希望杯数学竞赛题，解析法在解题中的应用（1）
解析法将数和形有机地结合在一起
•数和形结合往往可以使看似无从着手的问题变得十分简单
•面对几何问题借助坐标（或网格）引入相应参数就可以用方程、不等式或函数等方法轻易解决问题
•而一些代数问题利用已知的数量或关系式在坐标系上构造几何图形也能取得事半功倍的效果
1、已知一个三角形的三边长分别是√2，√13，√17，求此三角形的面积(希望杯试题)
分析：已知三边长度可以利用海伦公式或其它方法求出相应边上的高，但是略显复杂，观察2，13，17都是平方数之和，我们联想
的几何意义，所以可以考虑运用勾股定理构造三角形解决问题，将题中长度当作三个直角三角形的斜边构图，如图：
•结合图形计算面积
小结：此法要求我们对数字比较敏感（平方数），不过只要想着放在坐标系(或网格中)，运用模型多试几次总能解决
2、(希望杯试题)已知a、b、c均为正数，且
是一个三角形的三边，则这个三角形的面积是多少？
分析：观察三边的情况，这题和上题类似，但这里未给出确定的数，不过我们还是可以通过同样的方式解决
•如图：以2a，2b为边构造矩形AOBC，分别取AO、BO边的中点D、E
根据勾股定理可得图中阴影三角形即为所求三角形
3、(美国数学邀请赛试题)当x，y，z为任意实数时，代数式
的最小值为________
分析：这是任意实数的情况，且代数式为四项，先观察代数式的第一项，可以看作平面直角坐标系上点(x，1)到原点的距离
根据代数式中各项的关系考虑利用两点间的距离公式
继续在坐标系上构造图形解决
如图，根据各项之间的关系，在坐标系上构造点C(x,1),D(y,3),E(z,4),F(10,7)
所求代数式之值其实是图中OC、CD、DE、EF四条线段长度之和，
显然当C、D、E、F四点同在线段OF上时有最小值
小结：根据题目条件恰当地构造几何图形，将代数语言转化为几何语言，使二者有机结合，往往能使问题变得很简单。
小学数学典型应用题1 ：归一问题（含解析） 归一问题 【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。 这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量÷份数＝1份数量 1份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数 解题思路和方法 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例1： 3头牛4天吃了24千克的草料，照这样计算5头牛6天吃草_____ 千克。
解: 1、根据题意先算出1头牛1天吃草料的质量：24÷3÷4=2(千克)。 2、那么5头牛一天吃2×5=10(千克)的草料。 3、那么6天就能吃10×6=60(千克)草料。 例2： 5名同学8分钟制作了240张正方形纸片。 如果每人每分钟制作的数量相同，并且又来了2位同学，那么再过15分钟他们又能做_____ 张正方形纸片？ 解： 1、可以先算出5名同学1分钟能制作正方形纸片的数量，240÷8=30(张)。 2、再算出1名同学1分钟制作的数量，30÷5=6(张)。 3、现在有5+2=7(名)同学，每人每分钟做6张，要做15分钟，那么他们能做7×6×15=630(张)正方形纸片。
例3： 某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样计算，增加3台同样的车床后，如果要生产6300个零件，需要_____ 小时完成？ 解： 1、4台车床5小时生产零件600个，则每台车床每小时生产零件600÷4÷5=30（个）。 2、增加3台同样的车床，也就是4+3=7（台）车床，7台车床每小时生产零件7×30=210（个）。 3、如果生产6300个零件，需要6300÷210=30（小时）完成。
题41 E 、F 是椭圆22 x y 142 +=的左、 右焦点，l 是椭圆的准线，点P l ∈， 则 EPF ∠的最大值是 （ ） A 、15° B 、30° C 、45° D 、60° （第十三届高二培训题第21题） 解法1 不妨设l 是右准线，点P 在x 轴上方（如图所示）， 则l 的方程为2 a x 22c ==，故可设点P 为()()22,0y y >， 记EPF θ∠=，由PE 到PF 的角为θ，得tan 1PF PE PF PE k k k k θ-= + . 又知,2222PF y y k ==-22232 PE y y k == +，代入上式并化简，得2 22tan 6 y y θ= +.由假设知0y >，所以tan 0,0,2πθθ?? >∈ ??? .由基本不等式得223tan 326y y θ≤ =，所以θ的最大值为30°，当6P y =时取得最大值.故选B. 解法2 如上图，设,EPD FPD αβ∠=∠=，则(),tan tan θαβθαβ=-=-= 222222 tan tan 222222361tan tan 322222262612y y y y y y y y αβαβ+-- -==≤==++-++ ,因为0,,2πθ?? ∈ ??? 所以θ的最大值为30°.故选B. 解法3 由EPF ?面积的两种表示方法，即11 sin 22 s EF y EP FP θ= = ，得sin θ= () () 2 2 42222222222 36 2036 222222 20 EF y cy y EP FP y y y y y y = = = +++++-++ 2222221 2 4236 220 y y ≤ = =+ ，因为θ为锐角，所以θ的最大值为30°.故选B. θ x y D P F E O l P y x l F o E C A 图1
