对数相关知识
概述：对数是高中代数中一块重要容，主要考察对数函数以及与对数相关的运算等（包括各种公式），在此总结如下： 定义：对数源出于指数
log x a a N x N =?=，0a >且1a ≠，0N >
常用对数：10lg log N N =；自然对数：ln log e N N =， 2.718281828459e =L 一．代数基本关系式 .(基础)
把指数式代入对数式消去N ，得到 *（F1）log x a a x =，0a >且1a ≠，x ∈R
说明：x a a x x a a x a =?????→??????→?log 为底做对数运算
以为底作指数运算以
特别地，对应0x =和1x =的情况，有 *（F1.1）log 10a =，0a >且1a ≠ *（F1.2）log 1a a =，0a >且1a ≠ 把对数式代入指数式消去x ，得到
（F2）真数还原:log a N a N =，0a >且1a ≠，0N >
说明：log log a N a a a N N a N ??????→??????→=以为底做对数运算以为底做指数运算
应用举例： 例1：求值(E1)32
1
log 256
；(E2)3log 227；(E3)9log 227。 解：(E1)()558
855
32
2218log log 2log 22565
--===- (E2)()
(
)
33333
log 2
log 2
3log 2
log 23327
3
3
3
28=====
(E3)为了底数变为相同，先分析27与9的关系，()
33
3
22
2
2733
9===，所以
(
)
9
99log 2
333
log 2
log 22
2
2
27
99
2??==== ???
注：需要使用的指数恒等式：()()s
r
r rs sr s a a a a ===，0a ≥。做这一类题的关键
在于关注底数是否相同，底数不同的想办法化成同底数，然后应用公式。
自己动手：(Q1)7log 49；(Q2)12
log 8；(Q3)127
log 243；(Q4)2log 52；(Q5)32log 533-。
（F3）log log a a N M M N =，0a >且1a ≠，,0M N >
证明：因为()
log log log log log a a a a a N
M N M N a a M == 同理(
)
log log log log log a a a a a M
N M
N M a
a
N ==
上面两式的左边底数相同，指数的相等由乘法交换律保证着，所以
log log a a N M M N =。
应用举例：
例1：(E2)3log 227；(E3)9log 227 解：用（F3）重新做：
(E2)33log 2log 27
3
27
228===；(E3)()
3
2
2
2
9933log
3log 2log 27
2
27222====。 注：（F3）可以方便计算这一类题，在做选择填空上可以快一点点。
自己动手：(Q6)51log 7
125-??
?
??
；(Q7)32log 278。
二．积的对数、商的对数、幂的对数。（重点）
*（F4）log log log a a a MN M N =+,0a >且1a ≠，,0M N > 证法一：令m M a =，n N a =，那么log a m M =，log a n N =，所以
()log log log log log m n m n a a a a a MN a a a m n M N +=?==+=+。
证法二：()()
log log log log log log log log log a a a a M N M N a a a a a MN a a a M N +=?==+。 证法一首先引入了辅助的,m n ，最后求得结果后换回,M N 。证法二是不引入辅助量而是利用了（F2）和（F1）。两种方法基本步骤一样，没有本质区别。 (F4.1)扩展到多个数的积的情况：0a >且1a ≠，12,,,0k N N N >L
()1212log log log log a k a a a k N N N N N N =+++L L
*（F5）log log log a
a a M
M N N
=-,0a >且1a ≠，,0M N > *（F6）log log n a a M n M =，0a >且1a ≠，0M >，n ∈R 证法一：令m M a =，那么log a m M =，所以
()log log log log n n
m mn a a a a M a a mn n M ??====????
。 证法二：(
)()log log log log log log
a a n
M
n M
n a a a
a
M a a n M ??===????
。
应用举例：
例2：求值：（E8）lg 2lg5+；（E9）33log 723log 2-；（E10）7
lg142lg lg 7lg183-+-；
（E11）2lg 2lg 50lg 5+；
解：（E8）()lg2lg5lg 25lg101+=?==；
（E9）()33333333log 723log 2log 72log 2log 722log 92---=+=?==；
（E10）2
155555577log 142log log 7log 18log 14718log 1033--????
-+-=???==?? ???????
注：把所有减法做成加法，把所有除法做成乘法。
（E11）2lg 2lg 50lg 5+()2
2lg 2lg 25lg 5??=?+??
