第一章
1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？
图1-1
图1-2
解 信号分类如下：
???
??
?
????--???--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所示信号分别为 （a ）连续信号（模拟信号）； （b ）连续（量化）信号； （c ）离散信号，数字信号； （d ）离散信号；
（e ）离散信号，数字信号； （f ）离散信号，数字信号。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问） （1）)sin(t e at ω-；
（2）nT e -； （3）)cos(πn ；
（4）为任意值）（00)sin(ωωn ；
（5）2
21???
??。
解
由1-1题的分析可知： （1）连续信号； （2）离散信号；
（3）离散信号，数字信号； （4）离散信号； （5）离散信号。
1-3 分别求下列各周期信号的周期T ： （1）)30t (cos )10t (cos -； （2）j10t e ；
（3）2)]8t (5sin [；
（4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0
n n ∑∞
=-----。
解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察
各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。
（1）对于分量cos (10t )其周期5
T 1π
=
；对于分量cos (30t )，其周期15
T 2π
=
。由于
5π为21T T 、的最小公倍数，所以此信号的周期5T π=。 （2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+=
即)10t (jsin )10t (cos e j10t +=
得周期5
102T ππ==
。 （3）因为[])16t (cos 2
252252)16t (cos 125)8t (5sin 2
-=-?
= 所以周期8
162T ππ==
。 （4）由于
原函数???+<≤+-+<≤=2)T
(2n t T )12n (,11)T
(2n t 1,2nT n 为正整数
其图形如图1-3所示，所以周期为2T 。
图1-3
1-4对于教材例1-1所示信号，由f (t )求f (-3t-2)，但改变运算顺序，先求f (3t )或先求f (-t )，
讨论所得结果是否与原例之结果一致。
解 原信号参见例1-1，下面分别用两种不同于例中所示的运算顺序，由f (t )的波形求得f (-3t-2)的波形。
两种方法分别示于图1-4和图1-5中。
方法一：倍乘
3
2左移
方法二：3
2左移
图1-4
图1-5
1-5 已知f (t )，为求)(0at t f -应按下列那种运算求得正确结果（式中a t ,0都为正值）？ （1）)(at f -左移0t ； （2）)(at f 右移0t ；
（3）)(at f 左移
a t 0
； （4）)(at f -右移a
t
0。
解 （1）因为)(at f -左移0t ，得到的是[])()(00at at f t t a f --=+-，所以采用此种运
算不行。
（2）因为)(at f 右移0t ，得到的是[])()(00at at f t t a f -=-，所以采用此运算不行。
（3）因为)(at f 左移
a
t 0
，得到的是)()(00t at f a t t a f +=?????
?
+，
所以采用此运算不行。 （4）因为)(at f -右移a t 0，得到的是)()(00at t f a t t a f -=?????
?
--，所以采用此运算不
行。
1-6 绘出下列各信号的波形：
（1）)8sin()sin(211t t Ω??
?
???Ω+；
（2）[])8sin()sin(1t t ΩΩ+。
解 （1）波形如图1-6所示（图中)8sin()sin(211)(t t t f Ω???
?
???Ω+=）。
（2）波形如图所示1-7（图中[1)(t f +=
1-7 绘出下列各信号的波形：
（1）[])4sin()()(t T
T t u t u π
--；
（2）[])4sin()2()(2)(t T
T t u T t u t u π
-+--。
解 )4sin(t T
π的周期为2T
。
（1）波形如图1-8（a ）所示（图中[])4sin()()(t T
T t u t u π
--）。在区间[]T ,0，内，包
含有)4sin(t T
π
的两个周期。
图1-8
（2）波形如图1-8（b ）所示（图中[])4sin()2()(2)(t T
T t u T t u t u π
-+--）。在区间[]T T 2,内是)4sin(
t T π-，相当于将)4sin(t T
π
倒像。
1-8 试将教材中描述图1-15波形的表达式（1-16）和（1-17）改用阶越信号表示。 解 表达式（1-16）为
???-==---)
(0)(t t a at
at
e e e t
