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(完整word版)线性系统的稳定性分析

第三章线性系统的稳定性分析

3.1 概述

如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够

的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。

应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系

统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。

本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫

稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。

虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地

位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。

3.2 外部稳定性与内部稳定性

3.2.1 外部稳定：

考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：

1()u t k ≤<∞

的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立：

2()y t k ≤<∞

则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。

系统外部稳定的判定准则

系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。

a) 时变情况的判定准则

对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切

0[,),(,)

t t G t τ∈∞的每一个元

(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij t

ij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞

有

即，(,)G t τ是绝对可积的。 b)

定常情况下的判定准则：

对于零初始条件的线性定常系统，初始时刻t 0=0,G(t)为脉冲响应矩阵，G(s)为传递函数矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，G(t)的每一个元

()(1,2,.......;1,2,.....)()ij t

ij t g t i q j p g t d k τ==≤<∞?

有

或者等价的：

当G(s)为真的有理分式函数矩阵时，G(s)的每一个传递函数g （s ）的所有零极点都具有负实部。

对于一个定常线性系统

)

()()()

()()(t t t t t t Du Cx y Bu Ax x +=+=&，其传递函数矩阵为：

D B A I C A I D B A I C G

+--=+-=-)](Adj [)

det(1

)()(?1s s s s 。因此，只要满足系统的

全部特征根具有负实部根，则系统是BIBO 稳定的。

3.2.2 内部稳定性

对于线性定常系统.

X AX Bu y CX Du ＝＋，＝＋如果外部输入u （t ）为0，初始状态x 0为任意，且由x 0引起的零输入响应

t 0;0)

φ0（；；x 满足：

lim t 0;0)0

x φ→∞

=0（；；x

则称系统实内部稳定的，或称为是渐进稳定的。判定准则：

对于系统)()(t t Ax x

=&，其解为)0()(x x A t

e t =。因此，对于上面所列的状态空间表达，它的渐进稳定的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值具有负实部。

3.2.3 内部稳定性和外部稳定性之间的关系

对线性定常系统的内部稳定和外部稳定的等价关系，得出如下结论： 1. 线性定常系统是内部稳定的，则其必为BIBO 稳定的。 2. 线性定常系统是BIBO 稳定的，不一定就是内部稳定的。

3. 线性定常系统是能控制和能观测的，则其内部稳定性和BIBO 稳定是等价的。

图3.1 外部稳定与内部稳定的关系

3.3 Lyapunov 意义下的稳定性问题

对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，

那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz 稳定性判据和Nyquist 稳定性判据等可资利用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。

Lyapunov 第二法（也称Lyapunov 直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最

一般的方法。反过来，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。李雅普诺夫稳定分析法是确定时变系统和非线性系统的稳定性更一般的方法，这种方法可以在无需求解状态方程的条件下，确定系统的稳定性。

3.3.1 基本概念

a) 平衡状态

忽略输入后，非线性时变系统的状态方程：

),(t x f x

=& 为n 维状态向量；t 为时间变量；),(t x f 为n 维函数），其展开式为： 12(,,,,)i i n x f x x x t =&L n i ,,1

Λ= 如果对于所有t ，满足

0),(==t x f x e e &

的状态x e 称为平衡状态（又称为平衡点）。如果系统是线性定常的，也就是说

Ax t x f =),(，则当A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当A 为奇异矩阵

时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t ，总存在e x x =）。

任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动)(t g x =都可通过坐标变换，统一化为扰动方程),~(~~

t x f x =&之坐标原点，即0),0(=t f 或0=e x 。在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点(0=e x )处之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化，而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov 的一个重要贡献。

控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。鉴于线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。

b) 李雅普诺夫稳定性

如果对于任意小的ε > 0，均存在一个0),(0>t εδ，当初始状态满足δ≤-e x x 0时，系统运动轨迹满足lim ε≤-e x t x t x ),;(00，则称该平衡状态x e 是李雅普诺夫意义下稳定的。

设系统初始状态x 0位于平衡状态x e 为球心、半径为δ的闭球域()S δ内，如果系统稳定，则状态方程的解),;(00t x t x 在∞→t 的过程中，都位于以x e 为球心，半径为ε的闭球域()S ε内。

c) 一致稳定性

通常δ与ε、t 0 都有关。如果δ与t 0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的δ与t 0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。

d) 渐进稳定性

系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有 00lim (;,)0e t x t x t x →∞

-→

称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从()S δ 出发的轨迹不仅不会超出()S ε，且当∞→t 时收剑于x e 或其附近。

大范围稳定性

当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，∞→δ，∞→δ)(S ，∞→x 。对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。

d) 不稳定性

不论δ取得得多么小，只要在()S δ内有一条从x 0 出发的轨迹跨出()S ε，则称此平衡状态是不稳定的。

实际上，渐近稳定性比纯稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。

在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。然而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。

