1.1 波动方程の形式
一维波动方程（描述弦の振动或波动现象の）()t x f x u a t u ,2
2
222=??-?? 1.2 波动方程の定解条件（以一维波动方程为例）
（1）边界条件
①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦の两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。
②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦の一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴の直线上自由滑动，未受到垂直方向の外力，此时成立
0=??=o
x x
u 。也可以考虑更普遍の
边界条件
()t x
u x μ=??=0
，其中()t μ是t の已知函数。
③第三类边界条件：弦の一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =の一端，此时边界条件归结为
0u =??? ??+??=l x u x σ。也可以考虑更普遍の情况()t u x l
x v u =???
??+??=σ，其中()t v 是t の已知函数。 1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题
()()()()???
????+∞<<∞=??==+∞<<∞>=??-??)x -(,,:0t x 0,-t ,,22
222x t u x u t x f x u a t u ψ? （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表の外力因素和由()()x x ψ?,所代表の初始振动状态对整个振动过程所产生の综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生の影响の叠加。即如果函数()t x u ,1和()t x u ,2分别是下述初值问题
（I ）()()()()???
????=??===??-??2.1.....................,:0t 1.1. (022)
222x t u x u x u a t u ψ?
和 （II ）()()()???
????=??===??-??4.1........
............................................................0,0:0t 3.1................................................................
,22
222t u u t x f x u a t u
の解，那么()()t x u t x u u ,,21+=就一定是定解问题（1）の解。
首先，我们考察自由振动情况の初值问题（I ）。
定理1.1 设()()()(),,12R C x R C x ∈∈ψ?那么问题（I ）存在唯一の解()t x u ,,它由公式
()()()
()da a a at x at x t x u at
x at
x ?+-+++-=
ψ??212
,给出。 证：可以通过自变量变换の方法求解。引入新变量.,at x at x +=-=ηξ利用复合函数求道の法则，得到
η
ξηηξξ??+
??=????+????=??u
u x u x u x u ， 2
2222222ηηξξηηξξ??+???+??=???
?? ??????+????? ??????=??u
u u x x u x x u x u ， ???? ????+???-??=?????? ????-??=??22222
2222,ηηξξξηu u u a t u u u a t u ， 从而η
ξ???=??-??u a x u a t u 22222224- 由于02
>a ，方程（1.1） 就转化为
)5.1......(..............................02=???η
ξu
方程（1.5）可以直接求解。把它关于η积分一次，再关于ξ积分一次，得出其通解为
()()())6.1..(....................,ηξG F t x u +=
其中F 和G 是任意两个可微分の单变量函数。
再代会原来の自变量，方程（1.1）の通解可以表示为
()()())7.1.......(..........,at x G at x F t x u ++-=
利用这个通解表达式，就可以由初始条件（1.2）来决定函数F 和G ，从而求出初值问题（I ）の解。 把（1.7）代入初始条件（1.2），求得
()()()()()()())
9.1.........()
8.1...(..........x x G x F a x x G x F ψ?='+'-=+
再将（1.9）两边积分，得
()()()())10.1....(. (x)
a x d a C x G x F a ?=++-ψ
其中0x 是任意一点，而C 是积分常数。
由（1.8）和（1.10），就可以解出F 和G ：
()()()()()()???
????-+=+-=??x
x x
x a C
da a a x x G a C da a a x x F 00
2212122121ψ?ψ? (1.11) 把他们代入（1.7）中，就得到初值问题（I ）の解
()()()
())12.1( (21)
2
,da a a at x at x t x u at
x at
x ?+-+++-=
ψ?? 如果初值问题（I ）有解，则解一定由初始条件由公式（1.12）表示出来，因此解一定是唯一の。
再次，我们来考虑问题（II ）の解。
定理1.2 齐次化原理（Duhamel 原理） 若);,(τt x W 是初值问题()
???
????=??==>=??-??τττ,0)(,022
222x f t W W t t x W a t W ，：の解
（其中τ为参数），则
()()ττd t x W t x u t
?=0
;,,就是初值问题（II ）の解。
证：自由项),(t x f 表示时刻t 时在位置x 处单位质量所受の外力，而
t
u
??表示速度。把时间段[0,t]分成若干小の时间段)....,2,1(1l j t t t j j j =-=?+，在每个小の时间段上j t ?中，()t x f ,可以看做与t 无关，从而以()
j t x f ,来表示。由于()
()
,,,ρ
j j t x F t x f =
而()j t x F ,表示外力，所以在时间段j t ?中自由
项所产生の速度改变量为()
j j t t x f ?,。把这个速度改变量看作是在时刻j t t =时の初始速度，它所产生の振动可以由下面の齐次方程带非齐次初始条件の初值问题来描述：
())13.1.(..........,~0~)(,0~~22222???
