2016中考数学总复习：三角形
（一）三角形基础知识
【知识梳理】
1、三角形三边的关系；三角形的分类
2、三角形内角和及外角和定理及推论；
3、三角形的高，中线，角平分线
4、三角形中位线的定义及性质 【 思想方法】
方程思想，分类讨论等
【例题精讲】 例1．（2015?江苏南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．5，6，10 B ．5，6，11 C ．3，4，8 D ．4a ，4a ，8a （a ＞0） 例2. （2013湖南郴州）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°，D 是AB 上一点．将Rt △ABC 沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B′处，则∠ADB′等于（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
例3. （2013?宁波）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（ ）.A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
例4.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，
使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ）
A ．42°
B ．48°
C ．52°
D ．58°
例5如图2所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村
庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）
A ．A
B 中点 B ．B
C 中点 C ．AC 中点
D ．∠C 的平分线及AB 的交点
例6.（2015?安徽）在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C ，点E 在边AB 上，∠AED=60°，则一定有（ ）
A ．∠ADE=20°
B ． ∠ADE=30°
C ． ∠ADE=∠ADC
D ． ∠ADE=∠ADC
例7.（2015?滨州）在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，则∠C 等于（ ） A ． 45° B ． 60° C ． 75° D ． 90°
例8.（2015?山东德州）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，得到下列四个结论：①OA=OD ；②AD ⊥EF ；
③当∠A=90°时，四边形AEDF 是正方形；④AE+DF=AF+DE ．其中正确的是（ ） A ．②③ B ． ②④ C ． ①③④ D ． ②③④
例9.（2015?江苏宿迁）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点．若CD=5，则EF 的长为
．
例10.（2015?云南）如图，在△ABC 中，BC=1，点P 1，M 1分别是AB ，AC 边的中点，点P 2，M 2
分别是AP 1，AM 1的中点，点P 3，M 3分别是AP 2，AM 2的中点，按这样的规律下去，P n M n 的长为 （n 为正整数F ）．
A C B
（二）全等三角形
【知识梳理】
1、定义：能够完全重合的两个三角形全等．
2、性质：两个全等的三角形的对应边和对应角分别相等
3、判定方法：边角边（SAS ）角边角（ASA ）推论 角角边（AAS ）边边边（SSS ）“HL” 【例题精讲】 例1. （2013贵州安顺）如图，已知AE =CF ，∠AFD =∠CEB ， 那么添加一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE 的是（ ） A ．∠A =∠C B ．AD =CB C ．BE =DF D ．AD ∥BC 例2．如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，
将△ADC 绕点A 顺时针旋转90?后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ∽△ACD ；
③BE DC DE +=； ④222BE DC DE +=
其中正确的是（ ）A ．②④； B ．①④； C ．②③； D ．①③． 例3．（2015?江苏泰州）如图，△
中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交 AC 、
AD 、AB 于点E 、O 、F ，则图中全等的三角形的对数是（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 例4．（2013白银）如图，已知BC=EC ，∠BCE=∠ACD ，要使△ABC ≌△DEC ，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个）
例5.（2015?四川眉山）如图，以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD 、△ABE 、△BCF ，则下列结论：①△EBF ≌△DFC ；②四边形AEFD 为平行四边形；③当AB =AC ，∠BAC =120°时，四边形AEFD 是正方形．其中正确的结论是 ．（请写出正确结论的番号）．
例6. (2013湖北荆门)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．
(1)求证：BE ＝CE ；
(2)若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，如图2，∠BAC ＝45°，原题设其它条件不变． 求证：△AEF ≌△BCF ．
例7.（2014?广东梅州）
如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
例8.（2015?怀化）已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；
（2）OA=OD．
（三）等腰三角形
【知识梳理】
1. 等腰三角形的定义；
2. 等腰三角形的性质和判定；
3.等边三角形的性质和判定．
4.线段的垂直平分线的性质及判定。 【思想方法】
方程思想，分类讨论
【例题精讲】
例1. （2015?四川广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A ．12 B ． 9 C ．13 D ．12或9
例2. （2013?钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A ． 80° B ． 80°或20° C ． 80°或50° D ． 20° 例3. （2013?昆明）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P
共有 个 例4.如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ， 则MN 等于（ ）A ．
65 B ．95 C ．125 D ．165
例5.（2015?营口）如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm ，则∠AOB 的度数
是（ ） A ． 25° B ． 30° C ． 35° D ． 40°
例6.（2015?四川遂宁）如图，在△ABC 中，AC=4cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7cm ，则BC 的长为（ ） A ．1cm B ． 2cm C ． 3cm D ．4cm 例7.（2014?遵义）如图，?ABCD 中，BD ⊥AD ，∠A=45°，E 、F 分别是AB ，CD 上的点，且BE=DF ，连接EF 交BD 于O ． （1）求证：BO=DO ；
（2）若EF ⊥AB ，延长EF 交AD 的延长线于G ，当FG=1时，求AD 的长．
练习题
1、（2015?衡阳）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ． 11 B ． 16 C ． 17 D ． 16或17
A
M N
C
B
2. (2015年陕西省)如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线．若在边AB 上截取BE=BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有（ ） A ．2个 B.3个 C. 4个 D. 5个
3.（2015?滨州）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ） A ． B ． 2﹣2 C ． 2﹣ D ． ﹣2
4.（2015?烟台）等腰三角形三边长分别为2a b 、、，且a b 、是关于x 的一元二次方程
2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（ ）
A ．9 B. 10 C. 9或10 D. 8或10 5.（2015?江苏南通）如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，AC=AD=D
B ，∠BAC=102°， 则∠ADC= 度．
6.（2015?青海西宁）等腰三角形一腰上的高及另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是
7.（2015?四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 中，A （10，0），C （0，4），D 为OA 的中点，P 为BC 边上一点．若△POD 为等腰三角形， 则所有满足条件的点P 的坐标为 ．
8.（2015?山东莱芜）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角△ABD 和等腰直角△ACE ，G 为BD 的中点，连接CG ，BE ，CD ，BE 及CD 交于点F ．
（1）判断四边形ACGD 的形状，并说明理由． （2）求证：BE=CD ，BE ⊥CD ．
9.（2015?山东威海）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE ，AE=3， ∠CAE=45°，求AD 的长．
（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD 的长．
