几种常用的插值方法

几种常用的插值方法

数学系 信息与计算科学1班 李平

指导老师：唐振先

摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。

引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。

一．任意阶多项式插值：

1.用单项式基本插值公式进行多项式插值：

多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。

虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ）

=011011()()()()

()()()()

i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-------- ，其中i=0，…

n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()n

i i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。与单项式基本

函数插值多项式相比,拉格朗日插值有2个重要优点:首先,建立插值多项式不需要求解方程组；其次,它的估计值受舍入误差要小得多。拉格朗日插值公式结构紧凑,在理论分析中很方便,但是,当插值节点增加、减少或其位置变化时全部插值函数均要随之变化,从而整个插值公式的结构也将发生变化,这在实际计算是非常不利的。

3.使用牛顿均差插值公式进行多项式进行插值：

首先,定义均差,f 在xi,xj 上的一阶均差()()[,]j i i j j i

f x f x f x x x x -=

-，其中(i ≠j)。f 在

x i ，x j ，x k 的二阶均差f[x i ，x j ，x k ]=

[,][,]

i j j k j k

f x x f x x x x --，k 阶均

f[x i …x k ]=

010[][]

k i k k

f x x f x x x x --- 。

由此得出牛顿均值插值多项式的公式为Pn(x)=f[x 0]+f[x 0-x 1](x-x 0)+…+f[x 0，

x n ](x-x 0)…(x-x n-1)。实际计算中经常利用下表给出的均差表直接构造牛顿插值公式

, ，

x k F(x i ) 一阶均差

二阶均差

三阶均差

… …

x 0 x 1 x 2 x 3 …

F(x 0) F(x 1) F(x 2) F(x 3) …

F[x 0，x 1] F[x 1，x 2] F[x 2，x 3] …

F[x 0，x 1，x 2] F[x 1，x 2，x 3]

…

F[x 0，x 1，x 2，x 3]

…

凡是拉格朗日插值解决的问题牛顿插值多项式都可以解决,不仅如此,更重要的是牛顿均值克服了拉格朗日插值多项式的缺点,当需要提高近似值的精确度而增加结点时,它不必重新计算,只要在后面再计算一项均插即可,减少了计算量,不用计算全部系数,节约了大量人力,物力,财力。

增加插值多项式的阶数并不一定能增加插值的精度,据定义,插值式,F(x)可以与

结点(xi ，yi)，i=1，…，n 处的实际函数匹配,但却不能保证支点之间求F(x),还能很好的逼近产生(xi ，yi)数据的实际函数F(x)。例如,如果F(x)为一个已知的解析函数,而且定义F(x)的节点集合中数据点的数目可以增加（多项式F(x)的阶数也增加）,但是,由于F(x)的起伏增加,那么插值式就可能在节点见振带,基于当实际函数F(x)平滑时,这种多项式摆动也可能发生,这种振荡不是由多项式摆动引起的,而是由多项式的项相加来求插值多项式时发生舍入误差造成的。有时多项式摆动可通过谨慎选择基础函数的取样来成为,但如果数据是由不容易重复实验取得的,就不能这么做了,这会司会用下面介绍分段插值法。

二、分段插值多项式

1、分段线性插值：

分段线性插值最简单的插值方案,只要将每个相邻的节点用直线接起来,如此形成的一条新的折线就是分段线性插值函数,记作I n (x j )=y i 而且I n (x)在每个区间[x j

x j+1]上是线性函数（j=0,1…n-1） I n (X)可以定义为I n (x j )= 0

()n

i i i y l x =∑其中l 0(x)=

1

01

x x x x --，[0,1]x x x ∈

其他，l 0(x)=0 l j (x)=

11

j j j x x x x ----，1[,]j j x x x -∈；n l ()x =

11

j j j x x x x ++--1,[,];j j x x x +∈其他，l j (x)=0

l n (x)=

1

1

n n n x x x x ----1,[,];n n x x x -∈其他，l n (x)=0

I n (x j )具有很好的收敛性,即对于x ∈[a,b]有：当n 趋向于无穷大时,I n (x )=g(x)成立。

用I n (x )计算x 点的插值时,只用到x 左右的两个节点,计算量与节点个数n 无关,但n 越大分段越多,插值误差就越小,但是,该方法折线在节点处显然不光滑,即I n (X)在节点处导数不存在着影响它在需要光滑插值曲线的（如机械插值等领域中的应用）。

2分段三次Hermite 插值

为清楚起见,先用三次Hermite 插值的构造方法加以解释,三次Hermite 插值的做

法是,在[x k x k+1]上寻找一个次数不超过3的多项式H 3(x) 它满足插值条件 H 3(x k )=f(x k ),H 3(x k+1)=f(x k+1)

'3()k H x =m k , '31()k H x +=m k+1 相应的插值基函数为

2

1112

11

11()12,

()12,k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα+++++++?????--?=+ ???--??

