简谐运动与弹簧问题
你需要知道并且熟记在心的几个点：
时间的对称性
加速度的对称性
合外力的对称性
速度对称性
能量对称性
1. 巧用时间的对称性
例1. 如图1所示，一质点在平衡位置O点两侧做简谐运动，在它从平衡位置O出发向最大位移A处运动过程中经0.15s第一次通过M点，再经0.1s第2次通过M点。则此后还要经多长时间第3次通过M点，该质点振动的频率为多大？
图1
解析：由于质点从M→A和从A→M的时间是对称的，结合题设条件可知M→A所需时间为0.05s，所以质点从平衡位置O→A的时间为
，又因为，所以质点的振动周期为T＝
0.8s，频率。
根据时间的对称性可知M→O与O→M所需时间相等为0.15s，所以质点第3次通过M点所需时间为
2. 巧用加速度的对称性
例2. 如图2所示，小球从竖直立在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，全过程中弹簧为弹性形变。试比较弹簧压缩到最大时的加速度a和重力加速度g 的大小。
图2
解析：小球和弹簧接触后做简谐运动，如图2所示，点B为弹簧为原长时端点的位置。小球的重力与弹簧的弹力的大小相等的位置O为平衡位置。点A为弹簧被压缩至最低点的位置（也就是小球做简谐振动的最大位移处），点A”为与A对称的位移（也是最大位移处）。由对称性可知，小球在点A和点A”的加速度的大小相等，设为a，小球在点B的加速度为g，由图点B在点A”和点O之间，所以。
例3. 如图3所示，质量为m的物体放在质量为M的平台上，随平台在竖直方向上做简谐运动，振幅为A，运动到最高点时，物体m对平台的压力恰好为零，当m运动到最低点时，求m的加速度。
图3
解析：我们容易证明，物体m在竖直平面内做简谐运动，由小球运动到最高点时对M的压力为零，即知道物体m在运动到最高点时的加速度为g，由简谐运动的对称性知道，物体m运动到最低点时的加速度和最高点的加速度大小相等，方向相反，故小球运动到最低点时的加速度大小为g，方向竖直向上。
例4. 如图4所示，轻弹簧（劲度系数为k）的下端固定在地面上，其上端和一质量为M的木板B相连接，在木板B上又放有一个质量为m的物块P。当系统上下振动时，欲使P、B 始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？
图4
解析：从简谐运动的角度看，木板B和物块P的总重力与弹簧弹力的合力充当回复力，即
；从简单连接体的角度看，系统受到的合外力产生了系统的加速度a，即
，由以上两式可解为。当P和B在平衡位置下方时，系统处于超重状态，P不可能和B分离，因此P和B分离的位置一定在上方最大位移处，且P和
B一起运动的最大加速度。由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为
，所以轻弹簧的最大压缩量应满足关系式，即得
。
3. 巧用速度的对称性
例5. 如图5所示是一水平弹簧振子在5s内的振动图象。从图象中分析，在给定的时间内，以0.5s为起点的哪段时间内，弹力所做的功为零。
图5
解析：由速度的对称性可知，图5中与0.5s具有相同速率的时刻为1.5s、2.5s、3.5s、4.5s。结合动能定理可知，从0.5s到以上时刻所对应的时间内弹力所做的功均为零。
4. 巧用回复力的对称性
例6. 如图6所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为的A、B两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐运动。当A 运动到最高点时，木箱对地面的压力为（）
图6
A. Mg
B.
C. D.
解析：剪断细线后的瞬间，弹簧对A的弹力为，所以A受到向上的合外力（回复力）为mg。当A运动到上方最大位移处时，由于简谐运动的回复力的对称性，A将受到竖直向下的合外力（回复力），其大小仍为mg，也就是说，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力为Mg。选项A正确。
例7. 如图7所示，质量为m的木块放在弹簧上端，在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的压力的最大值是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是
______________；欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅不能超过______________。
图7
分析与解答：物体对弹簧压力最大应是物体振动到最低点时，最小应是物体振动到最高点时。对物体进行受力分析，在最低点受两个力：重力和弹簧弹力，根据题中信息可知这两个力的合力大小为0.5mg，方向向上，充当回复力。根据力大小的对称性可知，物体振动到最高点时，回复力大小也应为0.5mg，方向向下，则物体在最高点所受弹簧的弹力应为0.5mg，方向向上，根据牛顿第三定律物体对弹簧的最小压力为0.5mg；物体脱离弹簧时应是弹簧恢复到自由伸长时，根据弹力F＝可知，在原来的基础上弹簧再伸长一个振幅A就可恢复到原长，所以欲使物体不离开弹簧，其振幅不能超过2A。
例8. 如图8，用质量不计的弹簧把质量为3m的木板A与质量为m的木板B连接组成如图所示的装置，B板置于水平地面上，现用一竖直向下的力F向下压木板A，撤消F后，B板恰好被提离地面，由此可知力F的大小是（）
图8
A. 7mg
B. 4mg
C. 3mg
D. 2mg
解析：没撤去力F时，物体A静止，所受合力为零，把力F撤去，物体A受合力大小为F，方向向上，开始向上振动，所以最大回复力为F，根据力大小的对称性，A振动到最高点时，回复力大小也为F，对物体A在最高点进行受力分析：重力3mg和弹簧的弹力F”，合力为
F。即；再对物体B进行受力分析，B恰好被提离地面可得：，所以力F的大小为4mg。选项B正确。
5. 巧用能量的对称性
例9. 如图9－1，原长为30cm的轻弹簧竖立于地面，下端固定于地面，质量为m＝0.1kg
的物体放到弹簧顶部，物体静止，平衡时弹簧长为26cm。如果物体从距地面130cm处自由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧到距地面22cm时（不计空气阻力，取g＝10m/s2）有：
图9-1 图9-2
A. 物体的动能为1J ；
B. 物块的重力势能为1.08J
C. 弹簧的弹性势能为0.08J
D. 物块的动能与重力势能之和为2.16J
解析：由题设条件画出示意图9－2，物体距地面26cm 时的位置O 即为物体做简谐运动的平衡位置。根据动能的对称性可知，物体距地面22cm 时A ”位置的动能与距地面30cm 时A 位置的动能相等。因此只需求出物体自由下落到刚接触弹簧时的动能即可。由机械能守恒定律得。物体从A 到A ”的过程中弹性势能的增加为
，所以选项A 、C 正确。
可见，熟练掌握并准确应用简谐运动的对称性，能使解题有理有据，简捷明了，达到事半功倍的效果。
弹簧振子的运动具有周期性和对称性，因而很容易想到在振动过程中一些物理量的大小相等，方向相同，是周期性出现的；而经过半个周期后一些物理量则是大小相等，方向相反．但是上面想法的逆命题是否成立的条件是：①此弹簧振子的回复力和位移符合kx F -=（x 指离开平衡位置的位移）；②选择开始计时的位置是振子的平衡位置或左、右最大位移处，若开始计时不是选择在这些位置，则结果就显而易见是不成立的．
在这里就水平弹簧振子和竖直弹簧在作简谐运动过程中应用其特征谈一谈解题技巧，把复杂的问题变简单化，从而消除学生的一种碰到弹簧问题就无从入手的一种恐惧心理．
一、弹簧振子及解题方法
在判断弹簧振子的运动时间，运动速度及加速度等一些物理量时所取的起始位置很重要，在解题方法上除了应用其规律和周期性外，运用图象法解，会使问题更简单化．
例 1 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法
是………………………………………（ ）
A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍
B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于
2T 的整数倍