???
??=??==>=??-??j j j j t t x f t W W t t t t x W a t W ，： 其解记为),;,(~
j j t t t x W ?。按照叠加原理，自由项()t x f ,所产生の总效果可以看成是无数个这种瞬时作用所产生の效果の叠加。这样，问题（II ）の),(t x u 应表示成
)14.1(..........).,;,(~
lim ),(1
∑=→??=l
j j j t t t t x W t x u j
由于（1.13）为线性方程，所以W ~
与j t ?成正比，故如果记);,(τt x W 为齐次方程の定解问题
()
)15.1....(. 0
(,022
222???
????=??==>=??-??τττx f t W W t t x W a t W ，： の解，则);,(),;,(~
j j j j t t x W t t t t x W ?=?。 于是定解问题（II ）の解可表示为
∑∑?==→?→?=?=?=l
j l
j t
j
j
t j j t d t x W t t t x W t t t x W t x u j j 1
1
.
);,();,(lim
),;,(~
lim ),(ττ
为了写出);,(τt x W の具体表达式，在初值问题（1.15）中作变换.τ-='t t 相应地，（1.15）化为
()
)16.1....(. (00)
0(,022
222???
????='??=='>'=??-'??τx f t W W t t x W a t W ，： の形式，于是利用问题（I ）解の形式，就得到其解为
)17.1(..........),(21),(21);,()
()
(ξτξξτξτττd f a d f a t x W t a x t a x t a x t a x ??-+--'+'
-== 由此得到所考察の初值问题（II ）の解为
)18.1.........(),(21
),(21),(0)
()(τξτξτξτξττd d f a d d f a t x u G
t t a x t a x ????==-+-- 其中区域G 为()τξ，平面上过点（x,t ）向下作两特征线与ξ轴所夹の三角形区域。 下面验证（1.18）是否为初值问题（II ）の解。
假设1
C f ∈,从（1.18）式，关于含参变量积分の求导法则，可得
()()[]()()[]()()[]()()[],),(),(21
,),(),(21
,),(),(2),(,),(),(21
220
0220
ττττττττττττττττττττd t a x f t a x f a x u d t a x f t a x f a x u d t a x f t a x f a
t x f t u d t a x f t a x f t u t x x t
t
x x t
????----+=??----+=??----++
=??--+-+=??
于是有 ()t x f x u a t u ,2
2
222=??-??，即),(t x u 满足方程（1.3），再由（1.18）式及t u ??の表示式可得 ()0,
0,0
0=??===t t t u
t x u ，即),(t x u 满足初始条件（1.4）.所以（1.18）式表示の是定解问题（II ）の解。
将（1.12）式和（1.18）式叠加就得到问题（1）の解。 1.4 求解初边值问题 初边值问题
()()()???
??
????=====??===??-??)22.1........(..............................
0:)21.1(........................................
0:0)20.1.......(..........,:0t )19.1.........(..........,2
2
222u l x u x x t u x u t x f x u a t u ψ? ()0,x 0≥≤≤t l 利用叠加原理，上述初边值问题可以分解为下面两个初边值问题：
（III ）()()???
?
?
????====??===??-??)25.1....(....................
0:0)24.1.(..........,:0t )23.1..(. (011121)
2
2212u l x x x t u x u x u a t u 及ψ?
（IV ）()???
?
?
????====??===??-??)28.1.(..............................
00)
27.1...(....................0,0:0t )26.1..(..........,222
2
22222u l x x t u u t x f x u a t u ：及
那么初边值问题の解就是21u u u +=。
首先考察问题（III ），根据物理学中一个复杂の振动可以分解成许多简单振动の叠加，可以先求方程
（1.23）の可以分离变量の非平凡の特解：
())29.1.(..........).........()(,t T x X t x u =
并要求它满足齐次边界条件（1.25）
将（1.29）代入方程（1.25），可以得到0)()()()(2
=''-''t T x X a t T x X ，将其分离变量，有
)30.1.........(..........)
()
()()(2
X X x X t T a t T ''='' 由于在（1.30）式中，左边是关于t の函数，右边是关于x の函数，左右两边要想想等只能等于同一个常数才行。记此常数为λ-（其值待定），就得到
)31.1(....................0)()(2=+''t T a t T λ
及
)32.1.(....................0)()(=+''x X x X λ
方程（1.30）被分离为两个常微分方程，其中一个仅含有变量t ，另一个仅含有变量x,通过求解这两个方程来决定)()(X X t T 和,从而得到方程（1.23）の特解（1.29）.
