广义矩估计
1.1 矩估计
1.1.1 总体矩与样本矩
设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的
()12,,,k θθθ=θ 是待估计的未知参数。假定总体分布的
m 阶矩存在，
则总体分布的k 阶原点矩和k 阶中心矩为
()()
,1k k
k EX x dF x k m α+∝-∝
=≤≤?
θθ 1
()[()]()[()],1k k k E X E x x E x dF x k m μ+∝
-∝
-=-≤≤?
θθ
2
两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩：
()E X μ=
3
2222()[()]()Var X E X E X μμσ=-=-
4
一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。 对于样本12(,,,)n X X X =X ，其k 阶原点矩是：
1
1n k
k i
i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5
当k =1时，m 1表示X 的样本均值。 X 的k 阶中心矩是：
()1
1n
k k i i B X X n =-∑ （1k m ≤≤）
6
当k =2时，B 2表示X 的样本方差。 1.1.2 矩估计方法
矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θ 的函数。根据大数定理，样
本矩依概率收敛于总体矩。因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令：
()12,,,1,2,,k K k
m k K αθθθ==
即：
()1
1,1,2,,n k
k
i i x dF x X k K n +∝-∝
= = =∑
∑ θ
7
上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θ 的K 个方程式，求解上
式所构成的方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θ 的一组解()12????,,,k θθθ=?θ。
因为m k 是随机变量，故解得的?θ
也是随机变量。这种参数估计方法称为矩方法，()12????,,,k θθθ=?θ即是()12,,,K θθθ=θ 的矩估计量。
定理：X 的分布函数F (X )存在2ν阶矩，则对样本的ν阶原点矩m v ，则矩的期望和方差为：
[]E m νν
α=，[]()221Var m n
ννναα=- 8
证明：
[]11
1111n n n i i i i i E m E X E X n n n ννννν
αα===????====????????∑∑∑
[]()
2
2
Var m Em Em ννν=-
2
2
1
1n i
i E X n ννα=??=- ? ???
∑ 2222111n i i j
i i j E X X X n n ννννα=≠??
?=+- ???
∑∑∑ 222
2
11
1n
i i j i i j
E X E X X n n ννννα=≠????=
+-????
∑∑∑ 221
11
n
i j i i j
E X E X n n νννναα=≠????=
+-????∑∑∑ ()22
22111n n n n
νννααα=+--
2
211n n
νν
αα=-。 矩方法的一般步骤：
Step1：总体矩条件（population moment condition ）：(),t =m w θ0。一般情况下，矩条件可以写为：[(,)]t E f =w θ0。
给定观测样本12(,,,)T y y y ，总体矩无法计算。但可以计算总体矩条件对应的样本矩条件。
Step2：样本矩条件（sample moment condition ）：()?,t =m
w θ0。一般情况下，矩条件可以写为：
1
1(,)T
t t f T ==∑w θ0 根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩，即
()()pr ?,,t t ??→m w θm w θ
Step3：令样本矩=总体矩，得到矩方程，解方程（组）得到未知参数的矩估计量。
在很多情况下，我们可以根据矩条件构建矩方程，然后求解未知参数。一般情况下，这些矩条件都是可以直接观察到（或假定）的。
例 0.1 假定随机变量 y t 的均值()t E y μ=存在但未知，利用矩方法进行估计。
Step1：总体矩：令(),t t f y y μμ=-，则(),0t E f y μ??=??
Step2：样本矩为：()()()11
11?,,0T T
t t t t t m
y f y y T T μμμ====-=∑∑
根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩，即
()()pr
?,,t t m y E f y μμ????→??
解上述方程即可得到μ的矩估计量1
1?T
MM t t y T μ
==∑ 1.1.3 矩方法的几个特例
很多估计方法（比如OLS 、TSLS 等）都是矩估计的特殊形式。 1.OLS 估计
例2：在回归方程中，
t t t y u =+x β
，
其中12(,,,)t t t Kt x x x =x ，12(,,,)'K βββ=β 。
假定t u 的条件均值()|t t E u x 为0，则
()()||t t t t t E y E u =+x x βx
()()||t t t t E E u =+x βx x
t =x β
由()|0t t E u =x 和迭代期望公式可以得出：
(')['()]0t t t t t E u E y =-=x x x β
其对应的样本矩条件为：
()()()(1)111
?,''T t t t t K t y T T
?=??=-=-=??
∑m x βx x βx y x β0
解上述方程可以得到MM 估计量：
1111
??
''(')T T
MM
t t t t OLS t t y --==??=== ???
∑∑βx x x x x xy β
2.IV 估计
考虑如下回归模型：
1122t t t t y u =++x βx β
9
其中，()121,t t t K ?=x x x ，x 1t 包括K 1个外生变量，但2t x 包括K 2个内生变量，即
()1'0t t E u =x 10 ()2'0t t E u ≠x
11
设x 2的工具变量为z 2，z 2包括K 2个工具变量，z 2满足
()22,0t t Corr ≠z x 12 ()2,0t t Corr u =z
13
（10）（13）共同构成了新的矩条件，定义
()121,t t t K ?=z x z
z 为工具变量，其中x 1t 仍然作为自身的工具变量，而z 2t 作为x 2t 的工具变量。
K=K 1+K 2个总体矩条件为：
()()()1,''t t t t t t K E u E y ???= =-=??m w θz z x β0
14
相应的样本矩为：
()()()(1)111
?,''T t t t t K t y T T
?=??=-=-=??
∑m w θz x βz y x β0 15
MM 估计量为：
1111
??''(')T T
MM
t t t t IV
t t y --==??
=== ???
∑∑βz x z z x zy β 16 1.2 广义矩
广义矩（Generalized Moment Method ）是由矩方法发展而来，其奠基之作是Hansen （1982）。 1.2.1 GMM 方法的引入
设模型设定为：
t t t y u =+x β
其中，12(,,,)t t t Kt x x x =x ，12(,,,)'K βββ=β ，z t 为工具变量（1?L ）。令(),,t t t t y =w x z ，则L 个矩条件为：
()()()1,''t t t t t t L E u E y ???==-=??m w θz z x β0 17
即：()()''E E =z x βz y
对应的样本矩条件为：
()()()1111?,''T t t t t L t y T T
?=??=-=-=??∑m w θz x βz y x β0 18 从上式可以看出，
(1) L < K ，即工具变量的个数小于未知参数的个数时，矩条件
方程()?,0t =m
w θ无解，参数不能识别。 (2) L = K ，即工具变量的个数等于未知参数的个数时，矩条件
方程()?,0t =m
w θ唯一解，参数恰好识别。估计量为： 11
11
?''(')T
T
t t t t t t y --==??