C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等
D ．若Δt ＝2
T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹簧的长度一定相等 解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置．
对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错．
对于B 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处运动速度大小相等，方向相反，但经过的时间不是2
T ，可见选项B 错． 由于振子的运动具有周期性，显然加速度也是如此，选
项C 正确．
对于选项D ，振子由B 经过O 运动到C 时，经过的时间为2
T ，但在B 、C 两处弹簧长度不等，选项D 错．正确答案选C ．
解法二：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解．如图2所示，图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可见，A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 点与B 、F 等点对应的时刻差不为T 或T 的整数倍，因此选项A 不正确．用同样的方法很容易判断出选项B 、D 也不正确．故只有选项C 正确．
说明：比较两时刻的振动情况或根据两时刻的振动情况确定两时刻间的时间间隔跟周期的关系时，借助振动图象可以较方便而准确地作出判断．
B O
D C 图1 A 图2 B
E
F I t C D
G
H O
s
二、利用弹簧振子作简谐运动过程中的位移、能量变化特征来巧解题
例2 物体A 与滑块B 一起在光滑水平面上做简谐振动，如图所示，A 、B 之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数k ，A 、B 的质量分别m 和M ，则A 、
B （看成一个振子）的回复力由 提供，回复力跟位移的比
为 ，物体A 的回复力由 提供，其回复力跟位移的比
为 ，若A 、B 之间的静摩擦因数为μ，则A 、B 间无相对滑动的最大振幅为 ．
解析：因水平面光滑，平衡位置在弹簧原长处．
（A ＋B ）作为整体，水平方向只受弹簧弹力，故Kx F -=，由牛顿第二定律得：a m M F )(+=，x m
M k a +-=． 对于A 物体，水平方向只受B 对A 的静摩擦力F f ，故F f 即为A 的回复力．由于A 、B 间无相对滑动，所以任何时候A 与B 的位移x 和加速度a 都相同，故有kx F -=和x m M mk ma F f +-
==，k m M m K +=．当mg F F f f μ=→max 时，m a x x x →，k
g m M x )(max +=μ． 例3 （2004年石家庄市试题）如图所示，一轻弹簧的左端固定在竖直墙上，右端与质量为M 的滑块相连，组成弹簧振子，在光滑的水平面上做简谐运
动．当滑块运动到右侧最大位移处时，在滑块上轻轻放上一木块组
成新振子，继续做简谐运动．新振子的运动过程与原振子的运动过
程相比……………………………………………（ ）
A ．新振子的最大速度比原振子的最大速度小
B ．新振子的最大动能比原振子的最大动能小
C ．新振子的振动周期比原振子的振动周期大
D ．新振子的振幅比原振子的振幅小
解析：滑块振动到最大位移处加放木块，相当于增大滑块质量后从最大位移处由静止释放，振动过程中总能量不变，振动过程中仍能恰好到达该位置，即振幅不变，振子的最大弹性势能不变．由简谐运动中机械能守恒，故振子的最大动能不变，但最大速度变小（因振子质量变大了），可见选项A 对BD 错；又由周期随振子质量增大而增大，故知选项C 正确．
注：若改为“当滑块运动到平衡位置时，在滑块上轻轻放上一木块组成新振子”，那由于碰撞使总机械能减小． 例4 一根用绝缘材料制成的轻弹簧，劲度系数为k ，一端固定，另一端与质量为m 、 B A M
m
带正电荷、电量为q 的小球相连，静止在光滑绝缘水平面上，当施加水平向右的匀强电场E 后，（如图所示）小球开始做简谐运动，关于小球的运动有如下说法，正确的是 （填序号）．
①球的速度为零时，弹簧伸长qE /k ；
②球做简谐运动的振幅为qE /k ；
③运动过程中，小球的机械能守恒；
④运动过程中，小球动能改变量、弹性势能改变量、电势能改变量的代数和为零．
解析：由水平面光滑施加水平向右的匀强电场E ，而q 带正电，故平衡位置在原长右边，当qE ＝kx 0（设此时弹簧伸长x 0）时，k Eq x =
0此时球的速度最大，故①错．弹簧原长时速度为0，故振幅＝k
Eq x =0，②正确．由简谐运动的对称性可知，弹簧最大伸长量为2x 0，又由于电场力做功，所以机械能不守恒，③错．由动能定理k k k E E E W ?=-=12，电场弹簧W W W +=，故④正确．
例5 如图所示，在光滑的水平面上，有一绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程中当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此后……………（ ）
A ．振子的振幅将增大
B ．振子的振幅将减小
C ．振子的振幅将不变
D ．因不知电场强度的大小，所以不能确定振幅的变化
解析：未加电场时，振子的平衡位置在弹簧原长处，振子的振幅大小为释放处与弹簧原长处之间的距离．加电场后，振子平衡位置右移，振幅大小等于释放振子处与新的平衡位置间的距离，可见加电场后振子的振幅将增大，即选项A 对．
注：若改为“振动未过程中当弹簧伸长到最长时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场”展开讨论．
三、竖直弹簧振子作简谐运动过程中应用其特征巧妙解题，从而使复杂问题简单化 例6 （2005年海淀区试题）如图所示，轻弹簧下端固定在水平地面上，弹簧位于竖直方向，另一端静止于B 点．在B 点正上方A 处，有一质量为m 的物块，物块从静止开始自由下落．物块落在弹簧上，压缩弹簧，到达
A
B
C 点时，物块的速度为零．如果弹簧的形变始终未超过弹性限度，不计空气阻力，下列判断正确的是（ ）
A ．物块在
B 点时动能最大
B ．从A 经B 到
C ，再由C 经B 到A 的全过程中，物块的加速度的最大值大于g
C ．从A 经B 到C ，再由C 经B 到A 的全过程中，物块做简谐运动
D ．如果将物块从B 点静止释放，物块仍能到达C 点
解析：物块与弹簧接触后，在弹力等于重力之前仍向下做加速运动，故物块在B 点的速度、动能都未能达到最大，可见选项A 错；若将物块从B 处由静止释放，则此时加速度最大为g ，由振动的对称性知，物块下降到最低点时向上的加速度大小也为g ，今从A 处释放，到达B 时已具有一定的初速度，故所能下降的最低点肯定在由B 释放时所能达到的最低点之下，弹簧向上的弹力大于由B 处释放时的情况，此时的加速度大于g ，即选项B 正确，且也知D 错误；另外，由于物块在A 、B 间运动时受恒定的重力作用，不符合简谐运动的动力学特征kx F -=，故其振动不是简谐运动，可见选项C 错误．答案：B ．
例7 劲度系数为k 的轻质弹簧，下端挂一个质量为m 的小球，小球静止时距地面高为h ，用力向下拉小球，使小球与地面接触，而后从静止放开小球（弹簧始终在弹性限度以内），则…………………（ ）
A ．球在运动过程中距地面的最大高度为2h
B ．球在上升过程中弹性势能不断减小
C ．球距地面高度为h 时，速度最大
D ．球在运动过程中的最大加速度是kh/m
解析：首先证明其运动为简谐运动，由平衡时mg ＝kx 0（x 0为弹簧伸长量）和下拉h 后弹力)(01h x k F +-=，（取竖直向下为正）回复力mg F F +=1kh mg h x k -=++-=)(0，符合简谐运动条件，振幅为h x h x =-+00，由简谐运动的对称性可知，A 正确．球在上升过程中在弹簧恢复原长之前弹性势能减小，但在弹簧原长时若小球还有向上速度，小球将继续压缩弹簧，故B 只是一种可能，由于一开始为平衡位置，故C 正确，由max ma F =，故D 正确．