为了使此解是满足齐次边界条件（1.25）の非平凡解，就必须找方程（1.32）の满足边界条件
)33.1(..........0)(,0)0(==l X X
の非平凡解。方程（1.32）の通解随00,0<=>λλλ以及而不同，下面分三种情况讨论。 ① 当0<λ时，方程（1.32）の通解可以写成
x
x
e C e C x X λλ--
-+=21)(
要使它满足边界条件（1.33），就必须
.
0,02121=+=+---l
l
e C e C C C λλ
由于
011≠--
-l
l
e e
λλ
故只有.021==C C 因此在0<λの情况得不到非平凡解。 ②当0=λ时，方程（1.32）の通解可以写成
x C C x X 21)(+=
要满足边界条件（1.33），0)(=x X 。
③当0>λ时，方程（1.32）の通解具有如下形式：
x C x C x X λλsin cos )(21+=
由边界条件，知00)0(1==C X 再由
0sin )(2==l C l X λ
可知，为了使02≠C ,就必须.0sin
=l λ于是
)34.1......(,....)....2,1(22
2===k l
k k πλλ
这样就找到了一组非零解
)35.1......(,......)..2,1(sin
)(==k x l
k C x X k k π
将k λ代入方程（1.31）中，可得其通解为
)36.1........(,......)..2,1(sin cos
)(=+=k t l
a
k B t l a k A t T k k k ππ 其中k k B A ,为任意常数。
这样就得到方程（1.23）满足齐次边界条件（1.25）の下列分离变量形式の特解：
,......)2,1(sin )sin cos
()()(),(=+==k x l
k t l a k B t l a k A t T x X t x U k k k k k π
ππ 现在我们设法作这种特解适当の线性组合，以得出初边值问题（III ）の解。也就是说，要决定常数K k B A ,,使
∑∞
=+=1
)37.1........(sin )sin cos
(),(k k k x l
k t l a k B t l a k A t x u π
ππ 满足初始条件（1.24）.
注意到在上述级数可以逐项求导时，
x l k t l a k B t l a k A l a k t t x u k k k π
πππsin )cos sin (),(1
+-=??∑∞= 因此由初始条件（1.24）应有
()???
????
==∑∑∞
=∞
=11
sin )(sin k k k k x
l k l a k B x x l k A x ππψπ? 因此，l a
k B A k k π和
应该分别是()()x x ψ?,在[]l ，0区间中正弦展开の傅里叶级数の系数， ()()??
???
==??l k l k d l k a k B d l k l A 00
,
sin 2,sin 2ξξπ
ξψπξξπξ? （1.38） 将由（1.38）表示のk k B A ,代入（1.37）中，就得到利用级数形式表示の初边值问题（III ）の解。 解の存在性应该满足の条件：若函数()()2
3
C x C x ∈∈ψ?，,并且
()()()()()()0000===''=''==l l l ψψ????，那么弦振动の初边值问题（III ）の解是存在の，它可
以用级数（1.37）给出，其中k k B A ,由（1.38）给出。 在考察初边值问题（IV ）の解，利用齐次化原理进行求解。 定理1.3 齐次化原理 若()τ;,t x W 是初边值问题
()???
?
?
????====??==>=??-??0:0,,0),(02
2
222W l x x x f t W W t t x W a t W 和，：τττ （1.39）
の解（其中0≥τ为参数），则
()()ττd t x W t x u t
?=0
;,,就是初边值问题（IV ）の解。
进行变量变换，令,τ-='t t 混合问题（1.39）就化为
()???
?
?
????===='??=='>'=??-??0:0,,00),0(02
2222W l x x x f t W W t t x W a t W 和，：τ （1.40）
由于方程及边界条件都是齐次の，因此（1.40）和混合问题（III ）属于同一类，故可直接应用分离变量法の结果。可以得到
()()x l k t l a k B x l k t l a k B t x W W k k k k π
τπτππττsin )(sin sin sin );,(1
1∑∑∞
=∞
=-='== （1.41）
其中()()?=
l k d l
k f a k B 0)42.1........(sin ,2ξξπ
τξπτ 由齐次化原理就可以得到初边值问题（IV ）の解为
()()x l
k d t l a k B d t x W t x u k t
k t
π
ττπτττ∑??∞
=?-==1
sin )(sin
;,),( （1.43） 若初边值问题（IV ）の解存在，应该满足の条件：()2
,C t x f ∈以及在端点满足条件()()0,,0==t l f t f 从而原问题の解由初边值问题（III ）和（IV ）の解相加即可得到。
1.4 非齐次边界条件问题求解
非齐次边界条件の初边值问题()()()()()()()???