10.（2015?营口）【问题探究】 （1）如图1，锐角△ABC 中分别以AB 、AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD ，使AE=AB ，AD=AC ，∠BAE=∠CAD ，连接BD ，CE ，试猜想BD 及CE 的大小关系，并说明理由． 【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD 中，AB=7cm ，BC=3cm ，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD 的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．
（四）直角三角形
考点一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、勾股定理
直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2
2
2
c b a =+ 5、射影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2
? AB AD AC ?=2
CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式
由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 考点二、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2
2
2
c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°
① 锐角A 的对边及斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，
即c
a
sin =∠=
斜边的对边A A
② 锐角A 的邻边及斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA 即c b
cos =∠=
斜边的邻边A A
③锐角A 的对边及邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ， 即b
a
tan =∠∠=
的邻边的对边A A A 2、锐角三角函数的概念： 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 4、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) （2）平方关系1cos sin 2
2
=+A A （3）弦切关系 tanA=
5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形依据：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c
（1）三边之间的关系：2
2
2
c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：
sin ,cos ,tan ;sin ,cos ,tan ,a b a b a b
A A A
B B B c c b c c a
======
【例题精讲】
例1. （2013台湾）如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，
且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为何？（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
例2．如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，
则AOC DOB ∠+∠= ．
例3. 如图，ABC △是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP △绕点A 逆时针旋转后，
A B
C D O
能及ACP '△重合，如果3AP =，那么PP '的长等于（ ） A ．32
B ．23
C
．42
D ．33
例4. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠， 使点A 及点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）
A ．247
B ．73
C ．724
D ．13
例5.（2015?四川乐山）如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 例6.（2015?四川眉山）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠A =30°，D
E 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接C D ．若BD =1，则AC 的长是（ ）A 23 B 2 C 33 D 4
例5图 例6图 例7图 例8图 例7.（2013?绥化）已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ， AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论： ①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），
其中结论正确的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
例8．（2015?山东日照）如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC =BD ，连接AC ，若tanB =，则tan ∠CAD 的值（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
例9．（2015·湖南省衡阳市）如图（见下页），为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB （单位：米）为（ ）． A ． B ．51 C ． D ．101 例10．（2015?山东东营）4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图（见下页），在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A 处的俯角为
，B 处的俯角为
．如果此时直升机镜头C 处的高度CD 为200米，点A 、D 、B 在
同一直线上，则AB 两点的距离是 米．
例11．（2015?浙江宁波）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，若旗杆及教学楼的距离为9m ，则旗杆AB 的高度是 m （结果保留根号）
6 8
C
E
A
B D
例9图例10图例11图
例12.（2013?乐山）如图11,山顶有一铁塔AB的高度为20米，为测量山的高度BC,在山脚点D处测得塔顶A和塔基B的仰角分别为60o和45o，求山的高度BC.（结果保留根号）
例13.（2015?江苏泰州）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上。（1）求斜坡AB的水平宽度BC；
（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m.将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高。（，结果精确到0.1m）
（五）相似三角形
1、比例的基本性质，线段的比、成比例线段，黄金分割．
2、认识图形的相似，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于对应边比的平方．
3、相似三角形的概念、性质
4、两个三角形相似的条件．（判定）
5、位似。
【思想方法】
1. 常用解题方法——设k法
2. 常用基本图形——A形、X形……
【例题精讲】
例题1（2013年山东东营）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个及它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值【】
C B A A. 只有1个
B. 可以有2个
C. 可以有3个
D. 有无数个
例题2.如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)及△ABC 相似的是( )
例题3（2015?永州）如图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB
B. ∠ADB=∠ABC
C. AB 2=AD?AC
D.
=
例题4（2015?四川成都）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=6，DB=3，AE=4，则EC 的长为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
例题5（2015?铜仁市）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积及△BAF 的面积之比为（ ） A 3：4 B 9：16 C 9：1 D 3：1
例题6（2015?济南）如图，正方形ABCD 的对角线AC 及BD 相交于点O ，∠ACB 的角平分线分别交AB 、BD 于M 、N 两点．若AM =2，则线段ON 的长为（ ）
A ．
B ．
C ．
1
D ．
例题7. 如图，△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为 D.下列条件中，能证明△ABC 是直角三角形的有 （多选、错选不得分）
①∠A+∠B=90° ②2
2
2
AB AC BC =+③ ④2
CD AD BD =? 例题8.（2015?东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A 出发，经过3个面爬到点B ，如果它运动的路径是最短的，则AC 的长为
例题9.（2015?山东泰安）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE=2BF ．给出下列四个结论： ①DE=DF ；②DB=DC ；③AD ⊥BC ；④AC=3BF ，其中正确的结论共有（ ）A ．4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个
例题10.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，
连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC
(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.
