向量组的秩和最大线性无关组 引例：对于方程组
12312312
321221332x x x x x x x -+=-??+-=??-+=-? 容易发现其有效方程的个数为2个，因为第3个方程可由第1个方程减去第2个方程得到（或者第3个方程是第1个方程和第2个方程的线性组合）；
由于本章的内容是用向量的关系来研究方程组解的情况，进而从方程组3个方程对应的3个向量来说“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量是2个。
因此，对于一个给定的向量组，其中“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量应该有多少个呢？在此我们提出最大线性无关组的概念： 最大线性无关组：在s ααα,,,21 中，存在ip i i ααα,,,21 满足：
（1）ip i i ααα,,,21 线性无关；
（2）在ip i i ααα,,,21 中再添加一个向量就线性相关。
则称ip i i ααα,,,21 是s ααα,,,21 的一个最大线性无关组，
注：
Ⅰ、不难看出条件（2）等价的说法还有s ααα,,,21 中任一向量均可由
ip i i ααα,,,21 线性表示；
或者亦可以说成s ααα,,,21 中任意1p +个向量均线性相关；
Ⅱ、从最大线性无关组的定义可以看出最大线性无关组与原先的向量组可以相互线性表示，进而最大线性无关组与原先的向量组是等价的（即
有效的最少的方程构成的方程组与原先的方程组是等价的）；
Ⅲ、从上面的方程组可以看出同解的有效方程组可以是第1、2两个方程构成，也可以是第2、3两个方程构成（因为第1个方程可以看成第2、3两个方程的和），因此从其对应的向量组来说，向量组的最大线性无关组是不唯一的；
Ⅳ、可以发现，虽然同解的有效方程组的形式可以不一样，但是同解的有效方程组中所含的方程的个数是唯一的，即从其对应的向量组来说，最大线性无关组虽然不唯一，但是最大线性无关组中所含向量的个数唯一的。这是从数的角度反映了向量组的性质，在此给出向量组的秩的概念：
向量组的秩：称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如上面定义中ip i i ααα,,,21 是s ααα,,,21 的一个最大线性无关组，则称
s ααα,,,21 的秩为p ，记为12(,,,)s R p ααα=。
例：求向量组123(3,6,4,2,1),(2,4,3,1,0),(1,2,1,2,3),T T T ααα=-=--=-- 4(1,2,1,3,1)T α=-的秩及一个最大线性无关组，并将其余的向量用最大线性无关组表示。
分析：容易发现用定义的形式很难求秩和最大线性无关组，为此我们从方程组和矩阵之间的关系以及方程组和向量组之间的关系可以得到，向量组的秩及其最大线性无关组应该与其对应的矩阵的秩以及矩阵的最高阶非零子式之间有某种关系，为此我们给出：
定理：矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩.
略证：设A 的秩为r ，则在A 中存在r 阶子式0r D ≠，从而r D 所在的r 列线性无关，又A 中的所有的1r +阶子式10r D +=，因此A 中的任意1r +个列向量
都线性相关，因此r D 所在的r 列是A 的列向量组的最大线性无关组，所以列向量组的秩等于r 。
类似可证矩阵A 的行向量组的秩等于r 。
同时从证明的过程可以发现：若r D 是矩阵A 的一个最高阶非零子式，则r D 所在的r 列即是A 的列向量组的一个最大线性无关组；同时r D 所在的r 行即是A 的行向量组的一个最大线性无关组。
我们现在求解上面的问题，把上面的4个向量看成某矩阵A 的4列进行求解。
解：
()123432*********
1642264220
141,,,431143110010212321230
000103132110000A αααα--?????? ? ? ?----- ? ? ? ? ? ?==→→---- ? ? ? ? ? ? ? ? ?--?????? 所以1234(,,,)()3R R A αααα==，
123,,ααα是1234,,,αααα的一个最大线性无关组。
（当然易见124,,ααα亦是1234,,,αααα的一个最大线性无关组）
为了把4α用123,,ααα线性表示，把A 再变成行最简形矩阵
10010
10100100
0000000A ?? ? ? ?→ ? ? ???
