Stata 11 GMM 广义矩估计

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5广义矩估计

第1章 广义矩估计 1.1 矩估计 1.1.1 总体矩与样本矩 设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的 ()12,, ,k θθθ=θ是待估计的未知参数。假定总体分布的m 阶矩存在，则总体分布 的k 阶原点矩和k 阶中心矩为 ()() ,1k k k EX x dF x k m α+∝-∝ =≤≤? θθ 1 ()[()]()[()],1k k k E X E x x E x dF x k m μ+∝ -∝ -=-≤≤? θθ 2 两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩： ()E X μ= 3 222 2()[()]()Var X E X E X μμσ=-=- 4 一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。 对于样本12(,,,)n X X X =X ，其k 阶原点矩是： 1 1n k k i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5 当k =1时，m 1表示X 的样本均值。 X 的k 阶中心矩是： ()1 1n k k i i B X X n =-∑（1k m ≤≤） 6 当k =2时，B 2表示X 的样本方差。

1.1.2 矩估计方法 矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。 总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θ的函数。根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩。因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令： ()12,,,1,2, ,k K k m k K αθθθ== 即： ()1 1,1,2, ,n k k i i x dF x X k K n +∝-∝ = = =∑ ∑θ 7 上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θ的K 个方程式，求解上式所构成的 方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θ的一组解() 12????,,,k θθθ=?θ。因为m k 是随机变量，故解得的?θ也是随机变量。这种参数估计方法称为矩方法，() 12????,,,k θθθ=?θ即是()12,,,K θθθ=θ的矩估计量。 定理：X 的分布函数F (X )存在2ν阶矩，则对样本的ν阶原点矩m v ，则矩的期望和方差为： []E m ννα=，[]() 2 21Var m n ννν αα= - 8 证明： []11 1111n n n i i i i i E m E X E X n n n νν ννναα===????====????????∑∑∑ []()2 2 Var m Em Em ννν=- 2 211n i i E X n ν να=??=- ? ??? ∑ 2222111n i i j i i j E X X X n n ννν να=≠?? ?=+- ?? ? ∑∑∑ 22221 1 1 n i i j i i j E X E X X n n ννννα=≠????= +-????∑∑∑

矩法估计

矩法估计 1.什么是矩法估计 对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，母体ξ的各阶矩一般与ξ的分布中所含的未知参数有关，有的甚至就等于未知参数。由辛钦大数定律知，简单随机子样的子样原点矩依概率收敛到相应的母体原点矩Eξr,r= 1,2,Λ。这就启发我们想到用子样矩替换母体矩（今后称之为替换原则），进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的。 ２.矩法估计的理论依据 由辛钦大数定律知： 即对，有 或 矩法估计的具体步骤 设母体ξ的概率函数为f(x,θ1,Λ,θk),其中是k个未知参,Λ,ξn是取自这一母体的一个子样。设ξ的k阶矩v k = Eξk存在，则数，ξ 1 v ,j < k都存在，并且是θ1,Λ,θk的函数v j(θ1,Λ,θk)，又子样ξ1,Λ,θk j 的j阶矩为。我们设

(1) ,Λ,θk的k个方程，解由这k个方程联这样我们就得到含k个未知参数θ 1 列所构成的方程组就可以得到theta1,Λ,θk的一组解： (2) 用(2)中的解来估计参数θi就是矩法估计。 一般我们考察的情形。 在数理统计学中，我们一般用表示θ的估计量。 下面我们举一个与实际问题有关的多参数的矩法估计问题。 例:已知大学生英语四级考试成绩ξ~N(μ,σ2)，均值μ,方差σ2均未知，ξ1,Λ,ξn为取自母体ξ的一个子样，(x1,Λ,x n)是子样的一组观测值,求μ与σ2的矩法估计。 解：注意到有两个未知参数，由矩法估计知需两个方程，按照(1)式得方程组 解这一方程组得μ与σ的矩法估计量