例题11. （2015湖南岳阳）
如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N ．
（1）求证：△ABM∽△EF A；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
例题12.（2015·江苏连云港）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
(1）求BD?cos∠HBD的值；
(2）若∠CBD=∠A，求AB的长．
【优化训练】
1.若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
2.现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm.从中任取一根木棒，能组成三角形的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当
PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）
A．1
3
B．
1
2
C．
2
3
D．不能确定
4．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A = 80°，∠ACB=60°，
那么∠BDC=（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．110° 5. （2015江苏连云港）在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 及△ACD 的面积之比是
6.如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°， 则CD 的长为（ ）A ．
32 B ．23 C ．12 D ．3
4
7．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
8．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是 （ ） A ．5cm B ．4cm C ．3cm D ．2cm
9．如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，G 是BD 的中点． 若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ ）．A ．1 : 2 B ．1 : 3 C ．2 : 3 D ．11 : 20
10．如图，在△ABC 中，∠C=900
，D 是AC 上一点，DE⊥AB 于点E ，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD 的长为（ ）A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
11．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ?为等腰三角．．．．形．，则点C 的个数是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 12．如图1，△ABC 中，AC=AD=BD ，∠DAC=80°。则∠B 的度数是（ ） A ．40° B ．35° C ．25° D ．20°
13．如图，已知AC FE =，BC DE =，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个．．条件，这个条件可以是 ．
14．如图，在△ABC 和△BAD 中，BC = AD ，请你再补充一个条件， 使△ABC ≌△BAD ．你补充的条件是_ _（只填一个WB ）．
15．如图，点D 、E 在△ABC 的BC 边上，∠BAD =∠CAE ，要推理得出△ABE ≌△ACD ，可以补充的一个条件是 (不添加辅助线，写出一个即可).
16．如图，△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC 是直角三角形的有 （多选、错选不得分） ①∠A+∠B=90° ②2
2
2
AB AC BC =+③ ④2
CD AD BD =?
17. 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米.
18.如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面
积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．
19.如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在
AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△ABE ≌△DAF ； （2）若∠AGB=30°，求EF 的长.
20. （2013?东营） (1)如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ， BD ⊥直线m ， CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明:DE =BD +CE ．
(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立?如成立，请你给出证明;若不成立，请说明理由．
(3) 拓展及应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF 的形状．
临沂市近几年三角形四边形有关试题
2007年
04．如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点D 、E 分别在AB 、AC 上，则∠1＋∠2的 大小为（ ）。A 、130° B 、230° C 、180° D 、310°
13．如图，客轮在海上以30km /h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得灯塔A 的方位角为北偏东80°，
测得C 处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20°，则C 到A 的距离是（ ）。
A 、615km
B 、215km
C 、)26(15+km
D 、)236(5+km 14．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些
边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应分别为（ ）。A 、x ＝10，y ＝14 B 、x ＝14，y ＝10 C 、x ＝12，y ＝15 D 、x ＝15，y ＝12
17．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH
是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是 。 22．(本小题满分)如图，已知矩形ABCD 。
(1)在图中作出△CDB 沿对角线BD 所在的直线对折后的△C ’DB ，C 点的对应点为C ’(用尺规作图，保留清晰的作图痕迹，简要写明作法)； (2)设C ’B 及AD 的交点为E ，若△EBD 的面积是整个矩形面积 求∠DBC 的度数。
25．(本小题满分)如图1，已知△ABC 中，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，把一块含30°角的直角三
角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转。 (1)在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N 。 ①证明DM ＝DN ；
②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 及△ABC 的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； (2)继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM ＝DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM ＝DN 是否仍然成立？请写出结论，不用证明。
2008年
11．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，
连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）
A ． 32
B ． 33
C ． 34
D ． 3
13．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，以A 为圆心，AD 为半径的圆及BC 切于点M ，及AB 交于点E ，若AD ＝2，BC ＝6，则⌒DE 的长为（ ）
A ． 23π
B ． 43π
C ． 8
3π D ． π3
18．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长________.
