广义矩方法(generalized method of moments ，GMM)的一般表述是由汉森(1982)提出的。它是基于模型实际参数满足的一些矩条件而形成的一种参数估计方法，是普通矩估计方法的一般化。只要模型设定正确，一般情况下都能找到该模型实际参数满足的若干矩条件而采用广义矩。GMM 法大大突破了原有矩法的局限性，在大样本性质下效果较好，而且在相当大的范围内具有极大似然估计的优良性。
2．2广义矩概念的引出 2．2．2广义矩估计(GMM)
当样本矩条件的个数与待估参数的个数相等时，使用经典的矩估计方法即可解决参数的估计问题，如上述两个例子都是选择两个样本矩来估计总体的两个参数。
若选择的矩方程个数多于估计参数的个数，经典矩方法就不再适用
，于是广
义矩方法
应运而生。
()
()
()
()
()
21
,1,...,,()1,...,,
()?()(())i i i r
i i i r X i r R M i r M
r Q X
M
ββββββ
====
-∑设样本个矩为对应总体个矩为为待估总体（向量）的函数，且大于待估参数的个数，
则最小二乘法参数估计量实际上是使得欧氏距离函数
达到最小的参数估计量。但是不同的矩起的作用不同，如果希望某些矩的作用大些，这就想到加权最小二乘法、广义最小二乘法，从函数空间距离角度，就是要(1)
()
(1)
()
1
(,...,),
(,...,),()()'()
()?()r r X X X
M M
M
Q X M S X M S X M G M M Q ββββ
-===---M ahalanobis 应用距离。写成向量形式，记则马氏距离定义为：
其中是关于的协方差矩阵，参数的估计就是使得达到最小的。
2．3广义矩估计法
2．3．1广义矩估计的基本原理
1111(,)1:()(,){(,)}0,(,,...,)11(,)(,)t a
h
r
t t t t n n n t t w t h a h w r h R R R w h w E h w r Y w w w n nh r m w h w ββββββ-????→=??假设为一个期观察到的变量向量。为未知的参数向量，为像两只函数，的一个映射。因是一个随机变量向量，所以也是随机变量向量，若则称此向量方程为个正交条件。令未包含容量为的样本中全部观察值的向量，用向量值函数表示1
1
(,)(,)()(,)0G M M (,)0,G M M ()'()
G M M a
h r
t t
n n n n m w h w m R R R n
m Y m Y r a r a r a q m W
m W q βββββββββ-=
?→==>=∑的样本均值，即，
是的一个映射，
选取参数向量的估计值，使样本矩最小，尽可能接近于，则即为广义矩（）估计值。
令即用个方程解个未知数。若，则方程恰有唯一解。但更一般的情况是，因此，估计方法就是极小化
其中权重矩阵为某正定矩阵。估计量就是使1
??arg m in(()'())m W m β
βββ-=极小化而得到的参数估计量，即。
2．3．2权重矩阵的选择
当模型为过度识别时，权重矩阵的选择就不仅仅是科学了。原因之一在于广义矩估计法的权重依赖于参数估计，而参数估计又依赖于权重的选择。一般的做法是在模型中先采用相等的权重，用由此得到的参数估计重新计算权重矩阵。权重矩阵的选择是GMM 估计方法的一个核心问题。Hansen(1982)提出最佳的权矩阵为
2
2
2
02
'
111.var[()]cov[,]''
19801?11?(()())
1
()1,1
i i j j ij i
j
i
j
i
i i i W asy m Z Z w ZZ Z Z n
n
n
W hite W W S N ew ey W est n W W S S w l S
S n n w l S e
e L βεε==
=
=
Ω===++=-
=
+∑∑
∑∑
∑ 若随机误差项存在异方差但不存在自相关，（）提出权重矩阵的估计量为，，若随机误差项存在自相关，和（1987）提出权矩阵的估计量为其中，'
12121,2,...,(,,)(,)1,2,...,(,,...,)(,,i l
i i l
i i i i i
r z z l l
e e y X y h X l l
l l W L r y y y βββ
μμ--===-==∑ 的选择标准为：使得随机误差项之后大于的序列相关性非常小以至于可以忽略不计。其中是令所得到的一个非有效但一致的估计量，或使用其他方法得到的一个一致估计量。
考察一个简单的线性模型，其中有个不同的观测值，各个观察值的总体平均值为1121
1212...,)?,1,2,...,G LS ?arg m in(()'())(,,...,)',(,,...,r i i r y T y y i r y Y U Y U Y y y y U μμ
μμμ
μμ---=-Ω-==，列入可能表示为某些变量的个观察值的样本平均，表示有第二个样本中得到的样本平均，如此等等。在没有限制的情况下，估计可能简单地为。在有关的线性限制时，最好的估计是有广义最小二乘法得到的的线性函数。我们知道的估计是其中1
)'-[()()']r Y U E Y U Y U μ-Ω-Ω=--Ω且是的方差协方差矩阵。可见本例中的最有权重矩阵为。
2．3．4 GMM 估计法的步骤
根据以上所述，可以把GMM 的估计步骤归纳如下：
'
(1)(,),1,2,...,,11?(2)(()())
1;?(3)arg m in(()'i i i i
i O LS y h X i n W S S w l S
S n n
L L L J J m W βεββ
β=+===++=?=∑采用估计方程求得（目的在于求权重矩阵）；
计算权重矩阵的估计量。如果采用的权重估计量，则要首先选择的值。当模型不存在序列相关时，取当模型存在序列相关时，可以采用广义差分法判断的取值。权重矩阵为矩阵；