图3.2 （a ）稳定平衡状态及一条典型轨迹

（b ）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹（c ）不稳定平衡状态及一条典型轨迹

图 3.2（a ）、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹。在图3.2(a)、(b)和(c)中，域S （δ）制约着初始状态0x ，而域S (ε）是起始于0x 的轨迹的边界。

注意，由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除非S (ε)对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。

此外，在图5.2（c ）中，轨迹离开了S (ε），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在S (ε）外的某个极限环（如果线性定常系统是不稳定的，则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远。但在非线性系统中，这一结论并不一定正确）。

上述各定义的内容，对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析，是最低限度的要求。注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。实际上，在其他文献中还有另外的定义。

对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般只考虑吸引区为有限的定范围的渐近稳定。

最后指出，在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与Lyapunov 意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。在Lyapunov 意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。

3.3.2 李雅普诺夫第一法

李雅普诺夫第一法是通过系统矩阵A 的特征值来判断系统的稳定性的，其主要内容: (1)用一次近似表达式表达状态方程，即.

X AX =，假如系统矩阵Ade 全部特征值具有负实部，则系统在平衡点处是稳定的，而且稳定性与高阶导数无关。

（2）如果在一次近似式的系统矩阵A 的特征值中至少有一个具有正实部时，无论高阶导数的情况如何，系统在平衡点处不稳定。

（3）如果在一次近似式的系统矩阵A 的特征值中有零特征值，系统的稳定性要有高阶导数决定。当高阶导数为零时，系统处于临界稳定状态。

3.3.3 标量函数的正定性定义

正定性：标量函数()V x 在域S 中对所有非零状态)0(≠x 有0)(>x V 且0)0(=V ，称

()V x 在域S 内正定。如2

21)(x x x V +=是正定的。负定性：标量函数()V x 在域S 中对所有非零x 有0)(

1x x x V +-=是负定的。如果()V x 是负定的，-()V x 则一定是正定

的。

负（正）半定性：0)0(=V ，且()V x 在域S 内某些状态处有0)(=x V ，而其它状态处均有0)(x V ），则称()V x 在域S 内负（正）半定。设()V x 为负半定，则

()V x -为正半定。如221)2()(x x x V +-=为正半定。

不定性：()V x 在域S 内可正可负，则称()V x 不定。如21)(x x x V =是不定的。关于(,)V x t 正定性的提法是：标量函数(,)V x t 在域S 中，对于0t t >及所有非零状态有0),(>t x V ,且0),0(=t V ，则称),(t x V 在域S 内正定。),(t x V 的其它定号性提法类同。

二次型函数是一类重要的标量函数，记

[]????

???????????????==n nn n n n T x x p p p p x x Px x x V M ΛM M ΛΛ

111111)( （1）其中，P 为对称矩阵，有ji ij p p =。显然满足0)(=x V ，其定号性由赛尔维斯特准则判定。当P 的各顺序主子行列式均大于零时，即

11111

112122

10,

0,,0n

n nn

p p p p p p p p p >>>L L M M L （2） P 为正定矩阵，则()V x 正定。当P 的各顺序主子行列式负、正相间时，即

1111112

1121

10,

0,,(1)0n

n n nn

p p p p p p p p p <>->L

L M M L

（3） P 为负定矩阵，则()V x 负定。若主子行列式含有等于零的情况，则()V x 为正半定或

负半定。不属以上所有情况的()V x 不定。

3.3.4 李雅普诺夫第二法

由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小

（这意味着总能量对时间的导数必然是负定的），直到平衡状态时为止，则振则系统是稳定的。

Lyapunov 第二法是建立在更为普遍的情况之上的，即：如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov 引出了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov 函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，并且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足Lyapunov 稳定性定理的假设条件，都可作为Lyapunov 函数。

Lyapunov 函数与n x x x ,,,21Λ和t 有关，我们用),,,,(21t x x x V n Λ或者),(t x V 来表示Lyapunov 函数。如果在Lyapunov 函数中不含t ,则用),,,(21n x x x V Λ或)(x V 表示。在

Lyapunov 第二法中，),(t x V 和其对时间的导数dt t x dV t x V

/),(),(=&的符号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不必直接求出方程的解（这种方法既适用于线性系统，也适用于非线性系统）。

1、关于渐近稳定性

可以证明：如果x 为n 维向量，且其纯量函数)(x V 正定，则满足

C x V =)(

的状态x 处于n 维状态空间的封闭超曲面上，且至少处于原点附近，式中C 是正常数。随着x →∞，上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果21C C <，则超曲面1)(C x V =完全处于超曲面2)(C x V =的内部。

对于给定的系统，若可求得正定的纯量函数)(x V ，并使其沿轨迹对时间的导数总

为负值，则随着时间的增加，)(x V 将取越来越小的C 值。随着时间的进一步增长，最终

)(x V 变为零，而x 也趋于零。这意味着，状态空间的原点是渐近稳定的。Lyapunov 主稳

定性定理就是前述事实的普遍化，它给出了渐近稳定的充要条件。该定理阐述如下：定理3.1 (Lyapunov, 皮尔希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基) 考虑如下非线性系统

