2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-
主讲：汤家凤
第一讲 行列式
一、基本概念
定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i
>，则称),(j i 为一对逆序。
定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为
)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3 行列式—称nn
n n n
n
a a a a a a a a a D
21
22221
11211
=
称为n 阶行列式，规定
n n
n nj j j j j j j j j a a a D 21212121)()1(∑
-=
τ。 定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn
n n n
n
a a a a a a a a a D
21
22221
11211
=
中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元
素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij
M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式
1、对角行列式—形如
n
a a a
000
21
称为对角行列式，n n
a a a a a a
2121
00
=。
2、上（下）三角行列式—称
nn
n n a a a a a a 0
022211211
及
nn
n n a a a a a a
21
2221
11
0为上（下）三角行列式，
nn nn
n
n a a a a a a a a a 2211222112110
0=，nn nn
n n a a a a a a a a a
2211212221
11
0=。
3、
||||B A B
O O A ?=，
||||B A B
O C A ?=，
||||B A B
C
O A ?=。
4、范得蒙行列式—形如1121
121211
11
),,,(---=
n n
n n n
n a a a a a a a a a V
称为n 阶范得蒙行列式，且
n
i j j i n n
n n n
n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==
11121
121
21)(1
11
),,,(。 【注解】0),,,(21≠n a a a V 的充分必要条件是n a a a ,,,21 两两不等。 三、行列式的计算性质
（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即T D D =。
2、对调两行（或列）行列式改变符号。
3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。 推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。 推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。
推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。
4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即
nn
n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a
2
121112112
121112
11212
21
111211
+=+++。 5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即
nn
n n jn j j jn
in j i j i n nn
n n jn j j in
i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a
2
1
21221
11121121212111211+++=，其中k 为任意常数。
【例题1】设321,,,,γγγβα为4维列向量,且4|,,,|||321==γγγαA ，
21|,3,,|||321==γγγβB ，求||B A +。
【例题2】用行列式性质1~5计算
842
321123
-。 【例题3】计算行列式2
1
6
4
72954
1732152
-----=
D 。
【例题4】计算n
n a a a a D ++++=11
111111
11
111
111321 ，其中)1(0n i a i ≤≤≠。 （二）行列式降阶的性质
6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即
),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=， ),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=。
7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。
【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算
8
4
2
321123
-。 【例题2】设2
1
6
4
72954
1732152
-----=
D ，求（1）24232221M M M M +++；（2）3231M M +。
四、行列式的应用—克莱姆法则
对方程组???????=+++=+++=+++0
00221122221211212111n nn n n n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （I ） 及
??????
?=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212********* （II ） 其中)(II 称为非齐方程组，)(I 称为)(II 对应的齐次方程组或)(II 的导出方程组。
令n
n n n nn
n n
n n nn
n n n n b a a b a a
b a a D a a b a a b a a b D a a a a a a a a a D
21
2
2221
1
12112222211211212222111211
,,,===
，其中D 称为系
数行列式，我们有
定理1 )(I 只有零解的充分必要条件是0≠D ；)(I 有非零解（或者)(I 有无穷多个解）的充分必要条件是0=D 。
定理2 )(II 有唯一解的充分必要条件是0≠D ，且),,2,1(n i D
D x i
i ==；当0=D 时，)(II 要么无解，要么有无穷多个解。
第二讲 矩阵
一 、基本概念及其运算 （一）基本概念
1、矩阵—形如??
?
?
?
?
?
??mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ?=)(，行数与列数相等的
矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。
（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。 （2）对n m ij a A ?=)(，若n m =，称
A 为n 阶方阵。
（3）称???
?
?
??=11 E 为单位矩阵。 （4）对称矩阵—设n n ij a A ?=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。
（5）转置矩阵—设???????
??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211，记??
???
?
?
??=mn n n m m T
a a a a a a a a a A 212221212111
，称T
A 为矩阵A 的转置矩阵。
2、同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。
3、伴随矩阵—设n n ij a A ?=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij
M A +-=)1(为元素ij
a 的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记??
??
?
?
?
??=*
nn n n
n n A A A A A A A A A A 212221212111
，称为矩阵A 的伴随矩阵。
（二）矩阵的三则运算
1、矩阵加减法—设???????
??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2122221
11211，??
??
?
?
?
??=mn m m n n b b b b b b b b b B 21222
21112
11，则 ??
??
?
?
?
??±±±±±±±±±=mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A
2
21
12222
2221211112121111。 2、数与矩阵的乘法—设???????
??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2
1
222
21
11211
，则??
?
?
?
?
?
??=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA
2
1
222
21
11211
。
3、矩阵与矩阵的乘法：
设???????
??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211，??
?
?
?
?
?
??=ns n n s s b b b b b b b b b B
2
1222
21112
11，则
??
??
?
?
?
??=ms m m n s c c c c c c c c c C 2
1
22221
11211，其中∑==n k kj ik ij b a c 1（s j m i ,,2,1;,,2,1 ==）。 【注解】（1）O B O A ≠≠,推不出O AB ≠。 （2）BA AB ≠
。
（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。 若BA AB =，则)2)((232
2
B A B A B AB A --=+-，再如
)2)(3(62E A E A E A A +-=--。
（4）方程组的三种形式 形式一：基本形式
???????=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （I ）与??????
?=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
22221211
1212111（II ） （I ）（II ）分别称为齐次与非齐线性方程组。 记,,,21212
1
22221
11211????
?
?
?
??=??????? ??=???????
??=m n mn m m n n b b b b x x x X a a a a a a a a a A 则方程组（I ）、（II ）可改写为 形式二：方程组的矩阵形式
0=AX ， （I ）
b AX =， （II ）
令???
?
