山东省乐陵市第一中学2012
届高三数学一轮复习学案
一、考试要求: 1)理解分数指数幂的概念。(2)理解有理指数幂的含义;了解实数指数幂的意义;掌握幂运算。(3)理解指数函数的概念与意义,能画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数单调性与特殊性。
二、知识梳理:
=0.1a __________( 0≠a ) =-n a __________( +∈≠N n a ,0 )
2. =n n a )(_________( +∈>N n n ,1 ) ???=为偶数)(为奇数)
(n _____________________n a n n
3.=n m
a _________ = ________(n m
,0,+∈N n m a 为即约分数)
=-n m
a ________(n m
,,0+∈N n m a 为即约分数)
4.=?βαa a __________=βα)(a ____________ =α)(ab _________ (Q ∈βα,)
5.一般地____________________________叫做指数函数。
6.
类别 指数函数 图像 定义域
值域 定点 单调性
)10( a a y x =
)1( a a y x =
三、基础检测:
1、函数x a y =在[0,1]上的最大值与最小值的和是3,则a 等于( )
A 21 B.2 C.4 D.41
2、 函数x e y -=的图像( )
A .与x e y =的图像关于y 轴对称
B .与x e y =的图像关于坐标原点对称
C .与x e y -=的图像关于y 轴对称
D .与x e y -=的图像关于坐标原点对称
3、(07山东)已知集合{}1,1-=M ,?
?????
<<∈=+42211x Z x N ,则=N M ( ) A.{}1,1- B. {}1- C. {}0 D.{}0,1-
4、已知:9.014=y ,48.028=y , 5.13)21
(-=y 则( )
A.213y y y >>
B. .312y y y >>
C. .321y y y >>
D. .231y y y >>
5、为得到x y )31(3?=的图像,可以把函数x y )31(=的图像( )
A. 向左平移3个单位长度
B. 向右平移3个单位长度
C. 向左平移1个单位长度
D. 向右平移1个单位长度
6、(11、山东)若点(a,9)在函数3x y =的图象上,则tan 6
a π的值为( ) (A )0 (B ) 33
(C )1 (D )3 7、(07重庆)若函数()1222-=
--a ax x x f 的定义域为R ,则[]0,1-实数a 的取值范围 。 8、(09江苏)已知512
a
-=,函数()x f x a =,若实数,m n 满足()()f m f n >,则,m n 的大小关系为 9、.化简3
2
11322121)(-----÷a b b a a b b a
10、设0 a 且1≠a 函数122-+=x x a a
y 在[-1,1]上的最大值为14 ,求a 的 值。
第四节 指数与指数函数 突破点一 指数幂的运算 [基本知识] 1.根式 (1)根式的概念 若x n =a ,则x 叫做a 的n 次方根,其中n >1且n ∈N * .式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (2)a 的n 次方根的表示 x n =a ??? ? x = n a 当n 为奇数且n >1时,x =±n a 当n 为偶数且n >1时. 2.有理数指数幂 幂的有关概念 正分数指数幂:a m n =n a m (a >0,m ,n ∈N * ,且n >1) 负分数指数幂:a - m n = 1a m n = 1 n a m (a >0,m ,n ∈N * ,且n >1) 0的正分数指数幂等于_0_,0的负分数指数幂无意义 有理数指数幂的性质 a r a s =a r +s (a >0,r ,s ∈Q) (a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q) (ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q) 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1) 4 -a 4 =-a .( ) (2)(-a )24 =(-a )12 =-a .( ) (3)(n a )n =a .( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1.计算:π0 +2-2 ×? ?? ??2141 2=________.
答案:118 2.设a >0,将 a 2a ·3 a 2 表示成分数指数幂的形式,其结果是________. 解析: a 2 a ·3 a 2 = a 2a ·a 23 = a 2a 53 = a 2 a 51×32 =a 2 ·a - 56 =a - 526 =a 76 . 答案:a 76 3.若2a -12 = 3 1-2a 3 ,则实数a 的取值范围为________. 解析: 2a -1 2 =|2a -1|, 3 1-2a 3 =1-2a . 因为|2a -1|=1-2a . 故2a -1≤0,所以a ≤1 2. 答案:? ????-∞,12 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. [典例] (1) a 3a ·5 a 4 (a >0)的值是( ) A .1 B .a C .a 1 5 D .a 1710 (2)? ????2 350+2-2·? ????2 14-1 2-(0.01)0.5 =________. [解析] (1) a 3 a ·5 a 4= a 3 a 1 2 ·a 45 =a 143--25 =a 1710 .故选D.