将权重矩阵的估计量带入1
())m G M M β-，球的估计量。
5广义矩估计
第1章 广义矩估计 1.1 矩估计 1.1.1 总体矩与样本矩 设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的 ()12,, ,k θθθ=θ是待估计的未知参数。假定总体分布的m 阶矩存在，则总体分布 的k 阶原点矩和k 阶中心矩为 ()() ,1k k k EX x dF x k m α+∝-∝ =≤≤? θθ 1 ()[()]()[()],1k k k E X E x x E x dF x k m μ+∝ -∝ -=-≤≤? θθ 2 两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩： ()E X μ= 3 222 2()[()]()Var X E X E X μμσ=-=- 4 一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。 对于样本12(,,,)n X X X =X ，其k 阶原点矩是： 1 1n k k i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5 当k =1时，m 1表示X 的样本均值。 X 的k 阶中心矩是： ()1 1n k k i i B X X n =-∑（1k m ≤≤） 6 当k =2时，B 2表示X 的样本方差。
1.1.2 矩估计方法 矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。 总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θ的函数。根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩。因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令： ()12,,,1,2, ,k K k m k K αθθθ== 即： ()1 1,1,2, ,n k k i i x dF x X k K n +∝-∝ = = =∑ ∑θ 7 上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θ的K 个方程式，求解上式所构成的 方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θ的一组解() 12????,,,k θθθ=?θ。因为m k 是随机变量，故解得的?θ也是随机变量。这种参数估计方法称为矩方法，() 12????,,,k θθθ=?θ即是()12,,,K θθθ=θ的矩估计量。 定理：X 的分布函数F (X )存在2ν阶矩，则对样本的ν阶原点矩m v ，则矩的期望和方差为： []E m ννα=，[]() 2 21Var m n ννν αα= - 8 证明： []11 1111n n n i i i i i E m E X E X n n n νν ννναα===????====????????∑∑∑ []()2 2 Var m Em Em ννν=- 2 211n i i E X n ν να=??=- ? ??? ∑ 2222111n i i j i i j E X X X n n ννν να=≠?? ?=+- ?? ? ∑∑∑ 22221 1 1 n i i j i i j E X E X X n n ννννα=≠????= +-????∑∑∑
矩法估计 1.什么是矩法估计 对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，母体ξ的各阶矩一般与ξ的分布中所含的未知参数有关，有的甚至就等于未知参数。由辛钦大数定律知，简单随机子样的子样原点矩依概率收敛到相应的母体原点矩Eξr,r= 1,2,Λ。这就启发我们想到用子样矩替换母体矩（今后称之为替换原则），进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的。 ２.矩法估计的理论依据 由辛钦大数定律知： 即对，有 或 矩法估计的具体步骤 设母体ξ的概率函数为f(x,θ1,Λ,θk),其中是k个未知参,Λ,ξn是取自这一母体的一个子样。设ξ的k阶矩v k = Eξk存在，则数，ξ 1 v ,j < k都存在，并且是θ1,Λ,θk的函数v j(θ1,Λ,θk)，又子样ξ1,Λ,θk j 的j阶矩为。我们设
(1) ,Λ,θk的k个方程，解由这k个方程联这样我们就得到含k个未知参数θ 1 列所构成的方程组就可以得到theta1,Λ,θk的一组解： (2) 用(2)中的解来估计参数θi就是矩法估计。 一般我们考察的情形。 在数理统计学中，我们一般用表示θ的估计量。 下面我们举一个与实际问题有关的多参数的矩法估计问题。 例:已知大学生英语四级考试成绩ξ~N(μ,σ2)，均值μ,方差σ2均未知，ξ1,Λ,ξn为取自母体ξ的一个子样，(x1,Λ,x n)是子样的一组观测值,求μ与σ2的矩法估计。 解：注意到有两个未知参数，由矩法估计知需两个方程，按照(1)式得方程组 解这一方程组得μ与σ的矩法估计量