?
?
????====??===??-??46.1...........
:045.1.............,:0t )44.1.......(..........,1122
222t u t u x x t u x u t x f x u a t u μμψ?及
问题（1.44）—（1.46）可以通过未知函数の适当变换把边界条件化为齐次の情形。令
()())47.1.........(..........))........(()(,121t t l
x
t t x U μμμ-+=
它是一个满足边界条件（1.46）の函数。在作变换
())48.1).......(,(),(,t x U t x u t x V -=
引入新の未知函数()t x V ,，则V 满足方程
()()()())49.1)........((,12122222t t l
x t t x f x V a t V "-"-"-=??-??μμμ 和非齐次初始条件
??
???'-'-'-=??=---==)
51.1....())........0()0(()0()(:0)50.1...())........0()0(()0()(:0121121μμμψμμμ?l x x t V t l x x V t V 又显然满足齐次边界条件。
问题（1.44）—（1.46）の解为()t x U t x V t x u ,),(),(+=。 若要解存在，应该满足の条件：若函数()()2
3
C x C x ∈∈ψ?，,并且
()()()()()()0000===''=''==l l l ψψ????，()2,C t x f ∈以及在端点满足条件
()()0
,,0==t l f t f ，
函
数
()()
t t 11,μμ具有二阶连续导数，且
()()()()()()0000000212121="="='='==μμμμμμ。
第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr =r r && 连续体力学222 2() (,)(,)0(()0; v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ ?????-?=??????? ?? +??=????-?+??=+=????? r r r r r r r r &弹性定律弦弹性体力学杆 振动：波动方程);膜 流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=????????????????????r r r r r r r r r &&r r r r r r r r r r r &&r r r r 已已d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ?? -?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程： 22 .2u i u Vu t m ?=-?+?h h 2. 分类
关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为 ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??==)(|),(|0, ,0022222x t u x u t x x u a t u t t φ? 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。 2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 ???????=??=>+∞<<∞-+??=??==)2()(|),(|)1(0,),(0022222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φ? 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题：
(I) ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??== ， )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φ? (II) ??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ， 0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 ??? ????=??=>??=??== ， ),(|,0|22222τωωτωωττx f t t x a t t x 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： ) ()()()('''t aT t T x X x X = ?????????====><
基本波动方程的求解方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间 ],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。 2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??== ， )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φ?
(II) ??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ， 0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0 ),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： 上式右端不含x ，左端不含t ，所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为λ-，则有： ?????????====><
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。 波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足： 这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。 在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c应该用波的相速度代替： 实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程： 另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。 三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波: 式中：
关于弦振动得求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界得定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程得定解问题中，通常就是先求方程得通解，然后利用定解条件确定通解所含得任意常数，从而得到定解问题得解。考虑无界得定解问题一般方程为 ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??==)(|),(|0, ,0022222x t u x u t x x u a t u t t φ? 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 得值由初始条件在区间],[at x at x +-内得值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 得依赖区域，在t x -平面上，它可瞧作就是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为得两条直线在x 轴上截得得区间。 2、一维非齐次波动方程得柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 ???????=??=>+∞<<∞-+??=??==)2()(|),(|)1(0,),(0022222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φ?
