第一章 简谐振动与频谱分析
这一章是一些基础内容，主要介绍:(1)简谐振动的特点及表示方法、(2) 周期振动的谐波分析、(3) 非周期振动的谱分析、(4) 单位脉冲函数的定义、性质、应用等。
现实中很多结构振动（特别是人造的结构振动）是可以用函数关系表示的（揭示振动规律），根据运动表现形式振动可分为：（1）周期振动；（2）非周期振动。
而简谐振动是最简单的周期振动，重要的是周期振动可以分解为多个简谐振动的叠加。
§1.1 简谐振动的表示方法及合成
数学知识：
1．()sin()x t A t ω=+?
cos()sin()2
x
A t A t π
ωωωω=+?=+?+ 22sin()sin()x
A t A t ωωωωπ=-+?=+?+
2．cos sin i e i i θθθ
=+= ()i t Z Ae ω+?=； ()i t Z
i Ae ωω+?= ； 2()i t Z Ae ωω+?=- 3．2
cos 2sin
2sin sin B
A B A B A -?+=+ （和差化积） ―――――――――――――――――――――――――――
1. 简谐振动的表示 (1) 简谐振动的一般表示
简谐振动是周期振动中最简单的一种，它可以用正弦函数表示为
()s i n ()x t A t ω=+? （1.1） A ——振幅，ω——圆频率，?——初相位
ω又称角频率，它与频率f ，周期T 的关系为
22f T
π
ωπ== （1.2）
ω（rad/s ）
，f （Hz ），T （s ），为了方便，以后也称ω为频率。 从简谐振动的函数形式而言，若确定了振幅、频率及初相位这三者就完全确定了一个简谐振动，通常把振幅、频率和相位称为简谐振动的三要素。
图1-1
若x 是位移，则
速度 cos()sin()2x
A t A t π
ωωωω=+?=+?+ （1.3） 加速度 22sin()sin()x A t A t ωωωωπ=-+?=+?+ （1.4） 可见，简谐振动的速度也是简谐运动，其速度的相位超前位移2
π
，简谐振动的加速度也是简谐运动，其加速度的相位超前速度
2
π。 从位移、速度、加速度的表达式可以看到它们的频率是相同，幅值是频率的函数。为测量提供了依据。
根据加速度的式子，我们有
2x x ω=-
（1.5） 即加速度大小与位移成正比，但方向总与位移相反，始终指向平衡位置，上式改写为
2220d x
x dt
ω+= 显然这个微分方程的解是以ω为频率的正弦函数或余弦函数。 (2) 简谐振动的旋转矢量表示
简谐振动可以用平面上匀速旋转的矢量来表示。旋转矢量在x 轴的投影ON 即简谐振动。
利用旋转矢量能直观形象地表示简谐振动位移、速度、加速度之间的关系。
图1-2
(3) 复数表示 一个复数
()cos()sin()
i t Z Ae A t iA t i ωωω+?==+?++?=容易得到
Im()
Im()Im()x Z x Z x Z
=== （1.12） 简谐振动的复数表示方法较便于分析，在以后解方程时常用到。
2. 简谐振动的合成
（1） 两个相同频率的简谐振动的合成仍是简谐振动，并保持原来的频率，这个
很容易证明，自己看讲义。
（2） 频率不同的两个简谐振动的合成不再是简谐振动。频率比为有理数时，合
成为周期振动，频率比为无理数时，合成为非周期振动。 设
11112222sin()sin()
x A t x A t ωω=+?=+?
又设频率比为有理数
12m
n
ωω=（m 、n 为互质整数） 改写为： 2
1
1
1
n m ωω?
=?
， 2
1
22n m π
π
ωω?
=?
即 21n T m T ?=? 令 21T nT mT == 证 12x x x =+
12112212()()()
()()()()()
x t T x t T x t T x t mT x t nT x t x t x t +=+++=+++=+=
所以，T 就是1x 与2x 的合成后的周期，所以这时合成后的运动是周期运动。
当频率比为无理数时
12m n
ωω≠ 即找不到周期T ，所以这时合成的运动不是周期运动。
图1-3
（3） 频率很接近的两个简谐振动的合成会出现“拍”的现象。
设两个频率很接近的简谐振动为
11112222sin()sin()
x A t x A t ωω=+?=+?
设 122ωωε-= ε——小量
12111222sin()sin()x x x A t A t ωω=+=+?++?
改写 12
1122121122[sin()sin()]2
[sin()sin()]
2
A A t t A A t t ωωωω+=
+?++?-++?-+?
为了简单起见，仅考虑振幅1A 与2A 接近的情况，上式的第二项可以忽略不计，利用三角函数的基本关系
1212()()cos()sin()222x t A A t t ωωε1212?-?+?+??
?=++?+????
这是一个可以变振幅的简谐振动，振动频率为12
2
ωω+，振幅为12()A A +与零之
间缓慢地周期性变化，如书p12页图1-4所示，这种现象称为“拍”，振幅的包络为
12()()cos()2
A t A A t ε12
?-?=++
“拍”的周期为
πε
。[数学周期为2πε，对称所以取一半]。
对于1A 和2A 不接近的情况，合成振动是频率接近为12
2
ωω+的变幅振动。
“拍”的现象在振动试验中是很有用的。
πε
12
A A +
§1.2 周期振动的谐波分析
数学知识：
4．()()()x t E t O t =+
()E t ：关于原点的偶函数，数学特征：()()E t E t =- 例如：()()cos cos t t ωω=-
()O t ：关于原点的奇函数，数学特征：()()O t O t =-- 例如：()()sin sin t t ωω=-- 5．22
()sin()0T T n E t t dt ω-=?
00
20
2
2
()sin()()sin()()sin()T T T n n n E t t dt E t t dt E t t dt ωωω-
=---=-?
??
或：()sin()()sin()n n E t t E t t ωω--=- 是奇函数。
22
()cos()0T T n O t t dt ω-=?
00
20
2
2
()cos()()cos()()cos()T T T n n n O t t dt O t t dt O t t dt ωωω-
=---=-?
??
或：()cos()()cos()n n O t t O t t ωω--=- 是奇函数。
220
2
()cos()2()cos()T T T n n E t t dt E t t dt ωω-=?
?
220
2
2
20
2
22200
()cos()()cos()()cos()()cos()()cos()()cos()()cos()2()cos()T T T T n n n T T n n T T T n n n E t t dt E t t dt E t t dt
E t t dt E t t dt
E t t dt E t t dt E t t dt ωωωωωωωω--=+=---+=+=?
???????
或： ()cos()()cos()n n E t t E t t ωω--= 是偶函数。
220
2
()sin()2()sin()T T T n n O t t dt O t t dt ωω-=?
?
220
2
2
20
2
22200
()sin()()sin()()sin()()sin()()sin()()sin()()sin()2()sin()T T T T n n n T T n n T T T n n n O t t dt O t t dt O t t dt
O t t dt O t t dt
O t t dt O t t dt O t t dt
ωωωωωωωω--=+---+=+=?
???????
