习题一（P13）
2.设()a t 是向量值函数，证明：
（1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。
（1）证明：a =常数?2
a =常数?(),()a t a t <>=常数
?(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>=
?2(),()0a t a t '<>=?(),()0a t a t '<>=。
（2）注意到：()0a t ≠，所以
()a t 的方向不变?单位向量()
()()
a t e t a t =
=常向量。 若单位向量()
()()
a t e t a t =
=常向量，则()0()()0e t e t e t ''=?∧=。 反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。
由()e t 为单位向量?(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=?<>=?()()e t e t '⊥。
从而，由
()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '?
'?=?=?'⊥?
常向量。
所以，()a t 的方向不变?单位向量()
()()
a t e t a t =
=常向量 ?()()1
()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ??''∧=?∧+= ? ???
(
)()2111()()()()()0()()
()
d a t a t a t a t dt a t a t a t '?
∧+∧= ()()0a t a t '?∧=。即
()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。
补充：
定理 ()r t 平行于固定平面π的充要条件是()(),(),()0r t r t r t '''≡。
证明：""?：若()r t 平行于固定平面π，设n 是平面π的法向量，为一常向量。
于是，(),0(),0,(),0r t n r t n r t n '''<>=?<>=<>=
(),(),()(),(),()0r t r t r t r t r t r t ''''''??<>≡共面。
""?：若()(),(),()0r t r t r t '''≡，则(),(),()r t r t r t '''共面。若()()0r t r t '∧≡
则()r t 方向固定，从而平行于固定平面π。
若()()0r t r t '∧≠，则()()()r t r t r t λμ'''=+。令()()(),n t r t r t '=∧则
()()()()()()()
()()()()()()()()()()()()()()0()0()()()n t r t r t r t r t r t r t r t t r t t r t t r t r t t n t n t n t n t n t n t r t λμμμ'''''=∧+∧'''=∧=∧+'=∧='?∧=≠?⊥，又有固定的方向，又
?()r t 平行于固定平面。
3.证明性质与性质。
性质（1）证明：设11232123312323123(,,),(,,),(,,),(,,)v x x x v y y y v z z z v v w w w ===∧=，则
()2
33
11
2231
231232
33112
1
2
3,,,,i
j k
y
y y y y y v v y y y w w w z z z z z z z z z ??
∧=== ???
()
1233223113312212
3
3
1121231
23233
1
1
21
2
3233231131221212213311332332112211311,,,
=(),,,,[][],[][],[w y z y z w y z y z w y z y z i
j k
x x x x x x v v v x x x w w w w w w w w w x w x w x w x w x w x w x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z ?=-=-=-???∧∧== ???
=---=-------左()()()()322332223312233133112331121122311223223313311211223223313311211223223311][][][],[][],[][][],[],[][],[],[][x y z y z x z x z y x y x y z x z x z y x y x y z x z x z y x y x y z x z x z y x z x z y x z x z y x y x y z x y x y z x y x y z x z x z x z --=+-++-++-+=+++-+++=++()
()()()133112221122333223311133112221122333112233123223311123132123],[],[][],[],[][],,[],,,,y x z x z x z y x z x z x z y x y x y x y z x y x y x y z x y x y x y z x z x z x z y y y x y x y x y z z z v v v v v v ++++-++++++=++-++=<>-<>=右
（2）证明：设1123212331234123(,,),(,,),(,,),(,,)v x x x v y y y v z z z v w w w ====，则
()()2
33
11
2121
2312323311
21
231233223113312212
33
11
2341
231232
33
11
21
2
31233223113312,,,,,,.
,,,,,,i
j k
x x x x x x v v x x x X X X y y y y y y y y y X x y x y X x y x y X x y x y i
j k
z z z z z z v v z z z Y Y Y w w w w w w w w w Y z w z w Y z w z w Y z w ??
∧===
???
?=-=-=-??
∧===
???