第一讲 乘法原理 卷Ⅰ 本讲的三个教学要点： ①使学生掌握乘法原理主要内容； ②掌握乘法原理运用的方法； ③培养学生准确分解步骤的解题能力. 乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯. （一）简单乘法原理应用 【例1】（★★★★）在右图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要 求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多各有几种不同走法? 分析：从A 点到C 点一共有3种走法，从C 点到D 点一共也有3种走法， 从D 点到B 点一共也有3种走法，根据乘法原理一共有3×3×3=27种走法. 我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理. 乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n 个步骤，其中，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法 ，…，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事一共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法． 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”. 专题精讲 教学目标 想 挑 战 吗 ？ 下图所示的八个图案是《周易》中所说的八卦，你们能画出第九个不同的卦相吗？如果不能，那是为什么？ 答案：根据乘法原理，一共只有2×2×2=8种卦象 D C B A
[拓展] （★★★）在右图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点 不得重复经过.问：这只甲虫最多各有几种不同走法? 分析：解这道题时千万不要受原来那道题的影响，A 到C 的地走法不是3条而是4 条所以这只甲虫最多有4×4=16种走法. 【例2】（★★★★）有三组：（1）1，2，3；（2）0.5，1.5，2.5，3.5；（3）4，5，6.如果从每组数中各取出一个数相乘，那么所有不同取法的三个数乘积的总和是多少？ 分析：将式子（1+2+3）×（0.5+1.5+2.5+3.5）×（4+5+6）用乘法分配律展开所得的3×4×3=36个加项即为36种不同取法的三个数的乘式，所以（1+2+3）×（0.5+1.5+2.5+3.5）×（4+5+6）的值即为不同取法的三个数乘积的总和为720. 【例3】（★★★★）从1到2004这2004个正整数中，共有 个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位． 分析：考虑不进位的情况． 9999－8866=1133．千位百位各有0，1两种选法，十位、个位各有0，1，2，3四种选法，因为0000不是正整数，所以不进位的数有 2×2×4×4－1=63(个)．至少发生一次进位的数有 2004－63=1941(个)． [前铺]10到99这90个数中，与66相加不产生进位的数有多少个？ 分析：十位、个位上不产生进位，要求十位上、个位上的数字不超过3，这样十位的数可以取值1、2、3上，个位上的数可以取值0、1、2、3，所以与66相加不产生进位的数有3×4=12个. （二）较复杂的乘法原理应用 【例4】（★★★★）如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要 求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不 同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？ 分析：第一步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择； 第二步，给B 国上色，B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择； 第三步，给C 国上色，C 国与B ，A 两国相邻，所以不能使用A ，B 国 的颜色，只有两种选择； 第四步，给D 国上色，D 国与B ，C 两国相邻，因此也只有两种选择； 第五步，给E 国上色，E 国与C ，D 两国相邻，有两种选择． 共有4×3×2×2×2=96种着色方法． C B A E D C B A
6-1-2.还原问题（一） 教学目标 本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题． 1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题． 2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题． 3. 培养学生“倒推”的思想． 知识点拨 一、还原问题 已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推． 二、解还原问题的方法 在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反． 方法：倒推法。 口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数． 关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号. 例题精讲 模块一、计算中的还原问题 【例 1】一个数的四分之一减去5，结果等于5，则这个数等于_____。 【例 2】某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？ 【巩固】有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是。
