∴ 0)(>'x g ,）x g (在)]4ln(),3[ln(a a 上↑ ∴
m
a g x g <=))4(ln()(max
即m a a a <+-)4ln()5ln()3ln(
)512
ln(
a m >
∵ 0
1)(>-++-='a e e a e e x h x x
x x ∴ )(x h 在)]4ln(),3[ln(a a 上↑
∴ ))3(ln()(min
a h x h m =< )3ln()4ln()2ln(a a a m -+< )
38
ln(a m <
∴ m 的取值范围是))
38
ln(),512(ln(a a
6.设函数)
,1,(11)(N x n N n n x f n
∈∈⎪⎭⎫
⎝⎛+= 且.
Ⅰ当x=6时,求n
n ⎪
⎭⎫ ⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项;
Ⅱ对任意的实数x,证明2)
2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''
Ⅲ是否存在N a ∈,使得a n ＜
∑-⎪⎭⎫ ⎝⎛
+n
k k 111＜n a )1(+恒成立若存在,试证明你的结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.
Ⅰ解：展开式中二项式系数最大的项是第4项,这项是
3
35
6
3
120
1C n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ Ⅱ证法一：因()()22
112211n f x f n n ⎛⎫⎛⎫
+=+++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 证法二：
因
()()22
112211n f x f n n ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭≥11211n
n n ⎛⎫
⎛⎫=+⋅+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
而
()'11221ln 1n
f x n n ⎛⎫⎛⎫
=++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 故只需对11n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和1ln 1n ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭进行比较;
令
()()
ln 1g x x x x =-≥,有
()'111x g x x x -=-
=
,由1
0x x -=,得1x =
因为当01x <<时,()'0g x <,()g x 单调递减；当1x <<+∞时,()'0g x >,()g x 单调递增,所以在1x =处()
g x 有极小值1
故当1x >时,
()()11
g x g >=,从而有ln 1x x ->,亦即ln 1ln x x x >+>
故有111ln 1n n ⎛⎫⎛⎫
+>+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭恒成立;所以()()()'222f x f f x +≥,原不等式成立; Ⅲ对m N ∈,且1m >
有2
012111111m k
m
k m m m m m m C C C C C m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++++
+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
又因()102,3,4,,k
k m C k m m ⎛⎫>= ⎪⎝⎭
,故1213
m
m ⎛
⎫<+< ⎪⎝⎭
∵1213
m
m ⎛
⎫<+< ⎪⎝⎭,从而有11213k
n
k n n k =⎛⎫<+< ⎪⎝⎭∑成立,
即存在2a =,使得11213k
n
k n n
k =⎛⎫
<+< ⎪⎝⎭∑恒成立;
高中数学导数与函数的极值问题分析与解答
高中数学导数与函数的极值问题分析与解答 在高中数学中，导数与函数的极值问题是一个非常重要的内容，也是学生们经常遇到的难题之一。在本文中，我将通过具体的题目举例，分析和解答这类问题，并给出一些解题技巧和指导性建议。 一、导数的概念与求解 首先，我们需要了解导数的概念。导数可以理解为函数在某一点上的变化率，也可以看作是函数曲线在该点的切线的斜率。对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。 为了求解导数，我们可以使用求导法则，如常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。这些法则可以帮助我们简化求导的过程，提高解题效率。 例如，考虑函数y=x^2+3x+2，我们可以使用幂函数法则求解其导数。根据幂函数法则，对于幂函数y=x^n，其导数为y'=nx^(n-1)。因此，对于函数 y=x^2+3x+2，我们可以得到导数y'=2x+3。 二、函数的极值与求解 函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。在求解函数的极值时，我们可以通过导数的方法来进行分析。 首先，我们需要找到函数的驻点，即导数为零的点。对于函数y=f(x)，如果 f'(x)=0，则点(x,f(x))为函数的驻点。 接下来，我们需要判断驻点是极大值还是极小值。我们可以通过二阶导数的符号来判断。如果f''(x)>0，则驻点为极小值；如果f''(x)<0，则驻点为极大值。
