2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
课标解读
课标要求
核心素养
1.掌握基本不等式√≤a+b
2
(a>0,b>0,当且仅当a=b 时等号成立).(重点)
2.能灵活运用基本不等式解决一些证明、比较大小的问题.(难点)
1.通过学习并掌握基本不等式,培养学生数学抽象素养.
2.借助基本不等式的简单应用,提升学生数学运算、逻辑推理素养.
填写下表:
a b √ab a +b
2 √ab 与
a+b 2
的大小关系 1 1 1 1 4 16 2 2 … …
12 18 14 516 √ 1 1 1 5 √ab 4 16 8 10 √ab a+b 2 … … … … … 问题1:观察√ab 与a+b 2 的大小关系,从中你发现了什么结论? 答案 观察得到结论:一般地,如果a>0,b>0,那么√ab ≤a+b 2 (当且仅当a=b 时取 “=”). 问题2:你能给出它的证明吗? 答案 用比较法证明: a+b 2 -√ab =1 2[(√a )2+(√b )2-2√a ·√b ] =1 2(√a -√b )2≥0, 当且仅当√a =√b ,即a=b 时取“=”. 1.如果a>0,b>0,那么√ab ①≤a+b 2 ,当且仅当②a=b 时,等号成立. 其中,a+b 2 叫做正数a,b 的算术平均数,√ab 叫做正数a,b 的几何平均数. 2.变形:ab≤(a+b 2)2 ,a,b∈R,当且仅当 a=b 时,等号成立. a+b≥2√ab ,a,b 都是正数,当且仅当a=b 时,等号成立. 思考:不等式a 2+b 2≥2ab 与不等式√ab ≤ a+b 2 成立的条件一样吗? 提示 不一样.a 2+b 2≥2ab 成立的条件是a,b∈R,√ab ≤ a+b 2 成立的条件是a>0,b>0. 探究一 对基本不等式√ab ≤ a+b 2 (a>0,b>0)的理解 例1 (多选)下面给出的四个推导过程正确的是( ) A.∵a、b 为正实数,∴b a +a b ≥2√b a ·a b =2 B.∵a∈R,a≠0,∴4 a +a≥2√4a ·a =4 C.∵x、y∈R,xy<0,∴x y +y x =-[(-x y )+(-y x )]≤-2√(-x y )·(-y x )=-2 D.不等式a+1 a ≥2√a ×1 a =2,当且仅当a=1 a ,即a=±1时等号成立 答案 AC 解析 A.∵a、b 为正实数,∴b a 、a b 为正实数,符合基本不等式的条件,故A 的推导正确. B.∵a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,∴B 的推导错误. C.由xy<0,得x y 、y x 均为负数,但在推导过程中将整体x y +y x 提出负号后,-x y 、-y x 均变为正数,符合基本不等式的条件,故C 的推导正确. D.不等式a+1 a ≥2√a ×1 a =2,只有a>0时才成立,且等号成立的条件是a=1. 故选AC. 思维突破 1.基本不等式√ab ≤ a+b 2 (a>0,b>0)反映了两个正数的和与积之间的关系. 2.对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面:(1)定理成立的条件是a 、b 都是正数;(2)“当且仅当”的含义:当a=b 时,√ab ≤a+b 2 的等号成立,即a=b ? a+b 2 =√ab ;仅当a=b 时, a+b 2≥√的等号成立,即a+b 2 =√a=b. 1.下列不等式的推导过程正确的是 (填序号). ①若x>1,则x+1 x ≥2√x ·1 x =2; ②若x<0,则x+4 x =-[(-x )+(-4 x )]≤-2√(-x )·(-4 x )=-4; ③若a,b∈R,则b a +a b ≥2√b a ·a b =2. 答案 ② 解析 ①中忽视了基本不等式等号成立的条件,当x=1 x ,即x=1时,x+1 x ≥2的等号成立,因为x>1,所以x+1 x >2.③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件. 探究二 利用基本不等式比较大小 例2 若0 解析∵0 ∴a+b>2√ab,a2+b2>2ab, ∴最大者应从a+b,a2+b2中选择. ∵a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),0 ∴a(a-1)<0,b(b-1)<0, ∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2 思维突破 利用基本不等式比较实数大小时的注意事项 1.利用基本不等式比较大小,要注意观察其形式(和与积). 2.利用基本不等式时,一定要注意条件要满足a>0,b>0. 2.比较大小: 2 √x2+1 2(填“>”“<”“≥”或“≤”). 答案≥ 解析 2 √2 =√x2+1+ √2 ≥2,当且仅当√x2+1= √2 ,即x=0时,等号成立. 探究三利用基本不等式证明不等式 例3 (易错题)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+1 a )(1+1 b )≥9. 易错辨析:利用基本不等式证明不等式时,易出现的错误有两个,一是不注意基本不等式的使用条件;二是证明步骤不完整,如例3中容易忘掉说明等号成立的条件. 证明∵a>0,b>0,a+b=1, ∴1+1 a =1+a+b a =2+b a , 同理,1+1 b =2+a b , ∴(1+1 a )(1+1 b )=(2+b a )(2+a b )=5+2(b a +a b )≥5+4=9. ∴(1+1 a )(1+1 b )≥9当且仅当a=b=1 2 时等号成立. 易错点拨 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从基本不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”. (2)注意事项: ①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法;③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型后再使用. 3.