== ?
??
∑∑βz x z z x zy 19 如前所述，OLS 估计量和IV 估计都是这种情况下的特殊形式。
(3) L > K ，即工具变量的个数大于未知参数的个数时，采用不同的矩方程可以得到不同的解，因此，矩方程具有多个解。 1.2.2 秩条件与阶条件
从（17）式得到的矩条件方程为：
[(
')]('E E =z x βz y 如果[(')]Rank
E K =z x ，则存在唯一解；如果[(')]Rank E K
秩条件(')Rank K =z x 暗含的另外一个假定是L ≥K ，即工具变量的个数大于内生解释变量的个数。称之为工具变量的阶条件。如果L>K ，称为过度识别；如果L=K ，则称为恰好识别。 1.2.3 GMM 估计及渐进特征
当L>K 时，秩条件不成立，MM 方法存在多个解。这时，可以采用两种方法。其一，将多个工具变量组合成为K 个工具变量。这即是2SLS 。在2SLS 中的第一阶段，用每一个内生变量对L 个工具变量回归，得到K 个拟合值；然后，用这K 个拟合值作为工具变量进行LS 回归。第二种方法即是GMM 估计。后面将会看到，TSLS 方法是GMM 方法在同方差假定下的特例。
GMM 方法即是解决L>K 情况下的一般方法。GMM 方法完全是根据矩条件来估计参数，因此对扰动项的分布形式没有任何假定，这一点使GMM 估计成为稳健性分析中的重要应用。
1． GMM 估计
广义矩方法即是处理过度识别情况的一般方法。首先来看一下如何将MM 估计推广到GMM 估计。设模型为
y =f (x, β)+u
x 中包含K 个变量，L 个工具变量表示为z 。在MM 估计中，利用K 个工具变量估计K 个未知参数，需要构建K 个矩方程。每个矩条件表示为m l (l =1,2,…, K)。K 个矩方程为
?(,)t =m
w θ0 等价于解方程：
2
1???(,)'(,)K
l t t l Q m ====∑m w θm w θ0。 A 当存在L>K 个工具变量时，共有L 个矩方程，而只有K 个未知参数。因此，根据MM 方法，共有K L ??
???
个组合，可以得到的矩估计量的个数为K L ??
???
。这时，每个组合得到的MM 估计量都不能满足A 式，即A 式不会恰好为0。但可以考虑将各种不同的估计结果综合起来，使A 式最小化。比如，
21???(,)'(,)L
l t t l Q m
===∑m w θm w θ 20 即使得L 个矩条件的平方和最小。
因为不同矩的方差不同，因此更科学的方法是使用加权的平方和，
??(,)'(,)t t t Q =m w θWm w θ 21
W t 可以是任意的正定矩阵（可以依赖于数据，但不包含未知参数）。事实上（20）式是（21）式的一个特例，即W t =I 。GMM 估计量是求下式的最优解：
()
{}???arg min (,)'(,)GMM t t t t Q
=θ
θW m w θWm w θ 22
括号中的W t 表示GMM 估计量取决于W t ，不同的权数矩阵会得到不同的估计量。根据一阶条件
?(,)?(,)??t t t Q ??==??m
w θW m
w θ0θθ
便可以得到GMM 估计量。令?(,)?t ?=
?m
w θG θ
为（L×K ）矩阵，第（i ，j ）元素表示第i 个矩条件对第j 个参数的导数。
比如，在线性模型y =x β+u 中，令?()GMM t βW 表示参数β的GMM 估
计。则矩条件为
()
??(,)'()t t
=-=m w βZ y X βW 0 目标函数为：
()()
????(,)'(,)''()'''()t t t t t t
Q ==--=m w βW m w βZ y Z X βW W Z y Z X βW 0 一阶条件为：
()
?(,)?(,)???(')'''()?(')'()(')'(')()t t t t t
t t t
Q ??==???-=?==m
w θW m
w θ0ββZ X W Z y Z X βW 0Z X W Zy Z X W Z X βW 0 23
进而可求得GMM 估计量
[][]1?()(')'(')(')'(')t t t -=βW Z X W Z X Z X W Z y
2． 任意正定权数矩阵的GMM 估计量的渐进特征
定理：对于任意正定权数矩阵，?GMM β具有一致性：
Pr ?GMM ??
→ββ 24
定理：对于任意正定权数矩阵，?GMM β具有渐进正态性：
()
11?),(')'(')d GMM
Normal ---??→ββG WG G WSWG G WG 0 25
其中，.(,)t Asy Var ?=?
S w θ，(,)
'
t ?=?m w θG θ 注：对一阶条件在真实参数处进行泰勒级数展开便可得到GMM 估计量的极限分布。
如果权数矩阵选择为单位矩阵，那么渐进协方差为
11(')'(')--G G G SG G G 。
3． 任意正定权数矩阵的矩的渐进特征
GMM 估计中，不仅参数估计量具有渐进正态性，而且矩也具有渐进正态性。
假设1：如果W t 为正定矩阵，且plim t =W W 。 假设2：?plim (,)0t =m
w θ。 根据大数定理，样本矩收敛于总体矩，
()()?,,t t →m
w θm w θ，当T →∞时。 26 又根据中心极限定理，
()()
,0,t N →w θS 27
其中，S 表示(),t w θ的渐进协方差矩阵，即.(,)t Asy Var ?=?