工具变量法的S命令及实例

工具变量法的Stata命令及实例 ●本实例使用数据集“”。 ●先看一下数据集的统计特征： . sum Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max rns 758 .2691293 .4438001 0 1 rns80 758 .292876 .4553825 0 1 mrt 758 .5145119 .5001194 0 1 mrt80 758 .8984169 .3022988 0 1 smsa 758 .7044855 .456575 0 1 smsa80 758 .7124011 .452942 0 1 med 758 10.91029 2.74112 0 18 iq 758 103.8562 13.61867 54 145 kww 758 36.57388 7.302247 12 56 year 758 69.03166 2.631794 66 73 age 758 21.83509 2.981756 16 30 age80 758 33.01187 3.085504 28 38 s 758 13.40501 2.231828 9 18 s80 758 13.70712 2.214693 9 18 expr 758 1.735429 2.105542 0 11.444 expr80 758 11.39426 4.210745 .692 22.045 tenure 758 1.831135 1.67363 0 10 tenure80 758 7.362797 5.05024 0 22 lw 758 5.686739 .4289494 4.605 7.051 lw80 758 6.826555 .4099268 4.749 8.032 ●考察智商与受教育年限的相关关系： . corr iq s (obs=758) iq s iq 1.0000 s 0.5131 1.0000 上表显示，智商（在一定程度上可以视为能力的代理变量）与受教育年限具有强烈的正相关关系（相关系数为）。 ●作为一个参考系，先进行OLS回归，并使用稳健标准差：

Chapter4-工具变量法

第1章 两阶段最小二乘法 在模型的基本假定中，解释变量与误差项正交保证了参数估计量的无偏性和一致性。当这一假定被违背时，称解释变量是内生的。常见的几种情况会导致内生问题：忽略重要的解释变量、变量的测量误差、变量的联立性。工具变量估计是解决解释变量内生问题的基本方法。本章介绍工具变量法和两阶段最小二乘法，以及模型内生性检验和过度识别约束检验等问题。 1.1 变量的内生性 如果模型中的解释变量与误差项出现相关，即(')E =X u 0，称解释变量是内生的。导致 解释变量内生性的原因有很多，主要的几个原因包括：模型中忽略了重要的解释变量、变量因果关系的双向性、变量的测量误差等。 模型中出现内生解释变量时，OLS 估计量是不一致的。根据OLS 估计量： 11111?(')(')(')(')(')(')N N -----==+=+βX X X y βX X X u βX X X u (1.1) 由假定Rank(X)=K 和大数定律，样本均值的概率极限等于总体均值，可得： 1Plim(')E(')N -=≡X X X X A ， 1Plim(')E(')N -=≠X u X u 0。 (1.2) 又由Slustky 定理， 111Plim(')N ---=X X A 1?Plim E(')-=+≠β βA X u β (1.3) 1.2 工具变量估计 1.2.1 工具变量 在如下模型中， y = X β+ u 第i 个解释变量x i 为内生解释变量。如果存在变量z ，z 满足如下两个条件： 正交条件：与u 不相关，即cor(z, u) = 0 相关条件：与x 相关，即cor(z, x i ) ≠ 0，也称为识别约束条件。 那么，z 被称作x i 的工具变量。

广义矩估计GMM

广义矩估计（Generalized Method of Moments ，即GMM ） 一、解释变量内生性检验 首先检验解释变量内生性（解释变量内生性的Hausman 检验：使用工具变量法的前提是存在内生解释变量。Hausman 检验的原假设为：所有解释变量均为外生变量，如果拒绝，则认为存在内生解释变量，要用IV ；反之，如果接受，则认为不存在内生解释变量，应该使用OLS 。 reg ldi lofdi estimates store ols xtivreg ldi (lofdi=l.lofdi ldep lexr) estimates store iv hausman iv ols （在面板数据中使用工具变量，Stata 提供了如下命令来执行2SLS:xtivreg depvar [varlist1] (varlist_2=varlist_iv) （选择项可以为fe ，re 等，表示固定效应、随机效应等。详见help xtivreg ） 如果存在内生解释变量，则应该选用工具变量，工具变量个数不少于方程中内生解释变量的个数。“恰好识别”时用2SLS 。2SLS 的实质是把内生解释变量分成两部分，即由工具变量所造成的外生的变动部分，以及与扰动项相关的其他部分；然后，把被解释变量对中的这个外生部分进行回归，从而满足OLS 前定变量的要求而得到一致估计量。 t p t q t p 二、异方差与自相关检验 在球型扰动项的假定下，2SLS 是最有效的。但如果扰动项存在异方差或自相关， 面板异方差检验： xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls panel(het) estimates store hetero xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls estimates store homo local df = e(N_g) - 1 lrtest hetero homo, df(`df') 面板自相关：xtserial enc invs exp imp esc mrl