(1)(变结论)例3的条件不变,证明:1 a +1 b +1 ab ≥8; (2)(变结论)例3的条件不变,证明:(a+1 a ) 2 +(b+1 b ) 2 ≥25 2 . 证明(1)1 a +1 b +1 ab =1 a +1 b +a+b ab =2(1 a +1 b ), ∵a+b=1,a>0,b>0, ∴1 a +1 b =a+b a +a+b b =2+a b +b a ≥2+2=4当且仅当a=b=1 2 时等号成立, ∴1 a +1 b +1 ab ≥8当且仅当a=b=1 2 时等号成立. (2)由a2+b2-(a+b)2 2=(a-b) 2 2 ≥0, 得a2+b2≥(a+b)2 2 (当且仅当a=b时等号成立). ∵a+b=1, ∴(a+1 a ) 2 +(b+1 b ) 2 ≥ (a+1a+b+1b) 2 2 =(1+a+b a+a+b b) 2 2 = (3+b a+a b) 2 2 ≥(3+2√b a·a b) 2 2 =25 2 当且仅当a=b=1 2 时等号成立. ∴(a+1 a ) 2 +(b+1 b ) 2 ≥25 2 当且仅当a=b=1 2 时等号成立. 1.下列不等式成立的是( ) A.ab≤a 2+b 2 2 B.ab≥a 2+b 2 2 C.a+b≥2√ab D.a+b≤2√ab 答案 A a 2 +b 2 -2ab=(a-b)2 ≥0,∴a 2 +b 2 ≥2ab,ab≤a 2+b 2 2,故选 A. 2.设0 2 B.a<√ab 2 a+b 2 D.√ab a+b 2 2=b, 又a=√aa <√ab ,故a<√ab < a+b 2 x -2+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( ) A.x=3 B.x=-3 C.x=5 D.x=-5 答案 C 易知不等式等号成立的条件为9 x -2=x-2,即x=5(x=-1舍去). 4.已知a,b 是不相等的正数,x=√a+√b √2 ,y=√a +b ,则x,y 的大小关系是 . 答案 x a+b+2√ab 2,y 2=a+b=a+b+a+b 2 . ∵a+b>2√ab (a>0,b>0,且a≠b), ∴x 2 5.已知a,b,c∈R,求证:a 2+b 2+c 2≥ac+ab+bc. 证明 a 2+b 2≥2ab(当且仅当a=b 时,取“=”), b 2 +c 2 ≥2bc(当且仅当c=b 时,取“=”), c 2+a 2≥2ac(当且仅当a=c 时,取“=”). 以上三式相加,得2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab+bc+ac),即a 2+b 2+c 2≥ac+ab+bc(当且仅当a=b=c 时,取“=”). 逻辑推理——利用基本不等式证明不等式 已知a 、b 、c 为不全相等的三个正数,求证: b+c -a a +c+a -b b +a+b -c c >3. 素养探究:在利用基本不等式证明不等式时,要进行整体考虑,即先将不等式化简或变形,再根据已知条件构造出基本不等式.该类题目能够很好地提升学生的逻辑推理素养. 证明 b+c -a a +c+a -b b +a+b -c c =b a +c a +c b +a b +a c +b c -3 =(b a +a b )+(c a +a c )+(c b +b c )-3. ∵a、b 、c 都是正数, ∴b a +a b ≥2√b a ·a b ,即b a +a b ≥2①(当且仅当a=b 时,“=”成立). 同理可证: c a +a c ≥2②(当且仅当a=c 时,“=”成立), c b +b c ≥2③(当且仅当b=c 时,“=”成立). ①②③两边分别相加得(b a +a b )+(c a +a c )+(c b +b c )≥6④(当且仅当a=b=c 时,“=”成立). 又a 、b 、c 不全相等,∴①②③不能同时取到等号,∴④取不到等号. ∴(b a +a b )+(c a +a c )+(c b +b c )>6, 即b a +c a +c b +a b +a c +b c >6. ∴ b+c -a a +c+a -b b +a+b -c c >3. 已知 a>0,b>0,求证:a 2b +b 2 a ≥a+b. 证明 ∵a>0,b>0,∴a 2b +b≥2√a 2 b ·b =2a,当且仅当 a=b 时等号成立,b 2a +a≥2√b 2 a ·a =2b,当 且仅当a=b 时等号成立, ∴a 2b +b+b 2a +a≥2a+2b,∴a 2b +b 2 a ≥a+b,当且仅当 a=b 时等号成立. 1.(多选)下列条件可使b a +a b ≥2成立的是( ) A.ab>0 B.ab<0 C.a>0,b>0 D.a<0,b<0 答案ACD 2.若b>a>0,且a+b=1,则1 2 ,2ab,a2+b2,b中最大的是( ) A.b B.a2+b2 C.2ab D.1 2 答案 A 取b=3 4,a=1 4 ,则2ab=3 8 ,a2+b2=10 16 ,b=3 4 =12 16 ,则b最大. 3.若t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是( ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s 答案 A t-s=a+2b-(a+b2+1)=-(b-1)2≤0, ∴s≥t. 4.a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是( ) A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab| C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab| 答案 A ∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0, ∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立). 5.已知a>0,b>0,且ab=2,那么( ) A.a+b≥4 B.a+b≤4 C.a2+b2≥4 D.a2+b2≤4 答案 C ∵a>0,b>0,∴a+b≥2√ab=2√2,故A,B均错误.a2+b2≥2ab=4,故选C. 6.