例如，考虑函数y=x^3-3x^2+2x+1，我们可以先求解其导数y'=3x^2-6x+2。然后，我们再求解其二阶导数y''=6x-6。当二阶导数为零时，即6x-6=0，解得x=1。 因此，点(1,f(1))为函数的驻点。 接下来，我们计算二阶导数在驻点处的值，即f''(1)=6(1)-6=0。由于二阶导数 为零，我们无法通过二阶导数的符号来判断驻点的性质。在这种情况下，我们可以通过一阶导数的变化来判断。 在驻点的左侧，即x<1的区间，一阶导数由负变正，说明函数从下降变为上升，所以驻点为极小值。在驻点的右侧，即x>1的区间，一阶导数由正变负，说明函 数从上升变为下降，所以驻点为极大值。 三、解题技巧与指导性建议 在解决导数与函数的极值问题时，我们可以采用以下一些技巧和建议： 1. 注意函数的定义域：在求解函数的极值时，我们需要注意函数的定义域。有 时候，函数的极值可能出现在定义域的边界上。 2. 利用对称性：有些函数具有对称性，如奇函数或偶函数。在求解这类函数的 极值时，我们可以利用对称性来简化分析的过程。 3. 综合运用多种方法：在解决复杂的极值问题时，我们可以综合运用多种方法，如导数法、二阶导数法、图像法等。通过多种方法的分析，可以更全面地理解和解决问题。 4. 多做练习题：为了熟练掌握导数与函数的极值问题，我们需要多做练习题。 通过反复练习，可以提高解题的速度和准确性，同时加深对知识点的理解。 总结起来，导数与函数的极值问题是高中数学中的重要内容。通过对导数的概 念和求解方法的理解，以及对函数极值的分析和解答，我们可以更好地应对这类问题。同时，通过合理的解题技巧和指导性建议，我们可以提高解题的效率和准确性。
2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题中的应用》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题 中的应用》 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1.（5分）若z=−1+√3i，则z zz−−1 =() A. −1+√3i B. −1−√3i C. −1 3+√3 3 i D. −1 3 −√3 3 i 2.（5分）命题“∀x∈R，∃x∈N，使得n⩾x2+1”的否定形式是() A. ∀x∈R，∃x∈N，使得n6.（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π 2 )的图象如图所示，则() A. 函数f(x)的最小正周期是2π B. 函数f(x)在区间(π 2 ,π)上单调递减 C. 函数f(x)的图象与y轴的交点为(0,−1 2 ) D. 点(7π 6 ,0)为函数f(x)图象的一个对称中心 7.（5分）21 3，log26，3log32的大小关系是 A. 21 30,b>0)的左焦点为F，过F的一条倾斜角为30° 的直线与C在第一象限交于点A，且|OF|=|OA|，O为坐标原点，则该双曲线的离心率为______．
高中数学导数难题解题技巧
高中数学导数难题解题技巧 导数是高考数学必考的内容，近年来高考加大了对以导数为载体的知识问题的考查，题型在难度、深度和广度上不断地加大、加深，从而使得导数相关知识愈发显得重要。下面是小编为大家整理的关于高中数学导数难题解题技巧，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习! 1高中数学导数难题解题技巧 1.导数在判断函数的单调性、最值中的应用 利用导数来求函数的最值的一般步骤是：(1)先根据求导公式对函数求出函数的导数;(2)解出令函数的导数等于0的自变量;(3)从导数性质得出函数的单调区间;(4)通过定义域从单调区间中求出函数最值。 2.导数在函数极值中的应用 利用导数的知识来求函数极值是高中数学问题比较常见的类型。利用导数求函数极值的一般步骤是：(1)首先根据求导法则求出函数的导数;(2)令函数的导数等于0，从而解出导函数的零点;(3)从导函数的零点个数来分区间讨论，得到函数的单调区间;(4)根据极值点的定义来判断函数的极值点，最后再求出函数的极值。 3.导数在求参数的取值范围时的应用 利用导数求函数中的某些参数的取值范围，成为近年来高考的热点。在一般函数含参数的题中，通过运用导数来化简函数，可以更快速地求出参数的取值范围。 2高中数学解题中导数的妙用 导数知识在函数解题中的妙用 函数知识是高中数学的重点内容，其中包括极值、图像、奇偶性、单调性等方面的分析，具有代表性的题型就是极值的计算和单调性的分析，按照普通的解题过程是通过图像来分析，可是对于较难的函数来说，制作图像不仅浪费时间，而且极容易出错，而在函数解题中应用导数简直就是手到擒来。 例如：函数f(x)=x3+3x2+9x+a，分析f(x)的单调性。这是高中数
紧扣“细节”,解决高中数学导数难题