广义矩估计（Generalized Method of Moments ，即GMM ） 一、解释变量内生性检验 首先检验解释变量内生性（解释变量内生性的Hausman 检验：使用工具变量法的前提是存在内生解释变量。Hausman 检验的原假设为：所有解释变量均为外生变量，如果拒绝，则认为存在内生解释变量，要用IV ；反之，如果接受，则认为不存在内生解释变量，应该使用OLS 。 reg ldi lofdi estimates store ols xtivreg ldi (lofdi=l.lofdi ldep lexr) estimates store iv hausman iv ols （在面板数据中使用工具变量，Stata 提供了如下命令来执行2SLS:xtivreg depvar [varlist1] (varlist_2=varlist_iv) （选择项可以为fe ，re 等，表示固定效应、随机效应等。详见help xtivreg ） 如果存在内生解释变量，则应该选用工具变量，工具变量个数不少于方程中内生解释变量的个数。“恰好识别”时用2SLS 。2SLS 的实质是把内生解释变量分成两部分，即由工具变量所造成的外生的变动部分，以及与扰动项相关的其他部分；然后，把被解释变量对中的这个外生部分进行回归，从而满足OLS 前定变量的要求而得到一致估计量。 t p t q t p 二、异方差与自相关检验 在球型扰动项的假定下，2SLS 是最有效的。但如果扰动项存在异方差或自相关， 面板异方差检验： xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls panel(het) estimates store hetero xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls estimates store homo local df = e(N_g) - 1 lrtest hetero homo, df(`df') 面板自相关：xtserial enc invs exp imp esc mrl
GMM 估计中文讲义2 线性模型 1i x 是1k ?，2i x 是1r ?，l k r =+。如果没有其他约束，β的渐进有效估计量是OLS 估计。现在假设给定一个信息20β=，我们可以把模型写为， 11 i i i y x βε'=+，()0i i E x ε= 如何估计1β？一种就是OLS 估计。然而这种方法不是必然有效的，当在()0i i E x ε=方程中有l 个约束，然而1β的维数k l <，这种情况称为过渡识别。这里有r l k =-比自由参数多的矩约束，我们称r 是过渡约束识别个数。 让(,,,)g y z x β是1l ?个方程，参数β为1k ?，且k l <，有 0(,,,)0i i i Eg y z x β= （1） 0β是β 的真实值，在上面线性模型中有1 (,,)()g y x x y x ββ'= -。在计量经济学里，这类模型称为矩条件模型。在统计学中，这称为估计方程。 另外，我们还有一个线性矩条件模型， 1i i i y z βε'=+，()0i i E x ε= i z 和i x 的维数都是1k ?，且有1l ?，k l <，如果k l =则模型是恰好识别，否则是过 渡识别。变量i z 是i x 的一部分或是i x 的函数。模型（1）可以设置为， 0(,,,)()i i i g y z x x y z ββ'=- （2） GMM 估计 模型（2）样本均值为 11111 ()(())()n n n i i i i i i n n n g g x y z X y X Z ββββ==='''=-=-∑∑ （3） β的矩估计量就是设置()0n g β=。对于k l <个方程大于参数的情形，GMM 估计思 想就是设置()n g β近可能的接近于零。 对于l l ?加权矩阵W 0n >，让 这是向量()n g β长度的非负测度。例如，如果W n I =，则有 2 ()()()()n n n n n n J g g g ββββ'=?=?。
矩法估计的分析及应用 金融数学10本 黄小听 17 摘要：矩法估计就是根据子样所提供的信息，对母体的分布或分布的数字特征等作出合理的统计推断的一种方法。它不仅在数学领域应用广泛，对于解决实际问题(比如预测股市行情，教育统计学等），也有很大的用途。 关键字：矩法估计；应用；评选标准；优缺点 一 什么是矩法估计 对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，母体ξ的各阶矩一般与ξ的分布中所含的未知参数有关，有的甚至就等于未知参数。由辛钦大数定律知，简单随机子样的子样原点矩依概率收敛于相应的母体原点矩E ξr ,r = 1,2，…。这就启发我们想到用子样矩替换母体矩（替换原则），进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。它是由英国统计学家皮尔逊Pearson 于1894年提出的。 二 矩法估计的理论依据 由辛钦大数定律知： … 即对任意 ，有 或 三 如何求解矩法估计 设母体ξ具有已知类型的概率函数),,,;(21n x f θθθ ， (1θ，2θ，…，k θ)∈Θ
是k 个未知参数。1ξ，…，n ξ是取自母体ξ的一个子样，假设ξ的k 阶矩k υ=E ξk 存在，显然j υ，j Econometrics2—Fall2005 Generalized Method of Moments (GMM)Estimation Heino Bohn Nielsen 1of32 Outline (1)Introduction and motivation (2)Moment Conditions and Identi?cation (3)A Model Class:Instrumental Variables(IV)Estimation (4)Method of Moment(MM)Estimation Examples:Mean,OLS and Linear IV (5)Generalized Method of Moment(GMM)Estimation Properties:Consistency and Asymptotic Distribution (6)E?cient GMM Examples:Two-Stage