高考数学知识点难题及答案
是每个学生都需要面对的考试之一，而其中的难题更是让许多学
生头疼不已。在此，我们将探讨一些中的难点，并提供相应的解答。
首先，我们来谈谈函数与方程的复合运算。这是一个经常出现在
中的知识点。考生往往会在复合运算中遇到许多困惑。例如，给出一
个函数f(x) = 2x + 3，问f(f(f(2)))的值。这个问题需要从内向外
计算，先计算f(2)，得到7，然后再计算f(f(7))，最后计算f(17)。
答案是37。通过这个例子，我们可以看出，对于复合运算，要从内到
外逐步计算，将结果代入下一个函数中。
接下来，我们将探讨立体几何中的难题。在中，涉及到空间几何
的题目常常用立体几何的知识来解答。例如，给出一个正方体的棱长
为a，求其对角线的长度。对于这个问题，我们可以通过勾股定理来解答。将正方体的对角线看做是一个直角三角形的斜边，而每个棱长为a 的正方体面可以看做是一个直角三角形的一条直角边。根据勾股定理，正方体对角线的长度等于根号下3乘以a。因此，答案是a乘以根号下3。
再来谈谈碰撞问题。在动力学的考察中，碰撞问题是非常常见的。例如，有两个小球，质量分别为m1和m2，在水平面上相向运动，速度分别为V1和V2，两球发生碰撞后，速度交换。那么，两个小球碰撞后的速度分别是多少？对于这个问题，我们可以利用动量守恒和动能守
恒两个定律来解答。根据动量守恒可得，m1V1 + m2V2 = m1V2 + m2V1，根据动能守恒可得，m1V1^2 + m2V2^2 = m1V2^2 + m2V1^2。通过联立
这两个方程，可以得到两球碰撞后的速度。
最后，让我们来讨论一下函数的极值问题。在中，极值问题是一
个挑战性较大的知识点。例如，给出一个函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)的极值和极值点。对于这个问题，我们需要先求出f'(x)，即函数f(x)的导数。然后，通过解方程f'(x) = 0，可以得到函数f(x)的极值点。接着，我们将这些极值点代入函数f(x)，可以得到相应的极值。
综上所述，中的难题有很多，但只要我们掌握了一定的解题方法和技巧，就能够迎难而上。无论是复合运算，立体几何，碰撞问题还是函数的极值，都可以通过逐步分析和合理求解来解答。希望这篇文章对你在中遇到的难题有所帮助。祝愿你在考场上取得好成绩！
2021年10月18日姚杰的高中数学组卷 一．解答题〔共10小题〕 1．〔2021•宣威市校级模拟〕设点C为曲线〔x＞0〕上任一点，以点C为圆心的圆与x 轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． 〔1〕证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； 〔2〕设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，假设|EM|=|EN|，求圆C的方程． 2．〔2021•江苏模拟〕直线l：y=k〔x+2〕与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． 〔Ⅰ〕试将S表示成的函数S〔k〕，并求出它的定义域； 〔Ⅱ〕求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．〔2021•越秀区校级模拟〕圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．〔2021•柯城区校级三模〕抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点〔2，1〕．〔Ⅰ〕求抛物线的标准方程； 〔Ⅱ〕是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+〔y+1〕2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？假设存在，求出直线的方程，假设不存在，说明理由． 5．〔2021•福建〕〔1〕矩阵M所对应的线性变换把点A〔x，y〕变成点A′〔13，5〕，试求M的逆矩阵及点A的坐标． 〔2〕直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：〔θ为参数〕试判断他们的公共点个 数； 〔3〕解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．
6．〔2021•东城区一模〕如图，定圆C：x2+〔y﹣3〕2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A〔﹣1，0〕的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点． 〔Ⅰ〕当l与m垂直时，求证：l过圆心C； 〔Ⅱ〕当时，求直线l的方程； 〔Ⅲ〕设t=，试问t是否为定值，假设为定值，请求出t的值；假设不为定值，请说明理由． 7．〔2021•天河区校级模拟〕圆C：〔x+4〕2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为〔﹣3，0〕． 〔1〕假设点D〔0，3〕，求∠APB的正切值； 〔2〕当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值； 〔3〕在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由． 8．〔2007•海南〕在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P〔0，2〕且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B． 〔Ⅰ〕求k的取值范围； 〔Ⅱ〕是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 9．如图，圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．