? ??=????? ??=????? ??=????? ??=????? ??=m n mn n n m m b b b x x X a a a a a a 11121221111,,,,,ααα，则有
形式三：方程组的向量形式
O x x x n n =+++ααα 2211 （I ） O x x x n n =+++ααα 2211 （II ） 二、矩阵的两大核心问题—矩阵的逆矩阵与矩阵的秩
【背景】初中数学问题：对一元一次方程)0(≠=a b ax ，其解有如下几种情况 （1）当0≠a 时，b ax =两边乘以
a 1得a
b
x =。
（2）当0,0==b a 时，方程b ax =的解为一切实数。 （3）当0,0≠=b a 时，方程b ax =无解。 矩阵形式的线性方程组解的联想：对线性方程组b AX =，其解有如下几种情况
（1）设A 为n 阶矩阵，对方程组b AX =，存在n 阶矩阵B ，使得E BA =，则Bb X =。
（此种情况产生矩阵的逆阵理论） （2）设A 为n 阶矩阵，对方程组b AX =，不存在n 阶矩阵B ，使得E BA =，方程组b AX =是否
有解？
（3）设A 是n m ?矩阵，且n m ≠，方程组b AX =是否有解？
（后两种情况取决于方程组的未知数个数与方程组约束条件的个数即矩阵的秩）
（一）逆矩阵
1、逆矩阵的定义—设A 为n 阶矩阵，若存在B ，使得E BA =，称A 可逆，B 称为A 的逆矩阵，记为1-=
A B 。
【例题1】设A 为n 阶矩阵，且O E A A =--22，求11)(,--+E A A 。
【例题2】设
A 为n 阶矩阵，且O A k =，求1)(--A E 。 2、关于逆矩阵的两个问题 【问题1】 设A 为n 阶矩阵，A 何时可逆？ 【问题2】 若
A 可逆，如何求1-A ？
3、逆阵存在的充分必要条件 定理 设A 为n 阶矩阵，则矩阵A 可逆的充分必要条件是0||≠A 。
4、逆阵的求法
（1）方法一：伴随矩阵法 *
-=
A A A
|
|11
。 （2）初等变换法
)|()|(1-A E E A 初等行变换。
5、初等变换法求逆阵的思想体系 第一步，方程组的三种同解变形 （1）对调两个方程；
（2）某个方程两边同乘以非零常数； （3）某个方程的倍数加到另一个方程， 以上三种变形称为方程组的三种同解变形。 第二步，矩阵的三种初等行变换 （1）对调矩阵的两行；
（2）矩阵的某行乘以非零常数倍； （3）矩阵某行的倍数加到另一行， 以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换。
若对矩阵的列进行以上三种变换，称为矩阵的初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。
第三步，三个初等矩阵及性质
（1）ij E —将E 的第i 行与第j 行或者单位矩阵E 的第i 列与第j 列对调所得到的矩阵，如
23010100001E =????
? ??。 性质： 1）1||-=ij E ；1）ij ij E E =-1
；
3）A E ij 即为矩阵
A 的第i 行与第j 行对调，ij AE 即为矩阵A 的第i 列与第j 列对调，
即A E ij 是对A 进行第一种初等行变换，ij AE 是对
A 进行第一种初等列变换。
（2）)0)((≠c c E i —将E 的第i 行乘以非零常数c 或E 的第i 列乘以非零常数c 所得到的矩阵，如
)5(5000100013-=???
?
? ??-E 。 性质：1）c c E i =|)(|；2）)1
()(1
c
E c E i i =-；
3）A c E i )(即为矩阵A 的第i 行非零常数c ，)(c AE i 即为矩阵A 的第i 列非零常数c ，即A c E i )(为对A 进行第二种初等行变换，)(c AE i 为对A 进行第二种初等列变换。
（3）)(k E ij —将E 第j 行的k 倍加到第i 行或E 的第i 列的k 倍加到第j 列所得到的矩阵。 性质：
1）A k E ij )(即A 第j 行的k 倍加到第i 行，)(k AE ij 即A 第i 列的k 倍加到第j 列； 2）1|)(|=k E ij ；3）)()(1
k E k E ij ij -=-。
第四步，三个问题 【问题1】 设
A 是n 阶可逆矩阵，A 可都经过有限次初等行变换化为E ？
【问题2】 设A 是n 阶不可逆矩阵，A 是否可以经过有限次初等行变换化为???
? ?
?O O
O E r
？ 【问题3】设
A 是n 阶不可逆矩阵，A 是否可以经过有限次初等变换化为???
? ??O O
O E r
？ 第五步，初等变换法求逆阵的理论
定理1 设A 是n 阶可逆矩阵，则A 经过有限次初等行变换化为E ，且)()(1-→A E E A 。
定理2设A 是n 阶不可逆矩阵，则存在n 阶可逆矩阵P 和Q ，使得???
? ??=O O O E PAQ r
。 6、逆矩阵的性质 （1）A A =--1
1)(。（2）1
11)(--=
A k
kA 。 （3）111
)(---=A B AB ，更进一步111
11121)(-----=A A A A A A n n n 。
（4）T T A A )()
(11
--=。
（5）???? ??=?
???
??---11
1
B O O A B O O A ，???
? ??=???
? ??---O A B O
O B A O 111
。 【例题1】设可逆矩阵
A 的j i ,行对调所得的矩阵为
B 。
（1）证明：B 可逆。 （2）求B A 1
-。
【例题2】设B A ,分别为n m ,阶可逆矩阵，b B a A ==||,||，求*
???
?
??O B A O 。
【例题3】设可逆阵
A 的2,1两行对调得矩阵
B ，讨论*A 与*B 之间的关系。
【例题4】设,,133312
321131
131211
23
2221
3332
31
232221
131211
?????
??+++=????? ??=a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a A ???
?? ??=????? ??=101010001,10000101021P P ，则 （ ）
【例题5】设????
?
??--=100110111A ，且E AB A =-2
，求B 。
（二）矩阵的秩
1、矩阵秩的定义—设A 是n m ?矩阵，A 中任取r 行和r 列且元素按原有次序所成的r 阶行列式，称为A 的r 阶子式，若
A 中至少有一个r 阶子式不等于零，而所有1+r 阶子式（如果有）皆为零，称r 为
矩阵A 的秩，记为r A r =)(。
2、矩阵秩的求法—将A 用初等行变换化为阶梯矩阵，阶梯矩阵的非零行数即为矩阵A 的秩。
【注解】
（1）设A 为n m ?矩阵，则},min{)(n m A r ≤。 （2）0)
(=A r 的充分必要条件为O A =。
（3）1)(≥A r 的充分必要条件为O A ≠。 （4）2)(≥
A r 的充分必要条件是A 至少有两行不成比例。
（5）T n a a a ),,,(21 =α
，则???=≠=O
O
r ααα,0,1)(。
3、矩阵秩的性质
（1）)()()()(A A r AA r A r A r T
T
T
===。 【例题1】设
A 是n m ?矩阵，证明：若O A A T =，则O A =。
（2）)()()(B r A r B A r +≤±。
【例题2】设????
? ??=????? ??=n n b b a a 11,βα，T
T A ββαα+=，证明：2)(≤A r 。
（3）)}(),(min{)(B r A r AB r ≤，等价于?
?