19．如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，
再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________。
A B
C
D (第22题图)
31
第13题图 A M
D
E
B C 第18题图
F A D
O
E B
C A A A B B B C C C
D D
D N N N
E E F
E F
F M M
M 图1 图2 图3 (第25题图)
B 2
A 1A 第11题图
F
A D
E
B C
21．（本小题满分7分）
如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 及AD 交于点F ，。 ⑴求证：△ABF ∽△CEB;
⑵若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积。
25.已知∠MAN ，AC 平分∠MAN 。
⑴在图1中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，求证：AB ＋AD ＝AC;
⑵在图2中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由; ⑶在图3中：
①若∠MAN ＝60°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC; ②若∠MAN ＝α（0°＜α＜180°），∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC （用含α的三角函数表示），并给出证明。
2009年
11．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC BD ⊥于点O ， AE BC DF BC ⊥⊥，，垂足分别为E 、F ，设AD =a ，BC =b ，则四边形 AEFD 的周长是（ ）A ．3a b + B ．2()a b + C ．2b a + D ．4a b +
18．如图，在菱形ABCD 中，72ADC ∠=，AD 的垂直 平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则CPB ∠=________度． 22、（2009·临沂中考）如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离
AC ＝1km ，B 村到公路l 的距离BD ＝2km ，B 村在A 村的南偏东45方向上．
（1）求出A ，B 两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
第21题图 F
A
D
E
B C
D
C A
B
E F O
（第11题第21题图 A M
N
D B C A M N D B C A M
N D B C
D
C
B
A
E
P （第18题图）
25．（本小题满分）
数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
2010年
7．如图，在□ABCD 中，AC 及BD 相交于点O ，点E 是边BC 的中点，
AB = 4，则OE 的长是 （ ）A.2 B.2 C.1 D.21
10．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA = 2，∠AOC = 45°， 则B 点的坐标是（ ）
A.（ 2 +2，2）
B.（2﹣2，2）
C.（﹣2 +2，2）
D.（﹣2﹣2，2）
13．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则
BD 的长为 A.3 B.32 C.33 D.34
17．如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE ∽△ACB ．
A D F C G
E B
图1
A D F C G E B
图2 A D F
C G
E B
图3
（第25题图）
第13题图
第7题
第10
18．正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB 的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于．25．（本小题满分11分）
如图
1，已知矩形ABED，点C
是边DE的中点，且AB = 2AD．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．
2011
11、（2011?临沂）如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，
BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（）
A、2
B、3
C、4
D、4
12、（2011?临沂）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．AD=2，BC=6，∠B=60°，
则梯形ABCD的周长是（） A、12 B、14 C、16 D、18
18、（2011?临沂）如图，?ABCD，E是BA延长线上一点，AB=AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB=3，则BC的长为．
11题 12题 18题
22、（2011?临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的
平分线．
（1）求证：AC=AD；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．
图1 图2
图3
第25题图
第18
25、（2011?临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E及正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．
（1）求证：EF=EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．
2012
11．（2012?临沂）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，
下列结论不一定正确的是（）
A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD 17．（2012?临沂）如图，CD及BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=°．18．（2012?临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，
使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．
11题17题18题
22．（2012?临沂）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
F
E
D
C （1）求证：四边形BCEF 是平行四边形， （2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF 为何值时，四边形BCEF 是菱形．
25．（2012?临沂）已知，在矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，动点M 从点A 出发沿边AD 向点D 运动．
（1）如图1，当b=2a ，点M 运动到边AD 的中点时，请证明∠BMC=90°； （2）如图2，当b ＞2a 时，点M 在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给及证明；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当b ＜2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
2013
10、（2013山东临沂， 3分）如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ， 下列结论不一定．．．成立的是（ ） A ．AB ＝AD
B ．A
C 平分∠BCD
C ．AB ＝BD
D ．△BEC ≌△DEC
17.如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，o 60B ∠=,,AE BC AF CD ⊥⊥, 垂足分别为E,F,连接EF,则的△AEF 的面积是 .
18．如图，等腰梯形ABCD 中，//,,,AD BC DE BC BD DC ⊥⊥垂足分别为E,D, DE=3，BD=5，则腰长AB= 22．（本小题满分7分）
如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长
线于点F,连接CF.
（1）求证：AF=DC ；
（2）若AB ⊥AC,试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论.
25．（本小题满分11分）
如图，矩形ABCD 中，∠ACB =o
30，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC,BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC 所在的直线相交，交点分别为E,F.
(1)当PE ⊥AB,PF ⊥BC 时，如图1，则PE
PF 的值为 .
(2)现将三角板绕点P 逆时针旋转α（o o
060α<<）角，如图2，求PE
PF 的值；
(3)在（2）的基础上继续旋转，当o o 6090α<<，且使AP:PC=1：2时，如图3，PE
PF 的值是否变
化？
证明你的结论.
2014
13、如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B ，C 之间
的距离为（ ）（A ）20海里．（B ）103海里．（C ）202海里．（D ）30海里． 17．如图，在 ABCD 中，10BC =，9sin 10B =，AC BC =，
则 ABCD 的面积是 . 23．（本小题满分9分）
对一张矩形纸片ABCD 进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD 及BC 重合，得到折痕MN ，展开； 第二步：再一次折叠，使点A 落在MN 上的点A '处，并使折痕经过点B ，得到折痕BE ，同时， 得到线段BA '，EA '，展开，如图1；
第三步：再沿EA '所在的直线折叠，点B 落在AD 上的点B '处，得到折痕EF ，同时得到线段B F '， 展开，如图2.