高考最难的数学题及答案 高考数学最难的题目及答案(1) 1、利用数学归纳法证明平面向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)满足如下不等式: a1/b1 + a2/b2 > 0 答案： 设a=(a1, a2), b=(b1, b2)，由数学归纳法，令n∈N，先给出基本情形：当n=1时：a1/b1 + a2/b2 = (a1 + a2)/(b1 + b2)，由a1 + a2 > 0, b1 + b2 > 0可知a1/b1 + a2/b2 > 0 进行归纳：假设n时成立，即a1/b1 + a2/b2 > 0， 当n+1时，a1/b1 + a2/b2 > 0， 根据a1/b1 + a2/b2 = [a1 + (n+1)a2]/[b1 + (n+1)b2]，有[a1 + (n+1)a2]/[b1 + (n+1)b2] > 0， 由a1 + (n+1)a2 > 0, b1 + (n+1)b2 > 0可知a1/b1 + a2/b2 > 0， 因此，证明平面向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)满足a1/b1 + a2/b2 > 0。 2、求x的集合：A={x| x^2 + 6x + 9 ≠ 0 } 答案： 界说明：x∈R 分析：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2， 表述：A={x| x^2 + 6x + 9 ≠ 0 } 等价于A={x| (x + 3)^2 ≠ 0 }，
即A={x| x ≠ -3 } 答案：A={x| x ≠ -3 } 3、求一元二次方程ax^2+bx+c=0中，b^2-4ac < 0时实根的取值范围答案： 界说明：x∈R 分析： b^2 - 4ac < 0⇒Δ= b^2 - 4ac < 0， 表述：b^2-4ac < 0时实根没有解，取值范围为空集， 即实根的取值范围为：空集。 答案：实根的取值范围为：空集。 4、设弦AB=12，角A=30°，则角C的度数为多少？ 答案： 界说明：C∈[0,360]（度） 分析：弦AB=12，角A=30°， 表述：根据余弦定理可得： cosC=12^2/2/2^2=12/4， 即cosC=3/2， 由cosC=3/2可以求出角C的度数。 答案：角C的度数为：60°。
1. 设)0(1),(),,(22 222211>>=+b a b x x y y x B y x A 是椭圆上的两点， 满足0),(),(2211=?a y b x a y b x ，椭圆的离心率,23 =e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； （3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 解析：本例（1）通过3 2 e = ，22b =，及,,a b c 之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。 答案：（1）223 2 2.1, 2.32 c a b b b e a e a a -==== =?==椭圆的方程为14 22 =+x y （2）设AB 的方程为3+=kx y 由41,4320132)4(1 4 3 2212212222+-=+-=+=-++???? ??=++=k x x k k x x kx x k x y kx y 由已知 43)(43)41()3)(3(410212122121221221+ +++=+++=+=x x k x x k kx kx x x a y y b x x ±=++-?++-+=k k k k k k 解得,4 343243)41(44222 2 （3）当A 为顶点时，B 必为顶点.S △AOB =1 当A ，B 不为顶点时，设AB 的方程为y=kx+b 42042)4(1 4 2212 222 2+-=+=-+++??????=++=k kb x x b kbx x k x y b kx y 得到 442221+-=k b x x :04 ))((0421212121代入整理得=+++?==b kx b kx x x y y x x 4 222=+k b 4 1644|||4)(||21||||21222212 2121++-=-+=--=k b k b x x x x b x x b S 1| |242==b k 所以三角形的面积为定值. 2. 在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同 时满足①0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r , ②||MA uuu r = ||MB uuu r = ||MC u u u u r ③GM u u u u r ∥AB u u u r
数学《不等式》试卷含答案 一、选择题 1．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()22 2122211x y m x y m x y m ?-≤-?? +≥+??-+-≤?? ，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ． 1 4 π B ．12 π C ．π D ． 32 π 【答案】A 【解析】 【分析】 画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积． 【详解】 实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --?? ++??-+-? ?…?的可行域如图： 可行域是扇形，14 个圆，面积为：2 11144ππ??=． 故选：A ． 【点睛】 本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 2．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c > C ． a b 2 c +> D ． 112a b c +> 【答案】C 【解析】