f ()()∞<≤< [])()()(][)()(e )(0)(0)(000t t u e t u e t t u e e t t u t u t f t t a at t t a at at --=--+--=-------] 表达式（1-17）为 ?????∞<≤---<<-=----∞-?) ()1(1 )1(1)0()1(1)(0)(00t t e a e a t t e a d f t t a at at t ττ 借助阶越信号，可将其表示为 )(]1[1 )()(1)(]1[1)1(1)]()()[1(1)(0)(0)(000t t u e a t u e a a t t u e a e a t t u t u e a d f t t a at t t a at at t ----=-??????---+---=-------∞ -?ττ 1-9 粗略绘出下列各函数式的波形图： （1）)()2()(t u e t f t --=； （2）)()63()(2t u e e t f t t --+=； （3）)()55()(3t u e e t f t t ---=； （4）)]2()1()[10cos()(---=-t u t u t e t f t π。 解 图 1-9 （1）信号波形如图1-9（a ）所示。 （2）信号波形如图1-9（b ）所示。 （3）信号波形如图1-9（c ）所示。 （4）信号波形如图1-9（d ）所示。在区间[1，2]包含)10cos( t 的5个周期。 1-10 写出如图所示各波形的函数式。 (a) (b)(c)图1-10 解 （a ）由图1-10（a ）可写出 ???? ?????≤<-≤≤-+=)(0 )20(2 1 1)02(21 1)(其它t t t t t f 于是)]2()2([21)(--+??? ? ??-=t u t u t t f （b ）由图1-10（b ）可写出 ???????>≤<≤<≤=23 )21(2)10(1)0(0 )(t t t t t f 于是)2()1()()2(3)]2()1([2)]1()([)(-+-+=-+---+--=t u t u t u t u t u t u t u t u t f 实际上，可看作三个阶越信号)2()1()(--t u t u t u ，，的叠加，见图1-11，因而可直接写出其函数表达式为 图1-11 )2()1()()(-+-+=t u t u t u t f （c ）由图1-10（a ）可写出 ?? ???<≤??? ??=) (0)0(sin )(其它T t t T E t f π 于是)]()([sin )(T t u t u t T E t f --?? ? ??=π 1-11绘出下列各时间函数的波形图： （1）)(t u te t -； （2）)]2()1([)1(-----t u t u e t ； （3）)]2()()][cos(1[--+t u t u t π； （4）)2()1(2)(-+--t u t u t u ； （5） [])()(sin 00t t a t t a --； （6）)](sin [t tu e dt d t -。 解 （1）信号波形如图1-12(a)所示，图中)()(t u te t f t -=。 图1-12 （b ） （c ） （2）信号波形如图1-12(b)所示，图中)]2()1([)() 1(---=--t u t u e t f t 。 （3）信号波形如图1-12(c)所示，图中)]2()()][cos( 1[)(--+=t u t u t t f π。 （4）信号波形如图1-12(d)所示，图中)2()1(2)()(-+--=t u t u t u t f 。 （5）信号波形如图1-12(e)所示，图中[]) ()(sin )(00t t a t t a t f --=,信号关于0 t t = 偶对称。 （6）因为 ) (4cos 21)(cos )(sin )(sin )(cos )(sin )](sin [t u e t t tu e t tu e t t e t tu e t tu e t tu e dt d t t t t t t t -------??? ??+=+-=++-=πδ 所以该信号是衰减正弦波。其波形如图1-12(f)所示，图中)](sin [)(t tu e dt d t f t -=。 1-12 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区间： （1）)]1()([--t u t u t ； （2）)1(-?t u t ； （3）)1()]1()([-+--t u t u t u t ； （4）)1()1(--t u t ； （5）)]1()()[1(----t u t u t ； （6）)]3()2([---t u t u t ； （7）)]3()2()[2(----t u t u t 。 解 （1）信号波形如图1-13(a)所示，图中)]1()([)(--=t u t u t t f 。 图1-13 （b ） （c ） （e ） （2）信号波形如图1-13(b)所示，图中)1()(-?=t u t t f 。 （3）信号波形如图1-13(c)所示，图中)1()]1()([)(-+--=t u t u t u t t f 。 （4）信号波形如图1-13(d)所示，图中)1()1()(--=t u t t f 。 （5）信号波形如图1-13(e)所示，图中)]1()()[1()(----=t u t u t t f 。 （6）信号波形如图1-13(f)所示，图中)]3()2([)(---=t u t u t t f 。 （7）信号波形如图1-13(g)所示，图中)]3()2()[2()(----=t u t u t t f 。 1-13 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别： （1）)()sin()(1t u t t f ?=ω； （2）)())(sin()(02t u t t t f ?-=ω； （3）)()sin()(03t t u t t f -?=ω； （4）)())(sin()(001t t u t t t f -?-=ω。 解 （1）信号波形如图1-14(a)所示。 t 图1-14 （2）信号波形如图1-14(b)所示。 （3）信号波形如图1-14(c)所示。 （4）信号波形如图1-14(d)所示。 1-14 应用冲激函数的抽样特性，求下列表示式的函数值： （1）dt t t t f ?∞ ∞--)()(0δ； （2）dt t t t f ?∞∞ --)()(0δ； （3）dt t t u t t ?∞ ∞-- -)2 ()(0 0δ； （4）dt t t u t t ?∞∞---)2()(00δ； （5）dt t t e t ?∞ ∞ --++)2()(δ； （6）dt t t t ?∞ ∞-- +)6 ()sin (π δ； （7）dt t t t e t j ?