GMM估计中文讲义广义矩估计

GMM 估计中文讲义2 线性模型 1i x 是1k ?，2i x 是1r ?，l k r =+。如果没有其他约束，β的渐进有效估计量是OLS 估计。现在假设给定一个信息20β=，我们可以把模型写为， 11 i i i y x βε'=+，()0i i E x ε= 如何估计1β？一种就是OLS 估计。然而这种方法不是必然有效的，当在()0i i E x ε=方程中有l 个约束，然而1β的维数k l <，这种情况称为过渡识别。这里有r l k =-比自由参数多的矩约束，我们称r 是过渡约束识别个数。 让(,,,)g y z x β是1l ?个方程，参数β为1k ?，且k l <，有 0(,,,)0i i i Eg y z x β= （1） 0β是β 的真实值，在上面线性模型中有1 (,,)()g y x x y x ββ'= -。在计量经济学里，这类模型称为矩条件模型。在统计学中，这称为估计方程。 另外，我们还有一个线性矩条件模型， 1i i i y z βε'=+，()0i i E x ε= i z 和i x 的维数都是1k ?，且有1l ?，k l <，如果k l =则模型是恰好识别，否则是过 渡识别。变量i z 是i x 的一部分或是i x 的函数。模型（1）可以设置为， 0(,,,)()i i i g y z x x y z ββ'=- （2） GMM 估计 模型（2）样本均值为 11111 ()(())()n n n i i i i i i n n n g g x y z X y X Z ββββ==='''=-=-∑∑ （3） β的矩估计量就是设置()0n g β=。对于k l <个方程大于参数的情形，GMM 估计思 想就是设置()n g β近可能的接近于零。 对于l l ?加权矩阵W 0n >，让 这是向量()n g β长度的非负测度。例如，如果W n I =，则有 2 ()()()()n n n n n n J g g g ββββ'=?=?。

矩法估计的分析及应用

矩法估计的分析及应用 金融数学10本 黄小听 17 摘要：矩法估计就是根据子样所提供的信息，对母体的分布或分布的数字特征等作出合理的统计推断的一种方法。它不仅在数学领域应用广泛，对于解决实际问题(比如预测股市行情，教育统计学等），也有很大的用途。 关键字：矩法估计；应用；评选标准；优缺点 一 什么是矩法估计 对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，母体ξ的各阶矩一般与ξ的分布中所含的未知参数有关，有的甚至就等于未知参数。由辛钦大数定律知，简单随机子样的子样原点矩依概率收敛于相应的母体原点矩E ξr ,r = 1,2，…。这就启发我们想到用子样矩替换母体矩（替换原则），进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。它是由英国统计学家皮尔逊Pearson 于1894年提出的。 二 矩法估计的理论依据 由辛钦大数定律知： … 即对任意 ，有 或 三 如何求解矩法估计 设母体ξ具有已知类型的概率函数),,,;(21n x f θθθ ， (1θ，2θ，…，k θ)∈Θ

是k 个未知参数。1ξ，…，n ξ是取自母体ξ的一个子样，假设ξ的k 阶矩k υ=E ξk 存在，显然j υ，j

GMM广义矩估计介绍

Econometrics2—Fall2005 Generalized Method of Moments (GMM)Estimation Heino Bohn Nielsen 1of32 Outline (1)Introduction and motivation (2)Moment Conditions and Identi?cation (3)A Model Class:Instrumental Variables(IV)Estimation (4)Method of Moment(MM)Estimation Examples:Mean,OLS and Linear IV (5)Generalized Method of Moment(GMM)Estimation Properties:Consistency and Asymptotic Distribution (6)E?cient GMM Examples:Two-Stage Least Squares (7)Comparison with Maximum Likelihood Pseudo-ML Estimation (8)Empirical Example:C-CAPM Model

Introduction Generalized method of moments(GMM)is a general estimation principle. Estimators are derived from so-called moment conditions. Three main motivations: (1)Many estimators can be seen as special cases of GMM. Unifying framework for comparison. (2)Maximum likelihood estimators have the smallest variance in the class of consistent and asymptotically normal estimators. But:We need a full description of the DGP and correct speci?cation. GMM is an alternative based on minimal assumptions. (3)GMM estimation is often possible where a likelihood analysis is extremely di?cult. We only need a partial speci?cation of the model. Models for rational expectations. 3of32 Moment Conditions and Identi?cation ?A moment condition is a statement involving the data and the parameters: g(θ0)=E[f(w t,z t,θ0)]=0.(?) whereθis a K×1vector of parameters;f(·)is an R dimensional vector of(non-linear)functions;w t contains model variables;and z t contains instruments. ?If we knew the expectation then we could solve the equations in(?)to?ndθ0.?If there is a unique solution,so that E[f(w t,z t,θ)]=0if and only ifθ=θ0, then we say that the system is identi?ed. ?Identi?cation is essential for doing econometrics.Two ideas: (1)Is the model constructed so thatθ0is unique(identi?cation). (2)Are the data informative enough to determineθ0(empirical identi?cation).