????????

?--=+ ????--?????

2

112

111()(),()().k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x ββ+++++???-?=- ?-???

????

-=-

??-???

于是有H 3(x)=αk （x ）f(x k ) +αk+1（x ）f(x k+1)＋m k βk (x) ＋m k+1βk+1(x)。

如果函数Ψ满足条件： （1） Ψ∈C 1[a,b]

（2） 满足插值条件：Ψ（x k ）=f(x k ), ''()()k k x f x ?=,k=0,1,2,…,n. （3） 在每个小区间[x k-1, x k ],k=1,2, …,n 上Ψ是三次多项式。 则称Ψ为f 的分段三次Hermite 插值多项式。

根据分段线性插值和三次Hermite 插值公式可得到Ψ的表达式 Ψ(x)= '0

[()()()()]n

k

k

k k k f x x f x x α

β=+∑

其中

2

0101010010112,[,]()0,[,]

x x x x x x x x x x x x x x x α?????--?+∈ ???=--??????

??

2

11112

111111

12,[,]

()12,[,]0,[,]

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x α----++++-+?????--?+∈ ???--???????

???--?=+∈? ???--?

?????????

2

1111112,[,]()0,[,]k k n n n k k k k n n x x x x x x x x x x x x x x x α-----?????--?+∈ ???=--??

????

??

2

100100101(),[,]()0,[,]

x x x x x x x x x x x x x β???-?-∈ ?=-???

?

??

2

1112

11111

(),[,]

()(),[,]

0,[,]

k k k k k

k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x β---+++-+???-?-∈ ?-??????-?=-∈? ?-???

?????

2

1111(),[,]()0,[,]

n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x β----???-?-∈ ?=-???

?

??

αk ，βk ， k=0,1,2,…,n ，称为以节点x 0，x 1,…, x n 的分段三次Hermite 插值基函数，对于给定n 个插值点x 1＜x 2＜…＜x n 和其相应函数值 f(x k )和一阶函数值f '(x k ),k=0,1,2,…,n.

显然,分段三次Hermite 插值可以产生平滑变化的插值式,但它有一个明显的缺点,就是在每个界点处的函数斜率必须已知,而从实验中获得的数据,这个斜率就不存在。下面要介绍的三次样条插值可以解决这个问题,同时能得到插值式所期望的光滑度。

3、三次样条插值 1. 样条函数

在[a,b]上取n+1个插值结点a=x 0

(3)在区间[x k ,x k+1](k=0 1 …n-1)上,S(x)是m 次多项式。 2.三次样条函数

在[a,b]上函数y=f(x)的三次样条插值函数S(x)满足: (1)在(a,b)上0、1、2阶导数连续,即:

s '(x k -0)=s '(x k +0)，s ″(x k -0)=s ″(x k +0) (k=0 1…n-1) (2)S(x k )=y k (k=0，1，…n);

(3)在区间[x k x k+1](k=0，1…n-1)上S(x)是三次多项式。 3.三次样条函数的计算

由二阶导数连续,设s ″(x k )=m k ,(k=0,1, …,n),m k 是未知待定的数。因S(x)是分段三次多项式,则在每个区间[x k x k+1]内,S ″(x)是分段一次多项式,记h k =x k+1-x k 则: s ″(x k )=

111111k k k k k

k k k k k k k k k

x x x x x x x x m m m m x xk x x h h ++++++----+=+--

将上式在区间[x k x k+1]上积分两次,并且由S(x k )=y k S(x k+1)=y k+1,来确定两个积分常数。当x ∈[x k x k+1]时,

3322'

11111()()()()()

6666k k k k k k

k k k k k k k k k k

x x x x h x x h x x s x m m y m y m h h h h +++++----=+--+-, 利用S(x)一阶导数连续的性质,对上式求导,得:

22'

1111()()1

()()()226k k k k k k k k k k k k

x x x x h s x m m m m y y h h h ++++--=+--+-

在上式中,令x=x k 得:

'11(0)63k k k k k k k k

h h y y

s x m m h ++-+=-

-+ 将上式中的k 换成k-1,得:s '(x)在[x k-1,x k ]上的表达式,将x=x k 代入,

'11(0)63k k k k k k k k

h h y y s x m m h ++-+=-

-+,

而s '(x k +0)=s '(x k -0)联立上述两式,得到关于m 的方程:

1111

111

636k k k k k k k

k k k k k k h h h h y y y y m m m h h --+--+-+--++=-, 两边乘以

1

6

k k h h -+得:

111111111

6

2()k k k k k k k k k k k k k k k k k h h y y y y m m m h h h h h h h h -+--+------++=-+++,