或： ()sin()()sin()n n O t t O t t ωω--= 是偶函数。 规律：偶偶得2（1＋1＝2）；奇奇得2（－1－1＝－2）；
偶奇得0（1－1＝0）；奇偶得2（－1＋1＝0）。
6． )s i n ()c o s (t n i t n e t in ωωω+=； )s i n ()c o s (t n i t n e t in ωωω-=-
∴ )(21)c o s (t in t in e e t n
ωωω-+=； )(2
)s i n (t in t in e e i
t n ωωω-=- ―――――――――――――――――――――――――――――――
一、周期函数的谐波分析
周期振动在工程中是很常见的，如旋转系统的振动信号，往复机械振动信号等等。对于周期振动可以表示为：
()()
1,2,3,x t x t nT n =±= (1.25)
T ——周期
图1-5
当周期信号满足狄利赫莱(Dirchlet)条件，则可进行傅里叶级数展开，即
0111
()(cos sin )2n n n a x t a n t b n t ωω∞
==++∑ （1.26）
式中，n a 、n b 称为傅里叶系数
0112()2()cos 2
()sin T T
n T n a x t dt T a x t n tdt T b x t n tdt T ττ
ττττωω+++?=???=?
??=??
??? （1.27）
其中12T
π
ω=
称为基频，τ为任一时刻 （1.26）式又可改写为
01n 1
()sin()2n n a x t c n t ω∞
==++?∑ （1.30
）
式中 1
n n
n n
a c tg
b -=?= 1n 0
()cos()n n x t c n t ω∞
==+?∑
00,02a c =
?= 可见，通过傅氏技术展开，周期振动被表示成一系列频率为基频整倍数的简谐振
动的叠加，n c 和n ?为频率为1n ω的简谐振动的振幅和相位。002
a
c =，为()x t 的平
均值，这个展开过程称为谐波分析。 通过傅立叶级数将周期振动展开成一系列简谐振动（谐波）的叠加，该过程称为谐波分析。
频谱图：
令1n ωω=?，由上式可见，每一简谐振动的振幅n c 和相位n ?与1n ωω=?相对应，即n c 和n ?是频率ω的函数。将这个函数关系图表示为
振幅频谱图——幅频谱 相位频谱图——相谱
0n c =≥ 即幅频谱都为正，谱线的间隔为12T
π
ω=
离散的垂直线称为谱线。
由频谱可知，一个周期振动中所包含全部简谐振动的频率分量，各种分量的幅值和相位都一目了然。
这种分析振动的方法称为频谱分析。
可以看到频谱分析实际上是将振动信号从时间域转换到频率域。 谐波分析（频谱分析）的功能（作用）： (1) 复杂信号从时间域转成频率域； (2) 转成频域后，信号的特征更加明显； (3) 分段线性的函数线性化；
(4) 将激振力分解，使得系统振动分析简化； (5) 故障诊断。
二、算例：对周期方波作谐波分析 已知：
002
()2
T
P t P t T
P
t T ?
≤≤
??=?
?-≤
现进行傅里叶展开，计算傅里叶系数应利用积分的一些性质，从而可简化计算，由图可知，在一周期内，方波所包含的总面积为零，所以有
212
2()cos 0T
T n a P t n tdt T ω-==? 1()cos P t n t ω 是奇函数
现计算n b
2
21010
2002110
1
11
24()sin sin 441
11
[cos ][cos ]2T T
T n T
b P t n tdt P n tdt
T T P P T n t n T n T n n ωωωωωωω-===
-=
-+??
考虑n 取偶数时：
01
111
411
cos 1,[cos ]02
2n P T
T n b n T n n ωωωω=∴==
-+= 考虑n 取奇数时：
0001
111148411
cos 1,[cos ]2
2n P P P T
T n b n T n n Tn n ωωωωωπ
=-∴=
-+==
0n
n n
n n
a c
b tg
b ==?== 所以周期方波的傅氏级数为
110
111()sin 411
(sin sin 3sin 5)35
n n P t b n t
P t t t ωωωωπ∞
===
+++∑
即周期方波是由频率为1ω的奇函数的简谐振动组成。
三、周期信号的傅里叶展开的复数形式表示
根据欧拉公式
1111111cos ();sin ()2
2
in t
in t in t in t i n t e e n t e e ωωωωωω--=
+=
- 周期信号的傅立叶展示：0111()(cos sin )2n n n a x t a n t b n t ωω∞
==++∑ （1.26）
可改写为 11011
()222in t in t
n n n n n n a a ib a ib x t e e
ωω∞∞-==-+=++∑∑ 由傅里叶级数的计算式可知
10102()cos()2
()sin()T
n n T n n a x t n t dt a T
b x t n t dt b T ωω--=
-==-=-??偶函数奇函数
则 22
n n n n
n a ib a ib X ----+=
= 设：002a X =； 2n n n a ib X -=； 2
n n
n a ib X -+=
所以，()x t 可写成
111110111
01
()in t
in t
n n n n in t in t
in t
n n
n
n n n x t X X e
X e X X e X e X e ωωωω
ω
∞
∞
--==∞
∞
==-∞
=-∞
=++=++
=
∑∑∑∑∑ （1.35）
12112
22
1()(cos sin )21
()T
n n T n T in t T a ib X x t n t i n t dt
T x t e dt T
ωωω----==-=
??
在（1.35）式中，每一项都是复数形式的简谐振动，系数n X 表示了频率为1n ω的简谐振动的复振幅，它的模和幅角为
112
arg n n n
n n X c b
X tg a -=
=-=
同样的可以作频谱图： n X ——1n ωω= 幅值谱 1n t g X -——ω 相位谱
这时，由n X 是ω的偶函数，1n tg X -是ω的奇函数，所以，幅值谱图中谱线对称地分布在正负两个频率区域内，且每条谱线n X 只是n c 的一半，但各谱线之间的长度之比不变。 谱线之间的距离12T
π
ω=，显然是周期T 越大，谱线之间的距离就会变得越来越密集。
§1.3 非周期振动与傅里叶积分
周期振动——频谱分析（傅里叶级数展开）
非周期振动——频谱分析（将周期看作为T =∞的周期信号）
设信号()x t ，取一段()T x t 在（2T -
，2
T
）内，()()T x t x t = 显然，()lim ()T T x t x t →∞
=
将()T x t 延拓为周期函数，这样就可以将()T x t 展开成傅里叶级数
1122()1()in t
T n n T
in t T n
T x t X e X x t e dt
T ωω∞
=-∞--?=?
?
??=??
∑? （1-41） 令1ωω?=， 1n n ωωω=?=，则π
ω
πω2211?==T
∴ 2
2
()2T i t T n T X x t e dt ωωπ--?=? 代入（1-41）
2
21
()()2T i t i t T T T x t x t e dt e ωωωπ
∞
---∞??=
?? ???
∑? 当 ,,()()T T d x t x t ωω→∞?→→时，上式求和转为求积，得到：
1
()()2i t i t x t x t e dt e d ωωωπ
∞∞
--∞-∞
=
???
令
()()i t X x t e dt ωω∞
--∞
=? 傅立叶正变换 （1.46）
1()()2i t x t X e d ωωωπ∞
-∞
=? 傅立叶逆变换 （1.47） （1.46）式称为傅里叶积分，也称为傅里叶变换。
用傅里叶积分表示非周期振动()x t ，()x t 由无穷多个频率为ω，振幅为()X d ωω的
简谐振动的叠加组成，也就是说，同周期振动表示成无穷简谐振动一样，非周期振动仍然能够表示成无穷简谐振动的叠加，但这些简谐振动的频率在(,)-∞∞内不再是离散分布，而是连续分布。
在这里，()X ω是ω的复函数，是ω的连续函数，这和周期振动是不一样的，
()X ω的模n X 和相角1()tg X ω-与ω的函数关系用图表示即得到()x t 的幅值谱图
和相谱图。
由于求()x t 傅里叶变换是()x t 由时域变换到频域的过程，通常，把对一个非周期函数求傅里叶变换称为频谱分析。
表示方法：1. 幅值谱，相位谱
2. 实部，虚部
3. 对数
这里要注意的，()x t 的变换要满足一个条件，即狄利赫利条件，并绝对可积
()X t dt ∞
-∞
<∞?
