1. 五年级奥数约数与倍数（二）教师
版
2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识, 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为
...???☆☆☆△△△的结构,而且表达形式唯一”
一、 约数、公约数与最大公约数概念
(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数；
(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”；
(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；
(4)0被排除在约数与倍数之外
1． 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．
例如：2313711=??,22252237=??,所以(231,252)3721=?=；
②短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：2181239632
,所以(12,18)236=?=；
③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的)．
例如,求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；
315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；
所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
知识点拨 教学目标
5-4-2.约数与倍数（二）
n ．
3． 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个
分数的分子的最大公约数b ；b a
即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系
（1）约数是对一个数说的；
（2）公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数
二、倍数的概念与最小公倍数
(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数
(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数
(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
例如：2313711=??,22252237=??,所以[]22231,252237112772=???=；
②短除法求最小公倍数； 例如：21812
39632
,所以[]18,12233236=???=； ③[,](,)
a b a b a b ?=． 2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系,则它们的最大公约数是其中较小的数,最小公倍数是较大的数．
3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最
大公约数b ；b a 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数.例如：
[]()1,414,4232,3??==????
4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系
（1）倍数是对一个数说的；
（2）最小公倍数是公倍数的约数,公倍数是最小公倍数的倍数
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1．两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。
如果m为A、B的最大公约数,且A ma
、互质,所以A、B的最小公
=,B mb
=,那么a b
倍数为mab,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①A B ma mb m mab
?=?=?,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公约数是A、B、A B
+、A B
-及最小公倍数的约数．
2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(,)[,]
?=?,此性质比较简单,学生比较容易掌握。
a b a b a b
3．对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为
a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如：567210
??=,210就是567的最小公倍数
b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如：678336
÷=
??=,而6,7,8的最小公倍数为3362168
性质（3）不是一个常见考点,但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系,即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
四、求约数个数与所有约数的和
1．求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为32
??,所以它的约数有(3+1)×(2+1)
257
×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)
约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点,授课时应重点讲解,公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上,结合乘法原理推导出来的,不是很复杂,建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推,有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用,即先告诉一个数有多少个约数,然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来,或者是“构造出可能的最值”。
2．求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：33
210002357
=???,所以21000所有约数的和为
2323
++++++++=
(1222)(13)(1555)(17)74880
此公式没有第一个公式常用,推导过程相对复杂,需要许多步提取公因式,建议帮助学生找规律性的记忆即可。
例题精讲
模块一、倍数
【例 1】N为自然数,且1
N+,2
N+与690都有大于l的公约数．N的最小
N+、……、9
值为多少？
【考点】倍数【难度】3星【题型】解答
【关键词】走美杯,六年级,初赛,第8题
【解析】 69023523=???,连续9个数中,最多有5个是2的倍数,也有可能有4个是2的倍
数．