?≤≤)()()
()(B r AB r A r AB r 。
（口诀：即矩阵的乘法不会使矩阵的秩升高）
【例题3】设B A ,分别为n m ?与m n ?矩阵，且E AB =，求)(),(B r A r 。 （4）设s n n m B A ??,，且0=AB ，则n B r A r ≤+)()(。 【例题4】设
A 为可逆矩阵，证明其逆矩阵唯一。
【例题5】设A A =2
，证明：n A E r A r =-+)()(。
（5）设Q P ,为可逆矩阵，则)()()()(PAQ r AQ r PA r A r ===。
（6）)2(1)(,01)(,1)(,)(≥??
???-<-===*
n n A r n A r n
A r n A r 。
（7）)()(B r A r B A r +≤???
?
??。 （8）?=1)(A r 存在非零向量βα,，使得T
A αβ=。
第三讲 向量
一、向量基本概念
1、向量—n 个实数n a a a ,,,21 所构成的一个数组称为向量，其中),,,(21n a a a 称为n 维行向量，
???
?
? ??n a a 1称为n 维列向量，构成向量的所有元素皆为零的向量称为零向量。 2、向量的内积：∑===n
i i i T
b a 1
),(βα
βα。
[注解]（1）βα
αββαT
==),(),(； （2）21
2||),(ααα==∑=n
i i a ；
（3）),(),(),(γαβαγβα+=+； （4）),(),(),(βαβαβαk k k ==。
（5）当0),(=βα，即01
=∑=n
i i
i b
a 时，称向量α与β正交，记为βα⊥，注意零向量与任何向量正
交。
【注解】方程组的向量形式
齐次线性方程组可以表示为O x x x n n =+++ααα 2211； 非齐线性方程组可以表示为b x x x n n =+++ααα 2211，
其中???
?
? ??=????? ??=????? ??=????? ??=n mn n n m m b b b a a a a a a 1121221111,,,,ααα。
3、线性相关与线性无关
对齐次线性方程组O x x x n n =+++ααα 2211，
（1）O x x x n n =+++ααα 2211当且仅当021====n x x x 时成立，即齐次线性方程组只有零解，称向量组n ααα,,,21 线性无关；
（2）若有不全为零的常数n k k k ,,,21 ，使得O k k k n n =+++ααα 2211成立，即齐次线性方程组有非零解，称n ααα,,,21 线性相关。 4、向量的线性表示
对非齐线性方程组b x x x n n =+++ααα 2211，
（1）存在一组常数n k k k ,,,21 ，使得b k k k n n =+++ααα 2211成立，即非齐线性方程组有解，称β可由n ααα,,,21 线性表示；
（2）若b x x x n n =+++ααα 2211不能成立，即非齐线性方程组无解，称β不可由n ααα,,,21 线性表示。
5、向量组的秩与矩阵的秩的概念
（1）向量组的极大线性无关组与向量组的秩—设n ααα,,,21 为一个向量组，若n ααα,,,21 中存在r 个线性无关的子向量组，但任意1+r 个子向量组（如果有）线性相关，称r 个线性无关的子向量组为向量组n ααα,,,21 的一个极大线性无关组，r 称为向量组n ααα,,,21 的秩。 [注解]（1）若一个向量组中含有零向量，则该向量组一定线性相关。 （2）两个向量线性相关的充分必要条件是两个向量成比例。 （3）向量组的极大线性无关组不一定唯一。
6、向量组的等价—设m A ααα,,,:21 与n B βββ,,,:21 为两个向量组，若
??????
?+++=+++=+++=n
mn m m m n
n n n k k k k k k k k k βββαβββαβββα 22112222121212121111， 则称向量组m A ααα,,,:21 可由向量组n B βββ,,,:21 线性表示，若两个向量组可以相互线性表示，称两个向量组等价。 二、向量的性质
（一）向量组的相关性与线性表示的性质
1、若n ααα,,,21 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表出。
2、设n ααα,,,21 线性无关，而βααα,,,,21n 线性相关，则β可由n ααα,,,21 线性表出，且表示方法唯一。
3、若一个向量组线性无关，则其中任意一个部分向量组也必然线性无关；
4、若一个向量组的一个部分向量组线性相关，则此向量组一定线性相关；
5、设n ααα,,,21 为n 个n 维向量，则n ααα,,,21 线性无关0|,,,|21≠?n ααα 。
6、若一个向量组的个数多于维数。则此向量组一定线性相关。
7、若n ααα,,,21 为一个两两正交的非零向量组，则n ααα,,,21 线性无关。 8、设n ααα,,,21 为两两正交的非零向量组，则n ααα,,,21 线性无关，反之不对。 【例题1】 设321,,ααα线性无关，432,,ααα线性相关，证明：4α可由321,,ααα线性表示。
【例题2】设321,,ααα线性无关，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，讨论321,,βββ的相关性。
【例题4】设4321,,,αααα线性无关，令
144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，讨论4321,,,ββββ的相关性。
（二）向量组的秩的性质
1、设n m B A βββααα,,,:,,,,:2121 为两个向量组，若A 组可由B 线性表出，则A 组的秩不超过B 组
的秩。
2、等价的向量组由相等的秩。
3、矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩三者相等。
【注解】（1）设n ααα,,,21 线性无关，b n ,,,,21ααα 线性无关的充分必要条件是b 不可由向量组
n ααα,,,21 线性表示，等价于1),,,(),,,,(2121+=n n r b r αααααα 。
（2）设n m B A βββααα,,,:,,,,:2121 ，若向量组A 可由向量组B 线性表示，而向量组B 不可由向量
组A 线性表示，则)()(B r A r <。
第四讲 方程组
一、线性方程组的基本概念
方程组???????=+++=+++=+++.
0,0,0221122221211212111n mn m m n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （I ），称（I ）为n 元齐次线性方程组。
方程组???????=+++=+++=+++.