()2lg2lg22lg5lg 5=++ 22lg 22lg 2lg5lg 5=++()2
lg 2lg5=+1=
例3：(E12)已知log 18a m =，log 24a n =，0a >且1a ≠，求log 1.5a 。 分析：质因数分解：21823=?，32423=?，而11.523-=?，它们都由以2或3为底的幂所“组成”。注意这里要解一元二次方程组。 解：因为log 18log 22log 3a a a m =+= （1）
同理log 243log 2log 3a a a n =+= （2）
从上面两式解出log 2a 和log 3a （m 和n 是已知量，把log 2a 和log 3a 看作未知量）
（2）2?-（1）：21
5log 22log 255a a n m n m =-?=- （1）3?-（2）：31
5log 33log 355
a a m n m n =-?=-
所以43
log 1.5log 3log 255
a a a m n =-=-
自己动手：
（Q8）552log 10log 0.25+；（Q9）1
lg lg 254-；（Q10）2lg 2lg 5lg 20+；
（Q11）22lg 52lg 2lg 2+-；
（Q12）已知lg 2a =，lg3b =，lg 7c =，求下列各式的值：
（Q12.1）lg105；（Q12.2）lg75；（Q12.3）lg 2.8；（Q12.4）5lg 6
。
三：对数式连锁。（这个恒等式比较难，有兴趣的同学可以看一下）
（F7）log log log αβαβγγ?=，()(),0,11,αβ∈+∞U ，0γ>。（类比：βγγ
αβα?=）
证明：记log n βγ=，应用（F6）与（F2），有
(
)log log log log log log log
n n βγ
αβαααα
βγβββ
γ====。
（F7.1）扩展应用：()()011,,,0,11,n ααα-∈+∞L U ，0n α>
01210121log log log log log n n n n n αααααααααα---????=L
类比：
112
01210
n n n n n αααααααααα---????=L 应用举例：
例4：（E13）log log log a b c b c a ；（E14）23log 3log 4。
解：由（F7.1）：（E13）log log log log 1a b c a b c a a ==，()(),,0,11,a b c ∈+∞U 。 （E14）232log 3log 4log 42==
自己动手：（Q13）5432log 4log 3log 2log 5；（Q14）4567log 5log 6log 7log 8。 四：换底公式。（既是重点又是难点）
前面的恒等式的变换（F1—F6）都没有触及底数，对数的运算大多要求底数相同，当底数不同时，对底数进行变换令其变为相同非常必要，所以换底公式是为了在运算中统一底数，降低运算难度而出现的。 **（F8）log log log c a c b b a =
，()(),0,11,a c ∈+∞U ，0b >。（类比：//b b c
a a c
=） 证法一：由（F7）得log log log c a c a b b ?=，即log log log c a c b
b a
=
。 证法二：令a c α=，b c β=，那么log c a α=，log c b β=，所以
()log log log log log c a c c c b
b c c a
ααβ
β
ααβα??====????。
注意到，换底公式从左到右的应用过程中，底数由a 变为c ，右边成为对数的商的形式，其中c 可以在()()0,11,+∞U 围根据实际情况任意选取。只需对c 取一些特殊值，便可得到换底公式一些常用形态。 （F8.1）取10c =，lg log lg a b
b a
=
；
（F8.2）取c e =，ln log ln a b
b a
=； （F8.3）取c b =，1
log log a b b a
=
，即log log 1a b b a ?=，底数与真数互换之后的对数式与原对数式互为倒数；
*（F8.4）log log r s a a s
M M r
=，0a >且1a ≠，0M >，0r ≠，s ∈R
证明：用换底公式（F8），把底数换成a ，得到log log log r s
s
a r
a a M M a
=，再应用(F6)与(F1)，有log log log s a a r a M s M
a r
=
，结合起来便得到（F8.4）。 恒等式（F8.4）是恒等式（F6）的增强版本。
（F8.5）对数式中，底数和真数同时进行同指数乘方（该指数非零），对数式的值不变。
log log n n a a M M =，0a >且1a ≠，0M >，0n ≠
这样底数a 可以换成与之关系比较密切的n a ，例如2log 3可以“扩充”成为4log 9，
也可以“收缩”成为1
2
1
log 3
，视乎需要使用。 （F8.6）多个对数式连乘积中，将所有真数以任意顺序重排，将所有底数以任意顺序重排，得到新的对数式连乘积的值与原式相等。
这个公式写出来比较麻烦，下面用例子说明：如3579log 4log 6log 8log 10 真数是：4,6,8,10，底数是：3,5,7,9，我们把真数随意重排：6,10,8,4，底数重排后：7,5,3,9，新的对数式7539log 6log 10log 8log 4
3579lg 4lg 6lg8lg10
log 4log 6log 8log 10lg3lg5lg 7lg9=
??? 7539lg 6lg10lg8lg 4
log 6log 10log 8log 4lg 7lg 5lg 3lg 9
=
??? 观察上面两式右边，分子和分母分别都只是顺序不同而已，乘法交换律保证了两对数式连乘积的相等。
35797539log 4log 6log 8log 10log 6log 10log 8log 4=
应用举例：
例5：（E15）2
35111
log log log 2589
；
（E16）()()4839log 3log 3log 2log 2++。 解：（E15）对数式的连乘，与对数式连锁有点相似，但稍微复杂，应用换底公式 235111
lg
lg lg
1112lg53lg 22lg32589log log log 122589lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5
---=??=??=-
另外，应用（F8.6），保持真数顺序不变，底数2,3,5重排为：5,2,3，有
()()()2
35523111111
log log log log log log 2321225892589
==-?-?-=- （E16）括号之底数不同，不能直接相加，全部换成常用对数
()()4839lg3lg3lg 2lg 211lg31lg 25
log 3log 3log 2log 212lg 23lg 2lg32lg323lg 22lg34????????++=++=+?+=
??? ? ??
???????例6：（E17）已知2log 3a =，3log 7b =，试用a ，b 表示42log 56； （E18）已知3log 2a =，5log 2b =，试用a ，b 表示30log 90。 解：（E17）解法一：全部换成常用对数
2lg3log 3lg3lg 2lg 2a a ==