例8 如图所示，质量为m 的木块放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的m
最小压力是多大？要使物体在振动中不离开弹簧，振幅最大为A 的多少倍？
解析：平衡位置处：mg ＝kx 0（x 0为弹簧压缩量）最低点时弹力F ＝1.5mg ＝kx 1，振幅A ＝x 1－x 0＝k
mg 5.0，由简谐运动的对称性可知，最高点时弹簧压缩量为k
mg k mg k mg A x x 5.05.002=-=-=，物体在最高点时弹簧压缩最小，故对弹簧压力最小，所以最小压力为mg kx F 5.02min ==．
要使物体在振动过程中不离开弹簧，物体到最高点时对弹簧没有压力，即弹簧为原长处，故最大振幅为A k
mg x A 200==-='． 例9 如图所示，三角架质量为M ，沿其中轴线用两根轻弹簧拴一质量为m 的小球，原来三角架静止在水平面上．现使小球做上下振动，已知三角架对水平面的
压力最小为零，求：
（1）此时小球的瞬时加速度；
（2）若上、下两弹簧的劲度系数均为k ，则小球做简谐运动的振幅为多
少？
解析：（1）当小球上下振动过程中，三角架对水平面的压力最小为零，则此时上下两根弹簧对三角架的作用力大小为Mg ，方向向上，小球此时受弹簧的弹力大小为Mg ，方向向下，故小球所受合力为)g (M m +，方向向下，小球此时运动到上面最高点即位移大小等于振幅处．根据牛顿第二定律，小球的瞬时加速度的最大值为：m g m M a m )(+=
，加速度方向为竖直向下．
（2）小球由平衡位置上升至最高点时，上面的弹簧（相当于压缩x ）对小球会产生向下的弹力kx ，下面的弹簧（相当于伸长x ）会对小球产生向下的弹力kx ，两根弹簧对小球的作用力为2kx ，故k
Mg x 2=，小时平衡位置处，上面弹簧（相当于伸长x 0）对小球会产生向上的弹力kx 0，下面的弹kx 0簧（相当于压缩x 0）对小球会产生向上的弹力kx 0，2kx 0＝mg ，k
mg x 20=，故振幅k g m M x x A 2)(0+=+=． m M
阜阳市红旗中学 时其新 摘要：简谐运动问题是全国中学生物理竞赛考查的重点内容，本文对这类问题 的常见类型以及解决问题的思路作了比较详尽的阐述，希望对参加竞赛的同学有所裨益。 关键词：简谐运动 解题导引 简谐运动问题是历届全国中学生物理竞赛考查的重点内容之一。这类问题大体上可以分为三类：（1）判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期；（2）确定物体做简谐运动的振动方程；（3）确定物体在简谐运动过程中的时间、位移、速度、能量等。本文旨在就这几类问题求解的基本思路作些指导，希望对准备参赛的同学有所帮助。 1. 判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期 1.1 判断物体的运动是否是简谐运动的基本方法 简谐运动的基本判据： （1） 动力学判据：判断物体所受回复力是否满足 F= －kx 其中k ——回复力系数 （2） 运动学判据：判断物体运动的加速度是否满足 a= －ω2x 其中ω——简谐运动的圆频率 无论采用那种方法判断，其基本步骤都是：首先确定振动物体的平衡位置，然后令物体偏离平衡位置一段位移x ，再求物体所受的回复力或物体具有的加速度。进而，可确定回复 力系数k 或圆频率ω，从而由T=2πm k 或ω=T π2求出振动周期。 例1．如图1所示，一个质量为m 2的光滑滑轮由劲度系数为k 的轻弹簧吊 在天花板上，一根轻绳一端悬挂一个质量为m 1的重物，另一端竖直固定在地板上。试证明重物沿竖直方向的振动是简谐运动，并求其振动周期。 解析：设：系统平衡时弹簧的伸长量是x 0。则有 kx 0=2m 1g+m 2g （1） 当重物m 1向下偏离平衡位置x 时，滑轮m 2向下偏离平衡位置（x 0+ 2 x ），假设此时绳上的拉力是F ，m 1的加速度为a 1，m 2的加速度为a 2，则由牛顿第二定律得 对m 1： F －m 1g=m 1a 1 （2） 对m 2： k （x 0+ 2 x ）－2F －m 2g=m 2a 2 （3） 由位移关系有： a 1=2a 2 （4） 由以上各式可得 F=m 1g+ 2 11 4m m m +kx （5） m 1 m 2 k 图—1
简谐运动问题解题导引 阜阳市红旗中学时其新 摘要：简谐运动问题是全国中学生物理竞赛考查的重点内容，本文对这类问题的常见类型以及解决问题的思路作了比较详尽的阐述，希望对参加竞赛的同学有所裨益。 关键词：简谐运动解题导引 简谐运动问题是历届全国中学生物理竞赛考查的重点内容之一。这类问题大体上可以分 为三类：（1）判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期；（2）确定物体做简谐运动的振动方程；（3）确定物体在简谐运动过程中的时间、位移、速度、能量等。本文旨在就这几类问题求解的基本思路作些指导，希望对准备参赛的同学有所帮助。 1.判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期 1.1判断物体的运动是否是简谐运动的基本方法 简谐运动的基本判据： （1）动力学判据：判断物体所受回复力是否满足 F= — kx 其中k -------- 回复力系数 （2）运动学判据：判断物体运动的加速度是否满足 a= —3 2x 其中3――简谐运动的圆频率 无论采用那种方法判断，其基本步骤都是：首先确定振动物体的平衡位置，然后令物体 偏离平衡位置一段位移 x，再求物体所受的回复力或物体具有的加速度。进而，可确定回复力系数k 或圆频率3，从而由 T=2 n 'mm或3 = 2-求出振动周期。 例1.如图1所示，一个质量为 m2的光滑滑轮由劲度系数为 k的轻弹簧吊在天花板 上，一根轻绳一端悬挂一个质量为m1的重物，另一端竖直固定在地板 上。试证明重物沿竖直方向的振动是简谐运动，并求其振动周期。 解析：设：系统平衡时弹簧的伸长量是X。。则有 kx o=2m1g+m2g （1） 「十—X 当重物m1向下偏离平衡位置 x时，滑轮 m2向下偏离平衡位置（X0+—）， 2 假设此时绳上的拉力是 F，m1的加速度为a1，m2的加速度为a2,则由牛顿第二定律得对m1: F — m1g=m1a1 (2) 对m2：—2F — m2g=m2a2 (3) 由位移关系有：a1=2a2 (4) 由以上各式可得 m1 F=m1g+ kx 4m1 m2 (5) 图一1
简谐运动的对称性 在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性. 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。 下面我们分别从五个方面说明对称性在简谐运动中的应用: 一、运动时间的对称性 例1.如下图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O开始计时，经过3s质点第一次过M点；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是（） A. 8s B. 4s C. 14s D. s 3 10 【解析】设图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动， O→M运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，由运动时间的对称性知： s 16 T,s4 4 T = = 质点第三次经 过M点所需时间：△s 14 s2 s 16 s2 T t= - = - =，故C正确；若开始计时时刻质点从O点向左运动，O →a→O→M，运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，有： s 3 16 T,s4 4 T 2 T = = + ，质点第三次经过M 点所需时间： △ s 3 10 s2 s 3 16 s2 T t= - = - = ，故D正确，应选CD。 二、速度的对称性 例2.做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，运动过程中的最大速率为v，从某一时刻算起，在半个周 期内（） A. 弹力做的功一定为零 B. 弹力做的功可能是0到 2 mv 2 1 之间的某一值 C. 弹力的冲量一定为零 D. 弹力的冲量可能是0到2mv之间的某一值 【解析】由速度的对称性知，无论从什么时刻开始计时，振子半个周期后的速度与原来的速度大小 相等，方向相反。由动能定理知，半个周期内弹力做的功为零，A正确；半个周期内振子速度变化量的 最大值为2mv。由动量定理知，弹力的冲量为0到2mv之间的某一值，故D正确，应选AD。 三、位移的对称性 例3.一弹簧振子做简谐动动，周期为T，则下列说法中正确的是（）