S w θ。 任意权数矩阵下，()?m
θ的渐进分布为： ()()1/21/21/2
?,'
d
N Normal ??→m θBW SW B 0 28
其中,1/211/2[']'L -=-B I W G G WG G W ，B 是对称幂等矩阵。 1.2.4 最优权数矩阵的选择
对于任意满足假设1的权数矩阵，?GMM θ都具有一致性。
接下来，我们介绍如何确定最优的W t 及其渐进分布特征。 1． 最优权数矩阵的选择
首先我们回顾一下GLS 估计的思想。对于方程=+y X βu ，假设
var()=u Ω。转换矩阵M 满足：
1''-=?=M ΩM I M M Ω
转换后的新模型为：
=+?=+y X βu My MX βMu
令***,,= = =y My X MX u Mu ，即***=+y X βu 。新的随机误差项的协方差矩阵为*
var()E('')'===u Muu M M ΩM I ，是同方差、无序列相关的。模型的目标函数为：
**1??????()'()'''Q -===Mu
Mu u M Mu u Ωu 即，目标函数是u 的加权平方和，而权数矩阵则是u 的协方差矩阵的逆矩阵。根据一阶条件得到GLS 估计量：
**1**1111?(')'('')''(')'GLS
-----===βX X X y X M MX X M My X ΩX X Ωy 与GLS 相类似，GMM 方法中，目标函数为各个矩的加权平方和，权数的选择则要考虑各个矩的异方差和相关性。最优权数即是各个矩的协方差矩阵的逆矩阵。
1-=W S
，.(,)t AsyVar ?=?S w θ， 29 如果?(,)t m w θ为一致估计量?GMM θ对应的矩，则S 的一致估计量
为：
)
()()??(,),t t Var T Var ==S
w θm
w θ ()11?,T t t TVar T =??
= ???
∑m w θ ()()1
1??,',T
t t t T ==∑m w θm w θ 30
因此，最优权数矩阵为：
()()1
111???,,'T opt t t T
t T --=??== ???
∑W S m w θm w θ 31
1plim opt opt t t -→∞
==W W S
32
θ的GMM 估计量使得下式最小化
1???(,)'(,)t t Q -=m
w θS m w θ 33
对于线性模型=+y X βu ，var()E(')==u uu Ω。
()()()111
Var Var 'E '''T T T
?====?S βz u z uu z z Ωz 如果误差项是同方差的，即2E(')σ==uu ΩI ，则
211???''T T
σ==S
z Ωz z z 其中，2?σ
是2σ的一致估计量。 如果存在异方差，但不存在自相关，则S 的估计量为：
2111???''T t t t t u T T
===∑S z Ωz z z
如果存在自相关，则S 的估计量为：
()()11?'T t t t Var Var u T =???==?????
∑S βz
可以利用HAC 估计量。令
()()()
()',''''j L L t t t j t j t t t j t j Cov u u E u u ?----??==??
Γz z z z
表示滞后 j 阶的协方差矩阵。那么
()()(){11122,,t t t t t t t t t t T S T Var z Cov z z Cov z z εεεεε-----?=+++
()()}1122,,t t t t t t t t Cov z z Cov z z εεεε+++++++
1j j T
∞
-=-∞=Γ∑
? 如果当j 大于某个阶数q 时，0j Γ=，我们可以使用统计量：
1??q
j
j q
T
=-=∑S Γ, 其中，协方差估计量为：
()()
1
1???'T j t t t j t j t j u u T k --=+=-∑Γz z 注：EViews 中，HAC 异方差一致协方差矩阵为：
1
1????(0)(,)()()T j k j q j j T k =??=++??-∑S
ΓΓΓ
其中，()()
1
1
???'T j
t t t j t j t j u u T k --=+=-∑Γz z 需要选择核k 和窗宽q 。
2.选择最优权数矩阵时GMM 估计量的渐进特征
当权数矩阵1opt -=W S 时，?GMM β的渐进正态分布为
()1?),(')d GMM
Normal --??→ββG WG 0 34
3.选择最优权数矩阵时矩的渐进特征
当权数矩阵1opt -=W S 时，将其带入上式中，并利用B 的对称幂等
性质，可以得到()?m
θ的渐进分布为：
()()1/211?,[']'
d
N Normal --??→-m θ0S G G S G G 35
S 是矩条件的方差，S 越大，V 越大。G 反映了矩条件对θ变化的敏感程度，G 越大，V 越小。因此，GMM 估计量的方差取决于S 和G ，与S 呈正比，与G 呈反比。
1.2.5 GMM 估计步骤
要得到最优估计量，需要先得到权数矩阵；而要得到权数矩阵，需要先得到参数估计量。因此，参数估计量和权数矩阵是两个相互交错的问题。
1.两步有效GMM 估计
因为，对于任意权数矩阵，GMM 估计总是一致的，因此可以先选择一个初始矩阵，得到参数的一致估计量，并利用该估计量计算权数矩阵，再利用新计算的权数矩阵的重新估计。这即是两部GMM 估计。
Step1：选择初始权数矩阵(1)W ，比如(1)=W I 或 1(1)(')-=W Z Z ，计算θ的
一致估计量：
()()(1)
(1)???argmin ,',t t =θm w θW m w θ 然后估计最优权重矩阵1?opt T -=W S
。 Step2：利用第一步中得到的最优权重矩阵进行GMM 估计，得到两步有效GMM 估计量
()(){}???arg min ,',opt
GMM t t T θ=m w θW m
w θ.
2. K-Step 迭代GMM 估计
Step1：选择初始权数矩阵(1)W ，估计量表示为(1)
?θ。 Step2：估计新的权数矩阵 (2)opt W ，重新估计得到(2)
?θ。 Step3：反复迭代，直至收敛。
3.连续更新GMM 估计
与前两种方法不同，连续更新GMM 估计不是在θ和W 之间反复迭代，而是将W 看作是θ的函数，求解下式的最小化：
()()(){}???argmin ,',GMM t t =θm
w θW θm w θ 显然，上式的一阶条件与原来的一阶条件不同，但这种方法与两步估计和K 步迭代估计是渐进等价的，但这种方法具有最好的小样本特征。
1.3 模型设定检验
1.3.1 Hansen 过度识别约束检验（Sargan J 检验）
当L > K 时，矩条件个数多于参数个数。这时，可能部分矩条件不成立。因为这时参数属于过度识别，因此，对矩条件是否成立的检验也称为过度识别约束检验。
当权数矩阵选择最优矩阵时，即11?opt T
--=→W S S ，那么 ()()
()12?????,',t GMM t GMM
J T L K χ-=→-m w θS m w θ 36 注意：EViews GMM 输出结果中给出的J 统计量没有乘以T 。 1.3.2 检验正交条件的子集
假设存在 L >K 个工具变量。L 个工具变量分为两组，
()121,t t t L ?=z z z 。1t z 包括L 1个工具变量，2t z 包括L 2=L-L 1个工具变量。
前L 1个工具变量1t z 满足正交条件，但怀疑后L 2个工具变量2t z 的正交条件是否得到满足。
比如，模型设定为：
t t t y u =+x β 37
工具变量1t z 满足
()1't t E u =z 0 38
需要检验的是：
()2't t E u =z 0 39
如果可信的工具变量的个数L 1>=K ，就可以对后L 2个工具变量是否满足正交条件进行检验。其基本思想是，分别用1t z 和()12,t t t =z z z 作为工具变量估计模型（39），并分别计算J 统计量。如果增加可疑的工具变量使得J 统计量明显增加，则表明2t z 不满足正交条件。
根据工具变量()12,t t t =z z z ，将()
1
??,t L ?m
w θ拆分成
()
1211
21??(,)??,??(,)t L t t L ???? ?= ??