,,22112
222212*********m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （II ）称（II ）为n 元非齐线性方程组，方程组（I ）又
称为方程组（II ）对应的齐次线性方程组或者导出方程组。
二、线性方程组解的结构
1、设s X X X ,,,21 为齐次线性方程组O AX
=的解，
则s s X k X k X k +++ 2211为O AX =的解，其中s k k k ,,,21 为任意常数。特殊情形，21X X +及1kX （k 为任意常数）都是O AX =的解。
2、设0X 为齐次线性方程组O AX
=的解，η为非齐线性方程组b AX =的解，则η+0X 为方程组
b AX =的解。
3、设21,ηη为非齐线性方程组b AX
=的解，则21ηη-为O AX =的解。
4、设t ηηη,,,21 为b AX =的一组解，则t t k k k ηηη+++ 2211为b AX =的解的充分必要条件
是121=+++t k k k 。 三、线性方程组解的基本定理 定理1 （1）齐次线性方程组O AX =只有零解的充分必要条件是n A r =)(；
（2）齐次线性方程组O AX
=有非零解（或者无穷多个解）的充分必要条件是n A r <)(。
定理2 （1）非齐线性方程组b AX =无解的充分必要条件是)()(A r A r ≠。
（2）b AX
=有解的充分必要条件是)()(A r A r =。更进一步地，当n A r A r ==)()(时，方程组
b AX =有唯一解；当n r A r A r <==)()(时，方程组b AX =有无穷多个解。
四、线性方程组的通解 （一）齐次线性方程组O AX
=的基础解系与通解
【例题1】求方程组???????=-+-=++=++=+-++0
050720854315325
2154321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
【例题2】求方程组???
??=-+++=-++=+--+0
22042220254321
532154321x x x x x x x x x x x x x x 。
【注解】齐次线性方程组基础解的的三大条件
一个向量组为齐次线性方程组的基础解系的充分必要条件是
（1）该向量组为方程组的解。（2）该向量组线性无关。 （3）该向量组的向量个数与方程组自由变量个数相等。
（二）非齐线性方程b AX
=的通解
【例题1】设方程组???
?
? ??=????? ??????? ??-+03121232121321x x x a a 无解，求a 。
【例题2】b a ,取何值时，方程组???????-=+++=--+-=++=+++1
232)3(1220
43214324
324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有解，并求出其解。
【例题3】（1）设
A 为n 阶阵，且A 的各行元素之和为0，0,1)(=-=AX n A R 则，求0=AX 的通解。
（2）设A 为n 阶阵，且0,0||≠=ki A A ，求0=AX
的通解。
（3）设b AX
=为四元非齐方程组，321,,,3)(ααα=A R 为其3个解向量，且T )8,9,9,1(1=α，
T )9,9,9,1(32=+αα，求b AX =的通解。
（4）321,,ααα设为4维列向量组，21,αα线性无关，),,(,23321213αααααα=+=A 且， 求0=AX
的一个基础解系。
（5）设4324321,,),,,,(ααααααα=A 线性无关，且4213212,3αααβααα++=+=， 求β=AX 的通解。
【例题3】设),,,2,1(21n r r i a a a in i i i <=?
?
??
?
??
??=
α为n 维向量组，且r ααα,,,21 线性无关，??????? ??=n b b b 21β为??????
?=++=++=++0
00
1121211111n rn r n
n n n x a x a x a x a x a x a 的非零解，问βααα,,,,21r 线性相关性。 方程组补充 （一）理论拓展
定理1 若O AB =，则B 的列向量组为方程组O AX
=的解。
【例题1】设O AB =，证明：n B r A r ≤+)()(。
【例题2】设A 为三阶非零矩阵，A 的第一行元素c b a ,,不全为零，???
?
?
??=k B 63642321，且O AB =，
求方程组O AX =的通解。
定理2 若O AX
=与O BX =同解，则)()(B r A r =。
【例题1】证明：)()(A A r A r T
=。 【例题2】设
A 为s n ?矩阵，
B 是n m ?矩阵，且n B r =)(，证明：)()(BA r B r =。
（二）方程组的公共解 定理
O AX =与O BX
=的公共解即为O X B A =???
?
??的解。 【例题1】设B A ,都是n 阶矩阵，且n B r A r <+)()(，证明：O AX
=与O BX =有公共的非零解。
【例题2】设线性方程组（1）??
?=-=+00
4221x x x x 与方程组（2）???=+-=+-00432321x x x x x x 。
（1）求两个方程组的基础解系。 （2）求两个方程组的公共解。 第五讲 特征值与特征向量
一、基本概念
1、矩阵的特征值、特征向量—设A 为n 阶矩阵，若存在λ和非零向量X ，使得X AX
λ=，称λ为
矩阵A 的特征值，称X 为矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。
【问题1】设A 为n 阶矩阵，如何求A 的特征值？
【问题2】设
A 为n 阶矩阵，0λ为A 的特征值，如何求矩阵A 的属于0λ的特征向量？
2、特征多项式、特征方程—令??
??
?
??
??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221
11211， 称nn
n n n
n
a a a a a a a a a A E ---------=
-
λλλλ
2
1
2222111211
||为矩阵A 的特征多项式，0||=-A E λ称为矩阵A 的特征方程。 【注解】（1）设
A 为实矩阵，则A 的特征值不一定是实数。
（2）)(221121A tr a a a nn n =+++=+++ λλλ。 （3）||21A n =???λλλ 。
（4）n A r =)(的充分必要条件是)1(0n i i ≤≤≠λ。
【例题1】设???
?? ??=122212221A ，求A 的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。
【例题2】设???
?
? ??=100100110A ，求A 的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。
【问题1】设n A r <)(，则0是A 的特征值，问A 的非零特征值个数是否与
A 的秩相等？
【问题2】问每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量个数是否一致？
3、矩阵相似—设B A ,为两个n 阶阵，若存在可逆阵P ，使得B AP P
=-1
，则称A 与B 相似，记为
B A ~。
【注解】 （1）A A ~
。 （2）若B A ~，则A B ~。 （3）若B A ~，C B ~，则C A ~。
（4）||||~B E A E B A -=-?λλ，反之不对。 （5）)()(~B r A r B A =?，反之不对。 （6）11
~;~~--?B A B A B A T
T
（其中B A ,可逆）。
（7）若B A ~
，则)()(B tr A tr =，||||B A =。
4、矩阵的对角化—若一个矩阵和对角矩阵相似,则称矩阵可以对角化，设A 是n 阶矩阵，所谓A 可对角化，即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1
，其中Λ为对角矩阵。
二、特征值与特征向量的性质
（一）一般矩阵特征值与特征向量的性质
1、（重要性质）不同特征值对应的特征向量线性无关。
2、设A 为n 阶矩阵，0λ是矩阵A 的特征值，0X 是矩阵A 的对应于0λ的特征向量，则
（1）若A 可逆，则1
0-λ是矩阵1-A 的特征值，0X 是矩阵1-A 的对应于1
0-λ的特征向量。
（2）若A 可逆，则
|
|λA 为矩阵*A 的特征值，0X 是矩阵*
A 的对应于
|
|λA 的特征向量。
（3）设011
1)(a x a x
a x a x f n n n
n ++++=-- 为一元n 次多项式，称
E a A a A a A a A f n n n n 0111)(++++=-- 为关于矩阵A 的矩阵多项式，则有
)(0λf 为矩阵)(A f 的特征值，0X 是矩阵)(A f 的对应于)(0λf 的特征向量。
3、矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
（二）实对称矩阵特征值特征向量的性质
1、设A 为实对称阵，则
A 的特征根都是实数。
2、设A 为实对称阵，则A 的不同特征根对应的特征向量正交。
3、A 可对角化A ?有n 个线性无关的特征向量。
4、设A 为实对称阵，n λλλ,,,21 为其特征根，则存在正交阵Q ，使得
???