有关弹簧问题中应用简谐运动特征的解题技巧 黄 菊 娣 （浙江省上虞市上虞中学 312300） 弹簧振子的运动具有周期性和对称性，因而很容易想到在振动过程中一些物理量的大小相等，方向相同，是周期性出现的；而经过半个周期后一些物理量则是大小相等，方向相反．但是上面想法的逆命题是否成立的条件是：①此弹簧振子的回复力和位移符合kx F -=（x 指离开平衡位置的位移） ；②选择开始计时的位置是振子的平衡位置或左、右最大位移处，若开始计时不是选择在这些位置，则结果就显而易见是不成立的． 在这里就水平弹簧振子和竖直弹簧在作简谐运动过程中应用其特征谈一谈解题技巧，把复杂的问题变简单化，从而消除学生的一种碰到弹簧问题就无从入手的一种恐惧心理． 一、弹簧振子及解题方法 在判断弹簧振子的运动时间，运动速度及加速度等一些物理量时所取的起始位置很重要，在解题方法上除了应用其规律和周期性外，运用图象法解，会使问题更简单化． 例1 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法是………………………………………（ ） A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍 B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于 2 T 的整数倍 C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等 D ．若Δt ＝2T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹 簧的长度一定相等 解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置． 对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相 同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错． 对于B 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处运动速度大小相等，方向相反，但经过的时间不是 2 T ，可见选项B 错． 由于振子的运动具有周期性，显然加速度也是如此，选项C 正确． 对于选项D ，振子由B 经过O 运动到C 时，经过的时间为 2 T ，但在B 、C 两处弹簧长度不等，选项D 错．正确答案选C ． 解法二：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解．如图2所示，图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可见，A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 点与B 、F 等点对应的时刻差不为T 或T 的整数倍，因此选项A 不正确．用同样的方法很容易判断出选项B 、D 也不正确．故只有选项C 正确． 图1
一、振动图像 1.一质点做简谐运动时，其振动图象如图。由图可知，在t 1和t 2 时刻，质点运动的（ ） A ．位移相同 B ．回复力相同 C ．速度相同 D ．加速度相同 2．质点在水平方向上做简谐运动。如图，是质点在内的振动图象，下列正确的是（ ） A ．再过1s ，该质点的位移为正的最大值 B ．再过2s ，该质点的瞬时速度为零 C ．再过3s ，该质点的加速度方向竖直向上 D ．再过4s ，该质点加速度最大 3．某振子做简谐运动的表达式为x ＝2sin(2πt ＋π 6 )cm 则该振子振动的振幅和周期为 ( ) A ．2cm 1s B ．2cm 2πs C ．1cm π 6 s D ．以上全错 4、如图示简谐振动图像，从t=开始再经过四分之一周期振动质点通过路程为（ ） A 、等于2 cm B 、小于2 cm C 、大于2 cm D 、条件不足，无法确定 4题 5题 6题 5、沿竖直方向上下振动的简谐运动的质点P 在0—4s 时间内的振动图像，正确的是（向上为正）（ ） A 、质点在t=1s 时刻速度方向向上 B 、质点在t=2s 时刻速度为零 C 、质点在t=3s 时刻加速度方向向下 D 、质点在t=4s 时刻回复力为零 1 2 3 4 5 x/cm t/s 1 2 4 -2
6、如图示简谐振动图像，可知在时刻t 1和时刻t 2物体运动的（ ） A 、位移相同 B 、回复力相同 C 、速度相同 D 、加速度相同 二、简谐运动的回复力和和周期 1.物体做机械振动的回复力（ ） A ．是区别于重力、弹力、摩擦力的另一种力 B ．必定是物体所受的合力 C ．可以是物体受力中的一个力 D ．可以是物体所受力中的一个力的分力 2．如图所示，对做简谐运动的弹簧振子m 的受力分析，正确的是( ) A ．重力、支持力、弹簧的弹力 B ．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 C ．重力、支持力、回复力、摩擦力 D ．重力、支持力、摩擦力 3．一根劲度系数为k 的轻弹簧，上端固定，下端接一质量为m 的物体，让其上下振动，物体偏离平衡位置的最大位移为A ，当物体运动到最高点时，其回复力大小为( ) A ．mg ＋k A B ．mg －Ka C ．kA D ．kA －mg 4．公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板．一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T .取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即t ＝0，其振动图象如图所示，则( ) A ．t ＝14T 时，货物对车厢底板的压力最大 B ．t ＝1 2T 时，货物对车厢底板的压力最小 C ．t ＝34T 时，货物对车厢底板的压力最大 D ．t ＝3 4T 时，货物对车厢底板的压力最小 5．弹簧振子的质量为，弹簧劲度系数为，在振子上放一质量为m 的木块，使两者一起振动，如图。木块的回复力是振子对木块的摩擦力，也满足，是弹簧的伸长（或压缩）量，那么为（ ） A ． B ． C ． D ． 6、一个弹簧振子，第一次被压缩x 后释放做自由振动，周期为T 1，第二次被压缩2x 后释放做自由振动，周期为T 2，则两次振动周期之比T 1∶T 2为 （ ） A ．1∶1 B ．1∶2 C ．2∶1 D ．1∶4
弹簧振子的简谐振动 弘毅学堂汪洲 2016300030016 实验目的： （1）测量弹簧振子的振动周期T。 （2）求弹簧的倔强系数k和有效质量 m 实验器材 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 实验原理： 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图2.2.4所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐运动。
设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--= 令 12k k = 则有 kx mx -= ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0ω= 且 10m m m =+
