三角形全等之截长补短（讲义）
一、知识点睛
截长补短：
题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________
___________________________________________________．
二、精讲精练
1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．
求证：AC =AB +BD ．
2. 如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°，点E 为AB 边上一点，且DE 平分∠ADC ，CE 平分
∠BCD ．
求证：CD =AD +BC ．
2
1D A 21D
A
21D A D
C
3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，
∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ． 求证：EF =BF +DE ．
E
D
A
4.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．
求证：AC=AE+CD．
E
D B
O
E
D
B
F
E
D
C
B A
5. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点
E ． 求证：CE 2
1
BD ．
E
D
C
B A
E
D
C
A
【参考答案】
【知识点睛】 线段间的和差倍分；
把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系． 【精讲精练】 1. 补短法：
证明：如图，延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ． ∵∠ABD 是△BDE 的一个外角 ∴∠ABD =∠E ＋∠BDE ∵BE =BD ∴∠E =∠BDE ∴∠ABD =2∠E ∵∠ABD =2∠C ∴∠E =∠C
在△ADE 和△ADC 中
12E C AD AD ∠=∠??
∠=∠??=?
∴△ADE ≌△ADC （AAS ） ∴AE =AC ∴AC =AB ＋BE
=AB ＋BD 截长法：
E
2
1D C
B A
F
A B
D
12
证明：如图，在AC 上截取AF =AB ，连接DF ． 在△ABD 和△AFD 中
12AB AF AD AD =??
∠=∠??=?
∴△ABD ≌△AFD （SAS ） ∴∠B =∠AFD ，BD =FD ∵∠B =2∠C ∴∠AFD =2∠C
∵∠AFD 是△DFC 的一个外角 ∴∠AFD =∠C +∠FDC ∴∠FDC =∠C ∴DF =FC ∴BD =FC
∴AC =AF +FC
=AB +BD
2. 证明：如图，在CD 上截取CF =CB ．
∵CE 平分∠CBD ∴∠1=∠2
在△CFE 和△CBE 中
12CF CB CE CE =??
∠=∠??=?
∴△CFE ≌△CBE （SAS ） ∴∠CFE =∠B ∵∠B =90°
∴∠CFE =∠DFE =90° ∵∠A =90° ∴∠DFE =∠A ∵DE 平分∠ADC ∴∠3=∠4
在△DEF 和△DEA 中
34DFE A DE DE ∠=∠??
∠=∠??=?
∴△DEF ≌△DEA （AAS ） ∴DF =AD ∴CD =DF +CF =AD +BC
432
1F
E D C
B
A
全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线 一．填空题（共1小题） 1．（2015秋?宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC 交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是．二．解答题（共10小题） 2．（2010秋?涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD． 3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．4．（2013秋?藁城市校级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN 经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系请你直接写出这个数量关系，不要证明． 5．已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由． 6．（2012秋?西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，判断BD与CE 的数量关系，并证明你的结论． 7．（2010秋?丰台区期末）已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明． 8．已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点（不与A、B重合），作∠DMN=60°，交∠DBA外角平分线于点N． （1）求证：DM=MN； （2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立请你画出图形并证明你的结论． 9．（2015春?闵行区期末）如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E 是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE． 10．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．11．（2010秋?巢湖期中）如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．
等腰三角形 教学目 标知识与技能 进一步理解等腰三角形的判定方法和性质，并能够运用灵活的解决相关问题 过程与方法 了解情况，发现问题，研究讨论，运用知识，解决问 题，提高能力 情感态度与价值观培养学生良好的学习品质. 教学重点等腰三角形的判定和性质 教学难点正确的利用知识解决问题. 教学内容与过程教法学法设计 一. 复习提问，回顾知识，请看下面的问题： 1.有两个角相等的三角形是，三个角都相等的三角形是， 2.如果一个三角形有两边相等，那么这两边所对的角，这是等腰三角形的， 3.等腰三角形的边上的高，线，角的平分线互相重合，可简记为 “三线合一”. 4..等边三角形的三个内角都，并且每个内角都等于°. 5.判定两个三角形全等的方法有： . 6.判定等腰三角形的方法有 . 二. 导入课题，研究知识： 为了更好的理解和掌握等腰三角形的判定方法和性质，灵活的运用知识解答相关的问题本节课我们来复习这一知识. 面向全体学生提出相关的问题。明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。. 留给学生一定的思考和回顾知识的时间。 为学生创设表现才华的平台。