Least Squares (7)Comparison with Maximum Likelihood Pseudo-ML Estimation (8)Empirical Example:C-CAPM Model Introduction Generalized method of moments(GMM)is a general estimation principle. Estimators are derived from so-called moment conditions. Three main motivations: (1)Many estimators can be seen as special cases of GMM. Unifying framework for comparison. (2)Maximum likelihood estimators have the smallest variance in the class of consistent and asymptotically normal estimators. But:We need a full description of the DGP and correct speci?cation. GMM is an alternative based on minimal assumptions. (3)GMM estimation is often possible where a likelihood analysis is extremely di?cult. We only need a partial speci?cation of the model. Models for rational expectations. 3of32 Moment Conditions and Identi?cation ?A moment condition is a statement involving the data and the parameters: g(θ0)=E[f(w t,z t,θ0)]=0.(?) whereθis a K×1vector of parameters;f(·)is an R dimensional vector of(non-linear)functions;w t contains model variables;and z t contains instruments. ?If we knew the expectation then we could solve the equations in(?)to?ndθ0.?If there is a unique solution,so that E[f(w t,z t,θ)]=0if and only ifθ=θ0, then we say that the system is identi?ed. ?Identi?cation is essential for doing econometrics.Two ideas: (1)Is the model constructed so thatθ0is unique(identi?cation). (2)Are the data informative enough to determineθ0(empirical identi?cation). 第八章 参数估计 第一节 参数的点估计 在研究总体X 的性质时，如果知道总体X 的概率分布，那是再好不过了。然而，在许多情况下，对总体的情况知道甚少或只知道部分信息。 在实际问题中遇到的许多总体，根据以往的经验和理论分析可以知道总体X 的分布函数的形式，但分布中的一个或几个参数未知，一旦这些参数确定以后，总体X 的概率分布就完全确定了。例如，总体),(~2σμN X ，但不知道其中参数μ和2 σ的具体数值，我们要想法确定参数2 ,μσ 。 为了寻求总体的这些参数的值，我们可对总体进行调查，很自然的会想到用从总体X 中抽取得的样本值n x x x ,,,21???，对总体中的未知参数作 出来估计，这类问题就是参数估计。 参数估计主要有参数的点估计和参数的区间估计。 设总体X 的分布函数(;)F x θ形式已知，其中θ是未知参数（也可以是未知向量12(,,,)m θθθθ=???）。 现从总体X 中抽得一个样本n X X X ,,,21???, 相应的一个样本值观察值为 n x x x ,,,21???； 点估计的问题就是要构造一个 适当的统计量12?(,,,)n X X X θ???，用它的观察值12?(,,,)n x x x θ???来估计未知参数θ。 统计量12?(,,,)n X X X θ???称为θ的估计量，12?(,,,)n x x x θ???称为θ的估计值。 在不致混淆的情况下，估计量与估计值统称为估计，并都简记为?θ。 下面介绍参数点估计的两种方法： 矩估计法和极大似然估计。 一、 矩估计法 矩估计是由英国统计学家Pearson,K.于1900年提出的一种参数估计方法，在统计学中有广泛的应用。 例1 某灯泡厂生产一批灯泡，由于随机因素的影响，每个灯泡的使用寿命是不一样的。由中心极限定理和实际经验知道，灯泡的使用寿命),(~2σμN X ，但不知道其中参数μ和2σ的具体数值。为了确定该批灯泡的质量,自然要求估计这批灯泡的平均寿命以及寿命的差异程度,即要求估计μ和2σ的值. 为了对参数μ和2σ进行估计， 我们从总体中抽取样本n X X X ,,,21???（对于一次具体的抽取，他就是具体的数值n x x x ,,,21???,在不致引起混淆的情况下，今后也用n x x x ,,,21???表示随机变量），根据样本矩在一定程度上 广义矩估计 一、背景 我们前面学了OLS估计、工具变量估计方法，前面这几种方法都有重要假设就是需要知道分布才能估计，但是往往现实理论我们无法得到关于分布的信息，因此矩估计方法应运而生。