如果有5个连续奇数,这5个连续奇数中最多有2个3的倍数,1个5的倍数,1个23的倍数,所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数,即与690没有大于l 的公约数． 所以9个数中有5个偶数,则1N +、3N +、5N +、7N +、9N +是偶数,剩下的4个奇数中,有2个3的倍数,1个5的倍数,1个23的倍数．可知4个奇数中2N +、8N +是3的倍数,还有4N +、6N +一个是5的倍数,一个是23的倍数,那么这两个数最小只能为23和25,故423N +=,得19N =．故N 的最小值为19．
【答案】19
模块二、公倍数与最小公倍数综合
【例 2】 有一个电子钟,每走9分钟亮一次灯,每到整点响一次铃．中午12点整,电子钟响铃
又亮灯．问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛,初赛,试题,第10题
【解析】 因为电子钟每到整点响铃,所以我们只要考虑哪个整点亮灯就行了．从中午12点起,
每9分钟亮一次灯,要过多少个9分钟才到整点呢？由于1小时＝60分钟,这个问
题换句话说就是：9分钟的多少倍是60分钟的整数倍呢？即求9分和60最小公
倍数．9和60的最小公倍数是180．这就是说,从正午起过180分钟,也就是3小时,电子钟会再次既响铃又亮灯．
答：下一次既响铃又亮灯时是下午3点钟．
【答案】3点钟
【例 3】 甲、乙两人同时从A 点背向出发,沿400米的环形跑道行走,甲每分钟走80米,乙
每分钟走50米,两人至少经过多长时间才能在A 点相遇？
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 甲、乙走一圈分别需要5分钟和8分钟,因此他们要是在A 点再次相遇,两人都要走
整圈数,所以所需的时间应是5和8的最小公倍数40分钟．
【答案】40分钟
【例 4】 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒；如只
分给第二群,则每只猴子可得15粒；如只分给第三群,则每只猴子可得20粒．那
么平均给三群猴子,每只可得多少粒？
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 依题意得: 花生总粒数12=?第一群猴子只数15=?第二群猴子只数20=?第三群
猴子只数,由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60．花生总粒数是60,120,180,…,那么：第一群猴子只数是5,10,15,… ；第二群猴子只数是4,8,12,… ；第三群猴子只数是3,6,9,… ；所以,三群猴子的总只数是12,24,36,…因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是5粒．
【答案】5粒
【巩固】 加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,
第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行）
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 为了使生产均衡,则三道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序
上分别有a 、b 、c 个工人,有61015a b c k ===,那么k 的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[]6,10,1530=．所以5a =, 3b =, 2c =,则三道工序最少共需要
++=名工人．
53210
【答案】10名工人
【例 5】在一根长木棍上,有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等份,第二种刻度线把木棍分成12等份,第三种刻度线把木棍分成15等份,如果沿每条刻度线把木棍
锯断,木棍总共被锯成多少段？
【考点】公倍数与最小公倍数综合【难度】4星【题型】解答
【解析】从题目中可以知道,木棍锯成的段数,比锯的次数大1；而锯的次数并不一定是三种刻度线的总和,因为当两种刻度线重合在一起的时候,就会少锯一次．所以本题的关
键在于计算出有多少两种刻度线或者三种刻度线重叠在一起的位置．把木棍看成是
10、12、15的最小公倍数个单位,那么每个等分线将表示的数都是整数,而且重合位
置表示的数都是等分线段长度的公倍数,利用求公倍数的个数的方法计算出重合的
刻度线的条数．
[]
=,先把木棍60等分,每一等分作为一个单位,则第一种刻度线相邻两刻10,12,1560
度间占6个单位,第二种占5个单位,第三种占4个单位,分点共有9111434
++= (个)．
[]
4,520
=,故在20、40单位处二种5,630
=,故在30单位处二种刻度重合1次；[]
刻度重合2次；[]
4,5,660
=,
=,故在12、24、36、48单位处二种刻度重合4次；[]
4,612
所以没有三种刻度线重叠在一起的位置．所以共有不重合刻度3412427
---=个．从而分成28段．
【答案】28段
【例 6】大雪后的一天,小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长,他俩的起点和步行方向完全相同,小明每步长54厘米,爸爸每步长72厘米．由于两人脚印有重合的,所以
各走完一圈后,雪地上留下60个脚印．求圆形花圃的周长．
【考点】公倍数与最小公倍数综合【难度】4星【题型】解答
【解析】必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数．两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的,是两人步长的最小公倍数,为
[]
=厘米．在216厘米里,两人留下的脚印数分别是：216544 54,72216
÷= (个),216723
+-=(个)÷=(个),由于两人有1个脚印重合,所以实际上只有4316脚印．60610
?=(厘÷=,即走完全程共重合10次,因此,花圃周长为：216102160米).
【答案】2160
【例 7】一些士兵排成一列横队,第一次从左到右1至4报数,第二次从右到左1至6报数。
两次都报3的恰有5名,这列士兵最多有名。
【考点】公倍数与最小公倍数综合【难度】4星【题型】填空
【关键词】走美杯,6年级,决赛,第7题,10分
【解析】[4,6]=12,所以每12名报名情况重复一次.12为一个周期,我们先来看看12名士兵报数的情况：1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4
6、5、4、3、2、1、6、5、4、3、2、1
如果不经过移动,那么两组数就不会出现在同一个位置同时出现3的情况！
要使同一个位置同时出现3,那么我们可以移动第二行全部的数,移动的情况有：
第二行的数全部往后移动3个单位或者7个单位；第二行的数全部往前移动一个单
位、3个单位或者6个单位而无论何种移动,每一个周期内同时出现3的情况只有1
种,即每相邻的12人中只会有一个人同时报3那么要使人数最多,就需移动的单位尽
可能的多因此我们选移动7个单位的一种情况,那么士兵就最多可以有12?5+7=67
人
【答案】67人
【例 8】有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行,甲每分钟走80米,乙每分钟走120米,丙每分钟走70米．已知操场跑道周长为400米,如果三个人同时同向从同一地点出发,
问几分钟后,三个人可以首次相聚？
【考点】公倍数与最小公倍数综合【难度】4星【题型】解答