?=-=-=211234112233
2332233231133113122112212233223311331133112211222233223311331133.=,()()()()()()[][z w v v v v X Y X Y X Y x y x y z w z w x y x y z w z w x y x y z w z w x z y w y w x z y w x z x z y w x z y w y w x z x w y z y z x w y z x w x z y w -?<∧∧>=++=--+--+--=+++++-++++左113311221122111122223333223322331133113311221122111122223333223322331133113311221122]
[()][()](x w y z x w y z y z x w x y z w x y z w x y z w x z y w y w x z y w x z x z y w x z y w y w x z x y z w x y z w x y z w x w y z y z x w y z x w x w y z x w y z y z x w x ++=++++++++-++++++++=11223311223311223311223313241423)()()()=,,z x z x z y w y w y w x w x w x w y z y z y z v v v v v v v v ++++-++++<><∧>-<><∧>=右
（3）证明：设112321233123(,,),(,,),(,,),v x x x v y y y v z z z ===，则
()()2
33
11
2121
23123233112
123
12332231133122131231211223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()(i
j k
x x x x x x v v x x x X X X y y y y y y y y y X x y x y X x y x y X x y x y v v v v v v z X z X z X z x y x y z x y x y z x y x y z x y y z x x y z ??
∧=== ???
?=-=-=-?=<∧>=++=-+-+-=++3123123123)()
z y x x z y y x z -++
同理，
()()2
33
11
2311
2312323311
2123
12332231133122123123111223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()
(i
j k
z z z z z z v v z z z Y Y Y x x x x x x x x x Y z x z x Y z x z x Y z x z x v v v v v v y Y y Y y Y y z x z x y z x z x y z x z x z x y y z x x y z ??
∧=== ???
?=-=-=-?=<∧>=++=-+-+-=++()3123123123312)(),,z y x x z y y x z v v v -++=
()()2
33
11
2231
231232
33
11
21
2
312332231133122112312311223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()
(i
j k
y y y y y y v v y y y Z Z Z z z z z z z z z z Z y z y z Z y z y z Z y z y z v v v v v v x Z x Z x Z x y z y z x y z y z x y z y z z x y y z x x y z ??
∧===
???
?=-=-=-?=<∧>=++=-+-+-=++()
3123123123312)(),,z y x x z y y x z v v v -++=
所以，()()()123312231,,,,,,v v v v v v v v v ==。 性质
证明：（1）()(,,)i
j k f f f f x y z x
y z f f f x y z
????
???∧?=?∧=
????????????
222222,,,,(0,0,0)0.f f f f f f y z z y z x x z x y y x f f f f f f y z z y z x x z x y y x ??????????????????????????=--- ? ? ? ? ? ? ???????????????????????????
????????=---== ???????????????
证明：（2）,,
i
j k
F x y z P Q
R
??
?
=???,,,R Q P R Q P y z z x x y ????????= ????????? 2
2
2
2
2
2
0.R Q P R Q P x y z y z x z x y R Q P R Q P
x y x z y z y x z x z y
????
???????????=-+-+- ?
? ??????????????????????=
-+-+-=????????????
4.设{}123;,,O e e e 是正交标架，σ是{}1,2,3的一个置换，证明： （1）{}
(1)(2)(3);,,O e e e σσσ是正交标架；
（2）{}123;,,O e e e 与{}
(1)(2)(3);,,O e e e σσσ定向相同当且仅当σ是一个偶置换。 （1）证明：当i j ≠时，()()i j σσ≠?()(),0i j e e σσ<>=；
当i j =时，()()i j σσ=?()(),1i j e e σσ<>=， 所以，{}
(1)(2)(3);,,O e e e σσσ是正交标架。 （2）证明：
A)当(12)(1)2,(2)1,(3)3σσσσ=?===?
()()()(1)(2)(3)213123010010,,,,,,100,det 1001;001001e e e e e e e e e σσσ????
? ?
===- ? ? ? ?????
B)当(13)(1)3,(2)2,(3)1σσσσ=?===?
()()()(1)(2)(3)321123001001,,,,,,010,det 0101;100101e e e e e e e e e σσσ????
? ?
===- ? ? ? ?????
C)当(23)(2)3,(3)2,(1)1σσσσ=?===?
()()()(1)(2)(3)132123100100,,,,,,001,det 0011;010010e e e e e e e e e σσσ????
? ?
===- ? ? ? ?????
D) 当(1)(12)(12)σ==，此时，{}
(1)(2)(3);,,O e e e σσσ={}123;,,O e e e ； E) 当(123)(12)(13)(1)2,(2)3,(3)1,σσσσ==?===
()()()(1)(2)(3)231123001001,,,,,,100,det 1001;010010e e e e e e e e e σσσ????