【巩固】一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．你知道这个数是几吗? 【巩固】少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子? 【例 3】学学做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．小朋友，你知道答案吗？ 【巩固】学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知道答案吗？ 【巩固】一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去6后，缩小2倍，再加上10后，扩大2倍，恰好是100分”．小刚这次竞赛得了多少分？ 【例 4】牛老师带着37名同学到野外春游．休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋 友们，你知道牛老师今年多少岁吗? 【巩固】小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4. 请你算一算，我今年几岁？”
1、明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系 2、浓度三角的应用 3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解 4、利用方程解复杂浓度问题 浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。 一、浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。 浓度：溶质质量与溶液质量的比值。 二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液=溶质+溶剂 2、=100%= 100%+??溶质溶质 浓度溶液 溶质溶液 三、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度) 形象表达：A B =甲溶液质量乙溶液质量B A = 甲溶液与混合溶液的浓度差 混合溶液与乙溶液的浓度差 注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的．浓度三角的表示方法如下： ::乙溶液质量 甲溶液质量z-y x-z z-y x-z 乙溶液浓度y % 甲溶液浓度x % 混合浓度z% 3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法． 利用十字交叉即浓度三角进行解题 例题精讲 知识精讲 教学目标 溶液浓度问题（一）
（一） 简单的溶液浓度问题 【例 1】 某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到， 那么这种溶液的食盐浓度为多少？ 【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 两种配置溶液共含食盐40×15%+60×10%=12克，而溶液质量为40+60-50=50克，所以这种溶液 的浓度为12÷50=24%. 【答案】24% 【巩固】 一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内 原来含有糖多少千克？ 【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 100100207.515 25?? ÷-= ???。所以原来含有糖7.5千克 【答案】7.5 【巩固】 现有浓度为10％的盐水8千克，要得到浓度为20％的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操 作？ 【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 10％的盐水8千克可以配出20％的盐水810%20%4?÷=千克，需要去掉844-=水。所以需蒸 发掉4千克水，溶液的浓度变为20％。 【答案】蒸发掉4千克水 【例 2】 有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？ 【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 将两种溶液的浓度分别放在左右两侧，重量放在旁边，配制后溶液的浓度放在正下方，用直线相 连；（见图1） 直线两侧标着两个浓度的差，并化成简单的整数比。所需溶液的重量比就是浓度差的反比；对“比”的理解应上升到“份”，3份对应的为300克，自然知道2份为200克了。需加入浓度为70％的盐水200克。 【答案】200 【巩固】 现有浓度为10％的盐水20千克，在该溶液中再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓 度为22％的盐水？ 【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 10%与30%的盐水重量之比为（30%-22%）：（22%-10%）=2：3，因此需要30%的盐水20÷2×3=30 克。 【答案】30 【巩固】 4千克浓度为30%的溶液和多少千克浓度为10%的溶液能混合成26%的溶液？ 【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由十字交叉法两种溶液的配比为()()26%10%:30%26%4:1--=，所以应该用4411÷?=千克的 10%的溶液来混合. 【答案】1千克 【例 3】 甲种酒精溶液中有酒精6千克，水9千克；乙种酒精溶液中有酒精9千克，水3千克；要配制成 50%的酒精溶液7千克，问两种酒精溶液各需多少千克？ 【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 甲种酒精浓度为6(69)100%40%÷+?=，乙种酒精浓度为9(93)100%75%÷+?=，根据浓度三 角，可知两种酒精的质量之比为：(75%50%):(50%40%)5:2--=，由于配成的酒精溶液共7千