三.归纳知识，培养能力： 等腰三角形的判定和性质 四.运用知识，分析解题： 问题1已知等腰三角形的顶角等于低角的4倍，求这个等腰三角形各内角的度数. 问题 2.已知等腰三角形的一边长为4㎝，另一边长为9㎝，求它的周长. 问题3如果一个三角形的两个内角分别为70°和40°，那么这个三角形是什么三角形？为什么？ 问题4 如图，已知B D=CE, ∠BDC=∠CEB. 求证:∠ABC=∠ACB. 问题5 如图，在△ABC中，AB=AC, DE∥BC,DE交AB于点D,交AC于点E. 求证：AD=AE. 五.课堂练习：请见教材和练习册 六.课后小结：等腰三角形的知识 七.课后作业：复印给学生. 在复习基础 知识的基础上 运用知识解决 问题. 将知识和实 际问题相结合. 教学反思 E D C B A E D C B A
全等三角形——截长补短法 一、知识梳理： 截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 二、典型例题： 例1、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数. 及时练习： 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． 例2、已知ABC ?中，60A ∠ =，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． D O E C B A
M D C B A P C B A 及时练习： 如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=，0 40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ， BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 例3、如图．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ． 及时练习： 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( ) A . a B . k C . 2 k h + D . h 例4、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ． 求证：OA 平分DOE ∠．
《全等三角形》培优题型全集
2 《全等三角形》培优题型全集 题型一：倍长中线（线段）造全等 1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于 F ，且 AE=EF ，求证：AC=BF A C E F 2、如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是______. D C B A 3、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7，则AB 边的取值范围是( ) A 、1 手拉手模型 要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC 变形： 例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD ?，连结AE与CD，?与BCE 证明 （1）DBC ? ? ABE? (2)AE与DC之间的夹角为? 60 (3)BH平分AHC ∠ 变式精练1：如图两个等边三角形ABD ?，连结 ?与BCE AE与CD， 证明（1）DBC ? ABE? ? （2）AE与DC之间的夹角为? 60 （3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 变式精练2：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ??? (2）AE 与DC 之间的夹角为?60 (3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠ 例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠ 例4：两个等腰三角形ABD ?与BCE ?，其中 BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 2017中考全等三角形经典培优题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C 3已知：∠1=∠2，CD=DE，EF ? = ∠90 ACB BC AC=MN C MN AD⊥D MN BE⊥E1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE+ =； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立， 请给出证明；若不成立，说明理由. 15如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证： （1）EC=BF；（2）EC⊥BF C D B A B C D P D A C B F A E D C B A P E D C B A D C B M F E C B A C B D E F A E B M C F B A C D F 2 1 E 16．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由 17．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ． A B C D E F 图9 全等三角形证明经典（答案） 1. 延长AD到E,使DE=AD, 则三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE 全等三角形 教学目标 知识与技能 帮助学生总结一般三角形全等的判定条件，使他们自觉运用各种全等判定法进行说理；通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系. 过程与方法 通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系.习题分析与解答先由学生完成，教师解答疑点。 情感态度与价值 观 通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系. 教学重点 让学生识别三角的哪些元素能用来确定三角形的形状与大小，因而可用来判定三角形全等. 教学难点 灵活应用各种判定法识别全等三角形 教学内容与过程 教法学法设计 一、基础知识复习 1.全等三角形 1、全等三角形的概念及其性质 1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。 2）.全等三角形性质： 例．如图, ABC ?≌ADE ?