伍德里奇《计量经济学导论》(第5版)笔记和课后习题详解-第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法【圣

第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法15.1复习笔记 一、动机：简单回归模型中的遗漏变量 1．面对可能发生的遗漏变量偏误（或无法观测异质性）的四种选择 （1）忽略遗漏变量问题，承受有偏而又不一致估计量，若能把估计值与关键参数的偏误方向一同给出，则该方法便令人满意。 （2）试图为无法观测变量寻找并使用一个适宜的代理变量，该方法试图通过用代理变量取代无法观测变量来解决遗漏变量的问题，但并不是总可以找到一个好的代理。 （3）假定遗漏变量不随时间变化，运用固定效应或一阶差分方法。 （4）将无法观测变量留在误差项中，但不是用OLS 估计模型，而是运用一种承认存在遗漏变量的估计方法，工具变量法。 2．工具变量法 简单回归模型 01y x u ββ=++其中x 与u 相关： ()Cov 0 ，x u ≠（1）为了在x 和u 相关时得到0β和1β的一致估计量，需要有一个可观测到的变量z，z 满足两个假定： ①z 与u 不相关，即Cov（z，u）＝0；

②z 与x 相关，即Cov（z，x）≠0。 满足这两个条件，则z 称为x 的工具变量，简称为x 的工具。 z 满足①式称为工具外生性条件，工具外生性意味着，z 应当对y 无偏效应（一旦x 和u 中的遗漏变量被控制），也不应当与其他影响y 的无法观测因素相关。z 满足②式意味着z 必然与内生解释变量x 有着或正或负的关系。这个条件被称为工具相关性。 （2）工具变量的两个要求之间的差别 ①Cov（z，u）是z 与无法观测误差u 的协方差，通常无法对它进行检验：在绝大多数情形中，必须借助于经济行为或反思来维持这一假定。 ②给定一个来自总体的随机样本，z 与x（在总体中）相关的条件则可加以检验。最容易的方法是估计一个x 与z 之间的简单回归。在总体中，有 01x z v ππ=++从而，由于 ()() 1Cov /ar V ，x z z π=所以式Cov（z，x）≠0中的假定当且仅当10π≠时成立。因而就能够在充分小的显著水平上，相对双侧对立假设110H π≠：而拒绝虚拟假设010H π=：。就能相当有把握地肯定工具z 与x 是相关的。 3．工具变量估计量 （1）参数的工具变量（IV）估计量 参数的识别意味着可以根据总体矩写出1β，而总体矩可用样本数据进行估计。为了根据总体协方差写出1β，利用简单回归方程可得z 与y 之间的协方差为：

第八章(第一节矩估计法)

第八章 参数估计 第一节 参数的点估计 在研究总体X 的性质时，如果知道总体X 的概率分布，那是再好不过了。然而，在许多情况下，对总体的情况知道甚少或只知道部分信息。 在实际问题中遇到的许多总体，根据以往的经验和理论分析可以知道总体X 的分布函数的形式，但分布中的一个或几个参数未知，一旦这些参数确定以后，总体X 的概率分布就完全确定了。例如，总体),(~2σμN X ，但不知道其中参数μ和2 σ的具体数值，我们要想法确定参数2 ,μσ 。 为了寻求总体的这些参数的值，我们可对总体进行调查，很自然的会想到用从总体X 中抽取得的样本值n x x x ,,,21???，对总体中的未知参数作

出来估计，这类问题就是参数估计。 参数估计主要有参数的点估计和参数的区间估计。 设总体X 的分布函数(;)F x θ形式已知，其中θ是未知参数（也可以是未知向量12(,,,)m θθθθ=???）。 现从总体X 中抽得一个样本n X X X ,,,21???, 相应的一个样本值观察值为 n x x x ,,,21???； 点估计的问题就是要构造一个 适当的统计量12?(,,,)n X X X θ???，用它的观察值12?(,,,)n x x x θ???来估计未知参数θ。 统计量12?(,,,)n X X X θ???称为θ的估计量，12?(,,,)n x x x θ???称为θ的估计值。 在不致混淆的情况下，估计量与估计值统称为估计，并都简记为?θ。 下面介绍参数点估计的两种方法： 矩估计法和极大似然估计。