【解析】由题意,甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是400米的倍数,甲和乙每分钟差1208040
-=(米),则需要4004010
÷=分钟乙才能第一次追上甲；同理,乙每分钟比丙多走1207050
-=(米),则需要400508
÷=分钟乙才能追上丙；同理,甲每分钟比丙多走
807010
-=(米),则需要4001040
÷=分钟甲才能追上丙；而想要三人再次相遇,所需的时间则为10,8,40的公倍数．因为[]
10,8,4040
=,所以三人相聚需要过40分钟,即40分钟后,三个人可以首次相聚．
【答案】40分钟
【例 9】如图,A、B、C是三个顺次咬和的齿轮,当A转4圈时,B恰好转3圈：当B转4圈时,C恰好转5圈,则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？
C
B
A
【考点】公倍数与最小公倍数综合【难度】4星【题型】解答
【关键词】第四届,IMC,六年级,复赛
【解析】当A转4圈时,B恰好转3圈,则A、B齿数的比值为3:4,同理,B、C的齿数比值为5:4。
所以A、B、C齿数比值为35:45:4415:20:16
???=,所以此时A齿数至少为15,B 的齿数至少是20,C齿数至少是16。
【答案】A齿数至少为15,B的齿数至少是20,C齿数至少是16。
【例 10】有一对紧贴的传动胶轮,每个轮子上都画有一条通过轴心的标志线（如下图）．主动轮的半径是105 厘米,从动轮的半径是90厘米．开始转动时,两个轮子上的标志
线在一条直线上．问：主动轮至少转了几转后,两轮的标志线又在一条直线上？
【考点】公倍数与最小公倍数综合【难度】4星【题型】解答
【关键词】华杯赛,初赛,第8题
【解析】105与90的最小公倍数是630．630÷105＝6,所以主动轮转了6个半圈,即转了3转,两轮的标志线又在一条直线上
【答案】3转
【例 11】一次考试,参加的学生中有1
7
得优,
1
3
得良,
1
2
得中,其余的得差,已知参加考试的学
生不满50人,那么得差的学生有多少人？
【考点】公倍数与最小公倍数综合【难度】3星【题型】解答【关键词】13中,入学试题
【解析】 由题意“参加的学生中有17得优,13得良,12得中”,可知参加考试的学生人数是7,3,2的倍数,因为7,2,3的最小公倍数为42,4228450?=>,所以参加的学生总数为42
人．那么得差的学生有：11142(1)1732
?---=人． 【答案】1
【巩固】 一次考试,参加的学生中有17得优,14得良,13
得中,其余的得差,已知参加考试的学生不满100人,那么得差的学生有多少人？
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由题意“参加的学生中有17得优,14得良,13
得中”,可知参加考试的学生人数是7,4,3的倍数,因为74,3的最小公倍数为84(小于100人),所以参加的学生总数为84人．那么得差的学生有：8412212823---=人．
【答案】23
【例 12】 3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈
沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长15
千米,中圈跑道长14千米,外圈跑道长38
千米.甲每小时跑132千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 甲跑完一圈需11235235÷=小时,乙跑一圈需114416÷=小时,丙跑一圈需335840
÷=小时,他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为235,116,340
的倍数,即为它们的公倍数．而[]()2,1,32136,,635164035,16,401??===????.所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.
【答案】6小时
【例 13】 两个自然数a ,b 的最小公倍数等于50,问a ＋b 有多少种可能的数值?
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛,团体决赛,口试题,第4题, 10分
【解析】 因为：50=2×
5,a ,b 是50的约数,它们只能取1,2,5,10,25,50。不妨设a ≥b ,当取a ＝50时,b ＝1,2,5,10,25,50；当取a ＝25时,b ＝2,10
所以,a ＋b 共有8种可能的不同数值。
两个自然数a ,b 的最小公倍数等于50,当a ≥b 时,a ＋b 取不同数值可列表如下：
51
5255607510027
3510250251052
12525505050505050a+b b a
共有8种值
【答案】8
【例 14】 已知a ,b ,c 是三个自然数,且a 与b 的最小公倍数是60,a 与c 的最小公倍数是270。
求b 与c 的最小公倍数。
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛,决赛,10分,第二大题,第3题
【解析】 如果b 不是22的倍数,因为[]2a,b 235=??,则a 一定是22的倍数。由此可知[]a,c 一定是22的倍数,但是[]a,c 2235=??不是22的倍数。所以b 是22的倍数。同理可得c 是33的倍数,所以[]23b,c 23=?整除。
因为[]a,b 60=,[]a,c 270=,所以60是b 的倍数,270是c 的倍数,所以b ,c 的最小公倍数[]b,c 是[]60,270的约数。因为[]60,2702235=??,所以[]b,c 2235=??＝540,或[]b,c 223=?＝108.
当a ＝1,b ＝60,c ＝270时,[]a,c 60=,[]a,c 270=,[]b,c 540=；
当a ＝5,b ＝12,c ＝54时,[]a,c 60=,[]a,c 270=,[]b,c 108=；
【答案】540或108
【例 15】 甲、乙两数的最小公倍数是90,乙、丙两数的最小公倍数是105,甲、丙两数的最
小公倍数是126,那么甲数是多少?
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 对90分解质因数: 290235=??.
因为126是甲的倍数,又126不是5的倍数,所以甲中不含因数5．
如果乙也不含因数5,那么甲、乙的最小公倍数也不含因数5,但90是5的倍数,所以乙含有因数5．
因为105不是2的倍数,所以乙也不是2的倍数,即乙中不含因数2,于是甲必含有因数2．
因为105不是9的倍数,所以乙也不是9的倍数,即乙最多含有1个因数3．由于甲、乙两数的最小公倍数是90,90中含有2个因数3,所以甲必含有2个因数3,那么甲22318=?=．
总结：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的个数的最大值．如322357a =???,32235711b =????,则A 、B 的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a 、b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,故332[,]235711a b =????．
【答案】18
【例 16】 a >b >c 是3个整数.a ,b ,c 的最大公约数是15；a ,b 的最大公约数是75；a ,b 的最小
公倍数是450；b ,c 的最小公倍数是1050.那么c 是多少?