取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】 ,a c b c >>，故2a b c +>， 2 a b c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】 本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 3． 若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．83 C ． 163 D ． 173 【答案】C 【解析】 【分析】 由3log (2)1a b +=+21 3b a +=，且0,0a b >>，又由 12142(42)3a b a b b a ?? +=++ ??? ，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】 因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=， 所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21 3b a +=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(83333 a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a =，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题. 4．设x ，y 满足约束条件21210 x y x y x y +≤??+≥-??-≤? ，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x ? ?的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80 C ．90 D ．120 【答案】B
高中数学《三角函数与解三角形》知识点归纳 一、选择题 1．已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){} 0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A ．35, 22?? ???? B ．35,22?? ??? C ．725, 26?? ???? D ．725,26?? ??? 【答案】D 【解析】 【分析】 化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】 f （x ）=2sin （ωx ﹣ 3 π ）， 作出f （x ）的函数图象如图所示： 令2sin （ωx ﹣ 3π）=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx ﹣3π= 76 π +2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω ，k ∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A = 322ππωω+，x B =46ππ ωω +， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ， 即 322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ．
【点睛】 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题． 2．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9 π ）的图象上所有点（ ） A ．向左平移518 π 个单位长度 B ．向右平移518 π 个单位长度 C ．向左平移536π 个单位长度 D ．向右平移 536 π 个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】 先将函数cos 29y x π?? =- ?? ? 转化为7sin 218 y x π?? =+ ?? ? ，再结合两函数解析式进行对比，得出结论． 【详解】 函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ???? ??? ???=- =-+=+=++ ? ? ? ???? ?????? ??? ∴要得到函数sin 29y x π? ?=+ ?? ?的图象， 只需将函数cos 29y x π? ? =- ?? ?的图象上所有点向右平移 536 π 个单位长度，故选D ． 【点睛】 本题考查函数()sin y A x b ω?=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论． 3．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．1 02 x << B ． 1 12 x << C ．12x << D ．01x << 【答案】D 【解析】 【分析】 根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】 将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ， 设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则
【高中数学】数学《数列》复习知识要点 一、选择题 1．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则10 6 S S 等于（ ） A ．-3 B ．5 C ．-31 D ．33 【答案】D 【解析】 【分析】 先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公 式，即可求解10 6 S S 的值，得到答案. 【详解】 由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =， 可得313366316(1)1121(1)1118 1a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以1011051055 16 (1)11133(1)11a q S q q q a q S q q ---===+=---. 故选：D . 【点睛】 本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 2．已知数列2233331131357135 1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ，则该数列第2019项是（ ） A ． 1019892 B ． 10 2019 2 C ． 11 1989 2 D ． 11 2019 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ? ??????? ? ??? ????????? 项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号 里的第995项.