∞∞ ----)]()([0δδω。 解 有冲激信号的抽样特性)()()(00t f dt t t t f =-?∞∞ -δ得 （1）)()()(00t f dt t t t f -=-? ∞∞-δ （2）)()()(00t f dt t t t f =-? ∞ ∞ -δ （3）设00>t ，则122)2()(00000=?? ? ??=??? ??-=- -?∞∞-t u t t u dt t t u t t δ （4）设00>t ，则0)()2()(000=-=--?∞ ∞ -t u dt t t u t t δ （5）2)2()(2-=++?∞ ∞--e dt t t e t δ （6）2 166sin 6)6 ()sin (+=??? ??+= - +?∞ ∞-πππ π δdt t t t （7）01)]()([0t j t j e dt t t t e ωωδδ-∞∞ ---=--? 此题的（3）、（4）两小题还可用另一种方法求解： （3）冲激)(0t t -δ位于0t 处，阶越信号??? ? ?-20t t u 始于20t ，因而 )(2)(000t t t t u t t -=??? ??--δδ 则 原式=1)(0=-?∞ ∞-dt t t δ （4）冲激仍位于0t ，而)2(0t t u -始于02t ，也就是说在0t 处，0)(0=-t t u ，因而 0)2()(00=--t t u t t δ 则 原式=00=?∞ ∞ -dt 1-15 电容1C 和2C 串联，以阶越电压源)()(t Eu t v =串联接入，试分别写出回路中的电流)(t i ，每个电容两端电压)()(21t v t v C C 、的表达式。 1 C 2 C + - ) (t v 图 1-15) (t i 2 L )(2t i L 图1-16 解 由题意可画出如图1-15所示的串联电路，两电容两端的电压分别为)()(21t v t v C C ，，则回路电流 )()()(21212121t E C C C C dt t dv C C C C t i δ?+=+=其中，2121C C C C +为1C 、2C 的串联等效电容值。 再由电容的电流和电压关系，有 )()(1)(2 1211t u C C E C dt t i C t v t C +==?∞- )()(1)(2 1122t u C C E C dt t i C t v t C +==?∞- 1-16 电感1L 与2L 并联，以阶越电流源)()(t Iu t i =并联接入，试分别写出电感两端电压)(t v 、每个电感支路电流)()(21t i t i L L 、的表示式。 解 由题意可画出图1-16所示并联电路，两条电感支路的电流分别为)(1t i L 和)(2t i L ，则电感两端电压 )()()(21212121t I L L L L dt t di L L L L t v δ?+=+= 其中2 121L L L L +为1L 、2L 的并联等效电感值。 再由电感的电流和电压关系，有 )()(1)(2 1211t u L L I L dt t v L t i t L ?+==?∞- )()(1)(2 1122t u L L I L dt t v L t i t L ?+==?∞- 1-17 分别指出下列各波形的直流分量等于多少？ （1）全波整流)sin()(t t f ω=； （2）)(sin )(2t t f ω=； （3）)sin()cos( )(t t t f ωω+=； （4）升余弦)]cos(1[)(t K t f ω+=。 解 （1）)sin(t ω的周期为ωπ2，)sin(t ω的周期为ω π ，因而)(t f 的直流分量 π πωπωπωω π ωπ 2)11(1)cos(1)sin()(1000=---=-=== ??t dt t dt t f T f T D （2）)2cos(21 21)(sin )(2t t t f ωω-==由于)2cos(t ω在一个周期内的平均值为0，因而 )(t f 的直流分量2 1 =D f 。 （3）)(t f 的两个分量)cos(t ω和)sin(t ω的周期均为ωπ2，因而的周期也为ω π 2。 但由 于)cos( t ω和)sin(t ω在一个周期内的均值都为0，所以)(t f 的直流分量0=D f 。 （4）)(t f 与（2）中)(t f 类似，所以K f D =，理由同（2）。 1-18 粗略绘出图1-17所示各波形的偶分量和奇分量。 (c) 图1-17 (b) 2 12 - 解 （a ）信号)(t f 的反褶)(t f -及其偶、奇分量)(t f e 、)(t f o 如图1-18（a ）、（b ）、（c ）所示。 （a ） （b ） （c ） 图1-18 （b ）因为)(t f 是偶函数，所以)(t f 只包含偶分量，没有奇分量，即 )()(t f t f e =，0)(=t f o （c ）信号)(t f 的反褶)(t f -及其偶、奇分量)(t f e 、)(t f o 如图1-19（a ）、（b ）、（c ）所示。 （a ） （b ） （c ） 图1-19 （ d ）信号)(t f 的反褶)(t f -及其偶、奇分量)(t f e 、)(t f o 如图1-20（a ）、（b ）、（c ）所示。 （a ） （b ）图1-20 （c ） 1-19 绘出下列系统的仿真框图： （1）)()()()(100t e dt d b t e b t r a t r dt d ==+； （2）)()()()()(100122t e dt d b t e b t r a t r dt d a t r dt d +=++。 解 （1）选取中间变量)(t q ，使之与激励满足关系： )()() (0t e t q a dt t q d =+ ① 将此式改写成)()() (0t q a t e dt t q d -=，易画出如图1-21（a ）所示的方框图。