式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系 222T πω= == ② 在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 实验内容： （1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 （2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。 （3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。 取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。 （4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量 20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。 （5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。 （6）测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 （7）在天平上称出两弹簧的实际质量并与其有效质量进行比较。 数据处理： 1、用逐差法处理数据 由下列公式 221 104()T m m k π=+
对称性模型 由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中，应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中为对称法，利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快捷简便地解决问题。 对称法作为一种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考命题中都有所渗透和体现。从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。所以作为一种重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命题中必将有所体现。 在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性. 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等). 现将对称模型分为空间对称模型和时间对称模型 1、空间对称模型 例1：如图1所示：在离地高度是h，离竖直光滑的墙是 s处，有一个弹性小 1 球以初速度 v正对着墙水平抛出，与墙发生弹性碰撞后落到地面上，求小球落地 点与墙的距离。 【解析】：小球与墙的碰撞是弹性碰撞，碰撞前后 的动量对于墙面的的法线是对称的。如墙的另一面同一高 度有一个弹性小球以相同的速度与墙碰撞，由于对称性， 它的轨迹与小球的实际轨迹是对称的。因此碰前的轨迹与碰
简谐运动的对称性 It was last revised on January 2, 2021
简谐运动的对称性在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性. 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。 下面我们分别从五个方面说明对称性在简谐运动中的应用: 一、运动时间的对称性 例1.如下图所示，一个质点在平衡位置O 点附近做简谐运动，若从O开始计时，经过3s 质点第一次过M点；再继续运动，又经过2s 它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是（） A. 8s B. 4s C. 14s D. s 3 10 【解析】设图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动，O→M运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，由运动时间的对称性知： s 16 T,s4 4 T = = 质点第三次经过M点所需时间：△s 14 s2 s 16 s2 T t= - = - =，故C正确；若开始计时时刻质点从O点向左运动，O →a→O→M，运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，有： s 3 16 T,s4 4 T 2 T = = + ，质点第三次经过M点所需时间： △ s 3 10 s2 s 3 16 s2 T t= - = - = ，故D正确，应选CD。 二、速度的对称性 例2.做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，运动过程中的最大速率为v，从某一时刻算起，在半个周期内（） A. 弹力做的功一定为零
简谐运动与弹簧问题 你需要知道并且熟记在心的几个点： 时间的对称性 加速度的对称性 合外力的对称性 速度对称性 能量对称性 1. 巧用时间的对称性 例1. 如图1所示，一质点在平衡位置O点两侧做简谐运动，在它从平衡位置O出发向最大位移A处运动过程中经0.15s第一次通过M点，再经0.1s第2次通过M点。则此后还要经多长时间第3次通过M点，该质点振动的频率为多大？ 图1 解析：由于质点从M→A和从A→M的时间是对称的，结合题设条件可知M→A所需时间为0.05s，所以质点从平衡位置O→A的时间为 ，又因为，所以质点的振动周期为T＝ 0.8s，频率。 根据时间的对称性可知M→O与O→M所需时间相等为0.15s，所以质点第3次通过M点所需时间为 2. 巧用加速度的对称性 例2. 如图2所示，小球从竖直立在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，全过程中弹簧为弹性形变。试比较弹簧压缩到最大时的加速度a和重力加速度g 的大小。
图2 解析：小球和弹簧接触后做简谐运动，如图2所示，点B为弹簧为原长时端点的位置。小球的重力与弹簧的弹力的大小相等的位置O为平衡位置。点A为弹簧被压缩至最低点的位置（也就是小球做简谐振动的最大位移处），点A”为与A对称的位移（也是最大位移处）。由对称性可知，小球在点A和点A”的加速度的大小相等，设为a，小球在点B的加速度为g，由图点B在点A”和点O之间，所以。 例3. 如图3所示，质量为m的物体放在质量为M的平台上，随平台在竖直方向上做简谐运动，振幅为A，运动到最高点时，物体m对平台的压力恰好为零，当m运动到最低点时，求m的加速度。 图3 解析：我们容易证明，物体m在竖直平面内做简谐运动，由小球运动到最高点时对M的压力为零，即知道物体m在运动到最高点时的加速度为g，由简谐运动的对称性知道，物体m运动到最低点时的加速度和最高点的加速度大小相等，方向相反，故小球运动到最低点时的加速度大小为g，方向竖直向上。 例4. 如图4所示，轻弹簧（劲度系数为k）的下端固定在地面上，其上端和一质量为M的木板B相连接，在木板B上又放有一个质量为m的物块P。当系统上下振动时，欲使P、B 始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？ 图4 解析：从简谐运动的角度看，木板B和物块P的总重力与弹簧弹力的合力充当回复力，即 ；从简单连接体的角度看，系统受到的合外力产生了系统的加速度a，即 ，由以上两式可解为。当P和B在平衡位置下方时，系统处于超重状态，P不可能和B分离，因此P和B分离的位置一定在上方最大位移处，且P和 B一起运动的最大加速度。由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为
物理弹簧问题分析的思维起点 东北师范大学附属中学卫青山尹雄杰 由于弹簧与其相连接的物体构成的系统的运动状态具有很强的综合性和隐蔽性；由于弹簧与其相连接的物体相互作用时涉及到的物理概念和物理规律较多，因而多年来，弹簧试题深受高考命题专家们物理教师的青睐，在物理高考中弹簧问题频频出现已见怪不怪了。弹簧问题不仅能考查学生分析物理过程，理清物理思路，建立物理图景的能力，而且对考查学生知识综合能力和知识迁移能力，培养学生物理思维品质和挖掘学生学习潜能也具有积极意义。因此，弹簧问题也就成为高考命题专家每年命题的重点、难点和热点。 与弹簧相连接的物理问题表现的形式固然很多，但总是有规律可循，有方法可依，存在基于弹簧特性分析问题的思维起点。 一、以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的思维起点 弹簧和物体相互作用时，致使弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循胡克定律，即或。显然，弹簧的长度发生变化的时候，胡克定律首先成了弹簧问题分析的思维起点。 例1 劲度系数为k的弹簧悬挂在天花板的O点，下端挂一质量为m的物体，用托盘托着，使弹簧位于原长位置，然后使其以加速度a由静止开始匀加速下降，求物体匀加速下降的时间。 解析物体下降的位移就是弹簧的形变长度，弹力越来越大，因而托盘施加的向上的压力越来越小，且匀加速运动到压力为零。由匀变速直线运动公式及牛顿定律得： ① ② ③