3.1.2《指数函数》学案(一) 姜永章 刘欢 张志华 2012.10.13 一、课标点击 (一)学习目标: 1、理解指数的定义并掌握指数函数的图象和性质; 2、能够利用指数函数的图象和性质解决有关问题。 (二)学习重、难点: 重点:指数函数的图象和性质 难点:指数函数的图象和性质的应用 (三)教学方法 自主探究,合作交流。 二、学习探究 问题1: 1、某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……. 1个这样的 细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么? 2、质量为1的一种放射性物质不断地衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约为原来的50%,求这种物质的剩留量y 与时间 x 的函数关系。 观察你写的两个函数解析式,它们的共同特征是什么?你能写出这类解析的一般形式吗? 学习探究(一) 1、指数函数的定义: 。 2、小练习 指出下列函数哪些是指数函数: ① x y 4=; ② x y 4-=; ③ x y )4(-=; ④ x y π=; ⑤24x y =; ⑥x y 32?=; ⑦(21)x y a =-(12 1 ≠>a a 且) 3、思考与讨论: (1)为什么指数函数的定义中要规定a>0,且a ≠1呢? (2)如何判断一个函数是否为指数函数? 问题2、 作函数x y 2=与x y )2 1 (=的图象,并观察图象指出它们的性质。 学习探究(二) 1
2、思考与讨论: (1)底数大小与函数单调性的关系? (2)指数函数,0(>=a a y x 且1≠a ),x 取何值时, 1>y ?x 取何值时,10<
一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》(人教版)第二章(2.1.2) 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 (一)内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况,我把这部分内容分为两节课来讲。其一,探究图象及其性质;其二,指数函数及其性质的应用。这是第一节课,所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数,它一方面可以进一步深化学生对函数的理解,使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法,另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 (二)目标和目标解析 1、知识目标:理解并掌握指数函数的定义,熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图,会判断指数函数的单调性,并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标:一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力;另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标:通过主动探究,合作交流学习,使学生养成积极思考,勇于探索的思想,同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力,增强运用图形和空间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力,感悟事物的本质,培养创新思维。在教学过程中通过类比,回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法,加深对指数函数的认识,让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要;同时通过本节课的学习,使学生获得研究函数的规律和方法;培养学生主动学习、合作交流的意识。 (三)教学问题诊断分析
2.1.1(1)指数函数及性质(教案) 邢蕾 一、教学目标 1. 理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用. 2. 通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法. 3. 通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣. 二、教学重点和难点 重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质. 难点是认识底数对函数值影响的认识. 三、教学过程 一、新课引入 有一天,小明去公司应聘,试用期十天,老板说:一天给10元。小明说:要不这样吧,你第一天给我两角,第二天给我两角的二次方,第三天给我两角的三次方,以此类推,到第十天。老板犹豫了一下同意了。请同学们一次写出这十天内小明每天获得的报酬。 在以上实例中我们可以看到这个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数. 二、师生互动,新课讲解: 1.定义:形如的函数称为指数函数. 2.几点说明 (1) 关于对的规定:
教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问 题分解为若会有什么问题?如,此时,等在实数范围内相应的函数值不存在. 若x a对于都无意义,若则无论取何值,它总是1,对它没有研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定且. (2)关于指数函数的定义域 教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实当指数为无理数时,也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为.扩充的另一个原因 是因为使它更具代表更有应用价值. (3)关于是否是指数函数的判断 指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上一模一样才行,三点:系数为一,底数为常数,指数是自变量 学生课堂练习1:根据指数函数的定义判断下面函数是否是指数函数. (1), (2), (3) 32x y=(4)3 2x y? =, (5). 解:指出只有(1)和(3)是指数函数, 然后把问题引向深入,有了定义域和初步研究的函数的性质,此时研究的关键在于画出它的图象,再细致归纳性质. 3.归纳性质 (1)在同一坐标系中分别作出函数y=x2,y= x ? ? ? ? ? 2 1 的图象.
2.1.2指数函数及其性质(二) 自主学习 1.理解指数函数的单调性与底数a的关系,能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a对函数图象的影响. 基础自测 1.下列一定是指数函数的是() A.y=-3x B.y=x x(x>0,且x≠1) C.y=(a-2)x(a>3) D.y=(1-2)x 2. 指数函数y=a x与y=b x的图象如图,则() A.a<0,b<0 B.a<0,b>0 C.01 D.02 C.-1 规律方法 比较两指数大小时,若底数相同,则先构造出该底数的指数函数,然后利用单调性比较;若底数不同,则考虑选择中间量,通常选择“1”作为中间量. 变式迁移1 比较????4313,223,????-233,????3412的大小. 解简单的指数不等式 【例2】 如果a 2x +1≤a x - 5(a >0,且a ≠1),求x 的取值范围. 规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性,它的一般步骤为 变式迁移2 已知(a 2+a +2)x >(a 2+a +2)1- x ,则x 的取值范围是____________. 指数函数的最值问题 【例3】 (1)函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2 ,求a 的值; (2)如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0且a ≠1)在[-1,1]上有最大值14,试求a 的值. 指数与指数函数复习学案(解析篇) 【高考要求】指数函数(B ) 【学习目标】理解有理数指数幂的含义;了解实数指数幂的意义,能进行幂的运算. 理解指数函数的概念和意义;理解指数函数的性质,会画指数函数的图象. 了解指数函数模型的实际案例,会用指数函数模型解决简单的实际问题. 【学习重难点】指数函数的性质及其应用 (课前基础知识回顾,事先发给学生填写,课上用投影打出一起回顾) 一、根式 1.根式的概念 2.两个重要公式 (1)n a n =??? a , n 为奇数, |a |=? ???? a (a ≥0),-a (a <0), n 为偶数; (2)(n a )n =a (注意a 必须使n a 有意义). 二、有理数指数幂 1.幂的有关概念 (1)正分数指数幂:a m n =n a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1); (2)负分数指数幂:a -m n =1a m n =1 n a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1); (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质 (1)a r a s =a r + s (a >0,r ,s ∈Q); (2)(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q); (3)(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q).指数与指数函数复习学案