三角形全等之截长补短（习题）
? 例题示范
例 1：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，BD⊥CD 且 BD=CD，∠
DBC=45°．过点 C 作 CE⊥AB 于 E，交对角线 BD 于 F，连接 AF．
求证：CF=AB+AF．
A D
E
F
B C
【思路分析】
题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段之和），所以考
虑截长补短．
① 考虑截长的方法，如图所示：
A D
E
F
H
C
B
在线段 CF 上截取 CH=AB，连接 DH，只需证明 AF=HF 即可．
结合题目条件，先证明△ABD≌△HCD，再证明△ADF≌
△HDF，从而得到 AF=HF，证明成立．
② 考虑补短的方法，如图所示：
H
A D
E
F
B C
延长 BA 交 CD 的延长线于点 H，只需证明 BH=CF，AH=AF 即可．
可结合题目条件，先证明△CDF≌△BDH，再证明△ADF≌△ADH，从而
得到 BH=CF，AH=AF，证明成立．
【过程书写】
（截长的方法）
在线段 CF 上截取 CH=AB，连接 DH．
A D
E
F
H
C
B
∵BD⊥CD，BE⊥CE
∴∠BEF=∠FDC=90°
∴∠EBF+∠EFB=90°
∠FCD+∠DFC=90°
∵∠EFB=∠DFC
∴∠EBF=∠FCD
在△ABD 和△HCD 中，
?AB ? HC
?
??ABD ? ?HCD
?
?BD ? CD
∴△ABD≌△HCD（SAS）
∴AD=HD，∠ADB=∠HDC
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC=45°
∴∠HDC=45°
∴∠HDF=∠BDC-∠HDC=45°
∴∠ADB=∠HDF
在△ADF 和△HDF 中，
?AD ? HD
?
??ADF ? ?HDF
?
?DF ? DF
∴△ADF≌△HDF（SAS）
∴AF=HF
∴CF=CH+HF=AB+AF
? 巩固练习
1. 如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD 是∠BAC 的平分线．
求证：AC=AB+BD．
A
A
B D C
B D C
C
2. 如图，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，∠B+∠D=180°．
求证：AE=AD+BE．
D
A E B
C
D
A E B
3. 如图，在△ABC 中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长
BD 至 E，使 DE=AD，连接 EC．
求证：BC=AB+CE．
A
E
D
B C
A
E
D
B C
D
4. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE． A
求证：BE+DF=AE．
F
B E C
? 思考小结
1. 证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形中证明全
等．如果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑通过添加辅助线，构造
全等三角形来证明．
常见构造辅助线的方法：
①___________：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑延长中线构造
全等三角形．
②_________：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把多条线段间的
数量关系转化为两条线段的等量关系来处理．
2. 利用“截长补短”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：30°
角所对的直角边是斜边的一半．
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°．
1
求证：BC ? AB． A
2
30°
B C
【参考答案】
? 巩固练习
1. 证明略
提示：
方法一：在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，证明△ABD≌△AED，
再证明 CE=DE；
方法二：延长 AB 到 E，使 BE=BD，连接 DE，证明△ADE≌△ADC．
2. 证明略
提示：在 AE 上截取 AF=AD，证明△CDA
≌△CFA，再证明
BE=FE．
3. 证明略
提示：在 BC 上截取 BF=BA，连接 DF，证明△ABD≌△FBD，
再证明△DFC≌△DEC．
4. 证明略