? ?
=== ? ? ? ?????
F) 当(132)(13)(12)(1)3,(3)2,(2)1,σσσσ==?===
()()()(1)(2)(3)312123010001,,,,,,001,det 100 1.100010e e e e e e e e e σσσ????
? ?
=== ? ? ? ?????
所以，{}123;,,O e e e 与{}
(1)(2)(3);,,O e e e σσσ定向相同当且仅当σ是一个偶置换。 习题二（P28）
1. 求下列曲线的弧长与曲率： （1）2
y ax =
解：2
()(,)()(1,2)r x x ax r x ax '=?
=0
()()x
x
l x r t dt '?=
=?
2||tan sec a t θθ==令，则
3
11=
sec 22||
d I a a θθ=? 32sec (sec tan sec )I d d θθθθθθ
=+??@3tan sec sec tan sec sec sec d d d d θθθθθθθθθθ
=+=-+???tan sec sec I d θθθθ=-+?1
[tan sec ln |sec tan |]2
I C θθθθ?=+++
(1
2||ln 2||2
a a t C =++ 所以，
(
3
111
=sec2||ln2||
22||4||
d I a a t C
a a a
θθ==++?%
(
00
1
()()2||ln2||
4||
x x
l x r t dt a a x
a
'
∴===
?
2.设曲线()((),())
r t x t y t
=，证明它的曲率为
{}3
222
()()()()
().
()()
x t y t x t y t
t
x y
κ
''''''
-
=
''
+
证明：()((),())()((),())()((),()) r t x t y t r t x t y t r t x t y t
'''''''''
=?=?=
2
22
22
22
2
()()((),())
()((),())
()()()()
()()()
()()()((),())
()
dr dt dt
s r t x t y t
ds ds ds
dt
n s y t x t
ds
d r d dt dt d t
s r t r t r t
ds ds ds ds ds
s s n s
dt d t dt
r t r t s y t x t
ds ds ds
d
x t
t
t
tκ
κ
'''
?===
''
?=-
????
''''
?===+
? ?
????
?=
??
'''''
?+=-
?
??
''
?
&
&
22
2
22
2
()()()
()()()()
t d t dt
x t s y t
ds ds ds
dt d t dt
y t y t s x t
ds ds ds
κ
κ
???
''
+=-
? ?
???
?
??
?''''
+=
?
???
?
{}{}22
2222
2
2
2222()()()()()()()
()()()()()()()()()()()()|()|
dt d t dt d t x t x t y t y t ds ds ds ds s dt dt y t x t ds ds dt dt x t y t x t y t x t y t x t y t ds ds dt
ds
y x y x ds dt
ds
r t dt
κ???
?''''''++ ? ??????=-=''????
''''''- ? ?
''''''-????=
=''''++'==由{}{}
3
222
32
22
()()()()
(),()()()()()()
()()
()
x t y t x t y t s y x x t y t x t y t t y x κκ''''''-?=''+''''''-=
''+即。
3. 设曲线C 在极坐标下的表示为()r f θ=，证明曲线C 的曲率表达式为
2
22
2
32
2
2()2()().()df d f
f f d d df f d θθθθκθθθ??
+-
???=
??????+??
???
???
?
证明：cos ()cos ,sin ()sin x r f y r f θθθθθθ====
()(()cos ,()sin )r f f θθθθθ?=
()(()cos ()sin ,()sin ()cos )r f f f f θθθθθθθθθ'''?=-+
()(()cos ()sin ,()sin ()cos )r f f f f θθθθθθθθθ''''=-+
(()cos 2()sin ()cos ,()sin 2()cos ()sin )
f f f f f f θθθθθθθθθθθθ''''''=--+-所以，()cos ()sin x f f θθθθ''=-；()sin ()cos y f f θθθθ''=+； ()cos 2()sin ()cos x f f f θθθθθθ'''''=--；
()sin 2()cos ()sin y f f f θθθθθθ'''''=+-。
因此，
()()
()()()2
2()cos ()sin ()sin 2()cos ()sin ()sin ()cos ()cos 2()sin ()cos ()2()()()
x y x y f f f f f f f f f f f f f f θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ''''''''''-=-+-''''-+--'''=+- ()()
()()
22
222
2
()()()cos ()sin ()sin ()cos ()()y x f f f f f f θθθθθθθθθθ''''+=-++'=+
{}2
22
2
33
22222
2()2()()()()()().()()()df d f f f x y x y d d x y df f d θθθθθθθθκθθθ??+- ?''''''-??∴==''??+????+??