)),(()(t t x f t x =&

式中

0),0(≡t f , 对所有0t t ≥

如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数),(t x V ，且满足以下条件： 1、),(t x V 正定； 2、),(t x V 负定

则在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。

进一步，若∞→x ，∞→),(t x V ，则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳

定的。

------------------------------------------------------------------ 例3.3 考虑如下非线性系统

)

()

(22

12122

221121x x x x x x x x x x +--=+-=&&

显然原点（01=x ，02=x ）是唯一的平衡状态。试确定其稳定性。

如果定义一个正定纯量函数)(x V

22212211)(222)(x x x x x x x V +-+=&&

是负定的，这说明)(x V 沿任一轨迹连续地减小，因此)(x V 是一个Lyapunov 函数。由于

)(x V 随x 偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷，则按照定理5.1，该系统在原点处的平衡状

态是大范围渐近稳定的。

注意，若使)(x V 取一系列的常值Λ,,,021C C （Λ<<<210C C ），则)(x V =0

对应于状态平面的原点，而1)(C x V =，2)(C x V =，…，描述了包围状态平面原点的互不相交的一簇圆，如图 3.2所示。还应注意，由于)(x V 在径向是无界的，即随着

x →∞，∞→)(x V ，所以这一簇圆可扩展到整个状态平面。

由于圆k C x V =)(完全处在1)(+=k C x V 的内部，所以典型轨迹从外向里通过V 圆的边界。因此Lyapunov 函数的几何意义可阐述如下)(x V 表示状态x 到状态空间原点距离的一种度

量。如果原点与瞬时状态x (t )之间的距离随t 的增加而连续地减小（即0))((

&），则0)(→t x 。

图3.2 常数V 圆和典型轨迹

------------------------------------------------------------------

定理3.1是Lyapunov 第二法的基本定理，下面对这一重要定理作几点说明。 (1) 这里仅给出了充分条件，也就是说，如果我们构造出了Lyapunov 函数),(t x V ，那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的Lyapunov 函数，我们并不能给出任何结论，例如我们不能据此说该系统是不稳定的。

(2) 对于渐近稳定的平衡状态，则Lyapunov 函数必存在。

(3) 对于非线性系统，通过构造某个具体的Lyapunov 函数，可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。

(4) 我们这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。

显然，定理 3.1仍有一些限制条件，比如&(,)V

x t 必须是负定函数。如果在&(,)V x t 上附加一个限制条件，即除了原点以外，沿任一轨迹&(,)V x t 均不恒等于零，则要求&(,)V x t 负定的条件可用&(,)V

x t 取负半定的条件来代替。定理 3.2 (克拉索夫斯基，巴巴辛) 考虑如下非线性系统

)),(()(t t x f t x =&

式中

0),0(≡t f , 对所有0t t ≥

若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数V x t (,)，且满足以下条件： 1、V x t (,)是正定的； 2、V x t (,)是负半定的；

3、]),,;([00t t x t V

Φ&对于任意0t 和任意00≠x ，在0t t ≥时，不恒等于零，其中的),;(00t x t Φ表示在0t 时从0x 出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是大范围渐近稳

定的。

注意，若&(,)V

x t 不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定曲面V x t (,)=C 相切，然而由于]),,;([00t t x t V

Φ&对任意0t 和任意00≠x ，在0t t ≥时不恒等于零，所以典型点就不可能保持在切点处（在这点上，&(,)V

x t =0），因而必然要运动到原点。

2、关于稳定性

然而，如果存在一个正定的纯量函数V x t (,)，使得&(,)V

x t 始终为零，则系统可以保持在一个极限环上。在这种情况下，原点处的平衡状态称为在Lyapunov 意义下是稳定的。定理 3.3 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统

)),(()(t t x f t x =&

式中

0),0(≡t f , 对所有0t t ≥

若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数V x t (,)，且满足以下条件： 1、V x t (,)是正定的； 2、V x t (,)是负半定的；

3、]),,;([00t t x t V

Φ&对于任意0t 和任意00≠x ，在0t t ≥时，均恒等于零，其中的),;(00t x t Φ表示在0t 时从0x 出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是Lyapunov 意

义下的大范围渐近稳定的。

3、关于不稳定性

如果系统平衡状态x =0是不稳定的，则存在纯量函数),(t x W ，可用其确定平衡状

态的不稳定性。下面介绍不稳定性定理。定理3.4 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统

)),(()(t t x f t x =&

式中

0),0(≡t f , 对所有0t t ≥

若存在一个纯量函数),(t x W ，具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件： 1、),(t x W 在原点附近的某一邻域内是正定的；