高考数学知识点难题及答案 是每个学生都需要面对的考试之一，而其中的难题更是让许多学 生头疼不已。在此，我们将探讨一些中的难点，并提供相应的解答。 首先，我们来谈谈函数与方程的复合运算。这是一个经常出现在 中的知识点。考生往往会在复合运算中遇到许多困惑。例如，给出一 个函数f(x) = 2x + 3，问f(f(f(2)))的值。这个问题需要从内向外 计算，先计算f(2)，得到7，然后再计算f(f(7))，最后计算f(17)。 答案是37。通过这个例子，我们可以看出，对于复合运算，要从内到 外逐步计算，将结果代入下一个函数中。 接下来，我们将探讨立体几何中的难题。在中，涉及到空间几何 的题目常常用立体几何的知识来解答。例如，给出一个正方体的棱长 为a，求其对角线的长度。对于这个问题，我们可以通过勾股定理来解答。将正方体的对角线看做是一个直角三角形的斜边，而每个棱长为a 的正方体面可以看做是一个直角三角形的一条直角边。根据勾股定理，正方体对角线的长度等于根号下3乘以a。因此，答案是a乘以根号下3。 再来谈谈碰撞问题。在动力学的考察中，碰撞问题是非常常见的。例如，有两个小球，质量分别为m1和m2，在水平面上相向运动，速度分别为V1和V2，两球发生碰撞后，速度交换。那么，两个小球碰撞后的速度分别是多少？对于这个问题，我们可以利用动量守恒和动能守 恒两个定律来解答。根据动量守恒可得，m1V1 + m2V2 = m1V2 + m2V1，根据动能守恒可得，m1V1^2 + m2V2^2 = m1V2^2 + m2V1^2。通过联立 这两个方程，可以得到两球碰撞后的速度。 最后，让我们来讨论一下函数的极值问题。在中，极值问题是一
高中数学《数列》期末考知识点 一、选择题 1．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则10 6 S S 等于（ ） A ．-3 B ．5 C ．-31 D ．33 【答案】D 【解析】 【分析】 先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公 式，即可求解10 6 S S 的值，得到答案. 【详解】 由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =， 可得313366316(1)1121(1)1118 1a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以1011051055 16 (1)11133(1)11a q S q q q a q S q q ---===+=---. 故选：D . 【点睛】 本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 2．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为 n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．201920202S a =+ B ．201920212S a =+ C ．201920201S a =- D ．201920211S a =- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】
第二题：证明四点共圆 (5) 第三题：证明角的倍数关系 (6) 第四题：证明线与圆相切 (7) 第五题：证明垂直 (8) 第六题：证明线段相等 (9) 第七题：证明线段为比例中项 (10) 第八题：证明垂直 (11) 第九题：证明线段相等 (12) 第十题：证明角平分 (13) 第十一题：证明垂直 (14) 第十二题：证明线段相等 (15) 第十三题：证明角相等 (16) 第十四题：证明中点 (17) 第十五题：证明线段的二次等式 (18) 第十六题：证明角平分 (19) 第十七题：证明中点 (20) 第十八题：证明角相等 (21) 第十九题：证明中点 (22) 第二十题：证明线段相等 (23) 第二十一题：证明垂直 (24) 第二十二题：证明角相等 (25) 第二十三题：证明四点共圆 (26) 第二十四题：证明两圆相切 (27) 第二十五题：证明线段相等 (28) 第二十六题：证明四条线段相等 (29) 第二十七题：证明线段比例等式 (30) 第二十八题：证明角的倍数关系 (31) 第二十九题：证明三线共点 (32) 第三十题：证明平行 (33) 第三十一题：证明线段相等 (34) 第三十二题：证明四点共圆 (35) 第三十三题：证明三角形相似 (36) 第三十四题：证明角相等 (37) 第三十五题：证明内心 (38) 第三十六题：证明角平分 (39) 第三十七题：证明垂直 (40) 第三十八题：证明面积等式 (41) 第三十九题：证明角平分 (42) 第四十题：证明角相等 (43) 第四十一题：证明中点 (44) 第四十二题：证明中点 (45) 第四十三题：证明角相等 (46) 第四十四题：证明垂直 (47)