?m w θm
w θm w θ， 其对应的协方差矩阵分解为：
111221
22L L ???=????S
S S S S
其中，1
11(1)11('')L t t t t E u u ?=S z z ，1
2
12()12('')L L t t t t E u u ?=S z z ，2
1
21()21('')L L t t t t E u u ?=S z z ，
2222()22('')L L t t t t E u u ?=S z z 。
根据（39）式，使用1t z 作为工具变量时，11(,,)t t t t y =w x z ，J 统计量为：
()()
()1211111111?????,',t t J T L K χ-=→-m w θS m w θ 40
使用()12,t t t =z z z 作为工具变量时，(,,)t t t t y =w x z ，J 统计量为：
()()
()12?????,',t t J T L K χ-=→-m
w θS m w θ 41 构建统计量：
211()d C J J L L χ=-??→- L 为工具变量个数 42
在小样本情况下，C 统计量可能会出现负值。我们在工具变量估计中已经知道，方程的标准差如果采用相同的估计量（或者是一致估计，或者是有效估计，大部分采用有效估计），则可以保证Sargan 统计量非负性。在GMM 估计中，如果矩阵S 利用相同的估
计量（一般采用（42）式中的?S ），则可以保证C 统计量的非负性。
例：检验工资模型中教育是否满足正交条件
201234log()wage educ exper exper age u βββββ=+++++
其中，feduc 、meduc 和KWW 作为educ 的工具变量，exper 、exper 2、age 作为自身的工具变量，但我们怀疑KWW 可能不满足正交条件。上述J 检验步骤如下。
Step1：利用工具变量z t =（feduc, meduc, KWW, exper, exper 2, age ）作为工具变量，进行GMM 估计，计算β的GMM 估计量，并得到J
统计量和?S
； Step2：从?S 中选出与z 1t
=（feduc, meduc, exper, exper 2, age ）对应的
协方差矩阵11
?S
；并利用z 1t 作为工具变量，用1
11
?-S 作为权数矩阵进行GMM 估计，计算J 1统计量。
Step3：计算C 统计量，并与临界值比较。
当变量用其自身作为工具变量时，J 检验等同于回归变量的内生性检验。
1.4 GMM 估计与TSLS 估计
(')('')?.(,)'t t t t t t t t Var E AsyVar P →∞
==?==?
S m m Z u u Z S w θu 因此，S 的一致估计量为，
()()1
1???,',T t t t T ==∑S m w θm w θ 在线性模型中，()()???,''()'t t =-=m w θZ y Z X βW Z u
。S 的一致估计量为： 1
1???''T
t t i t i t t T ==∑S Z u u Z
在同方差情况下，2(')(')t t t t Var E σ==S m m Z Z 。S 的一致估计量
2
21
???''T
t t t σσ===∑S
Z Z Z Z
将其带入GMM 估计量公式：
[][][][]
11
221
2?()(')'(')(')'(')??(')'(')(')(')'(')(')(')'(')(')(')'(')(')?t t t SLS
σσ---=????=????==βW Z X W Z X Z X W Z y Z X Z Z Z X Z X Z Z Z y Z X Z Z Z X Z X Z Z Z y β
即，2SLS 估计是GMM 估计在同方差情况下的特例。这时，Hansen （1982）统计量变成Sargan （1958）统计量。
由GMM 估计量的渐进正态性质，
1?,(')/d GMM N T -????→??θθG WG
43
其中，()()()
1'?''
L K T ????- ?
???==??z y x βm βG ββ '/T =-z x
因此，?GMM β的方差估计量为：
1?(')/GMM Var T -??=??βG WG
()
()
1
11
121
21111
1
2
1111?''''1111?''''1111?''''?'''T T T t t t t t t t t t T T T T T T T T T T T T σ
σ
σ
-----===--????????=--?? ? ? ???????????
??
??????=--?? ? ? ???????????
??
??????=--?? ? ? ???????????
=∑∑∑z x z Ωz z x z x z z z x z x z z z x x z z z z x
1.5 线性回归模型的GMM 分析 1.5.1 模型设定
考虑如下具有K 个解释变量的回归方程：
1122t t t t y u =++x βx β
44
其中，()121,t t t K ?=x x x ，x 1t 包括K 1个外生变量，但2t x 包括K 2个内生变量，即
()1'0t t E u =x 45 ()2'0t t E u ≠x
46
假设存在 L >K 个工具变量()121,t t t L ?=z x z ，满足
()121,t t t K ?=x x x ，()121,t t t L ?=z x z 47
z t 为工具变量，其中x 1t 仍然作为自身的工具变量，而z 2t 作为x 2t 的工具变量。
K=K 1+K 2个总体矩条件为：
()()1''t t t t t L E u E y ???=-=??z z x β0 48
相应的样本矩为：
()()()(1)111?''T t t t L t m y T T
?=??=-=-=??∑βz x βz y x β0 49 即：(')=z x βzy
因为L >K ，'z x 为L K ?矩阵，
不能求逆，因此不能直接求解方程()?0=m β。 1.5.2 最优权数矩阵的计算
过度识别约束检验统计量为：
()()
()1GMM GMM
1
2111
1
22
111
?????'???''''???''''~T T
T t t t t t t t t t T T T t t t t t t t t t J T T u u T u u L K T σσχ--===-====??????= ? ? ?
?????????????=- ? ? ? ?