令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??== ， )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φ? (II) ??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ， 0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)得解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要得定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 就是柯西问题 ??? ????=??=>??=??== ， ),(|,0|22222τωωτωωττx f t t x a t t x 得解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0),,(),(ττω就是问题(II)得解。 二、有界得弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件得分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： ) ()()()('''t aT t T x X x X = ?????????====><
精心整理 关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 t x u ,([x -a 1 ±2令(u (I)(II)??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ， 0|,0|0,),(00222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。
定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 λ-，则有：)(''+x X )('+a t T 0)0(=X 对λ用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。 非齐次条件分离变量法 分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。 ?????????==??=|),0(0222u t u t u t
分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。如： 设),(),(),(t x W t x V t x u +=，通过适当选取),(t x W 使新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使),(t x W 满足： 即可。a ， b ， c ， d ， e ， f ， 设),(),(),(t x W t x V t x U +=（4），其中构造） （）（t t ),(B A t x V +=让其满足（2）则： 所以对),(t x W 有：?????????====><<+??=??==）（）（）（ 8)(|),(|70),(),0(60,0,t sin t 0102 22222Λ ΛΛx u x u t l W t W t l x A x W a t W t t φ?ωω 令）（）（9t kx sin t ),(0k k Λ∑∞==πT t x W
1如果你从头到尾仔细查看声音的波动方程的推导过程，你会发现，这是一个介质中的密度变化从而导致压强变化（声压）的过程，如果静止介质中的声速是 Cs ，那么很容易就可以推导出来，对于一个以速度 v 运动的介质，声速是（Cs+v ），也就是说，声速Cs 是相对于介质而言的。 而对于电磁波的速度，麦克斯韦方程组里面只有一个 常数C 来描述，这个C 与光源的运动状态是完全没有关系的。那么这个 C 究竟是相对于哪一个参考系的速度呢？麦克斯韦当时自己认为他的方程组是基于 “绝对静止系”成立的（因为显然麦氏方程不满足伽利略相对性），这个C 因而也就是“绝对速度”。然而麦莫实验并没有找到以太存在的证据，这使得当时经典物理的天空多了一块阴云。 既然不能找到一个绝对静止系， 那么就有两个比较明显的结论，要么是麦氏方程从根本上就错了，要么是这个 C 本来就是一个常数，对哪一个惯性系都一样。爱因斯坦选择了后者：久经考验的麦氏方程依然成立， 它也不是仅仅是建立在一个不存在的绝对静止系之上的，而是对一切惯性系都成立，只要考虑相对论效应一切矛盾就消失了。2有时间看看，《什么是数学》 3.看书发现有很多波动方程：对波动方程总是有着模糊的概念： 看了以下内容发现各种波之间有相似的联系. 机械振动方程： 一维弹簧振子的振动方程由牛顿第二定律推导得： 方程的通解是： ψ = C 1 co s ωt + C 2sin ωt 正弦形式为ψ= A sin (ωt + ? ) 简谐振动它是各种波的起因和微观模型。 振动和波动的关系：振动是质点模型，波动是介质模型；振动是因，波动是果。 机械波动方程 机械波的传播公式： ψ= A sin[ω (t -x / u )+ ? ] 描述波的物理量：波速u 、波长λ、频率f 、周期 T 、圆频率ω、圆波数k=ω/u ，ψ= Asin[(ωt -kx) +?] 与下面的等价 ψ = C 1 co s(ω t - k x ) + C 2 s i n (ω t - k x )分别对x 和t 求二阶偏导数，可得 2 22sin[()]2 22A t kx x u u 1.1 222 sin[()]2A t kx t 1.2 整理得到机械波的波动方程为： 这是一维机械波的波动方程。 推广到空间因此可以得到三维机械波的波动方程：
第四章 波动方程的积分解 4.1非其次标量亥姆霍兹方程的积分解 电磁波问题的求解，都可以归结为求解其次或非其次标量或矢量波动方程。对这类二阶偏微分方程，一般可以采用微分法和积分法。 在电磁波问题中，有源区的时谐电磁场满足非其次亥姆霍兹方程： ()()() 22r k r f r φφ?+=- (4-1) 考虑在体积V 中，Φ和Ψ标量场和二阶导数连续，在包围体积V 的封闭截面S 上标量场Φ和Ψ的一阶导数存在，由标量格林函数： ()2 2 -d ()d V S V S φψψφφψψφ??=?-?????? (4-2) 建立了标量场Φ和Ψ在闭合界面内的体积分和闭合界面上的面积分关系。格林函数满足齐次亥姆霍兹方程。 ()() 220g r k g r ?+= 'r r ≠ （4-3） 整理以上三个算式得 ()()d [()()]d V s s g r f r V g r g r S φφ+=?-?????? （4-4） '[]d -[dS-()dS]n s s s g g g S g r a e R φφφ φ??-?==???????? （4-5） 积分结果为 () ' ''''''' '''1()d d 44jk r r jk r r jk r r V S e e e r f r V r r S n n r r r r r r φφφππ------?? ?? ?=-- ???--- ? ?? ?????（）（） (4-6) 电磁波遇到障碍物时，会发生绕射现象。标量基尔霍夫公式可以用来近 似计算电磁波通过电屏上孔径的绕射场，但需要假定条件： （1） 封闭面上除口径面外，标量场及其法向导数为零。
关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为 ??? ??? ?=??=>+∞<<∞-??=??==)(|),(|0, ,002 2222x t u x u t x x u a t u t t φ? 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。 2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 ` ??? ??? ?=??=>+∞<<∞-+??=??==)2()(|),(|)1(0,),(0022 222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φ? 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题：
(I) ???????=??=>+∞<<∞-??=??== ， )(|),(|0,0022 222x t u x u t x x u a t u t x φ? (II) ??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ， 0|,0|0,),(0022 222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 ??? ??? ?=??=>??=??== ， ),(|,0|22 222τωωτωωττx f t t x a t t x 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 ( 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： ) () ()()('''t aT t T x X x X = ?????????====><
现在我们讨论在三维无限空间中的波动问题:
? utt = a 2 Δu ?∞ < x , y , z < +∞ , t > 0 ? (3.1) ? u |t = 0 = ? ( M ) ? u | = ψ ( M ) ?∞ < x , y , z < +∞ ? t t =0
其中M 代表空间中任意一点, M = M ( x , y , z ). 这个定解问题采用求平均法来求解.