已知函数y=4x+a x (x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= . 答案36 解析y=4x+a x ≥2√4x·a x =4√a(x>0,a>0),当且仅当4x=a x ,即x=√a 2 时等号成立,此时f(x)取 得最小值4√a.又已知x=3时, f(x)取得最小值,∴√a 2 =3,即a=36. 7.已知a>b>c,则√(a -b )(b -c )与a -c 2 的大小关系是 . 7.答案 √(a -b )(b -c )≤ a -c 2 解析 ∵a>b>c,∴a -b>0,b-c>0. ∴ a -c 2=(a - b )+(b - c ) 2 ≥√(a -b )(b -c ), 当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c 时取等号. 8.若a>0,b>0,则1a +1 b 4 a+b .(填“>”“<”“≥”或“≤”) 8.答案 ≥ 解析 ∵a>0,b>0,∴1a +1 b ≥2√1 ab =√ab ,4a+b ≤√ab ,∴1a +1b ≥4 a+b . 9.已知 a>0,b>0,c>0,求证:a 2b +b 2c +c 2 a ≥a+b+c. 9.证明 ∵a,b,c,a 2 b ,b 2 c ,c 2 a 均大于 0, ∴a 2b +b≥2√a 2b ·b =2a,当且仅当a 2 b =b 时等号成立. b 2c +c≥2√b 2c ·c =2b,当且仅当b 2c =c 时等号成立. c 2a +a≥2√c 2a ·a =2c,当且仅当c 2a =a 时等号成立. 相加得a 2b +b+b 2c +c+c 2 a +a≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c 时等号成立. ∴a 2b +b 2c +c 2 a ≥a+b+c. 10.(多选)已知a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是( ) A.a 2+1>a B.(a +1a )(b +1 b )≥4 C.(a+b)(1 a +1 b )≥4 D.a 2+9>6a 10.答案 ABC 由于a 2 +1-a=(a -12)2+3 4>0,故 A 恒成立; 由于(a +1a )(b +1b )=ab+1ab +b a +a b ≥2√ab ·1ab +2√b a ·a b =4.当且仅当{ab =1 ab ,b a =a b ,即a=b=1 时,“=”成立,故B 恒成立; 由于(a+b)(1 a +1 b )=2+b a +a b ≥2+2√b a ·a b =4.当且仅当a b =b a ,即a= b 时,“=”成立,故C 恒成立; 当a=3时,a 2+9=6a,故D 不恒成立.故选ABC. 11.已知a>0,b>0,a+b=4,则下列各式中正确的是( ) A.4 ab ≥1 B.1a +1 b ≥2 C.√ab ≥2 D.1a +1 b ≤1 4 11.答案 A ∵a>0,b>0,∴4=a+b≥2√ab (当且仅当a=b=2时取“=”),∴0 ab ≥1 4,∴4 ab ≥1,故A 正确;而0<√ab ≤2,故C 不正确; 1a +1b =a+b 4a +a+b 4b =12+b 4a +a 4b ≥1(当且仅当a=b=2时取“=”),故B 、D 不正确,所以选A. 12.已知a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是( ) A.a+b+ √ab ≥2√2 B.(a+b)(1a +1 b )≥4 C.22 √ ab ≥2√ab D.2ab a+b >√ab 12.答案 D a+b+ √ab ≥2√ab +√ab ≥2√2, 当且仅当a=b=√2 2时,等号成立,故A 成立; (a+b)(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2√b a ·a b =4, 当且仅当a=b 时,等号成立,故B 成立; ∵a 2+b 2≥2ab>0, ∴22 √ ab ≥2√ab ,当且仅当a=b 时,等号成立,故C 成立; ∵a+b≥2√ab ,a>0,b>0,∴2√ab a+b ≤1,2ab a+b ≤√ab , 当且仅当a=b 时,等号成立,故D 不成立. 13.某公司第一年产值增长率为p,第二年产值增长率为q,这两年的平均增长率为x,那么x 与 p+q 2 的大小关系为 . 13.答案 x≤ p+q 2 解析 设公司最初产值为a(a>0),则a+ap+a(1+p)q=a(1+x)2, ∴a(1+p)(1+q)=a(1+x)2, ∴1+x=√(1+p )(1+q )≤ 1+p+1+q 2=2+p+q 2=1+p+q 2 (当且仅当p=q 时,“=”成立).∴x≤ p+q 2 . 14.如图,C 为线段AB 上的点,且AC=a,CB=b,O 为AB 中点,以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD.过点C 作OD 的垂线,垂足为E.则图中线段OD 的长度是a,b 的算术平均数,线段 的长度是a,b 的几何平均数. 14.答案 DC 解析 由已知得tan∠DAC=tan∠CDB,则DC AC =CB DC ,所以DC 2=AC·CB,所以DC=√AC ·CB =√ab , 即线段DC 的长度是a,b 的几何平均数. 15.已知a,b 都是正数,求证:2 1a + 1b ≤√ab ≤a+b 2≤√a 2+b 2 2. 15.证明 ∵1a +1b ≥2√1ab ,∴11a +1b ≤ 2√ 1 ab , 即2 1a + 1b ≤√ab (当且仅当a=b 时“=”成立). 又∵(a+b 2)2=a 2+2ab+b 24≤a 2+a 2+b 2+b 24=a 2+b 2 2(当且仅当 a=b 时“=”成立), ∴a+b 2≤√a 2+b 22.又∵a+b 2≥√ab , ∴2 1a + 1b ≤√ab ≤a+b 2≤√a 2+b 2 2(当且仅当a=b 时取“=”). 16.(2019山东泰安第四中学高一月考)我们学习了二元基本不等式:设a>0,b>0, a+b 2 ≥√ab ,当且仅当a=b 时,等号成立.