一、 矩估计法 矩估计是由英国统计学家Pearson,K.于1900年提出的一种参数估计方法，在统计学中有广泛的应用。 例1 某灯泡厂生产一批灯泡，由于随机因素的影响，每个灯泡的使用寿命是不一样的。由中心极限定理和实际经验知道，灯泡的使用寿命),(~2σμN X ，但不知道其中参数μ和2σ的具体数值。为了确定该批灯泡的质量,自然要求估计这批灯泡的平均寿命以及寿命的差异程度,即要求估计μ和2σ的值. 为了对参数μ和2σ进行估计， 我们从总体中抽取样本n X X X ,,,21???（对于一次具体的抽取，他就是具体的数值n x x x ,,,21???,在不致引起混淆的情况下，今后也用n x x x ,,,21???表示随机变量），根据样本矩在一定程度上

广义矩估计

广义矩估计 一、背景 我们前面学了OLS估计、工具变量估计方法，前面这几种方法都有重要假设就是需要知道分布才能估计，但是往往现实理论我们无法得到关于分布的信息，因此矩估计方法应运而生。矩估计方法的基本思想是利用样本矩的信息组成方程组来求总体矩，以此得到渐进性质下的一致性估计量。那么在构成方程组求解的过程中涉及识别问题和解决。本章详细介绍矩估计方法。矩估计方法实际应用非常广泛，应注意将矩估计与OLS估计、工具变量估计和极大似然估计方法结合对比进行应用。 二、知识要点 1，应用背景 2，矩估计存在的问题(识别) 3，矩正交方程和矩条件 4，矩估计的属性 三、要点细纲 1、应用背景 其基本思想是:在随机抽样中，样本统计量(在一个严格意义上，一个统计量是观察的n维随机向量即子样的一个(波雷尔可测)X,XXX,,,，，12n 函数，且要求它不包含任何未知参数)将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。即在不知道分布的情况下，利用样本矩构造方程(包含总体的未知参数)，利用这些方程求得总体的未知参数。 基本定义 n1,,统计量为子样的ν阶矩(ν阶原点矩); mXi,n,i1

n1, ,统计量为子样的ν阶中心矩。 ,BXX，，i,n,i1 子样矩的均值与方差 2222,,,;,,,,EXVarXEXEX，，，，，， kk,，，EXEX,,,kk 我们用到时假定它是存在的。 ,,或kk 基本做法 的可能分布族为，其中属于参数空间的设:母体XFx,,,,,,Θ，，,, 是待估计的未知参数。假定母体分布的k阶矩存在，则母体,,,,,,,,，，12k 分布的ν阶矩 ,, ,,,,1xdFxk,,,,,,,,,，，，，,,12k,, 是的函数。 ,,,,,,,,，，12k 对于子样，其ν阶子样矩是 X,XXX,,,，，n12 n1,,,, mXk,1,,,in,i1 现在用子样矩作为母体矩的估计，即令: n1,,,, (1) ,,,1,2,,mXk,,,,,,，，,,i12kn,i1

内生性与工具变量估计方法

内生性与工具变量估计方法 一 一元模型的IV 估计 采用MROZ 数据，进行练习。 估计教育对工资收入的回报： 01log()wage educ ββμ =++ 为了便于比较首先得到OLS 估计结果，在命令窗口输入 smpl 1 428 equation eq01.ls log(wage) c educ 教育的系数估计值表明，每多接受一年教育可得到月11%的回报。 接下来，我们用父亲的受教育程度（fatheduc ）作为educ 的工具变量。我们必须认为fatheduc 与u 不相关；第二个要求是educ 与fatheduc 相关。为了验证第二点，作一个educ 对fatheduc 的回归。 equation eq02.ls educ c fatheduc 可以看出，educ 与fatheduc 之间存在统计显著的正相关。

采用fatheduc 作为educ 的工具变量，进行工具变量回归。 equation eq03.tsls log(wage) c educ @ fatheduc IV 估计量的标准误是OLS 标准误的2.5倍，这在我们的意料之中。 二 多元模型的IV 估计 采用card 数据，进行练习。 估计教育对工资收入的回报： 012log()var wage educ Control iables βββμ =+++ 为了便于对照，先做OLS 回归 Smpl 1 3010 Equation eq01.ls log(wage) c educ exper expersq black smsa south smsa66 reg662 reg663 reg664 reg665 reg666 reg667 reg668 reg669

第八章(第一节矩估计法)