上式中,等式左边含未知量m k-1,m k ,m k+1等式右边y k-1,y k ,y k+1是已知的,令

11

k k k k h h h λ--=

+，11k

k k k k h h h μλ-==-+，

11116

()k k k k k k k k k y y y y c h h h h +-----=

-+11111[,][,]66[,,]k k k k k k k k k

f x x f x x f x x x h h +--+--==+

则得:λk m k-1+2m k +μk m k+1=C k (k=1 2…n-1)。

三次样条插值的整体光滑性有提高,应用广泛,但其误差估计较困难,而且它的求解代价很大,起精确度受端点条件影响很大。

总结:插值是数值分析领域的一个主要部分,选择插值策略的第一步是了解应用的需要：你要在表格中查些什么？是否需要反复计算近似值？在条件有限的情况下,构造固定的阶数的插值多项式可能会是一种更简单的方法有解决方案；当要反复计算逼近值时,推荐用牛顿多项式插值形式。

对表格数据的常规插值,推荐使用分段线性插值；如果插值的总体平滑很重要,应该考虑三次样条插值或三次Hermite 插值；同时当表格数据构成函数的导数不存在时,推荐使用三次样条插值。

参考文

1.（美）Gerald Recktenwald, 数值方法和MATLAB 实现与应用

2.关冶,陆金甫 数值分析基础[M] 高等教育出版社 1995版

3.杨顶辉 ,谢金星 大学数学实验[M] 清华大学出版社 2005版

两种空间插值方法的比较研究

两种空间插值方法的比较研究 摘要：距离倒数加权法算法简单，容易实现，适合分布较均匀的采样点集，但容易出现“牛眼”现象；克里金法是一种无偏最优估计法，精度较高，适合空间自相关程度高的数据，但其算法复杂，实现较难。这两种 方法各有其适用情形，本文比较了这两种方法的优劣并提出算法优化的思路。 关键字：距离倒数加权，克里金，优化 1引言 空间插值是根据一组已知的离散数据或分区数据，按照某种假设推求出其他未知点或未知区域的数据的过程，简单的说就是由已知空间特性推求未知空间特性。它是地学研究中的基本问题，也是GIS 数据处理的重要内容。在利用GIS 处理空间数据的过程中，需要进行空间插值的场合很多，如采样密度不够、采样分布不合理、采样存在空白区、等值线的自动绘制、数字高程模型的建立、区域边界分析、曲线光滑处理、空间趋势预测、采样结果的2.5维可视化等[1]。通过归纳，空间插值可以简化为以下三种情形：（1）现有离散曲面的分辨率、像元大小或方向与所要求的不符，需要重新插值。例如将一个扫描影像（航空像片、遥感影像）从一种分辨率或方向转换为另一种分辨率或方向的影像。（2）现有连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符，需要重新插值。如将一个连续曲面从一种空间切分方式变为另一种空间切分方式，从TIN 到栅格、栅格到TIN 或矢量多边形到栅格。（3）现有数据不能完全覆盖所要求的区域范围，需要插值。如将离散的采样点数据内插为连续的数据表面[2]。。 现有的空间插值方法多种多样，但每一种方法都有其适用情形和无法避免的缺陷，本文分析了距离倒数加权法和克里金法的插值结果，并提出改进的思路。 2方法 距离倒数加权法和克里金法都是建立在地理学第一定律之上的，即：空间距离越近，地理事物的相似性越大[3]。它们都是通过确定待插点周围采样点的权重来求取待插点的估计值，可统一表示。设n x x ,,1 为区域上的一系列观测点，)(,),(1n x Z x Z 为相应的观测值。待插点0x 处的值)(0x Z 可采用一个线性组合来估计： ∑==n i i i x Z x Z 10)()(λ （1）

参与式方法的运用

参与式方法的运用 问题一：参与式方法的基本理念 在生活中，每一个人对事物都有自己的态度和看法。而一个人的态度和看法是由他（她）看问题的角度、思维方式、他们的文化背景、成长过程、只是、阅历、经验乃至经济条件、生活环境的不同来决定的，而且，生活中的一些事物和问题的答案并不是唯一的，通过一些活动和大家的参与，我们有机会了解别人的看法和态度，学习丛各个角度和层面看问题，并且学会听取他人的意见，以便我们能能够对事物有接近全面、准确的认识，这就是参与式学习的理念。 参与式的学习是一种新的学习方法，众所周知，每个人所掌握的只是都是有所不同的，而参与式学习是一个共同学习、共同提高的过程。

从形式上看，传统教学法，老师的地位是高高在上，绝对权威；在参与式培训中，培训者与参与者的地位是平等的。 从性质上看，传统式学习是学生被动接受的过程；而参与式培训师参与者主动学习的过程。