利用基本不等式可以证明不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值. (1)对于三元基本不等式请猜想:设a>0,b>0,c>0,a+b+c 3 ≥ ,当且仅当a=b=c 时,等 号成立(把横线上的内容补全); (2)设a>0,b>0,c>0,利用(1)中猜想的三元基本不等式证明:(a 2+b 2+c 2)(a+b+c)≥9abc; (3)设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,利用(1)中猜想的三元基本不等式求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值. 16.解析 (1)通过类比,可以得到当a>0,b>0,c>0时,a+b+c 3 ≥√abc 3 ,当且仅当a=b=c 时,等 号成立. (2)证明:∵a>0,b>0,c>0,由(1)可得a 2+b 2+c 23≥√a 2b 2c 2 3, ∴a 2+b 2+c 23·a+b+c 3≥√a 2b 2c 23·√abc 3=√a 3b 3c 33=abc, ∴(a 2+b 2+c 2)(a+b+c)≥9abc. (3)由(1)可得,(a+b+c 3)3 ≥abc,由题可知 a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,∴1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0,∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≤[(b+c )+(a+c )+(a+b ) 3] 3 = 2 3 (a+b+c)3 =(23)3=8 27,当且仅当 b+c=a+c=a+b,即a=b=c 时取等号, ∴(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为8 27. 1．若xy＞0，则对x y＋ y x说法正确的是() A．有最大值－2B．有最小值2 C．无最大值和最小值D．无法确定 答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A 3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4 x有最小值____． 答案：2 4 4．已知f(x)＝12 x＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值． 解：(1)∵x＞0，∴12 x，4x＞0. ∴12 x＋4x≥2 12 x·4x＝8 3. 当且仅当12 x＝4x，即x＝3时取最小值83， ∴当x＞0时，f(x)的最小值为8 3. (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则－f(x)＝12 －x ＋(－4x)≥2 12 －x ·?－4x?＝83， 当且仅当12 －x ＝－4x时，即x＝－3时取等号． ∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8 3. 一、选择题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A．x＋1 2x B．x 2－1＋ 1 x2－1 C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C 2．函数y＝3x2＋ 6 x2＋1 的最小值是() A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－3 解析：选D.y＝3(x2＋ 2 x2＋1 )＝3(x2＋1＋ 2 x2＋1 －1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100 C．50 D．20 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a＋ a b≥2 b a· a b＝2； ②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y； ③∵a∈R，a≠0，∴4 a＋a≥2 4 a·a＝4； ④∵x，y∈R，，xy＜0，∴x y＋ y x＝－[(－ x y)＋(－ y x)]≤－2?－ x y??－ y x?＝－2. 其中正确的推导过程为() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑． ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a， a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导 过程正确； ②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，∴ ②的推导过程是错误的； ③∵a∈R，不符合基本不等式的条件， ∴4 a＋a≥24 a·a＝4是错误的； ④由xy＜0得x y， y x均为负数，但在推导过程中将全体 x y＋ y x提出负号后，(－ x y)均 变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 5．已知a＞0，b＞0，则1 a＋ 1 b＋2ab的最小值是() A．2 B．2 2 C．4 D．5 解析：选 C.∵1 a＋ 1 b＋2ab≥ 2 ab ＋2ab≥22×2＝4.当且仅当 ?? ? ??a＝b ab＝1 时， 等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有() 《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过 2．2基本不等式第1课时基本不等式 教材考点学习目标核心素养 基本不等式 理解基本不等式的内容及导出过程逻辑推理 利用基本不等式求最 值 能够运用基本不等式求函数或代数式的 最值 数学运算 问题导学 预习教材P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？ 1．