第八章 参数估计 第一节 参数的点估计 在研究总体X 的性质时，如果知道总体X 的概率分布，那是再好不过了。然而，在许多情况下，对总体的情况知道甚少或只知道部分信息。 在实际问题中遇到的许多总体，根据以往的经验和理论分析可以知道总体X 的分布函数的形式，但分布中的一个或几个参数未知，一旦这些参数确定以后，总体X 的概率分布就完全确定了。例如，总体),(~2 σμN X ，但不知道其中参数μ和2 σ的具体数值，我们要想法确定 参数2 ,μσ 。 设总体X 的分布函数(;)F x θ形式已知，其中θ是未知参数（也可以是未知向量1 2 (,,,)m θθθθ=???）。

试问怎样由样本n X X X ,,,2 1 ???提供的 信息，建立样本的函数即统计量来 对未知参数作出估计？ 这类问题，称为参数的估计问题。 参数估计主要有参数的点估计和参数的区间估计。 现从总体X 中抽得一个样本 n X X X ,,,2 1 ???, 相应的一个样本值观察值为 n x x x ,,,2 1 ???； 点估计的问题就是要构造一个适当的统计量12?(,,,)n X X X θ???，用它的观察值12?(,,,)n x x x θ???来估计未知参数θ。 统计量12?(,,,)n X X X θ???称为θ的估计量，12?(,,,)n x x x θ???称为θ的估计值。 在不致混淆的情况下，估计量与估计值统称为估计，并都简记为?θ。

下面介绍参数点估计的两种方法： 矩估计法和极大似然估计。 一、 矩估计法 矩估计是由英国统计学家Pearson,K.于1900年提出的一种参数估计方法，在统计学中有广泛的应用。 例1 若要考察成人的身高分 布情况。 （人类学、遗传变异学、社会学要用。） 每一个人的身高是一个体，全体人的身高构成一个总体。 由于随机因素的影响，不同人的身高一般是不一样的。 由中心极限定理和实际经验知道，人体身高),(~2 σμN X 。

广义矩方法

1、广义矩方法（GMM） 广义矩方法是基于模型实际参数满足的一些矩条件而形成的一种参数估计方法，是聚集方法的一般化。GMM的优点：仅需要知道一些矩条件，而不需要知道随机变量的分布密度（如极大似然估计）。这可能是一个缺陷，因为GMM经常不能对样本中的全部信息进行有效利用。并且如果如果模型的设定是正确的, 则总能找到该模型实际参数满足的若干矩条件而采用GMM。广义矩估计选择的矩估计方程个数多于待估参数的个数时, 必须选择参数使它尽可能地与各个矩估计方程配合, 来调和将出现在过度识别系统中的互相冲突的估计。一种办法就是最小化准则函数。令θ为参数向量, m(θ)为样本矩条件。最小化准则函数即使J T = m (θ)′m (θ)最小。考虑到不同的矩条件所起的作用不同, 人们希望某些矩条件的作用大些、某些矩条件的作用小些, 因此引入了加权矩阵, 它反映了各阶矩在GMM 中的重要程度。由此问题转化成了使J T = m (θ)′w(θ)m (θ)最小。这里W (θ) 是一个正定权重矩阵, 它反映了与每一个矩条件相配合的重要性。GMM 估计量就是使J T最小化时的参数估计量θ, 即θ= argmin [m (θ)′w(θ)m (θ) ]。其中, m (θ) 为样本矩条件, 是m * 1 维的正交条件。权重矩阵W (θ) 为m * m 维的正定对称矩阵, θ为L* 1 维向量,L≤m。为使J T 极小化, 对J T关于θ求导, 得到一阶条件m (θ)′W (θ) m (θ) = 0其中, m (θ) 是m (θ) 关于θ的Jacobian 矩阵。 GMM 估计的核心问题是对加权矩阵的选择问题。如果选取的矩条件个数恰好等于待估参数的个数, 就属于“恰好识别”( just -ident ified) 的类型, 无论权重矩阵如何选取, 都有最小值0。如果选取的矩条件个数多于待估参数的个数, 就属于“过度识别”(over-identified)的类型, 这时并不是每个矩条件都能得到满足, 而权重矩阵W决定了各个矩条件的相对重要性。如果过程是严格平稳的, 则选择W (θ) = S-1 (θ), 而S (θ) = E [ m (θ) m (θ)′] , 其中m (θ) 为样本矩条件, 这样的权重矩阵选择能使GMM估计量θ有最小的渐近协方差矩阵。直观上, 越少不确定性的矩条件给予越多的权重。 本文采用担子利率模型，只设定一个状态变量，即无违约风险的瞬时利率。假定瞬时利率的动态变化服从以下随机微分方程:dr=m(r) dt+ s(r)dW其中, m(r)为随机微分方程的漂移项, 表示利率变化的瞬时期望, s(r)为随机微分方程的扩散项, s2 (r)为利率变化的瞬时方差, W为布朗运动。在现实的金融市场上不存在瞬时利率r t，也就无法得到其观察值，因此研究者一般以短期利率作为其近似代替。金融市场上可观察到的短期利率种类较多，选择不同的短期利率模型的参数的结果会有显著差别。在我国货币市场，市场化程度较高的银行间市场期限在3个月以下的短期利率品种有14个。本文本文进行实证的利率数据为R007, 它是每周加权平均利率。数据跨期为199年1 月1 日至2004 年4 月23 日, 共计278 周。但是R007 在1999 年2月19 日和2000 年5 月5 日的数据缺失, 本文采用数据缺失日期的前后两周数据的算术平均数作为替代。 在广义矩估计的框架下，假定瞬时利率服从以下的随机微分方程： dr = (α+ βr+ ψr2+ Ω/ r) dt+ δrγd W （1） 其中,α、β、ψ、Ω、δ、γ为常数。要对( 1) 式进行参数估计, 首先要对这个连续时间模型进行离散化, 本文对这个连续