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由(a ,b )=75=3×25,[a ,b ]=450=23×2×25=75×3×2,又a ﹥b 所以45075a b =??=?或225150a b =??=?
[b ,c ]=1050=2×3×25×7.当 45075a b =??=?
时有 ()()[][]450,75,75,15,75,1050
c c b c c ?==??==??,因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以
(75,c )×[75,c ]=75×c =15×1050,得c =210,但是c >b ,不满足；当225150a b =??=?时,有
()()[][]225150,75,15,150,1050c c b c c ?==??==??，,则c =105,c ﹤b ,满足,即225150105a b c =??=??=?
为满足条件的唯一解．那
么c 是105.
【答案】105
【例 17】 如图,鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A 、B 开始向另一端挖洞。老鼠对鼹
鼠说：“你挖完后,我再挖。”这样一来,由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞,所以老鼠可以少挖多少个洞？
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】希望杯,五年级,初赛,第16题,6分
【解析】 因为157除以5的余数是2,可得下图 B A
单位：米老鼠
鼹鼠157******** 由图中很明显可知,鼹鼠和老鼠重合的第一个洞在距离A 点12米处．因为[3,5] 15=,
157121514515910-÷=÷=（）,所以,老鼠和鼹鼠要挖的洞里重合的有9110+= (个)．
【答案】10个
【例 18】 如图,在长500米、宽300米的长方形广场的外围,每隔2.5米摆放一盆花,现要改
为每隔2米摆放一盆花,并且广场的4个顶点处的花盆不动,则需增加___盆花；在重新摆放花盆时,共有___盆花不用挪动。
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】希望杯,5年级,2试,第3题
【解析】 封闭图形上的植树问题,棵树与间隔数相等。由于周长为(500300)21600+?=米,
从而原先的摆了1600 2.5640÷=盆,后来摆了16002800÷= 盆,需要增加
800640160-=盆。
2与2.5的最小公倍数为10,因此不需要移动的有160010160÷=盆。
【答案】160盆
【例 19】 有一些小朋友排成一行,从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开
始每隔4人发一个桔子,结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 苹果每3人发1个,桔子每5人发1个.因为[]3,515=,所以苹果和桔子都拿到的10
个小朋友之间包括这10个小朋友,共有15(101)1136?-+= (人).在他们的左边最多有4个小朋友拿到苹果,所以左边最多还有3412?= (人)；右边最多有2个小朋友拿到桔子,所以右边最多还有5210?= (人).所以最多有：1361210158++= (人).
【答案】158人
因数与倍数 1．数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? 2．一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少? 3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 4．今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等．那么最多可分多少堆? 5．加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?
6．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米．如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可以相聚? 7．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．那么甲数、乙数是多少? 8．A，B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．已知数A有12个约数，数B有l0个约数，那么A，B两数的和等于多少? 9．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少? 10． a>b>c是3个整数．a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b 的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050．那么c是多少?
11．把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？ 12．一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？ 13．有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？ 14．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？ 15．教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？
五年级奥数 第一讲：因数与倍数 知识点拨 1、因数和倍数： 如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。 例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。 如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。 例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。 2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。 例如：15的因数有哪些？ 方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止） 所以15的因数就是1, 3, 5, 15。最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。 3、一个数的倍数的求法： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。 例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数 如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。 4、2、 5、3的倍数的特征： ①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 ②个位上是0或5的数，是5的倍数。 ③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5、常见数字的整除判定方法： （1）2：个位是偶数的自然数 （2）5：个位是0或5的自然数 注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0 （3）4、25：末两位能被4、25整除 （4）8、125：末三位能被8、125整除 （5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除 （6）7、11、13通用性质： ①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除 ②从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数 ③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除 （8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除 （9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除 6、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数与偶数的运算性质 性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数 性质3：偶数个奇数的和是偶数 性质4：奇数个奇数的和是奇数 性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