只要这个条件成立，才能保证()X ω的存在。
另外，傅里叶变换还可以写成自变量为频率f 的形式
22()()()()i f t i f t X f x t e dt x t X f e df ππ∞-?-∞∞
?-∞
?=?
??=???傅立叶正变换傅立叶逆变换
这种形式更为对称。
例1.1 单个矩形脉冲函数，求频谱图
12
12
-
()1110
1
02
22
02
t t t t x t x t t t -?-∞<<
??-?=<
解：
()1111
1111202
200222202
1
()1(()())2sin
2
t i t
i t t t t t t t i i i i i t
t X x t e
dt x e dt
x x
x e
e e e e i i i x t ωωωωωωωωωωω
ωω
∞
---∞-----====-=---=?? 实数 ()1
1
10
1
sin 22sin
2
2
t x t X t x t ωωωωω
=
=
()tan 0x ω=
由图可知，()X ω连续， ()X ω对称
ω
O
10
t x 1
12t π1
4t π1
2t π-
1
4t π-
可以看到 →1t 无穷小时，会是啥情况？
阶跃函数（广义富式变换）：
有些振动信号，不满足绝对可积的条件。如：阶跃函数
()0
1
t u t t
≥? 从理论上讲，它的傅氏变换不存在，即要用到广义傅氏变换。
()u t 可以表示为： ()()()0
l i m t
u t u t e βββ-→=>0， 转换为可积函数
()()()0
()()0
0[]1
1()()
t t i t t i t i t
i t
F u t e u t e e dt u t e e dt
e
dt e i i ββωβωβωβωβωβω
∞
∞
------∞
∞
∞
-+-+=====-++??? 这样即可得到阶跃函数()u t 的广义傅氏变换
()()0
011
[]lim []lim
t F u t F u t e i i ββββωω
-→→===+
对于一般地任意的振动信号()x t ，即它乘以t e β-即可傅氏变化：
()()t i t X x t e e dt βωω∞
---∞
=?
实际中，当0t <时，()x t 无意义或者不需要考虑。只要考虑0t >的情况。即认为：0t <时，()0x t =。 上式可写为：
()()()0
i t X x t e dt βωω∞
-+=?
令：s i βω=+
所以：()()0st x s x t e dt ∞
-=?
上式就是拉普拉斯变换，也可记为：()()[]X s L x t = 由上式可知，当s i ω=时，即可由拉式变换得到富式变换：
()()s i x X s ωω==
§1.4 δ函数及其应用
δ函数就是单位脉冲函数，它在理论分析方面很有用。（为数学上描述脉冲函数引入的）
δ函数的定义：
()0t t t τ
δττ∞=?-=?
≠?
且 ()1
t d t δτ∞
-∞
-=?
δ函数的单位为11
t s
=， 量刚：1/秒
其中，τ为任意实数
(t ετ-
(t εδ-
（a ） ()t δτ-函数的图象 (b) ()t εδτ-函数的图象
矩形脉冲保持脉冲面积为1，而脉冲宽度为ε趋于零时的极限，即
()()lim t t εεδτδτ→-=-
其中： 1
()0
t t t εττε
δτε
?≤≤+?
-=???为其它
δ函数的性质（筛选性）：对于连续函数()f t 1.
()()()f t t dt f δττ∞
-∞
-=?
()()()()()()11
()()()()
lim lim lim lim f t t dt f t t dt f t t dt
f t dt f f εεεετετ
εεδτδτδττθεε
ε
ε
τ∞
∞
∞
-∞
-∞
-∞
→→+→→-=-=-==+=?
?
?
?
（借用了数学上的拉格朗日中值定理）
2. 定义：
0()()lim t t t t t εδδεδδε→?(+)-()
'=
=?
换一个形式： 0()()lim t t t t t εδτδτεδτδτε
→?-(-+)-(-)
'-=
=?
()()()f t t dt f δττ∞
-∞
''-=-?
解释：
[][]00
()()()lim
1
lim
()1
lim
()
t t f t t dt f t dt
f t t t dt
f f f εεεδτεδτδτε
δτεδτετεττε
∞
∞
-∞
-∞
→∞
-∞
→→(-+)-(-)
'?-?=??=?(-+)-(-)?'=(-)-()=-?
?
?
更一般的形式：
()()()()()()()k k k f t t dt f δττ∞
-∞
-=-?
δ函数的这个性质非常重要。
δ函数的傅立叶变换
τ=0 时的情况 0[()]1i t i F t t e dt e ωωδδ∞
--∞
=()==?
这个说明：单位脉冲函数的频谱中包含着从零到∞的各种频率成分，并且各种频率的简偕振动分量的幅值都为1.
这是自振法测结构固有频率的依据之一。高频难测。 若 0τ≠
[]|[)]||cos()sin()|1i t i F t t e dt e F t i i i ωωτ
δτδτδτωτωτ?ωωτ
∞
---∞
(-)=(-)=(-=-+-=()=-?
即，当0τ≠时，δ函数的幅值仍为1. 即不论τ是否为零，幅值在0-∞
都为常数，
相位谱为零
但相位有变化。（这很正常，因为单位脉冲函数作用的时间变了）
δ函数的应用：
脉冲力的表示：在爆炸冲击力、撞击等可以近似地 脉冲力是一种作用时间无限短而具有有限冲量的力。 设脉冲力()P t 的冲量为U 则有：
()()/()
U P t t P t U t
t =?=??为冲击时间
当冲击时间无限短时，则0
()lim /)t P t U t U t δ?→=?=?(
除了在时间的某一点表示脉冲力之外，对于在空间的一点上集中的物理量和作用在结构上某点的集中力或集中力矩，同样可以借助于δ函数，描述这个δ函数的自变量应该换为空间坐标自变量。 例：
作用在梁上的集中力转成用分布力表示：()p x P x a δ=?(-)，
()L
L
p x dx P x a dx P δ=(-)=?
?
作用在梁上的集中力偶转成分布力偶表示：()m x m x b δ=(-)，
()L
L
m x dx M x a dx M δ=(-)=?
?