高考数学大题参考答案 高考数学大题参考答案 随着高考的临近，数学考试对于许多学生来说是一道难以逾越的难题。数学作 为一门需要逻辑思维和解题技巧的学科，常常让学生们感到头疼。然而，通过 积极的备考和合理的解题方法，我们便能够在高考数学中取得好成绩。在这篇 文章中，我将为大家提供一些高考数学大题的参考答案，希望能够帮助到广大 考生。 第一大题：解析几何 1. 已知平面上点A(1,2)、B(3,4)和C(5,6)，求三角形ABC的面积。 解答：首先，我们可以计算出AB和AC的长度，分别为√8和√32。然后，利 用向量的叉乘公式可以求得三角形ABC的面积为4。 2. 已知直线l1过点A(1,2)和点B(3,4)，直线l2过点C(5,6)且与l1垂直，求直线 l2的方程。 解答：由于直线l2与直线l1垂直，所以它们的斜率之积为-1。根据点斜式的公式，我们可以得到直线l2的方程为y-6=-(x-5)。 第二大题：函数与极限 1. 设函数f(x)=3x^2-2x+1，求f(x)的最大值和最小值。 解答：为了求出f(x)的最大值和最小值，我们需要找到f(x)的驻点。通过求导数，我们可以得到f'(x)=6x-2。令f'(x)=0，解得x=1/3。将x=1/3代入f(x)中，可以 得到f(1/3)=7/9。所以f(x)的最大值为7/9，最小值为f(1)=2。 2. 已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，证明在区间(0,1)内存在 一个点c，使得f(c)=c。
解答：根据零点定理，由于f(0)=0，f(1)=1，所以f(x)在区间[0,1]上至少有一个零点。又由于f(x)在区间[0,1]上连续，根据介值定理，f(x)必然经过区间[0,1]上的所有值。因此，在区间(0,1)内必然存在一个点c，使得f(c)=c。 第三大题：概率与统计 1. 一批产品中有10%的次品，现从中随机抽取5个产品，求其中至少有一个次品的概率。 解答：首先，我们可以计算出没有次品的概率为(90%)^5。因此，至少有一个次品的概率为1-(90%)^5≈0.40951。 2. 已知某班级男生人数为60，女生人数为40，现从中随机选择3个学生，求其中至少有一个男生的概率。 解答：首先，我们可以计算出没有男生的概率为(40/100)^3=0.064。因此，至少有一个男生的概率为1-0.064=0.936。 通过以上的参考答案，我们可以看到高考数学大题中的解题思路和方法。在备考过程中，我们需要熟悉各种解题方法，并且进行大量的练习，以提高解题的准确性和速度。同时，我们也要注重理解数学概念和原理，以便能够更好地应用到解题中。希望广大考生能够通过积极的备考和合理的解题方法，取得令人满意的高考成绩！
高三数学难题 〔1〕求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程； 〔2〕设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b 世界最难的10道数学题加答案高中 1.求三角形三边a,b,c。将任意两边的平方和加和求出： a²+b²=c² 答案：即求三角形三边关系式，即勾股定理。 2.如果x的平方减2的平方等于4，求x的值？ 解：x²-2²=4 x²=8 x=√8 答案：√8 3.如果一个等比数列的首项为a，公比为r，求该等比数列的前n项和？ 解：Sn=a[(1-rⁿ)÷（1-r)] a=首项，r=公比，n=项数 答案：Sₙ=a[(1-rⁿ)÷（1-r)] 4.以x，y，z三个变量来表示三条边，用何种等式表示三角形的充要条件？ 解：x+y > z, y+z > x, z+x > y 答案：三角形充要条件等式为：x+y > z, y+z > x, z+x > y 5.已知函数f(x)=2x⁴+5，求f(2)的值 解：f(x)=2x⁴+5 f(2)=2*2⁴+5 f(2)=2⁵+5 f(2)=33 答案：f(2)=33 6.给定四边形ABCD的两个对角线，如何求出此四边形的周长？ 解：周长=AB+BC+CD+DA 答案：先计算四边形各边的长度，然后求和即可求出四边形的周长。 7.已知一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等实根x₁和x₂，若其系数b处以解公式中的Δ，求ax²-2bx+2c=0的解？ 解：ax²-2bx+2c=0 ax²-2bx+2c=0即可化为2x²-2(b/Δ)x+2c/Δ=0 x₁= b/Δ+√(b²-4ac/Δ)/2 x₂= b/Δ-√(b²-4ac/Δ)/2 答案：x₁= b/Δ+√(b²-4ac/Δ)/2 x₂= b/Δ-√(b²-4ac/Δ)/2 8.已知正太分布的数据有n个，求该数据的平均数和标准差？ 高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案 【详解】 设小赵从A出发后到达B的时间为t小时，则有： AB=40×t（千米） 又因为小赵以南偏东40度的方向直线行驶，可以将其分解为南偏东方向和正东方向的速度分量，设南偏东方向的速度为v1，正东方向的速度为v2，则有： v1=40×sin40°≈25.76（千米/小时） v2=40×cos40°≈30.58（千米/小时） 根据题意，小赵行驶30分钟即0.5小时后到达B处，因此有： AB=25.76×0.5+v2×0.5=28.17（千米） 又因为AC与AB的夹角为70°，AC与AB的长度比为sin70°:sin40°，即： AC/AB=sin70°/sin40°≈1.67 所以AC≈1.67×AB≈47.06（千米） 最后，小赵以52千米/小时的速度行驶，所需时间为： t′=AC/52≈0.905（小时） 【点睛】 本题考查解三角形的应用，需要灵活运用三角函数以及解析几何的知识，同时需要注意单位的转换。属于中等难度的题目。 已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，双曲线的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足 ∠AFB=120度，且BF=3AF，则双曲线C的离心率是( )。