?
? ??=n T AQ Q λλ 1。
三、矩阵的对角化 （一）非实对称矩阵 （二）实对称矩阵
典型问题
（一）特征值、特征向量的性质 【例题1】设A 为四阶矩阵，B A ~，且A 的特征值为5
1
,41,31,21，则____||1=--E B 。
【例题2】设
A 为可逆矩阵，0λ为A 的一个特征值，则E A 2)(2+*的一个特征值为____。
【例题3】设21λλ，为A 的两个不同的特性根，21,X X 分别为21λλ，所对应的特征向量，
则21X X +不是特征向量。
（二）特征值、特征向量的求法
【思路分析】特征值的求法常见有三种方法： （1）公式法，即通过0||=-A E λ求A 的特征值。 （2）定义法 （3）关联矩阵法
【例题1】设矩阵B A ,的每行元素之和分别为b a ,，其中A 可逆。（1）求1
-A 的每行元素之和；（2）
求AB 的每行元素之和。 【例题2】设
A 为n 阶矩阵，且O A A =+22，求A 的特征值。
【例题3】设????
?
??=????? ??=n n b b a a 11,βα，且3),(=βα，令T
A αβ=，求A 的特征值及重数。
【例题4】
A 是三阶矩阵，321,,ααα线性无关，
213132321,,ααααααααα+=+=+=A A A ，求矩阵A 的特征值。
（三）矩阵对角化问题
【思路分析】判断矩阵对角化常见思路有： （1）矩阵的特征值是否为单值。
（2）矩阵是否存在n 个线性无关的特征向量。 （3）矩阵是否为实对称矩阵。 【例题1】设?
??
?
??=d c b a A 且0<-bc ad ，证明A 可对角化。
【例题2】设???
?
? ??------=266157113A ，证明A 不可以对角化。
【例题3】????
? ??=122212221A ，求A 的特征根、特征向量，以及是否可以对角化？
【例题4】设
A 为非零矩阵，且存在正整数k ，使得O A k =，证明A 不可以对角化。
【例题5】设???
?
? ??=0011100y x A 有三个线性无关的特征向量，求y x ,满足的条件。
【例题6】ββ=???
?
? ??-=????? ??=AX a a a A ,211,111111,有解但不唯一,(1)求a 的值;(2)求可逆阵P ,使得
AP P 1-为对角阵;(3)求正交阵Q ,使得AQ Q T 为对角阵。
（四）求矩阵
A
【思路分析】特征值与特征向量部分求未知矩阵的思路为： （1）求A 的特征值。
（2）求A 的不同特征值对应的线性无关的特征向量（注意：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交）
（3）令),,,(21n P ξξξ =，由???
??
??=-n AP P λλ 11得11-????
?
??=
P P A n λλ 。 【例题1】设???
?
?
??--=????? ??-=????? ??===?212,122,221),3,2,1(,32133αααααi i A A i i ，求A 。
【例题2】设三阶实对称阵
A 的特征值分别为3,2,1，A 的属于特征值2,1的特征向量分别为
T T )1,2,1(,)1,1,1(21--=--=αα。（1）求A 的属于特征值3的特征向量；（2）求A 。
第六讲 二次型及其标准型
一、基本概念
1、二次型—含n 个变量n x x x ,,,21 且每项皆为二次的齐次多项式
∑∑==--=+++++=n i n
j j i ij n n n n n nn n x x a x x a x x a x a x a x x x f 11
1,121122
2
1112122),,,( 称为二次
型。
令??????? ??=n x x x X 21，??
???
??
??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221
112
11，则AX X X f T
=)(。矩阵A 称为二次型的矩阵，显然A A T =，即二次型的矩阵都是对称矩阵，矩阵A 的秩称为二次型的秩。
2、标准二次型—只含有平方项不含交叉项的二次型称为标准二次型。
3、矩阵合同—设B A ,为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得B AP P
T
=，称矩阵A 与B 合同，记为
B A ?。
4、二次型的标准化—设AX X X f T
=)(为一个二次型，若经过可逆的线性变换PY X =（即P 为可
逆矩阵）把二次型AX X X f T
=)(化为
2
222211)()(m m T T PY
X T
y l y l y l Y AP P Y AX X X f +++==== ，称为二次型的标准化。
5、规范二次型—二次型的标准型的系数为1和1-的标准型，称为二次型的规范型。 二、二次型标准化方法 （一）配方法
【例题1】用配方法化二次型32212
32
22
1321245),,(x x x x x x x x x x f +--+=为标准型。 【例题2】用配方法化二次型2121),(x x x x f =为标准型。 （二）正交变换法
（1）求A 的特征值n λλλ,,,21 。
（2）求A 的线性无关的特征向量n ξξξ,,,21 。
（3）将n ξξξ,,,21 进行施密特正交化和规范化得n γγγ,,,21 ，令),,,(21n Q γγγ =。 （4）2
222211)(n n T T QY
X T
y y y Y AQ Q Y AX
X f λλλ+++==== 。
【例题1】用正交变换法化二次型3231212
32
22
1321444),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准型。 【例题2】设3231212
32
232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=。
（1）写出二次型的矩阵形式；（2）用正交变换法求二次型的标准型，写出正交阵。 三、正定矩阵与正定二次型
2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学二真题分析 （word 版） 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1） ）若函数10(),0x f x ax b x ?->?=??≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a ++→→-==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ） 【答案】B 【解析】 ()f x 为偶函数时满足题设条件，此时01 10()()f x dx f x dx -=??，排除C,D. 取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103 f x dx x dx --=-=-
【答案】D 【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞ ==，A 错； 取1n x =-，排除B,C.所以选D. （4）微分方程的特解可设为 （A ）22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ 【答案】A 【解析】特征方程为：2 1,248022i λλλ-+=?=± 故特解为：***2212(cos 2sin 2),x x y y y Ae xe B x C x =+=++选C. （5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y ??>>??，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y ??>