矩估计方法的基本思想是利用样本矩的信息组成方程组来求总体矩，以此得到渐进性质下的一致性估计量。那么在构成方程组求解的过程中涉及识别问题和解决。本章详细介绍矩估计方法。矩估计方法实际应用非常广泛，应注意将矩估计与OLS估计、工具变量估计和极大似然估计方法结合对比进行应用。 二、知识要点 1，应用背景 2，矩估计存在的问题(识别) 3，矩正交方程和矩条件 4，矩估计的属性 三、要点细纲 1、应用背景 其基本思想是:在随机抽样中，样本统计量(在一个严格意义上，一个统计量是观察的n维随机向量即子样的一个(波雷尔可测)X,XXX,,,，，12n 函数，且要求它不包含任何未知参数)将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。即在不知道分布的情况下，利用样本矩构造方程(包含总体的未知参数)，利用这些方程求得总体的未知参数。 基本定义 n1,,统计量为子样的ν阶矩(ν阶原点矩); mXi,n,i1 n1, ,统计量为子样的ν阶中心矩。 ,BXX，，i,n,i1 子样矩的均值与方差 2222,,,;,,,,EXVarXEXEX，，，，，， kk,，，EXEX,,,kk 我们用到时假定它是存在的。 ,,或kk 基本做法 的可能分布族为，其中属于参数空间的设:母体XFx,,,,,,Θ，，,, 是待估计的未知参数。假定母体分布的k阶矩存在，则母体,,,,,,,,，，12k 分布的ν阶矩 ,, ,,,,1xdFxk,,,,,,,,,，，，，,,12k,, 是的函数。 ,,,,,,,,，，12k 对于子样，其ν阶子样矩是 X,XXX,,,，，n12 n1,,,, mXk,1,,,in,i1 现在用子样矩作为母体矩的估计，即令: n1,,,, (1) ,,,1,2,,mXk,,,,,,，，,,i12kn,i1 第八章 参数估计 第一节 参数的点估计 在研究总体X 的性质时，如果知道总体X 的概率分布，那是再好不过了。然而，在许多情况下，对总体的情况知道甚少或只知道部分信息。 在实际问题中遇到的许多总体，根据以往的经验和理论分析可以知道总体X 的分布函数的形式，但分布中的一个或几个参数未知，一旦这些参数确定以后，总体X 的概率分布就完全确定了。例如，总体),(~2 σμN X ，但不知道其中参数μ和2 σ的具体数值，我们要想法确定 参数2 ,μσ 。 设总体X 的分布函数(;)F x θ形式已知，其中θ是未知参数（也可以是未知向量1 2 (,,,)m θθθθ=???）。 试问怎样由样本n X X X ,,,2 1 ???提供的 信息，建立样本的函数即统计量来 对未知参数作出估计？ 这类问题，称为参数的估计问题。 参数估计主要有参数的点估计和参数的区间估计。 现从总体X 中抽得一个样本 n X X X ,,,2 1 ???, 相应的一个样本值观察值为 n x x x ,,,2 1 ???； 点估计的问题就是要构造一个适当的统计量12?(,,,)n X X X θ???，用它的观察值12?(,,,)n x x x θ???来估计未知参数θ。 统计量12?(,,,)n X X X θ???称为θ的估计量，12?(,,,)n x x x θ???称为θ的估计值。 在不致混淆的情况下，估计量与估计值统称为估计，并都简记为?θ。 下面介绍参数点估计的两种方法： 矩估计法和极大似然估计。 一、 矩估计法 矩估计是由英国统计学家Pearson,K.于1900年提出的一种参数估计方法，在统计学中有广泛的应用。 例1 若要考察成人的身高分 布情况。 （人类学、遗传变异学、社会学要用。） 每一个人的身高是一个体，全体人的身高构成一个总体。 由于随机因素的影响，不同人的身高一般是不一样的。 由中心极限定理和实际经验知道，人体身高),(~2 σμN X 。 1、广义矩方法（GMM） 广义矩方法是基于模型实际参数满足的一些矩条件而形成的一种参数估计方法，是聚集方法的一般化。GMM的优点：仅需要知道一些矩条件，而不需要知道随机变量的分布密度（如极大似然估计）。这可能是一个缺陷，因为GMM经常不能对样本中的全部信息进行有效利用。并且如果如果模型的设定是正确的, 则总能找到该模型实际参数满足的若干矩条件而采用GMM。广义矩估计选择的矩估计方程个数多于待估参数的个数时, 必须选择参数使它尽可能地与各个矩估计方程配合, 来调和将出现在过度识别系统中的互相冲突的估计。一种办法就是最小化准则函数。令θ为参数向量, m(θ)为样本矩条件。最小化准则函数即使J T = m (θ)′m (θ)最小。考虑到不同的矩条件所起的作用不同, 人们希望某些矩条件的作用大些、某些矩条件的作用小些, 因此引入了加权矩阵, 它反映了各阶矩在GMM 中的重要程度。由此问题转化成了使J T = m (θ)′w(θ)m (θ)最小。这里W (θ) 是一个正定权重矩阵, 它反映了与每一个矩条件相配合的重要性。GMM 估计量就是使J T最小化时的参数估计量θ, 即θ= argmin [m (θ)′w(θ)m (θ) ]。其中, m (θ) 为样本矩条件, 是m * 1 维的正交条件。权重矩阵W (θ) 为m * m 维的正定对称矩阵, θ为L* 1 维向量,L≤m。为使J T 极小化, 对J T关于θ求导, 得到一阶条件m (θ)′W (θ) m (θ) = 0其中, m (θ) 是m (θ) 关于θ的Jacobian 矩阵。 GMM 估计的核心问题是对加权矩阵的选择问题。如果选取的矩条件个数恰好等于待估参数的个数, 就属于“恰好识别”( just -ident ified) 的类型, 无论权重矩阵如何选取, 都有最小值0。如果选取的矩条件个数多于待估参数的个数, 就属于“过度识别”(over-identified)的类型, 这时并不是每个矩条件都能得到满足, 而权重矩阵W决定了各个矩条件的相对重要性。