易见412ααα=+。
（初等变换前后列向量组之间的线性表示形式是保持不变的）
同时可以验证上面的线性表示的结果是正确的。
感悟：由于我们现在教学正好讲到向量组的秩和最大线性无关组这一部分，作为其定义形式很难引入，通过此次培训，可以从方程组的“有效”（同解并是最少的）方程组的形式及个数（就像李老师所说的“打假”后剩下的方程组）来提出向量组的最大线性无关组以及向量组的秩的概念，避免了向量的抽象性，而且学生对方程组十分熟悉，进而很容易过渡到最大线性无关组以及向量组的秩的概念。学生听课效果以及接受情况相当不错！
向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,t k k k R ???∈，称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。 【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ???M 。这 样的表示是有好处的。 2.线性表示 设12,,,n t a a a R ???∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ???∈，使得 1122t t b k a k a k a =++???+ 则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。 1122t t b k a k a k a =++???+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ???M 。因此，b 可由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ?? ? ????= ? ???M 有解，而该方程组有解 当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3.向量组等价 设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈，如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ???线性表示，则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。 如果向量组12,,,t a a a ???和向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
求向量组的秩与最大无关组 一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组 1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵 【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等) ①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； ②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩． 【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2． 解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为 阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2． 2、求向量组的最大线性无关组的方法 方法1 逐个选录法 给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn ①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1 ②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2； ③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组
【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T T ααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1 取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。 所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法 【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立. 向量组：α1=(1,2,3)T , α2=(-1,2,0)T , α3=(1,6,6)T 由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换 ①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ； ③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组． 【例3】求向量组 ：α1=(2,1,3,-1)T , α2=(3,-1,2,0)T , α3=(1,3,4,-2)T , α4=(4,-3,1,1)T 的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。 解 以α1,α2,α3,α4为列构造矩阵A , 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩： ()???? ? ?-- ? ?==→ ? ? ? ?--????123423141-13-3113305-510,,,324105-51010210-11-2A αααα---?? ? ?→ ? ? ?? 1133011200000000 知r (A )=2, 故向量组的最大无关组含2个向量
第四章 向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念 一、向量的概念 定义1n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数 i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2n 维向量可以写成一行的形式() 12,,,n a a a a = ,出可以写成一列的形式 12n a a a a ?? ? ? = ? ??? ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ?矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ?矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解12v v -(1,1, 0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =?+?-?+?-?+?- (0,1,2)T = 定义设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ ,使得 1122m m a a a b λλλ=+++ 则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示. 注1任一个n 维向量12 n a a a a ?? ? ?= ? ??? 都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示: 1122n n a a a a e e e =+++ .
习题4.3 1. (1) []12,1, 3,1T α=-, []23,1,2,0T α=-， []31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1T α=-． (2) []11,1,1,1T α=, []21,1, 1,1T α=--， []31,1,1,1T α=--,[]41,1,1,1T α=---． (3) []11, 1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14T α=, []41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6T α=． 分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组. 解 (1) []1 23 423141133113301123241000010210000αααα--???????? ---??? ?=??→????????--???? , 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组. (2) []1 23 4111111 1111110 1011111001111110 01αααα--????????---??? ?=??→???? ---????--???? , 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组. (3) []1 234 51 03121 312130110110121725000104 2140 60 000 0ααααα????????--? ???=??→???????????? , 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组. 2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1) []11, 1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13T α=-，
