Methods in Mathematical Physics
第十章 格林函数法
Method of Green’s Function
武汉大学物理科学与技术学院
Wuhan University
问题的引入：
?行波法 : 无界空间波动问题, 有局限性 ? ?分离变量法 : 各种有界问题, 其解为无穷级数 ?积分变换法：各种无界问题, 其解为无限积分 ? 1、格林函数法：
其解为含有格林函数的有限积分。 ?Δu = ? h(M ) 由§10.2: ? → ? ?u σ = f ( M ) ?
u ( M ) = ∫∫∫ G ( M , M 0 )h( M )dτ ? ∫∫
τ
Wuhan University
σ
?G f (M 0 ) dσ 0 ?n0
G(M,M0)－狄氏格林函数
问题的引入：
2、格林函数: 点源函数,点源产生的场和影响
若外力 f ( x , t ) 只在 ξ 点 , τ 时起作用
? ?0, x ≠ ξ , t ≠ τ 2 ?utt = a u xx + f ( x, t ) , f ( x, t ) = ? ? f (ξ ,τ ), x = ξ , t = τ ? ? 则 ?u x =0 = 0, u x =l = 0 ? ?u t =0 = 0, ut t =0 = 0 ↑ ? ?
u ( x, t ) ? 格林函数, 即G(x, t ξ ,τ ); f ( x, t ) ? 点源
Wuhan University
问题的引入：
3、为何引入格林函数法
5 .2 → ?Δu = ? h(M ) ? → ? ?u σ = f ( M ) ?
u ( M ) = ∫∫∫ G ( M , M 0 ) h( M ) dτ
τ
? ∫∫
σ
?G f (M 0 ) dσ 0 ?n0
（1）解的形式(有限积分)便于理论分析和研究 （2）以统一的形式研究各类定解问题 （3）对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算 出任意源的场，关键就是求点源
Wuhan University
第十章 格林函数法
Method of Green’s Function 中心：用格林函数法求解狄氏问题 目的: 1、掌握(点源函数) δ 函数的定义、性质
2、格林函数法的思想、方法、步骤 3、狄氏积分公式的应用 4、如何用电象法求狄氏格林函数
Wuhan University
第十章 格林函数法
§10.1 δ 函数
The Delta Function
Wuhan University
一、δ函数的引入
1、物理背景
§10.1 δ 函数
（1）金属线 总质量m = 1, 集中在x = 0 处
m =1
x
Δm ?0 x ≠ 0 =? 则密度 : ρ ( x) = lim Δx →0 Δx ?∞ x = 0
∞
0
?∞
∫ ρ ( x)dx = 1
Wuhan University
一、δ函数的引入
1、物理背景 （2）带电导线
q =1
0
§10.1 δ 函数
总电量q = 1, 集中在x = 0处
x
Δq ?0 x ≠ 0 =? 则电荷密度 : ρ ( x) = lim Δx →0 Δx ?∞ x = 0
∞
?∞
∫ ρ ( x)dx = 1
Wuhan University
一、δ函数的引入
2、定义：
§10.1 δ 函数
? ?0 x ≠ 0 ?δ ( x) = ? ?∞ x = 0 ? ?∞ ? δ ( x)dx = 1 ?∫ ?? ∞
? δ函数
? ?0 x ≠ x0 ?δ ( x ? x0 ) = ? ?∞ x = x0 ? 一般 : ? ∞ ? ? ∫ δ ( x ? x0 )dx = 1 ?? ∞
Wuhan University
一、δ函数的引入
3、注意：
§10.1 δ 函数
(1) δ ? 密度函数和点源函数
若在x = x 0点放有m质量, 总质量m 则 ρ ( x) = mδ ( x ? x0 ) 同样若在x = x 0 放有电量为q的点电荷，总电量为q， 则 ρ ( x) = qδ ( x ? x0 )
(2) δ ? 广义函数
Wuhan University
二、δ函数的性质
设 f ( x)在(?∞, ∞)连续, 则
∞ ∞
§10.1 δ 函数
1、
?∞
∫ f ( x)δ ( x ? x )dx = f ( x ) [ ∫ f ( x)δ ( x)dx = f (0)]
