算； 3. 经历二次根式的加减运算，总结做题方法和步骤。 一.温故知新 1.什么叫同类项？ 像① 4x 2y 与-x 2y ② 0.25a 2与-2a 2 ③ 4 32mn mn 与 这样都含有 字母并且 ，我们称它们为同类项。 2.与3xy 2 z 是同类项的是（ ） A. –x 2yz B.22 xzy C.3xyz 3. 计算：xy+4xy 2-3xy 并交流你的做法。 二．自主学习 主题一：同类二次根式 1.观察下列二次根式，按要求完成下面的问题 ① 3- 2 3 3 4 ②6 6 5 62- （1）观察 ①②两组的二次根式,你发现它们都有哪些共同点？ 总结：我们可以把 叫做同类二次根式。 （2）说一说，与34是同类二次根式的有（ ）（填序号） ① 27- ②18 ③ 75 ④24 总结：判断是否为同类二次根式的方法是 主题二：用合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算 1.类比合并同类项方法，思考如何合并同类二次根式？ (1)做一做： 35+32 12+75 82 2- （2）说一说：合并同类二次根式通常都有哪些步骤？ 2.学以致用： （1）计算下列各题 3223+275 8+5.0-(2.0-32 1) （2）交流一下你的解题步骤、技巧及心得： 主题三：二次根式的加减混合运算 1.计算下面各式 122-27313 - （48-2.010）-（45-3 1） 2.通过计算我们发现：二次根式的加减运算步骤是 ；二次根式加减运算过程的实质就是 。 本课小结：通过与以前学习的 知识进行了类比，掌握了 收获了 。 三．自学自测 1.二次根式：①12 ②23 ③3 2 ④27与3是同类二次根式的是（ ） A 、①和② B 、②和③ C 、③和④ D 、①和④ 2.如果2与a 可以合并，那么a 的值可能是（ ） A.1 B.4 C.8 D.10 3.最简二次根式5323++x x x 与是同类二次根式，则（ ） A.x=-1 B.x=1 C.x=0 D.x 的值无法确定 4. 计算22 1332+- 5. 已知长方形的长和宽分别为20和5，求长方形的周长。 四．总结归纳 本节课的收获： 二次根式的加减运算 一、教材分析 1、内容分析：本节内容共一课时。主要内容是学习二次根式的加减运算。 2、地位与作用：二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生在学习了勾股定理、平方根、立方根、实数等概念的基础上进行的，是对“实数”“代数式”内容的延伸和补充。在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；这说明了前后知识之间的内在联系。同时本部分内容还是后面学习“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”的基础. 二、学情分析 学生已经学习了二次根式的概念及性质等知识，已具备了学习二次根式加减运算的知识基础和心理基础，本节课主要是采用类比的思想来学习二次根式的加减运算，难度不大。班级学生课堂上能积极参与、有一定的自学能力，好奇心、求知欲、表现欲都非常强；在前面学习的基础上，他们具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力，学习新知识速度快模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，但经常因为粗心而出错，同时课后复习巩固的效果较差。结合以上分析，为了加强他们的自学能力，提高课堂学习效率，根据他们的特点，本节课采用启发引导，讲练结合的方式完成学习,选择联系生活中的实际问题，适合学生的习题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学能力，通过一定练习，激发学生的求知欲和提高学生的自信心。 三、目标分析 1、了解同类二次根式的概念，会辨别同类二次根式。 2、经历探索二次根式的加法和减法运算法则的过程，理解二次根式的加法和减法算理，进一步发展学生的类比推理能力。 3、能熟练地进行二次根式的加法和减法运算。 四、教学重难点 【重点】会辨别同类二次根式，熟练掌握二次根式的加减运算。 【难点】探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算。 五、教具准备 多媒体投影、实物展台、课件、学案、 六、活动流程 《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。”为了向学生提供更多从事数学活动的机会，我将本节课的教学过程设定为以下六个环节： 活动流程安排 活动流程图活动内容和目的 活动1：情景引入活动2：学习任务从实际问题引入课题，数学来源与生活 展示学习任务，让学生了解学习内容及重难点 二次根式的加减法法则 知识点归纳 1、二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 2、二次根式的加减法运算步骤： （1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号． （2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简． （3）被开方数相同的二次根式进行合并． 