考研数学三高分经验分享 一、高数 同济高数课本，李永乐数学全书(只做了高数部分)，杨超基础班、强化班、冲刺班视频及配套讲义(可在大家论坛下载，下面提到的视频都可以在大家论坛里下载)。强烈推荐杨超的高数，讲的生动有趣，尊重基础而且方法性十足，考研是一件很无趣的事情，他的视频会让你感到乐趣!第一件要做的事是看大纲，先排除不考的内容，15考研看14的即可，一般不会有什么大变化，等新大纲出来再查缺补漏就好。课本要先浏览一遍，看懂就行不必深究，因为你这时候掌握的东西太少，啃课本没什么质的收获，但课本很重要，尤其是你在看视频并且开始大量做题的时候，你要把课本当成一本工具书来使用，遇到不确定的知识点就去翻课本，你会逐渐对知识掌握的越来越牢固。再说视频，我没有报辅导班，我觉得浪费时间，但闭门造车绝对不可取，看视频是个很好的选择。杨超的视频很条理，而且是结合配套的讲义(讲义上的题很好)来讲，每看完一部分就做复习全书对应部分的题目，这样把全书高数部分过完一遍。记的看视频的时候做好笔记，其他科目也是。 二、线代 课本随便你本科用的就可以，李永乐线代讲义(这本书做透了线代部分就没问题了)及配套视频也是课本先浏览一遍，然后开始看视频并做讲义，这样做完整本讲义，你会觉得这本书真是太棒了! 三、概率论 浙大的课本，张宇的概率论讲义(西安交大出版社)及配套视频关于概率论哪个老师讲得好我也不好说，因为我只用过张宇的，他的这本书有点偏难，但是我选择他的视频是因为他比较年轻(杨超更年轻哈哈)，讲的很有趣，就算其他老头子讲的好但是死气沉沉的估计我也看不下去了，考研本来就是很枯燥，就尽量让自己学习的轻松欢乐一点。这本书用法和上面一样，边看视频变做题。这样三本书都做完数学第一轮就过去了。当然一遍是肯定不够的，这一遍下来你会感觉忘记的很多，开始第二遍吧~并且你要开始自己总结一些东西，不要怕自己总结太耗时间，这会让你的知识体系有质的提高。 四、习题和模拟题 660题，真题解析，合工大(不是哈工大)最后五套题660题的题目很多，保持一天做一些自己掌握好节奏就可以，到最后我也没做完，做不完也不用感觉有压力。在做题的过程中，遇到问题就要不断的翻课本和之前讲义或书上的知识点或类似的题目，尤其是线代讲义，在这个阶段基本可以把它当做工具书了，它基本涵盖了所有能考到的东西，你会再次感叹这本书写的太好了。真题解析要用来模拟，后期隔几天一套来做，因为真题很有价值，要发挥它最大的效用，并且遇到的错题要举一反三的去巩固涉及的知识点。合工大5套题的题目很不错，比真题稍微难一些，但用来模拟和锻炼思维挺有帮助。上面就是大体说了用过的书，关于复习的时间安排每个人都有自己的节奏，没有固定的模式，只要自己感觉每一阶段都是踏
基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m
正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =， 2π π+ ≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；
高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限 一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确． 若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞ →∞ ==<则 解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤， 不能保证A B <．例如：11 ,1 n n x y n n ==+，,n n x y n ，那么函数()f x 在X 上无界． 无穷大：设函数 ()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义） ．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数 X ） ，只要x 适合不等式00x x δ<-<（或 x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式
2020考研数学复习指导 教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。数三不考向量组的线性相关性中的向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合的问题; 概率与数理统计的内容包括：1、概率论的基本概念2、随机变量及其分布3、多维随机变量及其分布4、随机变量的数字特征5、大数定律及中心极限定理6、样本及抽样分布7、参数估计，其中数三的同学不考参数估计中的区间估计。 3.对应考试的专业 数学一是报考理工科的学生考，考试内容包括高等数学，线性代数和概率论与数理统计，考试的内容是最多的。 数学二是报考农学的学生考，考试内容只有高等数学和线性代数，但是高等数学中删去的较多，是考试内容最少的 数学三是报考经济学的学生考，考试内容是高等数学，线性代数和概率统计。高数部分中，主要重视微积分的考察，概率统计中没有假设检验和置信区间。 4.难度上的区别 数学一最大，数学三最小。数学一的难度主要体现在内容多，给考生的复习加大了难度;而数学二由于内容较少，试题的灵活性也
相对较大。但总的来说，数一数二和数三区别不大，在都考的部分，要求是差不多的，考试中三张试卷中完全相同的试题也占到了很大比重。 二、数学该如何复习 1.首先就要明确高频的考题 高频的考题其实就是命题的重点，一般的情况下，这样的命题是要年年进行考查的。 ?微积分 (1)幂指函数这样的未定式的极限，是重点考查的内容。 (2)利用定积分的定义，像中值定理来进行极限的计算，这样的内容虽然它未必是高频的考题，但也要重视。 (3)一元函数的微分学，求导运算它是微积分的基础，也是考查的重点内容。在函数的求导问题当中，数一、数二由参数方程所确定的函数的导数，分段函数的可导性，都是高频的考题。 (4)幂指函数的求导、复合函数的求导，它也会偶尔进行考查。 (5)一元函数微分学的应用，每年是必考的内容，研究函数的性态，函数单调性、极值、最值和凹凸性，极值和最值的问题，就是绝对高频的考点，几乎年年都要进行考查。 (6)对于凹凸性这样的问题，也不能忽视。比如说利用单调性、凹凸性、极值和最值来证明不等式，要掌握这类问题的常规的解题模式和方法。 (7)一元函数积分学，高频内容就是积分上限函数。要重点掌握
第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→；
2021考研数学各章节备考基础知识点盘点 第一章函数、极限与连续 1、函数的有界性 2、极限的定义(数列、函数) 3、极限的性质(有界性、保号性) 4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界有极限定理) 5、函数的连续性 6、间断点的类型 7、渐近线的计算 第二章导数与微分 1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数) 2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程高阶导数) 3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二)) 第三章中值定理 1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存
在定理) 2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西) 3、积分中值定理 4、泰勒中值定理 5、费马引理 第四章一元函数积分学 1、原函数与不定积分的定义 2、不定积分的计算(变量代换、分部积分) 3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二)) 4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理) 5、定积分的计算 6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力) 7、变限积分(求导) 8、广义积分(收敛性的判断、计算) 第五章空间解析几何(数一) 1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积) 2、直线与平面的方程及其关系 3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法 第六章多元函数微分学 1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义 2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系
绝密★启用前 2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二） （科目代码302） 考生注意事项 1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。 3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。 5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。 精选
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且'' ()0f x >，则（ ） ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>>??，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >
第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理
极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又)
则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。
驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ，
使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）
考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算 1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A? B。若 A? B且B? A，称两事件相等，记A= B。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。 3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。 【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。 （2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）AB? A(或B)? A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A； 2、（1）A? A= A,A? A= A； （2）A? (B? C)= (A? B)? (A? C),A? (B? C)= (A? B)? (A? C)； 3、（1）A= (A- B)? A；（2）(A- B)? A= A- B； （3）A+ B= (A- B)? AB? (B- A)。 4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A? A= φ 。 二、概率的定义与性质 （一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(?)称为所对应事件的概率：
2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析 一、选择题 1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 2.）（π202≤≤+=x x cos x sin x y 的拐点 A.??? ? ?2,2ππ B.()2,0 C.()2,π D.??? ? ?-23,23ππ 3.下列反常积分收敛的是（） A.dx xe x ?+∞ -0 B.dx xe x ? +∞ -02 C. dx x x ? +∞ +0 2 1arctan D. dx x x ? +∞ +0 21 4.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+'' 的值为（ ） A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4 5.已知积 分区域???? ?? ≤+=2πy x |y ,x D ） （，dxdy y x I D ??+=221， dxdy y x I D ??+=222sin ，(dxdy y x I D )cos 1223??+-=，试比较321,,I I I 的大小 A.123I I I << B.321I I I << C.312I I I << D.132I I I << 6.已知)()(x g x f 是二阶可导且在a x =处连续，请问)()(x g x f 相切于a 且曲率相等是 0)() ()(lim 2 =--→a x x g x f a x 的什么条件 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 7.设A 是四阶矩阵，* A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量，则* A 的秩是
考研数学辅导书比较，一个比较经典的帖子，重温一下。 1.李永乐考研数学复习全书 题型很全面，内容很充实（线代和概率很不错，微积分稍逊）难度要高于真题，所谓的简单是命题的风格 很常规，没有什么剑走偏锋让人一下傻眼的题，考研真题不正是这样的吗？ 做熟练（我不知道怎么叫做透哈）120以上真不难，135以上就要看临场发挥。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.陈文灯考研数学复习指南 个别题其实已经很陈旧了，难度也有被夸大的嫌疑。很大一部分也是注重基础的题只是不像全书加以强调 和总结，微积分部分题型归纳很好，个别题有难度（真不多），但有助于锻炼思维。线代和概率内容显单 薄。 PS：无穷级数，积分，不等式证明，泰勒公式，中值定理等是精华，做过思路会很清晰。传说，考高分要 做指南，我想，是因为指南在你有一定基础之后，能对你的思维有一个提炼吧。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.蔡燧林考研数学标准全书 微积分部分例题精华，讲解很深入，给人醍醐灌顶的感觉。所谓精华就是不会边边角角都涉及到的意思， 所以还是要做点非精华的练习（比如全书？？^_^） 线代一般，概率一般，纸张一般，印刷一般。 ps ：章后练习很多，但一定要做，那个也是精华。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.水木艾迪微积分通用讲义 配合水木的视频，很好的哈。把解题中的疑难提出来，然后列举例题加以解决分析。章前的知识点讲解也 很好，选题很也典型。总之，比全书微积分要好，值得一读。 PS：多元微分，一元微积分非常好。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.赵达夫高等数学辅导讲义 体例不好，一堆知识点，一堆练习，一堆解答。章后练习选题还是很好的，不一定很难，但非常典型。但 PS：只靠这一本书是不够的。是不是叫不给力？ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6.黄庆怀高等数学辅导教材 同学们骂我书托吧，我做了这么多书，最想推荐的就是这本了。 体例好，内容全，例题典型，归纳完整，练习题保质保量。唯一稍差是讲解不够（全书和标
2011年考研数学强化班讲义参考答案（李铮） (上册) 第一讲 §1、 1.[,1]a a --; 2.(3,2)(2,1)(1,1]--?--?-;2 13.(221)8 x x +- 2 2 ,14.1 5.(())2,10 6.2sin ,0x e x f g x x x x x ?<-?=-≤≤??>? 周期为；；奇，偶，偶，偶 §2、 12 41111.2;2.1;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.1;33922e e e e --- 3 3232 2 211.(1);(4);(5);(6);(7);(8);62434 x x x x x x x 1214 12.;13.;14.;15.;16.(0)1,(0)0,(0); 4123 f f f ππ'''=-== 121 17.2,1;18.,,336 a b A B C ==-==-= §3、 2 1.2,; 2. 3.0,1; 4.0(),2(); 5.0(),1() a b a b x I x II x II x I π ==- ====±==-连续；
第二讲 §1、 11 1.; 2.,; 3.0,1; 4.1,128a b x x a b π======- 23 cos ,1 5.(); 6.1; 1 111247.(0),(0),(0);8.2()x x f x y x x e e y y y x e e e ??--'''=== 122 2229.1;10.0;11.2;12.x d y dy d u y t e dt dt dt -++=+= ; (2)(21)13.(0)0,(0)(1)(2)!k k k f f k +==- (2)(21)1214.(0)0,(0)(1)[(21)!!]k k k f f k +-==-- 15.0,1,2ααα>>> §3、 121.();2.();3.(2),2;4.0,1;5.3; B D y e x y x x x π=-=-== ±8.0,k k ≤=第三讲 §1、 22 2212ln 1.2;2.sin ;3.2 x x x x e e c x c x c ----+-++ ; 4.ln(1)ln(1)x x x e e x e c --++-++ ； 5.c -++ 234 116.;7.;11x x dx dx x x ±±++??