0 0 ?∞
注意 : ∞ 也能表示连续分布的函 数 δ
f (t ) =
?∞
∫ f (τ )δ (τ ? t )dτ = ∫
b
a
f (τ )δ (τ ? t )dτ
附：判断函数相等的一种方法：
设 f (x) 与 g (x) 都是定义在(a,b)区间上的函数，若对于定义在 (a,b)区间上的任意连续函数 ? (x) 都有如下等式成立：
∫
b
a
f ( x )? ( x )dx = ∫ g ( x )? ( x ) dx , 则必有：f ( x) = g ( x)
b
特别 : 若 ∫ ? ( x )g ( x ) dx = 0, 则必有 g ( x ) = 0
a
b
a
Wuhan University
δ 二、 函数的性质
∞
§10.1 δ 函数
d 2、若定义 δ ( x ) = δ ′( x ) ? δ函数的导数 , 则 dx
(1) ∫ f ( x )δ ′( x ? x 0 )dx = ? f ′( x 0 )
?∞
( 2 ) ( x ? x 0 )δ ′ ( x ? x 0 ) = ? δ ( x ? x 0 ) ( 3 ) ∫ f ( x )δ ( n ) ( x ? x 0 )dx = ( ? 1) n f
?∞
n
∞
(n)
( x0 )
δ ( x ? xi ) 3、δ [? ( x)] = ∑ , 其中? ( xi ) = 0 i =1 ? ′( xi )
Wuhan University
三、高维δ 函数
1、定义：
? ?0 , M ≠ M 0 ?δ ( M ? M 0 ) = ? ?∞ M = M 0 ? (1) ? ∞ ? ? ∫ ∫ ∫ δ ( M ? M 0 )dv = 1 ? ?∞
§10.1 δ 函数
其中, δ ( M ? M 0 ) = δ ( x ? x0 , y ? y 0 , z ? z 0 ) = δ ( x ? x0 )δ ( y ? y0 )δ ( z ? z 0 ) 为三维函数 ; dv = dxdydz
其中, δ ( M ? M 0 ) = δ ( x ? x0 , y ? y 0 ) = δ ( x ? x0 )δ ( y ? y0 ) 为二维函数 ; dv = dxdy
? ?0 , M ≠ M 0 ?δ ( M ? M 0 ) = ? ? ?∞ M = M 0 ( 2) ? ? ∞ ? ∫ ∫? ∞ δ ( M ? M 0 ) dxdy = 1 ?
Wuhan University
三、高维δ 函数 2、性质：
(1) ∫
∞ ?∞
§10.1 δ 函数
∫ ∫ f ( M )δ ( M ? M
0
)dxdydz
= f ( x0 , y 0 , z 0 ) = f (M 0 )
∞
( 2) ∫
?∞
∫ f ( M )δ ( M ? M
0
)δxdy
= f (M 0 ) = f ( x0 , y 0 )
Wuhan University
四、例题
1 1.∫ sin xδ ( x ? )dx = ? 1 2 2 2、∫ sin xδ ( x)dx = ?
2
1 ∞ ∞
?∞?∞
§10.1 δ 函数
0 0
sin(?1)
?utt = a2uxx ? ?u |x=0 = 0, u |x=l = 0 ? ?u |t =0 = 0 ? ?ut |t =0 = I0 δ (x ? x0 ) ? ρ ?
3. ∫ ∫ sin(x + y)δ (x + 2)δ ( y ?1)dxdy= ?
4. 长为l, 密度为ρ的弦两端固定 , 初位移为零, 初始时刻在x = x 0 点受到一横向冲量 I 0 .试写出弦 的横振动的定解问题。
Wuhan University
五、小结
§10.1 δ 函数
? ?0 x ≠ x0 ?δ ( x ? x0 ) = ? ?∞ x = x0 ? 一般 : ? ∞ ? ? ∫ δ ( x ? x0 )dx = 1 ?? ∞
∞
?∞
∫ f ( x)δ ( x ? x )dx = f ( x ) [ ∫ f ( x)δ ( x)dx = f (0)]
0 0 ?∞
∞
∞
?∞
Wuhan University
∫
f ( x )δ
(n)
( x ? x 0 )dx = ( ? 1) f
n
(n)
( x0 )
§10.1 δ 函数
本节作业
习题 10.1： 1 (1)（3）；4； 5（1）（4）；6；
Good-by!