实验 应用FFT 对信号进行频谱分析 一、实验目的 1、在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT 算法及其程序的编写。 2、熟悉应用FFT 对典型信号进行频谱分析的方法。 3、了解应用FFT 进行新红啊频谱分析过程中可呢个出现的问题，以便在实际中正确应用FFT 。 二、实验原理 一个连续信号()a x t 的频谱可以用它的傅里叶变换表示为： ()()j t a a X j x t e dt +∞ -Ω-∞Ω=? （2-1） 如果对信号进行理想采样，可以得到离散傅里叶变换： ()()j n X e x n z ω +∞ --∞=∑ （2-2） 在各种信号序列中，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的。无限长的序列往往可以用有限长序列来逼近。对于有限长的序列我们可以使用离散傅里叶变换（DFT ），这一序列可以很好的反应序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机上实现当序列的长度是N 时，我们定义离散傅里叶变换为： 1 0()[()]()N kn N n X k DFT x n x n W -===∑ （2-3） DFT 是对序列傅里叶变换的灯具采样，因此可以用于序列的频谱分析。在利用DFT 进行频谱分析的时候可能有三种误差： （1）混叠现象 序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓，周期是2/T π，因此当采样频率不满足奈奎斯特定理，即采样频率1/s f T =小于两倍的信号频率时，经过采样就会发生频谱混叠。这导致采样后的信号序列不能真实的反映原信号的频谱。 （2）泄漏现象 泄漏是不能和混叠完全分开的，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混淆。为了减小混淆的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减到最小。 （3）栅栏效应 因为DFT 是对单位圆上Z 变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续的函数。这样就产生了栅栏效应。减小栅栏效应的一个方法是在源序列的末端补一些零值，从而变动DFT 的点数。 三、实验内容和结果 1、观察高斯序列的时域和频域特性 （1）固定高斯序列()a x n 中的参数p=8，当q 为2，4，8时其时域和幅频特性分别如图 2.1，图2.2所示：
振动分析 常见故障类型及频谱 一、常见的故障主要包括以下几类： 1）共振2）不平衡3）不对中4）轴弯曲 5）机械松动6）电动机问题7）滑动轴承问题 8）滚动轴承问题9）齿轮问题10）皮带问题11）风机问题12）泵的问题 二、频谱 1、共振 1.1 判断依据： 共振是旋转机械常见的问题。旋转部件如转轴的共振通常叫做临界转速。共振存在于一个结构的所有部件，甚至在管路和水泥地板等，重要的是要避免机器运行在导致共振的频率上。识别共振的简单方法是比较同一轴承三个方向水平、垂直和轴向的振动值，如果某一方向的振动大于其它方向的振动三倍以上，机器则可能在该方向存在共振。 1.2 频谱现象： 1.3 解决方法： 在可能的条件下改变机器的转速，常用的解决方法是改变机器结构的质量或刚度。 2、不平衡 2.1 判断依据： 当旋转部件的重心与旋转中心不一致，即质量偏心时产生不平衡。不平衡的转子产生离心力使轴承损坏，导致轴承寿命降低。仅仅百分之几毫米的重心位移可引起非常大的推动力。不平衡引起明显的转频振动。 2.2 频谱现象：
2.3 解决方法： 找动平衡 3、不对中 3.1 判断依据： 不对中是指两个耦合的轴的中心线不重合，如果州中心线平行称为平行不对中，如果轴中心线在一点相交则称为角不对中，现实中的不对中是两种类型的结合。 3.2 频谱现象： 4、轴弯曲 4.1 判断依据： 轴弯曲引起的振动类似不对中，轴弯曲可能是电动机转子笼条故障引起的转子受热不均导致的。如果弯曲发生在轴中心位置，主导振动是1 x RPM，如果弯曲发生在接近、连轴器，主导振动频率会是2 x RPM。 4.2 频谱现象： 5、机械松动 5.1 判断依据： 有两种机械松动，旋转和非旋转，旋转松动指在机器旋转和固定部件间存在太大的空间；非旋转松动指两个固定部件之间间隙太大。二者都在三个测量方向产生过大的1x RPM 谐频振动。 5.2 频谱现象：
用MATLAB 进行FFT 频谱分析 假设一信号： ()()292.7/2cos 1.0996.2/2sin 1.06.0+++=t t R ππ 画出其频谱图。 分析： 首先，连续周期信号截断对频谱的影响。 DFT 变换频谱泄漏的根本原因是信号的截断。即时域加窗，对应为频域卷积，因此，窗函数的主瓣宽度等就会影响到频谱。 实验表明，连续周期信号截断时持续时间与信号周期呈整数倍关系时，利用DFT 变换可以得到精确的模拟信号频谱。举一个简单的例子： ()ππ2.0100cos +=t Y 其周期为0.02。截断时不同的持续时间影响如图一.1：（对应程序shiyan1ex1.m ） 图 错误！文档中没有指定样式的文字。.1 140.0160.0180.02 截断时，时间间期为周期整数倍，频谱图 0.0250.03 0100200300400500600 7008009001000 20 40 60 80 100 截断时，时间间期不为周期整数倍，频谱图
其次，采样频率的确定。 根据Shannon 采样定理，采样带限信号采样频率为截止频率的两倍以上，给定信号的采样频率应>1/7.92，取16。 再次，DFT 算法包括时域采样和频域采样两步，频域采样长度M 和时域采样长度N 的关系要符合M ≧N 时，从频谱X(k)才可完全重建原信号。 实验中信号R 经采样后的离散信号不是周期信号，但是它又是一个无限长的信号，因此处理时时域窗函数尽量取得宽一些已接近实际信号。 实验结果如图一.2：其中，0点位置的冲激项为直流分量0.6造成（对应程序为shiyan1.m ） 图 错误！文档中没有指定样式的文字。.2 ?ARMA （Auto Recursive Moving Average ）模型： 将平稳随机信号x(n)看作是零均值，方差为σu 2的白噪声u(n)经过线性非移变系统H(z)后的输出，模型的传递函数为 020406080100120140160180200 0.4 0.50.60.7 0.800.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5 50100 150
转动设备常见振动故障频谱特征及案例分析 一、不平衡 转子不平衡是由于转子部件质量偏心或转子部件出现缺损造成的故障，它是旋转机械最常见的故障。结构设计不合理，制造和安装误差，材质不均匀造成的质量偏心，以及转子运行过程中由于腐蚀、结垢、交变应力作用等造成的零部件局部损坏、脱落等，都会使转子在转动过程中受到旋转离心力的作用，发生异常振动。 转子不平衡的主要振动特征： 1、振动方向以径向为主，悬臂式转子不平衡可能会表现出轴向振动； 2、波形为典型的正弦波； 3、振动频率为工频，水平与垂直方向振动的相位差接近90度。 案例：某装置泵轴承箱靠联轴器侧振动烈度水平13.2 mm／s，垂直11.8mm ／s，轴向12.0 mm／s。各方向振动都为工频成分，水平、垂直波形为正弦波，水平振动频谱如图1所示，水平振动波形如图2所示。再对水平和垂直振动进行双通道相位差测量，显示相位差接近90度。诊断为不平衡故障，并且不平衡很可能出现在联轴器部位。
解体检查未见零部件的明显磨损，但联轴器经检测存在质量偏心，动平衡操作时对联轴器相应部位进行打磨校正后振动降至2.4 mm／s。 二、不对中 转子不对中包括轴系不对中和轴承不对中两种情况。轴系不对中是指转子联接后各转子的轴线不在同一条直线上。轴承不对中是指轴颈在轴承中偏斜，轴颈与轴承孔轴线相互不平行。通常所讲不对中多指轴系不对中。 不对中的振动特征： 1、最大振动往往在不对中联轴器两侧的轴承上，振动值随负荷的增大而增高；