如果过程是严格平稳的, 则选择W (θ) = S-1 (θ), 而S (θ) = E [ m (θ) m (θ)′] , 其中m (θ) 为样本矩条件, 这样的权重矩阵选择能使GMM估计量θ有最小的渐近协方差矩阵。直观上, 越少不确定性的矩条件给予越多的权重。 本文采用担子利率模型，只设定一个状态变量，即无违约风险的瞬时利率。假定瞬时利率的动态变化服从以下随机微分方程:dr=m(r) dt+ s(r)dW其中, m(r)为随机微分方程的漂移项, 表示利率变化的瞬时期望, s(r)为随机微分方程的扩散项, s2 (r)为利率变化的瞬时方差, W为布朗运动。在现实的金融市场上不存在瞬时利率r t，也就无法得到其观察值，因此研究者一般以短期利率作为其近似代替。金融市场上可观察到的短期利率种类较多，选择不同的短期利率模型的参数的结果会有显著差别。在我国货币市场，市场化程度较高的银行间市场期限在3个月以下的短期利率品种有14个。本文本文进行实证的利率数据为R007, 它是每周加权平均利率。数据跨期为199年1 月1 日至2004 年4 月23 日, 共计278 周。但是R007 在1999 年2月19 日和2000 年5 月5 日的数据缺失, 本文采用数据缺失日期的前后两周数据的算术平均数作为替代。 在广义矩估计的框架下，假定瞬时利率服从以下的随机微分方程： dr = (α+ βr+ ψr2+ Ω/ r) dt+ δrγd W （1） 其中,α、β、ψ、Ω、δ、γ为常数。要对( 1) 式进行参数估计, 首先要对这个连续时间模型进行离散化, 本文对这个连续 广义矩估计 1.1 矩估计 1.1.1 总体矩与样本矩 设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的 ()12,,,k θθθ=θ 是待估计的未知参数。假定总体分布的 m 阶矩存在， 则总体分布的k 阶原点矩和k 阶中心矩为 ()() ,1k k k EX x dF x k m α+∝-∝ =≤≤? θθ 1 ()[()]()[()],1k k k E X E x x E x dF x k m μ+∝ -∝ -=-≤≤? θθ 2 两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩： ()E X μ= 3 2222()[()]()Var X E X E X μμσ=-=- 4 一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。 对于样本12(,,,)n X X X =X ，其k 阶原点矩是： 1 1n k k i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5 当k =1时，m 1表示X 的样本均值。 X 的k 阶中心矩是： ()1 1n k k i i B X X n =-∑ （1k m ≤≤） 6 当k =2时，B 2表示X 的样本方差。 1.1.2 矩估计方法 矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。 总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θ 的函数。根据大数定理，样 本矩依概率收敛于总体矩。因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令： ()12,,,1,2,,k K k m k K αθθθ== 即： ()1 1,1,2,,n k k i i x dF x X k K n +∝-∝ = = =∑ ∑ θ 7 上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θ 的K 个方程式，求解上 式所构成的方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θ 的一组解()12????,,,k θθθ=?θ。 因为m k 是随机变量，故解得的?θ 也是随机变量。这种参数估计方法称为矩方法，()12????,,,k θθθ=?θ即是()12,,,K θθθ=θ 的矩估计量。 定理：X 的分布函数F (X )存在2ν阶矩，则对样本的ν阶原点矩m v ，则矩的期望和方差为： []E m νν α=，[]()221Var m n ννναα=- 8 证明： []11 1111n n n i i i i i E m E X E X n n n ννννν αα===????====????????∑∑∑ []() 2 2 Var m Em Em ννν=- 2 2 1 1n i i E X n ννα=??=- ? ??? ∑ 2222111n i i j i i j E X X X n n ννννα=≠?? ?=+- ??? ∑∑∑ 222 2 11 1n i i j i i j E X E X X n n ννννα=≠????= +-???? ∑∑∑ 221 11 n i j i i j E X E X n n νννναα=≠????= +-????∑∑∑ ()22 22111n n n n νννααα=+-- 2 211n n νν αα=-。 矩方法的一般步骤： 第1章 广义矩估计 1.1 矩估计 1.1.1 总体矩与样本矩 设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的 ()12,,,k θθθ=θK 是待估计的未知参数。