??????∑∑∑∑∑∑m βS m βz z z z z z z z
计算J 的一种简单方法如下。
提取残差项?t u
，回归如下方程： ?'t t t u
v =+z γ, 计其拟合优度为R 2，计算统计量2J TR =
根据GMM 估计量公式()()1?''''GMM T T -=βx zW z x x zW z
y 可得 ()()1
???''''GMM -=βx zSz x
x zSz
y 根据GMM 估计量方差公式可得：
1?(')/GMM Var T -??=??
βG WG 1
1
1
1
21111111?''''1111?''''T T T t t t t t t t t t t T T T T u T T T T ----===????????=--?? ? ? ???????????
??
??????=
--?? ? ?
???????????
∑∑∑z x z Ωz z x z x z z z x
1.6 案例
例：教育对工资收入的影响。（数据文件：wage2）
模型设定为：
201234()Log wage educ exper exper female u βββββ=+++++
（1） 检验educ 的内生性
（2） 用feduc 、meduc 和KWW 作为educ 的工具变量，用GMM 方法
估计模型
（3） 对模型进行过度识别约束检验
（4） 计算正交条件的协方差矩阵以及最优权数矩阵 （5） 检验KWW 作为工具变量是否满足正交条件
例：贷款需求模型如下：
贷款需求方程: Q t = a 0 + a 1R t + a 2RD t + a 3IP t + u t
其中，Q = 商业贷款总额 (单位：十亿美元)
R = 平均市场利率（%） RD = AAA 企业债券利率（%） IP = 工业生产指数
（1） 如果直接用OLS 回归上述方程，可能存在什么问题？ （2） 如果为R t 选择工具变量，可以选择哪些变量？
（3） 利用RS （3个月期限的国库券利率，单位：%）、Dep （银行
存款总额，单位：十亿美元)作为工具变量，利用2SLS 方法回归上述方程（数据文件：Loan.raw ）
（4） 利用RS 、Dep 作为工具变量，利用GMM 方法回归上述方程 （5） GMM 估计中，检验过度识别约束
5广义矩估计
第1章 广义矩估计 1.1 矩估计 1.1.1 总体矩与样本矩 设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的 ()12,, ,k θθθ=θ是待估计的未知参数。假定总体分布的m 阶矩存在，则总体分布 的k 阶原点矩和k 阶中心矩为 ()() ,1k k k EX x dF x k m α+∝-∝ =≤≤? θθ 1 ()[()]()[()],1k k k E X E x x E x dF x k m μ+∝ -∝ -=-≤≤? θθ 2 两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩： ()E X μ= 3 222 2()[()]()Var X E X E X μμσ=-=- 4 一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。 对于样本12(,,,)n X X X =X ，其k 阶原点矩是： 1 1n k k i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5 当k =1时，m 1表示X 的样本均值。 X 的k 阶中心矩是： ()1 1n k k i i B X X n =-∑（1k m ≤≤） 6 当k =2时，B 2表示X 的样本方差。
1.1.2 矩估计方法 矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。 总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θ的函数。根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩。因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令： ()12,,,1,2, ,k K k m k K αθθθ== 即： ()1 1,1,2, ,n k k i i x dF x X k K n +∝-∝ = = =∑ ∑θ 7 上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θ的K 个方程式，求解上式所构成的 方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θ的一组解() 12????,,,k θθθ=?θ。因为m k 是随机变量，故解得的?θ也是随机变量。这种参数估计方法称为矩方法，() 12????,,,k θθθ=?θ即是()12,,,K θθθ=θ的矩估计量。 定理：X 的分布函数F (X )存在2ν阶矩，则对样本的ν阶原点矩m v ，则矩的期望和方差为： []E m ννα=，[]() 2 21Var m n ννν αα= - 8 证明： []11 1111n n n i i i i i E m E X E X n n n νν ννναα===????====????????∑∑∑ []()2 2 Var m Em Em ννν=- 2 211n i i E X n ν να=??=- ? ??? ∑ 2222111n i i j i i j E X X X n n ννν να=≠?? ?=+- ?? ? ∑∑∑ 22221 1 1 n i i j i i j E X E X X n n ννννα=≠????= +-????∑∑∑
广义矩估计（Generalized Method of Moments ，即GMM ） 一、解释变量内生性检验 首先检验解释变量内生性（解释变量内生性的Hausman 检验：使用工具变量法的前提是存在内生解释变量。Hausman 检验的原假设为：所有解释变量均为外生变量，如果拒绝，则认为存在内生解释变量，要用IV ；反之，如果接受，则认为不存在内生解释变量，应该使用OLS 。 reg ldi lofdi estimates store ols xtivreg ldi (lofdi=l.lofdi ldep lexr) estimates store iv hausman iv ols （在面板数据中使用工具变量，Stata 提供了如下命令来执行2SLS:xtivreg depvar [varlist1] (varlist_2=varlist_iv) （选择项可以为fe ，re 等，表示固定效应、随机效应等。详见help xtivreg ） 如果存在内生解释变量，则应该选用工具变量，工具变量个数不少于方程中内生解释变量的个数。“恰好识别”时用2SLS 。2SLS 的实质是把内生解释变量分成两部分，即由工具变量所造成的外生的变动部分，以及与扰动项相关的其他部分；然后，把被解释变量对中的这个外生部分进行回归，从而满足OLS 前定变量的要求而得到一致估计量。 t p t q t p 二、异方差与自相关检验 在球型扰动项的假定下，2SLS 是最有效的。但如果扰动项存在异方差或自相关， 面板异方差检验： xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls panel(het) estimates store hetero xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls estimates store homo local df = e(N_g) - 1 lrtest hetero homo, df(`df') 面板自相关：xtserial enc invs exp imp esc mrl