2、平行不对中主要引起径向振动，振动频率为2倍工频，同时也存在工频和多倍频，但以工频和2倍工频为主； 3、平行不对中在联轴节两端径向振动的相位差接近180度； 4、角度不对中时，轴向振动较大，振动频率为工频，联轴器两端轴向振动相位差接近180度。 案例：某卧式高速泵振动达16.0 mm／s，由振动频谱图(图3)可以看出，50 Hz（电机工频）及其2倍频幅值显著，且2倍频振幅明显高于工频，初步判定为不对中故障。再测量泵轴承箱与电机轴承座对应部位的相位差，发现接近180度。 解体检查发现联轴器有2根联接螺栓断裂，高速轴上部径向轴瓦有金属脱落现象，轴瓦间隙偏大；高速轴止推面磨损，推力瓦及惰性轴轴瓦的间隙偏大。检修更换高速轴轴瓦、惰性轴轴瓦及联轴器联接螺栓后，振动降到A区。 三、松动 机械存在松动时，极小的不平衡或不对中都会导致很大的振动。通常有三种类型的机械松动，第一种类型的松动是指机器的底座、台板和基础存在结构松动，或水泥灌浆不实以及结构或基础的变形，此类松动表现出的振动频谱主要为1x。第二种类型的松动主要是由于机器底座固定螺栓的松动或轴承座出现裂纹引起，其振动频谱除1X外，还存在相当大的2X分量，有时还激发出1／2X和3X振动
《M A T L A B电子信息应用》 课程设计 设计五 信号的频域分析及MATLAB实现 学院： 专业： 班级： 姓名： 学号：
信号的频域分析及MATLAB实现 一、设计目的 通过该设计，理解傅里叶变换的定义及含义，掌握对信号进行频域分析的方法。 二、课程设计环境 计算机 MATLAB软件 三、设计内容及主要使用函数 快速傅里叶变换的应用 1）滤波器频率响应 对特定频率的频点或该频点以外的频率进行有效滤除的电路，就是滤波器。其功能就是得到一个特定频率或消除一个特定频率，滤波器是一种对信号有处理作用的器件或电路。主要作用是：让有用信号尽可能无衰减的通过，对无用信号尽可能大的。 滤波器的类型：巴特沃斯响应（最平坦响应），贝赛尔响应，切贝雪夫响应。 滤波器冲激响应的傅里叶变换就是该滤波器的频率响应。
2)快速卷积 卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。其中表示f 的傅里叶变换。 这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。 利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n 的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n - 1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。 1. 信号的离散傅里叶变换 有限长序列的离散傅里叶变换公式为： kn N j N n e n x k X )/2(10)()(π--=∑= ∑==1_0)/2()(1)(N n kn N j e k X N n x π MATLAB 函数：fft 功能是实现快速傅里叶变换，fft 函数的格式为： ),(x fft y =返回向量x 的不连续fourier 变换。 若)6 cos()(πn n x =是一个N=12的有限序列，利用MATLAB 计算
天津城市建设学院 课程设计任务书 2012—2013学年第1学期 计算机与信息工程学院电子信息工程系电子信息科学与技术专业 课程设计名称：数字信号处理 设计题目：典型序列的频谱分析 完成期限：自2012 年12月17 日至2012 年12月28 日共2 周 设计依据、要求及主要内容： 一．课程设计依据 《数字信号处理》是电子信息类专业极其重要的一门专业基础课程，这门课程是将信号和系统抽象成离散的数学模型，并从数学分析的角度分别讨论信号、系统、信号经过系统、系统设计（主要是滤波器）等问题。采用仿真可帮助学生加强理解，在掌握数字信号处理相关理论的基础上，根据数字信号处理课程所学知识，利用Matlab产生典型信号并进行频谱分析。 二．课程设计内容 1、对于三种典型序列------单位采样序列、实指数序列、矩形序列，要求：（1）画出以上序列的时域波形图；（2）求出以上序列的傅里叶变换；（3）画出以上序列的幅度谱及相位谱，并对相关结果予以理论分析；（4）对以上序列分别进行时移，画出时移后序列的频谱图，验证傅里叶变换的时移性质；（5）对以上序列的频谱分别进行频移，求出频移后频谱所对应的序列，并画出序列的时域波形图，验证傅里叶变换的频移性质。 2、自行设计一个周期序列，要求：（1）画出周期序列的时域波形图；（2）求周期序列的DFS，并画出幅度特性曲线；（3）求周期序列的FT，并画出幅频特性曲线；（4）比较DFS和FT的结果，从中可以得出什么结论。 三．课程设计要求 1.要求独立完成设计任务。 2.课程设计说明书封面格式要求见《天津城市建设学院课程设计教学工作规范》附表1 3.课程设计的说明书要求简洁、通顺，计算正确，图纸表达内容完整、清楚、规范。 4.测试要求：根据题目的特点，编写Matlab程序，绘制结果图形，并从理论上进行分析。 5.课设说明书要求： 1)说明题目的设计原理和思路、采用方法及设计流程。 2)详细介绍运用的理论知识和主要的Matlab程序。 3)绘制结果图形并对仿真结果进行详细的分析。
实验九 典型信号的频谱分析 一. 实验目的 1. 在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的频谱特征，并能够从信号频谱中读取 所需的信息。 2. 了解信号频谱分析的基本原理和方法，掌握用频谱分析提取测量信号特征的方法。 二. 实验原理 信号频谱分析是采用傅里叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。 图1、时域分析与频域分析的关系 信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。时域信号x(t)的傅氏变换为： dt e t x f X ft j ?+∞ ∞--=π2)()( (1) 式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f 为频率。 工程上习惯将计算结果用图形方式表示， 以频率f 为横坐标，X(f)的实部)(f a 和虚部 )(f b 为纵坐标画图，称为时频－虚频谱图； 以频率f 为横坐标，X(f)的幅值)(f A 和相位 )(f ?为纵坐标画图，则称为幅值－相位谱； 以f 为横坐标，A(f) 2为纵坐标画图，则称为 功率谱，如图所示。 频谱是构成信号的各频率分量的集合，它 完整地表示了信号的频率结构，即信号由哪些 谐波组成，各谐波分量的幅值大小及初始相 位，揭示了信号的频率信息。 图2、信号的频谱表示方法
三. 实验内容 1. 白噪声信号幅值谱特性 2. 正弦波信号幅值谱特性 3. 方波信号幅值谱特性 4. 三角波信号幅值谱特性 5. 正弦波信号＋白噪声信号幅值谱特性 四. 实验仪器和设备 1. 计算机1台 2. DRVI快速可重组虚拟仪器平台1套 3. 打印机1台 五. 实验步骤 1.运行DRVI主程序，点击DRVI快捷工具条上的"联机注册"图标，选择其中的“DRVI 采集仪主卡检测”或“网络在线注册”进行软件注册。 2.在DRVI软件平台的地址信息栏中输入WEB版实验指导书的地址，在实验目录中选择 “典型信号频谱分析”，建立实验环境。 图5 典型信号的频谱分析实验环境 下面是该实验的装配图和信号流图，图中的线上的数字为连接软件芯片的软件总线数据线号，6017、6018为两个被驱动的信号发生器的名字。 图6 典型信号的频谱分析实验装配图
课程实验报告 题目：用Matlab进行 信号与系统的时、频域分析 学院 学生姓名 班级学号 指导教师 开课学院 日期 用Matlab进行信号与系统的时、频域分析 一、实验目的 进一步了解并掌握Matlab软件的程序编写及运行； 掌握一些信号与系统的时、频域分析实例； 了解不同的实例分析方法，如：数值计算法、符号计算法； 通过使用不同的分析方法编写相应的Matlab程序； 通过上机，加深对信号与系统中的基本概念、基本理论和基本分析方法的理解。 二、实验任务 了解数值计算法编写程序，解决实例； 在Matlab上输入三道例题的程序代码，观察波形图； 通过上机实验，完成思考题； 完成实验报告。 三、主要仪器设备