（1）证明：30ABE ∠=°；
2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式； 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上， 或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时 二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等 三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直
二模18题汇编 【题型一】旋转类型 （崇明2015二模18）如图，Rt ABC ?中，90ABC ?∠=，2AB BC ==，将ABC ?绕点C 逆时针旋转60? ， 得到MNC ?，连接BM ，那么BM 的长是 （黄浦2015二模18）如图，Rt △ABC 中，90BAC ∠=?，将△ABC 绕点C 逆时针旋转，旋转后的 图形是△A B C ''，点A 的对应点A '落在中线AD 上，且点A '是△ABC 的重心，A B ''与BC 相交于 点E ，那么:BE CE = 【参考答案】4:3
（杨浦015二模18）如图，将?ABCD 绕点A 旋转到?AEFG 的位置，其中点B 、C 、D 分别落在 点E 、F 、G 处，且点B 、E 、D 、F 在一直线上，如果点E 恰好是对角线BD 的中点， 那么 AB AD 的值是 【参考答案】2 （长宁、金山2015二模18）如图，在ABC ?中，5AB AC ==，8BC =，将ABC ?绕着点B 旋转 得A BC ''?，点A 的对应点A '，点C 的对应点C '，如果点A '在边BC 上，那么点C 和点C '之间的 距离等于 （闸北2015二模18）如图，底角为α的等腰ABC ?绕着点B 顺时针旋转，使得点A 与边BC 上的点D
重合，点C 与点E 重合，联结AD 、CE ，若3 tan 4 α=，5AB =，则CE = 【参考答案】5 （嘉定、宝山2015二模18）如图，等边ABC ?的边长为6，点D 在边AC 上，且2AD =，将ABC ? 绕点C 顺时针方向旋转60? ，点A 与点D 的对应点分别记作点E 与点F ，联结BF 交AC 于点G ， 那么tan AEG ∠的值为 【题型二】翻折类型 （奉贤2015二模18）如图，在ABC ?中，45B ?∠=，30C ? ∠=，2AC =，点D 在BC 上，将△ACD
2016上海长宁区初三数学一模试题 （满分150分） 2016.1.6 一、选择题。（本题共6个小题，每题4分，共24分） 1、如果两个三角形的相似比是1:2，那么他们的面积比是（ ）. A.1:2 B.1：4 C.1：2 D.2：1 2、如图，在△ABC 中，∠ADE=∠B ，DE:BC=2:3，则下列结论正确的是（ ）. A.AD:AB=2:3 B.AE:AC=2:5 C.AD:DB=2:3 D.CE:AE=3:2 3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB 的值是（ ）. A.22 B.23 C.2 1 D. 2 4、在△ABC 中，若cosA=2 2，tanB=3，则这个三角形一定是（ ）. A.直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 5、已知⊙O 1 的半径r 为3cm ，⊙O 2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O O 21为1cm ，则这两个圆的位置关系的（ ）. A.相交 B.内含 C.内切 D.外切 6二次函数1)2(2-+=x y 的图像可以由二次函数2 x y =的图像平移得到，下列平移正确的 是（ ）. A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 二、填空题。（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7、已知抛物线12+=x y 的顶点坐标是（ ). 8、已知抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x=1，则实数b 的值为（ ） 9、已知二次函数bx ax y +=2，阅读下面表格信息，由此可知y 与x 的函数关系式是（ ）. 10、已知二次函数2)3(-=x y 图像上的两点A （3，a ）和B （x ，b ）， 则a 和b 的大小关系是a （ ）b. 11、圆是轴对称图形，它的对称轴是（ ）. 12、已知⊙O 的弦AB=8cm ，弦心距OC=3cm ，那么该圆的半径是（ ）cm. 13、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直AB ，已知AC=1，BC=22,那么sin ∠ACD 的值是（ ）.
中考数学专题复习 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如：2π是 数，不是 数，2 π 是 数，不是 数。 2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、 b 互为相反数2π 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数2π 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 2π = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 无限不循环小数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）
2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。 【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。2、近似数3.05万是精确到 位，而不是百分位】 四、数的开方。 1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±2π ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。 2、若x 3=a,则x 叫做a 的 ，记做2π ，正数有一个 的立方根，0的立方根是 ，负数 立方根。 【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。】 【重点考点例析】 考点一：无理数的识别。 例1 （2012?六盘水）实数2 π 中是无理数的个数有（ ）个． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 解：2π，所以数字2 π 中无理数的有：2π ，共3个． 故选C ． 点评：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数。 对应训练 1．（2012?盐城）下面四个实数中，是无理数的为（ B ） A ．0 B ．2π C ．﹣2 D ． 2 π 考点二、实数的有关概念。 例2 （2012?乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入500 元记作500元，那么支出237元应记作（ ） A ．﹣500元 B ． ﹣237元 C ． 237元 D ． 500元 解：根据题意，支出237元应记作﹣237元． 故选B ． 点评： 此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 例3 （2012?遵义）﹣（﹣2）的值是（ ） A ．﹣2 B ． 2 C ． ±2 D ． 4 解：∵﹣（﹣2）是﹣2的相反数，﹣2＜0，∴﹣（﹣2）=2． 故选B ． 点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 例4 （2012?扬州）﹣3的绝对值是（ ） A ．3 B ． ﹣3 C ． ﹣3 D ． 2 π 解：﹣3的绝对值是3． 故选：A ． 点评： 此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
浦东新区2016二模数学试卷 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．2016的相反数是（ ） （A ）12016 ； （B ）-2016 ； （C ）1 2016- ； （D ）2016． 2．已知一元二次方程2320x x ++=，下列判断正确的是（ ） （A ）该方程无实数解； （B ）该方程有两个相等的实数解； （C ）该方程有两个不相等的实数解； （D ）该方程解的情况不确定． 3．下列函数的图像在每一个象限内，y 随着x 的增大而增大的是（ ） （A ）1y x =- ； （B ）2 1y x =- ； （C ）1y x = ； （D ）1y x =--． 4．如果从1、2、3这三个数字中任意选取两个数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（ ） （A ） 1 2 ； （B ）1 3 ； （C ）1 4 ； （D ） 16 ． 5．下图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果： 这七天最高气温的众数和中位数是（ ） （A ） 15，17； （B ）14，17； （C ）17，14； （D ）17，15． 6．如图，△ABC 和△AMN 都是等边三角形，点M 是△ABC 的重心，那么AMN ABC S S ??的值为（ ） （A ） 2 3 ； （B ）13； （C ）14； （D ）4 9 ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算： 1－3 1 ＝ ． 8．不等式12x -<的解集是 ． 9．分解因式：282a -= ． 10．计算：()() 3 22a b b a -+-= ． 11 3=的解是 ． 12．已知函数()f x = ，那么f = ． 13．如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为1:3，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体 从A 到B 所经过的路程为 米． 14．正八边形的中心角等于 度． A B C M N 第6题图