Wuhan University
补充材料：δ函数 见曾谨言 一、问题的提出 在物理学中，为了突出重要因素，常常运用质点、点电荷、瞬时力等抽象模型。“一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”质点体积为零，所以它的密度（质量/体积）为无限大，但密度的体积积分（即总质量）为有限的。点电荷的体积为零，所以它的电荷密度（电量/体积）为无限大，但电荷的体积积分（即总电量）却又是有限的。瞬时力的延续时间为零，而力的大小为无限大，但力的时间积分（即冲量）是有限的。……如何来描述这些抽象模型中的物理量（密度、瞬时力）的分布呢？这在物理上有着重要的意义。下面讨论的δ函数将能给这些问题做出圆满的回答： 二、δ函数的定义 为了研究上述的这样一类包含有某种无限大的量。在处理这些无限大时有一个精确的符号，狄拉克引入一个量)(x δ，称为狄拉克δ函数，简称δ函数，它的定义如下： ???=-∞≠-=-) 0( ,)0( ,0)(000x x x x x x δ ① ? ??<<=-?)( ,1)或都大于都小于,( ,0)(0000b x a x x b a dx x x b a δ ② ②式规定了δ函数的量纲]/[1)]([0x x x =-δ，下图是δ函数的示意图，曲线的“峰”无限高。但是无限窄，曲线下的面积是有限值1。这样，位于0x 而质量为m 的质点的密度可记作)x x (m 0-δ；位于0x 而电量为q 的点电荷的电荷密度可记作)(0x x q -δ，总电量q dx x x q dx x x q q =-=-=??∞ ∞-∞∞-)()(00δδ；作用于瞬时0t 而冲量为k 的瞬时力可记作)(0t t k -δ。 数学性质上δ函数是很奇异的。没有一个平常的函数具有此奇异性。严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布(distrbution)。在物理上是一种理想的点模型，如果在数学上不过分追求严格，δ函数可以看成某种奇异函数的极限来处理 例 )(lim 1lim 2 2/0x e e x δπαπσ αασπσ==-∞→-→ (2) )(lim 24/x e e x i i δπ ααπα=-∞→ (3) )(sin lim x x a δα=∞→ (4)
各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。 一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： ]/)ex p[(11 )(kT E E E f F -+= f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。 只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。 费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】 第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．． ， E f 越大，表示处于高能级的电子越多； E f 越小，则表示高能级的电子越少。(E f 反映了整体平均水平) 第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。 0 1/2 1 f(E) E E f T 0 T 1 T 2 T 3 费米分布函数变化曲线T 3 >T 2 >T 1 >T 0 在T 不为绝对零度前提下，若E ＜E f ，则 f(E) ＞1/2；若E = E f ，则 f(E)=1/2；若 E ＞E f ，则 f(E) ＜1/2。上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低E f ，则该能级(范围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级E f 高，则该能级被电子占据的几率小于50%。而当能级的能量恰等于费米能级E f 时，该能级被电子占有的几率费米分布规律不适 用于非平衡状态