硬件：微型计算机 软件：Matlab 四、 实验内容 （1） 连续时间信号的卷积 已知两个信号)2()1()(1---=t t t x εε和)1()()(2--=t t t x εε，试分别画出)(),(21t x t x 和卷积)()()(21t x t x t y *=的波形。 程序代码： T=0.01; t1=1;t2=2; t3=0;t4=1; t=0:T:t2+t4; x1=ones(size(t)).*((t>t1)-(t>t2)); x2=ones(size(t)).*((t>t3)-(t>t4)); y=conv(x1,x2)*T; subplot(3,1,1),plot(t,x1); ylabel('x1(t)'); subplot(3,1,2),plot(t,x2); ylabel('x2(t)'); subplot(3,1,3),plot(t,y(1:(t2+t4)/T+1)); ylabel('y(t)=x1*x2'); xlabel('----t/s'); （2）已知两个信号)()(t e t x t ε-=和)()(2/t te t h t ε-=，试用数值计算法求卷积，并分别画出)(),(t h t x 和卷积)()()(t h t x t y *=的波形。 程序代码： t2=3;t4=11; T=0.01; t=0:T:t2+t4; x=exp(-t).*((t>0)-(t>t2)); h=t.*exp(-t/2).*((t>0)-(t>t4)); y=conv(x,h)*T; yt=4*exp(-t)+2*t.*exp(-1/2*t)-4*exp(-1/2*t); subplot(3,1,1),plot(t,x); ylabel('x(t)'); subplot(3,1,2),plot(t,h); ylabel('h(t)'); subplot(3,1,3),plot(t,y(1:(t2+t4)/T+1),t,yt,'--r'); legend('by numberical','Theoretical'); ylabel('y=x*h'); xlabel('----t/s'); （3）求周期矩形脉冲信号的频谱图，已知s T s A 5.0,1.0,1===τ
使用Matlab对采样数据进行频谱分析 1、采样数据导入Matlab 采样数据的导入至少有三种方法。 第一就是手动将数据整理成Matlab支持的格式，这种方法仅适用于数据量比较小的采样。 第二种方法是使用Matlab的可视化交互操作，具体操作步骤为：File --> Import Data，然后在弹出的对话框中找到保存采样数据的文件，根据提示一步一步即可将数据导入。这种方法适合于数据量较大，但又不是太大的数据。据本人经验，当数据大于15万对之后，读入速度就会显著变慢，出现假死而失败。 第三种方法，使用文件读入命令。数据文件读入命令有textread、fscanf、load 等，如果采样数据保存在txt文件中，则推荐使用 textread命令。如 [a,b]=textread('data.txt','%f%*f%f'); 这条命令将data.txt中保存的数据三个三个分组，将每组的第一个数据送给列向量a，第三个数送给列向量b，第二个数据丢弃。命令类似于C语言，详细可查看其帮助文件。文件读入命令录入采样数据可以处理任意大小的数据量，且录入速度相当快，一百多万的数据不到20秒即可录入。强烈推荐！ 2、对采样数据进行频谱分析 频谱分析自然要使用快速傅里叶变换FFT了，对应的命令即 fft ，简单使用方法为：Y=fft(b,N)，其中b即是采样数据，N为fft数据采样个数。一般不指定N，即简化为Y=fft(b)。Y即为FFT变换后得到的结果，与b的元素数相等，为复数。以频率为横坐标，Y数组每个元素的幅值为纵坐标，画图即得数据b的幅频特性；以频率为横坐标，Y数组每个元素的角度为纵坐标，画图即得数据b的相频特性。典型频谱分析M程序举例如下： clc fs=100; t=[0:1/fs:100]; N=length(t)-1;%减1使N为偶数 %频率分辨率F=1/t=fs/N p=1.3*sin(0.48*2*pi*t)+2.1*sin(0.52*2*pi*t)+1.1*sin(0.53*2*pi*t)... +0.5*sin(1.8*2*pi*t)+0.9*sin(2.2*2*pi*t); %上面模拟对信号进行采样，得到采样数据p，下面对p进行频谱分析 figure(1) plot(t,p); grid on title('信号 p(t)'); xlabel('t') ylabel('p')
兰州城市学院 课程设计报告 课程名称_____________数字信号处理__________ 设计题目典型序列的谱分析及特性 专业_____电子信息科学与技术____________ 班级电信111班 学号20110602050135 姓名_______________闫宝山_____________ 完成日期2015年1月1日
课程设计任务书 设计题目：_________ 典型序列的谱分析及特性_______________ _________________________________________________________ 设计内容与要求： 1对于三种典型序列------单位采样序列、实指数序列、矩形序列，要求： (1). 画出以上序列的时域波形图； (2). 求出以上序列的傅里叶变换； (3). 画出以上序列的幅度谱及相位谱，并对相关结果予以理论分析； (4). 对以上序列分别进行时移，画出时移后序列的频谱图，验证傅里叶变换的时移性质； (5). 对以上序列的频谱分别进行频移，求出频移后频谱所对应的序列，并画 出序列的时域波形图，验证傅里叶变换的频移性质。 2 自行设计一个周期序列,要求; (1).画出周期序列的时域波形图; (2).求周期序列的DFS,并画出幅度特性曲线; 1图(1).画出周期序列的时域波形图 课程设计评语 成绩：
指导教师：_______________ 年月日
目录 第1章设计任务及要求 (1) 1.1 设计任务 (1) 1.2 设计要求 (1) 第2章设计原理 (2) 2.1 三种典型序列的表达式及程序 (2) 2.1.1 单位采样序列 (2) 2.1.2 实指数序列 (2) 2.1.3 矩阵序列 (3) 2.2 时移、频移与傅里叶变换原理 (3) 2.2.1 时移原理 (3) 2.2.2 频移原理 (4) 2.2.3 傅里叶变换（DFT)原理 (4) 第3章设计实现 (5) 3.1 单位采样序列的谱分析及特性实现 (5) 3.2 实指数序列的谱分析及特性实现 (6) 3.3 矩阵序列的的谱分析及特性实现 (8) 第4章设计结果及分析 (10) 4.1 三种典型序列的结果 (10)
设计出一套完整的系统，对信号进行频谱分析和滤波处理； 1．产生一个连续信号，包含低频，中频，高频分量，对其进行采样，进行频谱分析，分别设计三种高通，低通，带通滤波器对信号进行滤波处理，观察滤波后信号的频谱。 2.采集一段含有噪音的语音信号（可以录制含有噪音的信号，或者录制语音后再加进噪音信号），对其进行采样和频谱分析，根据分析结果设计出一合适的滤波器滤除噪音信号。 %写上标题 %设计低通滤波器： [N,Wc]=buttord() %估算得到Butterworth低通滤波器的最小阶数N和3dB截止频率Wc [a,b]=butter(N,Wc); %设计Butterworth低通滤波器 [h,f]=freqz(); %求数字低通滤波器的频率响应 figure(2); % 打开窗口2 subplot(221); %图形显示分割窗口 plot(f,abs(h)); %绘制Butterworth低通滤波器的幅频响应图 title(巴氏低通滤波器''); grid; %绘制带网格的图像 sf=filter(a,b,s); %叠加函数S经过低通滤波器以后的新函数 subplot(222); plot(t,sf); %绘制叠加函数S经过低通滤波器以后的时域图形 xlabel('时间(seconds)'); ylabel('时间按幅度'); SF=fft(sf,256); %对叠加函数S经过低通滤波器以后的新函数进行256点的基—2快速傅立叶变换 w= %新信号角频率 subplot(223); plot()); %绘制叠加函数S经过低通滤波器以后的频谱图 title('低通滤波后的频谱图'); %设计高通滤波器 [N,Wc]=buttord() %估算得到Butterworth高通滤波器的最小阶数N和3dB截止频率Wc [a,b]=butter(N,Wc,'high'); %设计Butterworth高通滤波器 [h,f]=freqz(); %求数字高通滤波器的频率响应 figure(3); subplot(221); plot()); %绘制Butterworth高通滤波器的幅频响应图 title('巴氏高通滤波器'); grid; %绘制带网格的图像 sf=filter(); %叠加函数S经过高通滤波器以后的新函数 subplot(222); plot(t,sf); ;%绘制叠加函数S经过高通滤波器以后的时域图形 xlabel('Time(seconds)'); ylabel('Time waveform'); w; %新信号角频率 subplot(223);