2016中考数学应用题专题训练
中考数学应用题专题训练 类型一：二元一次方程组 方程应用题的解题步骤可用六个字概括，即审(审题)，设(设未知数)，列(列方程)，解(解方程)，检(检验)，答。 例1.（2012湖南长沙，23，9分）以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个. (1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个？ (2)若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道湖南省共引进资金多少亿元？ 练习：1.（2012江西南昌，24,6分）小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨
各是多少元？ 类型二：一元二次方程 例2 （2012甘肃白银，25,10分）某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%.在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元. 求这种玩具的进价；（2）求平均每次降价的百分率.（精确到0.1%） 练习1. （2012四川乐山，21，10分）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售. （1）求平均每次下调的百分率；20%
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金200元. 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由. 2.（2012山东济宁，18，6分）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？ 类型三：方程与一次函数 3. （2012山东莱芜，22，10分）为表彰在“缔造完
2016年上海市嘉定区中考数学二模试卷及答案解析 一.选择题 1．下列实数中，属无理数的是（） A．B．1.010010001 C． D．cos60° 2．如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（） A．a﹣b＜0 B．﹣a＞﹣b C． a＜ b D．2a＞2b 3．数据6，7，5，7，6，13，5，6，8的众数是（） A．5 B．6 C．7 D．5或6或7 4．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（） A．（﹣5，﹣3） B．（1，﹣3）C．（﹣1，﹣3） D．（﹣2，0） 5．下列命题中，真命题是（） A．菱形的对角线互相平分且相等 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．对角线相等且垂直的四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 6．Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都等于2，那么下列结论正确的是（） A．圆A与圆B外离B．圆B与圆C外离C．圆A与圆C外离D．圆A与圆B相交 二.填空题 7．计算：（﹣）2= ． 8．计算：﹣2x（x﹣2）= ． 9．方程=3的解是． 10．函数y=的定义域是． 11．如果正比例函数y=kx（k常数，k≠0）的图象经过点（﹣1，2），那么这个函数的解析式是．12．抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），那么m= ． 13．某班40名学生参加了一次“献爱心一日捐”活动，捐款人数与捐款额如图所示，根据图中所提供的信息，你认为这次捐款活动中40个捐款额的中位数是元．
14．在不透明的袋中装有2个红球、5个白球和3个黑球，它们除颜色外其它都相同，如果从这不透明的袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为黑球的概率是． 15．如图，在△ABC中，点M在边BC上，MC=2BM，设向量，，那么= （结果用表示） 16．如图，在平行四边形ADBO中，圆O经过点A、D、B，如果圆O的半径OA=4，那么弦AB= ． 17．我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是． 18．在矩形ABCD中，AD=15，点E在边DC上，联结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F 作FG⊥AD，垂足为点G，如图，如果AD=3GD，那么DE= ． 三.解答题
2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编专题24 圆 一．选择题（共20小题） 1．（2016?台湾）如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20公分；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12公分，且水桶与铁柱的底面半径比为2：1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？（） A．4.5 B．6 C．8 D．9 2．（2016?荆门）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（） A．12cm B．6cm C．3cm D．2cm 3．（2016?无锡）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（） A．24cm2B．48cm2C．24πcm2D．12πcm2 4．（2016?泉州）如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（） A．3 B．6 C．3πD．6π 5．（2016?贵港）如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC 长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是（）
A．B．C．D． 6．（2016?十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（） A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm 7．（2016?贺州）已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为（） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（2016?宁波）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（） A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2 9．（2016?自贡）圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（） A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2D．（4+16）πcm2 10．（2016?桂林）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（） A．πB．C．3+πD．8﹣π 11．（2016?内江）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（）
2016年上海市中考数学试卷 一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 1．如果a与3互为倒数，那么a是（） A．﹣3 B．3 C．﹣D． 2．下列单项式中，与a2b是同类项的是（） A．2a2b B．a2b2C．ab2D．3ab 3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（） A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3 4．某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（） A．3次B．3.5次C．4次D．4.5次 5．已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，=，那么向量用向 量、表示为（） A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣ 6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D 与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（） A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分 7．计算：a3÷a=．