补充材料：δ函数 一、问题的提出 在物理学中，为了突出重要因素，常常运用质点、点电荷、瞬时力等抽象模型。“一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”质点体积为零，所以它的密度（质量/体积）为无限大，但密度的体积积分（即总质量）为有限的。点电荷的体积为零，所以它的电荷密度（电量/体积）为无限大，但电荷的体积积分（即总电量）却又是有限的。瞬时力的延续时间为零，而力的大小为无限大，但力的时间积分（即冲量）是有限的。……如何来描述这些抽象模型中的物理量（密度、瞬时力）的分布呢？这在物理上有着重要的意义。下面讨论的δ函数将能给这些问题做出圆满的回答： 二、δ函数的定义 为了研究上述的这样一类包含有某种无限大的量。在处理这些无限大时有一个精确的符号，狄拉克引入一个量)(x δ，称为狄拉克δ函数，简称δ函数，它的定义如下： ???=-∞≠-=-) 0( ,)0( ,0)(000x x x x x x δ ① ? ??<<=-?)( ,1)或都大于都小于,( ,0)(0000b x a x x b a dx x x b a δ ② ②式规定了δ函数的量纲]/[1)]([0x x x =-δ，下图是δ函数的示意图，曲线的“峰”无限高。但是无限窄，曲线下的面积是有限值1。这样，位于0x 而质量为m 的质点的密度可记作)x x (m 0-δ；位于0x 而电量为q 的点电荷的电荷密度可记作)(0x x q -δ，总电量q dx x x q dx x x q q =-=-=??∞ ∞-∞∞-)()(00δδ；作用于瞬时0t 而冲量为k 的瞬时力可记作)(0t t k -δ。 数学性质上δ函数是很奇异的。没有一个平常的函数具有此奇异性。严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布(distrbution)。在物理上是一种理想的点模型，如果在数学上不过分追求严格，δ函数可以看成某种奇异函数的极限来处理 例 )(lim 1lim 22/0x e e x δπ απσαασπσ==-∞→-→ (2) )(lim 2 4/x e e x i i δπ ααπα=-∞→ (3) )(sin lim x x a δα=∞→ (4)
费米狄拉克分布函数 费米-狄拉克分布（Fermi-Dirac distribution）全同和独立的费米子系统中粒子的最概然分布。简称费米分布，量子统计中费米子所遵循的统计规律。这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。不过费米在数据定义比狄拉克稍早。费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。 费米子是自旋为半整数( 即自旋为/2，=h/2π，h是普朗克常量）的粒子，如轻子和重子，全同费米子系统中粒子不可分辨，费米子遵从泡利不相容原理，每一量子态容纳的粒子数不能超过一个。对于粒子数、体积和总能量确定的费米子系统，当温度为T时，处在能量为E的量子态上的平均粒子数为[2] 费米-狄拉克分布公式 式中，k是玻耳兹曼常量，εf是化学势。在高温和低密度条件下，费米-狄拉克分布过渡到经典的麦克斯韦-玻尔兹曼分布。 对费米-狄拉克分布公式的理解：是各能级被电子占据的数目服从的特殊的统计规律。 费米能级：用来描述电子的能级填充水平的假想能级， E越大，高能级的电子越多，反之 F E反映整体平均水平）。对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级。费米能则越少（ F 级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。只要知道了它的值，在一定温度下，就能确定电子在各量子态下的统计分布。它和温度，半导体材料的导电类型，杂质的含量以及能量零点的选取有关。n型半导体费米能级靠近导带边，过高掺杂会进入导带。p型半导体费米能级靠近价带边，过高掺杂会进入价带。将半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，可以证明处于热平衡状态下的电子系统有统一的费米能级。
Methods in Mathematical Physics
第十章 格林函数法
Method of Green’s Function
武汉大学物理科学与技术学院
Wuhan University
问题的引入：
?行波法 : 无界空间波动问题, 有局限性 ? ?分离变量法 : 各种有界问题, 其解为无穷级数 ?积分变换法：各种无界问题, 其解为无限积分 ? 1、格林函数法：
其解为含有格林函数的有限积分。 ?Δu = ? h(M ) 由§10.2: ? → ? ?u σ = f ( M ) ?
u ( M ) = ∫∫∫ G ( M , M 0 )h( M )dτ ? ∫∫
τ
Wuhan University
σ
?G f (M 0 ) dσ 0 ?n0
G(M,M0)－狄氏格林函数
问题的引入：
2、格林函数: 点源函数,点源产生的场和影响
若外力 f ( x , t ) 只在 ξ 点 , τ 时起作用
? ?0, x ≠ ξ , t ≠ τ 2 ?utt = a u xx + f ( x, t ) , f ( x, t ) = ? ? f (ξ ,τ ), x = ξ , t = τ ? ? 则 ?u x =0 = 0, u x =l = 0 ? ?u t =0 = 0, ut t =0 = 0 ↑ ? ?