MATLAB关于FFT频谱分析的程序 %***************1.正弦波****************% fs=100;%设定采样频率 N=128; n=0:N-1; t=n/fs; f0=10;%设定正弦信号频率 %生成正弦信号 x=sin(2*pi*f0*t); figure(1); subplot(231); plot(t,x);%作正弦信号的时域波形 xlabel('t'); ylabel('y'); title('正弦信号y=2*pi*10t时域波形'); grid; %进行FFT变换并做频谱图 y=fft(x,N);%进行fft变换 mag=abs(y);%求幅值 f=(0:length(y)-1)'*fs/length(y);%进行对应的频率转换 figure(1); subplot(232); plot(f,mag);%做频谱图 axis([0,100,0,80]); xlabel('频率(Hz)'); ylabel('幅值');
title('正弦信号y=2*pi*10t幅频谱图N=128'); grid; %求均方根谱 sq=abs(y); figure(1); subplot(233); plot(f,sq); xlabel('频率(Hz)'); ylabel('均方根谱'); title('正弦信号y=2*pi*10t均方根谱'); grid; %求功率谱 power=sq.^2; figure(1); subplot(234); plot(f,power); xlabel('频率(Hz)'); ylabel('功率谱'); title('正弦信号y=2*pi*10t功率谱'); grid; %求对数谱 ln=log(sq); figure(1); subplot(235); plot(f,ln);
实验3.2 典型信号频谱分析 一、 实验目的 1. 在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的波形和频谱特征，并 能够从信号频谱中读取所需的信息。 2. 了解信号频谱分析的基本方法及仪器设备。 二、 实验原理 1. 典型信号及其频谱分析的作用 正弦波、方波、三角波和白噪声信号是实际工程测试中常见的典型信号，这些信号时域、频域之间的关系很明确，并且都具有一定的特性，通过对这些典型信号的频谱进行分析，对掌握信号的特性，熟悉信号的分析方法大有益处，并且这些典型信号也可以作为实际工程信号分析时的参照资料。本次实验利用DRVI 快速可重组虚拟仪器平台可以很方便的对上述典型信号作频谱分析。 2. 频谱分析的方法及设备 信号的频谱可分为幅值谱、相位谱、功率谱、对数谱等等。对信号作频谱分析的设备主要是频谱分析仪，它把信号按数学关系作为频率的函数显示出来，其工作方式有模拟式和数字式二种。模拟式频谱分析仪以模拟滤波器为基础，从信号中选出各个频率成分的量值；数字式频谱分析仪以数字滤波器或快速傅立叶变换为基础，实现信号的时—频关系转换分析。 傅立叶变换是信号频谱分析中常用的一个工具，它把一些复杂的信号分解为无穷多个相互之间具有一定关系的正弦信号之和，并通过对各个正弦信号的研究来了解复杂信号的频率成分和幅值。 信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为： 式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f 为频率。 3. 周期信号的频谱分析 周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件： dt e t x f X ft j ?+∞ ∞--=π2)()(
频谱是频率谱密度的简称，是频率的分布曲线。复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡，这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱。频谱广泛应用于声学、光学和无线电技术等方面。频谱将对信号的研究从时域引入到频域，从而带来更直观的认识。把复杂的机械振动分解成的频谱称为机械振动谱，把声振动分解成的频谱称为声谱，把光振动分解成的频谱称为光谱，把电磁振动分解成的频谱称为电磁波谱，一般常把光谱包括在电磁波谱的范围之内。分析各种振动的频谱就能了解该复杂振动的许多基本性质，因此频谱分析已经成为分析各种复杂振动的一项基本方法 使用情况 频谱，又称振动谱[1] 。反映振动现象最基本的物理量就是频率，简单周期振动只有一个频率。复杂运动不能用一个频率描写它的运动情况，如下图1、图2中左图所示，而且我们也无法从振动图形上定量描写它们的特点，通常采用频谱来描写一个复杂的振动情况。任何复杂的振动都可以分解为许多不同振幅不同频率的简谐振动之和。为了分析实际振动的性质，将分振动振幅按其频率的大小排列而成的图象称为该复杂振动的频谱。振动谱中，横坐标表示分振动的圆频率，纵坐标则表示分振动振幅。对周期性复杂振动，其频率为f，则按照傅里叶定理，由它所分解的各简谐振动的频率是f的整数倍，即为f，2f，3f，4f，…，其振动谱是分立的线状谱，图中每一条线称为谱线。对于非周期性振动(如阻尼振动或短促的冲击)，按照傅里叶积分，它可以分解为频率连续分布的无限多个简谐振动之和。由于谱线变得无限多，这时振动谱不再是分立的线状谱，各谱线密集使其顶端形成一条连续曲线，即形成所谓的连续谱，连续谱曲线即为各种谱线的包络线;而它也有可能分解为频率不可通约的许多简谐振动而形成分立谱。[1] 频谱利用率
Matlab 信号处理工具箱 谱估计专题 频谱分析 Spectral estimation （谱估计）的目标是基于一个有限的数据集合描述一个信号的功率（在频率上的）分布。功率谱估计在很多场合下都是有用的，包括对宽带噪声湮没下的信号的检测。 从数学上看，一个平稳随机过程n x 的power spectrum （功率谱）和correlation sequence （相关序列）通过discrete-time Fourier transform （离散时间傅立叶变换）构成联系。从normalized frequency （归一化角频率）角度看，有下式 ()()j m xx xx m S R m e ωω∞ -=-∞ = ∑ 注：()() 2 xx S X ωω=，其中( )/2 /2 lim N j n n N n N X x e ωω=-=∑ πωπ-<≤。其matlab 近似为X=fft(x,N)/sqrt(N)，在下文中()L X f 就是指matlab fft 函数的计算结果了 使用关系2/s f f ωπ=可以写成物理频率f 的函数，其中s f 是采样频率 ()()2/s jfm f xx xx m S f R m e π∞ -=-∞ = ∑ 相关序列可以从功率谱用IDFT 变换求得： ()()()/2 2//2 2s s s f jfm f j m xx xx xx s f S e S f e R m d df f πωπ π ωωπ--= =? ? 序列n x 在整个Nyquist 间隔上的平均功率可以表示为 ()()() /2 /2 02s s f xx xx xx s f S S f R d df f π π ωωπ--= =? ?