四 约数与倍数(A) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1．28的所有约数之和是_____. 2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法. 3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是2 4.这个两位数是_____. 4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人. 5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是_____. 6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个. 7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块. 8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块. 9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个. 10. 含有6个约数的两位数有_____个. 11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？ 12．和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？ 13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳4 32米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔8 312米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米? 14. 已知a 与b 的最大公约数是12,a 与c 的最小公倍数是300,b 与c 的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a ,b ,c 共有多少组? (例如:a =12、b =300、c =300，与a =300、b =12、c =300是不同的两个自然数组)
因数与倍数（一） 【课前小练习】(★) 1. 学习短除法和因数式 . 3. 公因数、公倍数的实际应用1. 2. 写出12的所有因数，并列举几个12的倍数. 写出18的所有因数，并列举几个18的倍数. 1. 公因数：就是几个数公共的约数，其中最大的一个称为最大公因数. 2. 公倍数：就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数. 3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B) 两个数A、B的最小公倍数记做[A、B] 4. 方法：枚举法、短除法、分解质因数 板块一:短除法和分解质因数法 【例1】(★★☆) 求下列每组的最大公因数和最小公倍数. 板块二:借助最大公因数未知数 ⑴28, 35 ⑵108, 360 ⑶66, 165 ⑷588, 924 3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、 B) 两个数A、B的最小公倍数记做[A、B] 4. 结论： A×B＝最大公因数×最小公倍数
【例】★★★ 求下列每组的最大公因数和最小公倍数. ⑴, , ⑵, , ⑶, , 【例3】(★★) 一个数和16的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多 少？ 1
【例4】(★★★☆) 【例5】(★★★☆) 两个自然数的差为21，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？三个不同的自然数的和是3030，它们的最大公因数最大可能是多少？ 【拓展】(★★★★) 由1、3、5这三个数码可以组成6个不同的三位数，求这6个数的最 大 公因数. 美国的17年蝉是目前已知的生命期最长的昆虫，它的生活习性很特别，在它 生命的前十七年，都是埋在地底的幼虫型态，十七年一到，就钻出土壤，羽化成成虫然后交配、产卵，接下来就死亡了。你知道为什么是17年吗？ 板块三:公因数、公倍数的应用 【例6】(★★★) 1 1 1 学校组织一次数学考试，其中三班的学生有得优，得良，得中， 2 3 7 其余的得差，已知三班的学生不满50人，那么得差的学生有_____人. 知识大总结. 、 . 2. 枚举法，短除法，分解质因数法 A＝ax、B＝bx，其中a、b互质 4. 应用：
因数与倍数： 两数的最大公因数乘最小公倍数等于这两数的乘积。 1、请写出72的所有因数，其中有多少个因数是3的倍数？ 2、（1）请写出60的所有因数；（2）请写出105的所有因数。 3、请写出108所有的因数；其中有多少个是4的倍数？ 4、（1）180的因数有多少个？（2）200的因数有多少个？ 5、（1）144的因数有多少个？（2）500的因数有多少个？ 6、490的因数有多少个？ 7、10000的因数有多少个？ 8、28、72的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？ 9、求36与56的最大公因数和最小公倍数。 10、计算（28，44，260），[28，44，260] 11、计算：（60，75）；[60，75]
12、求1547与507的最大公因数和最小公倍数。 13、求1085与93的最大公因数与最小公倍数。 14、计算（1064，952），[1064，952]（用辗转相除法解答） 15、用辗转相除法求4811和1981的最大公因数。16、求3553，3910，1411的最大公因数。 17、儿童节到了，老师买了320个苹果，240个梨，200个香蕉，用来分给全班同学，请问这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？ 18、有三根铁丝，一根长54米，另一根长72米，最后一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？ 19、现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三中水果中每种水果的数量相等，那么最多分了多少个班？
20、兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，儿哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在5月1日回家，下次再见面是哪一天？ 21、一个数与40的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？ 22、一个数与20的最大公因数是6，最小公倍数是60，那么这个数是多少？ 23、甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，如果甲数是18，那么乙数是多少？ 24、一个数与36的最大公因数是4，最小公倍数是288，求这个数。 25、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是420，如果这两个数的和是102，那么这两个数是多少？26、小悦和东东在黑板上各写了一个自然数，这两个自然数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的和是126，那么这两个数是多少？ 27、两个数的最大公因数是16，最小公倍数是160，这两个数相差48，这两个数是多少？ 28、已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？ 29、两个自然数不成倍数关系，它们的最大公因数是18，最小公倍数是216，这两个数分别是多少？ 30、两个数不成倍数关系，它们的最大公因数是15，最小公倍数是90，请问这两个数分别是多少？
倍数与约数 教学目的 1，让孩子了解语言的精密与数学的联系。2，掌握做题方法 教学内容 知识点 一、最大公约数与最小公倍数的常用性质 (1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 即若11(,),(,),a a a b b b a b =?=?则11(,)1a b = (2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即(,)[,]a b a b a b ?=? 注：(,)a b 表示两个数的最大公约数，[,]a b 表示两个数的最小公倍数 (3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：567210??=，210就是567的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：678336??=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷= 二、约数个数与所有约数的和 (1)求任一合数约数的个数： 一个合数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为32 257??，所以它的约数有(31)(21)(11)43224+?+?+=??=个。(包括1和1400本身) (2)求任一合数的所有约数的和： 一个合数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如：33210002357=???，所以21000所有约数的和为 三、求几个分数的最小公倍数和最大公约数 (1)求几个分数的最小公倍数 求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公