重要不等式与基本不等式 ■微思考1 (1)不等式a2＋b2≥2ab和 a＋b 2≥ab成立的条件相同吗？ 提示：两个不等式a2＋b2≥2ab与 a＋b 2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式． (3)基本不等式成立的条件“a ，b ＞0”能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如（－3）＋（－4） 2≥ （－3）×（－4）是不成立的． 2．基本不等式与最值 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 2 4． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P ． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． ■微思考2 通过以上结论，你认为利用基本不等式求最值要注意哪几方面？ 提示：利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合基本不等式a ＋b 2≥ab 成立的前提条件，a ＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立． 以上三点缺一不可． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab 均成立．( ) (2)若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤? ????a ＋b 22 .( ) (4)a ，b 同号时，b a ＋a b ≥2.( ) (5)函数y ＝x ＋1 x 的最小值为2.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 基本不等式练习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4 2 a b + 第1课时 授课类型：新授课 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程； 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件 【板书设计】 【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 第4讲基本不等式一、选择题 1．若x＞0，则x＋4 x 的最小值为( )． A．2 B．3 C．2 2 D．4 解析∵x＞0，∴x＋4 x ≥4. 答案 D 2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1 a ＋ 4 b 的最小值是( )． A.7 2 B．4 C. 9 2 D．5 解析依题意得1 a ＋ 4 b ＝ 1 2? ? ? ? ? 1 a ＋ 4 b( a＋b)＝ 1 2? ? ? ? ? ? 5＋ ? ? ? ? ? b a ＋ 4a b≥ 1 2? ? ? ? ? 5＋2 b a × 4a b ＝9 2 ，当且仅当 ?? ? ?? a＋b＝2 b a ＝ 4a b a＞0，b＞0 ，即a＝ 2 3 ， b＝4 3 时取等号，即 1 a ＋ 4 b 的最小值是 9 2 . 答案 C 3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a 又v －a ＝2ab a ＋ b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a . 答案 A 4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值 22 解析 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 2 2 ＝ a ＋b 2 －2ab 2 ，所以ab ≤1 4 ，故B 错； 1 a ＋1 b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2 ≤ a ＋b 2 ＝ 1 2 ，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝1 2， 故D 错． 答案 C 5．已知x >0，y >0，且2x ＋1 y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2) 解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1 y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )? ???? 2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2 4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ， 即x ＝4，y ＝2时取等号， ∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4 3.4 基本不等式： 2b a a b + ≤（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析 （一）教材的地位和作用 本节课是人教版《数学》必修5第三章第四节（第一课时），基本不等式是高中数学中一个非常重要的不等式，它是解决一些简单的最大（小）值问题的最基本也是最重要的方法。在前几节课刚刚学习了不等式的性质、一元二次不等式、二元一次不等式组与线性规划问题，这些内容为本节课打下了坚实的基础，同时基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的方法。 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. （二）教学目标 1. 通过实例探究，引导学生从几何图形中获得重要不等式，并通过类比的和代换的思想得到基本不等式，让体会数形结合的思想，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣； 2. 