先回忆一维的达朗贝尔公式的变形
1 1 x + at u ( x, t ) = (? ( x ? at ) + ? ( x + at )) + ∫x?at ψ (ξ )dξ 2 2a ? t x + at ? ? t x + at = ? ∫x?at ? (ξ )dξ ? + 2at ∫x?at ψ (ξ )dξ . ?t ? 2at ?
1 x + at ω (ξ )dξ 称为函数 ω (ξ ) 在区间[x-at, x+at] 2at ∫x ? at
上的平均值，这个平均值与x, 半径at和函数 ω (ξ ) 有关，
3
记作
1 x + at vω ( x, t ) = ∫x?at ω (ξ )dξ . 2at 于是达朗贝尔公式的变为
? u ( x, t ) = ( tv? ( x, t ) ) + tvψ ( x, t ). ?t
上述方法称为球平均法.
4
2 3 设函数 ω ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C ( R ), 现在考虑该函数在球面
Cr : (ξ1 ? x1 ) + (ξ 2 ? x2 ) + (ξ3 ? x3 ) = r
2 2 2
2
上的平均值. 对于 (ξ1 , ξ 2 , ξ3 ) ∈ Cr , 采用球坐标：
ξi = xi + α i r , i = 1, 2,3, α1 = sin θ cos ? , α 2 = sin θ sin ? , α 3 = cos θ , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ? ≤ 2π .
5
波动方程 波动方程或称波方程是一种重要的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波。它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。 波动方程或称波方程是一种重要的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波。它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。 历史上，象乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究，包括达朗贝尔，欧拉，丹尼尔·伯努利，和拉格朗日。 对于一个标量u的波动方程的一般形式。 这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒,参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替。 注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子[1](对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。 u=u(x,t),是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的
位移。\nabla^2是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。 对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的： u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)其中F和G为任意函数，分别对应于前进行波，和后退行波。要决定F和G必须考虑两个初始条件：u(x,0)=f(x) u_{,t}(x,0)=g(x) 这样达朗贝尔公式变成了: u(x,t)=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}+\frac\int_^{x+ct}g(s)ds 在经典的意义下，如果f(x)\inC^k并且g(x)\inC^则 u(t,x)\inC^k。 一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为m的小质点的队列，互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k，这里u(x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程，其中u(x)的时间依赖性变成显式的了。
1.1 波动方程的形式 一维波动方程（描述弦的振动或波动现象的）()t x f x u a t u ,2 2 222=??-?? 二维波动方程（例如薄膜振动）()t y x f y u x u a t u ,,2222 222+??? ? ????+??=?? 三维波动方程（例如电磁波、声波的传播）()t z y x f z u y u x u a t u ,,,222222 222+???? ????+??+??=?? 1.2 波动方程的定解条件（以一维波动方程为例） （1）边界条件 ①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦的两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。 ②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦的一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动，未受到垂直方向的外力，此时成立 0=??=o x x u 。也可以考虑更普遍的边 界条件 ()t x u x μ=??=0 ，其中()t μ是t 的已知函数。 ③第三类边界条件：弦的一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =的一端，此时边界条件归结为 0u =??? ??+??=l x u x σ。也可以考虑更普遍的情况()t u x l x v u =??? ??+??=σ，其中()t v 是t 的已知函数。 1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题 ()()()()??? ????+∞<<∞=??==+∞<<∞>=??-??)x -(,,:0t x 0,-t ,,22 222x t u x u t x f x u a t u ψ? （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψ?,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。即如果函数()t x u ,1和()t x u ,2分别是下述初值问题 （I ）()()()()??? ????=??===??-??2.1.....................,:0t 1.1. (022) 222x t u x u x u a t u ψ?
第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = } 连续体力学2222()(,)(,)0(()0; v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ ????? -?=??????? ?? +??=??? ?-? +??=+=????? 弹性定律弦 弹性体力学杆 振动：波动方程);膜 流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ; ;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+? ?=-?=????????? ???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ?? -?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程： 2 2.2u i u Vu t m ?=-?+?