假定总体分布的 m 阶矩存在，则总体分 布的k 阶原点矩和k 阶中心矩为 ()(),1k k k EX x dF x k m α+∝-∝ =≤≤? θθ@ 1 ()[()]()[()],1k k k E X E x x E x dF x k m μ+∝-∝ -=-≤≤? θθ@ 2 两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩： ()E X μ= 3 2222()[()]()Var X E X E X μμσ=-=-@ 4 一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。 对于样本12(,,,)n X X X =X K ，其k 阶原点矩是： 1 1n k k i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5 当k =1时，m 1表示X 的样本均值。 X 的k 阶中心矩是： ()1 1n k k i i B X X n =-∑@（1k m ≤≤） 6 当k =2时，B 2表示X 的样本方差。 1.1.2 矩估计方法 矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。其基本思想是：在 随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。 总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θK 的函数。根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩。因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令： 即： ()1 1,1,2,,n k k i i x dF x X k K n +∝-∝ = = =∑ ∑K θ 7 上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θK 的K 个方程式，求解上式所构成 的方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θK 的一组解()12????,,,k θθθ=?θ。因为m k 是随机变量，故解得的?θ也是随机变量。这种参数估计方法称为矩方法，() 12????,,,k θθθ=?θ即是()12,,,K θθθ=θK 的矩估计量。 定理：X 的分布函数F (X )存在2ν阶矩，则对样本的ν阶原点矩m v ，则矩的期望和方差为： []E m ννα=，[]() 2 21Var m n ννν αα= - 8 证明： 矩方法的一般步骤： Step1：总体矩条件（population moment condition ）：(),t =m w θ0。一般情况下，矩条件可以写为：[(,)]t E f =w θ0。 给定观测样本12(,,,)T y y y K ，总体矩无法计算。但可以计算总体矩条件对应的样本矩条件。 Step2：样本矩条件（sample moment condition ）：()?,t =m w θ0。一般情况下，矩条件可以写为： 根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩，即 Step3：令样本矩=总体矩，得到矩方程，解方程（组）得到未知参数的矩估计量。 在很多情况下，我们可以根据矩条件构建矩方程，然后求解未知参数。一般情况下，这些矩条件都是可以直接观察到（或假定）的。 例 1.1 假定随机变量 y t 的均值()t E y μ=存在但未知，利用矩方法进行估计。 广义矩方法(generalized method of moments ，GMM)的一般表述是由汉森(1982)提出的。它是基于模型实际参数满足的一些矩条件而形成的一种参数估计方法，是普通矩估计方法的一般化。只要模型设定正确，一般情况下都能找到该模型实际参数满足的若干矩条件而采用广义矩。GMM 法大大突破了原有矩法的局限性，在大样本性质下效果较好，而且在相当大的范围内具有极大似然估计的优良性。 2．2广义矩概念的引出 2．2．2广义矩估计(GMM) 当样本矩条件的个数与待估参数的个数相等时，使用经典的矩估计方法即可解决参数的估计问题，如上述两个例子都是选择两个样本矩来估计总体的两个参数。 若选择的矩方程个数多于估计参数的个数，经典矩方法就不再适用 ，于是广 义矩方法 应运而生。 () () () () () 21 ,1,...,,()1,...,, ()?()(())i i i r i i i r X i r R M i r M r Q X M ββββββ ==== -∑设样本个矩为对应总体个矩为为待估总体（向量）的函数，且大于待估参数的个数， 则最小二乘法参数估计量实际上是使得欧氏距离函数 达到最小的参数估计量。但是不同的矩起的作用不同，如果希望某些矩的作用大些，这就想到加权最小二乘法、广义最小二乘法，从函数空间距离角度，就是要(1) () (1) () 1 (,...,), (,...,),()()'() ()?()r r X X X M M M Q X M S X M S X M G M M Q ββββ -===---M ahalanobis 应用距离。写成向量形式，记则马氏距离定义为： 其中是关于的协方差矩阵，参数的估计就是使得达到最小的。 2．3广义矩估计法 GMM的stata操作步骤 广义矩估计（Generalized Method of Moments，即GMM）一、解释变量内生性检验首先检验解释变量内生性（解释变量内生性的Hausman 检验：使用工具变量法的前提是存在内生解释变量。Hausman 检验的原假设为：所有解释变量均为外生变量，如果拒绝，则认为存在内生解释变量，要用IV；反之，如果接受，则认为不存在内生解释变量，应该使用OLS。