希望杯数学竞赛题，解析法在解题中的应用（1） 解析法将数和形有机地结合在一起 •数和形结合往往可以使看似无从着手的问题变得十分简单 •面对几何问题借助坐标（或网格）引入相应参数就可以用方程、不等式或函数等方法轻易解决问题 •而一些代数问题利用已知的数量或关系式在坐标系上构造几何图形也能取得事半功倍的效果 1、已知一个三角形的三边长分别是√2，√13，√17，求此三角形的面积(希望杯试题) 分析：已知三边长度可以利用海伦公式或其它方法求出相应边上的高，但是略显复杂，观察2，13，17都是平方数之和，我们联想 的几何意义，所以可以考虑运用勾股定理构造三角形解决问题，将题中长度当作三个直角三角形的斜边构图，如图： •结合图形计算面积
小结：此法要求我们对数字比较敏感（平方数），不过只要想着放在坐标系(或网格中)，运用模型多试几次总能解决 2、(希望杯试题)已知a、b、c均为正数，且 是一个三角形的三边，则这个三角形的面积是多少？ 分析：观察三边的情况，这题和上题类似，但这里未给出确定的数，不过我们还是可以通过同样的方式解决 •如图：以2a，2b为边构造矩形AOBC，分别取AO、BO边的中点D、E
根据勾股定理可得图中阴影三角形即为所求三角形 3、(美国数学邀请赛试题)当x，y，z为任意实数时，代数式 的最小值为________
分析：这是任意实数的情况，且代数式为四项，先观察代数式的第一项，可以看作平面直角坐标系上点(x，1)到原点的距离 根据代数式中各项的关系考虑利用两点间的距离公式 继续在坐标系上构造图形解决 如图，根据各项之间的关系，在坐标系上构造点C(x,1),D(y,3),E(z,4),F(10,7) 所求代数式之值其实是图中OC、CD、DE、EF四条线段长度之和，
七年级数学竞赛题：最大值与最小值 在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是求某个量，或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题．在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：。 1．通过枚举选取； 2．利用完全平方式性质； 3．运用不等式(组)逼近求解； 4．借用几何中的不等量性质、定理等． 解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大(或更小)，另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子． 例1 若c为正整数，且a＋b＝ｃ，ｂ＋ｃ＝ｄ，ｄ＋ａ＝ｂ，则（ａ＋ｂ）·（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ｄ）（ｄ＋ａ）的最小值是________． (北京市竞赛题) 解题思路条件中关于c的信息最多，应突出c的作用，把a、b、d及待求式用c的代数式表示． 例2 多项式5ｘ2一4xy＋4y2＋12x＋25的最小值为( )． (“五羊杯”竞赛题) (A)4 (B)5 (C)16 (D)25 解题思路由多项式的特点联想到完全平方式，关键是正确地拆项与恰当地组合，以便得到完全平方式并利用其性质求最小值． 例3 如图，设A、B、C、D是四个居民小区，现要在四边形ABCD内部建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使四个居民小区到购物中心的距离总和最小? (全国“数学知识应用”夏令营试题) 解题思路先确定购物中心所建位置，然后从反面说明此点能满足要求．． 例4某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表
1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题 2. 掌握寻找和倍的方法解决问题． 知识点说明： 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题． 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。 和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数. 和倍问题的数量关系式是： 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数 或 和一小数=大数 如果要求两个数的差，要先求1份数： l 份数×(倍数－1)=两数差. 解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。 【例 1】 某校三(1)班举办优秀少先队员评选活动.每位同学如果表现优秀，则可得一枚小红花，5枚小红花 可换成一面小红旗，4面小红旗可换成一个奖章，3个小奖章可换成一个小金杯，一学期得2个小金杯，可评为优秀少先队员，那么要评为优秀少先队员，需要得________个小红花. 【例 2】 根据线段图列式： 【例 3】 花园小学组织学生植树，五年级植树160棵，正好是四年级的2倍。三年级比四年级少20棵。三年 级植树___棵。 【例 4】 小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？ 例题精讲 知识点拨 教学目标 6-1-5.和倍问题（一）
【巩固】果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？ 【巩固】实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 【巩固】学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍.买来的乒乓球和羽毛球各多少个？ 【巩固】甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 【巩固】《水浒传》中的108将中，男将是女将的35倍，男将共有名，女将共有名。 【例 5】有一堆红球与白球，球的总数在51～59之间. 已知红球个数是白球个数的4倍，那么，红球有_____________个. 【例 6】一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【例 7】两袋水果共有20个，从第1袋取出7个水果放入第2袋，两袋中的水果个数相同，则第1个袋中原有水果________个。