参与式培训师以SARAR为基础的。所谓的SARAR，大致说来就是：培训者对参与者持尊重和平等的态度，运用各种活动，使参与者在彼此的信息交流和自我发现的过程中，提出解决人们面临的问题。 SARAR的具体含义是： Salf-esteem，即“自尊”，指参与者自身的价值观和权力应受到尊重，他们的经验和能力应得到承认。 Associated Strength，即“集体力量”，指运用小组活动，使人们在小组中互相启发、交流、充分发挥每一个的能动作用。 Resourcefulness，即“足智多谋”，指调动参与者的积极性、创造性和聪明智慧，为参与式培训提供良好的气氛。 Action Planning，即“活动计划”，指应该设计出有特定目标的培训活动。 Responsibility，即“责任感”，指通过尊重和调动参与者的积极性，使参与者建立起对培训目标及内容的使命感，从而产生有价值的培训成果。 问题五：参与式培训的原则 基本原则：平等、尊重 实现基本原则的要求： u 参与者与培训者之间、参与者之间、培训者之间都要建立起相互尊重、相互支持、相互理解、相互信任的关系。彼此做到：不批评、不指责，多鼓励多肯定、积极主动分享、交流信息和思想；辩论时对事不对人。 u 培训者积极协助参与者。 协助参与者独立思考、分析和解决问题，帮助参与者认识自己的潜能，这样，他既能提供信息分享，又对培训成果有拥有感和成就感。 u 灵活和创新 事物都在不断地发生变化，在进行参与式培训时，应及时补充重要信息，及时修改和调整培训计划。运用参与式的方法是，没必要墨守成规，应充分 u 树立责任意识并懂得自我反省 不断回顾和反思前面的行动，不仅可以强化学习，还可以从中找到不足，并努力做到更好，让每个成员意识到自己在团队中的作用，从而培养个体对团队的责任感。 问题六：培训活动中参与者的参与程度 参与式一个个体主观能力、意愿与参与的条件和环境相互作用的过程。而不同的个体具有不同的参与能力和意愿，不同的环境对个体的参与提供不同的支持和条件，所以，参与者的参与程度是有所区别的。

常见的插值方法及其原理

常见的插值方法及其原理 这一节无可避免要接触一些数学知识，为了让本文通俗易懂，我们尽量绕开讨厌的公式等。为了进一步的简化难度，我们把讨论从二维图像降到一维上。 首先来看看最简单的‘最临近像素插值’。 A,B是原图上已经有的点，现在我们要知道其中间X位置处的像素值。我们找出X位置和A,B位置之间的距离d1,d2，如图，d2要小于d1,所以我们就认为X处像素值的大小就等于B处像素值的大小。 显然，这种方法是非常苯的，同时会带来明显的失真。在A,B中点处的像素值会突然出现一个跳跃，这就是为什么会出现马赛克和锯齿等明显走样的原因。最临近插值法唯一的优点就是速度快。 图10，最临近法插值原理 接下来是稍微复杂点的‘线性插值’（Linear） 线性插值也很好理解，AB两点的像素值之间，我们认为是直线变化的，要求X点处的值，只需要找到对应位置直线上的一点即可。换句话说，A,B间任意一点的值只跟A,B有关。由于插值的结果是连续的，所以视觉上会比最小临近法要好一些。线性插值速度稍微要慢一点，但是效果要好不少。如果讲究速度，这是个不错的折衷。 图11，线性插值原理

其他插值方法 立方插值，样条插值等等，他们的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了达到这个目的，他们不得不利用到周围若干范围内的点，这里的数学原理就不再详述了。 图12，高级的插值原理 如图，要求B,C之间X的值，需要利用B,C周围A,B,C,D四个点的像素值，通过某种计算，得到光滑的曲线，从而算出X的值来。计算量显然要比前两种大许多。 好了，以上就是基本知识。所谓两次线性和两次立方实际上就是把刚才的分析拓展到二维空间上，在宽和高方向上作两次插值的意思。在以上的基础上，有的软件还发展了更复杂的改进的插值方式譬如S-SPline, Turbo Photo等。他们的目的是使边缘的表现更完美。

几种常用的参与式方法

8.几种传统/重要的参与式方法组合 特别适用于（社区宣传与社会调查）8．1 半开放式(半结构式)访谈 8.1.1 我们见到的采访是结构式的 -先拟定好要问的题目；问一句,答一句 -优点：好统计；缺点：不深入,对对方的内心无触动,无了解我们见到的脱口秀是非结构式的 -基本有一个方向,甚至没有 -想到哪里说到哪里,比较有趣,但信息随意性太强 8.1.2半结构式是什么呢? （一）半结构式访谈的特点 1.议题有，但不是一成不变的 -访谈者事先有一个确定的议题 -该议题会伴随着讨论和分析的过程而不断展开 -新的问题和见解会不断涌现出来。 2.被访谈者是积极参与的 -访谈者对访谈的结构和内容具有一定的控制 -鼓励受访者主动参与，提出自己感兴趣的问题。 3.信息是全面的 -关注所要问的问题 -关注访谈时的情境 是谁做的访谈?受访人是谁?访谈者与受访人之间是什么关系?访谈是怎样做的?什么时候做的?在什么地方做的? 4.技巧也是最难的 （二）访谈的核心要素