紧扣“细节”,解决高中数学导数难题 一、极限的理解 在导数的计算中，涉及到了一些极限的概念。例如求导过程中的差商，就是在不断逼 近某个极限的过程中，所得到的数值。因此，理解极限就是理解导数的重要前置知识。 然而，极限并不是一件容易理解的事情。很多学生在学习时只是单纯地记住了一些公式，对于极限的概念并没有真正地进行深度思考与理解。因此，在极限部分的学习中，应 该注重学生的思维拓展，引导学生从多个角度去理解极限的概念，同时帮助学生理解极限 的使用方法。只有通过深刻的理解和实践，我们才能在求导过程中得心应手。 二、符号的正确使用 在高中数学中，无论是解题还是考试，符号都是一个十分重要的元素。在导数计算中，符号的错误使用常常是数学错误的源头。因此，在学习导数的过程中，正确地使用符号是 我们要关注的重点。 例如，在求导的过程中，我们需要用到函数的极限表达式，这时候就需要使用符号“lim”。但很多学生在学习中并未注意到这一点，简单地使用了“=”符号，造成了不少 的错误。 此外，在构造函数的表达式时，学生们也应该注意到符号的含义。例如，“x”是一 个变量，代表着未知的值，而“y”则是函数的结果，是由“x”所决定的。在实际的导数 计算中，不同的符号承载着不同的含义，不正确使用符号就难以得到正确的答案。 三、步骤的细节 在导数计算中，过程简单且逻辑明确。但是，细节常常却能导致整个计算出现偏差。 因此，在学习导数时，学生应该从步骤的细节出发，理解每一个小环节所代表的意义，防 止因为细节的疏忽而导致结果的错误。 例如，在求导的过程中，我们需要了解很多的求导规则，包括基本的公式和导数的法则。在进行导数计算时，应该依据具体情况去运用不同的规则，而并非一味地套用模板。 在实际计算中，我们还经常会出现一些带变量的方程式。对于这种方程式，我们应该 对变量进行明确的区分，并不断地整理方程式，将它们的形式转变为更容易计算的形式。 在这个过程中，需要我们注意符号的使用和运算规则的细节，以达到最终正确的结果。 四、题目的深度 最后，我们还需要强调的是题目的深度。高中数学导数部分的题目，往往比单纯的计 算更具有一定的深度和难度。因此，我们在解题时需要深入思考，看透问题的本质，才能 够更好地解决难题。
2020届高三备考：速解导数压轴大题，设而不求处理隐零点难题
2020届高三备考：速解导数压轴大题，设而不求处理隐零点 难题 经典例题 已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0。 (Ⅰ)求a； (Ⅱ)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e^(-2)0。令h(x)=2x-2-lnx，则h′(x)=2-1/x，由h′(x)=0得x=1/2。 当01/2时，h′(x)>0，h(x)单调递增。 因为h(e^(-2))=2e^(-2)>0，h(1/2)<0=h(1)，所以h(x)在区间(0，1/2)内有唯一零点x0，在区间(1/2，+∞)内有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，h(x)>0；当x∈(x0，1)时，h(x)<0；当x∈(1，+∞)时，h(x)>0。因为f′(x)=h(x)，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点。 由f′(x0)=0得lnx0=2(x0-1)，故f(x0)=x0(1-x0)，由x0∈(0，1/2)得f(x0)<1/4。 因为x=x0是f(x)在区间(0，1)内的最大值点，由e^(-1)∈(0，1)，f′(e^(-1))≠0得f(x0)>f(e^(-1))=e^(-2)。 所以e^(-2)高中数学导数难题解题技巧
高中数学导数难题解题技巧 作为高中数学的一门重要课程，导数一直是令学生头痛的难点之一。导数作为微积分的重要内容，在高中阶段难度较大，需要注意的细节较多。因此，本文将介绍高中数学导数的难题解题技巧，旨在帮助同学们更好地掌握导数知识，提高解题能力。 一、函数极值的判定 在导数的应用中，函数的极值是一个常见的概念，但对于初学者来说，如何判断一个函数的极值并不容易。实际上，对于一元函数f(x)，极值点要么是函数f(x) 的驻点，要么出现 在函数f(x) 的无限接近某些x 值时的振幅分界点。 对于学生来说，要正确判断一个函数的极值，需要遵循以下几个步骤： 1. 寻找函数的驻点：驻点是导数为0 的点，也就是函数 取得极值或没有极值的点。要计算一个函数f(x) 的极值，首 先需要找出其导数f'(x) 的零点，即f'(x)=0，然后再通过二次 辨识或图形分析来确定该点是极大值点还是极小值点。 2. 寻找函数的振幅分界点：如果函数f(x) 在某些无限接 近于某一点时具有不同的极值，那么这个点就是函数的振幅分界点。例如，在x=1 出现了函数值极小值-1，但是在x=1 的 某一侧，函数值则具有无穷大的正值，那么x=1 就是函数的 振幅分界点。
3. 判断极值类型：通过导数的二次辨识或图形分析，可以确定在极值点处的函数取值是极大值还是极小值。 通过以上步骤的分析，可以比较准确地判断一个函数是否存在极值点，进而解决相关的导数问题。但需要注意的是，此方法并不是万能的，对于特殊函数的判定还需要结合具体情况来解决。 二、链式法则的运用 链式法则是求导的一种重要方法，其适用于各种复杂函数的求导。如果函数y 是一个由x 表示的函数，而v 又是y 的一个由u 表示的函数，那么如果我们要求出v 对x 的导数，那么就需要使用链式法则了。 具体来说，链式法则使用的公式为：dy/du × du/dx = dy/dx。 由此可见，链式法则的核心思路就是将一个复杂的函数转化成一个简单的函数，然后再依据导数的基本运算规则来求解导数。其中，dy/du 表示y 对u 的导数，du/dx 表示u 对x 的导数，而dy/dx 则表示y 对x 的导数。 在实际运用中，链式法则的使用还需要遵守一些规律： 1. 首先要确定内部函数与外部函数。内部函数是指复合函数中的第一个函数，而外部函数则是指复合函数中最后一个函数。 2. 内部函数的导数要先求出来，然后再用外部函数的导数乘以内部函数的导数，两者相乘就是最终的导数。
高中数学——导数难题经典