2、&(,)W

x t 在同样的邻域内是正定的。则原点处的平衡状态是不稳定的。

3.3.5 线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较

在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的，然

而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。因此，线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。

如果要检验非线性系统平衡状态的渐近稳定性，则非线性系统的线性化模型稳定性分析远远不够。必须研究没有线性化的非线性系统。有几种基于Lyapunov 第二法的方法可达到这一目的，包括用于判断非线性系统渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基方法、用于构成非线性系统Lyapunov 函数的Schultz-Gibson 变量梯度法、用于某些非线性控制系统稳定性分析的鲁里叶(Lure’)法，以及用于构成吸引域的波波夫方法等。下面仅讨论克拉索夫斯基方法。

3.4 线性定常系统的Lyapunov 稳定性分析

3.4.1 概述

如前所述，Lyapunov 第二法不仅对非线性系统，而且对线性定常系统、线性时变系统，以及线性离散系统等均完全适用。

利用Lyapunov 第二法对线性系统进行分析，有如下几个特点： (1) 都是充要条件，而非仅充分条件；

(2) 渐近稳定性等价于Lyapunov 方程的存在性；

(3)渐近稳定时，必存在二次型Lyapunov 函数Px x x V H

=)(及Qx x x V

-=)(&； (4) 对于线性自治系统，当系统矩阵A 非奇异时，仅有唯一平衡点，即原点0=e x ； (5) 渐近稳定就是大范围渐近稳定，两者完全等价。

众所周知，对于线性定常系统，其渐近稳定性的判别方法很多。例如，对于连续时间定常系统&x Ax =，渐近稳定的充要条件是：A 的所有特征值均有负实部，或者相应的特征方程0111=++++=---n n n n a s a s a s A sI Λ的根具有负实部。但为了避开困难的特征值计算，如Routh-Hurwitz 稳定性判据通过判断特征多项式的系数来直接判定稳定性，Nyquist 稳定性判据根据开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。这里将介绍的线性系统的Lyapunov 稳定性方法，也是一种代数方法，也不要求把特征多项式进行因式分解，而且可进一步应用于求解某些最优控制问题。

3.4.2 线性定常系统的Lyapunov 稳定性分析

考虑如下线性定常自治系统

&x Ax =

(3.3)

式中，n

n n

A R x ?∈∈,。假设A 为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态0=e x ，其平衡状

态的稳定性很容易通过Lyapunov 第二法进行研究。

对于式(5.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov 函数，即

Px x x V H =)(

式中P 为正定Hermite 矩阵（如果x 是实向量，且A 是实矩阵，则P 可取为正定的实对称矩阵）。

)(x V 沿任一轨迹的时间导数为

PA P A x PAx x Px A x PAx x Px Ax x

P x Px x x V H H H

H H H H )()()(+=+=+=+=&&&

由于)(x V 取为正定，对于渐近稳定性，要求&()V

x 为负定的，因此必须有 Qx x x V H -=)(&

式中

)(PA P A Q H +-=

为正定矩阵。因此，对于式(3.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q 正定。为了判断n ?n 维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。

在判别&()V

x 时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P ，然后检查Q 是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q ，然后检查由

Q PA P A H -=+

确定的P 是否也是正定的。这可归纳为如下定理。

定理3.5 线性定常系统&x Ax =在平衡点0=e x 处渐近稳定的充要条件是：对于0>?Q ，

0>?P ，满足如下Lyapunov 方程

Q PA P A H -=+

这里P 、Q 均为Hermite 矩阵或实对称矩阵。此时，Lyapunov 函数为

Px x x V H =)(，Qx x x V H -=)(&

特别地，当0)(≠-=Qx x x V

&时，可取0≥Q (正半定)。

现对该定理作以下几点说明：

(1) 如果系统只包含实状态向量x 和实系统矩阵A ，则Lyapunov 函数Px x H

为Px x T

，且Lyapunov 方程为

Q PA P A T -=+

(2) 如果Qx x x V

-=)(&沿任一条轨迹不恒等于零，则Q 可取正半定矩阵。 (3) 如果取任意的正定矩阵Q ，或者如果&()V

x 沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵Q ，并求解矩阵方程

Q PA P A H -=+

以确定P ，则对于在平衡点0=e x 处的渐近稳定性，P 为正定是充要条件。

注意，如果正半定矩阵Q 满足下列秩的条件

n A Q A Q Q rank n =??????

???????-12/12/12/1M

则&()V

t 沿任意轨迹不恒等于零。 (4) 只要选择的矩阵Q 为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵Q 的不同选择无关。

(5) 为了确定矩阵P 的各元素，可使矩阵PA P A H +和矩阵-Q 的各元素对应相等。为了确定矩阵P 的各元素ji ij p p =，将导致n (n +1)/2个线性方程。如果用n λλλ,,,21Λ表示矩阵A 的特征值，则每个特征值的重数与特征方程根的重数是一致的，并且如果每两个根的和

0≠+k j λλ

则P 的元素将唯一地被确定。注意，如果矩阵A 表示一个稳定系统，那么k j λλ+的和总不等于零。

(6) 在确定是否存在一个正定的Hermite 或实对称矩阵P 时，为方便起见，通常取

I Q =，这里I 为单位矩阵。从而，P 的各元素可按下式确定

I PA P A H -=+

然后再检验P 是否正定。

------------------------------------------------------------------ [例3.5] 设二阶线性定常系统的状态方程为

????????