GMM 估计中文讲义2 线性模型 1i x 是1k ?，2i x 是1r ?，l k r =+。如果没有其他约束，β的渐进有效估计量是OLS 估计。现在假设给定一个信息20β=，我们可以把模型写为， 11 i i i y x βε'=+，()0i i E x ε= 如何估计1β？一种就是OLS 估计。然而这种方法不是必然有效的，当在()0i i E x ε=方程中有l 个约束，然而1β的维数k l <，这种情况称为过渡识别。这里有r l k =-比自由参数多的矩约束，我们称r 是过渡约束识别个数。 让(,,,)g y z x β是1l ?个方程，参数β为1k ?，且k l <，有 0(,,,)0i i i Eg y z x β= （1） 0β是β 的真实值，在上面线性模型中有1 (,,)()g y x x y x ββ'= -。在计量经济学里，这类模型称为矩条件模型。在统计学中，这称为估计方程。 另外，我们还有一个线性矩条件模型， 1i i i y z βε'=+，()0i i E x ε= i z 和i x 的维数都是1k ?，且有1l ?，k l <，如果k l =则模型是恰好识别，否则是过 渡识别。变量i z 是i x 的一部分或是i x 的函数。模型（1）可以设置为， 0(,,,)()i i i g y z x x y z ββ'=- （2） GMM 估计 模型（2）样本均值为 11111 ()(())()n n n i i i i i i n n n g g x y z X y X Z ββββ==='''=-=-∑∑ （3） β的矩估计量就是设置()0n g β=。对于k l <个方程大于参数的情形，GMM 估计思 想就是设置()n g β近可能的接近于零。 对于l l ?加权矩阵W 0n >，让 这是向量()n g β长度的非负测度。例如，如果W n I =，则有 2 ()()()()n n n n n n J g g g ββββ'=?=?。
Econometrics2—Fall2005 Generalized Method of Moments (GMM)Estimation Heino Bohn Nielsen 1of32 Outline (1)Introduction and motivation (2)Moment Conditions and Identi?cation (3)A Model Class:Instrumental Variables(IV)Estimation (4)Method of Moment(MM)Estimation Examples:Mean,OLS and Linear IV (5)Generalized Method of Moment(GMM)Estimation Properties:Consistency and Asymptotic Distribution (6)E?cient GMM Examples:Two-Stage Least Squares (7)Comparison with Maximum Likelihood Pseudo-ML Estimation (8)Empirical Example:C-CAPM Model
Introduction Generalized method of moments(GMM)is a general estimation principle. Estimators are derived from so-called moment conditions. Three main motivations: (1)Many estimators can be seen as special cases of GMM. Unifying framework for comparison. (2)Maximum likelihood estimators have the smallest variance in the class of consistent and asymptotically normal estimators. But:We need a full description of the DGP and correct speci?cation. GMM is an alternative based on minimal assumptions. (3)GMM estimation is often possible where a likelihood analysis is extremely di?cult. We only need a partial speci?cation of the model. Models for rational expectations. 3of32 Moment Conditions and Identi?cation ?A moment condition is a statement involving the data and the parameters: g(θ0)=E[f(w t,z t,θ0)]=0.(?) whereθis a K×1vector of parameters;f(·)is an R dimensional vector of(non-linear)functions;w t contains model variables;and z t contains instruments. ?If we knew the expectation then we could solve the equations in(?)to?ndθ0.?If there is a unique solution,so that E[f(w t,z t,θ)]=0if and only ifθ=θ0, then we say that the system is identi?ed. ?Identi?cation is essential for doing econometrics.Two ideas: (1)Is the model constructed so thatθ0is unique(identi?cation). (2)Are the data informative enough to determineθ0(empirical identi?cation).
广义矩估计 一、背景 我们前面学了OLS估计、工具变量估计方法，前面这几种方法都有重要假设就是需要知道分布才能估计，但是往往现实理论我们无法得到关于分布的信息，因此矩估计方法应运而生。矩估计方法的基本思想是利用样本矩的信息组成方程组来求总体矩，以此得到渐进性质下的一致性估计量。那么在构成方程组求解的过程中涉及识别问题和解决。本章详细介绍矩估计方法。矩估计方法实际应用非常广泛，应注意将矩估计与OLS估计、工具变量估计和极大似然估计方法结合对比进行应用。 二、知识要点 1，应用背景 2，矩估计存在的问题(识别) 3，矩正交方程和矩条件 4，矩估计的属性 三、要点细纲 1、应用背景 其基本思想是:在随机抽样中，样本统计量(在一个严格意义上，一个统计量是观察的n维随机向量即子样的一个(波雷尔可测)X,XXX,,,，，12n 函数，且要求它不包含任何未知参数)将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。即在不知道分布的情况下，利用样本矩构造方程(包含总体的未知参数)，利用这些方程求得总体的未知参数。 基本定义 n1,,统计量为子样的ν阶矩(ν阶原点矩); mXi,n,i1
n1, ,统计量为子样的ν阶中心矩。 ,BXX，，i,n,i1 子样矩的均值与方差 2222,,,;,,,,EXVarXEXEX，，，，，， kk,，，EXEX,,,kk 我们用到时假定它是存在的。 ,,或kk 基本做法 的可能分布族为，其中属于参数空间的设:母体XFx,,,,,,Θ，，,, 是待估计的未知参数。假定母体分布的k阶矩存在，则母体,,,,,,,,，，12k 分布的ν阶矩 ,, ,,,,1xdFxk,,,,,,,,,，，，，,,12k,, 是的函数。 ,,,,,,,,，，12k 对于子样，其ν阶子样矩是 X,XXX,,,，，n12 n1,,,, mXk,1,,,in,i1 现在用子样矩作为母体矩的估计，即令: n1,,,, (1) ,,,1,2,,mXk,,,,,,，，,,i12kn,i1
