导数(二) 一．原函数和其导函数图象之间的关系
二．利用导数研究函数的单调性
1. 已知函数x
e k x x
f +=ln )(，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行。 （1）求实数k 的值
（2）讨论)(x f 的单调性
三．利用导数与函数单调性的关系求参
1. 若函数x ax x x f 1)(2+
+=在),21(+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
2. 已知函数)0(2ln )(2≠--=a x ax x x f 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围
3. 若函数5234)(23+-+-
=x bx x x f 有3个单调区间，则实数b 的取值范围为（ ）
4. 若函数x x x f ln 2)(2-=在定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）
5. 已知函数)1)(1ln()1()(-≥++-=a x a ax x f ，求)(x f 的单调性
6. 已知R a ∈，讨论函数3)2(2
1331)(223++++-=
x a a x a x x f 的单调性
7. 设函数)()2(ln )(2R a x a ax x x f ∈-+-=,求函数)(x f 的单调性。
8. 已知函数x x x h x x f 2)(,ln )(-==。
（1）判断函数)(x h 的单调性
（2）求证：当21e x <<时，不等式)
(2)(2x f x f x -+<
恒成立。
四．含参数的函数的极值与最值 1. 若函数?????>≤++=)
0()0(132)(23x e x x x x f ax 在[-2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围为（ ）
2. 已知函数a ax x x f +-=2)(3在（0，1）内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是（ ）
3. 已知函数c x x x f +-=3)(3的图象与x 轴恰有两个交点，则c 的值为（ ）
4. 已知函数x x x f ln 1)(+=在区间)0)(32,(>+a a a 上存在极值，则实数a 的取值范围是（ ）
5. 已知函数)()(R a x
a x x f ∈+
=,求)(x f 在]2,1[上的最大值与最小值
6. 已知函数)1(ln )(x a x x f -+=，R a ∈
(1) 讨论)(x f 的单调性
(2) 当)(x f 有最大值，且最大值大于22-a 时，求实数a 的取值范围
能力提升
1. 已知0ln 1)1(≤--+x x a 对任意]2,2
1[∈x 恒成立，则实数a 的最大值是（ ）
2. 若函数a x x x x f --+-=1096)(23有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
3. 设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)('x f ，且函数)()1('x f x y -=的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A 函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)1(f
B 函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)1(f
C 函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)2(-f
D 函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)2(f 4. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,有0)()(2
'>-x x f x xf ,则不等式0)(2>x f x 的解集是( )
导数单调性练习题 1．函数f(x)＝ax 3 －x 在R 上为减函数.则( ) A ．a≤0 B ．a ＜1 C ．a ＜0 D ．a≤1 2．函数x x x f ln )(=.则（ ） （A ）在),0(∞上递增； （B ）在),0(∞上递减； （C ）在)1,0(e 上递增； （D ）在)1,0(e 上递减 3.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ Ｄ.(0,2) 4、设函数f (x )在定义域可导.y ＝f (x )的图象如右图.则导函数f ′(x )的图象可能是( ) 5．设函数()y f x =的图像如左图.则导函数'()y f x =的图像可能是下图中的（） 、 6、曲线y ＝13x 3＋x 在点? ????1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23 7、函数f (x )＝x 2 －2ln x 的单调减区间是________ 8、函数y ＝x sin x ＋cos x .x ∈(－π.π)的单调增区间是________ 9、已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x .若函数f (x )在(0,1)上单调.则实数a 的取值围是________________
10.________________ 11、求下列函数的导数 （1）y（2）y=sin3(3x 12(1,1)处的切线方程？ 13.. 切线方程；
1 【解析】 ,成立; 根据题意可知 考点：导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立. 2．D 【解析】 试题分析：解得则函数的单 解得则函数的单调递减区间为故选 D. 考点：导数与函数的单调性. 3．D 【解析】 .函数先增.再减.再增.对应的导数值.应该是先大于零.再小 于零.最后大于0.故选D. 考点：导数与函数的单调性. 4．D 【解析】 . 【考点】利用导数判断函数的单调性． 5．B 【解析】 试题分析：函数的定义域为.所以即
导数的应用（单调性与极值） 一、求函数单调区间 3－3x的单调递减区间是________________ x1、函数y＝ x的单调递增区间是_______________ －3)e(x)＝(x2、函数f 3、函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为() 11A．(0，) B．(，＋∞) aa1B．C．(－∞，) D．(－∞，a) a 4、函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调增区间为________． 2x x5、求函数f(x)＝x(e－1)－的单调区间． 2 a6、已知函数f(x)＝＋x＋(a－1)ln x＋15a，其中a<0，且a≠－1.讨论函数f(x)的x单调性．
二、导函数图像与原函数图像关系 1 导函数正负决定原函数递增递减导函数大小等于原函数上点切线的斜率 导函数大小决定原函数陡峭平缓 1、若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a， b]上的图象可能是() 2、若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是() 2x cos x)·，则函数y＝g(g在其任一点＋1(x，y)处切线斜率为(x)＝3、设曲线yx) (的部分图象可以为