为访谈作准备/注意访谈情境/仔细聆听/详细询问/判断受访者的反应/作访谈记录/自我反思 (1)为访谈作准备 -明确目标（我们访谈最需要了解的内容是什么?） -寻找最佳途径（制订和完善访谈计划和访谈提纲） -分工 -（培训者的异质性组成问题/角色分配: 角色和职责主要的访谈者和记录员） -组织访谈对象(哪些人?/性别敏感吗?/各个阶层都有吗?/需要分开吗? (2)注意访谈情境:访谈的情境对访谈的实施和效果有非常重要的影响-进入讨论的过程融洽吗? -访谈的地点是否让人安心? -访谈的时间是否影响了人家的工作生活? -访谈的双方关系融洽吗? -访谈时的身体语言是友好开放的吗? -访谈时的座位安排是平等\开放\安全的吗? (3)仔细聆听-有效聆听的技巧A -找出有趣的领域(随时都要注意不要跑题) -重内容而不是表达(人家有自己说话的方式) -控制情绪(不要争辩,不下结论) -善于变通(本身就不是指定结构的要善于发现新东西) (3)仔细聆听-有效聆听的技巧B -努力倾听（表情和身体语言可是要一致） -避免分心 -训练心智(要能听到丰富的信息) -开放胸襟（不同的意见应该尊重也许会给你很多启发） -积极地听:言外之意,证据,相关信息

几种常用的插值方法

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arcgis空间内插值教程

GIS空间插值（局部插值方法）实习记录 一、空间插值的概念和原理 当我们需要做一幅某个区域的专题地图，或是对该区域进行详细研究的时候，必须具备研究区任一点的属性值，也就是连续的属性值。但是，由于各种属性数据（如降水量、气温等）很难实施地面无缝观测，所以，我们能获取的往往是离散的属性数据。例如本例，我们现有一幅山东省等降雨量图，但是最终目标是得到山东省降水量专题图（覆盖全省，统计完成后，各地均具有自己的降雨量属性）。 空间插值是指利用研究区已知数据来估算未知数据的过程，即将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面。利用空间插值，我们就可以通过离散的等降雨量线，来推算出山东省各地的降雨量了。 二、空间插值的几种方法及本次实习采用的原理和方法 –整体插值方法 ?边界内插方法 ?趋势面分析 ?变换函数插值 –局部分块插值方法 ?自然邻域法 ?移动平均插值方法：反距离权重插值 ?样条函数插值法（薄板样条和张力样条法） ?空间自协方差最佳插值方法：克里金插值 ■局部插值方法的控制点个数与控制点选择问题 局部插值方法用一组已知数据点（我们将其称为控制点）样本来估算待插值点（未知点）的值，因此控制点对该方法十分重要。 为此，第一要注意的是控制点的个数。控制点的个数与估算结果精确程度的关系取决于控制点的分布与待插值点的关系以及控制点的空间自相关程度。为了获取更精确的插值结果，我们需要着重考虑上述两点因素（横线所示）。 第二需要注意的是怎样选择控制点。一种方法是用离估算点最近的点作为控制点；另一种方法是通过半径来选择控制点，半径的大小必须根据控制点的分布来调整。 S6、按照不同方法进行空间插值，并比较各自优劣 打开ArcToolbox——Spatial Analyst 工具——插值，打开插值方法列表，如下图：

线性插值法计算公式解析

线性插值法计算公式解析 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A． B．8.75 C． D． 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2

图一：适用于某项指标越低得分越高的项目 评分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的 情形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式

图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下 F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F） /(D2-D) 通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分