小学数学《约数与倍数》练习题 一、 约数的概念与最大公约数 0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812 39632 ，所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分 子的最大公约数b ；b a 即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如：2313711=??，22252237=??，所以[]22231,252237112772=???=； ②短除法求最小公倍数； 例如：21812 39632 ，所以[]18,12233236=???=； ③[,](,) a b a b a b ?=． 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ； b a 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]() 1,414,4232,3??==???? 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数
四约数与倍数（A） _____ 年级______ 班姓名___________ 得分______ 一、填空题 1 . 28的所有约数之和是 ______ . 2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有________ 中不同的拼法? 3. 一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数 字的积是24.这个两位数是______ . 4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组，总共种树 667棵，如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____ 人. 5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是________ . 6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数，桔数相等,最多可分给 _____ 小朋友,每个小朋友得梨_______ 个,桔 _____ 个. 7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形 布片_____ 块. 8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块（不余料）__ 块. 9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个，又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果_____ 个. 10. 含有6个约数的两位数有______ 个. 11. 写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1,但两两均不互质，请问有多少组这种解？ 12. 和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？ 13. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4丄米，黄鼠狼每次跳2-米, 2 4 它们每秒钟都只跳一次.比赛途中，从起点开始每隔12-米设有一个陷井，当它们 8 之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？ 14. 已知a与b的最大公约数是12, a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a, b, c共有多少组？ （例如：a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组） --------------------------- 答案 -------------------------------------------- 答案： 1. 56 28的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
9、约数与倍数 【约数问题】 例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。 而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。一般来说，约数都是成对地出现。 1155的约数共有16个。 16÷2=8（对）。 所以，有8种不同的拼法。 例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？ （全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：将360分解质因数，得 360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。 所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个） 这24个约数的和是： 例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？ （全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。 把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解： 99=3×3×11； 98=2×7×7； 97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。
发现，96是上面数的约数。 所以，两位数的约数中，最大的是96。 例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。 （北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：一个自然数N，当分解质因数为： 因为8=1×8=2×4=2×2×2， 所以，所求自然数分解质因数，可能为： 27，或23×3，或2×3×5，…… 不难得出，最小的一个是24。 【倍数问题】 例1 6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有______枚。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：因为6枚1分的硬币与5枚2分的一样高，所以36枚1分的硬币与30枚2分的一样高。 6枚2分的硬币与5枚5分的一样高，所以30枚2分的硬币与25枚5分的一样高。 因此，36枚1分的硬币高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它们共有： 1×36+2×30+5×25=221（分）。 4元4角2分=442（分），442÷221=2。 所以，1分的硬币共36×2=72（枚），2分的硬币共30×2=60（枚），5分的硬币共25×2=50（枚），即总共有182枚。
因数和倍数奥数辅导讲义 教学内容 因数和倍数 1．知识回顾 （1）因数和倍数的概念 2x6=12 2和6是12的因数。12是2的倍数，也是6的倍数。 3x4=12 3和4也是12的因数。12是3和4的倍数。 整数A乘以整数B得到整数C，整数A与整数B就称做整数C的因数，反之整数C就为整数A与整数B的倍数。 （2）奇数和偶数 自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。2．规律、性质。 （1）因数和倍数：列举法；根据问题的要求，寻找因数的个数。 （2）奇数和偶数常用的性质： 1.奇数≠偶数，连续自然数中的奇数和偶数是相间排列的； 2.偶数个奇数相加的和是偶数，奇数个奇数相加的和是奇数，任意个偶数相加的和是偶 数； 3.奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，偶数±奇数=奇数； 4.奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 3. 典型例题 一、因数和倍数 例1.一个数是5个2，,3个3,2个5,1个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数，这些两位数中，最大的是几？ 拓展一：甲数的2倍等于乙数，乙数的3倍等于丙数，丙数的4倍等于甲数，求甲数。 拓展二：把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11的倍数，求这两个数。 拓展三：和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条130日元；竹荚鱼，每条170日元；沙丁鱼，每条78元；秋刀鱼，每条104元。每种鱼都多于1条，正好花了3600日元。请问：和子买了几条竹荚鱼？
例2.一只盒内共有96个棋子，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完，那么，共有多少种不同拿法？ 拓展一:小明用48元钱按零售价买了若干本练习本，如果按批发价购买,每本便宜2元，恰好多买4本,问:零售价每本多少元? 例3．三个连续奇数的和是15元，它们的积是多少? 拓展一：五个连续奇数的和是35元，这5个奇数中最大的一个是多少? 拓展二：有三个不同自然数组成的一个等式： □+ △+ ○= □×△—○ 这三个数中最多有多少个奇数？ 二、奇数和偶数 例题4：1+2+3+4+……+2011+2012的和是奇数还是偶数？ 拓展一：1+2+3+4+5+……+2000+2001的和是奇数还是偶数？ 拓展二：101+102+103+……+2007+2008的和是奇数还是偶数？ 例5.有12张卡片，其中3张卡片上面写着1,3张卡片上面写着3,3张卡片上写着5,3张卡片上面写着7，