5.导函数——不等式 1. 函数 ()e x f x kx x =-∈R ， 〔Ⅰ〕假设e k =，试确定函数()f x 的单调区间； 〔Ⅱ〕假设0k >，且对于任意x ∈R ，()0 f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； 〔Ⅲ〕设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1 2 (1)(2) ()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N ． 分析：本小题主要考察函数的单调性、极值、导数、不等式等根本知识，考察运用导数研究函数性质的方法，考察分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考察分析问题、解决问题的能力。 解：〔Ⅰ〕由e k =得()e e x f x x =-，所以 ()e e x f x '=-． 由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞， ． 〔Ⅱ〕由()() f x f x -=可知 () f x 是偶函数． 于是 ()0 f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由 ()e 0x f x k '=-=得ln x k =． ①当(01]k ∈，时， ()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞， 时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表： 由此可得，在[0)+∞， 上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<， ．综合①，②得，实数k 的取值范围是
高中数学导数练习题含答案
高中数学导数练习题含答案 一、解答题 1． 已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值 (2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．求下列函数的导数： (1)221()(31)y x x =-+； (2)2321 x y x -= +； (3)e cos x y x = 3．设函数()()2 ()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈. (1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围. 4．已知函数()e 1x f x ax =--，a ∈R ． (1)当2a =时，求()f x 的单调区间； (2)若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围． 5．已知函数2()ln f x x x ax =-． (1)若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若()112212ln 2ln 200x ax x ax x x -=-=>>，证明：()1212ln ln 1 0ln 2 x x x x ⋅<<． 6．已知函数2()2ln f x x x =-+，()()a g x x a x =+∈R . (1)求函数()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 与()g x 有相同的极值点，求函数()g x 在区间1 [,3]2 上的最值. 7．已知函数()()()()e 0=+->x f x x b a b 在()()1,1f --处的切线方程为 ()e 1e e 10x y -++-=． (1)求a ，b 的值； (2)若方程()f x m =有两个实数根12,x x ， ①证明：12 m >-； ②当0m <时，2121x x m ->+是否成立？如果成立，请简要说明理由．
高中数学导数及其应用多选题测试试题含答案
高中数学导数及其应用多选题测试试题含答案 一、导数及其应用多选题 1．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时 ()ln ,01,0 x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ） A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点 B ．若 3 2 m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若3 02 m <≤ ，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】 设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线 ()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合 可判断各选项的正误. 【详解】 由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示： 令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数， ()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函 数， 且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，