reg ldi lofdi estimates store ols xtivreg ldi (lofdi=l.lofdi ldep lexr) estimates store iv hausman iv ols （在面板数据中使用工具变量，Stata 提供了如下命令来执行2SLS:xtivreg depvar [varlist1] (varlist_2=varlist_iv) （选择项可以为fe，re 等，表示固定效应、随机效应等。详见help xtivreg）如果存在内生解释变量，则应该选用工具变量，工具变量个数不少于方程中内生解释变量的个数。“恰好识别”时用2SLS。2SLS 的实质是把内生解释变量分成两部分，即由工具变量所造成的外生的变动部分，以及与扰动项相关的其他部分；然后，把被解释变量对中的这个外生部分进行回归，从而满足OLS 前定变量的要求而得到一致估计量。t p t q t p 二、异方差与自相关检验在球型扰动项的假定下，2SLS 是最有效的。但如果扰动项存在异方差或自相关，面板异方差检验：xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls panel(het) estimates store hetero xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls estimates store homo local df = e(N_g) - 1 lrtest hetero homo, df(`df') 面板自相关：xtserial enc invs exp imp esc mrl 则存在一种更有效的方法，即GMM。从某种意义上，GMM 之于2SLS 正如GLS 之于OLS。好识别的情况下，GMM 还原为普通的工具变量法；过度识别时传统的矩估计法行不通，只有这时才有必要使用GMM，过度识别检验（Overidentification Test 或J Test）：estat overid 三、工具变量效果验证工具变量：工具变量要求与内生解释变量相关，但又不能与被解释变量的扰动项相关。由于这两个要求常常是矛盾的，故在实践上寻找合适的工具变量常常很困难，需要相当的想象力与创作性。常用滞后变量。需要做的检验：检验工具变量的有效性：（1）检验工具变量与解释变量的相关性如果工具变量z 与内生解释变量完全不相关，则无法使用工具变量法；如果与仅仅微弱地相关，。这种工具变量被称为“弱工具变量”（weak instruments）后果就象样本容量过小。检验弱工具变量的一个经验规则是，如果在第一阶段回归中， F 统计量大于10，则可不必担心弱工具变量问题。Stata 命令：estat first（显示第一个阶段回归中的统计量）（2）检验工具变量的外生性（接受原假设好）在恰好识别的情况下，无法检验工具变量是否与扰动项相关。在过度识别（工具变量个数>内生变量个数）的情况下，则可进行过度识别检验（Overidentification Test），检验原假设所有工具变量都是外生的。如果拒绝该原假设，则认为至少某个变量不是外生的，即与扰动项相关。0 H Sargan 统计量，Stata 命令：estat overid 四、GMM过程在Stata 输入以下命令，就可以进行对面板数据的GMM 估计。 . ssc install ivreg2 （安装程序ivreg2 ）. ssc install ranktest （安装另外一个在运行ivreg2 时需要用到的辅助程序ranktest） . use "traffic.dta"（打开面板数据）. xtset panelvar timevar （设置面板变量及时间变量）. ivreg2 y x1 (x2=z1 z2),gmm2s （进行面板GMM估计，其中2s 指的是2-step GMM） 矩法与极大似然法的合理性及比较分析 矩法与极大似然法的合理性及比较分析摘要:皮尔逊所引入的矩法是较早提出的求参数点估计的方法。我们从辛钦大数定律知道，若总体ξ的数学期望E(ξ)有限，则样本的平均值依概率收敛于E（ξ）。这就启示我们想到，在利用样本所提供的信息来对总体ξ的分布函数中未知参数作估计时，可以用样 本矩作为总体矩的估计。 费希尔引进的极大似然法，从理论观点来看，至今仍然是参数点估计中最重要的方法，以后将会知道，这种估计方法，是利用总体ξ的分布函数F（x；）的表达式及样本所提供 的信息，建立未知参数的估计量（）。 极大似然法的想法同矩法一样也是直观的。今举一个通俗的例子：有两位同学一起进行实弹射击，两人共同射击一个目标，事先并不知道谁的技术较好，让每人各打一发，有一人击中目标，那么认为击中目标的同学的技术比击不中的技术较好，显然是合理的。又举一例；有一事件，我们知道它发生大概率p只可能是0.01或0.09，在一次观察中这事件发生了，试问这事件发生的概率是什么？当然人们会认为它发生的概率是0.09而不是0.01。 1、参数估计 1.1、极大似然法 一、基本概念： 求未知参数点估计的一种重要方法。思路是设一随机试验已知有若干个结果Ａ，Ｂ，Ｃ，…，如果在一次试验中Ａ发生了，则可认为当时的条件最有利于Ａ发生，故应如此选择分布的参数，使发生Ａ的概率最大。 对总体参数的估计分两种——点估计和区间估计。在点估计里，我们介绍两种求估计量的方法：矩估计法和极大似然估计法。从矩估计法公式我们得到,对正态总体N(μ, σ2)，未知参数μ的矩估计,σ2的矩估计为sn2；μ, σ2的极大似然估计也分别为x和sn2.一般地，在相当多的情况下，矩估计与极大X，似然估计是一致的，但也确有许多情形，矩估计法和极大似然估计法给出的估计是不同的.谁优谁劣?我们可以用估计量的优劣标准进行评价．除此之外，亦可以根据问题的实际意义进行判定. 二、极大似然思想GMM广义矩估计介绍
第八章(第一节矩估计法)
广义矩估计
第八章(第一节矩估计法)
广义矩方法
广义矩估计
5广义矩估计精品文档14页
广义矩方法
GMM的stata操作步骤
矩法与极大似然法的合理性及比较分析
相关主题
文本预览