8．函数y=的定义域是． 9．方程=2的解是． 10．如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为． 11．不等式组的解集是． 12．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是． 13．已知反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是． 14．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是． 15．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比 是． 16．今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数 是． 17．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为米．（精确到1 米，参考数据：≈1.73） 18．如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．
2016年上海中考数学试卷分析 一. 选择题 1. 如果a 与3互为倒数，那么a 是（ ） A. 3- B. 3 C. 13- D. 13 答案：D 考点：倒数关系（乘积为1的两个数互为倒数）。 解析：3的倒数是 1 3 。 2. 下列单项式中，与2 a b 是同类项的是（ ） A. 22a b B. 22a b C. 2 ab D. 3ab 答案：A 考点：同类项的概念。 解析：含有相同字母，并且相同字母的指数相同的单项式为同类项，所以，选A 。 3. 如果将抛物线2 2y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A. 2 (1)2y x =-+ B. 2 (1)2y x =++ C. 2 1y x =+ D. 2 3y x =+ 答案：C 考点：二次函数图象的平移变换。 解析：抛物线2 2y x =+向下平移1个单位变为2 21y x =+-，即为2 1y x =+ 4. 某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男 生该周参加篮球运动次数的平均数是（ ） A. 3次 B. 3.5次 C. 4次 D. 4.5次 答案：C 考点：加权平均数的计算。 解析：平均数为： 1 (223241056)20 ?+?+?+?＝4（次）。 5. 已知在ABC ?中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =，AD b =， 那么向量AC 用向量a 、b 表示为（ ） A. 12a b + B. 12a b - C. 12a b -+ D. 1 2 a b --
答案：A 考点：平面向量，等腰三角形的三线合一（顶角的角平分线、底边的中线、底边的高线）。 解析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点， 12AC AD DC AD BC =+=+＝1 2 a b + 6. 如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，⊙A 的半 径长为3，⊙D 与⊙A 相交，且点B 在⊙D 外，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是（ ） A. 14r << B. 24r << C. 18r << D. 28r << 答案：B 考点：勾股定理，点与圆、圆与圆的位置关系。 解析：由勾股定理，得：AD ＝5， ⊙D 与⊙A 相交，所以，r ＞5－3＝2， BD ＝7－3＝4， 点B 在⊙D 外，所以，r ＜4，故有24r << 二. 填空题 7. 计算：3 a a ÷= 答案：2 a 考点：单项式的除法计算。 解析：同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以，原式＝31 2a a -= 8. 函数3 2 y x = -的定义域是 答案：2x ≠
2016年中考数学专题复习：折叠题(含答案)
2016年中考数学专题复习：折叠题 1．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF 折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF； ②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形； ④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（） A．①②③B．①②④ C．②③④D．①②③④ 解答：解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF， 由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°， 即FM⊥BE，CF⊥BC， ∵BF平分∠EBC， ∴CF=MF， ∴DF=CF；故①正确；
点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中： ①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF； ④△BEG和△HEG的面积相等； ⑤若，则． 以上命题，正确的有（） A．2个B．3个C．4个D．5个
解答：解：①由折叠的性质可知 ∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线， ∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°， ∴∠BEF=90°，故正确； ②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误； ③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误； ④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确； ⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．设BK=x，AB=y，则有y2+（2y﹣2x）2=（2y﹣x）2，解得x 1=y（不合题意舍去），x2=y．则，故正确．故正确的有3个． 故选B． 点评：本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、
2016年上海市金山区中考数学二模试卷 一、选择题 1．（4分）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（） A． B．C．D． 2．（4分）如果一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 3．（4分）如果关于x的方程mx2+mx+1=0有两个相等的实数根，那么m等于（）A．4或0 B．C．4 D．±4 4．（4分）一组数据1、2、3、4、5、15的平均数和中位数分别是（） A．5、5 B．5、4 C．5、3.5 D．5、3 5．（4分）在以下几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A．等边三角形B．等腰梯形 C．平行四边形D．圆 6．（4分）下列命题中，真命题是（） A．两个无理数相加的和一定是无理数 B．三角形的三条中线一定交于一点 C．菱形的对角线一定相等 D．同圆中相等的弦所对的弧一定相等 二、填空题 7．（4分）3﹣2=． 8．（4分）因式分解：x2﹣9y2=． 9．（4分）方程的根是． 10．（4分）函数y=的定义域是． 11．（4分）把直线y=﹣x+2向上平移3个单位，得到的直线表达式是． 12．（4分）如果抛物线y=ax2+2a2x﹣1的对称轴是直线x=﹣1，那么实数a=．13．（4分）某校为了发展校园足球运动，组建了校足球队，队员年龄分布如图所示，则这些队员年龄的众数是． 14．（4分）在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，设，，如果用向量、表示向量，那么=． 15．（4分）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为D点，如果OD=3，DA=2，那么BC=． 16．（4分）如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是． 17．（4分）已知AB、AC分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠BAC 的度数是度． 18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC绕着点B旋转的△A′BC′，点A的对应点A′，点C的对应点C′．如果点A′在BC边上，那么点C和点C′之间的距离等于多少． 三、解答题
小专题五：应用题专题复习 一、方程与方程组型 1．（2015?平谷区二模）列方程或方程组解应用题： 为开阔学生的视野在社会大课堂活动中，某校组织初三年级学生参观科技馆，原计划租用45 座客车若干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的60 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．求该校初三年级有学生多少人？原计划租用多少辆45 座客车？ 2．（2015?岳池县模拟）一辆汽车从A 地驶往B 地，前路为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速路上行驶的速度为100km/h，汽车从A 地到B 地一共行驶了2.2h，普通公路和高速公路各是多少km？ 3．（2015?长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10 万件和12.1 万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6 万件，那么该公司现有的21 名快递投递业务员能否完成今年6 月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 4．（2015?淮安）水果店张阿姨以每斤2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4 元的价格出售，每天可售出100 斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1 元，每天可多售出20 斤，为保证每天至少售出260 斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是斤（用含x 的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 5．（2016?安徽模拟）2014 年西非埃博拉病毒疫情是自2014 年2 月开始爆发于西非的大规模病毒疫情，截至2014 年12 月02 日，世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称，几内亚、利比里亚、塞拉利昂、马里、美国以及已结束疫情的尼日利亚、塞内加尔与西班牙累计出现埃博拉确诊、疑似和可能感染病例17290 例，其中6128 人死亡．感染人数已经超过一万，死