当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32 m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x '= ， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()000 1 ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01 x e = ，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得 3 2 m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得3 02 m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题. 2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点 B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点 C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】
导数难题秒杀技巧：构造函数【解析版】
高中数学专题突破：抽象函数的导函数构造类型一: f,(χ)g(χ) ÷ f(χ)g lω=[∕ω⅛(χ)i,与广a” ⑴一Wg3 定理 1: V(X) + f(x)> O <≠> [.√(x)],> O ; Xf(X)- f(x)>O<=>fM g(χ) 证明：∙.∙H(Λ∙)+∙f(x)=时er”；0,则函数y = *(χ)单调递增;V,(x)-∕(x) >0,则V =—单洌递减. 定理 2:当Λ∙>0 时，xf∖x) + Hf(X) >0<=> [x n f(x)],> 0 ; V,(x)- √(x)>0<=> >0 证明：・・・*广⑴+ “右丫(切= EJ(X)L "厂EVX) ∕ ω /.xf∖x) + nf(x)>O,则函^y = X n f(X)单洌递增；Xf t(X)-Hf(X) > O ,则 y =伴单训递减 •X 【例1】(2015•新课标II)设函数f(x)是奇函数/(x) (XeR )的导函数，/(-1) = 0,当x>0f⅛, Λ∕∙∙(Λ-)-f(x) < 0,则使得f{x) > 0成立的X的取值范围是( ) A・(-00-DU(OJ) B・(_1,0) U (1,+8) C・(一00,-l)U(70)D・(OJ)U (t+∞) 【解析】由于当x>0吋, /(x) X 1 时,/(x)<0,当 O0, 根据奇函数的图像可得/(x)>0成立的X的取值范围是(-∞-i)∪(0J),故选A 又 【例2] (2018-东莞市期末)已知奇函数/Cr)的导函数为•厂(X),且/(-1) = 0,当χ>0时/(X) + V f(X)>0恒成立，则使得f(X)> 0成立的X的取值范围为( ) A. (70)U(OJ) B. (-OO-DU(OJ)C・(一1、0)U(I,+8)D・(一8,— I)U(I,+∞) 【解析】由题意可设g(x) = Xf(X) 9则√(x) = V r(Λ∙)÷∕(x) , •・・当x>0时，有 Xf t(X)+ f(x)>O9・•・则当 x>OBf, Y(X)AO ,・・・函数f>(x) = xf(x)在(0,2)上为增函 数，•••函数f(x)是奇函数，.∙. g(-X)= (-χ)f(-χ) = (-x)[-f (A)]=Af(X) = g(x) , 函数g(Λ∙)为定艾域上的偶函数，由/(-1) = O得，g(-l) = O,函数g(x)的图象 大致如图：由函数的图象得，一1VΛ∙l, •••使得/(X) > O成立的X的取值范国 是：(一 1 ,
高中数学导数难题练习题带答案
高中数学导数难题 一．选择题（共20小题） 1．对于任意的x∈[0，]，总存在b∈R，使得|sin2x+a sin x+b|≤1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，3]D．[﹣1，1] 2．设k，b∈R，若关于x的不等式ln（x﹣1）+x≤kx+b在（1，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e﹣1 3．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e 4．已知曲线在x＝x1处的切线为l1，曲线y＝lnx在x＝x2处的切线为l2，且l1⊥l2，则x2﹣x1的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，0）D． 5．若对任意的a∈R，不等式e2a+a2+b2﹣2ab≥20恒成立，则实数b的取值范围是（） A．b B．b≥3+ln2C．b≥4+ln2D．b≥5+ln2 6．已知曲线f（x）＝lnx+ax+b在x＝1处的切线是x轴，若方程f（x）＝m（m∈R）有两个不等实根x1，x2，则x1+x2的取值范围是（） A．（0，）B．（0，1）C．（2，+∞）D．（4，+∞） 7．已知a∈R，函数f（x）＝，则下列说法正确的是（） A．若a＜﹣1，则y＝f（x）（x∈R）的图象上存在唯一一对关于原点O对称的点 B．存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于原点O对称的点 C．不存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于y轴对称的点 D．