解析法在中学几何题中的应用 1. 解析法在中学几何题中应用的简介 解析法，又称为几何分析法，是一种求解几何问题的数学方法，它是依据元素、定理、定律和46种基本图形几何定性表达，结合解题过程中的分析、推理和转化，最终将几何图形、概念及表达结构与数学计算、推理相结合，通过用计算出来的量解出几何图形、关系，以达到求出几何问题答案的过程。在中学几何实际题目中，解析法及其方法也同样受到重视，它既可以用来求得几何图形、关系的证明及定性，又可以将其转化成数字问题，从而定性地解决定量问题，能够有效地解决复杂的几何问题。 2. 解析法在中学几何题中的应用 （1）求解图形的定性性质：中学几何实际应用题目中，有许多要求学生确定具体的图形的性质的题目，在数学上的定性表达可以采用解析法来解答，它以理性的思维来推导结果，锻炼学生的数学思维和认知能力； （2）证明图形的性质：在几何实际应用题目中，解析法能够将直观的图形数学推理联系起来，将若干复杂的定理和结论整合利用起来给出正确的证明，能够更全面深入地深入理解几何定理和结论； （3）求解图形的定量性质：解析法将几何图像转化成数学模式，可以解决定量的几何问题，它利用简单的几何知识将直接确定的量和间接求得的量解出几何形式，有效地实现了几何思想和数学理论的统一。
3. 解析法在中学几何题中能带来的好处 （1）熟悉几何定理及其证明：通过解析法用思维推导和证明，对几何 图形的概念、性质、习题的解法等可以建立较为深刻的认知； （2）灵活应用经典定理：用解析法推导、证明和理解问题，可以灵活 运用所学经典定理； （3）锻炼抽象和归纳能力：解析法通过从具体的事例向一般的规律抽象、归纳，引导学生分析图形关系，提高学生的抽象思维能力和归纳 能力； （4）提升数学解题能力：解析法将几何知识和数学思维有机结合，提 高数学解题能力，提供了一种更加科学有效地解决几何问题的新思路。
第12章 圆与圆相交 在圆与圆相交的问题中，两圆相交是基础．在这一章中，我们重点讨论两圆相交的基本性质及应用①②③④；三圆两两相交问题仅讨论共公共弦的问题． 两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理等提供了用武之地． 性质1 相交两圆的连心线垂直平分公共弦． 性质 2 以相交两圆的一交点为顶点，过另一交点的割线段为对边的三角形称为相交两圆的内接三角形．相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值． 推论1 在相交两圆中，内接三角形均相似． 事实上，如图12-1，1O ⊙与2O ⊙相交于P 、A ，AB 、CD 、EF 为过点Q 的割线段，则 PAB PCD PEF QGH △∽∽△∽． （2） A R （1） A R 图12-1 推论2 如图12-1中字母所设，又设M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则PAC PBD PMN △∽△∽． 证明 参见图12-1，由PAB PCD ∽△，有APC APB CPB CPD CPB BP ∠=∠-∠=∠-∠=∠，亦即PAM PCN △∽△，从而PB PA PM PD PC PN == ，且M PN CPN CPM APM CPM APC ∠=∠-∠=∠-∠=∠．由此APC PBD PMN △∽△∽△． 推论3在相交两圆中，若过同一交点的两条割线段的长相等，则以这两条割线段为边的内接三角形全等，且公共弦平分这两条割线所构成的夹角，反之亦真． 事实上，如图12-1，1O ⊙与2O ⊙相交于P 、Q ，若过点Q 的两条割线满足AB CD =，则P A B P C D △≌△，于是PD PB =．联结BD ，则AQP BDP DBP DQP ∠=∠=∠=∠，知PQ 平分AQD ∠． 反之亦真． 推论4在相交两圆中，若公共弦与内接三角形的一条边垂直，则另两边必分别为两圆直径．反之亦真． 事实上，如图12-11O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，过Q （或P ）的割线段与PQ 垂直，则由直角所张的弦为直径知PE （或QG ），PF （或QH ）分别为1O ⊙，2O ⊙的直径．反之亦真． 推论5 在相交两圆中，内接三角形的交点顶点（即两圆一相交点）、两非交点顶点以及非交点顶点处的两切线的交点，此四点共圆，或者说，两非交点顶点处的两切线的交点在相交两圆的内接三角形外接圆上， 事实上，如图12-1（1），1O ⊙与2O ⊙相交于P 、Q ，过点Q 的割线段CD 在端点处的切线于点R ，由弦切角定理，有QCR QPC ∠=∠，QDR QPD ∠=∠．于是， PCR PDR PCD QCR QDR CDP PCD ∠+∠=∠+∠+∠+∠=△的内角和180=?． 故P 、C 、R 、D 四点共圆．或者说点R 在PCD △的外接圆上． 对于图12-1（2），也可类似地证明（略）． 性质3 两相交圆的公共弦所在直线平分外公切线线段． 事实上，如图12-2，1O ⊙与2O ⊙相交于P 、Q ，设外公切线段为ST ，直线PQ 交ST 于M ，则由22SM MP MQ MT =?=，知M 为ST 的中点． ①沈文选．相交两圆的性质及应用[J]．数学通讯，2010（7）：56-58． ② 沈文选．再谈相交两圆的性质及应用[J]．数学通讯，2010（11）：56-58． ③ 沈文选．三谈相交两圆的性质及应用[J]．数学通讯，2011（2）：61- 64． ④ 沈文选．两圆相交的几个结论[J]．中学教学参考，2011（5）：49-52.