?--=??????21211110x x x x && 显然，平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。

[解] 不妨取Lyapunov 函数为

Px x x V T =)(

此时实对称矩阵P 可由下式确定

I PA P A T -=+

上式可写为

???

???--=?????

?--??????+????????????--10011110111022121211

22121211

p p p p p p p p 将矩阵方程展开，可得联立方程组为

2201

2221222121112-=-=---=-p p p p p p 从方程组中解出11p 、12p 、22p ，可得

????

??????=??????121

212

32212

1211

p p p p 为了检验P 的正定性，我们来校核各主子行列式

121

23,02

3>> 显然，P 是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且Lyapunov 函数为

)223(2

1)(222121x x x x Px x x V T ++=

= 且

)()(2221x x x V +-=&

例3.6 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。

21x x =&，212x x x +-=&

解原点是惟一平衡状态。选2212()V x x x =+，则222)(x x V =&，)(x V

&与1x 无关，故存在非零状态（如)0,021=≠x x ，使0)(=x V

&，而对其余任意状态有0)(>x V &，故)(x V &正半定。系统不稳定。

例3.7 试判断下列非线性系统平衡状态的稳定性。

x ax x =+&

解这实际上是一个可线性化的非线性系统的典型例子。令0=x

&，得知系统有两个平衡状态，0x =和x a =-。

对位于原点的平衡状态，选2

()V x x =,有

232()222()V x ax x x a x =+=+&

于是，当0a <时，系统在原点处的平衡状态是局部()x a <-一致渐近稳定的；当

0a >时原点显然是不稳定的；0a =时原点也是不稳定的[0)(,0>>x V

x &]。上述结论也可以从状态方程直接看出。

对于平衡状态x a =-，作坐标变换z x a =+，得到新的状态方程

az z =-+& 因此，通过与原状态方程对比可以断定：对于原系统在状态空间x a =-处的平衡状态，当0a >时是局部一致渐近稳定的；当0a ≤时是不稳定的。

例3.8 试用李雅普诺夫方程确定使下图所示系统渐近稳定的k 值范围。

3.3的系统框图解由图示状态变量列写状态方程

00021001x x u k k ????

????=-+????

????--????

稳定性与输入无关，可令0=u 。由于0det ≠-=K A ，A 非奇异，原点为惟一的平

衡状态。取Q 为正半定矩阵

????

??????=100000000Q 则23)(x Qx x x V T -=-=&，)(x V

&负半定。令0)(≡x V &，有03≡x ，考虑状态方程中 313x kx x =--&，解得01≡x ；考虑到21x x =&，解得02≡x ，表明唯有原点存在

0)(≡x V &。令

Q PA P A T

-=+

121311

121312222312

222313

3313

33000

000012002100001101001k p p p p p p p p p p p p p p p p p p k -??????????

??????????-+-=????????????????????----??????????

展开的代数方程为6个，即

1320kp -=，23111220kp p p -+-=，3312130kp p p -+-=

0422212=-p p ，03222313=+-p p p ，0223323=-p p

解得

2126012121226312212212260122122k k

k k k k k P k k k k k k

k ??+??

--?

???

=??

---??????--?

使P 正定的条件为：1220k ->及0k >。故06k <<时，系统渐近稳定。由于是线

性定常系统，系统大范围一致渐近稳定。

例3.9 如下系统是不是外部稳定？

2()1s

e g s s -=

解

(2)1

()(())02t e t g t L g s t ---?==?

传递函数是无理分式，所以：

(2)

|()|||1t g t dt e dt ∞∞

--==<∞??

因此系统外部稳定例3.10 设系统状态方程为

2122

1)1(x x x x x x ---==&&

试确定平衡状态的稳定性。

解坐标原点0=e x 是其唯一的平衡状态。选择正定的标量函数 2

1)(x x +=x V

则有 )1(2)(122x x --=x V &

当11=x 时，0)(=x V

&；当11>x 时，0)(>x V &，可见该系统在单位圆外是不稳定的。但在单位圆当12

1=+x x 内，由于11

&。因此在这个范围内系统平衡状态是渐近稳定的。这个单位圆称做不稳定极限环。

3.4.3离散系统的稳定性判别

设系统状态方程为(1)()x k x k +=Φ，式中Φ阵非奇异，原点是平衡状态。取正定二次型函数

)()()]([k Px k x k x V T = （5）

以)]([k x V ?代替)(x V

&，有 )]([)]1([)]([k x V k x V k x V -+=? （6）考虑状态方程，有

[()](1)(1)()()