) 的图象，如图所示，则(xx)的导函数f′()f4、函数 ( 0是极小值点B．x＝x＝1是最小值点 (1,2)上单增在xf D 是极小值点＝．C x2 ．函数()三、恒成立问题2
123+bx+cxf(x)=x-b-∞，+∞）上是增函数，求.若f(x)1、已知函数在（2; 的取值范围
导数的应用—单调性与极值的习题课 【复习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的 单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三 次的多项式函数的极大值、极小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；④利用导数证明函数的单调性； ⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题； 【基础过关】1． 函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则) (x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ； ② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区 间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念 设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称 )(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '； ② 求方程)(x f '＝0的 ； ③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负， 那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函 数y ＝)(x f 在这个根处取得 . 【基础训练】 例1．如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数, ()y f x =的图像可能是（ ） 例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( )
高中数学函数的单调性与导数测试题（附答 案） 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是() A．b2－4ac0 B．b0，c0 C．b＝0，c D．b2－3ac0 [答案] D [解析]∵a0，f(x)为增函数， f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立， ＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0. 2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋) [答案] D [解析]考查导数的简单应用． f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex， 令f(x)0，解得x2，故选D. 3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k ＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为() A．[－1，＋) B．(－，2]
C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋) [答案] B [解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]． 4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是() [答案] C [解析]当01时xf(x)0 f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数 当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C. 5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是() A.－，－2和0，2 B.－2，0和0，2 C.－，－2， D.－2，0和 [答案] A [解析]y＝xcosx，当－x2时， cosx0，y＝xcosx0， 当02时，cosx0，y＝xcosx0. 6．下列命题成立的是() A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0
导数与单调性极值最基础值习题 评卷人得分 一.选择题(共14小题) 1.可导函数ｙ=ｆ（x）在某一点的导数值为０是该函数在这点取极值的() A．充分条件B．必要条件 C.充要条件?Ｄ．必要非充分条件 2.函数y＝1＋3ｘ﹣x3有( ) A．极小值﹣1，极大值3?B．极小值﹣2,极大值３ C.极小值﹣1，极大值１ D.极小值﹣2，极大值2 ３.函数f（x）＝ｘ3+ax2﹣３ｘ﹣9，已知f（ｘ)的两个极值点为x1，x２,则x1?ｘ2＝（） Ａ.9 B．﹣９C．1 Ｄ．﹣1 4．函数的最大值为（） A．?Ｂ．e２C．e D．ｅ﹣1 5.已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点，则ａ=（) Ａ．﹣4 B．﹣2 Ｃ．4 Ｄ.2 6．已知函数y=x３﹣3x+c的图象与ｘ轴恰有两个公共点，则c=（) A.﹣2或2? B.﹣9或3 C.﹣１或1 D．﹣3或1 7．设函数f(ｘ）＝xeｘ,则() A.x＝１为f（x)的极大值点 B.ｘ＝１为f(x）的极小值点 C．x=﹣1为f（x)的极大值点?D．x=﹣１为f(x）的极小值点 8.函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值,则实数a的取值范围是（) A.(0，3）?Ｂ.(0，)?C.(0，+∞）?D．（﹣∞,3) ９.已知函数ｆ(x）＝x3+ax２+bx+ａ2在x=1处有极值１0,则f（2)等于（) Ａ.11或18?B．１1 C.1８?D．17或18 １０．设三次函数f(ｘ）的导函数为f′(x)，函数y=x?ｆ′(x)的图象的一部分如图所
示，则正确的是（） A.f（x）的极大值为，极小值为 B．ｆ(x）的极大值为,极小值为 C.f（ｘ)的极大值为f（﹣3),极小值为f(3） D．f（x）的极大值为f（3）,极小值为f(﹣3） 1１．若ｆ（x)=ｘ3+２ax2+3（a+２）x+１有极大值和极小值,则ａ的取值范围是( ）A．﹣a