再将①代入原微分方程，有 [][] )(')()(")(')](')("[)]()('[)()('1001001000t q b t q b a t q b t q b t q a t q b t q a t q b t r a t r +++=+++=+对比两边，可以得到)(t q 与)(t r 之间的关系式： )(')()(10t q b t q b t r += 将此关系式在图1-21（a ）中实现，从而得到系统的仿真框图，如图1-21（b ）所示。 图1-21 ) （a ）（b ） （2）方法同（1）。先取中间变量)(t q ，使)(t q 与)(t e 满足： )()()(')("01t e t q a t q a t q =++ ② 将②式代入原微分方程后，易看出)(t q 与)(t r 满足： )(')()(10t q b t q b t r += ③ 将②、③式用方框图实现，就得到如图1-22所示的系统仿真框图。 图1-22 1-20 判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的？ （1）dt t de t r ) ()(= ； （2）)()()(t u t e t r =； （3）)()](sin[)(t u t e t r =； （4）)1()(t e t r -=； （5）)2()(t e t r =； （6）)()(2t e t r =； （7）ττd e t r t ?∞-=)()(； （8）ττd e t r t ?∞ -=5)()(。 解 （1）由于 dt t de t r t e dt t de t r t e ) ()()() ()()(2221 11= →=→ 而dt t de C t r dt t de C t r C t r C t e C t e C ) ()()()()()()(22211 22112211+=+→+ 所以系统是线性的。 当dt t de t r t e ) ()()(=→，而激励为)(0t t e -时，响应为 )()() ()(0000t t r t t d t t de dt t t de -=--=- 所以系统是时不变的。 由dt t de t r ) ()(=可知，响应)(t r 只与此时的输入)(t e 有关，与这之前或之后的输入都无 关，所以系统是因果的。 （2）由于 ) ()()()() ()()()(222111t u t e t r t e t u t e t r t e =→=→ 而)()()()()()()()(221122112211t r C t r C t u t e C t u t e C t e C t e C +=+→+ 所以系统是线性的。 由于当)1()1()(1--+=t u t u t e 时，)1()()(1--=t u t u t r 而)2()()1()(12--=-=t u t u t e t e 时，)1()2()()(12-≠--=t r t u t u t r ， 即当激励延迟1个单位时，响应并未延迟相同的时间单位，所以系统是时变的。 由)()()(t u t e t r =可知，系统只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。 （3）由于 )()](sin[)()() ()](sin[)()(222111t u t e t r t e t u t e t r t e =→=→ 而 [])()](sin[)()](sin[)()() ()()()(sin )()()(2211221122112211t u t e C t u t e C t r C t r C t u t e C t u t e C t r t e C t e C +=+≠+=→+ 所以系统是非线性的。 当激励为)(01t t e -时，响应)()()](sin[)()](sin[)(00011t t r t t u t t e t u t e t r -=--≠=所以系统是时变的。 由)()](sin[)(t u t e t r =可知，响应只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。 （4）由于 )1()()() 1()()(222111t e t r t e t e t r t e -=→-=→ 而 )()()1()1()()()(221122112211t r C t r C t e C t e C t r t e C t e C +=-+-=→+ 所以系统是线性的。 由于当)5.1()()(1--=t u t u t e 时，)1()5.0()(1--+=t u t u t r 而当)2()5.0()5.0()(12---=-=t u t u t e t e 时，)5.0()5.0()1()(12-≠--+=t r t u t u t r 所以系统是时变的。 令)1()(t e t r -=中，则有，说)1()0(e r =明响应取决于将来值（0时刻输出取决于1时刻输入），所以系统是非因果的。 （5）由于 )2()()() 2()()(222111t e t r t e t e t r t e =→=→ 而 )()() 2()2()()(221122112211t r C t r C t e C t e C t e C t e C +=+→+ 所以系统是线性的 由于当)1()()(1--=t u t u t e 时，)5.0()()(1--=t u t u t r 而当)2()1()1()(12---=-=t u t u t e t e )1()1()5.0()(12-≠---=t r t u t u t r 所以系统是时变的。 对于)2()(t e t r =，令1=t ，有)2()1(e r =，即响应先发生，激励后出现，所以系统是非因果的。 （6）由于 )()()() ()()(2 2222111t e t r t e t e t r t e =→=→ 而 []) ()()()()()()(22112 22112211t r C t r C t e C t e C t r t e C t e C +≠+=→+ 所以系统是非线性的。 由于)()()(2111t e t r t e =→ )()()()()(010212012t t r t t e t r t t e t e -=-=→-= 0=t 所以系统是时不变的。 