???????
4. 求下列曲线的曲率与挠率： （4
）()(ln ,)(0)a
r t at t a t
=>
解：2233426()(,
,),()(0,,),()(0,,)a a a r t a r t r t t t t t t t
''''''=-=-=-；
22224323
2()(),,20i j k
a a r t r t a
t t t t t a t ??
'''?∧=-=-- ? ???
)2()()1r t r t t '''?∧===+
()2
2()1a r t t t
'==+
(
)23426,,,)a a r r r t t ''''''=<-->=。
所以，
()(
)()(
)()2222
244333223226211()()()()111t t r t r t t t t a r t a a t t t t t κ++'''∧===='??+++????
；
(
)
)
2
22
2
,,()1()()
1r r r t t r t r t a t τ''''''?==+=?'''∧+?
5. 证明：3E 的正则曲线()r t 的曲率与挠率分别为
3
()()()()
r t r t t r t κ'''∧=
'，()2
,,()r r r t r r τ''''''=
'''
∧。
证明：
()()()dr dr dt dt
t s r s r t ds dt ds ds
'=?==&
2
2
2
3
23
23()()()()()3()()dt d t t s r t r t ds ds dt dt d t d t t s r t r t r t ds ds ds ds ??'''?=+ ???
??''''''?=++ ???
&&&
根据弗雷内特标架运动方程
0000t t d n n ds b b κ
κ
ττ?????? ?
???
=- ? ??? ? ???-??????
，得：
()11()()()()()()()()()()((t s s n s n s t s b s t s n s t s t s s s
κκκ=?=?=∧=∧&&&
2
221()()()()dt dt d t r t r t r t s ds ds ds κ??????''''=∧+ ? ? ? ? ??????
?
()3
1()()()dt r t r t s ds κ??
'''=∧ ???
()()()
3
33
3
11()()()()()()()()()()()
dt r t r t s ds r t r t r t r t dt s r t r t ds ds r t dt κκ??
'''?=∧ ?
??'''∧'''∧??'''?=∧=
=
?
'??
?? ???
()2()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(),()()()
t s s n s t s s n s s n s n(s =(s)t(s)s b s t s s n s s (s)t(s)s b s s n s s t(s)s s b s t s b s s s κκκκτκκκτκκκτκτ=?=+-+?=+-+=-+?<>=&&&&&&&&&&&&由）
()()33
23
23
6
1(),()()3()(),()()()1=,,()dt dt d t d t dt t s b s r t r t r t r t r t ds ds ds ds s ds dt r r r s ds κκ????'''''''''<>=<++∧> ? ???
????
'''''' ???
&&因为所以，()()()6
6
2
2,,,,1()()=,,()=()()r r r r r r dt dt s s r r r s s ds s ds r r κττκκ''''''''''''??
??''''''?= ? ?'''
????∧。 6．证明：曲线
3322(1)(1)(),(11)33s s r s s ??+- =-<< ? 以s 为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet 标架。
证明：1
）1122(1)(1)(),(11)22s s r s s ??+-
'=--<< ?
所以，()1(11)r s s '=
=-<
11
22
2(1)(1)
()(),,0(11)
441
()8(1)
s s t s r s s s s κ--??+- ?''==-<< ? ???
?==
-& 11
22()()()2(1)(1),2(1)(1),0n s t s s s s s s κ??
?==-++- ???
&
112
2
112
2
(1)
(1)()()()2
22(1)(1)2(1)(1)i
j s s b s t s n s s s s s +-?=∧=
-
-++-
111
222
2)(1))(1),4(1)s s s s s ??=+--+- ???
由()n s ??
= ???
&及
111
2
222())(1))(1),4(1)b s s s s s s ??=+--+- ???