参与式教学法的授课方法

参与式教学法的授课方法 一、讲述法 1、定义 讲述式教学法就是以老师讲授给学生的教学方法。作为一个古老而传统的教学方法，讲授式教学法一直在课堂中普遍采用。新课程实施以来，对讲授法的口诛笔伐时有所闻。究其根源，无非是作为传统教学方法的讲授法早已被人们贴上了“灌输”的标签。在当前新课程积极提倡自主、合作、探究这三种学习方式的同时，讲授法已被许多人所唾弃。 2、优点 有利于大幅度提高课堂教学的效果和效率 讲授法有两个特殊的优点，即通俗化和直接性。教师的讲授能使深奥、抽象的课本知识变成具体形象、浅显通俗的东西，从而排除学生对知识的神秘感和畏难情绪，使学习真正成为可能和轻松的事情；讲授法采取定论的形式直接向学生传递知识，避免了认识过程中的许多不必要的曲折和困难，这比学生自己去摸索知识可少走不少弯路。所以，讲授法在传授知识方面具有无法取代的简捷和高效两大优点，这也就是讲授法长盛不衰的根本原因。 有利于帮助学生全面、深刻、准确地掌握教材 教材作为学生学习的学科知识体系的一个蓝本，不仅汇集着系统的学科知识，而且还蕴藏着许多其它有价值的内容，如学科的思想观点、思维方法以及情感因素。但是，由于教材的编写要受到书面形式等因素的限制，对学生来说，不仅知识本身不好读懂，其所潜藏的内涵更是不易发现。而教师由于闻道在先，术业有专攻，能够比较全面、准确地领会教材编写意图，吃透教材、挖掘教材的深邃内涵。所以，正是借助教师的系统讲授和透辟分析，学生才得以比较深刻准确地掌握教材，从而不仅学到学科的系统知识，而且还领会和掌握了蕴含在学科知识体系中的学科思想观点、思维方法和情感因素。这样，学生的学科能力也就得到了全面提高。 有利于充分发挥教师自身的主导作用 任何真正有效的讲授都必定是溶进了教师自身的学识、修养、情感、流露出教师内心的真、善、美。所以，讲授对教师来说，不仅是知识方法的输出，也是内心世界的展现。它潜移默化地影响、感染、熏陶着学生的心灵。可以说，

ArcGIS中几种空间插值方法

ArcGIS 中几种空间插值方法 1. 反距离加权法(IDW) ArcGIS 中最常用的空间内插方法之一，反距离加权法是以插值点与样本点之间的距离为权重的插值方法，插值点越近的样本点赋予的权重越大，其权重贡献与距离成反比。可表示为： 1111() ()n n i p p i i i i Z Z D D ===∑∑ 其中Z 是插值点估计值，Z i (i=1Λn)是实测样本值，n 为参与计算的实测样本数，D i 为插值点与第i 个站点间的距离，p 是距离的幂，它显著影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。 2.多项式法 多项式内插法(Polynomial Interpolation)是根据全部或局部已知值，按研究区域预测数据的某种特定趋势来进行内插的方法,属统计方法的范畴。在GA 模块中，有二种类型的多项式内插方法，即全局多项式内插和局部多项式内插。前者多用于分析数据的全局趋势；后者则是使用多个平面来拟合整个研究区域，能表现出区域内局部变异的情况。 3.样条函数内插法 样条函数是一个分段函数，进行一次拟合只有少数点拟合，同时保证曲线段连接处连续，这就意味着样条函数可以修改少数数据点配准而不必重新计算整条曲线。样条函数的一些缺点是：样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要

解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些“块”拼成复杂曲面,又不引入原始曲面中所没有的异常现象等问题。 4.克里格插值法 克里格法是GIS 软件地理统计插值的重要组成部分。这种方法充分吸收了地理统计的思想，认为任何在空间连续性变化的属性是非常不规则的，不能用简单的平滑数学函数进行模拟，可以用随机表面给予较恰当的描述。这种连续性变化的空间属性称为“区域性变量”，可以描述象气压、高程及其它连续性变化的描述指标变量。地理统计方法为空间插值提供了一种优化策略，即在插值过程中根据某种优化准则函数动态的决定变量的数值。Kriging 插值方法着重于权重系数的确定，从而使内插函数处于最佳状态，即对给定点上的变量值提供最好的线性无偏估计。 对于普通克里格法，其一般公式为 01()()n i i i Z x Z x λ==∑，其中，Z(x i )(i=1, Λ,n)为n 个样本点的观测值，Z(x 0)为待定点值，i λ为权重，权重由克立格方程组： 011 (,)(,)1n i i j i i n i i C x y C x x λμλ==?-=????=??∑∑ 决定，其中,C(x i ,x j )为测站样本点之间的协方差，C(x i ,x 0)为测站样本点与插值点之间的协方差，μ为拉格朗日乘子。 插值数据的空间结构特性由半变异函数描述，其表达式为： () 21 1()(()())2()N h i i i h Z x Z x h N h ν==-+∑ 其中，N(h)为被距离区段分割的试验数据对数目，根据试验变异函数的特性，选

数值分析常用的插值方法

数值分析报告 班级： 专业： 流水号： 学号： 姓名：

常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……x n处的值是f（x0），……f（x n），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0， C1，……C n的函数类Φ(C0，C1，……C n)中求出满足条件P（x i）＝f（x i）（i＝0，1，……n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……C n)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……C n）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝f（x）－P（x）称为插值余项。