一、实验目的 （1）在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT 的理解，熟悉FFT 子程序。 （2）熟悉应用FFT 对典型信号进行频谱分析的方法。 （3）了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT 。 （4）熟悉应用FFT 实现两个序列的线性卷积的方法。 （5） 初步了解用周期图法做随机信号谱分析的方法。 二、实验原理 1、对有限长序列，可以用离散傅里叶变换DFT 。不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列x(n)的长度为N 时，它的DFT 定义为 N j N N n kn N e W W n x k π210,)(X --===∑）（ 逆变换为： ∑-=-=10)(1)(N k kn N W k X N n x 有限长序列的DFT 使其z 变换在单位圆上的等距采样。因此可用于序列的谱分析。 2、用FFT 计算线性卷积 用FFT 可以实现两个序列的圆周卷积。在一定的条件下，可以使圆周卷积等于线性卷积，一般情况，设两个序列的长度分别为N1和N2，要使圆周卷积等于线性卷积的充要条件是FFT 的长度N 大于等于N1加N2.对于长度不足N 的序列，分别用FFT 对它们补零延长到N 。 三、实验内容 1、已知有限长序列x(n)=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0],要求： ①用FFT 求该序列的DFT 、IDFT 图形 ②假设采样频率F=20Hz,序列长度N 分别取8、32和64，用FFT 计算其幅度频谱和相位频谱。 ①程序
实验截图：
DFT、IDFT图形 实验截图： 幅度频谱和相位频谱。 2、用FFT计算下面连续信号的频谱，并观察不同的采样周期T和序列长度N值对频谱特性的影响。 程序：
利用matlab怎样进行频谱分析 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。 这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。另外我还想说明以下几点： 1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明： 若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 2、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。 从计算机处理精度上就不难理解，一个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不同频率，再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围）X[]数组又分两种，一种是表示余弦波的不同频率幅度值：Re X[]，另一种是表示正弦波的不同频率幅度值：Im X[]，Re是实数(Real)的意思，Im是虚数(Imagine)的意思，采用复数的表示方法把正余弦波组合起来进行表示，但这里我们不考虑复数的其它作用，只记住是一种组合方法而已，目的是为了便于表达（在后面我们会知道，复数形式的傅立叶变换长度是N，而不是N/2+1）。
数字信号处理实验五 用FFT做频谱分析 实验目的： (1)通过本实验，加深对DTFT和IDFT以及DFT和FFT的理解，熟悉FFT子程序 (2)熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法 (3)了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT (4)熟悉应用FFT实现两个序列线性卷积的方法 (5)初步了解用周期图法做随机信号频谱分析的方法 实验内容： (1)已知有限长序列x(n)=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0],要求:用FFT求该序列的DFT、IDFT的图形。 程序如下: xn=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]; n=length(xn); k=0:n-1; subplot(2,2,1); stem(k,xn,'k.'); title('x(n)'); Xk=fft(xn,n); subplot(2,1,2); stem(k,abs(Xk)); title('Xk=DFT(xn)'); xn1=ifft(Xk,n); subplot(2,2,2);
stem(k,xn1); title('x(n)=IDFT(Xk)'); 波形如下： 假设采样频率Fs=20Hz,序列长度N分别取8、32和64，用FFT计算幅度谱和相位谱。 程序如下: clear;close all fs=20; T=1/fs; N=[8,32,64]; for m=1:3 x=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]; x1=fft(x,N(m));
x2=ifft(x,N(m)); subplot(3,2,2*m-1); stem([0:N(m)-1],abs(x1),'o'); title('幅度谱'); subplot(3,2,2*m); stem([0:N(m)-1],abs(x2),'o'); title('相位谱'); end 波形如下: (2)用FFT计算下面连续信号的频谱，并观察选择不同的采样周期Ts和序列长度N值对频谱特性的影响: =-t + t + t x e t t t (sin 2.2 ), sin 1.2 2 sin )(01.0≥ a 程序如下: clear;close all fs=4;T=1/fs; Tp=4;N=Tp*fs; N1=[N,4*N,8*N]; T1=[T,2*T,4*T]; for m=1:3 n=1:N1(m); x1=exp(-0.01*T);
典型振动频谱图范例（经典中的经典！） 频谱图（Spectrum）依照物理学，旋转中物体的振动，是呈现正弦波形。在转动机械上所量测到的振动波形，是许多零件的综合振动。利用数学方法，可以将合成振动，利用数学方法（傅立叶转换，Fourier Transform）分解成不同零件各自的正弦波形振动。 如上图中，(a)为由机械所量测之总振动，可以分解成不同转速频率的振动(b)。 (b)图中的正弦波，由右侧方向观察，其端视图为(c)，亦即所谓的频谱图（Spectrum）。频谱图的横轴为代表转速的频率，纵轴表振动量。若在机械主轴转速的频率出现高峰图形，表示转轴发生大的振动量。若在倍数於主轴转速处出现高峰，而其倍数为叶轮数，代表叶轮为振动来源。若在频率极高区域出现高峰，则一般为轴承发生
问题。 ? ? ?? ?? ?? ??频谱分析利用频谱图中频率分布特性，可以判断机器之振源。常见频谱图形如下表摘要说明： ?? 问题频谱??&??相位摘要说明 转子不平衡，分为两轴承间、两轴承外～ ?? 两轴承间不平衡，细分为三种： 1.静不平衡Static Unblance 振动频率为 1倍转速（1×RPM）。 径向振动大，轴向小。两轴承径向呈同相（In Phase）运动，两相角相差0°，同轴承垂直与水平相位差90°。
2.偶不平衡Couple Unblance 径向振动大，轴向有可能大。 振动频率为 1倍转速（1×RPM）。 两轴承径向呈反相（Out of Phase）运动，两相角相差180°，同轴承垂直与水平相位差90°。 3.动不平衡同上径向振动大，轴向有可能大。 振动频率为 1倍转速（1×RPM）。 两轴承径向呈不同相运动。 两轴承 外不平衡 ? ? ?? ??Overh 轴向及径向振动大。振动频率为 1倍转速（1×RPM）。 两轴承径向呈同相（In Phase）运动，
原语音信号 [y,fs,bits]=wavread('C:\Users\Administrator\Desktop\111.wav'); >> sound(y,fs,bits); >> n=length(y) n = 92611 >> Y=fft(y,n); >> subplot(2,1,1);plot(y); >> subplot(2,1,2);plot(abs(Y));
加噪声 >> [y,fs,bits]=wavread('C:\Users\Administrator\Desktop\111.wav'); >> sound(y,fs,bits); >> n=length(y) n = 92611 >> Noise=0.2*randn(n,2); >> s=y+Noise; >> sound(s) >> subplot(2,1,1); >> plot(s) >> S=fft(s); >> subplot(2,1,2); >> plot(abs(S)) >> title('加噪语音信号的频谱波形')
FIR 低通滤波器 fp=1000;fc=1200;As=100;Ap=1;fs=30000; >> wc=2*fc/fs;wp=2*fp/fs; >> N=ceil((As-7.95)/(14.36*(wc-wp)/2))+1; >> beta=0.1102*(As-8.7); >> Win=Kaiser(N+1,beta); b=fir1(N,wc,Win); >> freqz(b,1,512,fs); >> s_low=filter(b,1,s); >> plot(s_low);title('信号经过低通滤波器的时域图') >> S_low=fft(s_low,n); >> plot(abs(S_low));title('信号经过低通滤波的频谱') >> sound(s_low,fs,bits)