由)()(2t e t r =知，输出只与现在的输入值有关，所以系统是因果的。 （7）由于 τ τττd e t r t e d e t r t e t t ? ? ∞ -∞-=→=→)()()()()()(22 2 111 而 )()()()()()(221122112211t r C t r C d e C d e C t e C t e C t t +=+→+??∞ -∞ -τ τττ 所以系统是线性的。 由于)()()()(00000t t r da a e d t r t t e t t t a t -=?? →?-→-??∞--∞ -=-τττ 所以系统是时不变的。 由ττd e t r t ?∞-=)()(可知，t 时刻的输出只与t 时刻以及t 时刻之前的输入有关，所以系 统是因果的。 （8）由于 τ ττ τd e t r t e d e t r t e t t ??∞ -∞-=→=→52225111)()()()()()( 而 )()() )()()()()()(2211522511522112211t r C t r C d e C d e C d e C e C t e C t e C t t t +=+=+→+???∞ -∞ -∞ -τττττττ 所以系统是线性的。 由于)()()()()(0) (5550000t t r da a e da a e d t e t t e t t t a t t -=≠??→?-→-? ??-∞ -∞ -=-∞ -τττ 所以系统是时变的 对于ττd e t r t ?∞ -=5)()(，令1=t ，有ττd e r ?∞ -=5 )()1( 即输出与未来时刻的输入有关，所以系统是非因果的。 1-21 判断下列系统是否是可逆的。若可逆，给出它的逆系统；若不可逆，指出使该系统产生系统输出的两个输入信号。 （1）)5()(-=t e t r ； （2）)()(t e dt d t r =； （3）ττd e t r t ?∞-=)()(； （4）)2()(t e t r =。 解 （1）该系统可逆，且其逆系统为)5()(+=t e t r （2）该系统不可逆，因为当，,)()(2211C t e C t e ==，（21C C ≠且均为常数）时， )()(21t r t r =，即不同的激励产生相同的响应，所以系统不可逆。 （3）该系统可逆。因为微分运算与积分运算式互逆的运算，所以其逆系统为 )()(t e dt d t r =。 （4）该系统可逆，且其逆系统为)2 ()(t e t r =。 1-22 若输入信号为，为使输出信号中分别包含以下频率成分： （1）)2cos(0t ω；（2）)3cos(0t ω；（3）直流。 请你分别设计相应的系统（尽可能简单的）满足此要求，给出系统输出与输入的约束关系式。讨论这三种要求有何共同性、相应的系统有何共同性。 解 （1）若系统的输入、输出具有约数关系)2()(t e t r = 则当此系统的输入信号为)cos(0t ω时，输出信号中会包含)2cos(0t ω。 （2）若系统的输入、输出具有约数关系)3()(t e t r = 则当此系统的输入信号为)cos(0t ω时，输出信号中会包含)3cos(0t ω。 （3）若系统的输入、输出具有约数关系C t e t r +=)()( （C 为非零常数） 则当此系统的输入信号为)cos(0t ω时，输出信号中会包含直流成分。 三个小题中，输入信号均为)cos(0t ω，而输出信号中分别包含)2cos(0t ω，)3cos(0t ω和直流频率成分，说明新的频率分量产生，也就是说信号)cos(0t ω经系统传输后，产生了新的频率成分，此为三种要求的共同性。因此在设计系统中，要考虑改变输入信号的频率或增加新的频率成分，此为三个系统的共性。 1-23 有一线性时不变系统，当激励)()(1t u t e =时，响应)()(1t u e t r at -=，试求当激励 )()(1t t e δ=时，相应的响应)(2t r 表达式。 （假定起始时刻系统无储能。） 解 因为起始时刻系统无储能，所以响应就是零状态响应。 有LTI 系统的微分性质，即若当激励为)(t e 时产生的响应为)(t r ，则当激励为dt t de ) (时 产生的响应为dt t dr ) (，有 ) ()()()()]([)()()() ()()()(2211t u ae t t e t u ae dt t u e d t r t t e t u e t r t u t e at at at at at ------=+-==→==→=δδδ 第三章 傅里叶变换 一.周期信号的傅里叶级数 二.傅里叶变换 例题 ?例题1：傅里叶级数——频谱图 ?例题2：傅里叶变换的性质 ?例题3：傅里叶变换的定义 ?例题4：傅里叶变换的性质 ?例题5：傅里叶变换的性质 ?例题6：傅里叶变换的性质 ?例题7：傅里叶变换的性质、频响特性 ?例题8：傅里叶变换的性质 ?例题9：抽样定理 –例题10：周期信号的傅里叶变换 例3-1 周期信号 1. 画出单边幅度谱和相位谱； ()? ? ? ?? --??? ??++=328cos 265sin cos 3ππt t t t f 形式 频谱：离散性、谐波性、收敛性 周期矩形脉冲信号的频谱特点 定义及傅里叶变换存在的条件 典型非周期信号的频谱 冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换 性质→应用：调制和解调→频分复用 周期信号的傅里叶变换：由一些冲激函数组成 抽样信号的傅里叶变换→抽样定理→应用：时分复用 2. 画出双边幅度谱和相位谱。 单边幅度谱和相位谱 双边幅度谱和相位谱 例3-2 分析：f (t )不满足绝对可积条件，故无法用定义求 其傅里叶变换，只能利用已知典型信号的傅里叶 变换和性质求解。下面用三种方法求解此题。 方法一：利用傅里叶变换的微分性质 方法二：利用傅里叶变换的积分性质 方法三：线性性质 方法一：利用傅里叶变换的微分性质 要注意直流，设f A(t )为交流分量，f D(t )为直流分量，则 其中 ()? ?? ??