求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。 一．拉格朗日插值 1.问题提出： 已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x L 上的函数值01,,,n y y y L ，求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法： 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =++++L ，构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a L 。 3.构造()n P x 的依据： 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组： 20102000 20112111 2012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=?? ? ?++++=?L L L L L 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式： ()20 0021110 2111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏L L M M M M L

数值分析常用的插值方法

数值分析 报告 班级： 专业： 流水号： 学号： 姓名：

常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上 n＋1 个互不相同点x 0，x 1 (x) n 处的值是f（x ），……f（x n ），要求估算f（x）在[a，b〕 中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C ， C 1，……C n 的函数类Φ(C ，C 1 ，……C n )中求出满足条件P（x i ）＝f（x i ）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x 0，x 1 ，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C 0，C 1 ，……C n )称为插值函数类，上面等式称为插值条件， Φ（C 0，……C n ）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为 插值余项。

求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。 一．拉格朗日插值 1.问题提出： 已知函数()y f x =在n+1个点01,, ,n x x x 上的函数值01,, ,n y y y ，求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法： 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =+++ +，构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a 。 3.构造()n P x 的依据： 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组： 20102000 201121112012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?+++ +=?++++=??? ?+++ +=? 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式： () 200021110 2 111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏

计算方法实验报告 插值

实验名称：插值计算 1引言 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f（x）在区间[a,b]上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。用这张函数表来直接求出其他点的函数值是非常困难的，在有些情况下，虽然可以写出f(x)的解析表达式，但由于结构十分复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，构造函数P(x)作为f(x)的近似，插值法是解决此类问题比较古老却目前常用的方法，不仅直接广泛地应用与生产实际和科学研究中，而且是进一步学习数值计算方法的基础。 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点a≤x0,x1……,xn≤b上分别取值y0,y1……,yn. 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数φ中，求一简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=0,1…,n)而在其他点x≠xi上，作为f(x)的近似。 通常，称区间[a,b]为插值区间，称点x0,x1,…,xn为插值节点，上式为插值条件，称函数类φ为插值函数类，称P(x)为函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 2实验目的和要求 用matlab定义分段线性插值函数、分段二次插值函数、拉格朗日插值函数，输入所给函 数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点，计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。

3算法描述 1.分段线性插值流程图

2.分段二次插值流程图

3.拉格朗日插值流程图

4程序代码及注释 1.分段线性插值

参与式培训方法

在职医务人员的人力资源培养 教育是教育者按照一定社会的要求，有目的地把外在的社会经验传授给个体的过程，教育方法是指教育活动的实施方式，亦即教师为完成教育任务在教育过程中所采取的行为方式。正因为教育与社会发展密切相关，而教育方法又是直接为教育服务的，因此现代社会中发展起来的成人教育必然要求有与之相适应的一整套新型的教育方式和方法。本章主要介绍的是针对成人在职教育发展起来的参与式培训方法。 成人培训模式 一、现代培训模式 正是由于培训必须针对不同人群的不同需求，因此培训是一个复杂的过程。不同的培训目标、对象和内容，可以有不同的培训模式。但大多数人都认为，一个理想的培训模式应该包括四个步骤，即： （一）确定需求（determine need）首先要调查学习者面临着哪些困难、问题或不足，他们需要补充或提高哪些知识和技能，他们对培训有哪些期望和想法，不同受训者的来源和态度等等。充分调查和了解对培训的要求是培训成功的基础。 （二）制定计划（design program）根据需求调查的结果，设计培训方案，制定培训计划。在制定计划时应该力求全面，如培训师资的要求和来源，培训场所和环境，培训形式、时间和内容，培训教材和有关资料，培训方法等等。 （三）实施计划（delivery program）按照培训计动对受训者实施培训。在这一阶段，有针对性地使用各种不同的培训方法是培训成功的关键。 （四）评价结果（evaluation）培训效果的评价是培训全过程中十分重要的，然而也是常被忽视的一个环节。需要通过评价来确定培训是否达到预期的效果，有哪些成绩和经验、哪些不足，以便在今后的培训中加以改进。评价的主要内容应该看是否使受训者在以下方面发生了变化： ·观念·态度·知识·技能 受训人的变化可以是个体的，也可以是群体，或整个组织的成就。评价又可分为过程评价、终末评价。终末评价又可以是近期的，也可以是远期的。 尽管当前许多的资料都把注意力集中在介绍现代培训方法，即实施培训计划这一环节上，但这并不表示其它几个部分，即需求调查、规划制定和效果评价就