，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G, 105=∠=∠AED ACB , 25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数. 二.导入课题，研究知识： 本节课我们来复习全等三角形的有关知识 面向全体学生提出相关的问题。明确要研 究，探索的问题 是什么，怎样去 研究和讨论。. 留给学生一定的思考和回顾知识的时间。 为学生创设表现才华的平台。 三.归纳知识，培养能力： 2.全等三角形的判定方法 1）、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ） 2）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA ) 3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( AAS ) 4）、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS ) 5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( H L ) 四.运用知识，分析解题： 例：如图，在ABC 中,∠ACB=90?,D 是AC 上一点，AE ⊥BD ，交BD 的延长线于点E ，又 AE=2 1 BD ，求证：BD 是∠ABC 的平分线。 五.课堂练习：请见教材 六.课后小结：《全等三角形》复习 七.课后作业：. 复印给学生. 基础知识复习由学生们以成语接龙的方式完成。教师做最后补充。 教学时应尊重学生已有的经验，鼓励学生探索，适时渗透类比的方法和转化的数学思想。树立辩证唯物主义思想。培养学生刻苦学习的精神。 方法由学生回忆，例题分析由学生完成后，书写解题过程 教学反思 必须手写，是检查备课的重要依据。 D E C B A D C B A E D F C B A 全等三角形作辅助线经典例题 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全 等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中 的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻 转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形） 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是 之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等 1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. E D C B A 中考应用： 以ABC ?的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90, BAD CAE ∠=∠=? 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC ?为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是； （2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1） 全等三角形培优讲义 The final edition was revised on December 14th, 2020. 全等三角形常见辅助线作法 【知识导图】 【导学】全等三角形 第一部分：知识点回顾 常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三 角形，可作底边上的高，利用“三线合 一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式 是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换 中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是 将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 第二部分：例题剖析 精准诊查 概念 三边之和大于等于第三边稳定性 与三角形有关的线段 高 中线角平分线 与三角形有关的角 三角形内角和定理三角形的外角 直角三角形 性质判定 多边形及其内角和 三角形 D C B A E D F C B A E D C B A D C B A O E D C B A 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝ AC+BD 3、如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=， 040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 应用： 三、平移变换 例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD 八年级数学全等三角形辅助线添加之截长补短 （全等三角形）拔高练习 试卷简介:本讲测试题共两个大题，第一题是证明题，共7个小题，每小题10分；第二题解答题，2个小题，每小题15分。 学习建议:本讲内容是三角形全等的判定——辅助线添加之截长补短，其中通过截长补短来添加辅助线是重点，也是难点。希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线，进而构造出全等的三角形。 一、解答题(共1道，每道20分) 1.如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=（AD+AB）.问：∠1和∠2有何关系？ 答案： 解：∠1+∠2=180° 证明：过点C作CF⊥AN于点F，由于AC平分∠NAM，所以CF=CE，则在Rt△ACF和Rt△ACE 中 ∴△ACF≌△ACE（HL），∴AF=AE，由于2AE=AD+AB，所以AB-AE=AF-AD ∴DF=BE，在△CFD和△CEB中所以△CFD≌△CEB（SAS），∴∠2=∠FDC，又∠1+∠FDC=180°，∴∠1+∠2=180°。 解题思路：见到角平分线就要想到作垂直，找到全等关系是解决此类问题的关键 易错点：找到三角形全等的所有条件 试题难度：四颗星知识点：三角形 二、证明题(共8道，每道10分) 1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：CE=BD. 答案： 延长CE交BA的延长线于点H，由BE平分ABC，BE CE，得CE=EH=CH。 又1+H=90°,，2+H=90° 1= 2 在△ACH和△ABD中 HAC=DAB=90° AC=AB 1= 2 △ACH≌△ABD（ASA） CH=BD CE=CH=BD 解题思路： 根据题意，要证明CE=BD，延长CE与BA，由题意的垂直平分线可得CE的两倍长CH，只需证明CH=BD即可，很显然有全等可以证明出结论 易错点：不能正确利用题中已知条件BF平分∠ABC，CE⊥BD于E，做出辅助线，进而解答。