若y＝f（x）（x∈R）的图象上存在关于y轴对称的点，则a＞1 8．定义在R上的函数f（x）满足e4（x+1）f（x+2）＝f（﹣x），且对任意的x≥1都有f'（x）+2f（x）＞0（其中f'（x）为f（x）的导数），则下列一定判断正确的是（） A．e4f（2）＞f（0）B．e2f（3）＜f（2） C．e10f（3）＜f（﹣2）D．e6f（3）＜f（﹣1） 9．已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0，则（）A．a＜0B．a＞0C．b＜0D．b＞0 10．已知函数，若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的 取值范围为（） A．B．C．D． 11．已知函数y＝f（x）在R上的图象是连续不断的，其导函数为f'（x），且f'（x）＞﹣f（x），若对于∀x＞0，不等式xf（lnx）﹣e ax f（ax）≤0恒成立，则实数a的最小值为（）
人教A版高中数学选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (10)(含答案解析)
选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (10) 1．已知()f x 为定义在(),-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x ∈R 恒成立，则（ ） A ．()()()()22022 20,20220f e f f e f >⋅>⋅ B ．()()()()22022 20,20220f e f f e f <⋅>⋅ C ．()()()()22022 20,20220f e f f e f >⋅<⋅ D ．()()()()22022 20,20220f e f f e f <⋅<⋅ 2．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当(),0x ∈-∞时，()'x x f x e e ->-，则不等式 ()()()() 12321111x x x f x f x e e e ----->--的解集为（ ） A ．()0,2 B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．() (),02,-∞+∞ D ．()2,0,3⎛⎫ -∞+∞ ⎪⎝⎭ 3．已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x −ln x 存在与直线x ＋y −1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫ -+∞⎪⎢⎣⎭ B ．1-+2⎛ ⎤∞ ⎥⎝ ⎦， C ．[−1，＋∞) D ．(−∞，−1] 4．已知函数()f x 满足()()2 21ln x f x xf x x '+=+，()1f e e =，当0x >时，下列说法正确的是（ ） ①()f x 有两个零点；①()f x 只有一个零点；①()f x 有极小值；①()f x 有极大值 A ．①① B ．①① C ．①① D ．①① 5．定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足：()()40x f x e f x +-=， ()21f e =，且当0 x >时，()2()f x f x '>，则不等式24(2)x e f x e -<的解集为（ ） A ．(1,4) B ．(2,1)- C ．(1,)+∞ D ．(0,1) 6．若函数()sin 2cos 6x a f x x x =++在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．[]4,4- B ．[]3,4- C ．[]4,3-- D ．[]3,3- 7．已知函数()21 2 x x f x e e x --=-+，则不等式()()2020202121f x f x ++-≤的解集是（ ） A ．(],4039-∞ B ．[)4039,+∞
高中数学导数压轴30题
高中数学导数压轴30题（解答题） 解答题（共30小题） 1．设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2， （Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）证明：f（x2）＞． 解答：解：（I） 令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为． 由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根， 其充要条件为，得 （1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数； （2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数； （3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数； （II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2） ∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2） 设，