根 据题意画图可得，∠OAF=60度，∠OBF=120度，由于 BF=3AF，所以OF=2AF，又因为F为双曲线的右焦点，所以 OF=sqrt(a^2+b^2)，从而得到a^2+3b^2=4a^2，即b^2=3/4a^2，又因为离心率e=sqrt(a^2+b^2)/a，所以e=sqrt(1+3/4)=sqrt(7)/2，故选B。 【解析】 由题意可得： $$f(x)=f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$ 即： $$\sin\omega x+3\cos\omega x=\sin\omega\left(\frac{\pi}{2}- x\right)+3\cos\omega\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$ 化简得： $$\tan\omega x=3-\cot\omega x$$ 移项得： ___ 再变形得： $$\frac{\sin\omega x}{\cos\omega x}+\frac{\cos\omega x}{\sin\omega x}=3$$ 通分化简得： 第 1 页 共 4 页 2022年高考数学压轴题 1．已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ae x +a ，其中a ∈R ． （1）若f （x ）在定义域内是单调函数，求a 的取值范围； （2）当a ＝1时，求证：对任意x ∈（0，+∞），恒有f （x ）＜cos x 成立． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值． 【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a ≥ lnx+1e x ，令G （x ）=lnx+1e x （x ＞0），根据函数的单调性求出a 的范围即可； （2）代入a 的值，问题转化为证明xlnx ＜e x +cos x ﹣1，当0＜x ≤1时，f （x ）＜cos x 成立，当x ＞1时，令h （x ）＝e x +cos x ﹣xlnx ﹣1（x ＞1），求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可． 【解答】解：（1）因为f （x ）＝xlnx ﹣ae x +a ， 所以f '（x ）＝lnx +1﹣ae x ， 因为f （x ）在定义域内是单调递减函数， 则f '（x ）≤0在（0，+∞）上恒成立， 若f '（x ）≤0，则a ≥lnx+1e x ， 令G （x ）=lnx+1e x （x ＞0），得G ′（x ）=1x −lnx−1e x ， 易知G '（1）＝0，且函数y =1x −lnx −1在（0，+∞）上单调递减， 当x ＞0时，e x ＞1，所以在区间（0，1）上，G '（x ）＞0；在（1，+∞）上G '（x ）＜0， 所以G （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 此时G （x ）的最大值为G （1）=1e ， 所以当a ≥1e 时，f （x ）在定义域上单调递减； 即a 的取值范围是[1e ，+∞）． （2）证明：当a ＝1时，f （x ）＝xlnx ﹣e x +1，要证f （x ）＜cos x ，即证xlnx ＜e x +cos x ﹣1， 当0＜x ≤1时，xlnx ≤0，而e x +cos x ﹣1＞1+cos1﹣1＝cos1＞0， 故xlnx ＜e x +cos x ﹣1成立，即f （x ）＜cos x 成立， 当x ＞1时，令h （x ）＝e x +cos x ﹣xlnx ﹣1（x ＞1）， 则h ′（x ）＝e x ﹣sin x ﹣lnx ﹣1， 难点40 探索性问题 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题. 1.（★★★★）已知三个向量a 、b 、c ，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a ｜=3, ｜b ｜=2,｜c ｜=1，则a 用b 、c 表示为 . 2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p 而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？ ［例1］已知函数1 )(2++= ax c bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数）是奇函数，f (x )有最大值21，且f (1)＞52. （1）求函数f (x )的解析式； （2）是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由. 命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题. 错解分析：不能把a 与b 间的等量关系与不等关系联立求b ；忽视b 为自然数而导致求不出b 的具体值；P 、Q 两点的坐标关系列不出解. 技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设 存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证. 