1. 熟练掌握盈亏问题的本质. 2. 运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题． 盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称 之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”． 可以得出盈亏问题的基本关系式： (盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数 (盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数 (亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”. 注意：1.条件转换； 2.关系互换. 模块一、利用盈亏公式直接计算 （一）盈+亏型 【例 1】 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2 块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？ 【考点】盈亏问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两次 搬砖，每人相差541-=（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数： 729+=（块） ，每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员919÷=（人）．共有砖：49743?+=（块） ． 【答案】9人，搬43块 【巩固】 把一堆糖果分给小朋友们，如果每人2块，将剩余12块；每人3块，将缺少2块，那么小朋友共有 人。 【考点】盈亏问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 盈亏问题：(12+2)÷(3-2)=14人 【答案】14人 【巩固】 智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒， 问：有多少位同学分多少粒糖果？ 【考点】盈亏问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9粒， 第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方案分配 数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学 的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）. 【答案】15位同学分69粒糖 【巩固】 秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48 个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？ 知识精讲 教学目标 6-1-7.盈亏问题（一）
小学(xiǎoxué)数学奥林匹克竞赛(jìngsài)真题集锦及解答 一、填空题 1．三个连续偶数，中间(zhōngjiān)这个数是m，则相邻两个数分别是___m-2____和 ___m+2_ __。 2．有一种(yī zhǒnɡ)三位数，它能同时(tóngshí)被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是____966___，最小的一个是____126____。 解题过程：2×3×7=42；求三位数中42的倍数126、168、 (966) 3．小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是_____9____岁和____16____岁。 解题过程：144=2×2×2×2×3×3；（9、16）=1 4．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是____1210___。 5．2310的所有约数的和是__6912____。 解题过程：2310=2×3×5×7×11；约数和=（1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）×（1+11） 6．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有____11____个。解题过程：2008-10=1998；1998=2×33×37；约数个数=（1+1）×（1+3）×（1+1）=16（个） 其中小于10的约数共有1，2，3，6，9；16-5=11（个） 7．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？__ 1000 __。 解题过程：1，5，9，13，……1997（500个）隔1个取1个，共取250个 2，6，10，14，……1998（500个）隔1个取1个，共取250个 3，7，11，15，……1999（500个）隔1个取1个，共取250个 4，8，12，16，……1996（499个）隔1个取1个，共取250个
解析法在几何中的应用 【摘要】解析法彻底改变了数学的研究方法，它把几何的问题变换成一个相应的代数问题，再把代数问题归结到去解一个方程式，从而使解决问题的方法变得更为简单。本文将从平面几何、立体几何、平面解析几何和空间解析几何四大方面举例说明解析法在几何中的应用。 【关键词】解析法；几何；轨迹；对称 笛卡尔为了把算术、代数、几何统一起来，他设想把数学问题化为一个代数问题，再把任何代数问题归结到去解一个方程式，于是笛卡尔从天文和地理的经纬度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系，x和y的不同数值可以确定平面上不同的点，即平面上的点和实数对(x,y)建立了一一对应关系，这就是解析几何的基本思想，也是代数和几何的第一次完美结合。 一、解析法的概念 平面解析几何的基本思想有两个点： 第一，在平面建立坐标系，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一实数对(x,y)建立起一