习题4.3 1.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组： (1) []12,1,3,1T α=-, []23,1,2,0T α=-， []31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1T α=-． (2) []11,1,1,1T α=, []21,1,1,1T α=--， []31,1,1,1T α=--,[]41,1,1,1T α=---． (3) []11,1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14T α=, []41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6T α=． 分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组. 解 (1) []1 23 423141133113301123241000010210000αααα--???????? ---??? ?=??→????????--???? , 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组. (2) []1 23 41111111111110 1011111001111110001αααα--???? ????---??? ?=??→???? ---???? --???? , 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组. (3) []1 234 51031 21 0312130110110121725000104214060 0000ααααα???? ????--? ???=??→???? ??? ? ???? , 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组. 2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1) []11,1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13T α=-，
第二节 向量组及其线性组合 内容分布图示 ★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2 ★ 返回 内容要点： 一、n 维向量及其线性运算 定义1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. 注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象. 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m 矩阵 每一列 组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行 组成的向量组m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 根据上述讨论，矩阵A 记为 ),,,(21n A 或 n A 21. 这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系. 矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 的全体解当n A r )(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组. 定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 的各对应分量之和组成的向量，称为向量 与 的和, 记为 ，即 由加法和负向量的定义，可定义向量的减法： ),,,(2211n n b a b a b a . 定义3 n 维向量),,,(21n a a a 的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量 的乘积（又简称为数乘），记为 k ，即 ),,,(21n ka ka ka k . 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) ; (2) )()( ; (3) ; o (4) ;)(o (5) ;1 (6) ;)()( kl l k
第十讲 向量组的线性关系 一、考试内容与考试要求 考试内容 向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关． 考试要求 （1）理解n 维向量的概念； （2）理解向量的线性组合与线性表示的概念； （3）理解向量组线性相关与线性无关的概念； （4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法； 注 适合于第十讲和第十一讲． 二、知识要点 引入 学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系是什么？ 线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程）； 矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数； 线性相关：方程组Ax o =有无穷解时，能否用有限个解表示出来； 线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组． 复习 （1）非齐次方程组Ax b =有解的条件：()(,)R A R A b m =≤ 其中A =（12,,,m αααL ），要特别注意m 是未知量个数，也是向量组12,,,m αααL 中向量的个数． （2）齐次方程组Ax o =???唯一零解 无穷解（有非零解），o 是向量． 1．线性组合（线性表示） 定义1 线性组合（线性表示） 给定向量12,,,,m βαααL ，如果存在数12,,,m k k k L ，使关系式成立 则称β是向量组12,,,m αααL 的线性组合，或称β可以由向量组12,,,m αααL 线性表示：
注意1 （1）线性组合（或线性表示）对12,,,m k k k L 没有要求，可以全为零； （2）零向量可由任一同维的向量组线性表示； （3）判断β是否可由向量组12,,,m αααL 线性表示转化为求Ax β=是否有解，一个具体表示就是Ax β=有一个特解． （4）表示式可以不惟一，但若12,,,m αααL 线性无关时，表示式惟一； （5）任一n 维向量可由同维的单位坐标向量组12,,,n e e e L 线性表示； （6）向量组12,,,m αααL 中每个向量都可由自身向量组线性表示： 定义2 向量组的等价 向量组（I ）：12,,,s αααL 中每个向量都可由向量组（II ）：12,,,t βββL 线性表示，而向量组（II ）中每个向量都可由向量组（I ）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I ）:（II ）． 向量组的等价具有 ① 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I ）:（I ）； ② 对称性：若（I ）:（II ），则（II ）:（I ）； ③ 传递性：若（I ）:（II ），（II ）:（III ），则（I ）:（III ）． 注意 2 记()12,,,s A ααα=L ，()12,,t B βββ=L ，则 （1）向量组（II ）可以由向量组（I ）线性表示的充分必要条件是()(,)R A R A B = 这是单个向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示的推广． （2）向量组（I ）与向量组（II ）等价的充分必要条件是()()(,)R A R B R A B == （3）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表示，则当r s >时，向量组（I ）必线性相关； （4）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表示，且向量组（I ）线性无关，则必有r s ≤； 这是（3）的逆否命题．
第四章复习题答案 一、选择题 1、向量组ααα１ ２３，，线性无关的充要条件为（ C ） A 、ααα１ ２３，，均不是零向量 B 、ααα１ ２３，，中任意两个向量的分量不成比例 C 、ααα１ ２３，，中任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 D 、１２３，，ααα中一部分向量线性无关 解析：（1）线性相关?至少一个向量能由其余两个向量线性表出 （2）线性无关?任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 2、设A 为n 阶方阵，且A =0，则下列结论错误是（ C ） A 、Ｒ（Ａ）＜ｎ B 、Ａ的ｎ个列向量线性相关 C 、Ａ的两行元素成比例 D 、Ａ的一个行向量是其余ｎ－１个行向量的线性组合 3、已知矩阵A 的秩为r ，则下列说法不正确的是（ A ） A 、矩阵A 中任意r 阶子式不等于0 B 、矩阵A 列向量组的r 个列向量线性无关 C 、矩阵A 列向量组的任意r+1个列向量线性相关 D 、矩阵A 中所有高于r 阶的子式全等于0 解析：只是存在一个r 阶子式不等于0 4、设12,s ααα均为n 维向量，则下列结论中不正确的是（ D ） A 、当维数n 小于向量个数s 时，则向量组12,s ααα线性相关 B 、若向量组12 ,s ααα线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余s-1个向量线性表示 C 、若对任意一组不全为零的数12,s k k k 都有11220s s k k ααα+++≠k ，则向量组12 ,s ααα线性无关 D 、若向量组12 ,s ααα线性相关，则其中任意一个向量都可由其余s-1个向量线性表示 解析：（1）线性相关?至少一有个向量能由其余两个向量线性表出 不是任意 二、填空 1、设12311112010ααα===T T T （，-，），（，，），（，，a)线性无关（相关），则a 取值22 ()33 a a ≠ = 2、设Ａ为35?的矩阵，且()3R A =，则齐次线性方程组Ax=0基础解系所含向量个数是 2 3、若12312αααββ，，，，都为四维向量，且四阶行列式1231m αααβ=，，，，1232n αααβ=，，，， 则四阶行列式12312αααββ+=，，，（）m n + 4、n 维向量组1,2m ααα，当m n >时线性相关。 5、线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是()(,)R A R A b = 三、判断 1、若向量组123 ,,n αααα线性相关，则1α可有23 n ααα，线性表示。 （ × ） 2、两个向量线性相关的充分必要条件是这两个向量成比例。 （ √ ） 3、线性无关的向量组中可以包含两个成比例的向量。 （ × ） 4、当向量组的维数小于向量个数时，向量组线性相关 （ √ ） 5、向量组12,,m ααα线性相关，则向量组12,,,m αααβ也线性相关。 （√ ） 6、一个向量组线性无关的充分必要条件是任何一个向量都不能由其余向量线性表示 （√ ） 7、齐次线性方程组的基础解系不唯一，但基础解系所含向量个数是唯一确定的 （√ ） 8、若12,ξξ为齐次线性方程组 0Ax =的解，则12ξξ-也是0Ax =的解 （√ ） 三、计算及证明 1、设向量组1(1,1,2,4)T α=-，2(0,3,1,2)T α=，3(3,0,7,4)T α=，4(1,1,2,0)T α=-，5(2,1,5,6)T α= 求向量组的秩及其一个最大无关组。 解：设12345(,,,,)A ααααα=