广义矩估计

广义矩估计 1.1 矩估计 1.1.1 总体矩与样本矩 设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的 ()12,,,k θθθ=θ 是待估计的未知参数。假定总体分布的 m 阶矩存在， 则总体分布的k 阶原点矩和k 阶中心矩为 ()() ,1k k k EX x dF x k m α+∝-∝ =≤≤? θθ 1 ()[()]()[()],1k k k E X E x x E x dF x k m μ+∝ -∝ -=-≤≤? θθ 2 两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩： ()E X μ= 3 2222()[()]()Var X E X E X μμσ=-=- 4 一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。 对于样本12(,,,)n X X X =X ，其k 阶原点矩是： 1 1n k k i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5 当k =1时，m 1表示X 的样本均值。 X 的k 阶中心矩是： ()1 1n k k i i B X X n =-∑ （1k m ≤≤） 6 当k =2时，B 2表示X 的样本方差。 1.1.2 矩估计方法 矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。 总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θ 的函数。根据大数定理，样

本矩依概率收敛于总体矩。因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令： ()12,,,1,2,,k K k m k K αθθθ== 即： ()1 1,1,2,,n k k i i x dF x X k K n +∝-∝ = = =∑ ∑ θ 7 上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θ 的K 个方程式，求解上 式所构成的方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θ 的一组解()12????,,,k θθθ=?θ。 因为m k 是随机变量，故解得的?θ 也是随机变量。这种参数估计方法称为矩方法，()12????,,,k θθθ=?θ即是()12,,,K θθθ=θ 的矩估计量。 定理：X 的分布函数F (X )存在2ν阶矩，则对样本的ν阶原点矩m v ，则矩的期望和方差为： []E m νν α=，[]()221Var m n ννναα=- 8 证明： []11 1111n n n i i i i i E m E X E X n n n ννννν αα===????====????????∑∑∑ []() 2 2 Var m Em Em ννν=- 2 2 1 1n i i E X n ννα=??=- ? ??? ∑ 2222111n i i j i i j E X X X n n ννννα=≠?? ?=+- ??? ∑∑∑ 222 2 11 1n i i j i i j E X E X X n n ννννα=≠????= +-???? ∑∑∑ 221 11 n i j i i j E X E X n n νννναα=≠????= +-????∑∑∑ ()22 22111n n n n νννααα=+-- 2 211n n νν αα=-。 矩方法的一般步骤：

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第1章 广义矩估计 1.1 矩估计 1.1.1 总体矩与样本矩 设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的 ()12,,,k θθθ=θK 是待估计的未知参数。假定总体分布的 m 阶矩存在，则总体分 布的k 阶原点矩和k 阶中心矩为 ()(),1k k k EX x dF x k m α+∝-∝ =≤≤? θθ@ 1 ()[()]()[()],1k k k E X E x x E x dF x k m μ+∝-∝ -=-≤≤? θθ@ 2 两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩： ()E X μ= 3 2222()[()]()Var X E X E X μμσ=-=-@ 4 一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。 对于样本12(,,,)n X X X =X K ，其k 阶原点矩是： 1 1n k k i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5 当k =1时，m 1表示X 的样本均值。 X 的k 阶中心矩是： ()1 1n k k i i B X X n =-∑@（1k m ≤≤） 6 当k =2时，B 2表示X 的样本方差。