?=，3lg 7
log 7lg 7lg3lg 7lg 2lg3
b b ab ==?=?= （这样lg 3，lg 7都可以用a ,b ,lg 2表出，代入后便可以达到消元的目的）
42lg563lg 2lg 73lg 2lg 23log 56lg 42lg 2lg3lg 7lg 2lg 2lg 21ab ab
a a
b a ab
+++=
===++++++ 解法二：事实上，如果把底数统一换成2或3的话，2log 3a =，3log 7b =两个式子中有一个不用变换底数，会比较方便，这里以3为例
23311
log 3log 2log 2a a
==
?= 3334233331
3log 563log 2log 73log 561log 42log 2log 3log 711b
ab
a a a
b b a
?+++====
++++++ （E18）题目条件给出的是3log 2a =，5log 2b =，一般来说，把底数换成2，3或5都可以使问题简化，这里以2为例（事实上，把底数换成3或5运算量更少）
。 32211log 2log 3log 3a a ==
?=，52211
log 2log 5log 5b b
==?=
22223022221112log 90log 22log 3log 52log 9011log 30log 2log 3log 51a b ab a b a b ab a b
+?+
++++===
=++++++
（或230302221
log 3log 901log 311111log 2log 3log 51b a a b ab a b
=+=+=+=+
++++++） 注：这里解题关键是注意观察，熟悉质因数分解和对数运算恒等式，以及选取适当的底数进行换底。
例7：（E19）已知正数,,x y z 满足：346x y z ==，求证：111
2z x y
-=；
(E20)已知log 2a x =，log 3b x =，log 6c x =，求log abc x 的值。 （E19）证明：引入设而不求的未知数，令346x y z t ===，那么
3log x t =，4log y t =，6log z t =
（观察上面三式，真数相同而底数不同，所以把底数统一换成t 将会方便运算） 利用（F8.3），可得
1log 3t x =
，1log 4t y =，1
log 6t z
=
所以1111
log 6log 3log 2log 422t t t t z x y
-=-===
（E20）把底数统一换成x ，由（F8.3）得
1log 2x a =，1log 3x b =，1
log 6x c =
111
log 1111log log log log 236
abc x x x x x abc a b c ====++++
注:把出现频率较高的量作为底数是十分有效的。 自己动手：
（Q15）83log 9log 2；（Q16）()()248525125log 125log 25log 5log 2log 4log 8++++； （Q17）例6（E17）过把底数换成2求解；
（Q18）设18log 9a =，5log 18b =，试用,a b 表示36log 45； （Q19）设3575x y ==，求
11
2x y
+的值。
附录
指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值
（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5）6323 1.512??= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b
C 咨询电话：4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ：：： a ：：： 1两种不同情况。 1、指数函数： 定义：函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数，指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于X 轴上方； （1）X 取任何实数值时，都有 a X A0 ； （2）图象都经过点（0, 1）； （2）无论a 取任何正数，X = 0时，y = 1 ； （3） y — 2 ， y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 （3）当 a > 1 时，｛ →, X 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — ［的图象正好相反； 当 0 ca c1 时，< X ￡ 0 ,贝U a x A 1 k （4） y =2X ， y=10X 的图象自左到右逐渐 （4）当a >1时，y =a x 是增函数， 当0cac1时，y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ：：;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 ， y = 0 a =1 时，y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ，y =Iog a X 在
上升，y = f l］的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y=2x和y=10x相交于（0，1）， 的图象在y =2x的图象的上方，当X ：：：0 ,刚好相反，故有1 0 2. 22及10 ^ ：：： 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a tl = N（a . 0且a ■■ 1）,那么数b就叫做以a为底的对数，记作b = Iog a N （a是底数，N是 真数，log a N是对数式。） 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如: 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成 比较好办。 解：设Iog 0.32 X ■? 0 时，y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象，可以画出任意一个函数y = a 示意图，如y =3x的图象，一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间，且过点（0, 1）,从而y = X 也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就
指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 14 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但 y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210，，的图象的 认识。 图象特征与函数性质：