u ( x, t ) ? 格林函数, 即G(x, t ξ ,τ ); f ( x, t ) ? 点源
Wuhan University
狄拉克与狄拉克方程 英国著名理论物理学家狄拉克（Paul Dirac 1902～1984）；在量子力学领域把哈密顿理论推广到原子方面，建立了量子力学变量的运动方程，使海森堡的矩阵力学成为一个完善的理论。他在薛定谔方程的基础上提出了相对论波动方程，凭借自己非凡的想象力，大胆地预言了“反粒子”的存在。并依靠自己卓越的逻辑推理做出第一流的科学工作，使他置身于20世纪最伟大的理想物理学家行列。 5、1 狄拉克算符 1925年前后，剑桥大学的俄籍物理学家卡皮察（Peter Leonidovich Kapitza ，1894～1978）组织了定期科学讨论会叫“卡皮察俱乐部”。每周二晚举行聚会，首先有人自愿宣读自己新近完成的科学论文，然后大家进行讨论和争论。这年夏天，海森堡应邀到这个俱乐部作了一次关于反常塞曼效应的报告。临到结束时，他又介绍了自己关于建立量子论的一些新的想法。不久，海森堡回到德国以后又把自己关于矩阵力学的论文寄一份给福勒（Fowle r sir Ralph Howard ，1899～1944）。9月，在剑桥大学跟随导师福勒攻读研究生的狄拉克，在度假时收到了福勒寄给他的海森伯关于量子力学的第一篇论文的校样；狄拉克认真思考了用矩阵元表述的新力学量的不可对易性。例如，两个力学量相乘pq ≠qp ，这显然违背了过去的力学量（标量）之间的乘法交换规则，开始思索时感到不可思议，而后却意识到这种不对易性恰恰是新的力学理论的重要特征。并从潜意识中感觉到，不对易性与哈密顿力学中的泊松括号十分类似。泊松括号是19世纪法国数学家泊松（S ．Poisson ）发明的一种简化算子记号，用以表述两个不可对易量的微分乘积的关系。如果能找到这二者之间的联系，就能证明在量子力学和经典力学的哈密顿理论表述之间有某种内在关系，哈密顿力学体系的很多计算和表述方 式有可能移植到量子力学中来。例如，把微观客体的运动规律描述为以哈密顿函数（能量函数）和广义坐标、广义动量之间关系的统一数学系统。狄拉克把海森伯理论纳入哈密顿公式体系，把量子力学的对易关系类比于经典力学中的泊松括号，得出一种处理量子论中力学量的偏微分方法，这种办法一般称为正则量子化方案，并很快写成了他的成名作“量子力学的基本方程”。狄拉克这项工作澄清了量子变量与经典变量之间的关系，使海森伯的矩阵力学成为一个完善的理论。这篇以“量子力学的基本方程”为题的论文，随后就在皇家学会的会刊上发表。海森堡看到论文后认为，狄拉克的表述形式简洁优美，而且作为一项新成果把量子论向前大大推进了一步。 5、2 费米—狄拉克统计 1926年，薛定谔发表了一系列关于波动力学的论文，波动力学和矩阵力学相比显然具有某种优越性；同年6月，玻恩对薛定谔波函数提出了几率解释，认为波动力学中的波函数平方2 是位形空间里的几率密度，原先的矩阵力学与波动力学具有某种物理学上的类似性：矩阵元平方所描述的是坐标确定时各种可能的能量本征值的出现几率，而波函数模数的平方所描述的，则是能量确定时各种可能的位置本征值的出现几率；波动力学与矩阵力学在数学上是等效的。但由于在波动力学框架中可以引进位形空间波函数，它在处理多体问题时就比较方便，特别是便于用来研究多体系统的统计法，被大多数物理学家普通接受。 图10-12为狄拉克（左）和海森伯（右）在剑桥