1.1 波动方程の形式 一维波动方程（描述弦の振动或波动现象の）()t x f x u a t u ,2 2 222=??-?? 1.2 波动方程の定解条件（以一维波动方程为例） （1）边界条件 ①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦の两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。 ②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦の一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴の直线上自由滑动，未受到垂直方向の外力，此时成立 0=??=o x x u 。也可以考虑更普遍の 边界条件 ()t x u x μ=??=0 ，其中()t μ是t の已知函数。 ③第三类边界条件：弦の一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =の一端，此时边界条件归结为 0u =??? ??+??=l x u x σ。也可以考虑更普遍の情况()t u x l x v u =??? ??+??=σ，其中()t v 是t の已知函数。 1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题 ()()()()??? ????+∞<<∞=??==+∞<<∞>=??-??)x -(,,:0t x 0,-t ,,22 222x t u x u t x f x u a t u ψ? （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表の外力因素和由()()x x ψ?,所代表の初始振动状态对整个振动过程所产生の综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生の影响の叠加。即如果函数()t x u ,1和()t x u ,2分别是下述初值问题 （I ）()()()()??? ????=??===??-??2.1.....................,:0t 1.1. (022) 222x t u x u x u a t u ψ? 和 （II ）()()()??? ????=??===??-??4.1........ ............................................................0,0:0t 3.1................................................................ ,22 222t u u t x f x u a t u の解，那么()()t x u t x u u ,,21+=就一定是定解问题（1）の解。
5．1 已知一波的波动方程为y = 5×10-2sin(10πt –0.6x) (m)． （1）求波长、频率、波速及传播方向； （2）说明x = 0时波动方程的意义，并作图表示． 5．2 一平面简谐波在媒质中以速度为u = 0.2m·s-1沿x轴正向传播，已知波线上A点（xA = 0.05m）的振动方程为(m)．试求：（1）简谐波的波动方程；（2）x = -0.05m处质点P处的振动方程． 5．3 已知平面波波源的振动表达式为(m)．求距波源5m处质点的振动方程和该质点与波源的位相差．设波速为2m·s-1． 5．4 有一沿x轴正向传播的平面波，其波速为u = 1m·s-1，波长λ= 0.04m，振幅A = 0.03m．若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻，试求： （1）此平面波的波动方程； （2）与波源相距x = 0.01m处质点的振动方程，该点初相是多少？ 5．5 一列简谐波沿x轴正向传播，在t1 = 0s，t2 = 0.25s时刻的波形如图所示．试求：（1）P点的振动表达式； （2）波动方程； （3）画出O点的振动曲线． 5．6 如图所示为一列沿x负向传播的平面谐波在t = T/4时的波形图，振幅A、波长λ以及周期T均已知． （1）写出该波的波动方程； （2）画出x = λ/2处质点的振动曲线 （3）图中波线上a和b两点的位相差φa –φb为多少？ 5．7 已知波的波动方程为y = Acosπ(4t –2x)（SI）．（1）写出t = 4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点？（2）画出t = 4.2s 时的波形曲线． 5．8 一简谐波沿x轴正向传播，波长λ= 4m，周期T = 4s，已知x = 0处的质点的振动曲线如图所示． （1）写出时x = 0处质点的振动方程 （2）写出波的表达式； （3）画出t = 1s时刻的波形曲线 5．9 在波的传播路程上有A和B两点，都做简谐振动，B点的位相比A点落后π/6，已知A和B之间的距离为2.0cm，振动周期为2.0s．求波速u和波长λ． 5．10 一平面波在介质中以速度u = 20m·s-1沿x轴负方向传播．已知在传播路径上的某点A的振动方程为y = 3cos4πt． （1）如以A点为坐标原点，写出波动方程； （2）如以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波动方程； （3）写出传播方向上B，C，D点的振动方程． 5．11 一弹性波在媒质中传播的速度u = 1×103m·s-1，振幅A = 1.0×10-4m，频率ν= 103Hz．若该媒质的密度为800kg·m-3，求： （1）该波的平均能流密度； （2）1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m2的总能量． 5．12 一平面简谐声波在空气中传播，波速u = 340m·s-1，频率为500Hz．到达人耳时，振幅A = 1×10-4cm，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强？此时声强相当于多少分贝？已知空气密度ρ= 1.29kg·m-3． 5．14．一声源的频率为1080Hz，相对地面以30m·s-1速率向右运动．在其右方有一反射