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10222--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ? ? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的 示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x =?? ? ? ? 13也由 关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0 故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求lo g .032524?? ? ? ? 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524?? ? ? ?=x ，再改写为指数式就比较好办。 解：设log .032524?? ? ? ?=x
对数函数运算公式集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
1 、b a b a =log 2、 b b a a =log 3、N a M a MN a log log log += 4、N a M a N M a log log log -= 5、M a M a n n log log = 6、M a M a n n log 1log = 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M) 推导 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b ，即a^(log(a)(b))=b 。 2、因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t ，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 3、MN=M×N 由基本性质1(换掉M 和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 4、与（3）类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与（3）类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下： 由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]
对数 导读：本文是关于对数，希望能帮助到您！ 教学目标 1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质． (1) 了解对数式的由来和含义，清楚对数式中各字母的取值范围及与指数式之间的关系．能认识到指数与对数运算之间的互逆关系． (2) 会利用指数式的运算推导对数运算性质和法则，能用符号语言和文字语言描述对数运算法则，并能利用运算性质完成简单的对数运算． (3) 能根据概念进行指数与对数之间的互化． 2．通过对数概念的学习和对数运算法则的探究及证明，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想，培养学生的逻辑思维能力． 3．通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想．通过对数运算法则的探究，使学生善于发现问题，揭示数学规律从而调动学生思维的积极参与，培养学生分析问题，解决问题的能力及大胆探索，实事求是的科学精神． 教学建议 教材分析 (1) 对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻
画，表示为当时，．所以指数式中的底数，指数，幂与对数式中的底数，对数，真数的关系可以表示如下： (2) 本节的教学重点是对数的定义和运算性质，难点是对数的概念． 对数首先作为一种运算，由引出的，在这个式子中已知一个数和它的指数求幂的运算就是指数运算，而已知一个数和它的幂求指数就是对数运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)，所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对的全面认识．此外对数作为一种运算除了认识运算符号“”以外，更重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，脱到过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．对数运算的符号的认识与理解是学生认识对数的一个障碍，其实与+，等符号一样表示一种运算，不过对数运算的符号写在前面，学生不习惯，所以在认识上感到有些困难． 教法建议 （1）对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数和真数的要求，其次对于对数的性质及零和负数没有对数的理解也可以通过指数式来证明，验证．同时在关系的指导下完成指数式和对数式的互化．
对数公式的运用 1．对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 由定义知： ①负数和零没有对数； ②a>0且a≠1，N>0； ③log a1=0，log a a=1，a logaN=N(对数恒等式)，log a a b=b。 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN； 以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作log e N，简记为lnN． 2．对数式与指数式的互化 式子名称a b=N 指数式a b=N(底数)(指数)(幂值) 对数式log a N=b(底数) (真数) (对数) 3．对数的运算性质 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么 (1)log a(MN)=log a M+log a N． (2)log a（M/N）=log a M-log a N． (3)log a M n=nlog a M(n∈R)． 问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0? ②log a a n=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较．(学生填表) 式子a b=N，log a N=b名称：a—幂的底数b—N— a—对数的底数b—N— 运算性质： a m·a n=a m+n a m÷a n= a m-n (a>0且a≠1，n∈R) log a MN=log a M+log a N log a MN= log a M n= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1? 理由如下： ①a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=? ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数? ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?