试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质 2. 如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：AE－BE＝DF． 全等三角形测试题 一．选择题： 1．在△ABC和△A’B’C’中, AB=A’B’, ∠B=∠B’, 补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A’B’C’, 则补充的这个条件是( ) A．BC=B’C’B．∠A=∠A’C．AC=A’C’D．∠C=∠C’ 2．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（） A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对 3．现有两根木棒，它们的长分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（） A．10cm的木棒B．40cm的木棒C．90cm的木棒D．100cm的木棒4．根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（） A．A B＝3，BC＝4，AC＝8； B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30； C．∠A＝60，∠B＝45，AB＝4； D．∠C＝90，AB＝6 5．如图3，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C， ∠ADE＝∠AED，则（） A．当∠B为定值时，∠CDE为定值 B．当∠α为定值时，∠CDE为定值 C．当∠β为定值时，∠CDE为定值 D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值 二、填空题： 6．三角形ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A＋∠B还大12度，则这个三角形是＿＿三角形． 7．以三条线段3、4、x－5为这组成三角形，则x的取值为＿＿＿＿． 8．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿＿＿＿． 9．△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD＝8cm，则点D到AB 的距离为＿＿＿＿cm． 10.AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC的取值范围是＿＿＿＿；中线AD的取值范围是＿＿＿＿． 三、解答题： 11．已知：如图13－4，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB， 求证：△EAD≌△CAB． 12．如图13－5，△ACD中，已知AB⊥CD，且BD>CB, △BCE和△ABD都是等腰直角三角形，王刚同学说有下列全等三角形： ①△ABC≌△DBE；②△ACB≌△ABD； ③△CBE≌△BED；④△ACE≌△ADE． A B D C E E A D F C B E D 图13－4 B 图13－3 全等三角形证明 1、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 2.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 3、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 4、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证： AC-AB=2BE 5、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 6、（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． F A E D C B 7．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 8、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。 M F E C B A 9.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 O E D C B A A D B C E 图2-1 截长补短法 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ?? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180° 例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB . 求证：CD =AD +BC . 分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2 在△FCE 与△BCE 中， ?? ? ??=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1. A B C D 图1-1 F E D C B A 图1-2 A D B C E F 1 234 图2-2 课题命题 【学习目标】 1．了解命题的概念以及命题的构成，能把命题改为“如果……，那么……”的形式； 2．知道真命题和假命题，会用举例法或画图法等判断一个命题的真假性； 3．在学习的过程中体会数学的逻辑思维能力和有条理的推理能力． 【学习重点】 命题的概念，区分命题的条件和结论． 【学习难点】 区分命题的条件和结论，会把一些简单命题改写成“如果……，那么……”的形式． 行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么． 知识链接：1.平行线的性质定理和判定定理； 2．对顶角的性质和定义； 3．直角的概念和判定． 行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识． 学法指导：紧扣“判断一件事情的句子”，有判断语句的是命题，无判断语句的不是命题． 学法指导：每个命题都由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 知识链接：1.有一些命题的叙述，其条件和结论并不十分明显，我们可以先把它改写成“如果……，那么……”的形式，再找出它的条件和结论； 2．命题的条件部分有时可用“已知……”或“若……”等形式叙述，结论部分可用“求证……”或 “则……”的形式叙述．