数学建模案例分析插值与拟合方法建模1数据插值方法及应用

第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。

参与式教学法

参与式教学法 一、参与式教学方法 参与式教学是国际上普遍推崇的一种教学方式，强调学习者已有的经验，与同伴合作、交流，一起寻找、分析、解决问题的途径，以提高师生的批判意识和自主发展能力。该方式力图使教学活动中的每一个人都投人到学习活动之中，都有表达和交流的机会，在平等对话中产生新的思想和认识，丰富个人体验和经历，并产生新的结果与智慧，进而提高自己改变现状的自信心和自主能力。 参与，指的是个体进人群体的状态，参与为每个学生提供了一种自主、积极的学习氛围，使每个学生达到知、情、意、行的和谐统一，使其在亲历亲为的认知行动中体验学习的乐趣、感受知识的奇妙、增加克服困难的自觉性和能力；为学生认识、修正自我的认知水平、能力结构提供了机会和平台。 参与式就是指能够使个体参与到群体活动中，与其他个体合作学习的方法。这里也包括个体活动，只要他是在思考老师提出的问题，即使不和同学互动也行，这也是参与式。 参与式教学法就是在教学过程中,把教师和学生都置于主体地位上,让师生双主体在教与学之间相互参与、相互激励、相互协调、相互促进和相互统一,充分发挥教师“教”和学生“学”两个主体的作用,使师生在互动过程中顺利完成教学任务、实现教学目标的方法。它调动了教师和学生两个方面的积极性，发扬了教学民主、学术自由、创造了师生之间的平等的、和谐的、愉快的、健康的学习氛围，是教师教学方法和学生学习方法的融合和统一。尤其强调和突出了学生在教学过程中的主体作用,旨在激发学生的学习兴趣和乐趣,引导学生从被动学变为主动学,从机械地听和记,变为自觉地探索与思考,从根本上改变目前高校许多学生“上课记笔记,下课抄笔记,考试背笔记, 毕业扔笔记”的现状,营造一种民主、自由、平等、和谐、愉快的教学氛围,从而培养学生独立求知和独立思考、解决问题的能力,促进教学质量和人才培养规格的提高。参与式教学法有两种主要形式。一种是正规的参与教学法，另一种是在传统的教学过程中加入参与式教学法的元素。 正规的参与式教学法的特点是小讲课和分组活动相结合。每个小讲课后，进行分组活动。分组活动可以采取不同的形式，根据小讲课的内容，以生动活泼的方式进行实战练习，通过对练习结果进行互相评论，并由教学者或专家进行评论，使学习者更加深刻地掌握小讲课所学的内容，并能将所学知识应用到实践中去。正规的参与式教学法以学习者和内容为中心，鼓励学习者在整个培训过程中积极参与，最终制定出项目的研究或实施方案。开始时，学习者配对互相介绍。在教学过程中，教学者经常提出问题让学生回答。在每节小讲课后，进行分组活动，活动形式灵活多样，可以采用编故事、绘画、戏剧小品表演、辩论赛，以及按教学者要求制定研究计划或实施计划等生动活泼、形象直观的形式。 在传统的教学过程中加入参与式教学法的元素，可以使学生的学习积极性得到提高，动手能力和解决实际问题的能力得到加强。 二、参与式教学法的原理 参与式教学法的理论依据主要是心理学的内在激励与外在激励关系的理论以及弗洛姆的期望理论。根据心理学的观点，人的需要可分为外在性需要和内在性需要。外在性需要所瞄准和指向的目标或诱激物是当事者本身无法控制，而被外界环境所支配的。与此相反，内在性需要的满足和激励动力则来自当事者所从事的工作和学习本身。当事者可从工作或学习活动本身，或者从完成任务时所呈现的某些因素而得到满足。

常见几种插值方法

1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X 和Y组元的最高方次。 5、径向基本函数法 径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，其中的复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。 6、谢别德法 谢别德法使用距离倒数加权的最小二乘方的方法。因此，它与距离倒数乘方插值器相似，但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时，圆滑的效果越好。 7、三角网/线形插值法 三角网插值器是一种严密的插值器，它的工作路线与手工绘制等值线相近。这种方法是通过在数据点之间连线以建立起若干个三角形来工作的。原始数据点的连结方法是这样：所有三角形的边都不能与另外的三角形相交。其结果构成了一张覆盖格网范围的，由三角形拼接起来的网。每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内格网结点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部结点都要受到该三角形的表面的限制。因为原始数据点被用来定义各个三角形，所以你的数据是很受到尊重的。 8.自然邻点插值法 自然邻点插值法(NaturalNeighbor)是Surfer7.0才有的网格化新方法。自然邻点插值法广泛应用于一

各种插值方法比较

空间插值可以有很多种分类方法，插值种类也难以举尽。在网上看到这篇文章，觉得虽然作者没能进行分类，但算法本身介绍地还是不错的。 在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括： Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 下面简单说明不同算法的特点。 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋

空间插值算法汇总

空间插值算法： 1、距离倒数乘方法（Inverse Distance to a Power）距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法（Kriging）克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法（Minimum Curvature）最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法（Polynomial Regression）多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元