1对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 由定义知： ①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化 式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R). 问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0? ②logaan=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数 b— N—a—对数的底数 b— N—运 算 性 质am?an=am+n am÷an= (am)n= (a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1? 理由如下： ①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28 ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数 ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数 解题方法技巧 1
指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。
②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1
对数的运算法则 教学目标 1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题． 2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神． 教学重点是对数的运算法则及推导和应用难点是法则的探究与证明． 一. 引入新课 我们前面学习了对数的概念，那么什么叫对数呢?通过下面的题目来回答这个问题 如果看到这个式子会有何联想? 由学生回答(1)(2) (3)(4)． 也就要求学生以后看到对数符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则． 二．对数的运算法则(板书) 对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则． 由学生回答后教师让学生看：，，．
然后直接提出课题：若是 否成立? 由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举而 )，教师在肯定结论的正确性的同时再提出 可提示学生利用刚才的反例，把5改写成应为，而32 =2，还可以让学生再找几个例子， ．之后让学生大胆说出发现有什么规律? 由学生回答应有成立． 现在它只是一个猜想，要保证其对任意都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢? 你学过哪些与之相关的证明依据呢? 学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书． 证明：设则，由指数运算法则 得， 即．(板书) 法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识： (1) 公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件)．
对数函数公式的推导（全） 由指数函数 (01)n a a a b >≠=且，可推知：log a n b =，从而： ()log a b a b =对数恒等式 性质1、log ()log log a a a MN M N =+ <证法1> 由于m n m n a a a +?= 设 ,m n M a N a == 则： log a M m = l o g a N n = m n MN a += 于是： ()log log log a a a M N MN m n =+=+ <证法2> log log log a a a M N M N M N M N a a a =?=?对数恒等式 即： log log log a a a MN M N a a +=由于指数函数是单调函数，故： log ()log log a a a MN M N =+ 性质2、log log log M a a a N M N =- <证明> log log log log log M M N a a a a N a M N a M M N N a a a -== =对数恒等式 由于指数函数是单调函数，故：log log log M a a a N M N =- 性质3、log log ()(0,1)log b b a N N a b b >≠= 换底公式 特例：1log log a b b a = <证明> 由对数恒等式可知：log log a b N N N a b ==，log b a a b = log log log log a b b a N a N a N b b ???→==?? log log log b b a N a N N b b ?→== 由于指数函数是单调函数，故：log log log b b a N a N =? 故：log log log b b a N N a = 性质4、log log n a a M n M = 特例：1 log log n a a n M M =
对数运算和对数函数 对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>。 常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质 类型一、对数公式的应用
1计算下列对数 =-3log 6log 22 =?3 1log 12 log 2 22 2 =+2lg 5lg =61000lg =+64log 128log 22 =?)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384 =++3log 23log 2242 =?16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333 =++c b a 842log log log =+++200 199lg 43lg 32lg Λ =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 2222 2 解对数的值： 18lg 7lg 37lg 214lg -+- 0 =-+-1)21 (2lg 225lg -1 1 3 341log 2log 8?? -? ??? 的值0 提示：对数公式的运算 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 （1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a a M M N N -= （3）数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ （4）log a N a N = （5）log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ （6）换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 （7）1log log =?a b b a （8）a b b a log 1log = 类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2 ++-= x x x x f 的定义域是)1,31 (- 2设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4Y -- 3 函数()f x = ]1,0()0,1(Y - ） 提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1 ≠= x x y 。 （2） 二次根式函数，被开方数大于等于0，0,≥= x x y 。 （3）对数函数，真数大于0，0,log >=x x y a 。 类型三、对数函数中的单调性问题