+-+??? ??-++=ππππ328cos 2265cos cos 3t t t t f ? ?? ?? ++??? ??-+=38cos 2315cos cos 3ππt t t ()。的傅里叶变换求信号 )(ωF t f ()()()t f t f t f D A +=()()() ωωωD A F F F +=()()()[]2321=∞+∞-=f f t f D ()()ωπδω3=D F ()()t f t f A '='()??? ??-=' 211t G t f A ()ω ωωωj A e F j -?? ? ??=∴2Sa 信号与系统复习 书中最重要的三大变换几乎都有。 第一章信号与系统 1、信号的分类 ①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)， 离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,… 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。 ③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号 2、信号的基本运算（+ - ×÷） 2.1信号的（+ - ×÷） 2.2信号的时间变换运算（反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号 3.1 单位冲激函数的性质 f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ， f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a) 例： 3.2序列δ(k)和ε(k) f(k)δ(k) = f(0)δ(k) f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0) 4、系统的分类与性质 4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [af (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}] T[{f 1(t) + f 2(t) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性) ) 0(d )()(f t t t f =? ∞ ∞ -δ) (d )()(a f t a t t f =-? ∞ ∞ -δ?d )()4sin(9 1=-?-t t t δπ )0('d )()('f t t f t -=?∞ ∞-δ) 0()1(d )()() () (n n n f t t f t -=? ∞ ∞ -δ 4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-?t t t t t t t t δ)(1||1)() ()(t a a at n n n δδ?=)(| |1 )(t a at δδ= )(||1 )(00a t t a t at -= -δδ) 0()()(f k k f k = ∑∞ -∞ =δ 信号与系统复习 书中最重要的三大变换几乎都有。 第一章 信号与系统 1、信号的分类 ①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足 f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足 f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,… 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。 ③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号 2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷） 2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号 3.1 单位冲激函数的性质 f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a) 例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质 4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： )0(d )()(f t t t f =?∞∞ -δ) (d )()(a f t a t t f =-? ∞ ∞-δ?d )()4 sin(9 1=-? -t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=?∞∞ -δ) 0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=? ∞ ∞ -δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞ ∞-? t t t t t t t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ?=)(||1)(t a at δδ=)(||1 )(00a t t a t at -=-δδ) 0()()(f k k f k =∑ ∞-∞ =δ 第一章 家庭作业 1，判刑下列信号的类型 解：()sin[()];y t A x t = 连续、模拟、周期、功率型信号 。 ()()t t y t x e d τττ--∞ =? 连续、模拟、非周期、功率型信号。 ()(2y n x n =） 离散、模拟、非周期、功率型信号。 ()()y n n x n = 离散、模拟、非周期、功率型信号。 