一对应的关系，除了直角坐标系外，还有斜坐标系，极坐标系，空间直角坐标系等等，在空间直角坐标系中还有球面坐标系和柱面坐标系。 第二，坐标系将几何对象和数，几何关系和函数之间建立了密切联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了，用这种方法研究几何学通常就叫做解析法。 二、解析法的意义 这种解析法不但对于解析几何是重要的，而且对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的．应用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系起来．正如笛卡尔的数学格言：“一切问题可以化成数学问题，一切数学问题可以化成代数问题，一切代数问题可以化成方程求解的问题。” 三、解析法在平面解析几何中求轨迹问题的应用 根据形成曲线的几何条件，在适当的坐标系下求出曲线的方程，这是解析几何的基本问题，也是代数方法研究几何问题的基础。轨迹求法的步骤是根据题设条件，分析、推导出动点所满足的几何性质，然后根据圆锥曲线的定义，以及所熟悉的各种曲线的定义，写出轨迹方程，并说明其图形的形状和位置。 例1已知△ABC的两个顶点A、B分别是椭圆
6-1-10.牛吃草问题（一） 教学目标 1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路. 2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系 知识精讲 英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点． 解“牛吃草”问题的主要依据： ①草的每天生长量不变； ②每头牛每天的食草量不变； ③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 ④新生的草量=每天生长量⨯天数． 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； ⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数； ⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)； ⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度． “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题． 例题精讲 模块一、一块地的“牛吃草问题” 【例 1】牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？ 【巩固】有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？ 【巩固】牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则头
知识概述 1.列方程解应用题是用字母来代替未知数,根据等量关系列出含有未知数的等式, 然后解出未知数的值。 2.列方程解应用题的优点就在于可以使未知数直接参加运算。 3.用方程法应用题时,首先可以通过公式或画图找出等量关系式,然后观察哪些量 是已知的,哪些量是未知的,再决定设哪个量为x,其它量用含x的式子来表示,最后列出方程解答。 4.列方程解应用题的一般步骤： （1）弄清题意,找出未知数,并用x表示； （2）根据题中数量之间的等量关系,列方程； （3）解方程； （4）检验,写出答案。 列方程解应用题 方程法作为小学阶段重要的解题工具,在应用题的解题方面有“万能钥匙”之称,所以掌握方程法解决应用问题的解题方法和策略对于提升杯赛中应用题的正确率尤为关键。 名师点题
甲、乙两人共有160本书,甲的3倍比乙的2倍多20本,两人各有多少本书？（列方程求解） 【解析】解：设甲有x本书,则乙有（160-x）本。依题意列方程 3x-2（160-x）=20 3x+2x=20+320 x=68 160-68=92（本） 答：甲有68本书,乙有92本数。 笼子里关着一些鸡和兔,从上面数,头有75个；从下面数,腿有236只。问,鸡、兔各几只？ 【解析】解：设鸡有ｘ只,则兔有（75－ｘ）只,依题意有 2ｘ＋4×（75－ｘ）＝236 300－2ｘ＝236 ｘ＝32 75－32＝43（只） 答：笼子里有鸡32只,兔43只。 一些桔子分给若干个人,每人6个还多10个,如果每人9个则少5个。问这些桔子有多少个？ 【解析】解：设有x个人,依题意有 6x+10=9x-5 3x=15 x=5 6×5+10=40（个） 答：这些桔子有40个。 【巩固拓展】 1.（第八届小机灵竞赛试题）小明、小亮、小刚三位小朋友去钓鱼,数一数他们钓鱼的条数,发现： 小明钓的鱼是小亮的4倍,小亮钓的鱼比小刚少5条,小刚钓的鱼比小明少7条。小明钓到（）条。 【解析】解：设小亮钓到x条,则小明钓到4x条,依题意有 x+5＝4x-7 3ｘ＝12 ｘ＝4 4×4＝16（条） 答：小明钓到16条。 2.至慧学堂一些小朋友去公园坐船,若每条船只坐8人,则还有5个人留在岸上；若每条船上坐10人,则最 后一条船上还有5个空位,那么一共有多少个小朋友去公园坐船？公园共有多少条船？ 例3 例2 例1