解以上三式得：。 显然，能否分析出弹力依据胡克定律随着物体的下降变得越来越大，同时托盘的压力越来越小直至为零成了解题的关键。 二、以弹簧的伸缩性质为分析问题的思维起点 弹簧能承受拉伸的力，也能承受压缩的力。在分析有关弹簧问题时，分析弹簧承受的是拉力还是压力成了弹簧问题分析的思维起点。 例2如图1所示，小圆环重固定的大环半径为R，轻弹簧原长为L（L<2R），其劲度系数为k，接触光滑，求小环静止时。弹簧与竖直方向的夹角。 解析以小圆环为研究对象，小圆环受竖直向下的重力G、大环施加的弹力N和弹簧的弹力F。若弹簧处于压缩状态，小球受到斜向下的弹力，则N的方向无论是指向大环的圆心还是背向大环的圆心，小环都不能平衡。因此，弹簧对小环的弹力F一定斜向上，大环施加的弹力刀必须背向圆心，受力情况如图2所示。根据几何知识，“同弧所对的圆心角是圆周角的二倍”，即弹簧拉力N的作用线在重力mg和大环弹力N的角分线上。所以
专题：简谐运动的多解性和对称性 教学目标： 1．加深对简谐运动周期性和对称性的理解。 2．能运用周期性和对称性分析和解决简谐运动的有关问题。 教学重点和难点：周期性和对称性的应用。 教学方法：分析、讨论和总结。 教学过程 一、简谐运动的多解性和对称性 1．简谐运动的多解性：做简谐运动的质点，在运动方向上是一个变加速运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同。它是一个周期性的运动，若运动的时间是周期或半周期的整数倍，则质点运动的路程是唯一的，若不具备以上条件，则质点运动的路程是多解的。 2．简谐运动的对称性：做简谐运动的质点，在距平衡位置等距离的两点上时，具有大小相等的速度和加速度，由这两点运动到平衡位置或最大位移处的时间相等。 二、课堂讨论 【例1】一个做简谐运动的质点在平衡位置O 点附近振动，当质点从O 点向某一侧运动时，经3s 第一次过P 点，再向前运动，又经2s 第二次过P 点，则该质点再经 s 的时间第三次过P 点。（14s 或s 3 10） 【例2】一质点做简谐运动，从平衡位置开始计时，经过0.5s 在位移最大处发现该质点，则此简谐运动的周期可能是（AB ） A.2s B. s 32 C.s 21 D.s 4 1 解：若质点先向发现点运动，则，t=T n )41(+，且n=0、1、2、3…… 由上式可知答案A 正确； 若质点先向背离发现点运动，则，t=T n )4 3(+，且n=0、1、2、3…… 由上式可知答案B 正确。 【例3】一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，下述正确的是（C ） A.若t 时刻和(t+△t)振子运动位移的大小相等，方向相反，则△t 一定等于T 的整数倍。 B.若t 时刻和(t+△t)振子运动速度大小相等，方向相反，则△t 一定等于 2T 的整数倍。 C.若△t=T,则在t 时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度一定相等。 D.若△t ＝2 T ,则在t 时刻和(t+△t)时刻弹簧长度一定相等。 【例4】如图所示，质量为m 的木块放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动。当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的最小弹力是多大？要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过多大？ F max －mg ＝ma ，因为F max ＝1.5mg ，所以a ＝0.5g 当木块运动到最高点时，对弹簧弹力最小，此时由牛顿第二定律得： mg －F min ＝ma ，由运动的对称性知，最高点与最低点的加速度大小相等，即 a ＝0.5g ，代入求得F min ＝mg/2
对称性在振动和波问题中的运用 对称性是简谐振动和简谐波的重要特性，而在处理实际问题时，这一特性往往会被它们的另一重要特性──周期性所冲淡，不被学生重视，以至于对一些考查对称性方面的问题，学生感觉很棘手。事实上对称性、周期性是反映振动和波本质的两大特性，两者相辅相成，相得益彰。对称性在简谐运动和简谐波中普遍存在，描述质点振动的一切表征量如回复力、加速度、速度、时间、能量等都具有对称性。下面列举几例来说明一下对称性在具体问题中的应用。 一、对称性在简谐振动中的应用 例1一弹簧振子做简谐运动，周期为，则（） A．若时刻和时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则一定等于的整数倍 D．若时刻和时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则一定等于的整数倍 C．若，则在时刻和时刻弹簧的长度一定相等 D．若，则在时刻和时刻振子运动的加速度一定相同 分析：此题是简谐运动中对称性运用的一个典型范例。分析过程中务必注意不能将考察点放在特殊位置，即平衡位置或端点处。 由过程的对称性可知，振子相邻两次经过同一点时，运动的速度大小相等、方向相反。如图可得A错。 或 如图，两位置关于平衡位置对称，振子运动的位移的大小相等、方向相反，可知B错。 同上图，前后弹簧可以分别处于压缩状态和伸长状态，弹簧实际长度并不相等。因此c错。 前后，振子恰好完成一次全振动，即t时刻和（t－△t）时刻振子的振动状态完全相同，所以D正确。解：选项正确。 说明：选择一般位置作为考察点，利用排除法进行分析，是处理此类振动问题的常用手段和方法。 例2如图所示，两木块的质量分别为、，中间弹簧的劲度系数为，弹簧下端与连接， 与弹簧不连接，现将下压一段距离后释放，它就上下做简谐运动，振动过程中始终没有离开弹簧，试求：
气轨上弹簧振子的简谐振动 目的要求： （1）用实验方法考察弹簧振子的振动周期与系统参量的关系并测定弹簧的劲度系数和有效质量。 （2）观测简谐振动的运动学特征。 （3）测量简谐振动的机械能。 仪器用具： 气轨（自带米尺，2m,1mm），弹簧两个，滑块，骑码，挡光刀片，光电计时器，电子天平（0.01g），游标卡尺（0.05mm），螺丝刀。 实验原理： （一）弹簧振子的简谐运动过程: 质量为m1的质点由两个弹簧与连接，弹簧的劲度系数分别 为k1和k2，如下图所示： 当m1偏离平衡位置x时，所受到的弹簧力合力为 令 k=，并用牛顿第二定律写出方程 解得 X=Asin() 即其作简谐运动，其中 在上式中，是振动系统的固有角频率，是由系统本身决定的。m=m 1+m0是振动系统的有效质量，m 0是弹簧的有效质量，A是振幅，是初相位，A和由起始条件决定。系统的振动周期为
通过改变测量相应的T，考察T 和的关系，最小二乘法线性拟合求出k 和 （二）简谐振动的运动学特征: 将（）对t 求微分 ） 可见振子的运动速度v 的变化关系也是一个简谐运动，角频率为，振幅为，而且v 的相位比x 超前 .消去t，得 v2=ω02(A2?x2) x=A时，v=0，x=0 时，v 的数值最大，即 实验中测量x和v 随时间的变化规律及x和v 之间的相位关系。 从上述关系可得 （三）简谐振动的机械能: 振动动能为 系统的弹性势能为 则系统的机械能 式中：k 和A均不随时间变化。上式说明机械能守恒，本实验通过测定不同位 置x上m 1的运动速度v，从而求得和，观测它们之间的相互转换并验证机 械能守恒定律。 （四）实验装置： 1.气轨设备及速度测量 实验室所用气轨由一根约2m 长的三角形铝材做成，气轨的一端堵死，另 一端送入压缩空气，气轨的两个方向上侧面各钻有两排小孔，空气从小孔喷出。把用合金铝做成的滑块放在气轨的两个喷气侧面上，滑块的内表面经过精加工