1－6，示意画出下列各信号的波形，并判断其类型。 (1) 0()sin()x t A t ωθ=+ 连续、模拟、周期、功率型 (2) ()t x t Ae -= 连续、模拟、非周期、只是一个函数，不是物理量。 (3) ()c o s 0 t x t e t t -=≥ 连续、模拟、非周期、能量型 (4) ()2112,x t t t =+-≤≤ 连续、模拟、非周期、能量型 (5) 4()(),0.5 k x k k =≥ 离散、模拟、非周期、能量型 (6) 0().j k x k e Ω= 离散、模拟、周期、功率型 1－6题，1－4图。 ()sin[()];()()()(2); ()() t t y t A x t y t x e d y n x n y n nx n τ ττ --∞ == ==? t=-pi:1/200:pi; y1=1.5*sin(2*t+pi/6); subplot(4,1,1),plot(t,y1),title('1.5sin(2*t+pi/6)'),grid y2=2*exp(-t); subplot(4,1,2),plot(t,y2),title('2exp(-t)'),grid t1=0:1/200:2*pi; y3=10*exp(-t1).*cos(2*pi*t1); subplot(4,1,3),plot(t1,y3),title('10exp(-t1)cos(2*pi*t1)'),grid t2=-1:1/200:2; y4=2*t2+1; subplot(4,1,4),plot(t2,y4),title('2x+1'),grid 习题1－6 5－6题 《信号与系统》习题与答案 第一章 1.1 画出信号[]) ()(sin )(00t t a t t a t f --= 的波形。 1.2 已知信号[])2()1()1()(--++=t u t u t t f ，画出)32(+-t f 的波形。 1.3 已知信号[])2()1()1()(--++=t u t u t t f ，试求它的直流分量。 答案：0 1.4 已知信号[])2()1()1()(--++=t u t u t t f ，试求它的奇分量和偶分量。 答案：偶分量：[][][])2()1()1(5.0)1()1()1()2()1(5.0---++--+++-+-t u t u t t u t u t u t u t 奇分量：[][][])2()1()1(5.0)1()1()1()2()1(5.0---++--+++-+-t u t u t t u t u t t u t u t 1.5 信号?? ?=20 )(t t f ≥ 《信号与系统》 A 卷 一、选择题（每题2分，共10分） 1、连续线性时不变系统的单位冲激响应()t h 为系统的( ) A. 零输入响应 B. 零状态响应 C. 自由响应 D. 强迫响应 2、如图所示的周期信号()t f 的傅立叶级数中所含的频率分量是（ ） A ．余弦项的偶次谐波，含直流分量 B ．余弦项的奇次谐波，无直流分量 C ．正弦项的奇次谐波，无直流分量 D ．正弦项的偶次谐波，含直流分量 3A. 零输入响应的全部 B. 零状态响应的全部 C. 全部的零输入响应和部分的零状态响应 D. 全部的零输入响应和全部的零状态响应 4、如果两个信号分别通过系统函数为()s H 的系统后，得到相同的响应，那么这两个信号( ) A ．一定相同 B ．一定不同 C ．只能为零 D ．可以不同 5、已知系统微分方程为 ()()()t e t r dt t dr =+2，若()10=+r ，()()()t u t t e ?=2sin ，解得全响应为()??? ??-+= -22sin 42452πt e t r t ，0≥t 。全响应中??? ? ?-22sin 42πt 为( ) A ．零输入响应分量 B ．自由响应分量 C ．零状态响应分量 D ．稳态响应分量 二、填空题（每题3分，共30分） 1、()()=?∞ ∞-dt t f t δ________________。 2、某一LTI 离散系统，其输入()n x 和输出()n y 满足如下线性常系数差分方程， )1n (x 3 1 )n (x )1n (y 21)n (y -+=-- ，则系统函数()z H 是________________。 3、()()=-'?∞ ∞ -dt t f t t 0δ________________。 4、已知()t f )(ωF ?,则()t f 2-的傅里叶变换为________________。 5、已知信号()t f 的傅立叶变换为()ωF ，则信号()0t at f -的傅立叶变换为________________。 6、已知信号()t f 的拉普拉斯变换为()s F ，则信号()t f '的拉普拉斯变换为________________。 7、若信号()()()t u t e t e at ?=-ωsin ，则其拉普拉斯变换()s E = 。 第一章 1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？ 图1-1 图1-2 解 信号分类如下： ??? ?? ? ????--???--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所示信号分别为 （a ）连续信号（模拟信号）； （b ）连续（量化）信号； （c ）离散信号，数字信号； （d ）离散信号； （e ）离散信号，数字信号； （f ）离散信号，数字信号。 1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问） （1）)sin(t e at ω-； （2）nT e -； （3）)cos(πn ； （4）为任意值）（00)sin(ωωn ； （5）2 21??? ??。 解 由1-1题的分析可知： （1）连续信号； （2）离散信号； （3）离散信号，数字信号； （4）离散信号； （5）离散信号。 