情景导入生成问题 相信我能行：判断正误： (1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； (2)两直线平行，同位角相等； (3)同旁内角相等，两直线平行； (4)相等的角是对顶角； (5)直角都相等． 自学互研生成能力 知识模块一命题的定义 阅读教材P53～P55，完成下面的内容： 定义：表示判断的语句叫做命题． 反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．例如：(1)你喜欢数学吗？(2)作线段AB＝CD. A B C D E 固始三中八年级上期《全等三角形》数学培优作业 （考查内容：边角边） 命题人：吴全胜1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF。 2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF． 求证：△ABE≌△CDF． 3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 4、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知：如图，AD∥BC，CB AD=。求证：CBA ADC? ? ?。 6、已知：如图，AD∥BC，CB AD=，CF AE=。求证：CEB AFD? ? ?。 7、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB AC=，DF AE=，AD EA⊥，AD FD⊥，垂足分别是A、D。求证：FDC EAB? ? ? 8、已知：如图，AC AB=，AE AD=，2 1∠ = ∠。求证：ACE ABD? ? ?。 9、如图，在ABC ?中，D是AB上一点，DF交AC于点E，FE DE=，CE AE=， AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。 10、已知：如图，DBA CAB∠ = ∠，BD AC=。求证∠C=∠D 11、已知：如图，AC和BD相交于点O，OC OA=，OD OB=。 求证：DC∥AB。 12、已知：如图，AC和BD相交于点O，DC AB=，DB AC=。求证：C B∠ = ∠。 13、已知：如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证：(1)BD=FC (2)AB∥CF 14、已知: 如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D．求证：BD=CD． 15、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证： BE=AD D C A B E 1 2 截长补短 截长补短”是几何证明题中十分重要的方法， 通常用来证明几条线段的数量关系， 即若 题目条件或结论中含有 a b c ”的条件，需要添加辅助线时可以考虑 截长补短”的方法。 另外的较短线段。 补短法: ①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等 于较长线段。即延长a ，得到b ，证：a b ①延长较短线段中的一条， 使延长后的线段等于较长线段, 一条较短线段。 即延长a ，得到c ,证：b c-a 。 例1.已知：如图，在 △ ABC 中，△仁△Z, △ B=2AC .求证: 1.补短法: 证明：如图，延长 AB 到E ,使BE=BD ，连接DE . △ △ABD 是 △BDE 的一个外角 △ △ABDME + △BDE ABE=BD △ △EMBDE △ △ABD=2 △E △ △ABD=2 △C △ △EMC 在 AADE 和 AADC 中 △ △ADE △△ADC (AAS )截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段, 再设法证明较长线段的剩余线段等于 然后证明延长出来的部分等于另 AC=AB+BD . AD AD 1 2 证明：如图，在 CD 上截取CF=CB . △CE 平分△CBD 在△CFE 和 △CBE 中 △AE=AC △AC=AB + BE=AB + BD 2.截长法: 证明：如图，在 AC 上截取AF=AB ，连接DF . 在△ABD 和△AFD 中 AB AF AD AD △ △ABD △△AFD ( SAS ) △ ABMAFD , BD=FD △ △B=2 △C △ △AFD =2 △C △ △AFD 是^DFC 的一个外角 △ △AFD me + 舉DC △ AFDCmC ADF=FC ABD=FC △AC=AF+FC=AB+BD 例2.如图，在四边形 ABCD 中，△ A=AB=90，点 E 为AB 边上一点，且 DE 平分△ ADC ， CE 平分△ BCD .求证：CD=AD+BC . CF CB CE CE 第十三章全等三角形 13.1全等三角形 学习导航 目标点击 1．通过一个图形的平移、翻折、旋转，体会全等图形和全等三角形位置变化了，但形状、大小没有变化的特点． 2．理解全等三角形概念及表示方法，知道对应顶点、对应边、对应角及其性质． 知识点拨 （1）能够完全“重合”的两个三角形全等． （2）全等三角形的对应边相等、对应角相等． 例1 填空题： (1)如图13－1－1，①△ACF≌△ABE，AB＝AC，则对应角是____，对应边是____． ②△OFB≌△OEC，则对应角是____，对应边是____． 图13－1－1 图13－1－2 (2)如图13－1－2，△ABC≌△DEB，AB＝DE，∠E＝∠ABC，则∠C对应角为____，BD边对应边为____． (3)如图13－1－3，△ABC≌△ADE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠E，则对应角是____，对应边是____． 图13－1－3 解：(1)①对应角是∠A与∠A，∠ABE与∠ACF，∠AEB与∠AFC，对应边是AB与AC，BE 与CF，AE与AF． ②对应角是∠BOF与∠COE，∠BFO与∠CEO，∠OBF与∠OCE，对应边是OB与OC，OF 与OE，BF与CE． (2)∠C的对应角是∠DBE，BD的对应边是CA． (3)对应角是∠B与∠ADE，∠C与∠E，∠BAC与∠DAE．对应边是AB与AD，AC与AE，BC与DE． 点拨：由于在全等三角形中，相等的边是对应边，相等的角(或公共角)是对应角，结合图形即可判断出． 例2 如图13－1－4，△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2． 求∠DFE的度数与EC的长． 图13－1－4 全等三角形专题培优 考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟 卷I（选择题） 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可 供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定 卷II（非选择题） 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合） ，交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得 例题1 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD． 