简谐运动的对称性问题 简谐运动的四个二 两种特性对称性和周期性 两类图像 运动示意图和简谐运动图像两组物理量 位移力加速度势能 速度动能， 两个定律牛顿第二定律和能量守恒定律 1. 用运动示意图和简谐运动图像分析运动学量的对称性和周期性 例题1. 如图1所示，一质点在平衡位置O 点两侧做简谐运动，在它从平衡位置O 出发向最大位移A 处运动过程中经0.15s 第一次通过M 点，再经0.1s 第2次通过M 点。则此后还要经多长时间第3次通过M 点，该质点振动的频率为多大？ 图1 解析：由于质点从M →A 和从A →M 的时间是对称的，结合题设条件可知M →A 所需时间为0.05s ，所以质点从平衡位置O →A 的时间为 ，又因为 ，所以质点的振动周期为T ＝ 0.8s ，频率。 根据时间的对称性可知M →O 与O →M 所需时间相等为0.15s ，所以质点第3次通过M 点所需时间为 例题2. 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法是…（ ） A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍 B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于2T 的整数倍 C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等 D ．若Δt ＝2 T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹簧的长度一定相等 解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置． 对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错．
弹簧问题归类 一、“轻弹簧”类问题 在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型.由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧，其两端所受张力一定平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大.故轻弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力.弹簧一端受力为F ，另一端受力一定也为F ,若是弹簧秤，则弹簧秤示数为F . 【例1】如图3-7-1所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m 不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加弹簧上水平方向的力1F 和称外壳上的力2F ，且12F F >，则弹簧秤沿水平方向的加速度为 ，弹簧秤的读数为 . 【解析】 以整个弹簧秤为研究对象，利用牛顿运动定律得： 12F F ma -=，即12 F F a m -= ,仅以轻质弹簧为研究对象，则弹簧两端的受力都1F ，所以弹簧秤的读数为1F .说明:2F 作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧提供的.【答案】12 F F a m -= 1F 二、质量不可忽略的弹簧 【例2】如图3-7-2所示，一质量为M 、长为L 的均质弹簧平放在光滑的水平面,在弹簧右端施加一水平力F 使弹簧向右做加速运动.试分析弹簧上各部分的受力情况. 【解析】 弹簧在水平力作用下向右加速运动，据牛顿第二定律得其加速度F a M =, 取弹簧左部任意长度x 为研究对象，设其质量为m 得弹簧上的弹力为：,x x F x T ma M F L M L ===【答案】x x T F L = 三、弹簧的弹力不能突变(弹簧弹力瞬时)问题 弹簧(尤其是软质弹簧)弹力与弹簧的形变量有关，由于弹簧两端一般与物体连接，因弹簧形变过程需要一段时间，其长度变化不能在瞬间完成，因此弹簧的弹力不能在瞬间发生突变. 即可以认为弹力大小和方向不变，与弹簧相比较，轻绳和轻杆的弹力可以突变. 【例3】如图3-7-3所示，木块A 与B 用轻弹簧相连，竖直放在木块C 上，三者静置于地面，A B C 、、的质量之比是1:2:3.设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C 的瞬时，木块A 和B 的加速度分别是A a = 与B a = 【解析】由题意可设A B C 、、的质量分别为23m m m 、、， 以木块A 为研究对象，抽出木块C 前，木块A 受到重力和弹力一对平衡力，抽出木块C 的瞬时，木块A 受到重力和弹力的大小和方向均不变，故 木块A 的瞬时加速度为0.以木块A B 、为研究对象，由平衡条件可知，木块C 对木块B 的作用力 3CB F mg =.以木块B 为研究对象，木块B 受到重力、弹力和CB F 三力平衡，抽出木块C 的瞬时，木块B 受到重力和弹力的大小和方向均不变，CB F 瞬时变为0，故木块B 的瞬时合外力为3mg ,竖直向下，瞬时加速度为1.5g . 【答案】0 ,1.5g. 说明：区别于不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变. 【例4】如图3-7-4所示，质量为m 的小球用水平弹簧连接，并用倾角为0 30的光滑木板AB 托住，使小球恰好处于静止状态.当AB 突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为 ( ) A.0 B.大小为23 3 g ，方向竖直向下 C.大小为 233g ，方向垂直于木板向下 D. 大小为23 3 g , 方向水平向右 【解析】 末撤离木板前，小球受重力G 、弹簧拉力F 、木板支持力N F 作用而平衡，如图3-7-5所 示，有cos N mg F θ = .撤离木板的瞬间，重力G 和弹力F 保持不变(弹簧弹力不能突变)，而木板支持力N F 立即消失,小球所受 G 和F 的合力大小等于撤之前的N F (三力平衡)，方向与N F 相反，故加速度方向 为垂直木板向下，大小为23 cos 3 N F g a g m θ= == 【答案】 C. 四、弹簧长度的变化问题 设劲度系数为k 的弹簧受到的压力为1F -时压缩量为1x -，弹簧受到的拉力为2F 时伸长量为2x ，此时的“-”号表示弹簧被压缩.若弹簧受力由压力1F -变为拉力2F ，弹簧长度将由压缩量1x -变为伸长量2x ，长度增加量为12x x +.由胡克定律有: 11()F k x -=-,22F kx =.则:2121()()F F kx kx --=--,即F k x ?=? 说明:弹簧受力的变化与弹簧长度的变化也同样遵循胡克定律，此时x ? 表示的物理意义是弹簧长度的改变量，并 图 3-7-4 图 3-7-5 图 3-7-2 图 3-7-1 图 3-7-3
简谐运动的综合问题 1.如图6所示为一个竖直放置的弹簧振子，物体沿竖直方向在A 、B 之间做简谐运动，O 点为平衡位置，A 点位置恰好为弹簧的原长．物体由C 点运动到D 点(C 、D 两点未在图上标出)的过程中，弹簧的弹性势能增加了3.0 J ，重力势能减少了 2.0 J ．对于这段过程说法正确的是( ) 图6 A ．物体的动能增加1.0 J B ． C 点的位置可能在平衡位置以上 C ． D 点的位置可能在平衡位置以上 D ．物体经过D 点的运动方向可能指向平衡位置 答案 BD 2.一质点做简谐运动，其位移与时间的关系如图7所示． 图7 (1)求t ＝0.25×10－ 2 s 时质点的位移； (2)在t ＝1.5×10－2 s 到t ＝2×10－2 s 的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？ (3)在t ＝0到t ＝8.5×10－2 s 时间内，质点的路程、位移各多大？ 答案 (1)－ 2 cm (2)变大 变大 变小 变小 变大 (3)34 cm 2 cm 解析 (1)由题图可知A ＝2 cm ，T ＝2×10－2 s ，振动方程为x ＝A sin (ωt －π2 )＝－A cos ωt ＝－2cos (2π2×10－2 t ) cm ＝－2cos 100πt cm 当t ＝0.25×10－2 s 时，x ＝－2cos π4 cm ＝－ 2 cm.