1-3 分别求下列各周期信号的周期T ： （1）)30t (cos )10t (cos -； （2）j10t e ； （3）2)]8t (5sin [； （4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0 n n ∑∞ =-----。 解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察 各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。 （1）对于分量cos (10t )其周期5 T 1π = ；对于分量cos (30t )，其周期15 T 2π = 。由于 5π为21T T 、的最小公倍数，所以此信号的周期5T π=。 （2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+= 即)10t (jsin )10t (cos e j10t += 得周期5 102T ππ== 。 （3）因为[])16t (cos 2 252252)16t (cos 125)8t (5sin 2 -=-? = 所以周期8 162T ππ== 。 （4）由于 原函数???+<≤+-+<≤=2)T (2n t T )12n (,11)T (2n t 1,2nT n 为正整数 其图形如图1-3所示，所以周期为2T 。 图1-3 1-4对于教材例1-1所示信号，由f (t )求f (-3t-2)，但改变运算顺序，先求f (3t )或先求f (-t )， 讨论所得结果是否与原例之结果一致。 解 原信号参见例1-1，下面分别用两种不同于例中所示的运算顺序，由f (t )的波形求得f (-3t-2)的波形。 两种方法分别示于图1-4和图1-5中。 《信号与系统》考研郑君里版2021考研名校考研真 题 第一部分考研真题精选 一、选择题 1下列信号属于功率信号的是（）。[中国传媒大学2017研] A．e－tε（t） B．cos（2t）ε（t） C．te－tε（t） D．Sa（t） 【答案】B查看答案 【解析】如果信号f（t）的能量有界（0＜E＜∞，P＝0），称f（t）为能量有限信号，简称为能量信号。如果信号f（t）的功率有界（0＜P＜∞，E＝∞），称f（t）为功率有限信号，简称为功率信号。ACD三项的能量均为有限值，因此为能量信号。B项，cos（2t）ε（t）是单边周期信号，因此能量无界，但是功率为有限值，因此B为功率信号。 2下列信号中，选项（）不是周期信号，其中m，n是整数。[山东大学2019研] A．f（t）＝cos2t＋sin5t B．f（t）＝f（t＋mT） C．x（n）＝x（n＋mN） D．x（n）＝sin7n＋e iπn 【答案】D查看答案 【解析】A项，cos2t的周期为T1＝2π/2＝π，sin5t的周期为T2＝2π/5，由于T1/T2＝5/2，是有理数，因此为周期信号，且周期为T＝2T1＝5T2＝2π。 BC两项，一个连续信号满足f（t）＝f（t＋mT），m＝0，±1，±2，…，则称f （t）为连续周期信号，满足上式条件的最小的T值称为f（t）的周期。一个离散信号f（k），若对所有的k均满足f（k）＝f（k＋mN），m＝0，±1，±2，…，则称f（k）为连续周期信号，满足上式条件的最小的N值称为f（k）的周期。 D项，sin7n的周期N1＝2π/7，e iπn的周期为N2＝2π/π＝2，N1/N2＝π/7为无理数，因此为非周期信号。 3下列关于单位冲激函数或单位样本函数的表达式，选项（）不正确。[山东大学2019研] A． B．δ（t）*f（t）＝f（t） C． D． 【答案】D查看答案 【解析】冲激函数的极限形式的定义式应该为 4下列叙述正确的有（）。[国防科技大学研] A．各种数字信号都是离散信号 B．各种离散信号都是数字信号 郑君里信号系统考研《信号与系统》考研真题与考研 笔记 第一部分考研真题精选 一、选择题 1下列信号属于功率信号的是（）。[中国传媒大学2017研] A．e－tε（t） B．cos（2t）ε（t） C．te－tε（t） D．Sa（t） 【答案】B查看答案 【解析】如果信号f（t）的能量有界（0＜E＜∞，P＝0），称f（t）为能量有限信号，简称为能量信号。如果信号f（t）的功率有界（0＜P＜∞，E＝∞），称f（t）为功率有限信号，简称为功率信号。ACD三项的能量均为有限值，因此为能量信号。B项，cos（2t）ε（t）是单边周期信号，因此能量无界，但是功率为有限值，因此B为功率信号。 2下列信号中，选项（）不是周期信号，其中m，n是整数。[山东大学2019研] A．f（t）＝cos2t＋sin5t B．f（t）＝f（t＋mT） C．x（n）＝x（n＋mN） D．x（n）＝sin7n＋e iπn 【答案】D查看答案 【解析】A项，cos2t的周期为T1＝2π/2＝π，sin5t的周期为T2＝2π/5，由于T1/T2＝5/2，是有理数，因此为周期信号，且周期为T＝2T1＝5T2＝2π。 BC两项，一个连续信号满足f（t）＝f（t＋mT），m＝0，±1，±2，…，则称f （t）为连续周期信号，满足上式条件的最小的T值称为f（t）的周期。一个离散信号f（k），若对所有的k均满足f（k）＝f（k＋mN），m＝0，±1，±2，…，则称f（k）为连续周期信号，满足上式条件的最小的N值称为f（k）的周期。 D项，sin7n的周期N1＝2π/7，e iπn的周期为N2＝2π/π＝2，N1/N2＝π/7为无理数，因此为非周期信号。 3下列关于单位冲激函数或单位样本函数的表达式，选项（）不正确。[山东大学2019研] A． B．δ（t）*f（t）＝f（t） C． D． 【答案】D查看答案 【解析】冲激函数的极限形式的定义式应该为 4下列叙述正确的有（）。[国防科技大学研] A．各种数字信号都是离散信号 B．各种离散信号都是数字信号郑君里信号与系统习题答案
信号与系统(郑君里)复习要点(良心出品必属精品)
信号与系统(郑君里)复习要点
郑君里的信号与系统的第一章答案
信号与系统作业答案郑君里版
信号与系统-郑君里 试题
《信号与系统引论》郑君里版第一章课后答案
《信号与系统》考研郑君里版2021考研名校考研真题
郑君里信号系统考研《信号与系统》考研真题与考研笔记
相关主题
文本预览