对数 来自维基百科 各种底数的对数: 红色函数底数是e, 绿色函数底数是10，而紫色函数底数是1.7。在数轴上每个刻度是一个单位。所有底数的对数函数都通过点（1,0），因为任何数的0次幂都是1，而底数β的函数通过点（β, 1），因为任何数的1次幂都是自身1。曲线接近y轴但永不触及它，因为x=0的奇异性。 在数学中，数?x（对于底数?β）的对数是βy?的指数?y，使得?x=βy。底数?β?的值一定不能是1或0(在扩展到复数的复对数情况下不能是1的方根)，典型的是e、?10或2。数x(对于底数β)的对数通常写为
。 当x和β进一步限制为正实数的时候，对数是1个唯一的实数。例如，因为 ， 我们可以得出 ， 用日常语言说，对81以3为基的对数是4。 对数函数 函数log αx依赖于α和x二者，但是术语对数函数在标准用法中用来称呼形如log αx的函数，在其中底数α是固定的而只有一个参数x。所 以对每个基的值（不得是负数、0或1）只有唯一的对数函数。从这个角度看，底数α的对数函数是指数函数y= αx的反函数。词语“对数”经常用来称呼对数函数自身和这个函数的1个特定值。 对数函数图像和指数函数图像关于直线y=x对称，互为逆函数。 对数函数的性质有：
1.都过(1,0)点； 2.定义域为|R|≠0，值域为R； 3.α>1，在(0,+∞)上是增函数；1>α>0时，在(0,+∞)上是减函数。常用公式 ?和差 ?基变换
?指系 ?还原 ?互换 ?倒数
链式 有理和无理指数 如果n是有理数，βn表示等于β的n个因子的乘积: 。 但是，如果β是不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数n（参见幂）。类似的，对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数β，有一个对数函数和一个指数函数，它们互为反函数。
●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)． ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27
注意： 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a(MN)＝log a M＋log a N； ②log a M N＝log a M－log a N； ③log a M n＝nlog a M(n∈R)； ④log a m M n＝n m log a M. (2)对数的性质
①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10, log 1a a a == 知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质（注意定义域!） 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数， 它们的图象关于直线y ＝x 对称． (补充) 设y ＝f(x)存在反函数，并记作y ＝f －1(x)， 1) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的图象 关于直线y x =对称．
性质 ①loga(1)=0； ②loga(a)=1； ③负数与零无对数. 2对数恒等式 a^logaN=N (a>0 ，a≠1） 3运算法则 ①loga(MN)=l ogaM+l ogaN； ②loga(M/N)=l ogaM－logaN； ③对logaM中M的n次方有=nlogaM； 如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数 的底。定义：若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)
基本性质： 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(MN)=l og(a)(M)+l og(a)(N); 3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4、log(a)(M^n)=nl og(a)(M) 5、log(a^n)M=1/nl og(a)(M) 推导： 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。 2、MN=M×N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3、与（2）类似处理 M/N=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
对数函数运算公式标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
1 、b a b a =log 2、 b b a a =log 3、N a M a MN a log log log += 4、N a M a N M a log log log -= 5、M a M a n n log log = 6、M a M a n n log 1log = 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M) 推导 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b ，即a^(log(a)(b))=b 。 2、因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t ，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 3、MN=M×N 由基本性质1(换掉M 和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 4、与（3）类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M 和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与（3）类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M)