得
111
2
2221122
1
11222222
()(),(),)(1))(1),4(1))(1))(1)3)(1)3)(1))
s n s b s s s s s s s s s s s s s s s τ=<>
????=<+--+-> ? ?????=+-+-+=+-+--=-&
所以，
2）21(),8(1)
s s κ=
-(11)s -<<
；1
22
())s s τ==-，(11)s -<<。 3）所求Frenet 标架是{}();(),(),()r s t s n s b s ，其中
11
22(1)(1)(),22s s t s ??+- =- ?(11)s -<<， 1122()2(1)(1),2(1)(1),0n s s s s s ??
=-++- ???
(11)s -<<，
111222
2())(1))(1),4(1)b s s s s s s ??=+--+- ???
(11)s -<<。
10.设()X XT P =+T 是3E 中的一个合同变换，det 1T =-。()r t 是3
E 中的正则曲线。求
曲线r r =%o T 与曲线r 的弧长参数、曲率、挠率之间的关系。 解：（1）0
000
()()
()()()()()t
t
t t t
d r d rT P S t r d d d r T d r d S t d d ττττττττττ+'''=
====?????o %%
T 可见，r r =%o T 与曲线r 除相差一个常数外，有相同的弧长参数。
（2）3
3
()()()()()()()r t r t r t T r t T
t r
t r t T
κ
''''''∧∧==
''%%%%
()3
3
sgn(det )()()()()()()
()
T r t r t T
r t r t t r t r t κ'''∧'''∧=
=
=''
可见，r r =%o T 与曲线r 有相同的曲率。
（3）()()
2
2
2
,,,,,()()()()()()()
r r r r T r T r T r T r T r T t r
t r t r t T r t T
r t r t τ''''''''''''''''''<∧>
=
=
=
'''''''''∧∧∧%%%%%% ()
22
22
,sgn(det )(),sgn(det )()sgn(det )()()()()
,(),()sgn(det )sgn(det )()()()(),,sgn(det )
()()
r T T r r T r T T r r T T r t r t r t r t r T r r T r r r T T r t r t r t r t r r r T r t r t ''''''''''''<∧><∧>
=
=''''''∧∧''''''''''''<∧><∧>
==''''''∧∧''''''='''∧()
2
2
,,()
()()
r r r t r t r t τ''''''=-
=-'''∧
可见，r r =%o T 与曲线r 的曲率相差一个符号。
13.（1）求曲率22
()a
s a s κ=
+（s 是弧长参数）的平面曲线()r s 。
解：设所求平面曲线()()(),()r s x s y s =因为s 是弧长参数，所以
()()22
|()|1()()1r s x s y s '''=?+=?
可设()cos ,()sin x s x s θθ''==，由曲率的定义，知
222222()arctan d a a a s s d ds ds ds a s a s a s a
θκθθ==?=?==+++? ()cos(arctan ),()sin(arctan )s s
x s x s a a ''?==
()cos(arctan )s
x s ds a
==?
ln(a a s ===
()sin(arctan )s y s ds a ======?
所以，所求平面曲线()
()ln(r s a s =。
20.证明：
曲线()(,2cos sin )r t t t t t =+-与曲线()(2cos ,2sin ,)22
t t
r
t t =-%
是合同的。
证明：1）对曲线:C %()r r t =%%作参数变换2t u =，则(2cos ,2sin ,2)r u u u =-%。 可知
C %是圆柱螺线(2,2a b ==-)，它的曲率和挠率分别为14κ=%，14τ=-%。
因此，只要证明曲线:C ()r r t =的曲率14κ=，挠率14τ=-，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合。 2）下面计算曲线C 的曲率κ与挠率τ。
由()(1,2sin ,cos )r t t t t '=+-
?|()|r t '=
进而()(,2cos ,sin )r t t t t ''=-?
()()2,4sin ,2cos )r t r t t t t '''∧=---
2(1,2sin cos )t t t =--+
|()()|r t r t '''?=1
4
κ=。
()(,2sin ,cos )r t t t t '''=?v ()8(),(),()r t r t r t ''''''=-?v v v
14
τ=-。
21.证明：定理
定理 设()0s κ>是连续可微函数，则
（1） 存在平面2E 的曲线()r s ，它以s 为弧长参数，()s κ为曲率； （2） 上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的。 证明：先证明（1），为此考虑下面的一阶微分方程组
1122
1()(1.1)()()()()dr
e s ds de
s e s ds de s e s ds κκ?=???=???=-??