3、二次根式的加、减、乘、除、混合运算：①二次根式的加、减、乘、除、混合运算与实数的加、减、乘、除、混合运算一样，先算乘除，后算加减，如果含有括号，就先算括号里的．②如果二次根式中出现了形如多项式相乘的算式，则乘法公式都能适用． 4、二次根式的运算可以类比实数的运算，实数的各运算律都适合于二次根式的运算，所以在二次根式运算中要充分运用实数的运算律，使运算更为简单． 典例讲解 例1、填空题 1、计算： （1）=__________． （2）=__________． 答案：（1）（2） 2、若三角形的两边长分别为和，其周长为（）cm，则第三边长为__________． 答案： 例2、选择题 （1）下列各式中运算正确的是（） A． B． C． D． 答案：A （2）已知、，则a、b的关系为（）A．a=b B．a＋|b|=0 C．ab=1 D．ab=－1 答案：D 例3、计算 （1） （2）（）－（） （3）（）（） （4） 解： （1） （2）（）－（） （3）（）（） （4）＝ = 例4、已知求的值．解： 原式＝ ∵，∴，∴． ∴原式＝． 例5、利用乘法公式计算： ,…… （n为正整数）从以上计算中你发现了什么规律？请利用这一规律计算： 答案：2007 （1）)5.043 13()81448(---； （2）758 1 312325.0---+ （3）??? ? ??--???? ??+121580325.12712 （4）25 2 5 3221502923--+ （5）)75 1 10485()127319(+-- （6）10005 2 52354031.010--+ （7）98 1 7 31181634-+- （8）5 4 2 5145203--+ （9）3 1 81083315275--+ （10）3 4 4273125242965++-+ （11）2 1 231818215+ +- （12）2.0480455 4 4+-+ （13）3)15427 4 6485(÷+- （14）483 2 3153113122--+ （15）1253 100 10122748-+- （16）483 2315311312--+ （17） ??? ? ??-+-67.123 256133223 （18）( ) 326125.021 322--??? ? ??-+ （19）??? ? ??--???? ?? +121680325.1242719 （20）() 147162752722 3 + -+ 参考答案： （1）233+； （2）3317 2417-； （3）52 23 31819-； （4）28； （5）3395 -； （6）103 26 （7）22 33- （8）58 （9）313- （10）33 5624- （11） 21217 （12）557 （13）543 56 + （14）32 （15）3643 - （16）0 （17）620 9 - （18） 3 6 2417- （19）0 （20）33 二次根式加减法练习题 一、选择题 1．下列根式，不能与48合并的是（ ）A.0.12 B.18 C.1 13 D.75- 2．计算|2﹣ |+|4﹣ |的值是（ ）A ．﹣2 B ．2 C ．2﹣6 D ．6﹣2 3．小明的作业本上有以下四题：① =4a 2；② ? =5 a ；③a = = ；④ ÷ =4．做错的题是（ ）A ．① B ．② C ．③ D ．④ 4．若最简二次根式和 能合并，则x 的值可能为（ ） A ． B ． C ．2 D ．5 5．已知等腰三角形的两边长为2和5，则此等腰三角形的周长为（ ） A ．4+5 B ．2+10 C ．4+10 D ．4+5或2+10 6．已知231a b -=-，3ab =，则(1)(1)a b +-的值为（ ） A ．3- B ．33 C ．322- D ．31- 7．计算2(21)(21)-+的结果是（ ）A.21+ B.3(21)- C.1 D.1- 8. 下列计算中正确的有（ ）Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个 （1）347+= （2）23555+= （3）32a b a b -=- （4） 1275 4252573 +=+=+= 9. 计算32394y x x xy x y y x x y ????+-+ ? ? ? ?????，结果等于（ ） Ａ．2xy - Ｂ．0 Ｃ． y xy x Ｄ．3xy 10. 已知1003997100199921001a b c =+=+=，，，则a b c ，，的大小关系为（ ） Ａ．a b c >> Ｂ．a c b >> Ｃ．b a c >> Ｄ．c b a >> 11. 满足等式2003200320032003=+--+xy y x xy y x 的正整数对),(y x 的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．b a 、为有理数，且满足等式b a b a +++?=+则,324163的值（ ）． A ．2 B ．4 C ．6 D ．816.3二次根式的加减 教学设计
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