考点：全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD． 解答：证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE． ∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD， ∴∠B=∠CAB=45°，∠E=∠CDE=45°， ∴∠B=∠E． ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2 在△ABD和△AED中， ∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD， ∴△ABD≌△AED（AAS）． ∴AE=AB． ∵AE=AC+CE=AC+CD， ∴AB=AC+CD． 证法二：如答图所示，在AB上 截取AE=AC，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2． 在△ACD和△AED中， AC=AE，∠1=∠2，AD=AD， ∴△ACD≌△AED（SAS）． ∴∠AED=∠C=90，CD=ED， 又∵AC=BC， ∴∠B=45°． ∴∠EDB=∠B=45°． ∴DE=BE， ∴CD=BE． ∵AB=AE+BE， ∴AB=AC+CD． 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系． 例题2 图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）． 考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系． 专题：计算题． 分析：可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则△ACD≌△EBD得BE=AC，进而在△ABE中利用三角形三边关系，证之． 解答：证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE． ∵BD=DC，AD=DE，∠ADC=∠EDB ∴△ACD≌△EBD∴AC=BE 在△ABE中，AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC∴AD＜（AB+AC） 点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握． 13．4 尺规作图 第1课时尺规作图(1) 1．掌握五种基本作图的方法． 2．会用五种基本作图的方法来解决简单的作图题． 重点 五种基本作图的方法． 难点 作图语言的叙述． 一、自学教材 自学教材第85～88页,体会前三种基本作图的方法．学生自学教材,交流归纳作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线的方法． 二、探究新知 教师演示作图过程． 1．作一条线段等于已知线段 已知：线段AB.求作：线段A′B′,使A′B′＝AB. 作法：(1)作射线A′C′； (2)以点A′为圆心,以AB的长为半径作弧,交射线A′C′于点B′.A′B′就是所要求作的线段． 2．作一个角等于已知角 如图,已知∠AOB和射线O′B′,用尺规作图法作∠A′O′B′＝∠AOB. ①以点O为圆心,任意长为半径作弧交OA于点C,交OB于点D； ②以点O′为圆心,OC长为半径作弧,交O′B于点C′； ③以点C′为圆心,CD长为半径作弧交前弧于点A′； ④以点O′为顶点作射线O′A′.∠A′O′B′即为所求． 3．作已知角的平分线 已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法： ①以点O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于点M,交OB于点N；②分别以点M,N为圆心, 大于12 MN 的长为半径作弧,两弧在∠AOB 的内部交于点C ；③作射线OC.射线OC 即为所求． 教师活动：同排两个同学互相交流尺规作图的注意事项,并实际动手操作． 学生活动：组织积极讨论,小组交流,代表发言． 教师总结：尺规作图注意事项：①尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺；②几何作图必须保留作图痕迹． 三、练习巩固 1．如图,已知∠AOB.(1)求作∠EDF ,使∠EDF＝∠AOB；(2)求作∠EDF 的平分线DG. 2．如图,已知∠A ,∠B,求作一个角,使其等于∠A－2∠B. 3．如图,已知线段AB,CD,求作一个等腰三角形,使其腰长等于AB,底边长等于CD. 四、小结与作业 小结 1．尺规作图的概念． 2．用尺规作一条线段等于已知线段及线段的和、差的作法． 3．作一个角等于已知角及角的和差的作法． 作业 教材第91页习题13.4第2题． 这节课内容较多,前三个基本作图较简单,主要是学生自学后独立操作,教师演示的目的是规范作图语言,搞清其中的几何道理．后两个作图实际上用到了转化思想,较为复杂,要让学生搞明白作图的原理,是掌握作图步骤的关键． 运用基本作图方法解作图题时,应让学生先分析作图顺序后,再完成．对于作图语言应逐步规范． D C B A 全等三角形——截长补短法 一、知识梳理： 截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 二、典型例题： 例1、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数. 及时练习： 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． 例2、已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． N E B M A D M D C B A D O E C B A 及时练习： 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系? 例3、如图．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ． 及时练习： 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( ) A . a B . k C . 2 k h + D . h 例4、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ． 求证：OA 平分DOE ∠．a全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法
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