从结构、形式等方面进一步认识基本不等式； 3. 经历由实际问题推导出基本不等式，在回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。 （三）教学重点与难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度认识基本不等式。 难点：在几何背景下抽象出基本不等式的过程；使用基本不等式解决求最值问题时的条件的认识。 二、学生学情分析： 在初中阶段，学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，高中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性质，学生对不等式有了初步的了解和应用，但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考察了学生属性结合、转化化归等数学思想，对学生能灵活应用数 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A. 【成才之路】2015版高中数学 3.4 基本不等式（第1课时）练习 一、选择题 1．函数f(x)＝x x ＋1的最大值为 ( ) A.2 5 B ．1 2 C.2 2 D ．1 [答案] B [解析] 令t ＝x (t≥0)，则x ＝t2， ∴f(x)＝x x ＋1＝t t2＋1. 当t ＝0时，f(x)＝0； 当t>0时，f(x)＝1t2＋1t ＝1t ＋1t . ∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t ≤1 2. ∴f(x)的最大值为1 2. 2．若a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则 ( ) A ．ab≤1 2 B ．ab≥1 2 C ．a2＋b2≥2 D ．a2＋b2≤3 [答案] C [解析] ∵a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2， ∴b ＝2－a(0≤a≤2)， ∴ab ＝a(2－a)＝－a2＋2a ＝－(a －1)2＋1. ∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A 、B 错误； a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a ＋4 ＝2(a －1)2＋2. ∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C. 3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 ( ) A.1 2 B ．a2＋b2 C ．2ab D ．a [答案] B [解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜1 2， 又∵a2＋b2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， ∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14， ∴a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12， 即a2＋b2＞12.故选B. 解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则 2ab ＝49，a2＋b2＝59， ∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大． 4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小 值为 ( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．14 [答案] B [解析] 根据题意得3a·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B. 5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于 ( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 [答案] C [解析] 1a ＋1b ＝12??? ?1a ＋1b (a ＋b) ＝1＋12??? ?b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 6．已知x>0，y>0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则 a ＋ b 2cd 的最小值是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 [答案] D [解析] 由等差、等比数列的性质得 a ＋ b 2cd ＝x ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2≥2y x ·x y ＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题 §3.4 基本不等式：ab ≤ a ＋ b 2 材拓展 1．一个常用的基本不等式链 设a >0，b >0，则有： min{a ，b }≤21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max{a ，b }， 当且仅当a ＝b 时，所有等号成立． 若a >b >0，则有： b <21a ＋1b 9.2 一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 要点感知1含有__________未知数,并且未知数的次数是__________的不等式,叫做一元一次不等式. 预习练习1-1下列不等式中，属于一元一次不等式的是( ) A.4＞1 B.3x-24＜4 C.1 x <2 D.4x-3＜2y-7 要点感知2 解一元一次不等式,要依据__________,将不等式逐步化为__________的形式. 