学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解 开课实验室数统学院 学院数统年级 2013 专业班信计02班 学生姓名学号 开课时间 2015 至 2016 学年第 2 学期 数学与统计学院制 开课学院、实验室：数统学院实验时间： 2016年 6月20日
() ( 0sin = uπ ，利用中心差商，建立差分格式为： ，建立差分格式为： 2,10 1,2,9
t=0.5 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 t=1.0 0 -0.3090 -0.5878 -0.8090 -0.9511 -1.0000 -0.9511 -0.8090 -0.5878 -0.3090 0 t=1.5 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 t=2.0 0 0.3090 0.5878 0.8090 0.9511 1.0000 0.9511 0.8090 0.5878 0.3090 表3 u(x,t)在t=0.5,1.0,1.5,2.0时刻的绝对误差 时刻t t=0.5,1.0,1.5,2.0时刻的绝对误差 t=0.5 0 0.0059 0.0113 0.0155 0.0182 0.0192 0.0182 0.0155 0.0113 0.0059 t=1.0 0 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 t=1.5 0 0.0020 0.0038 0.0052 0.0061 0.0064 0.0061 0.0052 0.0038 0.0020 t=2.0 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 说明：在t=0.5时刻的绝对误差最大，t=1.5时刻次之，t=1与t=2时刻的绝对误差均较小，由于0.11r h τ = =<，该格式稳定，由数值计算得到的矩阵不难看出，数值解符合理论解。
田佳星 海洋技术 今天我介绍一下声学中波动方程的建立。我们首先介绍一下声学的基本概念。 声波是机械振动状态在介质中的传播。存在声波的空间称为声场。理论上描述声场需要引入一些物理量：声压、位移、振速、密度压缩量和相位等。通常采用上述各物理量的时空分布函数描述声场。下面对这些物理量作简要介绍。 1. 基本概念 1) 声压（标量） 声波为压缩波。描述“压缩”过程的一个物理量是压强。然而，声波是声扰动（如振动源）引起介质中的压强发生变化的部分。因此，我们引入声压的概念： 声压p 为介质压强的变化量： 0P P p -= (2-1) 其中，P 是压强，0P 是介质中的静态压强。 声压是描述波动的物理量。为使用方便，还由声压引入了瞬时声压p 、峰值声压0p 和有效声压e p 。 声场中某瞬时的声压称为瞬时声压。一定时间间隔内的最大瞬时声压称为峰值声压。瞬时声压在一定时间间隔内的均方根值称为有效声压，即 e p = 对简谐声波，p 、0p 和e p 相互之间的关系和电压可作相同类比，即 0exp[]p p j t ω= 20p p e =。 一般仪器仪表测得是有效声压。 2) 位移和振速（矢量） 质点位移是指介质质点离开其平衡位置的距离。质点振速是介质质点瞬时振动的速度。两者均是有大小和方向的量，即矢量，相互关系为 u d dt ξ= (2-3) 对简谐振动，位移和振速都满足如下关系：
0exp[] j t ξξω=， (2-4a) 0exp[]u u j t ω=， (2-4b) 其中，0ξ和0u 分别为位移幅值和振速幅值。 需要注意的是区分质点振速和声传播速度。声传播速度是指振动状态在介质中传播的速度，而质点振速是指在给定时间和给定空间位置的某一质点的振动速度。 3) 密度和压缩量 密度的变化也是描述声波的一个物理量。这里引入压缩量的概念： ()0100ρρρρρ=-=s (2-5) 其中，ρ密度，0ρ为静态密度，01ρρρ-=为密度改变量。 压缩量s 的含义为介质密度的相对变化量。 4) 相位 为描写简谐振动而引入的物理量。它描述质点简谐振动的状态。质点振动的一个周期对应着相位0-2π。相位和质点振动状态有一一对应的关系。 声波是振动状态在介质中的传播，而相位描述的是质点简谐振动的状态。由此可见相位在声场描述中的重要性。 以上物理量并不是独立的，如根据位移由(2-3)式可以求出振速。实际应用时可根据需要选择使用哪些物理量来描述，如对简谐声波，只需要位移幅值和相位就可导出振速、加速度等基本物理量；更进一步，如果已知介质条件，只要知道位移幅值和相位的初值，就可计算声场的时空分布函数了。 2. 理想流体介质中的小振幅波 本节先建立描述声波的基本方程-波动方程，并讨论波动方程的线性特性；然后分别介绍波动方程在几种简单介质条件下的解-行波解、平面波解、球面波解和柱面波解，并对各种解中相关的物理量，如声场中的能量、介质特性阻抗和声阻抗率、相速度和群速度等概念，进行讨论，并重点分析在水声物理中应用较多的平面波在两种不同均匀介质界面上的反射和折射现象。 一、波动方程 建立波动方程