1、广义矩方法（GMM） 广义矩方法是基于模型实际参数满足的一些矩条件而形成的一种参数估计方法，是聚集方法的一般化。GMM的优点：仅需要知道一些矩条件，而不需要知道随机变量的分布密度（如极大似然估计）。这可能是一个缺陷，因为GMM经常不能对样本中的全部信息进行有效利用。并且如果如果模型的设定是正确的, 则总能找到该模型实际参数满足的若干矩条件而采用GMM。广义矩估计选择的矩估计方程个数多于待估参数的个数时, 必须选择参数使它尽可能地与各个矩估计方程配合, 来调和将出现在过度识别系统中的互相冲突的估计。一种办法就是最小化准则函数。令θ为参数向量, m(θ)为样本矩条件。最小化准则函数即使J T = m (θ)′m (θ)最小。考虑到不同的矩条件所起的作用不同, 人们希望某些矩条件的作用大些、某些矩条件的作用小些, 因此引入了加权矩阵, 它反映了各阶矩在GMM 中的重要程度。由此问题转化成了使J T = m (θ)′w(θ)m (θ)最小。这里W (θ) 是一个正定权重矩阵, 它反映了与每一个矩条件相配合的重要性。GMM 估计量就是使J T最小化时的参数估计量θ, 即θ= argmin [m (θ)′w(θ)m (θ) ]。其中, m (θ) 为样本矩条件, 是m * 1 维的正交条件。权重矩阵W (θ) 为m * m 维的正定对称矩阵, θ为L* 1 维向量,L≤m。为使J T 极小化, 对J T关于θ求导, 得到一阶条件m (θ)′W (θ) m (θ) = 0其中, m (θ) 是m (θ) 关于θ的Jacobian 矩阵。 GMM 估计的核心问题是对加权矩阵的选择问题。如果选取的矩条件个数恰好等于待估参数的个数, 就属于“恰好识别”( just -ident ified) 的类型, 无论权重矩阵如何选取, 都有最小值0。如果选取的矩条件个数多于待估参数的个数, 就属于“过度识别”(over-identified)的类型, 这时并不是每个矩条件都能得到满足, 而权重矩阵W决定了各个矩条件的相对重要性。如果过程是严格平稳的, 则选择W (θ) = S-1 (θ), 而S (θ) = E [ m (θ) m (θ)′] , 其中m (θ) 为样本矩条件, 这样的权重矩阵选择能使GMM估计量θ有最小的渐近协方差矩阵。直观上, 越少不确定性的矩条件给予越多的权重。 本文采用担子利率模型，只设定一个状态变量，即无违约风险的瞬时利率。假定瞬时利率的动态变化服从以下随机微分方程:dr=m(r) dt+ s(r)dW其中, m(r)为随机微分方程的漂移项, 表示利率变化的瞬时期望, s(r)为随机微分方程的扩散项, s2 (r)为利率变化的瞬时方差, W为布朗运动。在现实的金融市场上不存在瞬时利率r t，也就无法得到其观察值，因此研究者一般以短期利率作为其近似代替。金融市场上可观察到的短期利率种类较多，选择不同的短期利率模型的参数的结果会有显著差别。在我国货币市场，市场化程度较高的银行间市场期限在3个月以下的短期利率品种有14个。本文本文进行实证的利率数据为R007, 它是每周加权平均利率。数据跨期为199年1 月1 日至2004 年4 月23 日, 共计278 周。但是R007 在1999 年2月19 日和2000 年5 月5 日的数据缺失, 本文采用数据缺失日期的前后两周数据的算术平均数作为替代。 在广义矩估计的框架下，假定瞬时利率服从以下的随机微分方程： dr = (α+ βr+ ψr2+ Ω/ r) dt+ δrγd W （1） 其中,α、β、ψ、Ω、δ、γ为常数。要对( 1) 式进行参数估计, 首先要对这个连续时间模型进行离散化, 本文对这个连续
广义矩估计 1.1 矩估计 1.1.1 总体矩与样本矩 设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的 ()12,,,k θθθ=θ 是待估计的未知参数。假定总体分布的 m 阶矩存在， 则总体分布的k 阶原点矩和k 阶中心矩为 ()() ,1k k k EX x dF x k m α+∝-∝ =≤≤? θθ 1 ()[()]()[()],1k k k E X E x x E x dF x k m μ+∝ -∝ -=-≤≤? θθ 2 两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩： ()E X μ= 3 2222()[()]()Var X E X E X μμσ=-=- 4 一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。 对于样本12(,,,)n X X X =X ，其k 阶原点矩是： 1 1n k k i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5 当k =1时，m 1表示X 的样本均值。 X 的k 阶中心矩是： ()1 1n k k i i B X X n =-∑ （1k m ≤≤） 6 当k =2时，B 2表示X 的样本方差。 1.1.2 矩估计方法 矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。 总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θ 的函数。根据大数定理，样
本矩依概率收敛于总体矩。因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令： ()12,,,1,2,,k K k m k K αθθθ== 即： ()1 1,1,2,,n k k i i x dF x X k K n +∝-∝ = = =∑ ∑ θ 7 上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θ 的K 个方程式，求解上 式所构成的方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θ 的一组解()12????,,,k θθθ=?θ。 因为m k 是随机变量，故解得的?θ 也是随机变量。这种参数估计方法称为矩方法，()12????,,,k θθθ=?θ即是()12,,,K θθθ=θ 的矩估计量。 定理：X 的分布函数F (X )存在2ν阶矩，则对样本的ν阶原点矩m v ，则矩的期望和方差为： []E m νν α=，[]()221Var m n ννναα=- 8 证明： []11 1111n n n i i i i i E m E X E X n n n ννννν αα===????====????????∑∑∑ []() 2 2 Var m Em Em ννν=- 2 2 1 1n i i E X n ννα=??=- ? ??? ∑ 2222111n i i j i i j E X X X n n ννννα=≠?? ?=+- ??? ∑∑∑ 222 2 11 1n i i j i i j E X E X X n n ννννα=≠????= +-???? ∑∑∑ 221 11 n i j i i j E X E X n n νννναα=≠????= +-????∑∑∑ ()22 22111n n n n νννααα=+-- 2 211n n νν αα=-。 矩方法的一般步骤：
第1章 广义矩估计 1.1 矩估计 1.1.1 总体矩与样本矩 设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的 ()12,,,k θθθ=θK 是待估计的未知参数。假定总体分布的 m 阶矩存在，则总体分 布的k 阶原点矩和k 阶中心矩为 ()(),1k k k EX x dF x k m α+∝-∝ =≤≤? θθ@ 1 ()[()]()[()],1k k k E X E x x E x dF x k m μ+∝-∝ -=-≤≤? θθ@ 2 两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩： ()E X μ= 3 2222()[()]()Var X E X E X μμσ=-=-@ 4 一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。 对于样本12(,,,)n X X X =X K ，其k 阶原点矩是： 1 1n k k i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5 当k =1时，m 1表示X 的样本均值。 X 的k 阶中心矩是： ()1 1n k k i i B X X n =-∑@（1k m ≤≤） 6 当k =2时，B 2表示X 的样本方差。