2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 二轮复习导数 （一） 2015. 02. 07 一、 运用导数研究函数的单调性 单调区间： （1） 求单调区间 （2）已知单调区间 （3）在某区间上不单调 运用导数求函数单调区间的思维流程图： 答题步骤： 第一步：求定义域； 第二步：求)(x 'f ； 第三步：令)(x 'f ＝０，求相应的导函数零点值；（是一次型还是二次型？是否有解？有几个解） 第四步：列表分析函数的单调性， （列表实际上就是画数轴，也可以认为是穿根解不等式，首先要做的是比较根的大小以及根于定义域边界的大小） 第五步：由表格写结论。 例1：（2012西城一模）已知函数()e (1)ax a f x a x =?++，其中1-≥a . 求)(x f 的单调区间. 解：2 (1)[(1)1] ()e ax x a x f x a x ++-'=，0x ≠．……………6分 ①当1-=a 时，令()0f x '=，解得1x =-． )(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．……8分 当1a ≠-时，令()0f x '=，解得1x =-，或1 1 x a = +． ②当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1 ( ,)1 a +∞+； 单调递增区间为(1,0)-，1 (0, )1 a +．………10分 ③当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间．…………11分 ④当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1 (0, )1 a +； 单调递增区间为(,1)-∞-，1 ( ,)1 a +∞+．…………13分 1）分类讨论的特点：二次项系数不确定 ，一元二次方程根的大小确定 。 例2：（2012-2013朝阳第一学期期末）已知函数1 ()()2ln ()f x a x x a x =--∈R ．求函数()f x 的单调区间. 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．222 122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-= （1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立， 则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………4分 （2）当0a >时，244a ?=-， （ⅰ）若01a <<， 由()0f x '>，即()0h x >，得1x a <或1x a +>；………………5分 由()0f x '<，即()0h x 《函数的单调性与极值》教学案设计 教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 教学重点：利用导数判断函数单调性； 教学难点：利用导数判断函数单调性 教学过程： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 高中数学-函数的单调性与导数练习 A 级 基础巩固 一、选择题 1．在下列结论中，正确的有( A ) (1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的，则原函数也是单调的． A ．0个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [解析] 分别举反例：(1)y ＝ln x ，(2)y ＝1x (x >0)，(3)y ＝2x ，(4)y ＝x 2 ，故选A ． 2．函数f (x )＝ax 3 －x 在R 上为减函数，则( A ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2 D ．a ≤13 [解析] f ′(x )＝3ax 2 －1≤0恒成立，∴a ≤0． 3．(2017·宣城高二检测)函数f (x )＝2x ＋x 3 －2在区间(0,1)内的零点个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力． ∵f (x )＝2x ＋x 3－2,0 用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤 （833200）新疆奎屯市第一高级中学 特级教师 王新敞 极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 用导数判别f (x 0)是极大、极小值的思路: 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值；在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与 )(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值 例1 求列函数的极值：（1）22)2()1(--=x x y ；（2）21 22 -+= x x y 解：（1）2 / 2 2 )2)(75)(1()(,)2()1()(---=∴--=x x x x f x x x f 令0)(/ =x f ，得驻点2,5 7 ,1321== =x x x 函数单调性与导数练习题 一、选择题 1.下列说法正确的是 A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值 B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值 C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值 D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2.下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是 ①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2x A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 3.函数y = 2 )13(1 -x 的导数是 A. 3)13(6-x B.2)13(6-x C.－3)13(6-x D.－2 )13(6 -x 4.函数y =sin 3(3x + 4π )的导数为 A.3sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) B.9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π ) C.9sin 2(3x +4π) D.－9sin 2(3x +4π)cos(3x +4 π ) 5．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x )为R 上增函数的充要条件是( ) A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c >0 C ．b ＝0，c >0 D ．b 2－3ac <0 6．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞) 7.已知函数y ＝f (x )(x ∈R)上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率 k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2， 则 该函数的单调递减区间为( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，2] C ．(－∞，－1)和(1,2) D ．[2，＋∞) 小题快练 1．(2013全国Ⅰ卷理)设曲线1 1 x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．1 2 - D ．2- 2．(2013全国Ⅰ卷改编)设函数2 )1()(x e x x f x --=，则函数()f x 的单调递增区间 为 ,单调递减区间为 . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表: 右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. 3.