因数和倍数奥数题荟萃 总体难度有点大，如果有兴趣可以试试！ 1、某校举行数学竞赛，共有20道题。评分标准规定，答对一题给3分，不答给1分。答错一题倒扣1分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？ 2、有四个连续奇数的和是2008,则其中最小的一个奇数是___________ 。 3、张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得1个苹果和3个橘子。最后橘子分完了，苹果还剩下12个。那么一共分给了____________ —名小朋友。 4、小华同学为了在“希望杯”数学大赛中取得好成绩，自己做了四份训练题 （每 份训练题满分为120分）。他第一份训练题得了90分，第二份训练题得了100 分，那么第三份训练题至少要得___________ 才能使四份训练题的平均成绩达到 105 分。 5、三个连续自然数的乘积是210,求这三个数. 6自然数9是质数，还是合数？为什么？ 7、一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？ 8、一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。 9、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,这个数是多少？ 10、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
答案: 1、解：以一个学生得分情况为例。如果他有m题答对，就得3m分，有n题答 错，则扣n分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m- n）分。 所以，这个学生得分总数为： 3m-n+（20-m-n） =3m-n+20-m-n =2m-2n+20 =2（m-n+10） 不管（m-n+10）是奇数还是偶数，贝U 2（m-n+10）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。 2、解：499。2008-4—3=499 3、解：6。12-（3 —1）=6（名）。 4、解:110。 当第四份训练题得满分即120分时，对第三份训练题的得分要求最低，所以第三份训 练题至少要得105X4 一（90+100+120）=110（分）。 5、解：：210=2X 3X 5X7 ???可知这三个数是5、6和7。 &解：9是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3,所以它是一个合数。 7、分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。 解：3，4，5] =3X 4X 5=60, ???用3、4、5除都能整除的最小的数是60。 8、分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除 式入手分析。
小学五年级数学因数与倍数d 王红英 课题：因数和倍数 教学目标： 1、学生掌握找一个数的因数，倍数的方法； 2、学生能了解一个数的因数是有限的，倍数是无限的: 3、能熟练地找一个数的因数和倍数： 4、培养学生的观察能力。 教学重点：掌握找一个数的因数和倍数的方法。 教学难点：能熟练地找一个数的因数和倍数。 教学过程： 一、引入新课。 1、出示主题图，让学生各列一道乘法算式。 2、师：看你能不能读懂下面的算式 岀示：因为2X6=12 所以2是12的因数，6也是12的因数； 12是2的倍数，12也是6的倍数。 3、师：你能不能用同样的方法说说另一逍算式 （指名生说一说） 师：你有没有明白因数和倍数的关系了 那你还能找岀12的英他【天1数吗 4、你能不能写一个算式来考考同桌学生写算式。
师：谁来岀一个算式考考全班同学 5、师：今天我们就来学习因数和倍数。（出示课题：因数倍数） 齐读P12的注意。 二、新授： （-）找因数： 1、出示例1： 18的因数有哪几个 从12的因数可以看得岀，一个数的因数还不止一个，那我们一起找找看18的因数有哪些学生尝试完成：汇报 （18 的因数有：1, 2, 3, 6, 9, 18） 师：说说看你是怎么找的（生：用整除的方法，18三1 = 18, 18三2=9, 18三3=6, 184-4 =…：用乘法一对一对找，如1 X18=18, 2X9 = 18-） 师：18的因数中，最小的是几最大的是几我们在写的时候一般都是从小到大排列的。 2、用这样的方法，请你再找一找36的因数有那些 汇报36 的因数有：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 师：你是怎么找的 举错例（1, 2, 3, 4, 6, 6, 9, 12, 18, 36） 师：这样写可以吗为什么（不可以，因为重复的因数只要写一个就可以了，所以不需要写两个6 ） 仔细看看，36的因数中，最小的是几，最大的是几 看来，任何一个数的因数，最小的一泄是（），而最大的一立是（）。 3、你还想找哪个数的因数（18、5、42……）请你选择英中的一个在自练本上写一写, 然后汇报。 4、苴实写一个数的因数除了这样写以外，还可以用集合表示：如 18的因数
小学奥数因数与倍数Revised on November 25, 2020
第一讲：因数与倍数 知识点拨 1、因数和倍数： 如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。 例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。 如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。 例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。 2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。 例如： 15的因数有哪些 方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止） 所以15的因数就是1, 3, 5, 15。最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。 3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没 有最大的，方法是依次乘以自然数。 例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数 4、2、 5、3的倍数的特征： ①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。 ③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数与偶数的运算性质 性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数 性质3：偶数个奇数的和是偶数 性质4：奇数个奇数的和是奇数 性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 例题精讲 一、倍数与因数的认识 【例1】请问：图中有哪些数 （1）根据图中数据： ①买5千克梨需要多少钱 可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；
五年级奥数训练 第11讲约数与倍数 内容概述 掌握约数与倍数酌概念．学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题． 典型问题 兴趣篇 1．(1)请写出105的所有约数；(2)请写出72的所有约数．2．(1) 20000的约数有多少个？(2) 720的约数有多少个？ 3．计算：(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260]. 4．两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？
5．(1)求1085和1178的最大公约数和最小公倍数； (2)求3553，3910和1411的最大公约数． 6．教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工．请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？ 7．一块长方形草地，长120米，宽90米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？ 8．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那么乙数是多少？
9．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍．已知甲数是2、4、6、8、10、12、14、16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位数．乙数是多少？ 10．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是35，最小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？ 拓展篇 1．72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？ 2．5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．3．两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数