则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x） （1）当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增； （2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴故． 2．己知函数f（x）=x2e﹣x （Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=． 故f（x）的极小值和极大值分别为0，． （II）设切点为（）， 则切线方程为y﹣=（x﹣x0）， 令y=0，解得x==， 因为曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2， 令， 则=． ①当x0＜0时，0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上 单调递增，∴f（x0）＜f（0）=0； ②当x0＞2时，令f′（x0）=0，解得． 当时，f′（x0）＞0，函数f（x0）单调递增；当时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减． 故当时，函数f（x0）取得极小值，也即最小值，且=．综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪． 3．已知函数f（x）=lnx+x2． （Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；
导数难题秒杀技巧：构造函数【解析版】
高中数学专题突破：抽象函数的导函数构造 类型一： )]'()([)(')()()('x g x f x g x f x g x f =+与' 2 )()()()(')()()('⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=-x g x f x g x g x f x g x f 定理1：0)]'([0)()('>⇔>+x xf x f x xf ；0)(0)()('' >⎥ ⎦⎤ ⎢⎣⎡⇔>-x x f x f x xf 证明：)]'([)()('x xf x f x xf =+ ；' 2 )()()('⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=-x x f x x f x xf 0)()('>+∴x f x xf ，则函数)(x xf y =单调递增；0)()('>-x f x xf ，则x x f y ) (= 单调递减． 定理2：当0>x 时，0)]'([0)()('>⇔>+x f x x nf x xf n ；0 )(0)()('' >⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡⇔>-n x x f x nf x xf 证明：)]'([)()('1 x f x x f nx x f x n n n =+- ；' 21)()()('⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=--n n n n x x f x x f nx x f x 0)()('>+∴x nf x xf ，则函数)(x f x y n =单调递增；0)()('>-x nf x xf ，则n x x f y ) (= 单调递减 【例1】（2015•新课标II ）设函数)('x f 是奇函数)(x f （R x ∈）的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()('<-x f x xf ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是（ ） A ．)1,0()1,( --∞ B ．),1()0,1(+∞- C ．)0,1()1,(---∞ D ．),1()1,0(+∞ 【解析】由于当x ＞0时，()2()()0xf x f x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦ ，则()f x x 为减函数；又()01=-f ，()x f 为奇函数， 则()01=f ，当x ＞1时，()0x f ,根据奇函数的图像可得()0>x f 成立的x 的取值范围是)1,0()1,( --∞，故选A ． 【例2】（2018•东莞市期末）已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f -=，当0x >时()()0f x xf x '+>恒成立，则使得()0f x >成立的x 的取值范围为（ ） A ．)1,0()0,1( - B ．)1,0()1,( --∞ C ．),1()0,1(+∞- D ．),1()1,(+∞--∞ 【解析】由题意可设()()g x xf x =，则()()()g x xf x f x '='+， 当0x >时，有 ()()0xf x f x '+>，∴则当0x >时，()0g x '>，∴函数()()g x xf x =在(0,)+∞上为增函 数，函数()f x 是奇函数，()()()()[()]()()g x x f x x f x xf x g x ∴-=--=--==，∴函数()g x 为定义域上的偶函数，由(1)0f -=得，(1)0g -=，函数()g x 的图象大致如图： 由函数的图象得，10x -<<或1x >，∴使得()0f x >成立的x 的取值范围是：(1-，