[()](1)(1)()()()[]()

T T T T T T V x k x k Px k x k Px k x k Px k Px k x k Px k x k P P x k ?=++-=Φ++-=ΦΦ- （7）令 T

P P Q Φ

Φ-=- （8）

式（8）称为李雅普诺夫代数方程。)()(k Px k x T

是系统的一个李雅普诺夫函数，于是有

)()()]([k Qx k x k x V T

-=? （9）系统(1)()x k

x k +=Φ渐近稳定的充要条件是：给定任一正定实对称矩阵Q （常取

Q ＝I ），存在正定对称矩阵P ，使式（8）成立。

实验一--控制系统的稳定性分析

实验一控制系统的稳定性分班级：光伏2班姓名：王永强学号：1200309067

实验一控制系统的稳定性分析一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响；

3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。二、实验任务 1、稳定性分析欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB中的tf2zp函数求出系统的零极点，或者利用root函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。（1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 0.2( 2.5) () (0.5)(0.7)(3) s G s s s s s + = +++，用MATLAB编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。在MATLAB命令窗口写入程序代码如下：z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=1 Go=zpk(z,p,k)

Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=ploy2str(dc{1},'s') 运行结果如下： Gctf = s + 2.5 --------------------------------------- s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 2.05 s + 2.5 Continuous-time transfer function. dens是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码： den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5] p=roots(den)

实验五线性系统的稳定性和稳态误差分析

实验五自动控制系统的稳定性和稳态误差分析一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响； 3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。二、实验任务 1、稳定性分析欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。（1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 0.2( 2.5) ()(0.5)(0.7)(3) s G s s s s s += +++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=poly2str(dc{1},'s') 运行结果如下： dens= s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5 dens 是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB 程序代码： den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5]

p=roots(den) 运行结果如下： p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) [z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v') pzmap(Gctf) grid 运行结果如下： z = -2.5000 p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i k = 0.2000

控制系统的稳定性分析

精品实验题目控制系统的稳定性分析一、实验目的 1．观察系统的不稳定现象。 2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。二、实验仪器 1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 2．计算机一台三、系统模拟电路图系统模拟电路图如图3-1 图3-1 系统模拟电路图R3=0～500K； C=1μf或C=0.1μf两种情况。四、实验报告 1．根据所示模拟电路图，求出系统的传递函数表达式。 G(S)= K=R3/100K,T=CuF/10 2．绘制EWB图和Simulink仿真图。

精品 3．根据表中数据绘制响应曲线。 4．计算系统的临界放大系数，确定此时R3的值，并记录响应曲线。系统响应曲线实验曲线Matlab （或EWB）仿真 R3=100K = C=1UF 临界稳定（理论值 R3= 200K） C=1UF

精品临界稳定（实测值 R3= 220K） C=1UF R3 =100K C= 0.1UF

精品临界稳定（理论值R3= 1100 K） C=0.1UF 临界稳定（实测值 R3= 1110K ） C= 0.1UF

精品实验和仿真结果 1．根据表格中所给数据分别进行实验箱、EWB或Simulink实验，并进行实验曲线对比，分析实验箱的实验曲线与仿真曲线差异的原因。对比：实验曲线中R3取实验值时更接近等幅振荡，而MATLAB仿真时R3取理论值更接近等幅振荡。原因： MATLAB仿真没有误差，而实验时存在误差。 2．通过实验箱测定系统临界稳定增益，并与理论值及其仿真结果进行比较（1）当C=1uf，R3=200K(理论值)时，临界稳态增益K=2，当C=1uf，R3=220K(实验值)时，临界稳态增益K=2.2，与理论值相近（2）当C=0.1uf，R3=1100K(理论值)时，临界稳态增益K=11 当C=0.1uf，R3=1110K(实验值)时，临界稳态增益K=11.1，与理论值相近四、实验总结与思考 1．实验中出现的问题及解决办法问题：系统传递函数曲线出现截止失真。解决方法：调节R3。 2．本次实验的不足与改进遇到问题时，没有冷静分析。考虑问题不够全面，只想到是实验箱线路的问题，而只是分模块连接电路。改进：在实验老师的指导下，我们发现是R3的取值出现了问题，并及时解决，后续问题能够做到举一反三。 3．本次实验的体会遇到问题时应该冷静下来，全面地分析问题。遇到无法独立解决的问题，要及时请教老师，

(完整word版)线性系统的稳定性分析

第三章线性系统的稳定性分析 3.1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。 3.2 外部稳定性与内部稳定性 3.2.1 外部稳定：考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件： 1()u t k ≤<∞ 的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立： 2()y t k ≤<∞ 则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。系统外部稳定的判定准则系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。