预习练习2-1不等式-x＞3的解集是( ) A.x＞-3 B.x＜-3 C.x＜3 D.x＞3 要点感知3解一元一次不等式的一般步骤: (1)去分母(根据不等式的__________)； (2)去括号(根据__________)； (3)移项(根据不等式的__________)； (4)合并(根据__________)； (5)系数化为1(根据不等式的__________). 预习练习3-1 解不等式2(x-1)-3＜1，并把它的解集在数轴上表示出来. 知识点1 一元一次不等式及其解法 1.(2021·沈阳)一元一次不等式x-1≥0的解集在数轴上表示正确的是( ) 2.(2021·桂林)不等式x+1>2x-4的解集是( ) A.x<5 B.x>5 C.x<1 D.x>1 3.不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a的取值范围是( ) A.a>0 B.a<0 C.a>-1 D.a<-1 5.(2021·郴州)解不等式4(x-1)+3≥3x,并把解集在数轴上表示出来. 知识点2 一元一次不等式与方程(组)的互相转化 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝ 80 n ＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1 ab ＋1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 双基自测 D ．(2，＋∞) 答案 C 2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1 2.答案 A 课题:§3.4 2a b +≤（第1课时） 数学组 2009-3-18 授课类型：新授课 教学目标： 1、知识与技能目标：（12 a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。 教学难点：2 a b +≤ 求最值的前提条件。 教学过程： 一、创设情景，引入新课 1.勾股定理的背景及推导 赵爽弦图 引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。 2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？ 引导学生从面积关系得到不等式：a 2+b 2≥ 2ab ，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正 方形EFGH 缩为一个点时，有222a b ab += （2）总结结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a （3）推理证明：作差法 二、讲授新课 1.思考：如果用222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什么条 件？ 2 a b +(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。 2.推理证明：作差法 3.(1)探究:(课本P98) 如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ,BC =b 。 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。 引导学生发现： 2 a b +CD,得到 2a b +(0,0>>b a ) 几何意义：半弦长不大于半径长。 (2),a b 的几何平均数，称2 a b +为正数,a b 的算术平均数。 代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 三、例题讲解 例1:若0>x ，求1y x x =+ 的最小值。 变1：若0x >，求123y x x =+的最小值。 变2：若0,0a b >>，求b a y a b =+的最小值。 变3：若3x >，求13 y x x =+-的最小值。 例2：若01x <<，求(1)y x x =-的最大值。 变：若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。 设计意图：发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件 四、课时小结 1.知识要点：（1）基本不等式的条件及结构特征 （2）基本不等式在几何、代数两方面的意义 2.思想方法技巧：（1）数形结合思想 （2）换元法、作差法 （3）配凑等技巧 五、作业 自编的练习 课题: §3.1不等式与不等关系 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h，写成不等式就是： v 40 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1 x x --?万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1 x x --?≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ; （2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤??≥??≥??≥? 3.随堂练习 1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 2、课本练习1、2 4.课时小结 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。 5.评价设计 8.2 解一元一次不等式 第1课时 不等式的解集 教学目标 本节在介绍不等式的基础上，介绍了不等式的解集并用数轴表示，介绍了解简单不等式的方法，让学生进一步体会数形结合的作用。 知识与能力 1．使学生掌握不等式的解集的概念，以及什么是解不等式。 2．使学生育能够借助数轴将不等式的解集直观地表示出来，初步理解数形结合的思想。 过程与方法 1．