给定初值00012,,r e e ，其中{}00
12,e e 是2E 中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及
0(,)s a b ∈，则由微分方程组理论得，(1.1)有唯一一组解{}
12();(),()r s e s e s 满足初
始条件：
{}{}0
000
1
2
12();(),()|
;,s s r s e s e s r e e ==。
若()r s 为所求曲线，则{}
12(),()e s e s 必是它的Frenet 标架。因此，我们首先证明
{}
1
2
(),()(,)e s e s s a b ?∈
均是与自然定向相同的正交标架。
将微分方程组(1.1)改写成
2
1
(1.2)(),1,2i
ij j j de a e s i ds ===∑
其中
()
22
0()()0ij s a s κκ???
=??
-??
。 是一个反对称矩阵，即0,1,2.ij ji a a i j +==令
(1.3)
()(),()()
,1,2.ij i j ij g s e s e s g i j =<>==
对(1.3)求导，并利用(1.2)有：
2
122
112
2
11
2
1
(1.4)
()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()ij i j i j i j k j i jk k k ik k j jk i k k k ik k j jk k i k k ik
k k d d d d g s e s e s e s e s e s e s ds ds ds ds e s e s e s a e s a e s e s a e s e s a e s e s a e s e s a
g =======<>=<>+<>=<>+<>
=<>+<>
=<>+<>
=∑∑∑∑∑∑
()
()(),1,2.
j jk ki s a g s i j +=
(1.4)表明{},1,2()ij i j g s =是微分方程组(1.5) ()
21
(1.5)
()()(),1,2.ij ik
kj jk ki k d
f s a
f s a f s i j ds ==+=∑
的解。 定义1,;
1,2.0,.
ij i j i i j δ?===?
≠?则
0,,1,2.ij d
i j ds
δ==且
()2
1111111112
222222222
1
2
1
1221122112211221121
()0,1()0,2()0,1,2()0,2,1k k k k k k k k k k ik kj jk ki k k k k k k k k k k k a a a a i j a a a a i j a a a a a a i j a a a a i j δδδδδδδδδδ=====?+=+===???+=+===??+=??+=+===???+=+===??∑∑∑
∑∑ 即 ()2
1
,
,1,2.ij ik
kj
jk ki k d
a a i j ds δδ
δ==+=∑
所以，,1,2.ij i δ=是微分方程组(1.5)的解。
注意到：{}{}0,1,2,1,2()ij ij i j i j g s δ===，所以{},1,2()ij i j g s =是微分方程组(1.5) 满足初始条件{}{}0,1,2,1,2()ij ij i j i j g s δ===的唯一解。从而
(),,1,2.ij ij g s i j δ≡=
所以，{}
12(),()
(,)e s e s s a b ?∈
均是正交标架。
由于()
1212()(),(),()()(,)F s e s e s e s e s s a b =∧?∈是关于s 的连续函数，且
()1-1F s =或。故由
()010201020()(),(),()()=1F s e s e s e s e s =∧知，
()1212()(),(),()()=1(,)F s e s e s e s e s s a b =∧?∈，。
可见，{}
12(),()
(,)e s e s s a b ?∈
均是与自然定向相同的正交标架。
于是由微分方程组(1.1)有：
1()=1dr e s ds =，这表明s 为弧长参数。从而由1()dr
e s ds
=推出1()()t s e s =是
单位切向量。由
1
2()()de s e s ds
κ=推出1()()de s t s ds κ==&是曲线()r s 的曲率，从而由1
2()()de s e s ds
κ=推出由1211()()()()()de n s t s e s s s ds κκ=
==&，即2()e s 是单位正法向量。 可见，微分方程组(1.1)的满足初始条件：
{}{}0000
1
212();(),()|
;,s s r s e s e s r e e ==
唯一一组{}12();(),()r s e s e s 的确表明：存在平面2E 的曲线()r s ，它以s 为弧长参数，
()s κ为曲率，当()s κ是连续可微函数时。
再证明（2）：设1()r s 与2()r s 是平面2E 中两条以s 为弧长参数的曲线，且定义在同一个参数区间(,)a b 上，12()()0
(,)s s s a b κκ=>?∈。则存在刚体运动
()X XT P =+T 把曲线2()r s 变为1()r s ，即12r r =o T 。
证明开始：设0(,)a b ∈，考虑两条曲线在0s =处的Frenet 标架
{}1
1
1
(0);(0),(0)r t n 与{}2
2
2
(0);(0),(0)r t n 。
则存在平面2
E 中一个刚体运动T 把第二个标架变为第一个标架，即1r 与2r o T 在0s =处
的Frenet 标架重合。因此我们只须证明当曲线2()r s 与1()r s 在0s =处的Frenet 标架重
合时，21r r =。
曲线Frenet 标架的标架运动方程为
()(1.6)()()()()dr
t s ds dt s n s ds dn
s t s ds κκ?=???=???=-??