1．封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用。 2．掌握空心方阵和实心方阵的变化规律． 3．几何图形的设计与构造 一、植树问题分两种情况： （一）不封闭的植树路线. ① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+ 全长=株距⨯(棵数1-) 株距=全长÷(棵数1-) ② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等. 全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数； 棵数=段数=全长÷株距； 株距=全长÷棵数. ③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-. 株距=全长÷(棵数1+). 全长=株距⨯(棵数+1) （二）封闭的植树路线. 在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距. 二、解植树问题的三要素 （1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数， 只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个． 三、方阵问题 （1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别. （2）每边的个数＝总数÷41+”； （3）每向里一层每边棋子数减少2； （4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。 知识点拨 教学目标 5-1-3.植树问题（一）
例题精讲 【例 1】大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？ 【考点】直线上的植树问题【难度】1星【题型】解答 【解析】从图上可以看出，每隔4米种一棵树，如果20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：400÷4+1=101（棵）. 【答案】101棵 【巩固】在一条长240米的水渠边上植树，每隔3米植1棵。两端都植，共植树多少棵？ 【考点】直线上的植树问题【难度】1星【题型】解答 【解析】2403181 ÷+=（棵） 【答案】81棵 【例 2】一条马路长200米，在马路两侧每隔4米种一棵树，则一共要种树___________棵。 【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】考察植树问题，200÷4=50（段），（50+1）×2=102 【答案】102 【例 3】一条公路的一旁连两端在内共植树91棵，每两棵之间的距离是5米，求公路长是多少米？ 【考点】直线上的植树问题【难度】1星【题型】解答 【解析】根据植树问题得到：() -⨯=（米） 9115450 【答案】450米 【例 4】贝贝要去外婆家，他家门口有一根路灯杆，从这根杆开始，他边走边数，每50步有一根路灯杆，数到第10根时刚好到外婆家，他一共走了_____步． 【考点】直线上的植树问题【难度】1星【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】他从家门口的电线杆开始走，到第10根电线杆的时候刚好走了9段，每段需要走50步，所以共走的步子为：509=450 ⨯（步） 【答案】450步 【例 5】校门口放着一排花，共10盆．从左往右数茉莉花摆在第6，从右往左数，月季花摆在第8，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间．算一算，一串红花一共有多少盆？ 【考点】直线上的植树问题【难度】1星【题型】解答 【解析】从左往右数茉莉花摆在第6，那么从右往左数茉莉花就是第：10(61)5 --=（盆）花，从右往左数，月季花摆在第8，从左往右数月季花就是第：10(81)3 --=（盆）花，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：10532 --=（盆）． 【答案】2盆 【例 6】从小熊家到小猪家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共种53棵；现在改成每隔60米种一棵树．求可余下多少棵树? 【考点】直线上的植树问题【难度】2星【题型】解答 【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.从小熊家到小猪家的距离是：45×(53-1)=2340(米)，间隔距离变化后，两地之间种树：2340÷60+1=40(棵)，所以可余下树：53-40=13(棵) ， 综合算式为：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(棵). 【答案】13棵 【巩固】从甲地到乙地每隔40米安装一根电线杆，加上两端共51根；现在改成每隔60米安装一根电线杆．求
小升初数学试题解答应用题训练综合练习带答案解析(1)1 一、人教六年级下册数学应用题 1．为了测量一个空瓶子的容积，一个学习小组进行了如下实验。 ①测量出整个瓶子的高度是22厘米； ②测量出瓶子圆柱形部分的内直径是6厘米； ③给瓶子里注入一些水，把瓶子正放时，测量出水的高度是5厘米； ④把瓶盖拧紧，将瓶子倒置放平，无水部分是圆柱形，测量出无水部分圆柱的高度是12厘米。 （1）要求这个瓶子的容积，上面记录中的哪些信息是必须有的？________（填实验序号）（2）请根据选出的信息，求出这个瓶子的容积。 2．水果店里西瓜个数与哈密瓜个数的比为7：5，如果每天卖哈密瓜40个，西瓜50个，若干天后，哈密瓜正好卖完，西瓜还剩36个。水果店里原来有西瓜多少个？ 3．以小强家为观测点，量一量，填一填，画一画。 （1）新城大桥在小强家________方向上________m处。 （2）火车站在小强家________偏________（________）°方向上________m处。 （3）电影院在小强家正南方向上1500m处。请在图中标出电影院的位置。 （4）商店在小强家北偏西45°方向上2000m处。请在图中标出商店的位置。 4．民航部门规定：乘坐飞机的旅客，携带行李超过20千克的部分，每千克要按飞机票原价的1.5%另行支付行李逾重费。李青青从上海乘飞机，购买了七折机票，付钱707元，他携带了30千克的行李，应付行李逾重费多少元？ 5．某商店按15%的利润定价，然后又按定价打九折出售，结果每件还赚70元，这一商品的成本价是多少元？ 6．一个底面半径是6cm的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没着一个高9cm的圆锥形铅锥，当铅锥从水中取出后，水面下降了0.5cm，这个圆锥的底面积是多少平方厘