解：（1）∵f (x )是奇函数 ∴f (–x )=–f (x )，即 1 122++-=++-ax c bx ax c bx ∴–bx +c =–bx –c ∴c =0 ∴f (x )=1 2+ax bx 由a ＞0，b 是自然数得当x ≤0时，f (x )≤0， 当x ＞0时，f (x )＞0 ∴f (x )的最大值在x ＞0时取得. ∴x ＞0时，22111 )(b a bx x b a x f ≤+= 当且仅当bx x b a 1= 即a x 1=时，f (x )有最大值2 1212=b a ∴2 b a =1,∴a =b 2 ① 又f (1)＞52，∴ 1+a b ＞5 2,∴5b ＞2a +2 ② 把①代入②得2b 2–5b +2＜0解得2 1＜b ＜2 又b ∈N ,∴b =1,a =1,∴f (x )=12+x x （2）设存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于点（1，0）对称， P (x 0,y 0)则Q （2–x 0,–y 0)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+02000 2001 )2(21y x x y x x ,消去y 0，得x 02–2x 0–1=0 新《平面解析几何》专题解析(1) 一、选择题 1．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()2 20y px p =>上，若4AF BF +=，线段 AB 的中点到直线2 p x = 的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1 B ．1或3 C ．2 D ．2或6 【答案】B 【解析】 4AF BF +=1212442422 p p x x x x p x p ⇒+ ++=⇒+=-⇒=-中 因为线段AB 的中点到直线2 p x = 的距离为1，所以121132 p x p p - =∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若 00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02 p PF x =+ ；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系 数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 2．设抛物线E ：26y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( ) A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】 【分析】 由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出 A ， B 的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积． 【详解】 解：由抛物线的方程 可得焦点3 (2F ，0)，准线方程：32 x =-， 由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为：3 2 x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 新高中数学《矩阵与变换》专题解析 一、15 1．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0q q ≠. （1）求二价行列式 1 3 24 a a a a 的值； （2）试就q 的不同取值情况，求解二元一次方程组132 43 2a x a y a x a y +=⎧⎨ +=⎩. 【答案】（1）0；（2）当23q =时，方程组无数解，且439x t y t ⎧ =-⎪ ⎨⎪=⎩，t R ∈；当23q ≠且 0q ≠时，方程组无解. 【解析】 【分析】 （1）由行列式定义计算，再根据等比数列的性质得结论； （2）由二元一次方程组解的情况分析求解． 【详解】 （1）∵{}n a 是等比数列，∴1423a a a a =， ∴ 1 3 24 a a a a 14230a a a a =-=． （2）由（1）知方程组无解或有无数解． 当 241323a a q a a ===时，方程组有无数解，此时方程组中两个方程均为439 x y +=， 解为439x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 当2 3q ≠ 且0q ≠时，方程组无解． 【点睛】 本题考查行列式的概念，考查等比数列的性质，考查二元一次方程组的解的情况．掌握二元一次方程组的解的情况的判断是解题基础． 2．解方程组32 321 x my m mx y m +=+⎧⎨ +=-⎩. 【答案】详见解析. 