指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a x ，y log a x 在 a 1及 0 a 1两种不同情况。 1、指数函数： y x 且a 叫指数函数。 定义：函数 aa 0 1 定义域为 R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数 y a x 中的 a 必须 a 0且a 1 。 因为若 a 0时， y 4 x ，当 x 1 时，函数值不存在。 4 a 0 ， y 0x ，当 x 0 ，函数值不存在。 a 时， y 1 x x 虽有意义，函数值恒为 1，但 1 对一切 y 1x 的反函数不存在， 因 为 要 求 函 数 y a x 中 的 a 0且 a 1 。 x 1、对三个指数函数 y 2 x ， y 1 ，y 10x 的图象的 2 认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （ 1）图象都位于 x 轴上方； （ 1） x 取任何实数值时，都有 a x 0 ； 2 0 1 ）； （ 2）无论 a 取任何正数， x 0 时， y 1 ； （ ）图象都经过点（ ， （ 3） y 2x ， y 10 x 在第一象限内的纵坐 （ 3）当 a x 0，则 a x 1 1 时， 0，则 a x 1 标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， x 1 y 2 x x 0，则 a x 1 当 0 的图象正好相反； a 1时， 0，则 a x 1 x （ 4） y 2x ， y 10 x 的图象自左到右逐渐 （ 4）当 a 1 时， y a x 是增函数，
01log .1=a 1log .2=a a b n b a n a log log .3= b n b a a n log 1log .4= a b b a log 1log .5= N M N M a a a log log )(log .6+=? N M N M a a a log log log .7-= b a b a =log :.8对数恒等式 a b b c c a log log log .9=换底公式： N b b a a N =?=log .10指对互换公式 （注意：公式成立的条件；公式正用与逆用。如x x a a log 2log 2=） 11.解指数方程：先化成同底指数，)()()()(x g x f a a x g x f =?= 12. 解对数方程：先化成同底对数，?? ???=>>?=)()(0)(0)()(log )(log x g x f x g x f x g x f a a 13. 解指数不等式：先化成同底指数，)()(x g x f a a > （1）当10<a 时，原不等式同解于)()(x g x f >。 14. 解对数不等式：先化成同底对数数，)(log )(log x g x f a a < （1）当10<>>)()(0)(0)(x g x f x g x f ； （2）当1>a 时，原不等式同解于?? ???<>>)()(0)(0)(x g x f x g x f 。 15.形如02=++c bk ak x x （或02>++c bk ak x x ）：换元，令t k x =，先解t 再解x 。 16. 形如0log )(log 2=++c x b x a k k （或0log )(log 2<++c x b x a k k ）： 换元，令t x k =log ，先解t 再解x 。
①loga(1)=0 ; ②loga(a)=1 ; ③负数与零无对数. 2对数恒等式 a^logaN二N (a>0 , 1) 3运算法则 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga(M/N)=logaM —logaN ; ③对logaM中M的n次方有=nlogaM; 如果a=e八m则m为数a的自然对数，即lna=m，e二…为自然对数 的底。定义：若a八n=b(a>0且a^ 1)贝J n=log(a)(b) 基本性质: 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3、log(a)(M - N)=log(a)(M) -log(a)(N);
4、log(a)(M八n)二nlog(a)(M)
5、log(a八n)M=1/nlog(a)(M) 推导: 1、因为n=log(a)(b)，代入则aAn=b,即a八(log(a)(b))=b 。 2、MN=M N 由基本性质1（换掉M和N） a八[log(a)(MN)] = a八[log(a)(M)] X a八[log(a)(N)] 由指数的性质 a八[log(a)(MN)] = a^log (a)(M)] + [log (a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3、与（2）类似处理M/N二叶N 由基本性质1（换掉M和N） a八[log(a)(M - N)] = a八[log (a) (M)] - a八[log (a) (N)] 由指数的性质 a八[log(a)(M 宁N)] = a^log (a)(M)] - [log (a)(N)]}
1 / 2 指数函数和对数函数 y a a a x =>≠01且定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。a 必须a a >≠01且。 如果 a N a a =>≠()01且，那么数 b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对 数式。）由于 N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在 求35x =中的x ，化为对数式x =log 35即成。 对数恒等式：由a N b N b a ==()log ()12a N a N log =对数的性质：①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。对数的运算法则： ()() log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ()log log log a a a M N M N M N R =-∈+，()() log log a n a N n N N R =∈+ () log log a n a N n N N R =∈+1 3、对数函数：定义：指数函数y a a a x =>≠()01且的反函数y x a =log x ∈+∞(,)0叫做对数函数。 1、对三个对数函数y x y x ==log log 212 ，，y x =lg 的图象的认识。：
4、对数换底公式： log log log log (.)log b a a n e g N N b L N N e N L N N = ===其中…称为的自然对数称为常数对数 27182810 由换底公式可得： L N N e N N n = ==lg lg lg ..lg 04343 2303 由换底公式推出一些常用的结论： （1） log log log log a b a b b a b a = =1 1或· （2）log log a m a n b m n b = （3）log log a n a n b b = （4）log a m n a m n = -----精心整理，希望对您有所帮助!