这是一个关于向量值函数,,r t n 的常微分方程。曲线2()r s 的Frenet 标架与1()r s 的
Frenet 标架都是微分方程组(1.6)的解。它们在0s =处重合就意味着这两组解在
0s =的初值相等，由解对初值的唯一性定理立即得到21r r =。定理证明完成。
习题三（P68）
2（1）()(,)(),(),4r u v a u v b u v uv =+-是什么曲面？
解：2222()
()4x a u v x y y b u v z a b z uv
=+??
=-?-=???=?
马鞍面
4.证明：曲面(,)0y z F x x
=的切平面过原点。
证明：无妨假定方程(,)0y z F x x
=确定一个(,)z f x y =的隐函数，于是
121222211221()[()]0(,)011()()0x
x y y
yF zF y f f F F f xF y z x x x
F F x x F F f f x x F ?+?=?-+?-+=????=????
???+?==-???? 设()(,),,(,)r x y x y f x y =，则
()()122121212221122
1,0,1,0,10,,10,1,0,1,01x x x y
y y yF zF i j k
r f xF yF zF yF zF F r r xF xF F F r f F F F ???+==? ?
??++?
???∧==-? ??????==- ?????- 所以，(,,)P x y z 处的切平面为
12122
:()()()0yF zF F
X x Y y Z z xF F π+-
-+-+-=
易见，当(,,)(0,0,0)X Y Z =时，有：
1211212
2222
=(0)(0)(0)-=0=yF zF F yF zF yF zF x y z xF F F F +++-
-+-+-=左右
所以结论为真。
6. 证明：曲面S 在P 点的切平面P T S 等于曲面上过P 点的曲线在P 点的切向量的全体。 证明：设曲面S 的参数方程为(,),(,)r r u v u v D =∈，0000(,),(,)P r u v u v D ∈@。令
((),())u t v t 为参数区域D 中过00(,)u v 则的参数曲线，()((),())r t r u t v t =为曲面上过P 点
的曲线。于是
0000(,)
(,)
P
u P v P
dr du dv r u v r u v dt
dt
dt
=+
这表明曲线()((),())r t r u t v t =过P 点的切向量P
dr dt
都可由00(,)u r u v 与00(,)v r u v 线性表
出。可见过P 点的切向量
P
dr dt
都在过P 点的切平面上。另一方面，对于任意切向量
0000(,)(,)u v P w r u v r u v T S λμ=+∈，
在参数区域D 中取过00(,)u v 且方向为(,)l λμ=的参数曲线
00((),())(,)u t v t u t v t λμ=++
则此时，00()((),())(,)r t r u t v t r u t v t λμ==++ 从而
0000(,)(,)P
u v dr r u v r u v w dt
λμ=+=。
这表明：在P 点的切平面P T S 中每一个向量都是过P 点的某一曲线的位于P 点的切向量。 于是：曲面S 在P 点的切平面P T S 等于曲面上过P 点的曲线在P 点的切向量的全体。
25. 求双曲抛物面()(,)(),(),4r u v a u v b u v uv =+-的Gauss 曲率K ，平均曲率H ，主曲率12,κκ和它们所对应的主方向. 解： 由(,,4)u r a b v =，(,,4)v r a b u =-?