线性系统的稳定性分析

关于线性系统稳定性的进一步探究任何一个实际系统总是在各种偶然和持续的干扰下运动或工作的。显然，我们首先要考虑的问题是，当系统承受这种干扰之后，能否稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这就是稳定性。此外，我们知道，描述系统的数学模型，绝大部分都是近似的，这或者是由于量测误差，或者是为使问题简化，而不得不忽略某些次要因素。近似的数学模型能否如实反映实际的运动，在某种意义上说，也是稳定性问题。系统的稳定性在控制中是一个很重要的问题。在学习完稳定性理论之后，对此有了更为深刻的理解，不单单停留在输出跟踪输入的浅显印象之上，获益匪浅。因此，本文根据黄琳院士较为精炼的数学讲解，描述了一些自己对该问题的直观思考，并且结合线性系统和具体实例对稳定性作进一步分析，使内容不再过于抽象，更为深入地理解其应用价值。 1 预备理论 1.1 微分方程解的表示考虑微分方程 00 (,)()x f x t x t x =?? =? 其解()x t 是自变量t 的函数，而0t ，0x 变动时对应的解也随着变动，故它应该是自变量t 与初值0t 、0x 的函数, 可记为00(;,)x t t x 。例如： 000000(;,)()t t t t x x x x t t x e x t e x --=?=== 问题：当初值变动时，对应的解如何变动？在应用上的意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小。 1.2 Lipschitz 条件

00 1212(,)()(,)(,)(,):x f x t x t x t t t t t I x W R ==∈?-∞+∞=∈? (,)f x t 的定义域记为?W I 。若存在常数L ，使得对任何I,,W t x y ∈∈都有 (,)(,)f x t f y t L x y -≤- 则称f 在W I ?上满足Lipschitz 条件。这个定义可以推广到W 为任意有限n 维空间的情形。注：满足Lipschitz 条件可保证微分方程解的存在性和唯一性 1.3 解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性定理1-1 (存在性及唯一性定理)对于微分方程 (,)x f x t = 若(,)f x t 在W I ?域内连续且满足Lipschitz 条件，则对任意的初始条件 00(,)x x t W I ∈?总存在常数0a >，使得有唯一解00(;,)x x t t x =，在00[,]t a t a -+上存在、对t 连续，且满足初始条件00()x t x =。稳定性所要研究的是解的渐近性质，即当解()x t 在t →∞时的性状。故总假定在[)0,t ∞上解是存在的。定理1-2 (解对初值的连续依赖性)在定理1的条件下，若(,)f x t 在域内连续且满足Lipschitz 条件，则微分方程的解00(;,)x t t x 作为t ，0t ，0x 的函数在它的存在范围内是连续的，即 ε?>，0δ?>，00()()x t t δ-ψ< ? 0000(;,())(;,())x t t x t t t t ε-ψψ<，0,a t b a t b ≤≤≤< 以上定理说明：若在初始时刻0()x t 和0()t ψ十分接近，则在定义域[],a b 内的解()x t 和()t ψ也会十分接近。因此，1.1中所提的问题也就迎刃而解了。 2 平衡状态的稳定性李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的解在无穷区间 []0,t ∞满足存在和唯一性条件。

系统的相对稳定性分析

系统的相对稳定性分析已知某系统的开环传递函数为200 153.0005.060023)()(+++= S S S H G S S ,试用Nyquistw 稳定判据判断闭环系统的稳定性，并用阶跃响应曲线验证。（1）计算系统开环特征方程的根。 p=[0.0005 0.3 15 200]; roots(p) 程序运行结果 ans= 1.0e+002 * -5.4644 -0.2678 + 0.0385i -0.2678 - 0.0385i 即三个根均有负实部，都为稳定根。故开环特征方程的不稳定根的个数p=0。 (2)绘制系统的开环Nyquist 图，并用来判断闭环系统的稳定性。 n=600;d=[0.0005 0.3 15 200]; GH=tf(n,d); nyquist(GH) 程序运行后，绘制出系统的开环Nyquist 曲线如图1所示，由图1可以看出系统的Nyquist 曲线不包围（-1，j0)点。而p=0，根据Nyquist 稳定判据，其闭环系统是稳定的。这还可以用系统的阶跃响应曲线来验证。图1系统的开环Nyquist 图

（3）用阶跃响应曲线来验证。 syms s GH sys; GH=600/(0.0005*s^3+0.3*s^2+15*s+200)； sys=factor(GH/(1+GH)) 程序运行结果 sys = 1200000/(s^3 + 600*s^2 + 30000*s + 1600000) 即1600000 300006001200000s 23+++=Φs s s ）（下面为使用matlab 绘制系统单位阶跃响应曲线的程序代码： n=1200000;d=[1 600 30000 1600000]; sys=tf(n,d); step(sys) 程序运行后，绘制系统单位阶跃响应曲线如图2所示。由图2可知，曲线略微超调后迅速衰减到响应终了值，对应的系统闭环不仅稳定，而且具有优良的性能指标，这就证明了Nyquist 稳定判据的正确性。图2 系统的单位阶跃响应曲线