1.1.2 矩估计方法 矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。其基本思想是：在 随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。 总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θK 的函数。根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩。因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令： 即： ()1 1,1,2,,n k k i i x dF x X k K n +∝-∝ = = =∑ ∑K θ 7 上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θK 的K 个方程式，求解上式所构成 的方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θK 的一组解()12????,,,k θθθ=?θ。因为m k 是随机变量，故解得的?θ也是随机变量。这种参数估计方法称为矩方法，() 12????,,,k θθθ=?θ即是()12,,,K θθθ=θK 的矩估计量。 定理：X 的分布函数F (X )存在2ν阶矩，则对样本的ν阶原点矩m v ，则矩的期望和方差为： []E m ννα=，[]() 2 21Var m n ννν αα= - 8 证明： 矩方法的一般步骤： Step1：总体矩条件（population moment condition ）：(),t =m w θ0。一般情况下，矩条件可以写为：[(,)]t E f =w θ0。 给定观测样本12(,,,)T y y y K ，总体矩无法计算。但可以计算总体矩条件对应的样本矩条件。 Step2：样本矩条件（sample moment condition ）：()?,t =m w θ0。一般情况下，矩条件可以写为： 根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩，即 Step3：令样本矩=总体矩，得到矩方程，解方程（组）得到未知参数的矩估计量。 在很多情况下，我们可以根据矩条件构建矩方程，然后求解未知参数。一般情况下，这些矩条件都是可以直接观察到（或假定）的。 例 1.1 假定随机变量 y t 的均值()t E y μ=存在但未知，利用矩方法进行估计。

工具变量法~

工具变量法 一、工具变量法的主要思想 在无限分布滞后模型中,为了估计回归系数,通常的做法就是对回归系数作一些限制,从而对受限的无限分布滞后模型进行估计。在这里,考伊克模型、适应性期望模型与部分调整模型给出了很好的解决此类问题的思路。经过变换,新的模型中,随机扰动项的表达式为: 考伊克模型:1t t t v u u λ-=- (01λ<< ,λ为衰减率) (1、1); 适应性期望模型:1（1）t t t v u u λ-=--(01λ<< ,λ为期望系数)(1、2); 部分调整模型:（1）t t v u γ=-(01γ≤< ,1γ-为调整系数) (1、3)。 t u 为原无限分布滞后模型中的扰动项,t v 为变换后的扰动项。 在原模型中的随机扰动项满足经典假设的前提下,部分调整模型也满足经典假设,但就是考伊克模型与适应性期望模型的随机扰动项由于存在原随机扰动项的滞后项,也就就是说考伊克模型与适应性期望模型的解释变量1t Y - 势必与误差项t v 相关,因此,可能会出现上述两个模型的最小二乘估计甚至就是有偏的这样严重的问题。那么,我们就是否可以找到一个与1t Y -高度相关但与t v 不相关的变量来替代1t Y -？在这里,一个可行的估计方法就就是工具变量法。 在讨论工具变量法之前,我们先来了解一下外生变量与内生变量。 一般来说:一个回归模型中的解释变量有的与随机扰动项无关,我们称这样的解释变量为外生变量;而模型中有的解释变量与随机扰动项相关,我们可称这样的解释变量为内生解释变量。内生解释变量的典型情况之一就就是滞后应变量为解释变量的情形,如上述考伊克模型与适应性期望模型中的1t Y -。 外生解释变量:回归模型中的解释变量与随机扰动项无关; 内生解释变量:回归模型中的解释变量与随机扰动项无关; 了解了内生变量与外生变量的概念,我们接着讨论工具变量法的主要思想:工具变量法与普通最小二乘法就是模型参数估计的两类重要方法,在多元线性回归模型中,如果出现解释变量与随机误差项相关(即出现内生变量)时,其回归系数的普通最小二乘估计就是非一致的,这时就需要引入工具变量。 工具变量,顾名思义就是在模型估计过程中被作为工具使用,以替代模型中与随机误差性相关的随机解释变量(即内生变量)。 满足条件:1)总体无关:工具变量与随机扰动项无关; 2)样本相关:工具变量必须与被它所代替的内生变量高度相关; 3)与模型中其她解释变量不相关,以避免出现多重共线性。 做了替代后,用普通最小二乘法即可得到原回归系数的一致估计量。