1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质 的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 ...???☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一” 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812 39632 ，所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=； 315285130÷=；28530915÷=；301520÷=； 所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各知识点拨 教学目标 5-4-1.约数与倍数（一）
第十讲倍数与约数 一、最大公约数 知识点几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个公约数叫做这几个数的最大公约数。我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。一个自然数的约数个数为奇数个时,这个自然数是完全平方数. 求约数个数与所有约数的和的公式 1、求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如1400严格分解质因数之后为32 257 ??，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身) 2、求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如：33 210002357 =???，所以21000所有约数的和为 2323 ++++++++= (1222)(13)(1555)(17)74880 例题1、12和15的公约数有哪些？其中最大的公约数是多少? 练习1、a=3×5×7，b=3×5×13，c=3×5×17,这三个数的最大公约数是多少？例题2、(1)360的约数一共有多少个。它所有约数的和是多少？ (2) 在1到100的所有自然数中，约数个数是奇数个的数一共有多少个？ 练习2、（1）105有几个约数?它们的和是多少? （2）1—100中只有三个约数的有哪些，这些数的和是多少？
例题3、一张长方形的纸，长75厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？ 练习3、用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？ 例题4、一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？ 练习4、一个长方体木块的长是45厘米、宽36厘米、高24厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？ 例题5、一个数除200余4，除300余6，除500余10.求这个数最大是多少？练习5、一个数除425余5，除500少4除300余6，这个数最大是多少？ 例题6、一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少
四 约数与倍数(A) 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1．28的所有约数之和是_____. 2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法. 3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是2 4.这个两位数是_____. 4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人. 5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是_____. 6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个. 7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块. 8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块. 9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个. 10. 含有6个约数的两位数有_____个. 11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？ 12．和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？ 13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳4 32米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔8 312米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米? 14. 已知a 与b 的最大公约数是12,a 与c 的最小公倍数是300,b 与c 的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a ,b ,c 共有多少组? (例如:a =12、b =300、c =300，与a =300、b =12、c =300是不同的两个自然数组) ———————————————答 案—————————————————————— 答 案: 1． 56 28的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
（十六）约数和倍数 例1.边长1米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体，它的高是10米，长、宽都大于高。问长方体的长与宽的和是几米？ 例2.正整数a乘以120，得到一个完全平方数，a的最小值是多少？ 例3.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。问：下一次响铃又亮灯是几点钟？ 例4.四个小孩的年龄依次相差1岁，他们年龄的乘积是5040，他们的年龄和是多少岁？ 例5.一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？ 例6.两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是420。已知其中一个自然数是42，那么另一个自然数是多少？ 例7. 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？ 例8.求100以内恰好有8个约数（包括1和它本身）的所有自然数。 例9.已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。 例10.在100以内与77互质的所有奇数之和是多少？ 练习1. 求720的所有约数的个数。 2. 正整数a乘以378，得到的最小完全平方数是多少？ 3. 能被2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数整除的最大的六位数是多少？ 4. 50以内最小质数与最大质数之和是多少？ 5. 将长为6厘米、宽为4厘米、高为8厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最少要用积木多少块？
6. 长96厘米、宽72厘米的长方形白纸裁成同样大小的正方形且无剩余，至少可以裁成多少块？ 7. 求50以内约数最多的自然数。 8.小红每隔5分钟发一封电子邮件，小明每隔9分钟发一封电子邮件，小丽每隔12分钟发一封电子邮件，今天上午8点三人同时发出电子邮件，下一次同时发电子邮件是什么时间？ 9. A，（A＋4），（A＋6），（A＋10），（A＋12），（A＋16），（A＋22）均为质数，那么A是多少？ 10. 求5040的所有约数的和。 B级 1. 实验一小、二小和三小各有300人，240人和360人去春游，三校分别去租车，至少要租多少辆大客车才能使每辆乘坐的人数一样多？ 2. 已知自然数a有3个约数，那么4a至少有几个约数？ 3.有一箱鸡蛋按5个一堆分少1个，按6个一堆分少1个，按8个一堆分仍少1个。这箱鸡蛋至少有多少个？ 4. 有6个不同约数的最小自然数是多少？ 5. 用1—8组成各位数字互不相同的所有八位数的最大公约数是多少？ 6. 已知两数之差是12，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，这个自然数是多少？ 7. 一个自然数的两个最小的约数之和是6，两个最大的约数之和是462，这个自然数是多少？ 8. 有70个正整数之和为5555，它们的最大公约数的最大值可能是多少？ 9. 已知（a,b）=12，[a,c]=300，[b,c]=300.满足要求的a,b,c数组共有多少组？（12，300，300；300，12，300算两组） 10. 有15个同学，每个同学编有一个号码，从1到15。编号为1的同学在黑板上写了一个自然数a后，编号为2的同学说：“能够被2整除”，编号为3的同学说：“a能被3整除”，。。。。。，依次下去，每一个同学都说这个能被他的编号整除。编号为1的同学给了验证，发现只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对。问： (1)说的不对的两个同学，他们的编号是多少？ (2)若编号为1的同学在黑板上写的是一个五位数，这个五位数是多少？