22216E a b v =++，2216F a b uv =-+，22216G a b u =++。
()22(),2(),
u v r r b u v a u v ab ∧=+---，)2(),2(),n b u v a u v ab =
+---，
其中 22222228[2()2()]EG F b u v a u v a b -=++-+。 由0
uu r =，(0,0,4)uv r =，0vv r =?0,L N M ===
于是Gauss 曲率K ：
()22222
2222222222642()2()LN M a b a b K EG F b u v a u v a b EG F -==-=--??++-+-??
，
平均曲率H ：
22223/2223/22222228(16)(16)()4()4()2MF ab a b uv ab a b uv H EG F EG F b u v a u v a b --+-+===--??++-+??
。 因为0M <，所以
()
()
222222
2
2
22()()
0M F LN M EG F M EG
H K EG F EG F ----=
=
>?
-
-=
，
所以主曲率1κ：
1223/2222222(16).4()4()2H ab a b uv b u v a u v a b κ=+=
?-+?
?=??++-+??
对应的主方向为
1111:():()():du dv F M E L F M E κκκκ=---=--，
其中
11.F M κ-====.
所以
:du dv ==
同理，另一个主曲率2κ：
22
223/2222222((16)4()4()2M F H EG F ab a b uv b u v a u v a b κ--==
-?-+?
?=??++-+??
，
对应的主方向为
:u v δδ==
注：设:P P W T S T S →为外恩格尔登变换，则
§1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方 向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①
微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0
二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率
第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。
4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。
《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则
第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因 为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固 定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，' 'r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、
§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只 有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条
微分几何 一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ，
γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络 三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为:
习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2 221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222 u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222221 (,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222 221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2 (,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ，
《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(< 二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k 习题一（P13） 2.设()a t 是向量值函数，证明： （1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。 （1）证明：a =常数?2 a =常数?(),()a t a t <>=常数 ?(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>= ?2(),()0a t a t '<>=?(),()0a t a t '<>=。 （2）注意到：()0a t ≠，所以 ()a t 的方向不变?单位向量() ()() a t e t a t = =常向量。 若单位向量() ()() a t e t a t = =常向量，则()0()()0e t e t e t ''=?∧=。 反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。 由()e t 为单位向量?(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=?<>=?()()e t e t '⊥。 从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '? '?=?=?'⊥? 常向量。 所以，()a t 的方向不变?单位向量() ()() a t e t a t = =常向量 ?()()1 ()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ??''∧=?∧+= ? ??? ( )()2111()()()()()0()() () d a t a t a t a t dt a t a t a t '? ∧+∧= ()()0a t a t '?∧=。即 ()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。 补充： 微分几何答案 第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线; v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。 3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。 解 = ，= 任意点的切平面方程为 即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ； 法线方程为。 4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程为： ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 证，。切平面方程为：。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为： 是常数。 §２曲面的第一基本形式 1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 , ∴ I = 2。 ２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 解，，，，∴I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。 ３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。 微分几何第四版习题答 案梅向明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个 切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 微分几何第四版习题 答案梅向明 Revised on November 25, 2020 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv }=｛0,0，bv ｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ? r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ， ?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线， § 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲 线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s == > 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 习题答案3 p. 148 习题4.1 1. 求下列曲面的第二基本形式： (1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ?θ?θ?=； (2) 旋转椭圆抛物面：()2212 ,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+-； (4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θ?θθ=-，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ??θ?θ?=--， ()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θ???θ?θ??=，22(,)ππ??∈- )21cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ?θ?θ?= . 又 ()cos cos ,sin ,0r a θθ?θθ=-，()sin sin ,cos ,0r a θ??θθ=-， ()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ???θ?θ?=-. 所以 222cos ab L b ?-=+，0M = ，N =， )222II cos d d ?θ?=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ?=--，)2,,11n u v u =--+. ()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u v =++. (3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =-，()2,,u v r r a u v v u a ?=+--. 不妨设0a >. 则 )2,,22n u v v u a a v =+--++，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =， 4II adudv -=. (4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''?=- ，)21,,0n g f f ''= -'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II =. (5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=-，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''?=-， 《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案 一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长） 第一章 1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5．计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ． 6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t t t e =++g i j ，求0 lim(()())t t t →?=f g 0 ． 7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2 t u =，t v sin =，则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =?，2 t =θ，则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9．已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ，6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ，求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b 10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r 2 12 t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-． 第二章 13．曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b微分几何彭家贵课后题答案
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