1.1.2 矩估计方法 矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。其基本思想是：在 随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。 总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θK 的函数。根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩。因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令： 即： ()1 1,1,2,,n k k i i x dF x X k K n +∝-∝ = = =∑ ∑K θ 7 上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θK 的K 个方程式，求解上式所构成 的方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θK 的一组解()12????,,,k θθθ=?θ。因为m k 是随机变量，故解得的?θ也是随机变量。这种参数估计方法称为矩方法，() 12????,,,k θθθ=?θ即是()12,,,K θθθ=θK 的矩估计量。 定理：X 的分布函数F (X )存在2ν阶矩，则对样本的ν阶原点矩m v ，则矩的期望和方差为： []E m ννα=，[]() 2 21Var m n ννν αα= - 8 证明： 矩方法的一般步骤： Step1：总体矩条件（population moment condition ）：(),t =m w θ0。一般情况下，矩条件可以写为：[(,)]t E f =w θ0。 给定观测样本12(,,,)T y y y K ，总体矩无法计算。但可以计算总体矩条件对应的样本矩条件。 Step2：样本矩条件（sample moment condition ）：()?,t =m w θ0。一般情况下，矩条件可以写为： 根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩，即 Step3：令样本矩=总体矩，得到矩方程，解方程（组）得到未知参数的矩估计量。 在很多情况下，我们可以根据矩条件构建矩方程，然后求解未知参数。一般情况下，这些矩条件都是可以直接观察到（或假定）的。 例 1.1 假定随机变量 y t 的均值()t E y μ=存在但未知，利用矩方法进行估计。
广义矩方法(generalized method of moments ，GMM)的一般表述是由汉森(1982)提出的。它是基于模型实际参数满足的一些矩条件而形成的一种参数估计方法，是普通矩估计方法的一般化。只要模型设定正确，一般情况下都能找到该模型实际参数满足的若干矩条件而采用广义矩。GMM 法大大突破了原有矩法的局限性，在大样本性质下效果较好，而且在相当大的范围内具有极大似然估计的优良性。 2．2广义矩概念的引出 2．2．2广义矩估计(GMM) 当样本矩条件的个数与待估参数的个数相等时，使用经典的矩估计方法即可解决参数的估计问题，如上述两个例子都是选择两个样本矩来估计总体的两个参数。 若选择的矩方程个数多于估计参数的个数，经典矩方法就不再适用 ，于是广 义矩方法 应运而生。 () () () () () 21 ,1,...,,()1,...,, ()?()(())i i i r i i i r X i r R M i r M r Q X M ββββββ ==== -∑设样本个矩为对应总体个矩为为待估总体（向量）的函数，且大于待估参数的个数， 则最小二乘法参数估计量实际上是使得欧氏距离函数 达到最小的参数估计量。但是不同的矩起的作用不同，如果希望某些矩的作用大些，这就想到加权最小二乘法、广义最小二乘法，从函数空间距离角度，就是要(1) () (1) () 1 (,...,), (,...,),()()'() ()?()r r X X X M M M Q X M S X M S X M G M M Q ββββ -===---M ahalanobis 应用距离。写成向量形式，记则马氏距离定义为： 其中是关于的协方差矩阵，参数的估计就是使得达到最小的。 2．3广义矩估计法
GMM的stata操作步骤 广义矩估计（Generalized Method of Moments，即GMM）一、解释变量内生性检验首先检验解释变量内生性（解释变量内生性的Hausman 检验：使用工具变量法的前提是存在内生解释变量。Hausman 检验的原假设为：所有解释变量均为外生变量，如果拒绝，则认为存在内生解释变量，要用IV；反之，如果接受，则认为不存在内生解释变量，应该使用OLS。reg ldi lofdi estimates store ols xtivreg ldi (lofdi=l.lofdi ldep lexr) estimates store iv hausman iv ols （在面板数据中使用工具变量，Stata 提供了如下命令来执行2SLS:xtivreg depvar [varlist1] (varlist_2=varlist_iv) （选择项可以为fe，re 等，表示固定效应、随机效应等。详见help xtivreg）如果存在内生解释变量，则应该选用工具变量，工具变量个数不少于方程中内生解释变量的个数。“恰好识别”时用2SLS。2SLS 的实质是把内生解释变量分成两部分，即由工具变量所造成的外生的变动部分，以及与扰动项相关的其他部分；然后，把被解释变量对中的这个外生部分进行回归，从而满足OLS 前定变量的要求而得到一致估计量。t p t q t p 二、异方差与自相关检验在球型扰动项的假定下，2SLS 是最有效的。但如果扰动项存在异方差或自相关，面板异方差检验：xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls panel(het) estimates store hetero xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls estimates store homo local df = e(N_g) - 1 lrtest hetero homo, df(`df') 面板自相关：xtserial enc invs exp imp esc mrl 则存在一种更有效的方法，即GMM。从某种意义上，GMM 之于2SLS 正如GLS 之于OLS。好识别的情况下，GMM 还原为普通的工具变量法；过度识别时传统的矩估计法行不通，只有这时才有必要使用GMM，过度识别检验（Overidentification Test 或J Test）：estat overid 三、工具变量效果验证工具变量：工具变量要求与内生解释变量相关，但又不能与被解释变量的扰动项相关。由于这两个要求常常是矛盾的，故在实践上寻找合适的工具变量常常很困难，需要相当的想象力与创作性。常用滞后变量。需要做的检验：检验工具变量的有效性：（1）检验工具变量与解释变量的相关性如果工具变量z 与内生解释变量完全不相关，则无法使用工具变量法；如果与仅仅微弱地相关，。这种工具变量被称为“弱工具变量”（weak instruments）后果就象样本容量过小。检验弱工具变量的一个经验规则是，如果在第一阶段回归中， F 统计量大于10，则可不必担心弱工具变量问题。Stata 命令：estat first（显示第一个阶段回归中的统计量）（2）检验工具变量的外生性（接受原假设好）在恰好识别的情况下，无法检验工具变量是否与扰动项相关。在过度识别（工具变量个数>内生变量个数）的情况下，则可进行过度识别检验（Overidentification Test），检验原假设所有工具变量都是外生的。如果拒绝该原假设，则认为至少某个变量不是外生的，即与扰动项相关。0 H Sargan 统计量，Stata 命令：estat overid 四、GMM过程在Stata 输入以下命令，就可以进行对面板数据的GMM 估计。 . ssc install ivreg2 （安装程序ivreg2 ）. ssc install ranktest （安装另外一个在运行ivreg2 时需要用到的辅助程序ranktest） . use "traffic.dta"（打开面板数据）. xtset panelvar timevar （设置面板变量及时间变量）. ivreg2 y x1 (x2=z1 z2),gmm2s （进行面板GMM估计，其中2s 指的是2-step GMM）