2016中考数学专题讲座几何与函数问题 【知识纵横】 客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。 【典型例题】 【例1】已知，，（如图）．是射线上的动点（点 与点 不重合）， 是线段 的中点． （1）设 ， 的面积为 ，求 关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段为直径的圆与以线段 为直径的圆外切，求线段 的长； （3）联结，交线段于点，如果以 为顶点的三角形 与 相似，求线段 的长． 【思路点拨】（1）取中点 ，联结 ；（2）先求出 DE; （3） 分二种情况讨论。 【例2】（某某）已知：如图（1），在 中， ， ， ，点由 出发沿方向向点 匀速运动，速 度为1cm/s ；点由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为2cm/s ；连 接 ．若设运动的时间为 （），解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）设 的面积为 （ ），求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时 平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由； （4）如图（2），连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ， B A D M E C B A D C 备用图
那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱 形的边长；若不存在，说明理由． 图（1） 图（2） 【思路点拨】（1）设BP 为t ，则AQ = 2t ，证△APQ ∽△ABC ；（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ． （3）构建方程模型，求t ；（4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，若四边形PQP ′C 是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t 的值。 【例3】（某某）如图（1）,在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 图（1） 图（2） 图（3） 【思路点拨】（1）证△AMN ∽△ABC ；（2）设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，先求出OD （用x 的代数式表示），再过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，证△BMQ ∽△BCA ；（3）先找到图形娈化的分界点，＝2。然 A B C M N D O A B C M N P O A B C M N O
黄浦区2015学年度第一学期九年级期终调研测试 数 学 试 卷 2016年1月 （满分150分，考试时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律 无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1．如果两个相似三角形的周长比为1∶4，那么这两个三角形的相似比为（ ▲ ） （A ）1∶2； （B ）1∶4； （C ）1∶8； （D ）1∶16． 2．已知线段a 、b 、c ，其中c 是b a 、的比例中项，若cm a 9=，cm b 4=，则线段c 长（ ▲ ） （A ）18cm ； （B ）5cm ； （C ）6cm ； （D ）6cm ±． 3．如果向量a 与向量b 方向相反，且3a b = ，那么向量a 用向量b 表示为（ ▲ ） （A ）3a b = ； （B ）3a b =- ； （C ）13a b = ； （D ）13 a b =- ． 4．在直角坐标平面内有一点P （3,4），OP 与x 轴正半轴的夹角为α，下列结论正确的是（ ▲ ） （A ）4 tan 3 α= ； （B ）4cot 5 α= ； （C ）3sin 5α= ； （D ）5cos 4 α=． 5．下列函数中不是二次函数的有（ ▲ ） （A ）()1y x x =- ； （B ）221y x =- ； （C ）2y x =- ； （D ）()2 24y x x =+-． 6．如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE ∥BC ，且DCE B ∠=∠，那 么下列说法中，错误的是（ ▲ ） （A ）△ADE ∽△ABC ； （B ）△ADE ∽△ACD ； （C ）△ADE ∽△DCB ； （D ）△DEC ∽△CDB ． A B C D E 图1
A.1 2016年上海中考数学试卷及答案 一、选择题 1.如果a与3互为倒数，那么a是（） A.-3 B.3 C.- 1 【解析】3的倒数是 .故选D. 31 3 D. 1 3 2.下列单项式中，与a2b是同类项的是（） A.2a2b B.a2b2 C.ab2 D.3ab 【解析】含有相同字母，并且相同字母的指数也相同的单项式为同类项，所以，选A. 3.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（） A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+1)2+2 C.y=x2+1 D.y=x2+3【解析】抛物线y=x2+2向下平移1个单位变为y=x2+2-1，即为y=x2+1.故选C. 4.某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（） 次数人数2 2 3 2 4 10 5 6 A.3次 B.3.5次 C.4次 D.4.5次 【解析】平均数为：1 (2?2+3?2+4?10+5?6)＝4（次）.故选C. 20 5.如图,已知在?ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边 BC上，设BC=a，AD=b，那么向量AC用向量a、b表示为 （） 1 a+b B.a-b 22 11 C.-a+b D.-a-b 22 【解析】因为AB＝AC，AD为角平分线，所以，D为BC中点， 11 AC=AD+DC=AD+BC＝a+b.故选A. 22 6.如图，在Rt?ABC中，∠C=90?，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，
? ⊙ A 的半径长为 3，⊙ D 与⊙ A 相交，且点 B 在⊙ D 外，那么⊙ D 的半径长 r 的取值范围 是（ ） A. 1 < r < 4 B. 2 < r < 4 C. 1 < r < 8 D. 2 < r < 8 【解析】由勾股定理，得：AD ＝5， ⊙ D 与⊙ A 相交，所以，r ＞5－3＝2， BD ＝7－3＝4， 点 B 在⊙ D 外，所以，r ＜4，故有 2 < r < 4 .故选 B. 二、填空题 7.计算： a 3 ÷ a = 【解析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以，原式＝a 3-1 = a 2 .故填 a 2 . 8.函数 y = 3 x - 2 的定义域是 . 【解析】由分式的意义，得： x - 2 ≠ 0，即 x ≠ 2 .故填 x ≠ 2 . 9.方程 x - 1 = 2 的解是 . 【解析】原方程两边平方，得： x －1＝4，所以， x = 5 .故填 x = 5 . 10.如果 a = 1 ， b = -3 ，那么代数式 2a + b 的值为 2 1 【解析】 2a + b ＝ 2 ? - 3 ＝－2.故填－2. 2 . 11.不等式组 ?2x < 5 ? x -1 < 0 的解集是 . ? 5 ? x < 【解析】原不等式组变为： ? 2 ，解得： x < 1.故填 x < 1. ?? x < 1 12.如果关于 x 的方程 x 2 - 3x + k = 0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值是 . 【解析】因为原方程有两个相等的实数根，所以，Δ＝9－4k ＝0，所以，k ＝ 9 9 .故填 . 4 4
2016年中考数学专题复习 第一章 数与式 第一讲 实数 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如： 2 π 是 数，不是 数， 7 22 是 数，不是 数。2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数? 3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数? 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 a = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ? ? ????正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）