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的. 1 若 1 ) (lim 2 12 =++→x x x bx ax e ,则（ ） A 1,21-== b a B 1,21-=-=b a C 1,21==b a D 1 ,21=-=b a 2下列函数中不可导的是（ ） ) sin()(x x x f = B. ) sin()(x x x f = C. x x f cos )(= D. ) cos()(x x f = 3设函数??? ??≥-<<--≤-=???≥<-=0 11 ,2)(0,10,1)(x b x x x x ax x g x x x f 若)()(x g x f +在R 上连续，则（ ） A 1,3==b a B 2,3==b a C 1,3=-=b a D 2,3=-=b a 4 设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且 )(1 =? dx x f 则 （ ） A 当0)(<'x f 时，0)21(
李永乐《2012考研数学复习全书及习题全解(数一理工类）》PDF电子书下载李永乐《2012考研数学复习全书及习题全解(数三经济类）》PDF电子书下载2011年考研数学考纲 1995-2008数学一真题及详解加上了97 ~09的word真题 1995-2008考研数学三真题及答案 2010年考研数学一真题及答案解析PDF下载 2010年考研数学三真题及答案解析PDF下载 教材： 同济大学《高等数学》第六版(上下两册)教材PDF版 同济高等数学第六版习题全解指南（上下册）PDF版 同济第五版《高等数学》PDF电子书下载 同济大学《工程数学—线性代数》(第五版)教材PDF 同济线性代数第五版附册——《学习辅导与习题全解》PDF版 同济四版：线性代数课本 同济四版：线性代数课后答案 《概率论与数理统计》（浙大第四版）PDF电子书下载 《概率论与数理统计习题全解指南》（浙大第四版）PDF电子书下载 浙江大学《概率论与数理统计》第三版PDF版 浙江大学《概率论与数理统计》(第三版)习题全解指南PDF版
2012年辅导班资料： 2012年文登考研数学导学班陈文灯第1—5讲 2012年文都考研数学高分导学班蔡子华第1—13讲 2012年文都考研数学基础导学汤家凤第1—8讲 新东方： 2011考研数学高等数学基础课程视频下载 2011年考研数学新东方线性代数基础课程视频下载 2011考研数学概率论与数理统计基础课程视频下载 2010年考研数学新东方基础班视频+讲义下载(高数+线代+概率)全2010年考研数学新东方高数强化班李正元视频下载 启航： 09考研数学黄金套装 2009启航考研数学黄金套装（视频部分） 2009启航考研数学重点问题分析（启航精品-31讲更新中） 09启航基础线代李永乐(29讲全) 视频及播放软件下载 09启航线代强化李永乐全25讲讲义及视频下载 09启航基础概率王式安全25讲讲义及视频下载+强化概率讲义其他： 2011年考研数学文登线代和概率及高等数学基础班视频下载2011年文都考研数学强化视频下载
考研数学基础差怎么办怎么复习 有很多考研数学逆袭的例子。不管你的数学基础有多差，只要努力，零基础也是有机会拿高分的。下面就是给大家整理的考研数学基础差的复习方法，希望对你有用! 所以，建议同学们把书读透，一定要深刻理解基本概念、公式、结论的内涵和外延，并逐渐掌握它们的使用方法。试卷上一般是不需要考生默写某个概念或公式，而是用这些概念或公式解决问题，这种灵活运用公式的能力只有也只能通过做题来获得，所以也建议做一定数量的题目。我们知道题目做的多了，做题才有思路。在考试中才能自然而然地迅速形成解题思路。考场上碰到“看似会做但有做错”的情况与考生的做题数量有关。考生在之前没有碰到过这类题，没有意识到做这类题时有一些注意事项。考生平时做题时应积累和改正这些错误，并培养谨慎，细心的做题习惯，考场上就不会轻易犯这些错误了。 有些同学可能感觉书看懂了，碰到题目却不会做，做题的速度也比较慢。出现这种问题的原因只有两点，一是书没真看懂，没有融会贯通，二是题目做的太少了手太生。在这里建议同学们边看书边动笔，要思考分析，也要记忆。有一些同学像看小说一样看数学书，不动笔写写算算是肯定不行的，数学书不是看表面的文字，要挖掘深层次的本质。数学知识要在理解的基础上记忆，记住的东西只有通过做题才
能巩固和熟练应用。看书和做题相辅相成，互相促进，看书和做题时一定要多动脑子思考多问为什么。 数学基础薄弱的同学一点要下决心，要有信心，要吃苦。一是要早早准备,早早复习,狠抓基础, 吃透基本概念、基本方法和基本定理。基础比较差的同学,这方面应该比较薄弱,所以要花比较长的时间复习教材,教材看懂了,真正掌握了,后面的路就好走了。二是多练习。注意做题速度和做题准确度,只要是会的就别做错。填空题和选择题题量和难度都不大,也容易得分,所以平时的训练中,这部分要重视.基础差的同学不要抠一些难题、偏题,这样没有太大意义。要注意解题方法和技巧。长此以往当量的积累达到一定程度时，一定会有质的飞跃! 考研数学经验分享基础差如何逆反夯实基础阶段 在刚开始复习的时候，我最先想到的是把基础打牢，就像老师说的"基础不牢，地动山摇"，我对这句话非常赞同并且付诸在行动上。由于大一的时候基础很不牢靠，甚至还有过挂科的经历，所以这一阶段我的重点是梳理一遍教材，强化薄弱环节的知识点。在配合教材的基础上，我还使用了同济六版的高等数学习题全解这本书，按照这本书把教材后面的习题仔细地梳理了一遍。在复习过程中，事无巨细，这期间我养成了随时笔记的习惯，不理解的知识点和题目我都写在笔记上，反复的看，直到弄懂，弄不懂的我会上网搜，加入同好的考研QQ群去询问。基础阶段复习完成之后，我已经记满了两个笔记本 提高加强阶段
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（） （A ） 2 +∞ ? （B ）2 ln x dx x +∞ ? (C)2 1 ln dx x x +∞ ? (D)2 x x dx e +∞ ? (2)函数2 0sin ()lim(1)x t t t f x x →=+在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 (3)设函数1cos ,0 ()0,0x x f x x x α β?>?=??≤? (0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 (5).设函数(u v)f ，满足22 (,)y f x y x y x +=-，则 11 u v f u ==??与1 1 u v f v ==??依次是（） （A ） 12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12 (6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy == 与直线,y x y =围成的平面区域，函数 (,)f x y 在D 上连续，则(,)D f x y dxdy ??=（）
（A ） 12sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? （C ） 13sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? (7)．设矩阵A=211112a 14a ?? ? ? ???，b=21d d ?? ? ? ??? ,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的 充分必要条件为（） （A ）,a d ?Ω?Ω (B),a d ?Ω∈Ω (C),a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω (8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222 1232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若 132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ） (A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 222123 2y y y ++ 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. (9) 设223 1arctan ,3t x t d y dx y t t ==?=?=+? 则 （10）函数2 ()2x f x x =在0x =处的n 阶导数() (0)n f = （11）设函数()f x 连续，2 ()(),x x xf t dt ?= ? 若(1)?1=，'(1)5?=，则(1)f = （12）设函数()y y x =是微分方程'' ' 20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = （13）若函数(,)z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定，则(0,0)dz = （14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分） 设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2 ()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，