通过回忆给学生介绍不等式的解集的概念。 2．教会学生怎样在数轴上表示不等式的解集。 情感、态度与价值观 1．通过反复的训练使学生认识到数轴的重要性，培养其数形结合的思想。 2．通过观察、归纳、类比、推断而获得不等式的解集与数轴上的点之间的关系，体验数学活动充满探索性与创造性。 教学重、难点及教学突破 重点 1．认识不等式的解集的概念。 2．将不等式的解集表示在数轴上。 难点 学生对不等式的解是一个集合可能会不太理解。 教学突破 由于受方程思想的影响，学生对不等式的解集的接受和理解可能会有一定的困难，教学时要注意结合简单的不等式和实际问题让学生体会不等式的解可以是一个集合，并组织学生讨论举例，加深理解。 另外，应在本节的过程中让学生能理解在数轴上表示不等式的解集，让他们熟悉数形结合的思想。 一、复习与练习 1、用不等式表示： （1）x 的 2 1与3的差是正数； （2）2x 与1的和小于0；（3）a 的2倍与4的差是正数； （4）b 的--21与的和是负数； （5）a 与b 的差是非正数；（6）x 的绝对值与1的和不小于1； 2、下列各数中，哪些是不等式x+2>5的解？哪些不是？ --3，--2，--1，0，1.5, 3，3.5 ,5,7。 二、新课探究： 如图：请你在数轴上表示： （1） 小于3的正整数； （2） 不大于3的正整数； （3） 绝对值小于3大于1的整数； （4） 绝对值不小于--3的非正整数； 由复习（2）可知，大于3的每一个数都是不等式x+2>5的解，而不大于3的每一个数都不是它的解。不等式x+2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x+2>5的解集。不等式x+2>5的解集，可以表示成x>3,也可以在数轴上直观地表示出来，如图 概括：（1）、一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的。解集。 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 基本不等式（第一课时） 授课教师：浙江省温州市第十四高级中学陈芝飞 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学目标 1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得基本不等式，培养学生用数学的眼光观察世界的素养------数学抽象与直观想象。 2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，培养学生用数学思维分析世界的素养----逻辑推理论与数学运算。 3．通过“赵爽弦图”的引入传播数学文化，感受数学魅力；从直观猜想到严格论证体现数学的理性精神；通过不同角度理解基本不等式，发现数学的和谐美、对称美、简洁美。 4．借助例题尝试用基本不等式解决简单的最值问题，引导学生领会运用基本不等式 2b a a b + ≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 二、教学重点和难点 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 2b a a b + ≤的证明过程． 难点：在探究基本不等式的过程中培养学生的数学核心素养，并能应用基本不等式求最大值与最小值． 三、教学过程： 1．由形及数，发现新知 师：先给大家展示一幅图。（展示北京国际数学家大会会标） 问题1：同学们见过这个图形吗？它告诉我们什么信息？ 师：这个是什么图形？你感觉它像什么呀？ 这是由四个全等的直角三角形所围成的一个正方形，颜色的明暗使它看 上去像一个“风车”，代表中国人民热情好客。这种像“风车”一样的图标是2002年8月20—28在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的。该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的． 试卷第1页，总1页 基本不等式 1、若，则的最大值为（ ） A B C ．2 D 2、已知 ） A ．5 B ． 4 C ．8 D ．6 3、设x>0 ） A ．最大值1 B ．最小值1 C ．最大值 5 D ．最小值 4、已知 ( ) D.5 5、，则的最大值为_______. 6、设 ________. 7、若、为正实数，且，则的最小值为__________. 8、 设_____. 9、已知正数满足，则的最小值为______. 10 、某新建居民小区欲建一面积为1600平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽1米，短边人行道宽4米，如图所示。怎样设计绿地的长和宽，才能使人行道的占地面积最小？并求出最小值。 023x <<(32)x x -2x >5-0,0,2,a b a b >>+=ab 1x >a b 3a b ab ++=ab 0x >,a b 4a b ab +=+a b 答案第1页，总1页 参考答案 1、【答案】D 2、【答案】D 3、【答案】A 4、【答案】C 5、【答案】3 6、 7、【答案】 8、 9、【答案】9. 10、【答案】长.宽.最小面积 试题分析：根据题意求出人行横道的面积表达式，结合基本不等式即可求解. 【详解】 设矩形绿地的长为米，宽为米，则平方米 所以人行横道的面积(即人行道面积等于外围矩形面积减去内部矩形面积) 即 当且仅当，即时等号成立 故当绿地的长为，宽为时，才能使人行道的占地面积最小，最小值为 【点睛】 本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题，要注意基本不等式成立的条件，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题. 980m 20m 2336m a b 1600ab =()()821600S a b =++-2816S a b =++28a b =80,20a m b m ==80m 20m 2336m基本不等式练习题及答案解析
高中数学《基本不等式》优质课教学设计
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