控制系统的稳定性分析

自动控制理论实验报告实验题目控制系统的稳定性分析一、实验目的 1．观察系统的不稳定现象。 2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。二、实验仪器 1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 2．计算机一台三、系统模拟电路图系统模拟电路图如图3-1 图3-1 系统模拟电路图R3=0～500K； C=1μf或C=0.1μf两种情况。四、实验报告 1．根据所示模拟电路图，求出系统的传递函数表达式。 G(S)= K=R3/100K,T=CuF/10

自动控制理论实验报告 2．绘制EWB 图和Simulink 仿真图。 3．根据表中数据绘制响应曲线。 4．计算系统的临界放大系数，确定此时R3的值，并记录响应曲线。

自动控制理论实验报告

自动控制理论实验报告实验和仿真结果 1．根据表格中所给数据分别进行实验箱、EWB或Simulink实验，并进行实验曲线对比，分析实验箱的实验曲线与仿真曲线差异的原因。对比：实验曲线中R3取实验值时更接近等幅振荡，而MATLAB仿真时R3取理论值更接近等幅振荡。原因： MATLAB仿真没有误差，而实验时存在误差。 2．通过实验箱测定系统临界稳定增益，并与理论值及其仿真结果进行比较（1）当C=1uf，R3=200K(理论值)时，临界稳态增益K=2，当C=1uf，R3=220K(实验值)时，临界稳态增益K=2.2，与理论值相近（2）当C=0.1uf，R3=1100K(理论值)时，临界稳态增益K=11 当C=0.1uf，R3=1110K(实验值)时，临界稳态增益K=11.1，与理论值相近四、实验总结与思考 1．实验中出现的问题及解决办法问题：系统传递函数曲线出现截止失真。解决方法：调节R3。 2．本次实验的不足与改进遇到问题时，没有冷静分析。考虑问题不够全面，只想到是实验箱线路的问题，而只是分模块连接电路。改进：在实验老师的指导下，我们发现是R3的取值出现了问题，并及时解决，后续问题能够做到举一反三。 3．本次实验的体会遇到问题时应该冷静下来，全面地分析问题。遇到无法独立解决的问题，要及时请教老师，

线性系统稳定性分析

线性系统稳定性分析 1.系统的稳定性：（1）外部稳定：又称输出稳定，就是系统在干扰取消后，在一定时间内其输出会恢复到原来的稳定输出。输出稳定有时描述为系统的BIBO 稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。（2）内部稳定：主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响情况。当干扰信号取消后，若系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。经典控制论中，研究对象都是高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO ）系统，反映的仅仅是输入与输出的关系，不涉及系统的内部状态，因此经典控制论只讨论系统的输出稳定问题。对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好发挥作用了，需要用到Lyapunov 稳定性理论。 2.平衡状态：设控制系统齐次状态方程为：0.0(,)()|t t X f X t X t X ===，其中，()X t 为系统的n 维状态向量，f 是有关状态向量X 以及时间t 的n 维矢量函数，f 不一定是线性定常的。如果对所有的t ，状态e X 总满足：(,)0e f X t =，则称e X 为系统的平衡状态。对于一般控制系统，可能没有，也可能有一个或多个平衡状态。系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的，当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。 3. Lyapunov 稳定性分析（1）Lyapunov 稳定性定义设一般控制系统的解为：00()(;,)X t t X t =Φ，它是与初始时间0t 及初始状态0X 有关的，体现系统状态从00(,)t X 出发的一条状态轨迹。设e X 为系统的一个平衡点，如果给定一个以e X 为球心，0(,)t δε为半径的n 维球域()S δ，使得从()S δ球域出发的任意一条系统状态轨迹00(;,)t X t Φ在0t t ≥的所有时间内都不会跑出()S ε球域，则称系统的平衡状态e X 是Lyapunov 稳定的。一般来说，δ的大小不但与ε有关，而且与系统的初始时间0t 有关，当δ仅与ε有关时，称e X 是一致稳定的平衡状态。进一步地，如果e X 不仅是Lyapunov 稳定的平衡状态，而且当时间t 无限增加时，从()S δ出发的任一条状态轨迹00(;,)t X t Φ都最终收敛于球心平衡点e X ，那么称e X 是渐进稳定的。更近一步地，如果从()S ∞即整个系统状态空间的任意一点出发的任意一条状态轨迹00(;,)t X t Φ，当t →∞时都收敛于平衡点e X ，那么称e X 是大范围渐进稳定的。显然此时的e X 是系统唯一的平衡点。反之，对于给定的()S ε，不论0δ>取得多么小，若从()S δ出发的状态轨迹 00(;,)t X t Φ至少有一条跑出()S ε球域，那么平衡点e X 是不稳定的。

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