(2)由题图可知在t ＝1.5×10－2 s 到t ＝2×10－ 2 s 的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大． (3)在t ＝0到t ＝8.5×10－2 s 时间内经历174个周期，质点的路程为s ＝17A ＝34 cm ，位移为2 cm.
第1页 共3页 竖 直 方 向 的 简 谐 振 动 一、模型介绍 如图1（a ）所示，把一根弹簧上端固定，下端系一个物体静止，然后再把物体向下拉一段距离后松手，物体将在竖直方向振动，若不计弹簧的质量及空气阻力，则此物体的运动是简谐振动（同学们可结合简谐振动的动力学特点F 回＝-kx 加以证明），简谐振动的各种规律、特点对其都适用，但和教材中的弹簧振子模型相比较，竖直方向的简谐振动的平衡位置并不是弹簧的原长位置，而是弹力和振子重力相等的位置，在利用简谐振动的对称性解题时应格外注意！ 图1（b ）所示的情境中，若物体和弹簧是固定在一起的，则效果与图1相同；若物体和弹簧不是固定在一起的，则当振幅/A mg k 时，效果与图1相同，当振幅/A mg k 时，物体在高度较大的部分要脱离弹簧，而接触弹簧的运动过程为简谐振动的一部分，对此也应引起注意！ 熟悉竖直方向简谐振动模型的特点和规律并加以灵活应用、拓展、迁移，会给我们的解题带来极大的方便，下面举例说明。 二、典型例题 如图2所示，质量为M 的框架置于水平地面上，在其顶部通 过一个轻弹簧悬挂一个盘，盘内有一砝码，砝码与盘质量皆为m ， 该装置静止稳定时，若将盘中砝码突然取走，盘将开始向上运动， 则砝码盘运动到最高点时，框架对地面压力大小是多少？ 〖解析〗 盘内砝码被取走后，盘与轻弹簧所组成的弹簧振子 将开始做简谐运动．在取走砝码的瞬间，盘所受合外力即回复力 方向向上，大小为mg ，由简谐运动的回复力大小和方向关于平衡位置的对称性可知，当盘运动到最高点时，它所受到的回复力也 应为mg ，正好等于重力，所以此时弹簧形变为零，无弹力，显然 此时框架对地面压力为M g ． 〖点拨〗 简谐运动的对称性不只是关于平衡位置对称的两点处的回复力，还有加速度、位移、动能、势能，另外还有通过对称的两段长度用的时间也相等．这些对称性，在解答问题时会用到，要熟练掌握． 三、思维推展 （1）题设条件下，为了使框架不离开地面，所放砝码的质量应满足什么条件？ 〖解析〗 设所放砝码的质量为m 0时，盘运动到最高点M 恰要离开地面，同样根据振动最高点和最低点回复力的对称性可知，盘在最高点的回复力为m 0g 。 图 2 （a ） （b ） 图1
巧用简谐运动中的对称性解题 陶成龙 做简谐运动的物体其运动具有对称性，因此描述简谐运动的一些物理量也具有对称性，若能灵活运用这一点来解决简谐运动问题，常能收到出奇制胜的效果。下面举例说明，以供同学们参考。 1. 巧用时间的对称性 例1. 如图1所示，一质点在平衡位置O点两侧做简谐运动，在它从平衡位置O出发向最大位移A处运动过程中经0.15s第一次通过M点，再经0.1s第2次通过M点。则此后还要经多长时间第3次通过M点，该质点振动的频率为多大？ 图1 解析：由于质点从M→A和从A→M的时间是对称的，结合题设条件可知M→A所需时间为0.05s，所以质点从平衡位置O→A的时间为 ，又因为，所以质点的振动周期为T＝ 0.8s，频率。 根据时间的对称性可知M→O与O→M所需时间相等为0.15s，所以质点第3次通过M点所需时间为 2. 巧用加速度的对称性 例2. 如图2所示，小球从竖直立在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，全过程中弹簧为弹性形变。试比较弹簧压缩到最大时的加速度a和重力加速度g 的大小。 图2 解析：小球和弹簧接触后做简谐运动，如图2所示，点B为弹簧为原长时端点的位置。小球的重力与弹簧的弹力的大小相等的位置O为平衡位置。点A为弹簧被压缩至最低点的位置（也
就是小球做简谐振动的最大位移处），点A”为与A对称的位移（也是最大位移处）。由对称性可知，小球在点A和点A”的加速度的大小相等，设为a，小球在点B的加速度为g， 由图点B在点A”和点O之间，所以。 例3. 如图3所示，质量为m的物体放在质量为M的平台上，随平台在竖直方向上做简谐运动，振幅为A，运动到最高点时，物体m对平台的压力恰好为零，当m运动到最低点时，求m的加速度。 图3 解析：我们容易证明，物体m在竖直平面内做简谐运动，由小球运动到最高点时对M的压力为零，即知道物体m在运动到最高点时的加速度为g，由简谐运动的对称性知道，物体m运动到最低点时的加速度和最高点的加速度大小相等，方向相反，故小球运动到最低点时的加速度大小为g，方向竖直向上。 例4. 如图4所示，轻弹簧（劲度系数为k）的下端固定在地面上，其上端和一质量为M的木板B相连接，在木板B上又放有一个质量为m的物块P。当系统上下振动时，欲使P、B 始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？ 图4 解析：从简谐运动的角度看，木板B和物块P的总重力与弹簧弹力的合力充当回复力，即 ；从简单连接体的角度看，系统受到的合外力产生了系统的加速度a，即 ，由以上两式可解为。当P和B在平衡位置下方时，系统处于超重状态，P不可能和B分离，因此P和B分离的位置一定在上方最大位移处，且P和 B一起运动的最大加速度。由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为 ，所以轻弹簧的最大压缩量应满足关系式，即得 。 3. 巧用速度的对称性 例5. 如图5所示是一水平弹簧振子在5s内的振动图象。从图象中分析，在给定的时间内，以0.5s为起点的哪段时间内，弹力所做的功为零。