(2013湖北理)若f(x)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（C ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1） 4.已知函数x bx ax x f 3)(2 3 -+=在1±=x 处取得极值. （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数f (x )的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线y= f (x )的切线，求此切线方程. （1）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即 ?? ?=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(2 3 -+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x . 若),1()1,(∞+--∞∈Y x ，则0)(>'x f ，故 f (x )在)1,(--∞上是增函数， f (x )在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故f (x )在)1,1(-上是减函数. 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值. （2）解：曲线方程为x x y 33 -=，点)16,0(A 不在曲线上. 设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03 003x x y -=. 因)1(3)(2 00-='x x f ，故切线的方程为))(1(3020 0x x x y y --=- 注意到点A （0，16）在切线上，有 )0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得83 0-=x ，解得20-=x . 所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x . 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是() A．b2－4ac>0B．b>0，c>0 C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0 [答案] D [解析]∵a>0，f(x)为增函数， ∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立， ∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0. 2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是() A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) [答案] D [解析]考查导数的简单应用． f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x， 令f′(x)>0，解得x>2，故选D. 3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为() A．[－1，＋∞) B．(－∞，2] C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞) [答案] B [解析]令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]． 4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x) 的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( ) [答案] C [解析] 当0 教学过程 一、课堂导入 问题：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断2x y=的单调性，如何进行？ 因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？ 如果遇到函数x y3 x 3- =，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？ 定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢？ 二、复习预习 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢? 三、知识讲解 考点1 利用导数研究函数的单调性 如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的． 利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分． 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小． 注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行． ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点； ③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点． (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 《函数的单调性与导数》练习题 一、选择题： 1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ Ｄ.(0,2) 2.（09广东文8）函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（ ） A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 3 .(文科)设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如右图，则导函数f ′(x )的图象可能是( ) (理科)设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ) 4.对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（） ≥0，则必有（ ） A.f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1） 5.已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A.()0()0f x g x ''>>， B.()0()0f x g x ''><， C.()0()0f x g x ''<>， D.()0()0f x g x ''<<， 6.设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()0,g x ≠，当0 专题十四、导数用于单调性和极值问题 题型一 利用导数判断函数的单调性 1.证明：函数f (x )＝sin x x 在区间??? ?π2，π上单调递减． 题型二 利用导数求函数的单调区间 2.求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝x 3－x ；(2)y ＝e x －x ＋1. ！ 3.求函数y ＝x 2－ln x 2的单调区间． 