【解析】 【分析】 求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】 由题意可得()()2 933D m m m =-=--+， ()()3(2)(21)231x D m m m m m =+--=--+，()()31y D m m =---. ①当0D ≠时，即当3m ≠±时，()213 13x y m D x D m D m y D m ⎧+==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩ ； ②当3m =时，方程组335335335 x y x y x y +=⎧⇔+=⎨ +=⎩，令()x t t R =∈，得533t y -=， 此时，该方程组的解有无数多个，为, ()533x t t R t y =⎧⎪ ∈-⎨=⎪⎩ ； ③当3m =-时，该方程组为331 337 x y x y -=-⎧⎨-+=-⎩17⇒-=，所以该方程组无解. 【点睛】 本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题. 3．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360 260x y kx k y +=⎧⎨++=⎩ 的解满足0x y >>，求实数k 的取值范围. 【答案】5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】 由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由0 0x y D >>⎧⎨≠⎩ 列出关于k 的不 等式组，解出即可. 【详解】 由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-. 2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 一．选择题〔共11小题 1．〔2014•XX若0＜x1＜x2＜1,则〔 A．﹣＞lnx2﹣lnx1 B．﹣＜lnx2﹣lnx1 C．x2＞x1D．x2＜x1 2．〔2005•天津若函数f〔x=log a〔x3﹣ax〔a＞0,a≠1在区间内单调递增,则a的取值范围是〔 A．B．C． D． 3．〔2009•上海函数的反函数图象是〔 A．B．C． D． 4．〔2008•天津设a＞1,若对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程log a x+log a y=3,这时a的取值集合为〔 A．{a|1＜a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|2≤a≤3} D．{2,3} 5．〔2005•XX0＜a＜1,下列不等式一定成立的是〔 A．|log〔1+a〔1﹣a|+|log〔1﹣a〔1+a|＞2； B．|log〔1+a〔1﹣a|＜|log〔1﹣a〔1+a|； C．|log〔1+a〔1﹣a+log〔1﹣a〔1+a|＜|log〔1+a〔1﹣a|+|log〔1﹣a〔1+a|； D．|log〔1+a〔1﹣a﹣log〔1﹣a〔1+a|＞|log〔1+a〔1﹣a|﹣|log〔1﹣a〔1+a| 6．〔2005•天津设f﹣1〔x是函数f〔x=〔a x﹣a﹣x〔a＞1的反函数,则使f﹣1〔x＞1成立的x 的取值范围为〔 A．〔,+∞B．〔﹣∞,C．〔,a D．[a,+∞ 7．〔2004•天津函数〔﹣1≤x＜0的反函数是〔 A．B． C．D． 8．〔2004•XX设k＞1,f〔x=k〔x﹣1〔x∈R．在平面直角坐标系xOy中,函数y=f〔x的图象与x轴交于A点,它的反函数y=f﹣1〔x的图象与y轴交于B点,并且这两个函数的图象交于P 点．已知四边形OAPB的面积是3,则k等于〔 A．3 B．C．D． 9．〔2006•天津已知函数y=f〔x的图象与函数y=a x〔a＞0且a≠1的图象关于直线y=x对称,记g〔x=f〔x[f〔x+f〔2﹣1]．若y=g〔x在区间上是增函数,则实数a的取值范围是〔 A．[2,+∞B．〔0,1∪〔1,2 C．D． 10．〔2011•XX放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M〔单位：太贝克与 时间t〔单位：年满足函数关系：M〔t=M0,其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时,铯137含量的变化率是﹣10In2〔太贝克/年,则M〔60=〔 A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克 D．150太贝克 11．〔2014•XX某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为〔 A．B．C． D．﹣1 二．填空题〔共12小题 12．〔2013•北京函数的值域为． 13．〔2011•XX里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅A0为0.001,则此次地震的震级为级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的倍． 14．〔2007•上海函数的反函数是． 15．〔2006•XX不等式的解集为． 16．〔2005•北京设函数f〔x=2x,对于任意的x1,x2〔x1≠x2,有下列命题世界最难的10道数学题加答案高中
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案
2022年高考数学压轴难题附答案
高考数学难点40 探索性问题(含答案解析)
高考数学压轴专题新备战高考《平面解析几何》难题汇编含答案
高考数学压轴专题最新备战高考《矩阵与变换》难题汇编含答案解析
高中数学经典高考难题集锦(解析版)
相关主题
文本预览