题型三 已知函数单调性求参数的取值范围 4.已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围． 5.(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值． (2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围． … 题型四 用单调性与导数关系证不等式 6.当x ＞0时，证明不等式ln(x ＋1)＞x －1 2x 2. 7.当0＜x ＜π2时，求证：x －sin x ＜1 6x 3. ； 题型五、函数的极值问题 8．下列函数存在极值的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝1x C ．y ＝3x －1 D ．y ＝x 2 9．设函数f (x )＝2 x ＋ln x ，则( ) A ．x ＝1 2为f (x )的极大值点 B ．x ＝1 2为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点 … 10．若函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 11．函数y ＝x ·e x 的最小值为________． 12．若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞]上的最大值为33，则a 的值为________． 题型六、利用极值求参数范围 13.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y ＝f (3π 4－x )是( ) A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称 … B ．偶函数且图象关于点(3π 2，0)对称 C ．奇函数且图象关于点(3π 2，0)对称 D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称 14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性． (1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围． 题型七、导数用于解决实际问题 15．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) ? A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 16．一工厂生产某型号车床，年产量为N 台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C 2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)．设每年每台的库存费为C 1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床________ 导数的单调性及极值 1．已知函数()cos x f x xe =（e 为自然对数的底数），当[],x ππ∈-时， ()y f x =的图象大致是（） A. B. C. D. 2．函数x y xe -=，[0,4]x ∈的最小值为（ ） A ．0 B ．1e C.44e D ．22 e 3．已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数'()y f x =的图象如图所示， 则该函数的图象是（ ） A ． B ． C. D ． 4．函数32()f x x bx cx d =+++图象如图，则函数222log ()33 c y x bx =++的单调递减区间为（ ） A.(,2]-∞- B.[3,)+∞ C.[2,3]-- D.1[,2+∞） 5．函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ，导函数'()f x 在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(,)a b 内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个 6．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足10'() x f x -≤，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +> B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +< D ．(0)(2)2(1)f f f +≥ 7．已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式() ()2230x x f x '-->的解集为 A ．() (),21,-∞-+∞ B ．()(),21,2-∞- C ．()()(),11,13,-∞--+∞ D ．()()(),11,02,-∞--+∞ 8．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 A ．21<<-a B ．63<<-a C ．3-a D ．1-a 9．若函数12 3)(23++-=x x a x x f 在区间)3,21(上单调递减，则实数a 的取值范围为 A.)310,25( B.),310(+∞ C.),3 10[+∞ D.),2[+∞ 10．已知函数()321f x x ax x =-+--在(),-∞+∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．(),3,?-∞+∞? B ． (() ,3,-∞+∞ C ．?? D ．( 11．设3 21()252 f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 A.7m > B.15727m > C.157727m << D.7m < 12．已知函数()33f x x x =-，若对于区间[]3,2-上任意的12,x x 都有()()12f x f x t -≤，则实数t 的最 小值是（ ） A ．0 B ．10 C ．18 D ．20 13．已知()f x 是定义在()0+∞， 上的可导函数，其导函数为()'f x ，且当0x >时，恒有()()'l n 0f x x x f x +<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．()01， B ．()1+∞， C ．()()011+∞，， D ．? 14．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，当0>x 时，有0)()(2>-'x x f x f x 成立，则不等 式0)(>?x f x 的解集是（ ） （A ）),1()1,(+∞?--∞ （B ）)1,0()0,1(?- （C ）),1(+∞ （D ）),1()0,1(+∞?- 15．已知函数导数的单调性及极值问题
《函数的单调性与极值》教学案设计
高中数学-函数的单调性与导数练习
用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤
函数单调性与导数练习题含有答案
利用导数研究函数的单调性和极值(答案)
高二数学函数的单调性与导数测试题
导数与函数的单调性、极值、最值
《函数的单调性与导数》练习题
导数用于单调性和极值问题
导数的单调性及极值
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